几何证明之线段相等[上学期]
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课件16张PPT。２２．４几何证明举例
证明线段相等 例1：如图，点D、E分别在AB、AC上，AB=AC，DE∥BC
求证：BD=CE证明：∵AB=AC∴∠B=∠C∵DE∥BC∴∠1=∠B ∠2=∠C
∴∠1=∠2∴AD=AE∵AB=AC∴ AB－AD＝AC－AE即BD=CE（已知）,（等边对等角）.（已知）,（两直线平行，同位角相等）.（等量代换）.（等角对等边）.（已知）,（等式性质），例题小结：１．三角形中，可用等角对等边证明两条线段相等
２．等量±等量和（差）相等（等式性质）
已知：点Ｄ、Ｅ在ＢＣ上，ＢＤ＝ＥＣ，ＡＤ＝ＡＥ
求证：ＡＢ＝ＡＣ∵∠ADＢ+ ∠1=180°，
∠AEC+ ∠2=180°（平角的定义）,证明： ∵ＡＤ＝ＡＥ（已知）,∴∠１＝∠２（等边对等角）.∴ ∠ADB＝ ∠AEＣ
（等角的补角相等）.在△ADB和△AEC中,AD=AE（ 已知）,∠ADB＝=∠AEC（已证）,ＢＤ=ＥＣ（已知）,∴△ADB≌△AEC （S.A.S）.∴ＡＢ＝ＡＣ（全等三角形对应边相等）.例
利用全等三角形证明两条线段相等
例题小结：证明边相等的方法：１．三角形中，等角对等边证明两条
线段相等２．等量±等量和（差）相等
（等式性质）３．利用全等三角形证明两条线段相等练习：已知：如图，ＡＤ平分∠ＢＡＥ，∠ＣＡＥ＝∠Ｂ
求证：ＣＡ＝ＣＤ 证明：∵ＡＤ平分∠ＢＡＥ（已知）,∴ ∠１＝ ∠２（角平分线定义）.又∵ ∠ＣＡＥ＝ ∠Ｂ（已知）
∠１＝ ∠２（已证）,∵ ∠ＡＤＣ＝ ∠１＋ ∠Ｂ
∠ＣＡＤ＝ ∠２＋ ∠ＣＡＥ
（三角形的外角等于与之
不相邻的两内角之和）,∴ ∠ＡＤＣ＝ ∠ＣＡＤ（等式性质）, ∴ＡＤ＝ＡＣ（等角对等边）.等角对等边已知：如图，在△ＡＢＣ中，Ｄ、E分别在边AB、
AC上，DC与BE相交于点O，且DC=BE，∠1=∠2
求证：AB=AC练习：证明：∵∠ADC+ ∠1=180°
∠AEB+ ∠2=180°（平角的定义） ，又∵∠1=∠2（已知）,∴∠ADC=∠AEB
（等角的补角相等）.在△ADC和△AEB中∠A=∠A（公共角）,∠ADC=∠AEB（已证）,DC=BE（已知）,∴ △ADC≌△AEB (A.A.S).∴AB=AC （全等三角形的对应边相等）.三角形全等如图，△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝４５°
Ｈ是高ＡＤ和高ＢＥ的交点
求证：ＢＨ＝ＡＣ三角形全等练习：练习：已知：如图，∠ＢＡＣ的顶点在⊙Ｏ上， ∠ＢＡＣ的平分线ＡＤ过圆心Ｏ 求证：ＡＢ＝ＡＣ
三角形全等同圆中等圆心角对等弦证明线段相等的方法：１．三角形中，等角对等边证明两条线段相等２．等量±等量和（差）相等３．利用全等三角形证明两条线段
相等４．利用同圆中等圆心角对等弦
证明两条线段相等如图，Ｆ、Ｃ是线段ＢＥ上两点，ＢＦ＝ＣＥ，
ＡＢ＝ＤＥ，∠Ｂ＝∠Ｅ，ＱＲ∥ＢＥ
求证：△ＰＱＲ为等腰三角形思维训练：已知：在等腰直角三角形中，∠ＢＡＣ是直角，
Ｄ是ＡＣ上一点，ＡＥ⊥ＢＤ，ＡＥ的延长线
交ＢＣ于Ｆ，若∠ＡＤＢ＝∠ＦＤＣ
求证：ＡＤ＝ＣＤ思维训练：已知：在等腰直角三角形中，∠ＢＡＣ是直角，
Ｄ是ＡＣ上一点，ＡＥ⊥ＢＤ，ＡＥ的延长线
交ＢＣ于Ｆ，若∠ＡＤＢ＝∠ＦＤＣ
求证：ＡＤ＝ＣＤ思维训练：GHFABCDE证明线段相等的方法：１．三角形中，等角对等边证明两条线段相等２．等量±等量和（差）相等３．利用全等三角形证明两条线段
相等４．利用同圆中等圆心角对等弦
证明两条线段相等小结：回家作业：1、A册/22.4（2）2、一课一练P77/1,78/5,P79/1,2,4;P80/5,P81/1,P82/5,6;P83/1;P84/4,63、同步P106-108/1,2;P110/4(6), P111/4(7),P112/4(11)(12),5(1) P113/5(2)(5),P114/5(9),P115/5(12),
P115/6(1), P116/6(2)(3),P117/6(6)(7)(8)
P118/7(3)(4),P119/7(7)(8)
证明线段相等 例1：如图，点D、E分别在AB、AC上，AB=AC，DE∥BC
求证：BD=CE证明：∵AB=AC∴∠B=∠C∵DE∥BC∴∠1=∠B ∠2=∠C
∴∠1=∠2∴AD=AE∵AB=AC∴ AB－AD＝AC－AE即BD=CE（已知）,（等边对等角）.（已知）,（两直线平行，同位角相等）.（等量代换）.（等角对等边）.（已知）,（等式性质），例题小结：１．三角形中，可用等角对等边证明两条线段相等
２．等量±等量和（差）相等（等式性质）
已知：点Ｄ、Ｅ在ＢＣ上，ＢＤ＝ＥＣ，ＡＤ＝ＡＥ
求证：ＡＢ＝ＡＣ∵∠ADＢ+ ∠1=180°，
∠AEC+ ∠2=180°（平角的定义）,证明： ∵ＡＤ＝ＡＥ（已知）,∴∠１＝∠２（等边对等角）.∴ ∠ADB＝ ∠AEＣ
（等角的补角相等）.在△ADB和△AEC中,AD=AE（ 已知）,∠ADB＝=∠AEC（已证）,ＢＤ=ＥＣ（已知）,∴△ADB≌△AEC （S.A.S）.∴ＡＢ＝ＡＣ（全等三角形对应边相等）.例
利用全等三角形证明两条线段相等
例题小结：证明边相等的方法：１．三角形中，等角对等边证明两条
线段相等２．等量±等量和（差）相等
（等式性质）３．利用全等三角形证明两条线段相等练习：已知：如图，ＡＤ平分∠ＢＡＥ，∠ＣＡＥ＝∠Ｂ
求证：ＣＡ＝ＣＤ 证明：∵ＡＤ平分∠ＢＡＥ（已知）,∴ ∠１＝ ∠２（角平分线定义）.又∵ ∠ＣＡＥ＝ ∠Ｂ（已知）
∠１＝ ∠２（已证）,∵ ∠ＡＤＣ＝ ∠１＋ ∠Ｂ
∠ＣＡＤ＝ ∠２＋ ∠ＣＡＥ
（三角形的外角等于与之
不相邻的两内角之和）,∴ ∠ＡＤＣ＝ ∠ＣＡＤ（等式性质）, ∴ＡＤ＝ＡＣ（等角对等边）.等角对等边已知：如图，在△ＡＢＣ中，Ｄ、E分别在边AB、
AC上，DC与BE相交于点O，且DC=BE，∠1=∠2
求证：AB=AC练习：证明：∵∠ADC+ ∠1=180°
∠AEB+ ∠2=180°（平角的定义） ，又∵∠1=∠2（已知）,∴∠ADC=∠AEB
（等角的补角相等）.在△ADC和△AEB中∠A=∠A（公共角）,∠ADC=∠AEB（已证）,DC=BE（已知）,∴ △ADC≌△AEB (A.A.S).∴AB=AC （全等三角形的对应边相等）.三角形全等如图，△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝４５°
Ｈ是高ＡＤ和高ＢＥ的交点
求证：ＢＨ＝ＡＣ三角形全等练习：练习：已知：如图，∠ＢＡＣ的顶点在⊙Ｏ上， ∠ＢＡＣ的平分线ＡＤ过圆心Ｏ 求证：ＡＢ＝ＡＣ
三角形全等同圆中等圆心角对等弦证明线段相等的方法：１．三角形中，等角对等边证明两条线段相等２．等量±等量和（差）相等３．利用全等三角形证明两条线段
相等４．利用同圆中等圆心角对等弦
证明两条线段相等如图，Ｆ、Ｃ是线段ＢＥ上两点，ＢＦ＝ＣＥ，
ＡＢ＝ＤＥ，∠Ｂ＝∠Ｅ，ＱＲ∥ＢＥ
求证：△ＰＱＲ为等腰三角形思维训练：已知：在等腰直角三角形中，∠ＢＡＣ是直角，
Ｄ是ＡＣ上一点，ＡＥ⊥ＢＤ，ＡＥ的延长线
交ＢＣ于Ｆ，若∠ＡＤＢ＝∠ＦＤＣ
求证：ＡＤ＝ＣＤ思维训练：已知：在等腰直角三角形中，∠ＢＡＣ是直角，
Ｄ是ＡＣ上一点，ＡＥ⊥ＢＤ，ＡＥ的延长线
交ＢＣ于Ｆ，若∠ＡＤＢ＝∠ＦＤＣ
求证：ＡＤ＝ＣＤ思维训练：GHFABCDE证明线段相等的方法：１．三角形中，等角对等边证明两条线段相等２．等量±等量和（差）相等３．利用全等三角形证明两条线段
相等４．利用同圆中等圆心角对等弦
证明两条线段相等小结：回家作业：1、A册/22.4（2）2、一课一练P77/1,78/5,P79/1,2,4;P80/5,P81/1,P82/5,6;P83/1;P84/4,63、同步P106-108/1,2;P110/4(6), P111/4(7),P112/4(11)(12),5(1) P113/5(2)(5),P114/5(9),P115/5(12),
P115/6(1), P116/6(2)(3),P117/6(6)(7)(8)
P118/7(3)(4),P119/7(7)(8)