几何证明之添辅助线[上学期]
图片预览
文档简介
课件16张PPT。复习： 在证明的过程中，由于证明的需要，可以在原来的图形上添画一些线，像这样的线叫做辅助线。辅助线通常画成虚线!添辅助线构造全等例2.如图,在△ABC中,AB=AC,BE=CF.ABDFCEG⌒旋转１８０°构造全等证明１：过Ｅ点作ＥＧ∥ＣＦ交ＢＣ于Ｇ∴∠１＝∠Ｆ （两直线平行，内错角相等）
∠２＝∠３ （两直线平行，同位角相等）∵ＡＢ＝ＡＣ（已知）∴∠Ｂ＝∠３（等边对等角）∴∠Ｂ＝∠２（等量代换）∴ＢＥ＝ＥＧ（等角对等边）∵ＢＥ＝ＣＦ（已知）∴ＥＧ＝ＣＦ（等量代换）在△ＤＥＧ和△ＤＦＣ中， 求证:DE=DF.∠１＝∠Ｆ（已证）∠ＥＤＧ＝∠ＦＤＣ（对顶角相等）ＥＧ＝FC（已证）∴△ＤＥＧ≌△ＤＦＣ（Ａ．Ａ．Ｓ）∴ＤＥ＝ＤＦ（全等三角形对应边相等）例2.如图,在△ABC中,AB=AC,BE=CF.
求证:DE=DF.C2ABDFEH⌒证明２：过Ｆ点作ＦＨ∥ＢＥ交ＢＣ的延长线于Ｈ例3：已知：如图，△ABC中，∠C=2∠B，∠1=∠2.
E求证：AB=AC+CD沿着某条直线翻折构造全等证明：在ＡＢ上截取ＡＥ＝ＡＣ∴∠AED＝∠C,ED=CD
（全等三角形对应边，对应角相等）∵ ∠AED＝ ∠Ｂ＋ ∠３
（三角形的外角等于与之不相邻的两内角之和）在△AED和△ACD中，∠１＝∠2（已知）ＡＤ＝ＡＤ（公共边）∴△AED≌△ACD（S．Ａ．Ｓ）∴ＢＥ＝ＥＤ（等角对等边）ＡＥ＝ＡＣ（已作）３又∵ ∠Ｃ＝２ ∠Ｂ（已知）∴∠Ｂ＝ ∠３（等式性质）３∴ＢＥ＝ＣＤ（等量代换）∵ＡＢ＝ＡＥ＋ＥＢ（已知）∴ＡＢ＝ＡＣ＋ＣＤ（等量代换）∵ＤＥ＝ＣＤ（已证）截长例3：已知：如图，△ABC中，
∠C=2∠B，∠1=∠2.
求证：AB=AC+CDF补短证明：延长ＣＦ、ＢＡ交于点Ｇ∵ＢＦ平分∠ＡＢＣ（已知）∴∠1= ∠2（角平分线的定义）∵ＣＦ⊥ＢＥ（已知）∴ ∠2＋ ∠ＢＣＦ＝９０°∠１＋ ∠Ｇ＝９０°（直角三角形中两锐角互余）∴ ∠ＢＣＦ＝ ∠Ｇ（等角的余角相等）∵∠ＢＡＣ＝９０°（已知）∴ＢＣ＝ＢＧ（等角对等边）∴ＣＦ＝ ＣＧ（等腰三角形底边上的高平分底边）∴ ∠ＣＡＧ＝∠ＢＡＣ＝９０° ∠３＋ ∠Ｇ＝９０°沿着某条直线翻折构造全等∵ＣＦ⊥ＢＥ（已知）∵∠１＋ ∠Ｇ＝９０°（已证）∴ ∠１＝ ∠３（等角的余角相等）在△CGA和△BEA中，∠１＝∠３（已证）∠ ＣＡＧ＝ ∠ ＢＡＥ（已证）∴△ＣＧＡ≌△ＢＥＡ（Ａ．Ｓ．Ａ）CA=BA（已知）∴ＣＧ ＝ＢＥ（全等三角形对应边相等）∵ＣＦ＝ ＣＧ（已证）当已知条件中有角平分线或是线段和差问题时，
往往沿角平分线所在的直线或某条直线
将三角形翻折构造全等三角形 例题小结：例５ 在△ＡＢＣ中， ∠１＝ ∠２，ＢＤ＝ＤＣ 求证：ＡＤ⊥ＢＣ证明：∴ ∠２＝ ∠Ｅ（等量代换） ∵ ∠１＝ ∠２（已知）延长ＡＤ至Ｅ，使ＤＥ＝ＡＤ，连结ＤＥＡＤ＝ＤＥ（已作）∠３＝∠４（对顶角相等）∴△ＡＤＢ≌△ＥＤＣ（Ｓ．Ａ．Ｓ）ＢＤ＝ＣＤ（已知）在△ＡＤＢ和△ＥＤＣ中，∴ ∠１＝∠Ｅ ＡＢ＝ＣＥ
（全等三角形对应角、对应边相等） ∴ＡＣ＝ＣＥ（等角对等边）∴ＡＢ＝ＡＣ（等量代换）∵ ∠１＝ ∠２（已知）∴ＡＤ⊥ＢＣ（等腰三角形三线合一）中线加倍法如图，AD∥BC，AE平分∠DAB，BE平分∠CBA，
且C、E、D共线，求证：AB=AD+BC练习：沿着ＡＥ所在的直线翻折证明：在ＡＢ上截取ＡＦ＝ＡＤ如图， AD∥BC，AE平分∠DAB，BE平分∠CBA，
且C、E、D共线，求证：AB=AD+BC练习：有平行有角平分线必有等腰三角形如图，在△ＡＢＣ中，ＡＤ是ＢＣ边上的中线，Ｅ是ＡＤ
上一点，且ＢＥ＝ＡＣ，延长ＢＥ交ＡＣ于点Ｆ．
求证：ＡＦ＝ＥＦ中线加倍法小 结 ：添辅助线的常用技巧1、截长或补短3、有中线常用旋转，
即加倍延长2、有角平分线常用翻折4、圆中经常联结半径或者作垂直于弦的直径（或作弦心距）作业：
1、B册22.4(5)
2、同步P115/5(11) ,
P119/7(5),P120/7(9) (11)
P121/7(15),P123/16
∠２＝∠３ （两直线平行，同位角相等）∵ＡＢ＝ＡＣ（已知）∴∠Ｂ＝∠３（等边对等角）∴∠Ｂ＝∠２（等量代换）∴ＢＥ＝ＥＧ（等角对等边）∵ＢＥ＝ＣＦ（已知）∴ＥＧ＝ＣＦ（等量代换）在△ＤＥＧ和△ＤＦＣ中， 求证:DE=DF.∠１＝∠Ｆ（已证）∠ＥＤＧ＝∠ＦＤＣ（对顶角相等）ＥＧ＝FC（已证）∴△ＤＥＧ≌△ＤＦＣ（Ａ．Ａ．Ｓ）∴ＤＥ＝ＤＦ（全等三角形对应边相等）例2.如图,在△ABC中,AB=AC,BE=CF.
求证:DE=DF.C2ABDFEH⌒证明２：过Ｆ点作ＦＨ∥ＢＥ交ＢＣ的延长线于Ｈ例3：已知：如图，△ABC中，∠C=2∠B，∠1=∠2.
E求证：AB=AC+CD沿着某条直线翻折构造全等证明：在ＡＢ上截取ＡＥ＝ＡＣ∴∠AED＝∠C,ED=CD
（全等三角形对应边，对应角相等）∵ ∠AED＝ ∠Ｂ＋ ∠３
（三角形的外角等于与之不相邻的两内角之和）在△AED和△ACD中，∠１＝∠2（已知）ＡＤ＝ＡＤ（公共边）∴△AED≌△ACD（S．Ａ．Ｓ）∴ＢＥ＝ＥＤ（等角对等边）ＡＥ＝ＡＣ（已作）３又∵ ∠Ｃ＝２ ∠Ｂ（已知）∴∠Ｂ＝ ∠３（等式性质）３∴ＢＥ＝ＣＤ（等量代换）∵ＡＢ＝ＡＥ＋ＥＢ（已知）∴ＡＢ＝ＡＣ＋ＣＤ（等量代换）∵ＤＥ＝ＣＤ（已证）截长例3：已知：如图，△ABC中，
∠C=2∠B，∠1=∠2.
求证：AB=AC+CDF补短证明：延长ＣＦ、ＢＡ交于点Ｇ∵ＢＦ平分∠ＡＢＣ（已知）∴∠1= ∠2（角平分线的定义）∵ＣＦ⊥ＢＥ（已知）∴ ∠2＋ ∠ＢＣＦ＝９０°∠１＋ ∠Ｇ＝９０°（直角三角形中两锐角互余）∴ ∠ＢＣＦ＝ ∠Ｇ（等角的余角相等）∵∠ＢＡＣ＝９０°（已知）∴ＢＣ＝ＢＧ（等角对等边）∴ＣＦ＝ ＣＧ（等腰三角形底边上的高平分底边）∴ ∠ＣＡＧ＝∠ＢＡＣ＝９０° ∠３＋ ∠Ｇ＝９０°沿着某条直线翻折构造全等∵ＣＦ⊥ＢＥ（已知）∵∠１＋ ∠Ｇ＝９０°（已证）∴ ∠１＝ ∠３（等角的余角相等）在△CGA和△BEA中，∠１＝∠３（已证）∠ ＣＡＧ＝ ∠ ＢＡＥ（已证）∴△ＣＧＡ≌△ＢＥＡ（Ａ．Ｓ．Ａ）CA=BA（已知）∴ＣＧ ＝ＢＥ（全等三角形对应边相等）∵ＣＦ＝ ＣＧ（已证）当已知条件中有角平分线或是线段和差问题时，
往往沿角平分线所在的直线或某条直线
将三角形翻折构造全等三角形 例题小结：例５ 在△ＡＢＣ中， ∠１＝ ∠２，ＢＤ＝ＤＣ 求证：ＡＤ⊥ＢＣ证明：∴ ∠２＝ ∠Ｅ（等量代换） ∵ ∠１＝ ∠２（已知）延长ＡＤ至Ｅ，使ＤＥ＝ＡＤ，连结ＤＥＡＤ＝ＤＥ（已作）∠３＝∠４（对顶角相等）∴△ＡＤＢ≌△ＥＤＣ（Ｓ．Ａ．Ｓ）ＢＤ＝ＣＤ（已知）在△ＡＤＢ和△ＥＤＣ中，∴ ∠１＝∠Ｅ ＡＢ＝ＣＥ
（全等三角形对应角、对应边相等） ∴ＡＣ＝ＣＥ（等角对等边）∴ＡＢ＝ＡＣ（等量代换）∵ ∠１＝ ∠２（已知）∴ＡＤ⊥ＢＣ（等腰三角形三线合一）中线加倍法如图，AD∥BC，AE平分∠DAB，BE平分∠CBA，
且C、E、D共线，求证：AB=AD+BC练习：沿着ＡＥ所在的直线翻折证明：在ＡＢ上截取ＡＦ＝ＡＤ如图， AD∥BC，AE平分∠DAB，BE平分∠CBA，
且C、E、D共线，求证：AB=AD+BC练习：有平行有角平分线必有等腰三角形如图，在△ＡＢＣ中，ＡＤ是ＢＣ边上的中线，Ｅ是ＡＤ
上一点，且ＢＥ＝ＡＣ，延长ＢＥ交ＡＣ于点Ｆ．
求证：ＡＦ＝ＥＦ中线加倍法小 结 ：添辅助线的常用技巧1、截长或补短3、有中线常用旋转，
即加倍延长2、有角平分线常用翻折4、圆中经常联结半径或者作垂直于弦的直径（或作弦心距）作业：
1、B册22.4(5)
2、同步P115/5(11) ,
P119/7(5),P120/7(9) (11)
P121/7(15),P123/16