汕头市实验学校 2022-2023 学年度第二学期第一阶段质量检测高一数学科试题（含答案）

汕头市实验学校 2022-2023 学年度第二学期第一阶段质量检测高一数学科试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A=[1，+∞），集合B={ x︳0A.[1，2） B.（1，2） C.（1，+∞） D.[1，+∞）
2.若非向量 、满足︱︱=2︱︱，且（-）⊥，则向量、的夹角为（
A. B. C. D.
3.已知f（x）=则f（3）=（ ）
A. - B. C. D. 2
4.已知tanα=3，则sinαcosα=（ ）
A. B. C. D.
5．在△ABC中，已知D是AB边上一点，且 = + ，则（ ）
A.=2 B. = C.=2 D. =
6.若0<α<，0<β <，cos(α+β)=，sin(β－)=，则cos（α+）=（ ）
A. B. C. D.
7.在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在BE上，若 =x+，则x =（ ）
A. B. C. D.
8.对于函数y= f（x），若存在非零常数x，使f（x）+ f（－x）=0，则称点（x0，f（x0））是
曲线f（x）的“优美点”.已知f（x）=,则曲线f（x）的“优美点”个数为（ ）
A.1 B.2 C.4 D.6
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，至少有两项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分
9.给出下列命题正确的是（ ）
A.空间中所有的单位向量都相等
B.长度相等且方向相反的两个向量是相反向量
C.若、满足︱︱>︱︱，且、同向，则＞
D.对于任意向量、，必有︱+︱≤︱︱+︱︱
10.函数f（x）= sin（ωx +φ）（ω>0，︳φ︳<）的部分图象如图所示，则（ ）
11.德国著名数学家狄利克雷第一个引入了现代函数的概念，是解析数论的创始人，狄利克雷函数就以其名命名，其解析式为D（x）= ，狄利克雷函数的发现改变了数学家们对“函数是连续的"的认识，也使数学家们更加认可函数的对应说定义，关于函数D（x）有以下四个命题，其中真命题是（ ）
A.函数D（x）是奇函数 B. x，y∈R，D（xy）= D（x）+ D（y）
C.函数 D（D（x））是偶函数 D. x∈R，a∈Q，D（a +x）= D（a －x）
12.设正实数a，b满足a+b=4，则（ ）
A.+的最小值为2 B.+的最小值为2
C的最大值为2 D. a2+b2的最小值为8
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知A（-2，4），C（- 3，- 4），且 =3，则点M的坐标为_______
14.幂函数f（x）=(m2- 2m- 2)x m在区间（0，+∞）上单调递增，则实数m的值为_______
15.若关于x的不等式 ax2 +2ax-1<0的解集为R，则实数a 的取值范围是______________
16.若函数f（x）= sin ωx（2cosωx-2sinωx）+1- （ω＞0）在(0，)上有四个零点，则实数ω的取值范围是____________
四、解答题：本题共6小题，第17题满分10分，其他5个小题满分均为12分，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（本小题 10 分）
已知︱︱=4，︱︱=2，且与夹角为120°，求：
（1）︱2- ︱
（2）与+ 的夹角。
18.（本小题 12 分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边的两个锐角α、β，它们的终边分别交单位圆于A、B两点，已知A、B两点的横坐标分别为和
（1）求sinα、sinβ的值：
（2）求cos（α+β）、sin（α+2β）的值：
19.（本小题 12 分）已知函数f（x）= sinxcosx - cos2x+
（1）求f（x）的单调递减区间：
（2）当x∈[- ， ]时，求不等式f（x）<的解集
20．（本小题12分）
已知函数f（x）=Asin（ωx +φ）（其中A>0，ω>0，︳φ︳<）的图像如图所示
（1）求函数f（x）的解析式：
（2）若将函数y= f（x）的图像上的所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的3倍，得到函数g（x）的图像，求当x∈[0， ]时，函数y= g（x）的值域.
21.（本小题 12 分）党的二十大大报告明确要求：我们要构建高水平社会主义市场经济体制，坚持和完善社会主义基本经济制度，毫不动摇巩固和发展公有制经济，毫不动摇鼓励、支持、引导非公有制经济发展，充分发挥市场在资源配置中的决定性作用，更好发挥政府作用.这为我们深入推进非公有制企业改革发展指明了方向，提供了根本遵循.某非公有制企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产A、B两种产品，根据市场调查与市场预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图（1）；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图（2）（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）
（1）分别求出A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式
（2）该企业已筹集到 10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？
22.（本小题 12分）函数f（x）= 定义在R上的奇函数
（1）求 m 的值：
（2）判断f（x）的单调性，并用定义证明；
（3）解关于x的不等式 f（x2- x）+ f（a- ax）<0
参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
A B C B A C C C
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，至少有两项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分
9 10 11 12
BD ACD BCD CD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. (0，20)
14. 3
15. (-1，0]
16. (，]
四、解答题：本题共6小题，第17题满分10分，其他5个小题满分均为12分，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.解（1）∵︱︱=4，︱︱=2，且与夹角为120°
∴·=︱︱·︱︱·cos120°=4×2×（－）=－4
∴︱2- ︱=
=
=
（2）∵︱+ ︱===
·（+ ）==42－4=12
∴cos〈，+ 〉=
∴〈，+ 〉=
18.解：（1）由三角函数的定义可知cosα=，cosβ=
∵α为锐角，则sinα>0
∴
同理可得：
∴
（2）∵ cosα=，cosβ=，
∴
∵
∴
19解：（1）∵ f（x）= sinxcosx - cos2x+
=sin2x-（1+ cos2x）+
=sin2x- cos2x
= sin（2x-）
∴函数f（x）的最小正周期：
解得：
∴函数f（x）的单调减区间为
（2）∵函数f（x）=sin（2x-）<
∴ 2kπ- ≤2x-≤2kπ+ ，k∈Z 或 2kπ+≤2x-≤2kπ+π， k∈Z
则 kπ- ≤x≤kπ+ ，k∈Z 或kπ+≤x≤kπ+ ，k∈Z
∵x∈[- ， ]
∴- ≤x≤ 或 ≤x≤
∴当x∈[- ， ]时，求不等式f（x）<的解集为：[- ，] ∪ [，]
20．解：（1）根据图象可得：A=1，·= -
解得：ω =2
∴f（x）=sin（2x +φ）
∴2×+φ=π+2kπ
∴φ=+2kπ
∵︳φ︳<
∴φ=
∴f（x）=sin（2x +）
（2）将函数y= f（x）的图像上的所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的3倍，得到函数
g（x）=sin（x +）
当x∈[0， ] 时
x +∈[， ]
∴当x += 即x=；g（x）的最大值为1
当x += 即x=；g（x）的最小值为-
综上：g（x）的值域为[- ，1]
21.解：（1）设甲、乙两种产品分别投资万元（x>0），所获利润分别为f（x）、g（x）万元，
由题意可设f（x）= k1x ，g（x）= k2
根据图象f（2）= 1， g（4）= 4
∴k1= ， k2=2
f（x）=x ，g（x）=2
（2）设B产品投入x万元，A产品投入（10- x）万元，该企业可获总利润为万元，
∴=（10- x）+2 （0≤x≤10）
令 =t，t∈[0，]，则
=- t2+2t+5=- （t-2）2+7
∴当t=2时，max =7，此时x =4，10- x =6.
∴当A、B两种产品分别投入6万元、4万元时，可使该企业获得最大利润7万元.
22.解：（1）∵ f（x）是定义在R上的奇函数
∴
∴
∴
（2）f（x）在R上单调递增
由（1）得：
设
∴
∵
∴，即
∴f（x）在R上单调递增
（3）∵f（x）在R上单调递增，且是奇函数
∴f（x2- x）+ f（a- ax）<0 等价于f（x2- x）<- f（a- ax）
∴f（x2- x）< f（ax- a）
∴x2- x< ax- a
∴x2- (a +1) x+ a <0
∴(x - 1) (x- a ) <0
所以，当a >1时，原不等式的解集为（1，a）；
当a <1时，原不等式的解集为（a，l）；
当a =1时，原不等式的解集为空集.