8.3.3球体的表面积与体积--2022-2023学年高一数学同步精讲课件（共26张PPT）

(共26张PPT)
§8.3.3 球体的表面积与体积
§8.3 简单几何体的表面积与体积
球体的表面积和体积公式的推导
球体的表面积和体积公式的应用
球的切接问题
小结及随堂练习
温故知新
表面积 体积
多 面 体 棱柱 =
棱锥 =
棱台 =
旋 转 体 圆柱 =
圆锥 =
圆台 =
球体的表面积和体积公式的推导
01
讲授新知
设球的半径为，它的表面积和体积只与半径有关，都是以为自变量的函数。
事实上，如果球的半径为，那么它的表面积是：
它的体积是：
探究新知
这两个公式怎么推导出来的呢？
①先探究球的体积公式
思路1：利用容器水位变换算体积
能求出体积，但没有计算公式
思路2：根据圆柱和圆锥公式猜测体积公式
下图中三个旋转体的高都等于底面半径
探究新知
验证：
祖暅原理
幂势既同，则积不容异
探究新知
结论：
探究新知
②再探究球的表面积公式
我国数学家刘徽为推导圆的面积公式而发明了“倍边法割圆术”.他用加倍的方式不断增加圆内接正多边形的边数，使其面积与圆的面积之差更小，“割之弥细，所失弥小”.这样重复下去，就达到了“割之又割，以至于不可再割，则与圆合体而无所失矣”.这是世界上最早的“极限”思想.
探究新知
②再探究球的表面积公式
小三角形面积和
思路总结：先分割，再求和
探究新知
②再探究球的表面积公式
球的体积，等于所有小棱锥的体积和
极限思想
球体的表面积和体积公式的推导
02
应用新知
题型一：球的表面积和体积
例1.如图，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是，
圆柱高.如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要涂料，
那么给个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？(取)
解：一个浮标的表面积为，
所以给个这样的浮标涂防水漆约需涂料.
例2.如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比.
解：设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为.
∵，，
∴.
应用新知
题型一：球的表面积和体积
本节我们学习了柱体、锥体、台体、球的表面积与体积的计算方法.在生产、生活中遇到的物体，往往形状比较复杂，但很多物体都可以看作是由这些简单几何体组合而成的，它们的表面积与体积可以利用这些简单几何体的表面积与体积来计算.
1.球的体积与表面积的求法：必须知道半径或者通过条件能求出半径，然后代入体积或表面积公式求解.
2.关键要素：半径和球心是球的关键要素，把握住了这两点，计算球的表面积或体积的相关题目也就轻松自如了.
典例精析
题型二：球的截面问题
例3.一平面截一球得到直径为的圆面，球心到这个平面的距离是，则
该球的体积是( ).
A. B.
C. D.
解：设球心为，截面圆心为，连接，则垂直于截面圆，
如图所示.在中，，，
∴球的半径，
∴球的体积.故选B.
典例精析
题型二：球的截面问题
性质1: 用一个平面去截球，截面是圆面；
性质2: 球心和截面圆心的连线垂直于截面．
性质3: 球心到截面的距离与球的半径及截面的
半径的关系:
球的截面问题
O1
例4.已知知半径为5的球的两个平行截面圆的周长分别为6π和8π，则这
两个截面间的距离为________．
解：若两个平行截面在球心同侧，则两个截面间的距离为1；
若两个平行截面在球心异侧，则两个截面间的距离为7.
球的切接问题
03
典例精析
题型三：球的切接问题
一、类型及其含义
若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，称这个球是这个多面体的内切球，这个多面体是这个球的外切多面体。
内切球
若一个多面体的各棱都与一个球的球面相切，称这个球是这个多面体的棱切球.
棱切球
一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，称这个球是这个多面体的外接球，这个多面体是这个球的内接多面体.
外接球
典例精析
二、常用几何体及其结论——正方体
特征 半径 立体图 截面图
内切球 切点 各个面的中心
球心 正方体的中心
直径 相对两个面中心连线
棱切球 切点 各棱的中点.
球心 正方体的中心.
直径 “对棱”中点连线
外接球 切点
球心 正方体的中心.
直径 体对角线

O
O


O
O

O
A
B
C
D
O

A
B
C
D
典例精析
二、常用几何体及其结论——长方体
面对角线的长不固定，体对角线长为
长方体的不一定有内切球和棱切球
长方体必有外接球，球心是体对角线的中点
半径是球心到顶点的距离，即体对角线的一半
内切球半径等于球心到面的距离
棱切球半径等于球心到棱的距离
外接球半径等于球心到顶点的距离
二、常用几何体及其结论——正四面体
典例精析
三、半径求解方法和常用模型
1.轴截面法
2.补形法
墙角模型
汉堡模型

O

O2
C
B
A
a

O1
典例精析
题型三：球的切接问题
例5. 设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为，顶点都在一个球面上，则该球
的表面积为( ).
A. B. C. D.
解：由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为.
如图，为三棱柱上底面的中心，为球心，易知
，，所以球的半径满足
，故.故选B.
例6.若棱长为的正四面体的各个顶点都在同一个球面上，则球的表面积为______.
解：把正四面体放在正方体中，设正方体棱长为，则，
由题意知，所以.
表面积 体积
多 面 体 棱柱 =
棱锥 =
棱台 =
旋 转 体 圆柱 =
圆锥 =
圆台 =
球体
随堂练习
1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画 “√”，错误的画“×”．
(1)决定球大小的因素是球的半径。( )
(2)球面被经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径。 (　)
(3)长方体既有外接球又有内切球。 (　)
2.①若一个球的表面积与其体积在数值上相等，则此球的半径为______.
②如果三个球的半径之比是1：2：3，那么最大球的表面积是其余两个球的表
面积之和的______倍.
3.如图是一个奖杯的三视图，试根据奖杯的三视图计算它
的表面积和积．（可用计算工具， 尺寸如图，单位：，
取，结果取整数）
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