上海市金山中学2022-2023学年高一下学期3月素养检测(一)数学试题（含解析）

2022-2023学年上海市金山中学高一年级下学期
数学学科素养检测（一）
一 填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.
1.与角-560终边相同的最小正角是__________.（用弧度制表示）
2.已知，则__________.
3.已知是第二象限角，则终边在第__________象限.
4.在中，若，则__________.
5.写出方程在内的解集__________.
6.已知，那么__________.
7.已知函数是定义在上的奇函数，对任意，有若，则的解集是__________.
8.在中，分别是角的对边，且满足，则角的大小是__________.
9.已知，则的值为__________.
10.已知函数，若，并且，则的取值范围是__________.
11.已知是边长为2的等边三角形.如图，将的顶点与原点重合，在轴上，然后将三角形沿着顺时针滚刓，每当顶点再次回落到轴上时，将相邻两个之间的距离称为“一个周期”，给出以下四个结论：
①一个周期是6；
②完成一个周期，顶点的轨迹是一个半圆；
③完成一个周期，顶点的轨迹长度是；
④完成一个周期，顶点的轨迹与轴围成的面积是；
其中说法正确的是__________.
12.已知，则的最大值是__________.
二 选择题（本大题共有4小题，满分20分）每小题给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则得0分.
13.下列说法正确是（ ）
A.角60和角600是终边相同的角
B.第三象限角的集合为
C.终边在轴上角的集合为
D.第二象限角大于第一象限角
14.已知，其中，则（ ）
A. B. C. D.
15.在平面直角坐标系中，为第四象限角，的终边与以2为半径的圆交于点，若，则（ ）
A. B. C. D.
16.已知，且满足，有以下两个结论：
①存在常数，对任意的实数，使得的值是一个常数；
②存在常数，对任意的实数，使得的值是一个常数；
下列说法正确的是（ ）
A.结论①②都成立. B.结论①不成立②成立
C.结论①成立②不成立 D.结论①②都不成立
三 解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内 出必要的步骤
17.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知，求：
（1）化简；
（2）求的值；
18.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知，
（1）求的值；
（2）求的值，并确实的大小.
19.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
如图，点是锐角的终边与单位圆的交点，逆时针旋转得逆时针旋转得逆时针旋转得.
（1）若的坐标为，求点的横坐标；
（2）若点的横坐标是，求的值.
20.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）
如图所示是某斜拉式大桥图片，为了解桥的一些结构情况，学校数学兴趣小组将大桥的结构进行了简化，取其部分可抽象成图（1）所示的模型，其中桥塔与桥面垂直，通过测量得知，当为中点时，.
（1）求的长；
（2）设，写出与的函数关系式；
（3）已知命题：函数在内为严格增函数；求证该命题为真命题，并用该命题求解在线段的何处时，达到最大，最大值为多少？
21.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知函数，其中为常数.
（1）该函数在严格单调，求的取值范围；
（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围；
（3）若方程在内有且仅有三个互异实数解，求实数的取值范围.
2022-2023学年上海市金山中学高一年级下学期
数学学科素养检测（一）
一 填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.
1.【答案】
【解析】与角-560终边相同的角表示以
当时，取到最小正角160，化为弧度制为.
2.【答案】
【解析】，
，
.
3.【答案】一和三
【解析】由题意知，
则，
当为偶数讨，终边在第一象限，
当为奇数时，终边在第三象限.
4.【答案】或
【解析】由正弦定理，得，
或.
5.【答案】
【解析】，
，或，
，或
6.【答案】
【解析】.
7.【答案】
【解析】因为对任意，有，
所以在上是增函数.
又因为函数是定义在上的奇函数，且，
所以在上也是增函数，且，
当时，，
当时，，
则的解集是.
8.【答案】
【解析】，
，
，
，
.
9.【答案】
【解析】，
，
，
.
10.【答案】
【解析】画出函数的图像如下：
观察图像由对称性可得，即，
又，
则，
令，
由一次函数图像可知，
的取值范围为.
11.【答案】①③
【解析】如下图：
沿着轴顺时针滚动完成一个周期的过程如下：
第一步，绕点顺时针旋转至线段落到轴上位置，得到，此时
顶点的轨迹是以为圆心，为半径的一段圆弧，即顶点由原点沿运动至位置；
第二步，绕点顺时针旋转至线段落在轴上位置，得到，
此时顶点的轨迹是以为圆心，为半行的一段圆弧，即顶点由沿运动
至位置，落到轴，完成一个周期.
对于①，一个周期，故①正确：
对于②，如佟所示，完成一个周期，顶点的轨迹是和组成的曲线，不是半圆，
故②错误；
对于③，由已知，
的 长的弧长，
完成一个周期，顶点的轨迹长度为，故③正确；
如图④，如图，完成一个周期，顶点的轨迹与软围成的图形为扇形，扇形
与的面积和，，
，
等边边长为，
完成个周期，顶点的轨迹与轴围成的面积是，故①错误.
12.【答案】
【解析】，
，
即，
，即
所以
当且，即，等号成立，取得最大值.
二 选择题（本大题共有4小题，满分20分）每小题给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则得0分.
13.【答案】C
【解析】利用象限角，轴线角的概念即可求解.
14.【答案】C
【解析】
故选C.
15.【答案】A
【解析】在平面直角坐标系中，为第四象限角，
角的终边与半径为2的圆交于点，
，故选
16.【答案】B
【解析】由题意知
，
，
不存在常数，对任意的实数，使得的值是一个常数，故①错误；
，
，
存在常数，对任意的实数，使得的值是一个常数，
故②正确，故选B.
三 解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内 出必要的步骤
17.【答案】（1）；（2）1
【解析】（1）.
（2），
18.【答案】（1）（2）
【解析】（1），山
又，
.
（2）由（1）知，，
，
.
19.【答案】（1）；（2）见解析
【解析】（1）因为点，根据二角函数的定义可得，
根据题意可知点的横坐标为：
（2）根掂题意可知点的横坐标为，
因为，所以，
所以当为奇数时，，所以，
所以，
所以.
所以当为偶数时，，所以，
所以，
所以.
20.【答案】（1）75：（2）见解析；（3）见解析
【解析】（1）设，则，
由，解得.
（2）设，则，
所以.
（3）任取，且，
，
所以命题成立.
因为，所以，即为锐角，
令，则，
所以，
所以，
当且仅当时，即，
所以时，最大.
21.【答案】（1）或；（2）（3）
【解析】（1）由题意知或，解得或.
（2）任意的恒成立，即对任意的
恒成立
因办在上单调递增，
所以，
令，由基本不等式可知，当且仅当时取等号，
所以，
所以，即实数的取值范围是.
（3）令，则方程，即，
设是方程的两根，
则方程在内有且只有三个实数解等价于且.
或H.，或且，
令，对称轴为，且.
①当且.时，，解得；
②当且时，，解得；
③当且时，与相矛盾，不合题意.
综上，实数的取值范围.