育才中学2022-2023学年高一下学期3月月考
数学试卷
(试卷满分 150 分，考试时间为 120 分钟)
单选题（共8题，每题5分，共40分）
1．下列物理量：①速度；②力；③路程；④密度；⑤功.其中不是向量的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，在正六边形ABCDEF中，点O为其中心，则下列判断错误的是 （ ）
B．∥
C． D．
第3题图
3．如上图所示，单位圆上有动点A，B，当取得最大值时，等于（ ）
A．0 B． C．1 D．2
4．已知向量，，若，则（ ）
A．－1 B．6 C．－6 D．2
5．平面向量与相互垂直，已知，，且与向量的夹角是钝角，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数的部分图像如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
7．车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数 给出，的单位是辆/分，t的单位是分，则下列哪个时间段内车流量是增加的（ ）
A． B． C． D．
8．青花瓷，又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一．如图1，这是一个青花瓷圆盘．该圆盘中的两个圆的圆心重合，如图2，其中大圆半径，小圆半径，点在大圆上，过点作小圆的切线，切点分别是，，则（ ）
B．
C．4 D．5
多选题（共4题，每题5分，共20分，漏选得3分，多选、错选不得分）
9．下列结论是否正确有（ ）
A．若与都是单位向量，则
B．方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量
C．直角坐标平面上的x轴 y轴都是向量
D．若用有向线段表示的向量与不相等，则点M与N不重合
10．在中，角，，所对的边分别为，，，则下列关系式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通代数与几何的桥梁若向量，满足，，则（ ）
A． B．与的夹角为
C． D．在上的投影向量为
12．如图，在平行四边形ABCD中，已知F，E分别是靠近C，D的四等分点，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题（共4题，每题5分，共20分）
13．已知向量，，若，则______．
14．若，，三点不能构成三角形，则t=______．
15.若则____________ 第16题图
16．如图，在中，P为线段AB上一点，则，若，，且与的夹角为，则的值为_______.
四、解答题（6题，共70分）
17．（10分）如图，在平行四边形中，点是的中点，是的三等分点（，）.设，.
(1)用表示；
(2)如果，用向量的方法证明：.
18．（12分）设作用于同一点的三个力处于平衡状态，若，且与的夹角为，如图所示.
（1）求的大小；
（2）
19．（12分）已知是同一平面内的三个向量，其中.
(1)若，且，求的坐标；
(2)若，且与垂直，求与的夹角.
（12分）已知为锐角，，．
（1）求的值；（2）求的值．
21．（12分）已知，设函数．
(1)当时，分别求函数取得最大值和最小值时的值；
(2)设的内角的对应边分别是且，求的值
22．（12分）在中，，，
(1)求证：；
(2)若，，求实数的值.育才中学2022-2023学年高一下学期3月月考
数学试卷答案
单选题（共8题，每题5分，共40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D D B D A C B
二、多选题（共4题，每题5分，共20分，漏选得3分，多选、错选不得分）
题号 9 10 11 12
答案 BD BC BC AD
三、填空题（共4题，每题5分，共20分）
13. 14. 15. 16.-3
四、解答题（共6题，共70分）
17.(1)，.
(2)证明见解析.
【详解】（1）因为点是的中点，所以.
因为，,所以.
所以，.
（2）由（1）可得： ，.
因为，
所以，
所以.
18．（1）；（2）
【详解】（1）由题意，且与的夹角为，.
（2），即.，.
【点睛】本题考查向量中力的合成分解以及向量中的模长转化为数量积的计算，难度较易.对于给出向量模长之间的关系求解夹角时，可采用将模长的等式平方的方法去求解夹角.
19．(1)或 (2)
【详解】解：（1）设，，
，即.①
由，得.②
解①②得或
或.
（2），
，即.
又，
，整理得.
.
又.
20. 【答案】 （1）；（2）
解：（1）因为，，所以．
因为，所以，
因此，．
（2）因为为锐角，所以．
又因为，所以，
因此．
因为，所以，
因此，
21．(1)时最大值0；时最小值；
(2)或．
【详解】（1）由题知：，
，则，故，
∴当，即，得时取得最大值0，
当，即，得时取得最小值．
（2）由，即，又，则．
法一：由余弦定理A得：，解得：或．
法二：由正弦定理有，则或，
当时，，由勾股定理有；
当时，，则；
综上所解：或．
22．(1)证明见解析
(2)或
【详解】（1）在中，由余弦定理得：
，所以
，
，
所以
因为A，B为三角形的内角，且，所以
（2）因为，，所以点D在AC上.
由（1）知，设，
在中，由余弦定理知：
化简得：.
解得或.
当时，，；
当时，，.
综合上述，或.
