第二章 一元二次函数、方程和不等式单元检测题
第I卷（选择题）
一、单选题
1．（2022·湖北·宜昌市夷陵中学模拟预测）记集合 ，， 则（ ）
A． B．或
C． D．
【答案】A
【分析】化简集合，再由交集的定义即得.
【详解】∵或，，
所以.
故选：A.
2．（2022·江苏·苏州中学高二期末）已知集合，则A∩B=（ ）
A．{x|-2≤x<2} B．{x|-2≤x≤1} C．{x|-2≤x≤-1} D．{x|-2≤x<-1}
【答案】D
【分析】求出集合后可求.
【详解】，而或，
故，
故选：D.
3．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）设，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】先解出不等式，再判断充分性和必要性即可.
【详解】由于不等式的解集为，则可推出，反之不成立，
所以“”是“”的充分而不必要条件．
故选：A.
4．（2022·河南·新蔡县第一高级中学高二阶段练习（理））已知，下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【分析】举反例否定选项A,B,C；利用不等式的性质证明选项D正确.
【详解】对于A，当时不成立；
对于B，当时，显然不成立；
对于C，当时不成立；
对于D，因为，所以有，即成立.
故选：D．
5．（2021·新疆·和硕县高级中学高一阶段练习）关于x的一元二次不等式的解集为，则的取值范围（ ）
A．a >0 B．0
1
【答案】B
【分析】根据一元二次不等式与二次函数的关系，即可求解.
【详解】要使一元二次不等式的解集为，则需满足，
故选：B
6．（2022·全国·高一专题练习）若命题“，”的否定是假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．[﹣1，3] B．（﹣1，3）
C．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）
【答案】D
【分析】由命题的否定是假命题，可得该命题是真命题，利用求得a的取值范围．
【详解】命题“，”的否定是假命题，
则命题“，”是真命题，
即，
解得a＞3或a＜﹣1，
∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）
故选：D
7．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【分析】令，用分别乘两边再用均值不等式求解即可.
【详解】因为，且为正实数
所以
，当且仅当即时等号成立.
所以.
故选：B.
8．（2022·辽宁抚顺·高二期末）已知，，，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】B
【分析】对原式化简，然后根据基本不等式求解.
【详解】因为，，．所以，当且仅当时，等号成立．
故选：B.
二、多选题
9．（2023·全国·高三专题练习）已知，则下列不等关系中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【分析】根据不等式的性质，特值法以及基本不等式即可判断各关系式的真假．
【详解】对A，由，得，当，时，A错误；
对B，当，时，B错误；
对C，由，得，根据基本不等式知，C正确：
对D，由，得，所以，因为，所以D正确．
故选：CD．
10．（2022·福建省华安县第一中学高二期末）下列条件中，为 “关于的不等式对恒成立”的充分不必要条件的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】对讨论：；，；，结合二次函数的图象，解不等式可得的取值范围，再由充要条件的定义判断即可.
【详解】因为关于的不等式对恒成立，
当时，原不等式即为恒成立；
当时，不等式对恒成立，
可得，即，解得：.
当时，的图象开口向下，原不等式不恒成立，
综上：的取值范围为：.
所以“关于的不等式对恒成立”的充分不必要条件的有
或.
故选：BC.
11．（2021·江苏省沭阳高级中学高一期中）下列说法正确的有（ ）
A．的最小值为2
B．任意的正数， 且，都有
C．若正数、满足，则的最小值为3
D．设、为实数，若，则的最大值为
【答案】BCD
【分析】对于A、B、C选项直接用均值不等式计算即可.对于D选项，先用均值不等式计算 ，将结果代入已知得到的范围，再将配方、解出不等式即可.
【详解】选项A： ，
当 时， ，当且仅当时有最小值.
故A不正确.
选项B：
对于任意正数 ， ，而 ，所以 ，
当且仅当 时取得最大值.
所以 ，当且仅当时取得最大值.
故B正确.
选项C：对于正数， ,所以
所以
当且仅当 ，即时取得最小值.
故C正确.
选项D：因
所以 ，即
所以 ，当且仅当 时等号成立.
故D正确.
故选：BCD.
12．（2022·湖南·邵阳市第二中学高一期末）已知，，下列命题中正确的是（ ）
A．“”的最小值为
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】BD
【分析】求得最小值排除选项A；求得最小值选B；求得最小值排除选项C；求得最小值选D.
【详解】选项A：，则
令，则在上为增函数，则
故，则最小值为.判断错误；
选项B：由，，可得，
则（当且仅当时等号成立），
解之得.判断正确；
选项C：，，，
（当且仅当时等号成立），则.判断错误；
选项D： 由，可得，
则，又，，则
则
（当且仅当时等号成立），故有.判断正确.
故选：BD
第II卷（非选择题）
三、填空题
13．（2022·全国·高一专题练习）如果关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为_______.
【答案】
【分析】由解集得是方程的两实数根，利用韦达定理得，代入不等式化简后解不等式可得答案.
【详解】关于的不等式的解集为，
是方程的两实数根，且，
由韦达定理得，
，
不等式化为，
即，解得或，
故答案为：．
14．（2022·陕西汉中·高一期末）若关于x的一元二次不等式对于一切实数x都成立，则实数k的取值范围为__________.
【答案】
【分析】由判别式小于0可得．
【详解】由题意，．
故答案为：．
15．（2021·河北省曲阳县第一高级中学高三阶段练习）已知a，b∈R，且，则的最小值是 _____．
【答案】2
【分析】两次利用基本不等式即可得出结论.
【详解】∵，
∴ ，当且仅当a＝1＝b时取等号，
其最小值是2，
故答案为：2．
16.（2022·黑龙江·大庆实验中学高二期末）已知，，下面四个结论：
①；②若，则的最小值为4；③若，则；④若，则的最小值为；
其中正确结论的序号是______．（把你认为正确的结论的序号都填上）
【答案】①③④
【分析】对于①，由，得，然后变形后判断，对于②，变形后利用基本不等式判断，对于③，由不等式的性质判断，对于④，将展开由基本不等式可推导出结果
【详解】对于①，因为，所以，即，
因为，，所以，所以①正确，
对于②，因为，所以，
所以
，
当且仅当，，即时取等号，所以②错误，
对于③，因为，所以，因为，所以，所以③正确，
对于④，因为，
当且仅当，即时取等号，
因为，所以，所以，当且仅当时取等号，所以④正确，
故答案为：①③④
四、解答题
17．（2021·新疆·和硕县高级中学高一阶段练习）解下列不等式：
(1)；
(2)；
(3)；
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
【分析】利用二次方程与二次不等式的关系直接求解即可.
（1）因为，所以的解集为；
（2）因为，所以的解集为；
（3）原不等式可化为，因为，所以方程无实根，又因为的图象开口向上，所以原不等式的解集为；
18．（2022·湖南常德·高一期末）已知二次函数（为实数）
(1)若的解集为（1，2），求不等式的解集；
(2)若对任意，时，恒成立，求的最小值；
(3)若对任意，恒成立，求ab的最大值．
【答案】(1)
(2)1
(3)
【分析】（1）根据一元二次不等式的解与一元二次方程的根之间的关系即可求解.
（2）根据二次函数的性质可得，进而根据基本不等式即可求解.
（3）取得，根据判别式小于0可得，进而可得的关系，根据基本不等式即可求解
（1）依题意知，，且方程的两根为1，2由根与系数间的关系得，则．故不等式解得：，即原不等式的解集为．
（2）因为时，恒成立，故得，那，即，所以（当且仅当时等号成立）
（3）令，则，所以．对任意，恒成立，所以恒成立．所以且所以，此时，因此，当且仅当时等号成立，此时，（或）验证，成立故ab的最大值为．
19．（2022·四川广安·高一期末（理））已知不等式的解集是．
(1)求常数a的值；
(2)若关于x的不等式的解集为R，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意可得－1和3是方程的解，将代入方程中可求出a的值；
（2）由的解集为R，可得，从而可求出m的取值范围
(1)
因为不等式的解集是．
所以－1和3是方程的解，
把代入方程解得．经验证满足题意
(2)
若关于x的不等式的解集为R，即的解集为R，
所以，
解得，所以m的取值范围是．
20．（2022·福建南平·高二期末）设全集，集合，，
(1)求，
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）解一元二次不等式得集合M，按集合的交并补运算即可；
（2）利用集合间的包含关系，列不等式求解.
(1)
解：由得，
所以
由得，
所以
(2)
解：根据集合得，解得
21．（2022·四川达州·高一期末（理））（1）已知，求的最小值；
（2）已知，且，证明：．
【答案】（1）8 ；（2）证明见解析 ．
【分析】(1) 可化为，再由基本不等式求其最值；(2) 由条件可得，结合基本不等式完成证明.
【详解】解：（1）因为，所以，则，
当且仅当，即时，等号成立．所以最小值8．
（2）因为，得．
则．
所以成立，当且仅当，时等号成立，
所以.
22．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知a，b为正实数．
(1)证明：；
(2)若，证明：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用作差法证明即可；
（2）依题意可得，则，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得；
(1)
证明：
因为，所以，当且仅当时取等号，又，
所以，即；
(2)
证明：因为，，，即，
所以，
所以
当且仅当，即、时取等号，
即；第二章 一元二次函数、方程和不等式单元检测题
第I卷（选择题）
一、单选题
1．（2022·湖北·宜昌市夷陵中学模拟预测）记集合 ，， 则（ ）
A． B．或
C． D．
2．（2022·江苏·苏州中学高二期末）已知集合，则A∩B=（ ）
A．{x|-2≤x<2} B．{x|-2≤x≤1} C．{x|-2≤x≤-1} D．{x|-2≤x<-1}
3．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）设，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2022·河南·新蔡县第一高级中学高二阶段练习（理））已知，下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
5．（2021·新疆·和硕县高级中学高一阶段练习）关于x的一元二次不等式的解集为，则的取值范围（ ）
A．a >0 B．01
6．（2022·全国·高一专题练习）若命题“，”的否定是假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．[﹣1，3] B．（﹣1，3）
C．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）
7．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
8．（2022·辽宁抚顺·高二期末）已知，，，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
二、多选题
9．（2023·全国·高三专题练习）已知，则下列不等关系中正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·福建省华安县第一中学高二期末）下列条件中，为 “关于的不等式对恒成立”的充分不必要条件的有（ ）
A． B．
C． D．
11．（2021·江苏省沭阳高级中学高一期中）下列说法正确的有（ ）
A．的最小值为2
B．任意的正数， 且，都有
C．若正数、满足，则的最小值为3
D．设、为实数，若，则的最大值为
12．（2022·湖南·邵阳市第二中学高一期末）已知，，下列命题中正确的是（ ）
A．“”的最小值为
B．若，则
C．若，则
D．若，则
第II卷（非选择题）
三、填空题
13．（2022·全国·高一专题练习）如果关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为_______.
14．（2022·陕西汉中·高一期末）若关于x的一元二次不等式对于一切实数x都成立，则实数k的取值范围为__________.
15．（2021·河北省曲阳县第一高级中学高三阶段练习）已知a，b∈R，且，则的最小值是 _____．
16.（2022·黑龙江·大庆实验中学高二期末）已知，，下面四个结论：
①；②若，则的最小值为4；③若，则；④若，则的最小值为；
其中正确结论的序号是______．（把你认为正确的结论的序号都填上）
四、解答题
17．（2021·新疆·和硕县高级中学高一阶段练习）解下列不等式：
(1)；
(2)；
(3)；
18．（2022·湖南常德·高一期末）已知二次函数（为实数）
(1)若的解集为（1，2），求不等式的解集；
(2)若对任意，时，恒成立，求的最小值；
(3)若对任意，恒成立，求ab的最大值．
19．（2022·四川广安·高一期末（理））已知不等式的解集是．
(1)求常数a的值；
(2)若关于x的不等式的解集为R，求m的取值范围．
20．（2022·福建南平·高二期末）设全集，集合，，
(1)求，
(2)若，求实数的取值范围.
21．（2022·四川达州·高一期末（理））（1）已知，求的最小值；
（2）已知，且，证明：．
22．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知a，b为正实数．
(1)证明：；
(2)若，证明：．