2022-2023学年高一数学 人教A版2019选择性必修第二册 同步课件 5-2-3 简单复合函数的导数（共23张PPT）

第 5 章一元函数的导数及其应用
人教A版2019选修第一册
5.2.3 简单复合函数的导数
学习目标
1. 了解复合函数的概念．(易混点)
2．理解复合函数的求导法则，并能求简单的复合函数的导数．
(重点、易错点)

思考 如何求函数y=ln(2x－1)的导数？
一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数. 记作：y=f(g(x)).
函数y= ln(2x－1)不是由基本初等函数通过加、减、乘、除运算得到的, 所以无法用现有的方法求它的导数. 下面, 我们先分析这个函数的结构特点.
若设 ，则y=lnu，从而函数y=ln(2x－1)可以看成是由y=lnu和
复合而成的一个复合函数.
把y与u的关系记作y=f(u)，u与x的关系记作u=g(x)，那么这个“复合”过程可表示为 y=f(u)=f(g(x))= ln(2x－1).
复合函数：
例如，函数y=sin2x是由y=sinu和u=2x复合而成.
复合函数的导数法则：
一般地，对于由y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数 y=f(g(x))，它的导数与函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为
即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积，简单的理解就是复合函数的导数等于内外函数的导数之积.
问题 如何求复合函数的导数呢? 我们先来研究y=sin2x的导数.
例6 求下列函数的导数:
解：
方法技巧：
求复合函数的导数的步骤：
(1)分层：选择中间变量，写出构成它的内、外层函数.
(2)分别求导：分别求各层函数对应变量的导数.
(3)相乘：把上述求导的结果相乘.
(4)变量回代：把中间量回代.
例7 某个弹簧振子在振动过程中的位移????(单位:mm),关于时间????(单位:s)的函数满足关系式????=18sin?(2????3?????????2) .
求函数在时的导数，并解释它的实际意义。
?
典例解析
解：函数????=18sin?(2????3?????????2) 可以看作函数????=18????????????????和????=2????3?????????2的复合函数，根据复合函数的求导法则，有
????????′=????????′ ?????????′=(18????????????????)’ ?(2????3?????????2)’
=18????????????????×2????3= 12????cos?(2????3?????????2)
当????=3时，????????′=12????cos?(3????2)=0?
它表示当????=3s时，弹簧振子振动的瞬时速度为0mm/s
?
方法技巧：
将复合函数的求导与导数的实际意义结合，旨在巩固函数在某点处的导数，反映了函数在该点的瞬时变化率，体现导数揭示物体在某时刻的变化状况.
课堂练习
1. 求下列函数的导数:
解：
1. 求下列函数的导数:
解：
2. 求下列函数在给定点处的导数:
解：
解：
随堂检测
课堂小结
课堂小结：