2022-2023学年高一数学 人教A版2019选择性必修第二册 同步课件 5-3-1函数的单调性（第1课时）（共23张PPT）

第 5 章一元函数的导数及其应用
人教A版2019选修第一册
5.3.1函数的单调性（第1课时）
学习目标
1.通过具体函数图象，发现函数的单调性与导数的正负之间的关系，体会数形结合思想，发展直观想象素养。
2.能根据函数导数的正负判断函数的单调性，体会算法思想，发展数学运算素养。

在必修第一册中， 我们通过图象直观，利用不等式、方程等知识，研究了函数的单调性、周期性、奇偶性以及最大(小)值等性质.
在本章前两节中，我们学习了导数的概念和运算，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，它定量地刻画了函数的局部变化. 能否利用导数更加精确地研究函数的性质呢? 本节我们就来讨论这个问题.
我们先来研究前面学习过的高台跳水问题.
t
h
a
O
b
(1)
t
h
a
O
b
(2)
思考1 图(1)是某高台跳水运动员的重心相对于水面的高度h随时间t变化的函数h(t)=-4.9t2+4.8t+11的图象，图(2)是跳水运动员的速度v随时间t变化的函数v(t)=h'(t)=-9.8t+4.8的图象.
运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别? 如何从数学上刻画这种区别?
观察图象可以发现:
(1) 从起跳到最高点，运动员的重心处于上升
状态，离水面的高度h随时间t的增加而增加，
即h(t)单调递增. 相应地，v(t)=h'(t)>0.
(2) 从最高点到入水，运动员的重心处于下降状态，离水面的高度h随时间t的增加而减小，即h(t)单调递减. 相应地，v(t)=h'(t)<0.
思考2 我们看到，函数h(t)的单调性与h'(t)的正负有内在联系. 那么，我们能否由h'(t)的正负来判断函数h(t)的单调性呢?
对于高台跳水问题，可以发现:
当t∈(0, a)时，h′(t)>0，函数h(t)的图象是“上升”的，函数h(t)在(0, a)内单调递增；
当t∈(a, b)时，h'(t)<0，函数h(t)的图象是“下降”的，函数h(t)在(a, b)内单调递减.
这种情况是否具有一般性呢?
t
h
a
O
b
(1)
t
h
a
O
b
(2)
思考3 观察下面一些函数的图象，探讨函数的单调性与导数的正负的关系.
x
y
O
(1)
x
y
O
(2)
x
y
O
(3)
x
y
O
(4)
函数的单调性与导数的正负的关系：
如图示，导数f'(x0)表示函数y=f(x)的图象在点(x0, f(x0))处的切线的斜率，可以发现:
在x=x0处，f'(x0)>0，切线是“左下右上”的上升式，函数f(x)的图象也是上升的，函数f(x)在x=x0附近单调递增；
在x=x1处，f'(x1)<0，切线是“左上右下”的下降式，函数f(x)的图象也是下降的，函数f(x)在x=x1附近单调递减.
x
y
O
(x0, f(x0))
(x1, f(x1))
函数的单调性与导数的关系：
一般地，函数f(x)的单调性与导函数f'(x)的正负之间具有如下的关系:
在某个区间(a, b)上, 如果f′(x)>0, 那么函数y=f(x)在区间(a, b)上单调递增;
在某个区间(a, b)上, 如果f'(x)<0, 那么函数y=f(x)在区间(a, b)上单调递减.
思考1 如果在某个区间上恒有f′(x)=0，那么函数f(x)有什么特性?
函数y=f(x)在这个区间上是常数函数.
思考2 存在有限个点使得f'(x)=0, 其余点都恒有f ′(x)>0, 则f(x)有什么特性?
f(x)仍为增函数.
例如: 对于函数y=x3，y′=3x2.
当x=0时，y′=0，当x>0时，y′>0，
而函数y=x3在R上单调递增.
x
y
O
例1.利用导数判断下列函数的单调性：
(1)????(????)=????3+3????；(2)????(????)=??????????????????????，????∈(0,????)；
?
l
解：(1)因为????(????)=????3+3????，所以????’(????)=3????2+3=3(????2+1)>0.
?
所以，函数????(????)=????3+3????在????上单调递增，如图所示.
?
解：(2)因为????(????)=??????????????????????，????∈(0,????)，所以????’(????)=??????????????????1<0.
?
所以，函数????(????)=??????????????????????在(0,????)上单调递减，如图所示.
?
例1.利用导数判断下列函数的单调性：
(3)????(????)=?????1????.
?
l
解：(3)因为????(????)=1?1????，????∈(?∞，0)∪(0,+∞)，所以????’(????)=1????2>0.
?
所以，函数????(????)=1?1????在(?∞，0)和(0,+∞)上单调递增，如图所示.
?
例2.已知导函数????’(????)的下列信息：
当10；
当????<1，或????>4时，????’(????)<0；
当????=1，或????=4时，????’(????)=0.
试画出函数????(????)图象的大致形状.
?
l
解：当10，可知????(????)在区间(1,4)内单调递增；
?
当????<1，或????>4时，????’(????)<0，可知????(????)在区间(?∞,1)和(4,+∞)上都单调递减；
?
当????=1，或????=4时，????’(????)=0，这两点比较特殊，我们称它们为“临界点”.
?
综上，函数????(????)图象的大致形状如图所示.
?
课堂练习
1. 判断下列函数的单调性:
解：
解：
解：
x
y
O
a
b
c
x
y
O
a
b
c
随堂检测
1） 函数的单调性与导数的正负的关系；
在某个区间（a，b）内，如果f'(x)>0,那么函数y=f(x)在区间（a，b）上单调递增；
在某个区间（a，b）内，如果f'(x)<0,那么函数y=f(x)在区间（a，b）上单调递减；
2） 用导数判断函数单调性的步骤；
(1)求函数的定义域；
(2)求f'(x)；
(3)解不等式f'(x)>0(或f'(x)<0)；即为f(x) 的单调增（或减）区间;
3）应用导数判断函数图象；
课堂小结