第3讲 集合之间的关系4种基础题型
【考点分析】
考点一：子集的概念
如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集，记作A B(或B A)
用图形表示为
考点二：真子集的概念
如果集合A B，但存在元素x∈B，且x A，就称集合A是集合B的真子集，记作
用图形表示为
考点三：集合相等的概念
如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B
考点四：子集的性质
①任何一个集合是它本身的子集，即A A.
②对于集合A，B，C，如果A B，且B C，那么A C.
考点五：空集的概念
定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为 .
规定：空集是任何集合的子集．
【题型目录】
题型一：简单集合间关系的判断
题型二：集合之间的关系
题型三：集合的子集、真子集
题型四：两个集合相等
【典型例题】
题型一：简单集合间关系的判断
【例1】（新高考高三专题练习（多选））已知集合，则有（ ）
A． B． C． D．
【例2】设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【例3】设集合，，则，的关系为（ ）
A． B． C． D．
【例4】（2021·全国·）集合与之间的关系为（ ）
A． B． C． D．不确定
【题型专练】
1.集合，，则集合与的关系是（ ）
A． B． C． D．且
2.（2022·全国·高一专题）已知集合则的关系为（ ）
A． B． C． D．
3.（2022·陕西·长安一中高一期末）已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
4.（2022·全国·高一专题练习）集合，，之间的关系是（ ）
A．真包含于真包含于 B．真包含于
C．真包含于 D．真包含于
5.（2022·全国·高一专题练习）设是两个集合，有下列四个结论：
①若，则对任意，有；
②若，则集合中的元素个数多于集合中的元素个数；
③若，则；
④若，则一定存在，有．
其中正确结论的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
6.设集合，则集合与集合的关系是（ ）
A． B． C． D．
题型二：集合之间的关系
【例1】下列六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．3 C．4 D．6
【例2】（2022·全国·高一专题练习）以下六个写法中：①；② ；③；④ ；⑤；正确的个数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【题型专练】
1.以下六个关系式：，，， ， ，是空集，错误的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
2.下列写法：（1）；（2）；（3）；（4），其中错误写法的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3.（2022·江苏·高一专题练习）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥.正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4.已知集合，①；②；③；④；⑤.则上列式子表示正确的有几个（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
题型三：集合的子集、真子集
【例1】（2021·河北衡水市）定义集合，设，则集合的非空真子集的个数为（ ）
A．12 B．14 C．15 D．16
【例2】设，写出集合的子集，并指出其中哪些是它的真子集．
【例3】集合非空子集的个数是（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【例4】已知集合，，则满足条件的集合的个数为（ ）
A． B． C． D．
【例5】若，，1，2，3，，则满足条件的集合的个数为（ ）
A．7 B．8 C．31 D．32
【题型专练】
1．（2022·全国·高一专题练习）集合P＝{3，4，5}，Q＝{6，7}，定义＝{（a，b）|a∈P，b∈Q}，则的真子集个数为（ ）
A．31 B．63 C．32 D．64
2．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高二期末）已知集合，，则集合的子集个数为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
3．（2022·全国·高一专题练习）已知则集合的子集的个数是（ ）
A． B． C． D．
4.若集合，则的真子集个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5.已知集合满足，则满足条件的集合的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
题型四：两个集合相等
【例1】（2022·全国·高一）下列各组两个集合和表示同一集合的是（ ）
A． B．
C． D．
【例2】已知，，若集合，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【例3】（2022·重庆·高二期末）下列说法正确的是（ ）
A．任何集合都是它自身的真子集
B．集合共有4个子集
C．集合
D．集合
【例4】（2021·浙江·乐清市知临中学）若，则的值为（ ）
A． B．3 C． D．7
【例5】（2021·全国·）（多选）下列选项中的两个集合相等的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【题型专练】
1.已知集合，，（，），若，则（ ）
A． B．2 C． D．1
2.下列集合与集合相等的是（ ）
A． B．
C． D．
3.已知，，若集合，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4.（2023·全国·高三专题练习多选）下面说法中，正确的为（ ）
A． B．
C． D．第3讲 集合之间的关系4种基础题型
【考点分析】
考点一：子集的概念
如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集，记作A B(或B A)
用图形表示为
考点二：真子集的概念
如果集合A B，但存在元素x∈B，且x A，就称集合A是集合B的真子集，记作
用图形表示为
考点三：集合相等的概念
如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B
考点四：子集的性质
①任何一个集合是它本身的子集，即A A.
②对于集合A，B，C，如果A B，且B C，那么A C.
考点五：空集的概念
定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为 .
规定：空集是任何集合的子集．
【题型目录】
题型一：简单集合间关系的判断
题型二：集合之间的关系
题型三：集合的子集、真子集
题型四：两个集合相等
【典型例题】
题型一：简单集合间关系的判断
【例1】（新高考高三专题练习（多选））已知集合，则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】（1）由题得集合，由于空集是任何集合的子集，故A正确：
因为，所以CD正确，B错误.故选ACD.
【例2】设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对于集合A，当，时，，
当，时，,所以或，所以A，
故选：B．
【例3】设集合，，则，的关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
集合中的元素，满足，，
集合中的元素，满足，，
∵表示所有的奇数，表示所有的整数；
∴
故选：A.
【例4】（2021·全国·）集合与之间的关系为（ ）
A． B． C． D．不确定
【答案】C
【分析】
分别求出集合，中的元素，即可得集合，的关系，进而可得正确选项.
【详解】
由于集合，中的元素均为的整数倍，且、（、）都可表示出所有的奇数，因此．
故选：C．
【题型专练】
1.集合，，则集合与的关系是（ ）
A． B． C． D．且
【答案】D
【详解】
因为，且，，所以且．
故选：D.
2.（2022·全国·高一专题）已知集合则的关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由，即可判断集合的关系.
【详解】
解：因为，，
所以.
故选：C．
3.（2022·陕西·长安一中高一期末）已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
化简得，，再分析即可
【详解】
由题意，，，因为表示所有偶数，能表示所有整数，故
故选：B
4.（2022·全国·高一专题练习）集合，，之间的关系是（ ）
A．真包含于真包含于 B．真包含于
C．真包含于 D．真包含于
【答案】C
【解析】
【分析】
利用列举法，根据子集和真子集的定义即可求解.
【详解】
解：，，，
，，，
真包含于，
故选：C．
5.（2022·全国·高一专题练习）设是两个集合，有下列四个结论：
①若，则对任意，有；
②若，则集合中的元素个数多于集合中的元素个数；
③若，则；
④若，则一定存在，有．
其中正确结论的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【解析】
【分析】
根据子集、真子集的定义即可求解.
【详解】
解：对于①，不一定，比如，故①错误；
②若，不一定，比如，故②错误；
③若，则，但不成立，故③错误；
④若，则一定存在，有，故④正确．
所以正确结论的个数为个，
故选：D.
6.设集合，则集合与集合的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
，，
所以．
故选：D．
题型二：集合之间的关系
【例1】下列六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．3 C．4 D．6
答案：C
解析：①正确，集合中元素具有无序性；②正确，任何集合是自身的子集；③错误，表示空集，而表示的是含这个元素的集合，是元素与集合的关系，应改为；④错误，表示空集，而{0}表示含有一个元素0的集合，并非空集，应改为；⑤正确，空集是任何非空集合的真子集；⑥正确，是元素与集合的关系．
【例2】（2022·全国·高一专题练习）以下六个写法中：①；② ；③；④ ；⑤；正确的个数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据元素与集合以及集合与集合之间的关系表示方法作出判断即可.
【详解】
对于①：是集合与集合的关系，应该是，①不对；
对于②：空集是任何集合的子集，，②对；
对于③：是一个集合，是集合与集合的关系，，③不对；
对于④：根据集合的无序性可知，④对；
对于⑤：是空集，表示没有任何元素，应该是，⑤不对；
正确的是：②④．
故选：B．
【题型专练】
1.以下六个关系式：，，， ， ，是空集，错误的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【详解】
根据元素与集合间的关系可判定、正确，不正确，根据集合与集合之间的关系可判定、、是空集正确
故选：D
2.下列写法：（1）；（2）；（3）；（4），其中错误写法的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】
由集合与集合的关系可知，（1）错误；空集是任何集合的子集，（2）正确；由集合的无序性以及集合相等的定义可知，（3）正确；空集是不含任何元素的集合，（4）错误；
故选：B
3.（2022·江苏·高一专题练习）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥.正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据相等集合的概念，元素与集合、集合与集合之间的关系，空集的性质判断各项的正误.
【详解】
①集合之间只有包含、被包含关系，故错误；
②两集合中元素完全相同，它们为同一集合，则，正确；
③空集是任意集合的子集，故，正确；
④空集没有任何元素，故，错误；
⑤两个集合所研究的对象不同，故为不同集合，错误；
⑥元素与集合之间只有属于、不属于关系，故错误；
∴②③正确.
故选：B.
4.已知集合，①；②；③；④；⑤.则上列式子表示正确的有几个（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】
，故④正确，
，故①错误；，故⑤正确；，故②错误；，故③正确.
所以正确的有3个.
故选：C.
题型三：集合的子集、真子集
【例1】（2021·河北衡水市）定义集合，设，则集合的非空真子集的个数为（ ）
A．12 B．14 C．15 D．16
【答案】B
【解析】，所以集合的非空真子集的个数为，故选：B.
【例2】设，写出集合的子集，并指出其中哪些是它的真子集．
解：由(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0，得(x－4)(x＋1)(x＋4)2＝0，
解方程得x＝－4或x＝－1或x＝4.
故集合A＝{－4，－1,4}．
由0个元素构成的子集为；
由1个元素构成的子集为{－4}，{－1}，{4}；
由2个元素构成的子集为{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}；
由3个元素构成的子集为{－4，－1,4}．
因此集合A的子集为，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}，{－4，－1,4}．
真子集为，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}．
【例3】集合非空子集的个数是（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】C
【详解】
∵集合A＝{a，b，c，d}中有4个元素，
∴非空子集的个数为：24﹣1＝15，
故选：C.
【例4】已知集合，，则满足条件的集合的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
由，则集合C中必有元素1,2，而元素3,4,5可以没有，可以有1个，或2个，或3个.
即满足条件的集合C为：，，，，，
，，共8个
故选：C
【例5】若，，1，2，3，，则满足条件的集合的个数为（ ）
A．7 B．8 C．31 D．32
【答案】B
【详解】
由题意，因为，
所以集合中至少含有1，2两个元素，至多含有0，1，2，3，4
这5个元素，因此集合的个数即为集合的子集个数，即为个.
故选：．
【题型专练】
1．（2022·全国·高一专题练习）集合P＝{3，4，5}，Q＝{6，7}，定义＝{（a，b）|a∈P，b∈Q}，则的真子集个数为（ ）
A．31 B．63 C．32 D．64
【答案】B
【解析】
【分析】
根据条件即可求出集合P*Q的元素个数，从而可得出集合P*Q的真子集个数．
【详解】
解：根据题意得，，则中有6个元素，
∴的真子集个数为26﹣1＝63个．
故选：B．
2．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高二期末）已知集合，，则集合的子集个数为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】B
【解析】
【分析】
先求交集中的元素，根据元素个数可得子集个数.
【详解】
由解得或，
所以，有两个元素，
所以的子集个数为.
故选：B
3．（2022·全国·高一专题练习）已知则集合的子集的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由，可得为的正约数，又，从而即可求解.
【详解】
解：因为，所以，
又，所以，
所以集合，所以集合的子集个数为个．
故选：B．
4.若集合，则的真子集个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】
因为集合，所有集合，
所以A的真子集个数为：.
故选：C
5.已知集合满足，则满足条件的集合的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【详解】
因为集合满足，
所以满足条件的集合有：，
即集合的个数是3，
故选：B.
考点四：两个集合相等
【例1】（2022·全国·高一）下列各组两个集合和表示同一集合的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用集合相等的定义逐一判断求解.
【详解】
解：A选项中集合中的元素为无理数，而中的元素为有理数，故；
B选项中集合中的元素为实数，而中的元素为有序数对，故；
C选项中因为，则集合，故；
D选项中集合中的元素为0，1，而中的元素为1，故．
故选：C．
【例2】已知，，若集合，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
因为，
所以，解得或，
当时，不满足集合元素的互异性，
故，，，
故选：B.
【例3】（2022·重庆·高二期末）下列说法正确的是（ ）
A．任何集合都是它自身的真子集
B．集合共有4个子集
C．集合
D．集合
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据集合的性质依次判断即可.
【详解】
对A，空集不是它自身的真子集，故A错误；
对B，因为集合中有2个元素，所以有个子集，故B正确；
对C，因为两个集合中的元素均为被3除余1的所有整数，所以两个集合相等，故C正确；
对D，因为，当时，，所以，但，故两个集合不相等，故D错误.
故选：BC.
【例4】（2021·浙江·乐清市知临中学）若，则的值为（ ）
A． B．3 C． D．7
【答案】C
【分析】
由一元二次方程的根与系数的关系，求得P，q的值，由此可得选项.
【详解】
因为，
所以，解得，
所以.
故选：C.
【例5】（2021·全国·）（多选）下列选项中的两个集合相等的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】AC
【分析】
对于A、C：直接解出集合P、Q，即可判断；
对于B：取特殊值1，由，而，即可判断；
对于D：由集合P、Q的类别不一样，即可判断.
【详解】
对于A，，，所以P和Q都只含有两个元素1，2，所以；故A正确；
对于B，，而，所以；故B错误；
对于C，，，所以；故C正确；
对于D，集合P是数集，而集合Q是点集，所以．
故选：AC．
【题型专练】
1.已知集合，，（，），若，则（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】D
【详解】
∵集合，，且，
∴，或，
先考虑，解得，
此时，，满足题意，
∴；
再考虑，解得，
此时，，不满足题意，
综上，
故选：D
2.下列集合与集合相等的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
集合表示数字和的集合.
对于A：集合中的元素代表点，与集合不同，A错误；
对于B：集合中的元素代表点，与集合不同，B错误；
对于C：由得：或，与集合元素相同，C正确；
对于D：表示两个代数式的集合，与集合不同，D错误.
故选：C.
3.已知，，若集合，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
由题意，集合，可得，即，
所以，可得，解得，
所以,
即的值.
故选：A.
4.（2023·全国·高三专题练习多选）下面说法中，正确的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】
【分析】
根据集合的定义，表示方法及集合相等的条件逐个分析判断
【详解】
解：方程中x的取值范围为R，所以，同理，所以A正确；
表示直线上点的集合，而，所以，所以B错误；
集合，都表示大于2的实数构成的集合，所以C正确；
由于集合的元素具有无序性，所以，所以D正确．
故选：ACD．
