第5讲 集合的基本运算6种题型总结
【考点分析】
考点一：并集的概念
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：（读作“A并B”），即．用Venn图表示为：
考点二：并集的性质
对于任意两个集合A，B，根据并集的概念可得：
①，； ②；③； ④．
考点三：交集的概念
一般地，由集合和集合中的公共元素组成的集合，称为A与B的交集，记作：（读作“A交B”），即．用Venn图表示如图所示：
考点四：交集的性质
①； ②；③； ④．
考点五：全集的概念
一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U，是相对于所研究问题而言的一个相对概念．
注意：“全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，它是依据具体的问题来加以选择的．例如：我们常把实数集看作全集，而当我们在自然数范围内研究问题时，就把自然数集看作全集．
考点六：补集的概念
对于一个集合A，由全集U中除去集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作，即．用Venn图表示如图所示：
【题型目录】
题型一：集合的交集运算
题型二：集合的并集运算
题型三：集合的补集运算
题型四：集合的交集、并集与补集的混合运算
题型五：已知集合的交集、并集求参数
题型六：韦恩图在集合运算中的应用
【典型例题】
题型一：集合的交集运算
【例1】已知集合，，则（ ）．
A. B. C. D.
【
例2】（2022·云南文山·高二期末（文））已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【例3】（2020·新课标Ⅲ）已知集合，，则中元素的个数为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
【例4】（2022·青海玉树·高三阶段练习（理））设集合，则（ ）
A． B． C． D．
【例5】（2022·黑龙江·哈尔滨三中高二期末）已知集合，，则集合的子集个数为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【例6】（2022·北京·东北师范大学附属中学朝阳学校高一阶段练习）若集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【题型专练】
1.（2022新高考2卷）已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.（2022新高考1卷）若集合，则（ ）
A. B. C. D.
3.（2020·浙江卷）已知集合P=，，则PQ=（ ）
A. B.
C. D.
4.（2022·安徽·合肥工业大学附属中学高二期末）设集合．若，则实数的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．0或1或
5.（2022·湖南·高一期末）设集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．【2017·全国Ⅱ卷】设集合，．若，则
A． B．
C． D．
题型二：集合的并集运算
【例1】（2022·云南德宏·高一期末）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【例2】（2022·青海·海南藏族自治州高级中学高一期末）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【例3】（2020·山东卷）设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2A. {x|2C. {x|1≤x<4} D. {x|1【例4】（2022·安徽省六安中学高一期中）对于非空集合P，Q，定义集合间的一种运算“★”：且．如果，则（ ）
A． B．或
C．或 D．或
【例5】（2022·全国·高一专题练习）对于集合A，B，定义，．设，，则中可能含有下列元素（ ）．
A．5 B．6 C．7 D．8
【题型专练】
1.【2019·天津卷】设集合，则(A∩C)∪B＝
A． B．
C． D．
2．【2017·浙江卷】已知集合，，那么
A． B．
C． D．
3.（2022·江苏省天一中学高二期中）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
4.（2018·全国·高一课时练习）当时，若，且，则称为的一个“孤立元素”，由的所有孤立元素组成的集合称为的“孤星集”，若集合的孤星集为，集合的孤星集为，则( )
A． B．
C． D．
题型三：集合的补集运算
【例1】（2022全国卷甲卷）设全集，集合M满足，则（ ）
A. B. C. D.
【例2】（2022全国卷乙卷）设全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【例3】（2022·四川·宁南中学高一练习（理））已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【例4】（2022·陕西·武功县普集高级中学高一阶段练习）设集合，则（ ）
A． B． C． D．
【例5】已知集合，则
A． B．
C． D．
【题型专练】
1.（2022·四川甘孜·高一期末）已知集合，，，则（ ）
A．{6，8} B．{2，3，6，8} C．{2} D．{2，6，8}
2.（2022·河北·石家庄市藁城区第一中学高一阶段练习）已知全集，集合，，则（ ）
A．{1，2，3，4} B．{1，2，4，5} C．{1，4} D．{2}
3.【2018·天津卷】设全集为R，集合，，则
A． B．
C． D．
题型四：集合的交集、并集与补集的混合运算
【例1】（多选题）（2022·湖南·永州市第二中学高一阶段练习）图中的阴影表示的集合是（ ）
A． B．
C． D．
【例2】（2022·江西·金溪一中高三阶段练习（文））已知全集，集合或，，则（ ）
A． B．
C． D．
【例3】（2022·陕西·西安高级中学高一阶段练习）若{|是小于9的正整数}，{|是奇数}，{|是3的倍数}，则______
【例4】（2022·广西钦州·高一期末）已知全集，，集合．
(1)求；
(2)求．
【题型专练】
1.（2022·天津·油田三中高一阶段练习）已知全集，，，则______．
2.（2022·北京市十一学校高一期中）设集合，则________.
3.（2020·内蒙古·包头市第四中学高一期中）已知全集U=R，，，P={x|x≤0或}，求
(1)
(2)
题型五：已知集合的交集、并集求参数
【例1】（2022·全国·高三专题练习）设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2﹣4x+m﹣1＝0}，若A∩B＝{1}，则B＝（ ）
A．{1，﹣3} B．{1，0} C．{1，3} D．{1，5}
【例2】（2020·浙江师范大学附属东阳花园外国语学校高一开学考试）已知全集，集合，．
(1)若，求；．
(2)若，求实数a的取值范围．
【例3】（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高二期末（文））已知集合为全体实数集，或，.
(1)若，求；
(2)若，求实数的取值范围.
【例4】（2022·江西·赣州市赣县第三中学高一开学考试）已知集合，.
(1)若，求；
(2)若，求a的取值集合.
【题型专练】
1.（2022·山西·怀仁市第一中学校高一期末）已知集合，．
(1)若，求；
(2)若，求实数m的取值范围．
2.（2022·广东惠州·高一期末）已知全集，集合，集合．
(1)若集合中只有一个元素，求的值；
(2)若，求．
3.（2022·全国·高一单元测试）已知集合.
(1)若集合，且，求的值；
(2)若集合，且A∩C＝C，求a的取值范围.
4.（2022·湖北·车城高中高一阶段练习）已知集合，.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围.
5．（2022·福建省德化第一中学高一阶段练习）设全集，集合
(1)求；
(2)若集合，且，求a的取值范围．
题型六：韦恩图在集合运算中的应用
【例1】（2022·江西吉安·高二期末（文））设全集，集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
【例2】（2023·全国·高三专题练习）如图，三个圆的内部区域分别代表集合，，，全集为，则图中阴影部分的区域表示（ ）
A． B．
C． D．
【例3】（2022·江苏苏州·模拟预测）已知，为R的两个不相等的非空子集，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【例4】（2022·全国·模拟预测（文））设，已知两个非空集合，满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【例5】（2022·江苏·徐州市第七中学高一期中）学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，同时参加由径和球类比赛的有___________人 只参加游泳一项比赛的有___________人
【例6】（2022·湖南·高一课时练习）市场调查公司为了解某市市民在阅读报纸（日报和晚报）方面的取向，抽样调查了500个市民，调查结果显示：订阅日报的有334人，订阅晚报的有297人，其中两种都订的有150人．试问：
(1)只订日报不订晚报的有多少人？
(2)只订晚报不订日报的有多少人？
(3)至少订一种报纸的有多少人？
(4)有多少人不订报纸？
【题型专练】
1.（2022·全国·高一课时练习）如图所示，阴影部分表示的集合是（ ）
A． B．
C． D．
2.（2022·陕西·西北农林科技大学附中高二期末（文））高一某班有学生人，其中参加数学竞赛的有人，参加物理竞赛的有人，另外有人两项竞赛均不参加，则该班既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有___.人．
3.（2021·北京市第十二中学高一阶段练习）某年级先后举办了数学、历史、音乐讲座，其中有75人听了数学讲座，68人听了历史讲座，61人听了音乐讲座，17人同时听了数学、历史讲座，12人同时听了数学、音乐讲座，9人同时听了历史、音乐讲座，还有6人听了全部讲座，则听讲座人数为__________．
4.（2022·江西·九江实验中学模拟预测（理））学校运动会，某班所有同学都参加了羽毛球或乒乓球比赛，已知该班共有23人参加羽毛球赛，35人参加乒乓球赛，既参加羽毛球又参加乒乓球赛有6人，则该班学生数为______．
5．（2022·全国·高二课时练习）网络流行词“新四大发明’’是指移动支付 高铁 网购与共享单车.某中学为了解本校学生中“新四大发明”的普及情况，随机调查了100名学生，其中使用过移动支付或共享单车的学生共90名，使用过移动支付的学生共有80名，使用过共享单车的学生且使用过移动支付的学生共有60名，则该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值为___________.第5讲 集合的基本运算6种题型总结
【考点分析】
考点一：并集的概念
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：（读作“A并B”），即．用Venn图表示为：
考点二：并集的性质
对于任意两个集合A，B，根据并集的概念可得：
①，； ②；③； ④．
考点三：交集的概念
一般地，由集合和集合中的公共元素组成的集合，称为A与B的交集，记作：（读作“A交B”），即．用Venn图表示如图所示：
考点四：交集的性质
①； ②；③； ④．
考点五：全集的概念
一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U，是相对于所研究问题而言的一个相对概念．
注意：“全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，它是依据具体的问题来加以选择的．例如：我们常把实数集看作全集，而当我们在自然数范围内研究问题时，就把自然数集看作全集．
考点六：补集的概念
对于一个集合A，由全集U中除去集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作，即．用Venn图表示如图所示：
【题型目录】
题型一：集合的交集运算
题型二：集合的并集运算
题型三：集合的补集运算
题型四：集合的交集、并集与补集的混合运算
题型五：已知集合的交集、并集求参数
题型六：韦恩图在集合运算中的应用
【典型例题】
题型一：集合的交集运算
【例1】已知集合，，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】集合和中相同的元素为，所以
【例2】（2022·云南文山·高二期末（文））已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据给定条件，利用交集的定义直接求解作答.
【详解】
因集合，，
所以.
故选：C
【例3】（2020·新课标Ⅲ）已知集合，，则中元素的个数为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
【答案】C
【解析】由题意，中的元素满足，且，
由，得，
所以满足的有，
故中元素的个数为4.
【例4】（2022·青海玉树·高三阶段练习（理））设集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由交集运算求解即可.
【详解】
因为是非零自然数集，所以
故选：B
【例5】（2022·黑龙江·哈尔滨三中高二期末）已知集合，，则集合的子集个数为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】B
【解析】
【分析】
先求交集中的元素，根据元素个数可得子集个数.
【详解】
由解得或，
所以，有两个元素，
所以的子集个数为.
故选：B
【例6】（2022·北京·东北师范大学附属中学朝阳学校高一阶段练习）若集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据条件探求集合P，Q的公共元素的规律，再根据规律即可判断作答.
【详解】
依题意，当，时，，，如果它们是相同元素，
则当，时，，即，于是得是3的整数倍，
令，则，此时，，因此，集合P，Q的公共元素是，
所以.
故选：D
【题型专练】
1.（2022新高考2卷）已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出集合后可求.
【详解】，故，
故选：B.
2.（2022新高考1卷）若集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出集合后可求.
详解】，故，
故选：D
3.（2020·浙江卷）已知集合P=，，则PQ=（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
4.（2022·安徽·合肥工业大学附属中学高二期末）设集合．若，则实数的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．0或1或
【答案】D
【解析】
【分析】
对进行分类讨论，结合求得的值.
【详解】
由题可得，，
当时，，满足；
当时， ，则或，即.
综上所述，或.
故选：D.
5.（2022·湖南·高一期末）设集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用交集的定义和相等集合的定义即可直接得出结果.
【详解】
因为，
，
，
所以.
故选：B
6．【2017·全国Ⅱ卷】设集合，．若，则
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由得，
即是方程的根，所以，
.
故选C．
题型二：集合的并集运算
【例1】（2022·云南德宏·高一期末）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
直接运用集合并集的定义进行求解即可.
【详解】
因为，
所以，
故选：A
【例2】（2022·青海·海南藏族自治州高级中学高一期末）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，，，再根据集合并集运算求解即可.
【详解】
解：因为，，
所以
故选：C
【例3】（2020·山东卷）设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2A. {x|2C. {x|1≤x<4} D. {x|1【答案】C
【解析】
【例4】（2022·安徽省六安中学高一期中）对于非空集合P，Q，定义集合间的一种运算“★”：且．如果，则（ ）
A． B．或
C．或 D．或
【答案】C
【解析】
【分析】
先确定，计算和，然后由新定义得结论．
【详解】
由题意，，
则，，
∴或．
故选：C．
【点睛】
本题考查集合新定义运算，解题关键是正确理解新定义，确定新定义与集合的交并补运算之间的关系．从而把新定义运算转化为集合的交并补运算．
【例5】（2022·全国·高一专题练习）对于集合A，B，定义，．设，，则中可能含有下列元素（ ）．
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】CD
【解析】
【分析】
根据所给定义求出，，即可求出，从而判断即可；
【详解】
解：因为，，所以，
∴．
故选：CD
【题型专练】
1.【2019·天津卷】设集合，则(A∩C)∪B＝
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为A∩C＝{1，2}，故(A∩C)∪B＝{1，2，3，4}，故选D。
2．【2017·浙江卷】已知集合，，那么
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】利用数轴，取中的所有元素，得．
故选A.
3.（2022·江苏省天一中学高二期中）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据集合的并集运算求解即可.
【详解】
，
故选：B
4.（2018·全国·高一课时练习）当时，若，且，则称为的一个“孤立元素”，由的所有孤立元素组成的集合称为的“孤星集”，若集合的孤星集为，集合的孤星集为，则( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用孤星集的概念，由集合M={0，1，3}，集合N={0，3，4}，先求出M′，N′，再由并集的运算，求出M′∪N′．
【详解】
由条件及孤星集的定义知，，，则．
故选D.
题型三：集合的补集运算
【例1】（2022全国卷甲卷）设全集，集合M满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】先写出集合,然后逐项验证即可
【详解】由题知,对比选项知，正确,错误，故选:
【例2】（2022全国卷乙卷）设全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】解方程求出集合B,再由集合的运算即可得解.【详解】由题意，，所以,所以.故选：D.
【例3】（2022·四川·宁南中学高一练习（理））已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
直接求出.
【详解】
因为集合，集合，所以.
故选：C.
【例4】（2022·陕西·武功县普集高级中学高一阶段练习）设集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据补集运算得，再根据交集运算求解即可.
【详解】
解：因为，
所以，
所以
故选：B
【例5】已知集合，则
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
所以可以求得.
故选B．
【题型专练】
1.（2022·四川甘孜·高一期末）已知集合，，，则（ ）
A．{6，8} B．{2，3，6，8} C．{2} D．{2，6，8}
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知，先有集合和集合求解出，再根据集合求解出即可.
【详解】
因为，，所以，
又因为，所以.
故选：A.
2.（2022·河北·石家庄市藁城区第一中学高一阶段练习）已知全集，集合，，则（ ）
A．{1，2，3，4} B．{1，2，4，5} C．{1，4} D．{2}
【答案】A
【解析】
【分析】
求出，再根据集合的并集运算，求得答案。
【详解】
由题意得：，则，
故，
故选：A
3.【2018·天津卷】设全集为R，集合，，则
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得：，
结合交集的定义可得：
故选B.
题型四：集合的交集、并集与补集的混合运算
【例1】（多选题）（2022·湖南·永州市第二中学高一阶段练习）图中的阴影表示的集合是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【解析】
【分析】
根据阴影部分集合元素的特点确定集合的关系.
【详解】
由题可知，阴影部分的元素是由属于集合B，但不属于集合A的元素构成，
所以对应的集合为.
故选：AB.
【例2】（2022·江西·金溪一中高三阶段练习（文））已知全集，集合或，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出A的补集，然后再利用并集的运算规则求解.
【详解】
解：由题意得：
.
故选：D.
【例3】（2022·陕西·西安高级中学高一阶段练习）若{|是小于9的正整数}，{|是奇数}，{|是3的倍数}，则______
【答案】
【解析】
【分析】
先根据已知确定集合，A，B中的元素，再求和即得解.
【详解】
∵ {|是小于9的正整数}，{|是奇数}，{|是3的倍数}，
∴ ，则
∴ ，所以.
故答案为：.
【例4】（2022·广西钦州·高一期末）已知全集，，集合．
(1)求；
(2)求．
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）根据集合的并运算，结合已知条件，即可求得结果；
（2）先求，再求交集即可.
(1)
全集，，集合，
故.
(2)
集合，故或，
故.
【题型专练】
1.（2022·天津·油田三中高一阶段练习）已知全集，，，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】
先求集合A的补集，再求A的补集与集合B的交集即可.
【详解】
由得，
又，则
故答案为：
2.（2022·北京市十一学校高一期中）设集合，则________.
【答案】
【解析】
【分析】
先求得，由此求得正确答案.
【详解】
，
，
，
所以.
故答案为：
3.（2020·内蒙古·包头市第四中学高一期中）已知全集U=R，，，P={x|x≤0或}，求
(1)
(2)
【答案】(1)或}
(2)
【解析】
【分析】
（1）先进行补集运算，再进行并集运算即可；
（2）先求和，再求交集即可.
(1)
因为，{或}，
所以{或}，
所以{或}.
(2)
因为，，{或}
所以，，
所以.
题型五：已知集合的交集、并集求参数
【例1】（2022·全国·高三专题练习）设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2﹣4x+m﹣1＝0}，若A∩B＝{1}，则B＝（ ）
A．{1，﹣3} B．{1，0} C．{1，3} D．{1，5}
【答案】C
【解析】
【分析】
由知， ，x＝1是x2﹣4x+m﹣1＝0的解，解出，代入集合，用列举写出即可.
【详解】
解：∵集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2﹣4x+m﹣1＝0}，A∩B＝{1}，
∴x＝1是x2﹣4x+m﹣1＝0的解，∴1﹣4+m﹣1＝0，
解得m＝4，
∴B＝{x|x2﹣4x+m﹣1＝0}＝{x|x2﹣4x+3＝0}＝{1，3}．
故选：C．
【例2】（2020·浙江师范大学附属东阳花园外国语学校高一开学考试）已知全集，集合，．
(1)若，求；．
(2)若，求实数a的取值范围．
【答案】(1)，或．
(2)．
【解析】
【分析】
（1）根据集合的运算法则计算；
（2）由得，结合包含关系可得参数范围．
（1）时，，，又或，所以或．
（2）由得，若，即，则满足题意，若，则，无解，综上，．
【例3】（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高二期末（文））已知集合为全体实数集，或，.
(1)若，求；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）将代入，求出M的补集，再利用交集的定义求解作答.
（2）根据包含关系的定义，按集合N是否是空集分类求解作答.
(1)当时，，而，
所以.
(2)因，则当，即时，，此时满足，即，
当，即时，，则有或，即或，因此，
所以实数的取值范围为.
【例4】（2022·江西·赣州市赣县第三中学高一开学考试）已知集合，.
(1)若，求；
(2)若，求a的取值集合.
【答案】(1)
(2)或.
【解析】
【分析】
（1）化简集合A，B，直接根据交集运算求解；
（2）讨论判别式，求出集合B，检验是否满足即可求解.
(1)
当时，.
因为，
所以.
(2)
因为，所以.
当时，解得，，符合题意；
当，即时，，符合题意；
当，即时，，
则解得.
综上，a的取值集合是或.
【题型专练】
1.（2022·山西·怀仁市第一中学校高一期末）已知集合，．
(1)若，求；
(2)若，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】
(1)时，故.
(2)因为，故，
若即时，，符合；
若，则，解得，
综上，.
2.（2022·广东惠州·高一期末）已知全集，集合，集合．
(1)若集合中只有一个元素，求的值；
(2)若，求．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)因为集合中只有一个元素，所以，
(2)当时，，，，
此时，，
3.（2022·全国·高一单元测试）已知集合.
(1)若集合，且，求的值；
(2)若集合，且A∩C＝C，求a的取值范围.
【答案】(1)5
(2)﹛或﹜
【解析】
(1)由x2﹣8x+12＝0得x＝2或x＝6，∴A＝{2，6}，
因为A＝B，所以，解得，
故a＝5.
(2)因为A∩C＝C，所以C A.
当C＝ 时，△＝1﹣24a＜0，解得a；
当C＝{2}时，1﹣24a＝0且22a﹣2+6＝0，此时无解；
当C＝{6}时，1﹣24a＝0.且62a﹣6+6＝0，此时无解或a＝0.
综上，a的取值范围为﹛或﹜.
4.（2022·湖北·车城高中高一阶段练习）已知集合，.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
(1)，且
(2)，
5．（2022·福建省德化第一中学高一阶段练习）设全集，集合
(1)求；
(2)若集合，且，求a的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【解析】(1)解：，
或，，
(2)解：，，，
所以，解得.
题型六：韦恩图在集合运算中的应用
【例1】（2022·江西吉安·高二期末（文））设全集，集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
图中阴影部分表示的集合为，结合题意运算求解，注意集合的元素．
【详解】
，图中阴影部分表示的集合为．
故选：A．
【例2】（2023·全国·高三专题练习）如图，三个圆的内部区域分别代表集合，，，全集为，则图中阴影部分的区域表示（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
找到每一个选项对应的区域即得解.
【详解】
解：如图所示，
A. 对应的是区域1；
B. 对应的是区域2；
C. 对应的是区域3；
D. 对应的是区域4.
故选：B
【例3】（2022·江苏苏州·模拟预测）已知，为R的两个不相等的非空子集，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
依题意可得，结合韦恩图即可判断；
【详解】
解：依题意，所以，
则集合，与的关系如下图所示：
所以；
故选：C
【例4】（2022·全国·模拟预测（文））设，已知两个非空集合，满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用韦恩图，结合集合的交集和并集运算即可求解.
【详解】
根据题意，作出如下图韦恩图：
满足，即.
故选：B.
【例5】（2022·江苏·徐州市第七中学高一期中）学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，同时参加由径和球类比赛的有___________人 只参加游泳一项比赛的有___________人
【答案】 3 9
【解析】
【分析】
结合韦恩图，利用集合的基本运算求解.
【详解】
解：如图所示：
设A={游泳}，B={田径}，C={球类}，
由题意得：，
，
所以，
则，
，
所以，
所以参加由径和球类比赛的有3人，只参加游泳一项比赛的有9人，
故答案为：3，9
【例6】（2022·湖南·高一课时练习）市场调查公司为了解某市市民在阅读报纸（日报和晚报）方面的取向，抽样调查了500个市民，调查结果显示：订阅日报的有334人，订阅晚报的有297人，其中两种都订的有150人．试问：
(1)只订日报不订晚报的有多少人？
(2)只订晚报不订日报的有多少人？
(3)至少订一种报纸的有多少人？
(4)有多少人不订报纸？
【答案】(1)184；
(2)147；
(3)331；
(4)19.
【解析】
【分析】
被调查的500名市民构成集合U，订阅日报的有334人组成集合A，订阅晚报的有297人组成集合B，借助集合的运算即得.
(1)
设是被调查的500名市民，是订阅日报的人，订阅晚报的人，则card( U )=500，card()=150，card()=334，card()=297，
所以只订日报不订晚报的人，只订日报不订晚报的人数为334－150=184(人)；
(2)
只订晚报不订日报的人，只订晚报不订日报的人数为297－150=147(人)；
(3)
至少订一种报纸的人，至少订一种报纸的人数为334+297－150=481(人)；
(4)
不订报纸的人，不订报纸的人数为500－481=19(人).
【题型专练】
1.（2022·全国·高一课时练习）如图所示，阴影部分表示的集合是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】
【分析】
由图可得，阴影部分表示的集合包含于A，且包含于B的补集，从而得解．
【详解】
由图可知，阴影部分表示的集合包含于A，且包含于B的补集，且包含于，
∴阴影部分表示的集合为：或，
故选：AD．
2.（2022·陕西·西北农林科技大学附中高二期末（文））高一某班有学生人，其中参加数学竞赛的有人，参加物理竞赛的有人，另外有人两项竞赛均不参加，则该班既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有___.人．
【答案】
【解析】
【分析】
设该班既参加数学竞赛又参加物理竞赛的学生人数为，利用容斥原理可得出关于的等式，即可得解.
【详解】
设该班既参加数学竞赛又参加物理竞赛的学生人数为，
以集合表示该班集体，集合表示参加数学竞赛的学生组成的集合，
集合表示参加物理竞赛的学生组成的集合，如下图所示：
由题意可得，解得.
故答案为：.
3.（2021·北京市第十二中学高一阶段练习）某年级先后举办了数学、历史、音乐讲座，其中有75人听了数学讲座，68人听了历史讲座，61人听了音乐讲座，17人同时听了数学、历史讲座，12人同时听了数学、音乐讲座，9人同时听了历史、音乐讲座，还有6人听了全部讲座，则听讲座人数为__________．
【答案】172
【解析】
【分析】
画出韦恩图求解即可.
【详解】
，
（人．
故答案为：172
4.（2022·江西·九江实验中学模拟预测（理））学校运动会，某班所有同学都参加了羽毛球或乒乓球比赛，已知该班共有23人参加羽毛球赛，35人参加乒乓球赛，既参加羽毛球又参加乒乓球赛有6人，则该班学生数为______．
【答案】
【解析】
【分析】
依题意画出韦恩图，计算可得；
【详解】
解：设参加羽毛球赛为集合，参加乒乓球赛为集合，
依题意可得如下韦恩图：
所以该班一共有人；
故答案为：
5．（2022·全国·高二课时练习）网络流行词“新四大发明’’是指移动支付 高铁 网购与共享单车.某中学为了解本校学生中“新四大发明”的普及情况，随机调查了100名学生，其中使用过移动支付或共享单车的学生共90名，使用过移动支付的学生共有80名，使用过共享单车的学生且使用过移动支付的学生共有60名，则该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值为___________.
【答案】##0.7
【解析】
【分析】
利用韦恩图，根据题中的信息得出样本中使用共享单车和移动支付的学生人数，将人数除以可得出所求结果.
【详解】
根据题意，将使用过移动支付 共享单车的人数用如图所示的韦恩图表示，
所以该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值为.
故答案为：.
