第8讲 等式性质与不等式性质6种题型
【考点分析】
考点一：两个实数的加、乘运算结果的符号的性质：
①两个同号实数相加，和的符号不变，即：；
②两个同号实数相乘，积是正数，即：；
③两个异号实数相乘，积是负数，即：
④任何实数的平方为非负数，0的平方为0，即：，.
考点二：比较两个实数大小的方法
①作差法：对任意两个实数,
1.；2.；3..
②作商法：任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小.
1.；2.；3..
③中间量法：
若且，则，一般选择0或1为中间量.
考点三：不等式的性质
①基本性质有：
1.对称性：
2.传递性：
3.可加性：(c∈R)
4.可乘性：a>b，
②运算性质
1.可加法则：
2.可乘法则：
3.可乘方性：
【题型目录】
题型一：作差法比较两数(式)的大小
题型二：作商法比较两数(式)的大小
题型三：利用不等式的性质判断命题真假
题型四：利用不等式的性质证明不等式
题型五：利用不等式的性质比较大小
题型六：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围
【典型例题】
题型一：作差法比较两数(式)的大小
【例1】（2022·安徽·高一期中）已知，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
【例2】（2022·全国·高一课时练习）若，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【题型专练】
1.（2021·河南·濮阳市油田第二高级中学高二阶段练习（文））设，，，则P、Q的大小为（ ）
A． B． C． D．
2.（2022·新疆克孜勒苏·高一期中）已知 ， ，则 _______ ．（填“>”或“<”）
3.（2022·广西·高一阶段练习）（1）比较与的大小；
（2）已知，求证：．
4.（2022·全国·高一课时练习）已知，试比较 的大小.
5.（2021·江苏·高一单元测试）证明不等式：
（1）设，求证：；
（2）设，求证：.
题型二：作商法比较两数(式)的大小
【例1】（2021·全国·高一专题练习），则的大小关系为_______．
【例2】（2017·上海市宝山区海滨中学高一期中）如果，，那么，，从小到大的顺序是___________
【例3】（2023·全国·高三专题练习）设，比较与的大小
【题型专练】
1.（2022·全国·高一专题练习）已知：、， 且，比较的大小.
2.（2021·全国·高一课时练习）已知，求证：．
3.（2021·全国·高一课时练习）已知，，试比较与的大小；
题型三：利用不等式的性质判断命题真假
【例1】（2023·全国·高三专题练习）如果，那么下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（2022·青海西宁·高一期末）如果，则正确的是（ ）
A．若a>b，则 B．若a>b，则
C．若a>b，c>d，则a+c>b+d D．若a>b，c>d，则ac>bd
【例3】（2022·四川成都·高一期末（理））已知实数a，b，c满足，，那么下列选项中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【例4】（2022·四川成都·高一期末（文））若a，b为实数，下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【例5】（2022·江苏·镇江市实验高级中学高二期末多选题）若a，b，，则下列命题正确的是（ ）
A．若且，则 B．若，则
C．若且，则 D．
【题型专练】
1.（2021·湖北黄石·高一期中）若，下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．，若，则
C．若，则 D．，，若，则
2.（2022·贵州·高二学业考试）已知，则下列不等关系中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
3.（2022·河南驻马店·高二期末（理））若，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4.（2022·北京昌平·高二期末）已知，则下列大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5.（2022·北京海淀·高二期末）如果，那么下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
6.（2022·湖北·测试·编辑教研五高一阶段练习（多选题））下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
7.（2023·全国·高三专题练习多选题）下列命题为真命题的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，则 D．若，，则
8.（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若且，则
C．若，则 D．若，则
题型四：利用不等式的性质证明不等式
【例1】（2022·全国·高一课时练习），，，，设，证明：
【例2】（2021·全国·高一课时练习）已知，，，求证：
(1)；
(2).
【例3】（2022·全国·高一课时练习）已知下列三个不等式：①，②，③，以其中两个作为条件，余下一个作为结论，可组成几个真命题？请证明你的结论.
【题型专练】
1.（2022·湖南·高一课时练习）求证：
(1)若，且，则；
(2)若，且，同号，，则；
(3)若，且，则．
2.（2022·全国·高一专题练习）若，，，求证：
3.（2021·江苏·高一专题练习）（1）设，，证明：；
（2）设，，，证明：.
4.（2022·全国·高一课时练习）若，则.
(1)若存在常数，使得不等式对任意正数，恒成立，试求常数的值，并证明不等式：；
(2)证明不等式：.
题型五：利用不等式的性质比较大小
【例1】（2022·内蒙古·赤峰二中高一阶段练习（理））下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则
【例2】（2022·江苏·扬州大学附属中学高一期中（多选题））已知，，下列不等式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【例3】（2022·北京海淀·高二期末）如果，那么下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【题型专练】
1.（2022·广东·小榄中学高一阶段练习（多选题））对于实数，下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，，则
2.（2022·贵州贵阳·高一期末（多选题））下列说法正确的有（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3.（2022·内蒙古·赤峰市元宝山区第一中学高一期中）若，则下列不等式不能成立的是（ ）
A． B． C． D．
4.（2022·广东·深圳科学高中高一期中（多选题））下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．，则 D．若，则
题型六：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围
【例1】（2022·全国·高一专题练习）设，，求，，的范围.
【例2】（2023·全国·高三专题练习多选题）已知实数x，y满足则（ ）
A．的取值范围为 B．的取值范围为
C．的取值范围为 D．的取值范围为
【例3】（2021·福建·厦门市国祺中学高一期中）若，，，则t的取值范围为______．
【例4】（2022·河南省杞县高中高二阶段练习（理））已知，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例5】（2021·全国·高一课时练习）已知x，y为实数，满足，，则的最大值是______，此时______.
【题型专练】
1.（2022·吉林延边·高一期末）已知，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2.（2020·浙江台州·高一期中）已知且，则的取值范围是
3.（2021·河北·大名县第一中学高一阶段练习）若实数满足，，则的取值范围为________．
4.（2021·全国·高一课时练习）已知，，求的取值范围___________.
5．（2021·全国·高一课时练习）已知实数、满足，，则的最大值为___________.
6.（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知且满足，则的取值范围是
7.（2022·湖北·车城高中高一阶段练习）（1）已知，，求和的取值范围；
（2）已知，，求的取值范围.第8讲 等式性质与不等式性质6种题型
【考点分析】
考点一：两个实数的加、乘运算结果的符号的性质：
①两个同号实数相加，和的符号不变，即：；
②两个同号实数相乘，积是正数，即：；
③两个异号实数相乘，积是负数，即：
④任何实数的平方为非负数，0的平方为0，即：，.
考点二：比较两个实数大小的方法
①作差法：对任意两个实数,
1.；2.；3..
②作商法：任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小.
1.；2.；3..
③中间量法：
若且，则，一般选择0或1为中间量.
考点三：不等式的性质
①基本性质有：
1.对称性：
2.传递性：
3.可加性：(c∈R)
4.可乘性：a>b，
②运算性质
1.可加法则：
2.可乘法则：
3.可乘方性：
【题型目录】
题型一：作差法比较两数(式)的大小
题型二：作商法比较两数(式)的大小
题型三：利用不等式的性质判断命题真假
题型四：利用不等式的性质证明不等式
题型五：利用不等式的性质比较大小
题型六：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围
【典型例题】
题型一：作差法比较两数(式)的大小
【例1】（2022·安徽·高一期中）已知，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】
作差可得x-y的表达式，根据题意，分析可得x-y的正负，即可得答案.
【详解】
，
因为，所以，
又，所以，即.
故选：B
【例2】（2022·全国·高一课时练习）若，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据不等式的性质，对选项逐一判断
【详解】
对于A，，因为，故，即，故A错；
对于B，不确定符号，取则，故B错误；
对于C， ，因为，
故，即，故C正确；
对于D，，因为，
故，即，故D错误．
故选：C
【例2】（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
通过作差法，，确定符号，排除D选项；
通过作差法，，确定符号，排除C选项；
通过作差法，，确定符号，排除A选项；
【详解】
由，且，故；
由且，故；
且，故.
所以，
故选：B.
【题型专练】
1.（2021·河南·濮阳市油田第二高级中学高二阶段练习（文））设，，，则P、Q的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用作差法计算可得；
【详解】
解：因为，，所以，
所以；
故选：A
2.（2022·新疆克孜勒苏·高一期中）已知 ， ，则 _______ ．（填“>”或“<”）
【答案】<
【解析】
【分析】
作差判断正负即可比较.
【详解】
因为，所以.
故答案为：<.
3.（2022·广西·高一阶段练习）（1）比较与的大小；
（2）已知，求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）求差法进行大小比较即可；
（2）求差法去证明即可解决.
【详解】
（1）由，
可得．
（2），
∵，∴，，，
∴，∴．
4.（2022·全国·高一课时练习）已知，试比较 的大小.
【答案】
【解析】
【分析】
应用作差法：，结合已知条件，即可确定大小关系.
【详解】
∵
∴ ，即.
5.（2021·江苏·高一单元测试）证明不等式：
（1）设，求证：；
（2）设，求证：.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）利用作差法运算即可得证；
（2）利用作差法运算即可得证.
【详解】证明：（1）因为
，
因为，所以，
所以，所以；
（2）因为
，
所以.
题型二：作商法比较两数(式)的大小
【例1】（2021·全国·高一专题练习），则的大小关系为_______．
【答案】≥
【分析】用作商法比较的大小关系，化简即可得结果.
【详解】因为， 则
由
所以
故答案为：
【例2】（2017·上海市宝山区海滨中学高一期中）如果，，那么，，从小到大的顺序是___________
【答案】
【分析】三个式子很明显都是负数，所以可通过作商和1比较判断大小。
【详解】因为三个式子很明显都是负数，所以，所以；
同理，所以。
综上：
故答案为：
【点睛】此题考查比较大小，一般可以考虑作差，作商等方法进行比较，属于简单题目。
【例3】（2023·全国·高三专题练习）设，比较与的大小
【答案】
【分析】利用两个数都大于0,直接利用作商比较其大小即可.
【详解】，
，.
两数作商
，
.
【点睛】比较两个数的大小主要有四种方法：（1）作差法；（2）作商法；
【题型专练】
1.（2022·全国·高一专题练习）已知：、， 且，比较的大小.
【答案】
【分析】两指数式比较大小，由指数式采用作商法，经讨论和1比较大小.
【详解】∵、 ，∴，
作商： （*）
(1)若a>b>0， 则，a-b>0， ， 此时成立；
(2)若b>a>0， 则， a-b<0，， 此时成立.
综上，总成立.
2.（2021·全国·高一课时练习）已知，求证：．
【答案】见解析
【分析】利用作商法得到等式，再判断，，得到证明.
【详解】．
，，，，，，．
，同理得，，．
又，．
【点睛】本题考查了作商法证明不等式，意在考查学生的计算能力和推断能力.
3.（2021·全国·高一课时练习）已知，，试比较与的大小；
【答案】（当且仅当时取等号）
【分析】结合不等式的基本性质，应用作商比较进行运算，即可求解，得到答案.
【详解】方法一：由题意
，
因为，，所以，，，
所以，当且仅当时等号成立，
所以（当且仅当时取等号）.
方法二：由
，当且仅当时等号成立，
所以（当且仅当时取等号）.
【点睛】本题主要考查了不等式的性质的应用，其中解答中结合不等式的基本性质，熟练应用作商比较进行运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
题型三：利用不等式的性质判断命题真假
【例1】（2023·全国·高三专题练习）如果，那么下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由于，不妨令，，代入各个选项检验，只有正确，从而得出结论．
【详解】
解：由于，不妨令，，可得，，故A不正确．
可得，，，故B不正确．
可得，，，故C不正确．
故选：D．
【例2】（2022·青海西宁·高一期末）如果，则正确的是（ ）
A．若a>b，则 B．若a>b，则
C．若a>b，c>d，则a+c>b+d D．若a>b，c>d，则ac>bd
【答案】C
【解析】
【分析】
根据不等式的性质即可逐一求解.
【详解】
对于A:取则，故A错，
对于B:若，则，故B错误，
对于C:由同号可加性可知：a>b，c>d，则a+c>b+d，故C正确，
对于D:若，则，，故D错误.
故选：C
【例3】（2022·四川成都·高一期末（理））已知实数a，b，c满足，，那么下列选项中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知可得，然后利用不等式的性质逐个分析判断即可
【详解】
因为实数a，b，c满足，，
所以，
对于A，因为，所以，因为，所以，所以A错误，
对于B，若，则，因为，所以，所以B错误，
对于C，因为，所以，所以C正确，
对于D，因为，所以，因为，所以，所以D错误，
故选：C
【例4】（2022·四川成都·高一期末（文））若a，b为实数，下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【解析】
【分析】
据特值可说明ABC不正确；根据不等式的性质可得D正确.
【详解】
对于A，当时，满足，不满足，故A不正确；
对于B，当时，满足，不满足，故B不正确；
对于C，当时，满足，不满足，故C 不正确；
对于D，若，则，故D正确.
故选：D.
【例5】（2022·江苏·镇江市实验高级中学高二期末多选题）若a，b，，则下列命题正确的是（ ）
A．若且，则 B．若，则
C．若且，则 D．
【答案】BCD
【解析】
【分析】
由不等式的性质逐一判断即可.
【详解】
解：对于A，当时，结论不成立，故A错误；
对于B，等价于，又，故成立，故B正确；
对于C，因为且，所以等价于，即，成立，故C正确；
对于D，等价于，成立，故D正确.
故选：BCD.
【题型专练】
1.（2021·湖北黄石·高一期中）若，下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．，若，则
C．若，则 D．，，若，则
【答案】C
【解析】
【分析】
利用特值法可判断ABD，利用不等式的性质可判断C.
【详解】
对于A，当时，，故A错误；
对于B，当时，，故B错误；
对于C，若，则，故C正确；
对于D，当时，，故D错误，
故选：C.
2.（2022·贵州·高二学业考试）已知，则下列不等关系中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用不等式的性质判断A，利用特殊值判断B、C、D；
【详解】
解：因为，所以，故A正确；
对于B：当时，故B错误；
对于C：当，，显然满足，但是，故C错误；
对于D：当，，显然满足，但是，故D错误；
故选：A
3.（2022·河南驻马店·高二期末（理））若，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
对于ABD，举例判断，对于C，利用不等式的性质判断即可
【详解】
对于A，若，则满足，此时，所以A错误，
对于B，若，则满足，而当时，则，所以B错误，
对于C，因为，所以，因为，所以，所以C正确，
对于D，若，则满足，而当时，则，所以D错误，
故选：C
4.（2022·北京昌平·高二期末）已知，则下列大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
结合不等式的性质以及差比较法确定正确答案.
【详解】
为正数，为负数，所以，，
，
所以.
故选：C
5.（2022·北京海淀·高二期末）如果，那么下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据不等式的性质即可逐一判断.
【详解】
由可得：，,，故A，B，C错误,，故D正确.
故选：D
6.（2022·湖北·测试·编辑教研五高一阶段练习（多选题））下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】ABC
【解析】
【分析】
对于A：利用同向不等式相加，即可证明；
对于B、C：利用不等式的可乘性可以证明；
对于D：取特殊值即可否定结论.
【详解】
对于A：因为，所以.
因为，利用同向不等式相加，则有.故A正确；
对于B：因为，所以，所以，对两边同乘以，则有.故B正确；
对于C：因为，所以.
因为，所以.
对两边同乘以，有，所以.故C正确；
对于D：取，满足，但是，所以不成立.故D错误.
故选：ABC
7.（2023·全国·高三专题练习多选题）下列命题为真命题的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，则 D．若，，则
【答案】AD
【解析】
【分析】
A．由不等式的性质判断；B.举例判断；C.由判断； D.作差判断.
【详解】
A．由不等式的性质可知同向不等式相加，不等式方向不变，故正确；
B. 当时，，故错误；
C.当时，故错误；
D.，因为，，，所以，故正确；
故选：AD
8.（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若且，则
C．若，则 D．若，则
【答案】BD
【解析】
【分析】
A选项可举出反例；BCD选项，可通过不等式的基本性质进行证明.
【详解】
对选项A：可取，，，则满足，但此时，所以选项A错误；
对选项B：因为，所以若，则；若，则；所以选项B正确；
对选项C：若，则，所以选项C错误；
对选项D：若，所以；又因为，所以由同向同正可乘性得：，所以，所以选项D正确，
故选：BD．
题型四：利用不等式的性质证明不等式
【例1】（2022·全国·高一课时练习），，，，设，证明：
【答案】证明见解析
【分析】通过凑配构造的方式，构造出新式子，且可以化简为整数，然后利用放缩思想得到S的范围.
【详解】解：，，，，，
；
，
.
【例2】（2021·全国·高一课时练习）已知，，，求证：
(1)；
(2).
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据不等式的性质证明即可；
（2）结合（1）和不等式的性质求解.
(1)证明：因为，，所以，所以；
(2)证明：由（1）得，又，所以.
【例3】（2022·全国·高一课时练习）已知下列三个不等式：①，②，③，以其中两个作为条件，余下一个作为结论，可组成几个真命题？请证明你的结论.
【答案】3个，证明见解析.
【解析】
【分析】
先写出组成的命题，然后结合不等式的性质进行证明.
【详解】
可以组成3个真命题.
（1）若，，则.
证明：因为，，所以，即.
（2）若，，则.
证明：因为，，所以，即.
（3）若，，则.
证明：因为，，所以.
【题型专练】
1.（2022·湖南·高一课时练习）求证：
(1)若，且，则；
(2)若，且，同号，，则；
(3)若，且，则．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）将变为，利用不等式同向正值的可乘性，即可证明结论；
（2）由以及，可得，再根据，同号，得，利用不等式同向正值的可乘性证明结论；
（3）由可得，继而可得,利用不等式的性质可得结论.
(1)证明：因为，所以，
又，故，
即；
(2)证明：因为，，所以 ，
因为，同号，所以 ，，
故，即 ，所以；
(3)证明：因为，所以 ，
又，所以 ，
故.
2.（2022·全国·高一专题练习）若，，，求证：
【答案】证明见解析
【分析】先根据不等式性质判断的大小关系，然后结合不等式性质可判断的大小关系，由此即可证明的大小关系.
【详解】证明：，．
又，．
则，即．
又，．
3.（2021·江苏·高一专题练习）（1）设，，证明：；
（2）设，，，证明：.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）根据作差法证明即可；
（2）由于，故，再结合（1）的结论易证.
【详解】证明：（1）因为，，所以，。
所以，
故得证；
（2）由不等式的性质知，，
所以，
又因为根据（1）的结论可知，，
所以.
所以.
4.（2022·全国·高一课时练习）若，则.
(1)若存在常数，使得不等式对任意正数，恒成立，试求常数的值，并证明不等式：；
(2)证明不等式：.
【答案】(1)，证明见解析；(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)令即可求解，利用不等式性质即可证明不等式；(2)从原不等式入手，对原不等式变形，通过分类讨论与之间的大小关系即可证明.
【详解】
证明：(1)当时，，故，
由，且，
利用不等式性质可得，；
(2)欲证，
只需证明，即，
①当时，显然不等式成立，
②当时，不妨令，即，故，
由于，显然成立，
故原不等式成立；
同理，当时，原不等式也成立.
综上所述，对于任意，，均成立.
题型五：利用不等式的性质比较大小
【例1】（2022·内蒙古·赤峰二中高一阶段练习（理））下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则
【答案】D
【解析】
【分析】
由不等式性质依次判断各个选项即可.
【详解】
对于A，若，由可得：，A错误；
对于B，若，则，此时未必成立，B错误；
对于C，当时，，C错误；
对于D，当时，由不等式性质知：，D正确.
故选：D.
【例2】（2022·江苏·扬州大学附属中学高一期中（多选题））已知，，下列不等式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】
【分析】
根据不等式性质及特殊值判断即可.
【详解】
对于A，由不等式性质，可得，正确；
对于B，时，显然不成立，故错误；
对于C，时，，故错误；
对于D，由可得，所以，
即，故正确.
故选 ：AD
【例3】（2022·北京海淀·高二期末）如果，那么下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据不等式的性质即可逐一判断.
【详解】
由可得：，,，故A，B，C错误,，故D正确.
故选：D
【题型专练】
1.（2022·广东·小榄中学高一阶段练习（多选题））对于实数，下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，，则
【答案】BD
【解析】
【分析】
A特殊值法判断；B由结合不等式性质判断；C作差法判断；D由或时的大小情况判断.
【详解】
A：当时，不成立，错误；
B：由，有，则，正确；
C：由，则，错误；
D：若或，有，与题设矛盾，故，正确.
故选：BD
2.（2022·贵州贵阳·高一期末（多选题））下列说法正确的有（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】AB
【解析】
【分析】
对于A：利用同向不等式相加可以证明；
对于B：利用同向不等式相乘可以证明；
对于C：利用不等式的可乘性可以判断；
对于D：取特殊值可以判断.
【详解】
对于A：因为，所以，利用同向不等式相加可以得到：.故A正确；
对于B：因为，所以，又因为，利用同向不等式相乘可以得到：，所以.故B正确；
对于C：因为，所以.因为，所以.故C错误；
对于D：取特殊值满足，但是，，所以
.故D错误.
故选：AB
3.（2022·内蒙古·赤峰市元宝山区第一中学高一期中）若，则下列不等式不能成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据条件，结合结合不等式性质判断A，B，C正确，再举例说明D错误..
【详解】
因为，所以，，，，
又，所以，所以成立，
，所以，
，所以，
取可得，，，所以不成立，
故选：D.
4.（2022·广东·深圳科学高中高一期中（多选题））下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．，则 D．若，则
【答案】ABC
【解析】
【分析】
根据不等式的性质判断AD，结合作差法比较大小判断BC.
【详解】
解：对于A选项，因为，故，故，正确；
对于B选项，由于，，故，，故，即，正确；
对于C选项，由于，故，故，即，正确；
对于D选项，当时，，故错误.
故选：ABC
题型六：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围
【例1】（2022·全国·高一专题练习）设，，求，，的范围.
【答案】，，
【分析】根据不等式的基本性质，先求出与的范围，再由可乘性得出的范围即可.
【详解】∵，，
∴，，，，
∴，，
∴.
故，，．
【例2】（2023·全国·高三专题练习多选题）已知实数x，y满足则（ ）
A．的取值范围为 B．的取值范围为
C．的取值范围为 D．的取值范围为
【答案】ABD
【解析】利用不等式的性质直接求解.
【详解】因为，所以.因为，所以，则，故A正确；
因为，所以.因为，所以，所以，所以，故B正确；
因为，所以，则，故C错误；
因为，所以，则，故D正确.
故选：ABD.
【例3】（2021·福建·厦门市国祺中学高一期中）若，，，则t的取值范围为______．
【答案】
【分析】设，然后求出x,y，进而根据不等式的性质求出答案.
【详解】设，则，解得．因为，，所以，即．
故答案为：.
【例4】（2022·河南省杞县高中高二阶段练习（理））已知，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先把转化为，根据，，求出的范围，利用单增，求出z的范围即可.
【详解】.
设，
所以，解得：，
，
因为，，
所以，
因为单调递增，
所以.
故选：C
【例5】（2021·全国·高一课时练习）已知x，y为实数，满足，，则的最大值是______，此时______.
【答案】 32 3
【分析】由题干条件得到，又因为，故得到，化简可得到结果，通过可分别求出参数的值.
【详解】∵，∴.∵，
∴.由不等式的性质，得，
即，故的最大值为32，此时，即，∴.
故答案为：32；3.
【题型专练】
1.（2022·吉林延边·高一期末）已知，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先求的范围，再根据不等式的性质，求的范围.
【详解】
因为，所以，
由，得.
故选：A.
2.（2020·浙江台州·高一期中）已知且，则的取值范围是
【答案】
【解析】
【分析】
由已知条件推导出，，再由得出，由得出，结合不等式的基本性质可求得的取值范围.
【详解】
，，则，，，则，
由得，则，即，即，
又，，因此，的取值范围是.
3.（2021·河北·大名县第一中学高一阶段练习）若实数满足，，则的取值范围为________．
【答案】
【分析】设，解得，，再由不等式的性质即可求解.
【详解】设，解得，
所以．
又，，，
所以.
故答案为：．
【点睛】关键点点睛：本题考查利用不等式的性质求取值范围，变形是解题的关键，考查学生的运算求解能力，属于基础题.
4.（2021·全国·高一课时练习）已知，，求的取值范围___________.
【答案】
【分析】利用待定系数法可得，利用不等式的基本性质可求得的取值范围.
【详解】设，所以，解得，
因为，，则，
因此，.
故答案为：.
5．（2021·全国·高一课时练习）已知实数、满足，，则的最大值为___________.
【答案】
【分析】利用待定系数法得出，再利用不等式的基本性质可求得的最大值.
【详解】设，所以，，解得，
所以，，
因为，，则，，
因此，.
所以，的最大值为.
故答案为：.
6.（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知且满足，则的取值范围是
【答案】
【解析】
【分析】
设，求出结合条件可得结果.
【详解】
设，可得，
解得，，
因为可得，
所以.
7.（2022·湖北·车城高中高一阶段练习）（1）已知，，求和的取值范围；
（2）已知，，求的取值范围.
【答案】（1），；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据不等式的性质求解
（2）由待定系数法配凑后求解
【详解】
（1），
又，
，
又，
（2）设，得
即
而，
