第10讲 二次函数与一元二次方程、不等式6种题型
【考点分析】
考点一：一元二次不等式的概念
一般地，我们把只含有一个末知数，并且末知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如或(其中a，b，c均为常数，的不等式都是一元二次不等式．
考点二：二次函数的零点
一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点.
考点三： 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集.
二次函数 （）的图象
有两相异实根 有两相等实根 无实根
考点四： 一元二次不等式恒成立问题
①在上恒成立恒成立
②在上恒成立
考点五：简单的分式不等式的解法
；
；
考点六：简单的绝对值不等式的解法
；
【题型目录】
题型一：解不含参数的一元二次不等式
题型二：一元二次不等式与根与系数关系的交汇
题型三：含有参数的一元二次不等式的解法
题型四：不等式的恒成立问题
题型五：一次分式不等式的解法
题型六：实际问题中的一元二次不等式问题
【典型例题】
题型一：解不含参数的一元二次不等式
【例1】（2022·浙江·高一阶段练习）不等式的解集是（ ）
A． B．
C．或 D．
【答案】D
【解析】
【分析】
直接解一元二次不等式即可得答案.
【详解】
解：原式化为，即，故不等式的解集为.
故选:D
【例2】（2022·湖北·宜昌市夷陵中学模拟预测）记集合 ，， 则（ ）
A． B．或
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
化简集合，再由交集的定义即得.
【详解】
∵或，，
所以.
故选：A.
【例3】（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）设，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
先解出不等式，再判断充分性和必要性即可.
【详解】
由于不等式的解集为，则可推出，反之不成立，
所以“”是“”的充分而不必要条件．
故选：A.
【例4】（2022·广东·新会陈经纶中学高一期中）不等式的解集是（ ）
A．R B． C．或 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据二次函数的性质，分析即可得答案.
【详解】
由题意得所求，令，为开口向上的抛物线，
，
所以恒成立，
所以不成立，故的解集为.
故选：B
【例5】（2022·安徽省利辛县第一中学高一阶段练习）不等式的解集为（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】B
【解析】
【分析】
将式子变形再因式分解，即可求出不等式的解集；
【详解】
解：依题意可得，故，解得或，
所以不等式的解集为或
【题型专练】
1.（2022·全国·高一单元测试）设集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先化简集合，，再求二者交集
【详解】
，，
则．
故选：B．
2.（2022·新疆喀什·高一期末）解下列不等式：
(1)；
(2).
【答案】(1)或
(2)
【解析】
(1)
(1)因为，
所以方程有两个不等实根x1＝－1，x2＝－3.
所以原不等式的解集为或.
(2)
(2)因为，
所以方程 有两个相等实根x1＝x2＝
所以原不等式的解集为.
3．（2022·四川眉山·高一期末（理））不等式的解集为（ ）
A． B．（－4，1）
C．（－1，4） D．
【答案】C
【解析】
【分析】
直接用因式分解求得解集即可.
【详解】
因为不等式可化为:
解得:
所以解集为:.
故选:C.
4．（2022·贵州·高二学业考试）不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
直接解不等式即可求解.
【详解】
由得，解得，即解集为.
故选：C.
5.（2022·北京·东直门中学高二阶段练习）不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
将不等式化简为，即可求出其解集.
【详解】
由可得：，所以不等式的解集为：.
故选：C.
6.（2022·全国·高一多选）下列不等式的解集为R的有（ ）
A．x2＋x＋1≥0 B．x2－2x＋>0
C．x2＋6x＋10>0 D．2x2－3x＋4<1
【答案】AC
【解析】
【分析】
利用判别式的正负，即可判断选项.
【详解】
A中.满足条件；
B中，解集不为R；
C中，满足条件；
D中不等式可化为2x2－3x＋3<0，所对应的二次函数开口向上，显然不可能．
故选：AC
题型二：一元二次不等式与根与系数关系的交汇
【例1】（2022·四川甘孜·高一期末）若不等式 的解集为 ， 则 =（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】D
【解析】
【分析】
利用二次函数，把不等式问题转化为方程问题，再用韦达定理.
【详解】
因为不等式 的解集为
所以 ，-2和1是方程 的两实数根
所以 ，解得
所以.故A，B，C错误.
故选：D.
【例2】（2022·四川省高县中学校高一阶段练习（理））已知关于的不等式的解集为，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由根与系数关系及基本不等式求目标式的最小值，注意等号成立条件.
【详解】
由题设，，且，
所以，当且仅当时等号成立.
故选：C
【例3】（2022·全国·高一专题练习）若不等式的解集是，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
依题意和是方程的两个实数根，利用韦达定理得到方程组，即可求出、，再解一元二次不等式即可.
【详解】
解：因为不等式的解集是，
∴和是方程的两个实数根，
由，解得：，，
故不等式即，
即，即，解得：，
所以所求不等式的解集是：.
故选：C．
【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知函数f（x）＝x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），若关于x的不等式f（x）＜c的解集为（m，m+6），则实数c的值为（ ）
A．4 B．3 C．9 D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数的值域求出与的关系，然后根据不等式的解集可得的两个根为，最后利用根与系数的关系建立等式，解之即可.
【详解】
∵函数f（x）＝x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），
∴f（x）＝x2+ax+b＝0只有一个根，即Δ＝a2﹣4b＝0则b，
不等式f（x）＜c的解集为（m，m+6），
即为x2+axc解集为（m，m+6），
则x2+axc＝0的两个根为m，m+6
∴|m+6﹣m|6
解得c＝9
故选：C．
【题型专练】
1.（2022·四川·射洪中学高一阶段练习）已知不等式的解集为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据一元二次不等式的解集和一元二次方程根的关系直接求解即可.
【详解】
由不等式的解集知：和是方程的两根，.
故选：A.
2.（2022·湖南·怀化五中高一期中）若关于x的不等式的解集为，则实数m的值为______.
【答案】3
【解析】
【分析】
根据二次不等式的解，结合韦达定理即可求出m.
【详解】
由题可知，－7和－1是二次方程的两个根，
故.经检验满足题意
故答案为：3.
3.（2021·安徽省定远中学高一阶段练习）已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（ ）
A．或 B．
C．或 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据不等式的解集，得到，代入中即可求解.
【详解】
由题意得，即，
所以即，解得．
故选：B
4.（2022·内蒙古赤峰·高一期末（文））二次不等式的解集是，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意得2,3为方程的两个根，根据韦达定理，化简计算，即可得答案.
【详解】
因为二次不等式，所以，
因为不等式的解集是，
所以2,3为方程的两个根，
所以，即
所以.
故选：B
5.（2022·黑龙江·大庆中学高二期末）若不等式的解集是，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用根于系数的关系先求出，再解不等式即可.
【详解】
不等式的解集是
则根据对应方程的韦达定理得到：，
解得，
则的解集为
故选：A
6.（2022·浙江·金华市曙光学校高一阶段练习）已知不等式的解集是，则不等式 的解集是________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据给定的解集求出a，b的值，再代入解不等式即可作答.
【详解】
依题意，，是方程的两个根，且，
于是得，解得：，
因此，不等式为：，解得，
所以不等式 的解集是.
故答案为：
题型三：含有参数的一元二次不等式的解法
【例1】（2023·全国·高三专题练习）若关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
讨论m与2的大小关系，求得不等式的解集， 根据解集中恰有4个整数，确定m的取值范围.
【详解】
不等式即 ，
当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有4个整数，
这四个整数只能是3,4,5,6，故，
当时，不等式解集为 ，此时不符合题意；
当 时，不等式解集为，此时要使解集中恰有4个整数，
这四个整数只能是 ，故，，
故实数m的取值范围为，
故选：C
【例2】（2022·广东·梅州市梅江区梅州中学高一阶段练习）解关于x的不等式
【答案】答案不唯一，具体见解析
【解析】
【分析】
原不等式可化为然后分，和三种情况求解不等式
【详解】
解：关于x的不等式
可化为
（1）当时，，解得．
（2）当，所以
所以方程的两根为-1和，
当，即时，不等式的解集为或}，
当，即时，不等式的解集为．
当，即时，不等式的解集为或}，．
（3）当时，
因为方程的两根为—1和，
又因为，所以．
即不等式的解集是，
综上所述：当时，不等式的解集为
当时，不等式的解集为
当时，不等式的解集为或
当时，不等式的解集为
当时，不等式的解集为或}，
【例3】（2022·河南·华中师范大学附属息县高级中学高二阶段练习（文））已知条件p：，条件q：（其中），若p是q的必要而不充分条件，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
分别解出两个不等式，再根据p是q的必要而不充分条件，可得对应得集合是对应得集合的真子集，列出不等式组，从而可得出答案.
【详解】
解：由，得，
所以，
由，得，
所以，
因为P是q的必要而不充分条件，
所以
所以，解得，
即实数m的取值范围为.
故选：C.
【例4】（2022·湖南·新邵县第二中学高一开学考试）设.
(1)若不等式对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；
(2)解关于x的不等式.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【解析】
【分析】
（1）不等式转化为对一切实数成立，列不等式即可求解；
（2）不等式转化为，对a进行分类讨论求解即可.
（1）由题意可得对一切实数成立，当时，不满足题意；当时，得.所以实数a的取值范围为.
（2）由题意可得，当时，不等式可化为，所以不等式的解集为，当时，，当时，，①当，解集，②当，解集为或，③当，解集为或.综上所述，当，不等式的解集为或，当，不等式的解集为，当，不等式的解集为或，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为.
【例5】（2023·全国·高三专题练习）解关于x的不等式．
【答案】详见解析.
【解析】
【分析】
分类讨论，求不等式的解集即可.
【详解】
原不等式变形为．
①当时，；
②当时，不等式即为，
当时，x或；
由于，于是
当时，；
当时，；
当时，．
综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为．
【例6】（2022·全国·高一课时练习）解关于的不等式：.
【答案】答案不唯一，见解析
【解析】
【分析】
由于参数的不确定性，可分为和，当时，又可具体分为，，，再结合二次函数的图像开口与判别式的关系即可求解
【详解】
解: 当时，不等式即，解得.
当时，对于方程，
令，解得或；
令，解得或；
令，解得或，方程的两根为.
综上可得，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
【题型专练】
1.（2022·黑龙江·铁人中学高二期末）若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由题设可得，讨论的大小关系求解集，并判断满足题设情况下m的范围即可.
【详解】
不等式，即，
当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是4，5，6，故；
当时，不等式解集为，此时不符合题意；
当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是0，1，2，故；
故实数m的取值范围为．
故选：C
2.（2022·陕西·长安一中高一期中）已知关于x的不等式的解集为．
(1)写出a和b满足的关系；
(2)解关于x的不等式．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）化简，结合不等式的解集即可判断，得到即可得到a和b满足的关系.
（2）可用或对不等式进行等价转化，化简计算即可求出不等式的解集.
(1)
解：因为，所以，
因为不等式的解集为，所以，且，解得．
(2)
由（1）得
则不等式等价为，
即，即．
因为，所以不等式的解为．
即所求不等式的解集为．（说明：解集也可以用a表示）
3.（2022·贵州·遵义航天高级中学高一阶段练习）设函数.
(1)若，解不等式；
(2)若，解关于x的不等式
【答案】(1)或；
(2)详见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用二次不等式的解法即可得解；
（2）将原不等式变形为，对实数的取值进行分类讨论，结合二次不等式的解法即可得解.
(1)当时，由，解得或，
故当时，不等式的解集为或.
(2)由可得，
当时，方程的两根分别为，.
当时，，解原不等式可得；
当时，原不等式即为，该不等式的解集为；
当时，，解原不等式可得.
综上所述，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.
4.（2022·陕西·西安高新第三中学高一期中）已知函数.
(1)若关于的不等式的解集为，求的值；
(2)若，解关于的不等式.
【答案】(1)
(2)时，解集为；
时，解集为；
时，解集为或
【解析】
(1)的解集为，和是方程的两个根，∴，解得：.
(2)不等式，
可化为：.
当时，原不等式即为，．
当时，原不等式化为，或.
当时，原不等式为，可化为
因，．
综上，
时，原不等式的解集为；
时，原不等式的解集为；
时，原不等式的解集为或
5.（2022·北京市第五中学高一阶段练习）求关于的不等式的解集.
【答案】答案见解析
【解析】解：不等式，即，即，
当时，原不等式解集为；
当时，方程的根为，，
①当时，，原不等式的解集为或；
②当时，，原不等式的解集为；
③当时，，原不等式的解集为；
④当时，，原不等式的解集为．
题型四：不等式的恒成立问题
【例1】（2023·全国·高三专题练习）关于的不等式恒成立，则的取值范围为
A． B．，
C．，， D．，
【答案】B
【解析】
【分析】
通过讨论的范围，结合二次函数的性质求出的范围即可．
【详解】
解：时，成立，
时，，
故，
综上：，
故选：B．
【例2】（2022·全国·高一专题练习）若命题“”的否定是真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
写出命题的否定，则，从而可得出答案.
【详解】
:解：命题“”的否定为“”为真命题，
所以，解得，
即实数a的取值范围是.
故选：B.
【例3】（2021·新疆喀什·高一期中）若不等式的解集为R，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由一元二次不等式的解集，讨论、分别求出满足条件的m范围即可.
【详解】
由题设，，
当时，恒成立，满足要求；
当，可得；
综上，.
故选：B
【例4】（2022·江西师大附中高一期中）若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是____________.
【答案】
【解析】
【分析】
分离参数，求出的取值范围即可得到答案.
【详解】
解：∵不等式对任意恒成立，
即对任意恒成立，
又
所以.
故答案为：.
【例5】（2022·四川南充·高一期末（理））不等式的解集为R，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
分、两种情况讨论，根据已知条件可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围.
【详解】
关于的不等式的解集为.
当时，即当时，则有恒成立，符合题意；
②当时，则有，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故选：B.
【例6】（2022·福建省华安县第一中学高二期末）下列条件中，为 “关于的不等式对恒成立”的充分不必要条件的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】
【分析】
对讨论：；，；，结合二次函数的图象，解不等式可得的取值范围，再由充要条件的定义判断即可.
【详解】
因为关于的不等式对恒成立，
当时，原不等式即为恒成立；
当时，不等式对恒成立，
可得，即，解得：.
当时，的图象开口向下，原不等式不恒成立，
综上：的取值范围为：.
所以“关于的不等式对恒成立”的充分不必要条件的有
或.
故选：BC.
【例7】（2023·全国·高三专题练习）已知a＞b，关于x的不等式对于一切实数x恒成立，又存在实数，使得成立，则最小值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】
由对于一切实数恒成立，可得，且；再由，使成立，可得，进而可得的值为1，将可化为，利用基本不等式可得结果.
【详解】
因为对于一切实数恒成立，
所以，且，所以；
再由，使成立，
可得，所以，
所以，
因为，即，所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为，
故答案为：
【题型专练】
1.（2023·全国·高三专题练习多选题）“关于x的不等式 对恒成立”的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】
【分析】
求得关于x的不等式 对恒成时a的取值范围，根据必要不充分条件与集合包含之间的关系，即可判断答案.
【详解】
由题意可知，关于x的不等式恒成立，
则，解得 ，
对于选项A，“”是“关于x的不等式对恒成立”的充要条件；
对于选项B，,
故“”是“关于x的不等式对恒成立”的必要不充分条件；
对于选项C，,
“”是“关于x的不等式对恒成立”的充分不必要条件；
对于选项D中， , “”是“关于x的不等式对恒成立”必要不充分条件，
故选：BD．
2.（2022·江苏·高一专题练习）若关于的不等式有解，则实数a的取值范围是____________．
【答案】或
【解析】
【详解】
本题考查了二次函数的性质，函数恒成立问题．分类讨论，先验证是否成立，再根据二次函数的性质列出不等式得出a的范围．
【解答】
当时，不等式为有解，故，满足题意；
当时，若不等式有解，
则满足，解得或；
当时，此时对应的函数的图象开口向下，此时不等式总是有解，
所以，
综上可得，实数a的取值范围是或.
3.（2022·湖北·黄石市有色第一中学高一期中）关于的不等式在内有解，则的取值范围为________．
【答案】
【解析】
在内有解，，其中；
设，则当时，，
，解得：，的取值范围为.
故答案为：.
4.（2022·河南濮阳·高一期末（理））已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出命题为真时实数的取值范围，即可求出命题为假时实数的取值范围.
【详解】
若“，”是真命题，
即判别式，解得：，
所以命题“，”是假命题，
则实数的取值范围为：.
故选：A.
5.（2022·江苏省天一中学高一期中）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
求出的最大值，然后可得，解出即可.
【详解】
因为关于的不等式在上有解，
的最大值为4
所以，解得
故答案为：
6.（2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高一阶段练习）若对任意， 恒成立，则的最大值为_________．
【答案】##
【解析】
【分析】
先令，可得，再根据恒成立，可得，，由此可得，再验证符合恒成立即可．
【详解】
解：令，则，故，
对任意，，则恒成立，
∴
∴，此时，
∴，当时取等号，
此时成立，
∴的最大值为．
故答案为：．
7.（2022·湖南·高一课时练习）设二次函数．
（1）若方程有实根，则实数的取值范围是______；
（2）若不等式的解集为，则实数的取值范围是______；
（3）若不等式的解集为R，则实数的取值范围是______．
【答案】 或.
【解析】
【分析】
根据方程的解或不等式的解的情况结合判别式可得相应的结果.
【详解】
对于（1），因为方程有实根，故，解得或.
对于（2），因为不等式的解集为，故，解得.
对于（3），不等式的解集为R，故，故.
8.（2022·江苏·高一）命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】
【分析】
先求命题“”为真命题的等价条件，再结合充分不必要的定义逐项判断即可.
【详解】
因为为真命题，
所以或，
所以是命题“”为真命题充分不必要条件，A对，
所以是命题“”为真命题充要条件，B错，
所以是命题“”为真命题充分不必要条件，C对，
所以是命题“”为真命题必要不充分条件，D错，
故选：AC
9.（2022·全国·高一专题练习）已知二次函数.若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】.
【解析】
【分析】
对目标式分离参数，结合基本不等式，即可求得参数的取值范围.
【详解】
不等式即为：，
当时，可变形为：，即.
又，
当且仅当，即时，等号成立，
，即.
故实数的取值范围是：.
题型五：一次分式不等式的解法
分式不等式转化为整式不等式
（1）
（2）
（3）且
（4）且
【例1】（2022·江苏·苏州中学高二期末）已知集合，则A∩B=（ ）
A．{x|-2≤x<2} B．{x|-2≤x≤1} C．{x|-2≤x≤-1} D．{x|-2≤x<-1}
【答案】D
【分析】求出集合后可求.
【详解】，而或，
故，
故选：D.
【例2】（2022·吉林延边·高一期末）若不等式的解集为，则不等式的解集为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由不等式的解集为可得参数a的值，则不等式也具体化了，按分式不等式解之即可.
【详解】
由不等式的解集为，
可知方程有两根，故，
则不等式即等价于，
不等式的解集为，
则不等式的解集为，
故答案为：.
【例3】（2022·吉林·长春市第二中学高二期末）不等式的解集为，则不等式的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据的解集求出的关系，再化简不等式，求出它的解集即可．
【详解】
解：因为的解集为，则，且对应方程的根为-2和4，
所以，，且，
不等式可化为,则，即，
解得或．
故答案为．
【例4】（2022·河北省博野中学高一阶段练习）不等式的解集是____________.
【答案】##
【解析】
【分析】
根据题意将化为，利用分式不等式的解法解分式不等式即可.
【详解】
可化为，
，等价于，
解得，
所以不等式的解集是，
故答案为：.
【例5】（2022·黑龙江·大庆实验中学高二期末）不等式的解集是A，关于x的不等式的解集是B.
(1)若时，求；
(2)设命题p：实数x满足，其中；命题q：实数x满足.若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
【答案】(1);
(2).
【解析】
【分析】
（1）时，求出集合，，由此能求出．
（2）利用不等式的解法求解出命题，中的不等式范围问题，结合二者的关系得出关于字母的不等式，从而求解出的取值范围．
（1）解：不等式的解集为，关于的不等式的解集为，时，，．
（2）解：当时，的解集为；若是的必要不充分条件，，，则； 故的取值范围是．
【题型专练】
1.（2022·内蒙古·满洲里市第一中学高二期末（理））“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】首先解分式不等式，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】解：因为，所以，，，
或，
当时，或一定成立，所以“”是“”的充分条件；
当或时，不一定成立，所以“”是“”的不必要条件.
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
2.（2022·陕西·宝鸡市金台区教育体育局教研室高二期末（文））设集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】首先解分式不等式与一元二次不等式求出集合、，再根据交集的定义计算可得.
【详解】解：由，即，解得，
所以，
由，即，解得，
所以，
所以.
故选：B
3.（2022·四川凉山·高一期末（理））不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用分式不等式的解法法则即可求解.
【详解】由，得，解得，
所以不等式的解集为.
故选：B.
4.（2022·四川成都·高一期末）不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据分式不等式的解法，即可得答案.
【详解】由题意得，等价于，即，
所以解集为.
故选：D
5.（2022·山东济宁·高二期末）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】首先解分式不等式与绝对值不等式，再根据集合的包含关系判断即可；
【详解】解：由，即，解得，
由，即，解得，
因为，所以“”是“”的必要不充分条件；
故选：B
6.（2022·全国·高一期末）不等式的解集为______．
【答案】或
【解析】
【分析】
将分式不等式变形转化为二次不等式求解即可.
【详解】
，
解得不等式解集为或
故答案为：或.
7.（2022·上海师大附中高一期中）不等式的解集是_________
【答案】##
【解析】
【分析】
原不等式转化为，即，进而可解得结果.
【详解】
等价于，即，
等价于，
解得.
故答案为：.
题型六：实际问题中的一元二次不等式问题
【例1】（2021·山东·枣庄市第三中学高一阶段练习）某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x（件）与单价P（元）之间的关系为P=160-2x，生产x件所需成本为C（元），其中C=500+30x，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x的取值范围是（ ）
A．20≤x≤30，x∈N* B．20≤x≤45，x∈N*
C．15≤x≤30，x∈N* D．15≤x≤45，x∈N*
【答案】B
【分析】利用关于x的函数表示每天的获利，然后令获利≥1300，求得x的取值范围即可.
【详解】由题意知每天的获利为Px-C=（160-2x）x-（500+30x）=-2x2+130x-500，
令-2x2+130x-500≥1300，解得20≤x≤45，x∈N*，
故选：B
【例2】（2020·上海·华东师范大学附属周浦中学高一阶段练习）要在长为800m，宽为600m的一块长方形地面上进行绿化，要求四周种花卉（花卉的宽度相同），中间种草皮.要求草皮的面积不少于总面积的一半，则花卉宽度的范围是___________.
【答案】
【分析】设花卉宽度为，求出草皮面积，解不等式即可得，注意未知数的实际意义．
【详解】设花卉宽度为，显然，则草皮面积为，
由，，
又，故解得．
故答案为：．
【例3】（2022·安徽·合肥市第十中学高一期中）经过长期观测得到：在某地交通繁忙时段内，公路段汽车的车流量y(单位：千辆/h)与汽车的平均速度v(单位：km/h)之间的函数解析式为：
(1)若要求在该时间段内车流量超过9.1千辆/h，则汽车的平均速度应在什么范围内？
(2)该时段内当汽车的平均速度v为多少时车流量最大？最大车流量为多少？
【答案】(1)大于且小于
(2)；10千辆/．
【解析】
【分析】
（1）由已知解不等式可得；
（2）由基本不等式可得结论．
(1)
由已知，整理得，解得，
所以若要求在该时间段内车流量超过9.1千辆/h，则汽车的平均速度应大于25且小于64；
(2)
由题意，
当且仅当，即时，等号成立．
所以当汽车的平均速度是40时，轩流量最大，最大车流量是10千辆．
【例4】（2021·河南·新蔡县第一高级中学高一阶段练习）某蛋糕厂生产某种蛋糕的成本为40元/个，出厂价为60元/个，日销售量为1 000个，为适应市场需求，计划提高蛋糕档次，适度增加成本．若每个蛋糕成本增加的百分率为x(0＜x＜1)，则每个蛋糕的出厂价相应提高的百分率为0.5x，同时预计日销售量增加的百分率为0.8x，
（1）为使日利润有所增加，求x的取值范围；
（2）当每个蛋糕成本增加的百分率为多少时，日利润最大，并求出最大日利润.
【答案】（1）；（2）当，最大日利润是元.
【分析】（1）先求得日利润为y，根据日利润有所增加，由求解；
（2）根据（1）的日利润函数，利用二次函数的性质求解.
【详解】（1）由题意得：日利润为： ，
，
若日利润有所增加，则 ，
即 ，
解得 ，
所以x的取值范围是；
（2）由（1）知日利润为，
，
当时，日利润最大，最大日利润是元.
【例5】（2022·贵州黔东南·高一期末）黔东南某地有一座水库，设计最大容量为128000m3．根据预测，汛期时水库的进水量（单位：m3）与天数的关系是，水库原有水量为80000m3，若水闸开闸泄水，则每天可泄水4000m3；水库水量差最大容量23000m3时系统就会自动报警提醒，水库水量超过最大容量时，堤坝就会发生危险；如果汛期来临水库不泄洪，1天后就会出现系统自动报警．
(1)求的值；
(2)当汛期来临第一天，水库就开始泄洪，估计汛期将持续10天，问：此期间堤坝会发生危险吗？请说明理由．
【答案】(1)
(2)汛期的第9天会有危险，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）根据条件可建立方程，解出即可；
（2）设第天发生危险，由题意得 ，解出此不等式，然后可得答案.
(1)
由题意得： ，
即
(2)
由（1）得
设第天发生危险，由题意得 ，即，得．
所以汛期的第9天会有危险
【题型专练】
1.（2021·广东·化州市第三中学高一阶段练习）经观测，某公路段在某时段内的车流量（千辆/小时）与汽车的平均速度（千米/小时）之间有函数关系：．
(1)在该时段内，当汽车的平均速度为多少时车流量最大？最大车流量为多少？（精确到）
(2)为保证在该时段内车流量至少为千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？
【答案】(1)当（千米/小时）时，车流量最大，最大值约为千辆/小时；
(2)汽车的平均速度应控制在这个范围内（单位：千米/小时）.
【分析】（1）利用基本不等式可求得的最大值，及其对应的值，即可得出结论；
（2）解不等式即可得解.
(1)
解：，（千辆/小时），
当且仅当时，即当（千米/小时）时，车流量最大，最大值约为千辆/小时.
(2)
解：据题意有，即，即，
解得，
所以汽车的平均速度应控制在这个范围内（单位：千米/小时）.
2.（2022·上海·高三专题练习）考虑到高速公路行车安全需要，一般要求高速公路的车速（公里/小时）控制在范围内.已知汽车以公里/小时的速度在高速公路上匀速行驶时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为升，其中为常数，不同型号汽车值不同，且满足.
(1)若某型号汽车以120公里/小时的速度行驶时，每小时的油耗为升，欲使这种型号的汽车每小时的油耗不超过9升，求车速的取值范围；
(2)求不同型号汽车行驶100千米的油耗的最小值.
【答案】(1)；
(2)当时，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为升；
当时，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为升.
【分析】（1）根据题意，可知当时，求出的值，结合条件得出，再结合，即可得出车速的取值范围；
（2）设该汽车行驶100千米的油耗为升，得出关于与的函数关系式，通过换元令，则，得出与的二次函数，再根据二次函数的图象和性质求出的最小值，即可得出不同型号汽车行驶100千米的油耗的最小值.
(1)
解：由题意可知，当时，，解得：，
由，即，解得：，
因为要求高速公路的车速（公里/小时）控制在范围内，
即，所以，
故汽车每小时的油耗不超过9升，求车速的取值范围.
(2)
解：设该汽车行驶100千米的油耗为升，
则，
令，则，
所以，，
可得对称轴为，由，可得，
当时，即时，
则当时，；
当，即时，
则当时，；
综上所述，当时，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为升；
当时，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为升.
3.（2022·广西钦州·高一期末）1.汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故产生原因的一个重要因素．在一个限速为40 km/h的弯道上，现场勘查测得一辆事故汽车的刹车距离略超过10米．已知这种型号的汽车的刹车距离（单位：m）与车速（单位：km/h）之间满足关系式，其中为常数．试验测得如下数据：
车速km/h 20 100
刹车距离m 3 55
(1)求的值；
(2)请你判断这辆事故汽车是否超速，并说明理由．
【答案】(1)
(2)超速，理由见解析
【分析】（1）将表格中的数据代入函数的解析式建立方程组即可求得答案；
（2）根据（1）建立不等式，进而解出不等式，最后判断答案.
(1)
由题意得，解得.
(2)
由题意知，，解得或（舍去）
所以该车超速．
4.（2021·江苏·南京市第二十九中学高一期中）1.通过技术创新，某公司的汽车特种玻璃已进入欧洲市场. 2021年，该种玻璃售价为25欧元/平方米，销售量为80万平方米，销售收入为2000万欧元.
(1)据市场调查，若售价每提高1欧元/平方米，则销售量将减少2万平方米；要使销售收入不低于2000万欧元，试问：该种玻璃的售价最多提高到多少欧元/平方米？
(2)为提高年销售量，增加市场份额，公司将在2022年对该种玻璃实施二次技术创新和营销策略改革：提高价格到欧元/平方米（其中），其中投入万欧元作为技术创新费用，投入500万欧元作为固定宣传费用，投入万欧元作为浮动宣传费用，试问：该种玻璃的销售量（单位/万平方米）至少达到多少时，才可能使2022年的销售收入不低于2021年销售收入与2022年投入之和？并求出此时的售价.
【答案】(1)40
(2)该种玻璃的销售量至少达到102万平方米时，才可能使2022年的销售收入不低于2021年销售收入与2022年投入之和，此时求出此时的售价为30欧元.
【分析】（1）设出未知数，列不等式进行求解；（2）根据题意，得到关于的关系式，，利用基本不等式进行求解
(1)
设该种玻璃的售价提高到x欧元/平方米
解得：
所以该种玻璃的售价最多提高到40欧元/平方米
(2)
整理得：
除以得：
由基本不等式得：，当且仅当，即时，等号成立，所以该种玻璃的销售量至少达到102万平方米时，才可能使2022年的销售收入不低于2021年销售收入与2022年投入之和，此时求出此时的售价为30欧元/平方米.
5.（2021·全国·高一课时练习）为发展空间互联网，抢占6G技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入.据了解，该企业研发部原有100人，年人均投入a（）万元，现把研发部人员分成两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有x名（且），调整后研发人员的年人均投入增加4x%，技术人员的年人均投入为万元.
(1)要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的100人的年总投入，则调整后的技术人员最多有多少人？
(2)是否存在实数m，同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.
【答案】(1)75人
(2)存在，7
【分析】（1）根据题意直接列出不等式可求解；
（2）由条件可得，，分别利用函数单调性和基本不等式即可求解.
(1)
依题意可得调整后研发人员人数为，年人均投入为万元，
则，()
解得，
又，，所以调整后的技术人员的人数最多75人；
(2)
假设存在实数m满足条件.
由技术人员年人均投入不减少有，解得.
由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入有
，
两边同除以得，
整理得，
故有，
因为，当且仅当时等号成立，所以，
又因为，，所以当时，取得最大值7，所以，
，即存在这样的m满足条件，其范围为.
6.（2021·吉林·长春市实验中学高一阶段练习）某企业研发的一条生产线生产某种产品，据测算，其生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的关系式为，已知此生产线年产量最大为220吨．
（1）求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求出这个最低成本；
（2）经过评估，企业定价每吨产品的出厂价为40万元，且最大利润不超过1660万元，由该生产线年产量的最大值应为多少？
【答案】（1）年产量为200（吨）时每吨平均成本最低，最低成本为32万元；（2）210吨．
【分析】（1）平均成本等于总成本除以年产量，得到的式子符合乘积为定值，利用基本不等式求出最小值；
（2）表示出利润得到关于x的二次不等式，求出范围即可.注意实际问题下取值范围的限制.
【详解】解∶（1）设每吨的平均成本为W，
则W=
当且仅当，即x=200（吨）时每吨平均成本最低，且最低成本为32万元．
（2）由题意得，
，
解得，x≥230或x≤210
∵0∴0当最大利润不超过1660万元时，年产量的最大值应为210吨．
7.（2022·江苏·南京市第二十九中学高一期中）1.通过技术创新，某公司的汽车特种玻璃已进入欧洲市场. 2021年，该种玻璃售价为25欧元/平方米，销售量为80万平方米，销售收入为2000万欧元.
(1)据市场调查，若售价每提高1欧元/平方米，则销售量将减少2万平方米；要使销售收入不低于2000万欧元，试问：该种玻璃的售价最多提高到多少欧元/平方米？
(2)为提高年销售量，增加市场份额，公司将在2022年对该种玻璃实施二次技术创新和营销策略改革：提高价格到欧元/平方米（其中），其中投入万欧元作为技术创新费用，投入500万欧元作为固定宣传费用，投入万欧元作为浮动宣传费用，试问：该种玻璃的销售量（单位/万平方米）至少达到多少时，才可能使2022年的销售收入不低于2021年销售收入与2022年投入之和？并求出此时的售价.
【答案】(1)40
(2)该种玻璃的销售量至少达到102万平方米时，才可能使2022年的销售收入不低于2021年销售收入与2022年投入之和，此时求出此时的售价为30欧元.
【解析】
【分析】
（1）设出未知数，列不等式进行求解；（2）根据题意，得到关于的关系式，，利用基本不等式进行求解
(1)
设该种玻璃的售价提高到x欧元/平方米
解得：
所以该种玻璃的售价最多提高到40欧元/平方米
(2)
整理得：
除以得：
由基本不等式得：，当且仅当，即时，等号成立，所以该种玻璃的销售量至少达到102万平方米时，才可能使2022年的销售收入不低于2021年销售收入与2022年投入之和，此时求出此时的售价为30欧元/平方米.第10讲 二次函数与一元二次方程、不等式6种题型
【考点分析】
考点一：一元二次不等式的概念
一般地，我们把只含有一个末知数，并且末知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如或(其中a，b，c均为常数，的不等式都是一元二次不等式．
考点二：二次函数的零点
一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点.
考点三： 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集.
二次函数 （）的图象
有两相异实根 有两相等实根 无实根
考点四： 一元二次不等式恒成立问题
①在上恒成立恒成立
②在上恒成立
考点五：简单的分式不等式的解法
；
；
考点六：简单的绝对值不等式的解法
；
【题型目录】
题型一：解不含参数的一元二次不等式
题型二：一元二次不等式与根与系数关系的交汇
题型三：含有参数的一元二次不等式的解法
题型四：不等式的恒成立问题
题型五：一次分式不等式的解法
题型六：实际问题中的一元二次不等式问题
【典型例题】
题型一：解不含参数的一元二次不等式
【例1】（2022·浙江·高一阶段练习）不等式的解集是（ ）
A． B．
C．或 D．
【例2】（2022·湖北·宜昌市夷陵中学模拟预测）记集合 ，， 则（ ）
A． B．或
C． D．
【例3】（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）设，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【例4】（2022·广东·新会陈经纶中学高一期中）不等式的解集是（ ）
A．R B． C．或 D．
【例5】（2022·安徽省利辛县第一中学高一阶段练习）不等式的解集为（ ）
A． B．或
C． D．或
【题型专练】
1.（2022·全国·高一单元测试）设集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2.（2022·新疆喀什·高一期末）解下列不等式：
(1)；
(2).
3．（2022·四川眉山·高一期末（理））不等式的解集为（ ）
A． B．（－4，1）
C．（－1，4） D．
4．（2022·贵州·高二学业考试）不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
5.（2022·北京·东直门中学高二阶段练习）不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
6.（2022·全国·高一多选）下列不等式的解集为R的有（ ）
A．x2＋x＋1≥0 B．x2－2x＋>0
C．x2＋6x＋10>0 D．2x2－3x＋4<1
题型二：一元二次不等式与根与系数关系的交汇
【例1】（2022·四川甘孜·高一期末）若不等式 的解集为 ， 则 =（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【例2】（2022·四川省高县中学校高一阶段练习（理））已知关于的不等式的解集为，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【例3】（2022·全国·高一专题练习）若不等式的解集是，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知函数f（x）＝x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），若关于x的不等式f（x）＜c的解集为（m，m+6），则实数c的值为（ ）
A．4 B．3 C．9 D．
【题型专练】
1.（2022·四川·射洪中学高一阶段练习）已知不等式的解集为，则（ ）
A． B． C． D．
2.（2022·湖南·怀化五中高一期中）若关于x的不等式的解集为，则实数m的值为______.
3.（2021·安徽省定远中学高一阶段练习）已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（ ）
A．或 B．
C．或 D．
4.（2022·内蒙古赤峰·高一期末（文））二次不等式的解集是，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5.（2022·黑龙江·大庆中学高二期末）若不等式的解集是，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
6.（2022·浙江·金华市曙光学校高一阶段练习）已知不等式的解集是，则不等式 的解集是________.
题型三：含有参数的一元二次不等式的解法
【例1】（2023·全国·高三专题练习）若关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【例2】（2022·广东·梅州市梅江区梅州中学高一阶段练习）解关于x的不等式
【例3】（2022·河南·华中师范大学附属息县高级中学高二阶段练习（文））已知条件p：，条件q：（其中），若p是q的必要而不充分条件，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【例4】（2022·湖南·新邵县第二中学高一开学考试）设.
(1)若不等式对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；
(2)解关于x的不等式.
【例5】（2023·全国·高三专题练习）解关于x的不等式．
【例6】（2022·全国·高一课时练习）解关于的不等式：.
【题型专练】
1.（2022·黑龙江·铁人中学高二期末）若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2.（2022·陕西·长安一中高一期中）已知关于x的不等式的解集为．
(1)写出a和b满足的关系；
(2)解关于x的不等式．
3.（2022·贵州·遵义航天高级中学高一阶段练习）设函数.
(1)若，解不等式；
(2)若，解关于x的不等式
4.（2022·陕西·西安高新第三中学高一期中）已知函数.
(1)若关于的不等式的解集为，求的值；
(2)若，解关于的不等式.
5.（2022·北京市第五中学高一阶段练习）求关于的不等式的解集.
题型四：不等式的恒成立问题
【例1】（2023·全国·高三专题练习）关于的不等式恒成立，则的取值范围为
A． B．，
C．，， D．，
【例2】（2022·全国·高一专题练习）若命题“”的否定是真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【例3】（2021·新疆喀什·高一期中）若不等式的解集为R，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．
【例4】（2022·江西师大附中高一期中）若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是____________.
【例5】（2022·四川南充·高一期末（理））不等式的解集为R，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【例6】（2022·福建省华安县第一中学高二期末）下列条件中，为 “关于的不等式对恒成立”的充分不必要条件的有（ ）
A． B．
C． D．
【例7】（2023·全国·高三专题练习）已知a＞b，关于x的不等式对于一切实数x恒成立，又存在实数，使得成立，则最小值为_________．
【题型专练】
1.（2023·全国·高三专题练习多选题）“关于x的不等式 对恒成立”的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
2.（2022·江苏·高一专题练习）若关于的不等式有解，则实数a的取值范围是____________．
3.（2022·湖北·黄石市有色第一中学高一期中）关于的不等式在内有解，则的取值范围为________．
4.（2022·河南濮阳·高一期末（理））已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
5.（2022·江苏省天一中学高一期中）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是__________．
6.（2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高一阶段练习）若对任意， 恒成立，则的最大值为_________．
7.（2022·湖南·高一课时练习）设二次函数．
（1）若方程有实根，则实数的取值范围是______；
（2）若不等式的解集为，则实数的取值范围是______；
（3）若不等式的解集为R，则实数的取值范围是______．
8.（2022·江苏·高一）命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
9.（2022·全国·高一专题练习）已知二次函数.若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
题型五：一次分式不等式的解法
分式不等式转化为整式不等式
（1）
（2）
（3）且
（4）且
【例1】（2022·江苏·苏州中学高二期末）已知集合，则A∩B=（ ）
A．{x|-2≤x<2} B．{x|-2≤x≤1} C．{x|-2≤x≤-1} D．{x|-2≤x<-1}
【例2】（2022·吉林延边·高一期末）若不等式的解集为，则不等式的解集为___________.
【例3】（2022·吉林·长春市第二中学高二期末）不等式的解集为，则不等式的解集为______．
【例4】（2022·河北省博野中学高一阶段练习）不等式的解集是____________.
【例5】（2022·黑龙江·大庆实验中学高二期末）不等式的解集是A，关于x的不等式的解集是B.
(1)若时，求；
(2)设命题p：实数x满足，其中；命题q：实数x满足.若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
【题型专练】
1.（2022·内蒙古·满洲里市第一中学高二期末（理））“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2.（2022·陕西·宝鸡市金台区教育体育局教研室高二期末（文））设集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
3.（2022·四川凉山·高一期末（理））不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
4.（2022·四川成都·高一期末）不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
5.（2022·山东济宁·高二期末）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
6.（2022·全国·高一期末）不等式的解集为______．
7.（2022·上海师大附中高一期中）不等式的解集是_________
题型六：实际问题中的一元二次不等式问题
【例1】（2021·山东·枣庄市第三中学高一阶段练习）某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x（件）与单价P（元）之间的关系为P=160-2x，生产x件所需成本为C（元），其中C=500+30x，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x的取值范围是（ ）
A．20≤x≤30，x∈N* B．20≤x≤45，x∈N*
C．15≤x≤30，x∈N* D．15≤x≤45，x∈N*
【例2】（2020·上海·华东师范大学附属周浦中学高一阶段练习）要在长为800m，宽为600m的一块长方形地面上进行绿化，要求四周种花卉（花卉的宽度相同），中间种草皮.要求草皮的面积不少于总面积的一半，则花卉宽度的范围是___________.
【例3】（2022·安徽·合肥市第十中学高一期中）经过长期观测得到：在某地交通繁忙时段内，公路段汽车的车流量y(单位：千辆/h)与汽车的平均速度v(单位：km/h)之间的函数解析式为：
(1)若要求在该时间段内车流量超过9.1千辆/h，则汽车的平均速度应在什么范围内？
(2)该时段内当汽车的平均速度v为多少时车流量最大？最大车流量为多少？
【例4】（2021·河南·新蔡县第一高级中学高一阶段练习）某蛋糕厂生产某种蛋糕的成本为40元/个，出厂价为60元/个，日销售量为1 000个，为适应市场需求，计划提高蛋糕档次，适度增加成本．若每个蛋糕成本增加的百分率为x(0＜x＜1)，则每个蛋糕的出厂价相应提高的百分率为0.5x，同时预计日销售量增加的百分率为0.8x，
（1）为使日利润有所增加，求x的取值范围；
（2）当每个蛋糕成本增加的百分率为多少时，日利润最大，并求出最大日利润.
【例5】（2022·贵州黔东南·高一期末）黔东南某地有一座水库，设计最大容量为128000m3．根据预测，汛期时水库的进水量（单位：m3）与天数的关系是，水库原有水量为80000m3，若水闸开闸泄水，则每天可泄水4000m3；水库水量差最大容量23000m3时系统就会自动报警提醒，水库水量超过最大容量时，堤坝就会发生危险；如果汛期来临水库不泄洪，1天后就会出现系统自动报警．
(1)求的值；
(2)当汛期来临第一天，水库就开始泄洪，估计汛期将持续10天，问：此期间堤坝会发生危险吗？请说明理由．
【题型专练】
1.（2021·广东·化州市第三中学高一阶段练习）经观测，某公路段在某时段内的车流量（千辆/小时）与汽车的平均速度（千米/小时）之间有函数关系：．
(1)在该时段内，当汽车的平均速度为多少时车流量最大？最大车流量为多少？（精确到）
(2)为保证在该时段内车流量至少为千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？
2.（2022·上海·高三专题练习）考虑到高速公路行车安全需要，一般要求高速公路的车速（公里/小时）控制在范围内.已知汽车以公里/小时的速度在高速公路上匀速行驶时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为升，其中为常数，不同型号汽车值不同，且满足.
(1)若某型号汽车以120公里/小时的速度行驶时，每小时的油耗为升，欲使这种型号的汽车每小时的油耗不超过9升，求车速的取值范围；
(2)求不同型号汽车行驶100千米的油耗的最小值.
3.（2022·广西钦州·高一期末）1.汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故产生原因的一个重要因素．在一个限速为40 km/h的弯道上，现场勘查测得一辆事故汽车的刹车距离略超过10米．已知这种型号的汽车的刹车距离（单位：m）与车速（单位：km/h）之间满足关系式，其中为常数．试验测得如下数据：
车速km/h 20 100
刹车距离m 3 55
(1)求的值；
(2)请你判断这辆事故汽车是否超速，并说明理由．
4.（2021·江苏·南京市第二十九中学高一期中）1.通过技术创新，某公司的汽车特种玻璃已进入欧洲市场. 2021年，该种玻璃售价为25欧元/平方米，销售量为80万平方米，销售收入为2000万欧元.
(1)据市场调查，若售价每提高1欧元/平方米，则销售量将减少2万平方米；要使销售收入不低于2000万欧元，试问：该种玻璃的售价最多提高到多少欧元/平方米？
(2)为提高年销售量，增加市场份额，公司将在2022年对该种玻璃实施二次技术创新和营销策略改革：提高价格到欧元/平方米（其中），其中投入万欧元作为技术创新费用，投入500万欧元作为固定宣传费用，投入万欧元作为浮动宣传费用，试问：该种玻璃的销售量（单位/万平方米）至少达到多少时，才可能使2022年的销售收入不低于2021年销售收入与2022年投入之和？并求出此时的售价.
5.（2021·全国·高一课时练习）为发展空间互联网，抢占6G技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入.据了解，该企业研发部原有100人，年人均投入a（）万元，现把研发部人员分成两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有x名（且），调整后研发人员的年人均投入增加4x%，技术人员的年人均投入为万元.
(1)要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的100人的年总投入，则调整后的技术人员最多有多少人？
(2)是否存在实数m，同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.
6.（2021·吉林·长春市实验中学高一阶段练习）某企业研发的一条生产线生产某种产品，据测算，其生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的关系式为，已知此生产线年产量最大为220吨．
（1）求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求出这个最低成本；
（2）经过评估，企业定价每吨产品的出厂价为40万元，且最大利润不超过1660万元，由该生产线年产量的最大值应为多少？
7.（2022·江苏·南京市第二十九中学高一期中）1.通过技术创新，某公司的汽车特种玻璃已进入欧洲市场. 2021年，该种玻璃售价为25欧元/平方米，销售量为80万平方米，销售收入为2000万欧元.
(1)据市场调查，若售价每提高1欧元/平方米，则销售量将减少2万平方米；要使销售收入不低于2000万欧元，试问：该种玻璃的售价最多提高到多少欧元/平方米？
(2)为提高年销售量，增加市场份额，公司将在2022年对该种玻璃实施二次技术创新和营销策略改革：提高价格到欧元/平方米（其中），其中投入万欧元作为技术创新费用，投入500万欧元作为固定宣传费用，投入万欧元作为浮动宣传费用，试问：该种玻璃的销售量（单位/万平方米）至少达到多少时，才可能使2022年的销售收入不低于2021年销售收入与2022年投入之和？并求出此时的售价.
