第12讲 函数值域的六中常见求法
题型一:直接法(直接利用不等式的性质,由定义域的取值范围,推出的取值范围)
【例1】函数的定义域是,求值域。
【例2】函数的值域是
(A) (B) (C) (D)
【例3】(2022·全国·高三专题练习)函数的值域是( )
A. B. C. D.
【例4】(2022·广东深圳·高一期末)(多选)世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯,其中享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数,表示不超过x的最大整数,例如.已知,,则函数的值可能为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【例5】(2021·全国·高一课时练习)已知函数的定义域为,值域为R,则( )
A.函数的定义域为R
B.函数的值域为R
C.函数的定义域和值域都是R
D.函数的定义域和值域都是R
【例6】(2021·全国·高一课时练习)[多选题]函数的函数值表示不大于x的最大整数,当时,下列函数时,其值域与的值域相同的是( )
A., B.,
C., D.,
【题型专练】
1.(2022·湖南·雅礼中学高一期中)函数的值域是( )
A. B. C. D.
2.(2021·全国·高一课时练习)若一系列函数的解析式相同,值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“孪生函数”,那么函数解析式为,值域为的“孪生函数”共有( )
A.7个 B.8个 C.9个 D.10个
3.(2021·江苏·高一单元测试)下列函数中,值域是的是( )
A. B.
C. D.
4.(2021·全国·高一专题练习)函数且的值域是( )
A. B. C. D.
5.(2021·全国·高一专题练习)函数()的值域为( )
A. B. C. D.
题型二:配方法(一般适用求二次函数的值域,一般看开口方向和对称轴即可)
【例1】已知,定义域为 [1,3],求其值域。
【例2】(2022·全国·高三专题练习)函数的值域为( )
A. B. C. D.
【例3】(2022·全国·高三专题练习)函数的值域是( )
A. B. C. D.
【例4】已知函数的最大值为,最小值为,则的值为_________.
【例5】(2021·全国·高一单元测试)函数的值域为,则实数的可能取值是( )
A. B. C. D.
【例6】(2022·全国·高三专题练习)若函数的定义域为,值域为,则的取值范围是( )
【例7】(2020·上海高三)对于函数,其中,若的定义域与值域相同,则非零实数a的值为______________.
【例8】已知函数,若函数与在时有相同的值域,则实数的取值范围为
【例9】已知,在上任取三个数a,b,c,均存在以为三边的三角形,则m的取值范围为( )
A. B. C. D.
【题型专练】
1.(2022·全国·高三专题练习)函数定义域和值域分别为、,则=( )
A.[-1,3] B.[-1,4] C.[0,3] D.[0,2]
2.的最大值为_________.
3.(2022·全国·高三专题练习)若函数的定义域和值域都是,则( )
A.1 B.3 C. D.1或3
4.(2022·全国·高三专题练习)已知函数在上的值域为,则实数m的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.(2022·全国·高一课时练习)设的值域为,则实数的值组成的集合是___________.
6.(2021·重庆市璧山中学校高一阶段练习)定义运算,若函数,则的最小值为( )
A. B. C.1 D.3
7.(2021·全国·高一课时练习)求函数的值域.
题型三:换元法(适用于形如,以及)
如:函数,可以令,得到,函数
可以化为(),接下来求解关于t的二次函数的值域问题,求解过程中要注意t的取值范围的限制.
【例1】.求函数的值域。
【例2】求函数的值域。
【例3】(2021·全国·高一课时练习)求函数的值域.
【例4】(2019·重庆·高一)函数的最大值为( ).
A. B. C. D.2
【题型专练】
1.(重庆市巴蜀中学高一上期中)函数,的值域为
A. B. C. D.
2.(2022·全国·高一课时练习)函数的值域是( )
A. B. C. D.
3.(2021·江苏·高一单元测试)若函数的值域是,函数的值域是,则__________.
4.(2022·江西省定南中学高二阶段练习(文))函数的值域为 ( )
A. B. C. D.
5.(2022·福建三明·高一期末)已知函数,其中m为实数.
(1)求f(x)的定义域;
(2)当时,求f(x)的值域;
(3)求f(x)的最小值.
题型四:分离常数法 反解法(利用函数有界性)
分离常数法:
将形如()的函数分离常数,变形过程为:
,再结合的取值范围确定的取值范围,从而确定函数的值域.
【例1】求函数的值域
【例2】求函数的值域
【例3】求函数 的值域
【题型专练】
1.求函数的值域
2.(2022·全国·高三专题练习)设,函数表示不超过的最大整数,例如,,若函数,则函数的值域是( )
A. B.
C. D.
题型五:判别式法(适用于函数)
【例1】函数的值域为______.
【例2】(2021·上海复旦附中高一期末)若函数的定义域为,值域为,求的值.
【题型专练】
1.(2022·全国·高三专题练习)函数的最大值与最小值的和是( )
A. B. C. D.
2.(2021·全国·高一课时练习)求下列函数的值域:
(1);
(2)
3.(2021·浙江杭州·高一期中)函数的值域是___________.
题型六:图像法(画出函数的图像,直接求出定义域)
【例1】函数的值域为_____.
【例2】(2020·全国·高三专题练习(理))高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家,用其名字命名的“高斯函数”为:设,用表示不超过的最大整数,则称为高斯函数,例如:,,已知函数,则对函数的值域
【例3】定义为中的最小值,设,则的最大值是_____.
【题型专练】
1.对任意,函数,则的最小值为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
2.函数的值域为_____.
3.(2021·江苏·南京师大附中高一期中)若函数与的值域相同,但定义域不同,则称和是“同象函数”,已知函数,,则下列函数中,与是“同象函数”的有( )
A., B.,
C., D.,
4. 已知函数,函数的最大值为________.最小值为________.
5.对,记,函数f(x)=max{|x+1|,|x-2|}(x∈R)的最小值是________.
6.设函数定义域为R,对给定正数M,定义函数则称函数为的“孪生函数”,若给定函数,则的值域为( )
A. B. C. D.第12讲 函数值域的六中常见求法
题型一:直接法(直接利用不等式的性质,由定义域的取值范围,推出的取值范围)
【例1】函数的定义域是,求值域。
【答案】
【详解】解法一:图象法:由题意知函数是由向右平移个单位得到,画出函数图象易得值域为
解法二:直接利用不等式性质:因为,所以,所以,所以
【例2】函数的值域是
(A) (B) (C) (D)
【答案】B
【详解】因为,所以,所以,所以
【例3】(2022·全国·高三专题练习)函数的值域是( )
A. B. C. D.
【答案】A
解: 又,所以函数的值域为
故选:A
【例4】(2022·广东深圳·高一期末)(多选)世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯,其中享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数,表示不超过x的最大整数,例如.已知,,则函数的值可能为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】BCD
【分析】利用常数分离法知,根据x的取值范围结合不等式的性质求出的取值范围,进而得到函数的值.
【详解】,
当时,,,,
此时的取值为1;
当时,,,,
此时的取值为2,3.
综上,函数的值可能为.
故选:BCD.
【例5】(2021·全国·高一课时练习)已知函数的定义域为,值域为R,则( )
A.函数的定义域为R
B.函数的值域为R
C.函数的定义域和值域都是R
D.函数的定义域和值域都是R
【答案】B
【分析】对于A选项:根据抽象函数的定义域令,推出的定义域判断正误;
对于B选项:因为的值域为R,所以的值域为R,进而推导出的值域,判断正误;
对于C选项:令,求出函数的定义域,即可判断正误;
对于D选项:若函数的值域为R,则,即可判断正误;
【详解】对于A选项:令,可得,所以函数的定义域为,故A选项错误;
对于B选项:因为的值域为R,,所以的值域为R,可得函数的值域为R,故B选项正确;
对于C选项:令,得,所以函数的定义域为,故C选项错误;
对于D选项:若函数的值域为R,则,此时无法判断其定义域是否为R,故D选项错误.
故选:B
【例6】(2021·全国·高一课时练习)[多选题]函数的函数值表示不大于x的最大整数,当时,下列函数时,其值域与的值域相同的是( )
A., B.,
C., D.,
【答案】ABD
【分析】根据取整函数的概念,求得函数的值域为,再分别求得选项中函数的值域,即可求解,得到答案.
【详解】当时,;
当时,;当时,;
当时,;当时,.
所以当时,的值域为.
对于A选项,,,该函数的值域为;
对于B选项,,,该函数的值域为;
对于C选项,,,该函数的值域为;
对于D选项,,,该函数的值域为.
故选:ABD.
【题型专练】
1.(2022·湖南·雅礼中学高一期中)函数的值域是( )
A. B. C. D.
【答案】B
因为,所以,因此,函数的值域是.
故选:B.
2.(2021·全国·高一课时练习)若一系列函数的解析式相同,值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“孪生函数”,那么函数解析式为,值域为的“孪生函数”共有( )
A.7个 B.8个 C.9个 D.10个
【答案】C
【分析】根据孪生函数的定义,即函数的定义域不同而已,由得,;由,得,分别写出函数的定义域即可.
【详解】函数解析式为,值域为,由得,;
由,得,则定义域可以为,,,,,
,,,,因此“孪生函数”共有9个.
故选:C
3.(2021·江苏·高一单元测试)下列函数中,值域是的是( )
A. B.
C. D.
【答案】CD
【分析】利用完全平方、常熟分离、绝对值的意义,即可得到结果.
【详解】对于A,,值域为,A不正确;
对于B,,值域为,B不正确;
对于C,,值域为,C正确;
对于D,,值域为,D正确.
故选:CD.
4.(2021·全国·高一专题练习)函数且的值域是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】根据函数性质及其定义域即可判断值域.
【详解】解:且,或.,故函数的值域为.
故选:D.
5.(2021·全国·高一专题练习)函数()的值域为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】先分离常数,再求出,从而得到即可得到答案.
【详解】,由于,∴,,,
于是,故函数的值域为.
故选:A.
题型二:配方法(一般适用求二次函数的值域,一般看开口方向和对称轴即可)
【例1】已知,定义域为 [1,3],求其值域。
【答案】
【详解】由题意知函数的开口向上,对称轴为,所以在上为单调递增函数,所以 , 得值域为
【例2】(2022·全国·高三专题练习)函数的值域为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】因为,且,
所以,即的值域为.
故选:A
【例3】(2022·全国·高三专题练习)函数的值域是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】由得,得,
设,则,
所以,即函数的值域是.
故选:C
【例4】已知函数的最大值为,最小值为,则的值为_________.
【答案】
【详解】函数定义域
设,开口向下,对称轴为,
当时,,当时
所以,所以,所以
【例5】(2021·全国·高一单元测试)函数的值域为,则实数的可能取值是( )
A. B. C. D.
【答案】ABC
【分析】根据各选项中的取值,依次判断的值域即可得到结果.
【详解】对于A,当时,,则值域为,A正确;
对于B,当时,,则值域为,B正确;
对于C,当时,,则值域为,C正确;
对于D,当时,,则值域为,D错误.
故选:ABC.
【例6】(2022·全国·高三专题练习)若函数的定义域为,值域为,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】,
当时,;当或时,.
因此当时,函数在区间上的最小值为,
最大值为,所以,实数的取值范围是.
故选:C
【例7】(2020·上海高三)对于函数,其中,若的定义域与值域相同,则非零实数a的值为______________.
【答案】
【详解】函数的定义域为,即,若,则的定义域为,但的值域,估,不合题意
若,对于正实数,则的定义域为,的最大值为,估函数值域,由题意知,由于,所以
【例8】已知函数,若函数与在时有相同的值域,则实数的取值范围为
【答案】
【详解】由于函数,则当时,,又函数与在时有相同的值域,则函数必须能够取到最小值,即,解得
【例9】已知,在上任取三个数a,b,c,均存在以为三边的三角形,则m的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】由于函数的对称轴为,因为
,则当时,,又
即与对称轴的距离较远,所以当时,
不妨设,,由以为三边的三角形,由构成三角形的条件可得,解得
【题型专练】
1.(2022·全国·高三专题练习)函数定义域和值域分别为、,则=( )
A.[-1,3] B.[-1,4] C.[0,3] D.[0,2]
【答案】D
解:要使函数有意义,则解得,故;
由,所以.故.
则选:D
2.的最大值为_________.
【答案】
【详解】
解法一:均值不等式:
解法二:二次函数思想:因为,开口向下,对称轴为,当时,,所以的最大值为
3.(2022·全国·高三专题练习)若函数的定义域和值域都是,则( )
A.1 B.3 C. D.1或3
【答案】B
因为函数在上为增函数,且定义域和值域都是,
所以,,解得或(舍),
故选:B
4.(2022·全国·高三专题练习)已知函数在上的值域为,则实数m的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
函数在[0,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,
时时,
函数的部分图象及在上的的图象如图所示.
所以为使函数在上的值域为,实数m的取值范围是,
故选:B.
5.(2022·全国·高一课时练习)设的值域为,则实数的值组成的集合是___________.
【答案】
【分析】根据值域为[0,+∞),分析可得,函数f(x)=ax2+2ax+3开口向上,且最小值要小于等于0,列出方程,即可得结果.
【详解】因为函数的值域为[0,+∞),
设函数f(x)=ax2+2ax+3,当时,显然不成立;
当,二次函数开口向下,有最大值,值域不为[0,+∞),不成立;
当,二次函数开口向上,要保证值域为[0,+∞),则最小值要小于等于0
,解得a≥3.
故答案为:[3,+∞)
6.(2021·重庆市璧山中学校高一阶段练习)定义运算,若函数,则的最小值为( )
A. B. C.1 D.3
【答案】B
【分析】根据定义写出函数解析式,配方即可得最小值.
【详解】.
.
故选:B
7.(2021·全国·高一课时练习)求函数的值域.
【答案】
【分析】首先求出函数的定义域,然后将函数平方,利用二次函数的性质即可求解.
【详解】由,得.
∵,∴,
∴.
∵,∴,
∴,即.
又∵,∴,∴,
∴函数的值域为.
题型三:换元法(适用于形如,以及)
如:函数,可以令,得到,函数
可以化为(),接下来求解关于t的二次函数的值域问题,求解过程中要注意t的取值范围的限制.
【例1】.求函数的值域。
【答案】
【详解】设,则的对称轴为,所以在上单调递增,所以当时,,所以的值域为
【例2】求函数的值域。
【答案】
【详解】设,则,函数可化为
,对称轴为,所以函数在上单调递减,所以当时,,所以原函数的值域为
【例3】(2021·全国·高一课时练习)求函数的值域.
【答案】
【分析】令,换元可得(),转化为二次函数在给定区间的值域问题,利用二次函数的性质即得解
【详解】令,则,
由及,得,所以,
则(),
为开口向下的二次函数,对称轴为,故在单调递增
因此当时,;当时,
故函数的值域为.
【例4】(2019·重庆·高一)函数的最大值为( ).
A. B. C. D.2
【答案】B
【分析】先求解函数定义域,然后分析等式发现:,由此可通过换元法令来构造二次函数求解最大值,注意取等号条件.
【详解】因为,所以,即定义域为;
设且,又因为,所以,
所以,当且仅当时有最大值,当时,,所以满足;
故选B.
【点睛】本题考查利用换元法求解函数的最值,难度一般.使用换元法后要注意到新函数定义域,同时要注意与用换元法求解函数解析式作对比.
【题型专练】
1.(重庆市巴蜀中学高一上期中)函数,的值域为
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】设,则,函数可化为,对称轴为,所以当时,函数,当时,,所以原函数的值域为
2.(2022·全国·高一课时练习)函数的值域是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】令,转化为二次函数在定区间的值域,即得解
【详解】由题意,函数的定义域为
令
故
由于为开口向下的二次函数,对称轴为
故当时,,无最小值
故函数的值域是
故选:C
3.(2021·江苏·高一单元测试)若函数的值域是,函数的值域是,则__________.
【答案】
【分析】先求出集合,再求得解.
【详解】由题得,所以函数的值域为.
对于函数,函数的定义域为,
设,所以,所以,
函数的对称轴为,所以函数的值域为.
所以.
故答案为:
4.(2022·江西省定南中学高二阶段练习(文))函数的值域为 ( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】本题通过换元法求值域,先令,将函数转化成二次函数进行求解.
【详解】函数的定义域是,令,则, ,所以,
因为,所以,所以原函数的值域为.
故选:D.
5.(2022·福建三明·高一期末)已知函数,其中m为实数.
(1)求f(x)的定义域;
(2)当时,求f(x)的值域;
(3)求f(x)的最小值.
【答案】(1),(2)[2,2]
(3)当时,f(x)的最小值为2;当时,f(x)的最小值为
【分析】(1)根据函数的解析式列出相应的不等式组,即可求得函数定义域;
(2)令,采用两边平方的方法,即可求得答案;
(3)仿(2),令,可得,从而将
变为关于t的二次函数,然后根据在给定区间上的二次函数的最值问题求解方法,分类讨论求得答案.
(1)由解得.所以f(x)的定义域为.
(2)当时,.设,则.
.当时,取得最大值8;当或时,取得最小值4.
所以的取值范围是[4,8].所以f(x)的值城为[2,2].
(3)设,由(2)知,,且,
则.
令,,
若,,此时的最小值为;
若,.
当时,在[2,2上单调递增,
此时的最小值为;
当,即时,,
此时的最小值为;
当,即时,,
此时的最小值为
所以,当时,f(x)的最小值为2;当时,f(x)的最小值为
题型四:分离常数法 反解法(利用函数有界性)
分离常数法:
将形如()的函数分离常数,变形过程为:
,再结合的取值范围确定的取值范围,从而确定函数的值域.
【例1】求函数的值域
【答案】
【详解】方法一:分离常数法:设,因为,所以,所以原函数的值域为
方法二:反解法:由,可得
,所以当时,所以原函数的值域为
【例2】求函数的值域
【答案】
【详解】方法一:分离常数法:,因为,所以原函数的值域为
方法二:反解法:由,可得,
所以,因为,所以,解得,所以原函数的值域为
【例3】求函数 的值域
【答案】
【详解】方法一:分离常数法:,因为,所以原函数的值域为
方法二:反解法:由,可得,
所以,因为,所以,解得,所以原函数的值域为
【题型专练】
1.求函数的值域
【答案】
【详解】由题意,函数可化为,可得定义域为,所以,可得,所以值域为.
2.(2022·全国·高三专题练习)设,函数表示不超过的最大整数,例如,,若函数,则函数的值域是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【分析】可得,分、、、根据定义可得答案.
【详解】,因为,所以,
所以,当时,;
当时,;
当时,;
当时,,所以函数的值域为,
故选:C.
题型五:判别式法(适用于函数)
【例1】函数的值域为______.
【答案】
【详解】方法一:分离常数法:,当时,,当时,,当时,所以,当时,所以,原函数的值域为
方法二:判别式法:设,可得,因为函数的定义域为,当时,即时,得,满足题意,当当时,
,解得,所以原函数的值域为
【例2】(2021·上海复旦附中高一期末)若函数的定义域为,值域为,求的值.
【答案】
【详解】判别式法:设,得,
因为函数的定义域为,所以,即,由知,关于的一元二次方程的两个根分别为和,由根与系数的关系得,解得
【题型专练】
1.(2022·全国·高三专题练习)函数的最大值与最小值的和是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】令,可得,可知关于的方程有解,分、两种情况讨论,结合已知条件可求得的取值范围,即可得解.
【详解】设,则有,
当时,代入原式,解得.
当时,,
由,解得,于是的最大值为,最小值为,
所以函数的最大值与最小值的和为.
故选:B.
2.(2021·全国·高一课时练习)求下列函数的值域:
(1);
(2)
【答案】(1);(2).
【分析】(1)将分式函数等价变形为一元二次方程,然后通过判别式法即可求得本题答案;
(2)把平方得,通过求函数在的值域,即可得到本题答案.
【详解】(1)由题,得,
整理,得,
当时,;
当时, 方程有实根,,
即,解得,或,
综上,所以值域为:.
(2)易知,且.
又
,
当时,有最大值,
当或时,有最小值0,
所以当时,易得,故的值域为.
3.(2021·浙江杭州·高一期中)函数的值域是___________.
【答案】
【分析】利用判别式法即可求出函数的值域.
【详解】解:,
因为
所以函数的定义域为
令,整理得方程:
当时,方程无解;
当时,
不等式整理得:
解得:
所以函数的值域为.
故答案为:
【点睛】方法点睛:求值域的常见方法
单调性法求函数值域;判别式法求函数值域;分离常数法求函数值域;分类讨论法求二次函数的值域;利用基本不等式或对勾函数求值域;换元法求值域.
题型六:图像法(画出函数的图像,直接求出定义域)
【例1】函数的值域为_____.
【答案】
【详解】原函数化为,
其图象如图,原函数值域为
【例2】(2020·全国·高三专题练习(理))高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家,用其名字命名的“高斯函数”为:设,用表示不超过的最大整数,则称为高斯函数,例如:,,已知函数,则对函数的值域
【答案】
【分析】将表示为分段函数的形式,画出函数图像,由此判断出答案
【详解】由于,所以,由此画出函数图像如下图所示,由图可知,的值域为.
【例3】定义为中的最小值,设,则的最大值是_____.
【答案】 2
【详解】本题若利用的定义将转为分段函数,则需要对三个式子两两比较,比较繁琐,故考虑进行数形结合,将三个解析式的图像作在同一坐标系下,则为三段函数图像中靠下的部分,从而通过数形结合可得的最大值点为与在第一象限的交点,即,所以.
【题型专练】
1.对任意,函数,则的最小值为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】A
【详解】画出图像可知:在处取最小值,因为,所以
2.函数的值域为_____.
答案:
【详解】
由图可知:的值域为
3.(2021·江苏·南京师大附中高一期中)若函数与的值域相同,但定义域不同,则称和是“同象函数”,已知函数,,则下列函数中,与是“同象函数”的有( )
A., B.,
C., D.,
【答案】ACD
【分析】先求出在时的值域,再分别求出四个选项中的的值域,ABC选项可以用函数单调性来求解值域,D选项可以画出函数图象,结合图象求出值域.。
【详解】当时,单调递增,所以,即
当时,单调递减,所以,即,所以
A选项正确;
当时,单调递减,此时,所以,B选项错误;
当时,的图象如图所示,
在单调递减,在单调递增,所以在处取得最小值,,因为,,所以在处取得最大值,故,C选项正确;
当时,,画出图象,如图
显然,,故D选项正确
故选:ACD
4. 已知函数,函数的最大值为________.最小值为________.
【答案】 2 -
【详解】作出f(x)的图象如图.
由图象可知,当x=2时,f(x)取最大值为2;当x=时,f(x)取最小值为-.所以f(x)的最大值为2,最小值为-.
5.对,记,函数f(x)=max{|x+1|,|x-2|}(x∈R)的最小值是________.
【答案】
【详解】由|x+1|≥|x-2|,得(x+1)2≥(x-2)2.所以x≥.所以f(x)=其图象如图所示.
由图象易知,当x=时,函数有最小值,所以f(x)min===.
6.设函数定义域为R,对给定正数M,定义函数则称函数为的“孪生函数”,若给定函数,则的值域为( )
A. B. C. D.
【答案】 A
【详解】根据“孪生函数”定义不难发现其图像特点,即以为分界线,图像在下方的图像不变,在上方的图像则变为,通过作图即可得到的值域为.