7.1 复数的概念 同步练习-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册（含答案）

7.1 复数的概念
一、单选题
1. 已知复数满足，则复数的虚部是( )
A. B. C. D.
2. 若，，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分又不必要条件
3. 欧拉恒等式：被数学家们惊叹为“上帝创造的等式”该等式将数学中几个重要的数：自然对数的底数、圆周率、虚数单位、自然数和完美地结合在一起，它是在欧拉公式：中，令得到的．根据欧拉公式，在复平面内对应的点在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4. 已知为虚数单位，，其中，，则( )
A. B. C. D.
5. 设为虚数单位，复数满足，则( )
A. B. C. D.
6. 已知复数为虚数单位，则的最大值为( )
A. B. C. D.
7. 瑞士著名数学家欧拉发现公式为虚数单位，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位被誉为数学中的“天桥”根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
8. 如果复数满足，那么的最大值是( )
A. B. C. D.
9. 已知为虚数单位，复数满足，则的最大值为( )
A. B. C. D.
10. 若，，，则“”是““的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
二、多选题
11. 已知复数其中是虚数单位，则下列命题中正确的有
A. B. 的虚部是
C. 是纯虚数 D. 在复平面内对应的点位于第四象限
12. 已知复数，则下列命题正确的是( )
A. 若，则是纯虚数 B. 若是纯虚数，则
C. 若，则 D. 若，则
13. 若复数，则下列正确的是( )
A. 当或时，为实数
B. 若为纯虚数，则或
C. 若复数对应的点位于第二象限，则
D. 若复数对应的点位于直线上，则
14. 若集合，则的值可以取( )
A. B. C. D.
15. 欧拉公式其中为虚数单位，是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位．依据欧拉公式，下列选项正确的是 ( )
A. B. 为纯虚数
C. 复数的模长等于 D. 的共轭复数为
三、填空题
16. 若复数为纯虚数，则实数的值为 ．
17. 已知，则的最大值是 ．
18. 设是虚数单位，，则 ．
19. 若为实数，复数，则 ．
20. 已知复数，是关于的方程的两个根，则 ．
四、解答题
21. 已知复数，当实数取什么值时，复数是零；纯虚数；．
22. 四边形为复平面内的平行四边形，向量对应的复数为，对应的复数为，对应的复数为．
求点对应的复数；
判断、、、四点是否在同一个圆上？并证明你的结论．
23. 已知复数．
若在复平面中所对应的点在直线上，求的值；
求的取值范围．
24. 复数，
当时，求复数的模；
当实数为何值时，复数为纯虚数；
若复数在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围．
25. 已知复数使得，，其中是虚数单位．
求复数的共轭复数；
若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围．
1、 ； 2、 ； 3、 ； 4、 ； 5、 ； 6、 ； 7、 ； 8、 ； 9、 ； 10、 ； 11、 ； 12、 ； 13、 ； 14、 ； 15、 ；
16、 ； 17、 ； 18、 ； 19、 ； 20、
21、解：由可得．
由可得．
由可得．
综上，当时，复数是；
当时，复数是纯虚数；
当时，复数．

22、解：设，
由题意知，，，，
由，得，得，，，
则点对应的复数；
由，得，即四边形为矩形
、、、四点共圆．
23、解：，
所以在复平面中所对应的点的坐标为，
因为在复平面中所对应的点在直线上，
所以，解得；
，
因为，且，
所以，
故的取值范围是．
24、解：当时，，
；
由
解得，
时，为纯虚数．
由，解得，
当时，复数在复平面内对应的点在第二象限．
25、解：设，则，
，，即．
又，
，即．
，则；
为实数，且，
由题意，，解得．
实数的取值范围为．