8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 同步练习-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册（含答案）

第三节圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 同步练习
一、单选题（8题）
1．若圆柱轴截面周长C为定值，则表面积最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．要制作一个容积为的圆柱形封闭容器，要使所用材料最省，则圆柱的高和底面半径应分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．已知圆锥的母线长为3，若轴截面为等腰直角三角形，则圆锥的表面积为（ ）
A． B． C． D．
4．已知一个圆台的上、下底面半径分别为2，4，它的侧面展开图扇环的圆心角为90°，则圆台的表面积为（ ）
A． B． C． D．
5．用与球心距离为的平面去截球，截面面积为，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
6．已知是边长为3的等边三角形，其顶点都在球O的球面上，若球O的体积为，则球心O到平面ABC的距离为（ ）
A． B． C．1 D．
7．已知A，B，C，D在球O的表面上， 为等边三角形且边长为3，平面ABC，，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
8．若球的表面积扩大为原来的n倍，则它的半径比原来增加的倍数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（2题）
9．边长为2的正方形绕旋转形成一个圆柱，则该圆柱的表面积为___________.
10．四面体中，，，则此四面体外接球的表面积为 _____．
三、解答题（2题）
11．圆锥的全面积为，侧面展开图是一个半圆．
(1)圆锥母线与底面所成的角；
(2)圆锥的体积．
12．如图所示，在中，，，.在三角形内挖去半圆（圆心O在边AC上，半圆与BC、AB分别相切于点C、M，与AC交于N），求图中阴影部分绕直线AC旋转一周所得的几何体体积.
参考答案：
1．D
【分析】设圆柱底面半径为r，高为h，由已知及圆柱的表面积公式结合二次函数性质即可得到表面积的最大值．
【详解】设圆柱底面半径为r，高为h，
因为圆柱的轴截面周长为(C为定值)，所以，
所以圆柱的表面积为
，
当时，圆柱的表面积有最大值为．
故选：D．
2．C
【分析】设圆柱的高为，底面半径为．由，可得，再利用基本不等式即可得出．
【详解】解：设圆柱的高为，底面半径为．
，
．
当且仅当，即当时取等号．
此时．
即当，时取得最小值．
故选：C.
3．B
【分析】求得圆锥的底面半径，进而求得圆锥的表面积.
【详解】依题意，圆锥的母线长为3，轴截面为等腰直角三角形，
所以圆锥的底面半径为，
所以圆锥的表面积为.
故选：B
4．B
【分析】计算母线长为，再利用圆台的表面积公式计算得到答案.
【详解】圆台母线长为，
圆台的表面积.
故选：B
5．A
【分析】根据截面面积求得截面半径r，进而求得球的半径R，再利用球的体积公式求解即可．
【详解】设截面半径r，球的半径R，截面与球心距离为，
由题意得，截面面积，解得，
因为，所以，
所以球的体积．
故选：A．
6．C
【分析】设的中心为，求得，再根据球O的体积为，求得半径，然后利用球的截面性质求解.
【详解】解：如图所示：
因为是边长为3的等边三角形，且的中心为，
所以，
又因为球O的体积为，
所以，
解得，即，
所以，
即球心O到平面ABC的距离为1，
故选：C
7．C
【分析】球心在平面的投影为的中心，设为，连接，计算，，根据勾股定理得到，计算表面积得到答案.
【详解】球心在平面的投影为的中心，设为，连接，
是中点，连接，如图所示：
，，则，四边形为矩形，
，，故，.
故选：C
8．A
【分析】根据球的表面积公式计算即可直接求解.
【详解】设原球的半径为，扩大后为，
则原表面积为，扩大n倍后变为，
所以，得，
即半径扩大到原来的倍，比原来增加了倍.
故选：A.
9．
【分析】圆柱的底面半径，母线长，代入公式求值即可.
【详解】该圆柱的底面半径，母线长，
所以该圆柱体的表面积为.
故答案为：.
10．
【分析】将四面体放入长方体中，使得六条棱分别为长方体六个面的面对角线，则长方体的外接球即为四面体的外接球，利用数据计算长方体的体对角线即为外接球的直径，可得球的表面积．
【详解】将四面体放入长方体中，使得六条棱分别为长方体六个面的面对角线，
如图：
则长方体的外接球即为四面体的外接球，
又长方体的体对角线即为外接球的直径，
设长方体的长宽高分别为，
则有，，，
所以，
所以外接球的表面积为，
故答案为：
11．(1)
(2)
【分析】（1）设圆锥的底面半径为，母线长为，进而结合题意得，再求解即可；
（2）结合（1）得圆锥的高为，再计算体积即可.
【详解】（1）解：设圆锥的底面半径为，母线长为，
因为圆锥的全面积为，侧面展开图是一个半圆，
所以，即，解得，
所以，圆锥的轴截面为等边三角形，如图，
所以，圆锥母线与底面所成的角为.
（2）解：由（1）知圆锥的底面半径为，母线长为，
所以，圆锥的高为，
所以，圆锥的体积为
12．
【分析】几何体是图中阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体，是一个圆锥内挖去一个球后剩余部分，求出圆锥的体积减去球的体积，可得几何体的体积．
【详解】解：几何体是图中阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体，
是一个圆锥内挖去一个球后剩余部分，球是圆锥的内接球，
所以圆锥的底面半径是：1，高为，
球的半径为，，
所以圆锥的体积：，
球的体积：，
阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体的体积为：.