第13讲 函数的单调性9种常见题型
【考点分析】
考点一：函数单调性的定义
如果函数对区间内的任意，当时都有，则在内是增函数；当时都有，则在内时减函数。
考点二：单调性的定义的等价形式：
设，那么在是增函数；
在是减函数；
在是减函数。
在是增函数。
考点三：函数单调性的应用
即若在区间上递增（递减）且()；
若在区间上递递减且.().
考点四：函数单调性的性质
在公共定义域内，则
①增函数增函数是增函数；
②减函数减函数是减函数；
③增函数减函数是增函数；
④减函数增函数是减函数。
考点五：双勾函数及其性质
函数叫做双勾函数
在上单调递增；在上是单调递减。
考点六：复合函数单调性的判断（同增异减）
讨论复合函数的单调性时要注意：
①若，在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数;
②若，在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数．列表如下:
增 增 增
增 减 减
减 增 减
减 减 增
复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减．
【题型目录】
题型一：用定义法证明函数单调性
题型二：抽象函数单调性的判断证明
题型三：函数单调性定义的理解
题型四：基本初等函数的单调性
题型五：函绝对值函数的单调性判断
题型六：已知函数的单调性求参数范围
题型七：分段函数的单调性求参数范围
题型八：复合函数单调性（同增异减）
题型九：抽象函数单调性解不等式
【典型例题】
题型一：用定义法证明函数单调性
证明函数单调性的步骤:
(1)取值:设，是定义域内一个区间上的任意两个量，且；
(2)变形:作差变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商变形；
(3)定号:判断差的正负或商与的大小关系；
(4)得出结论．
【例1】证明函数在（0，1）上是减函数。
【例2】（2021·湖北黄石·高一期中）已知函数（，），当时，用单调性的定义证明在上是增函数.
【题型专练】
1．（2020·湖南·华容县教育科学研究室高一期末）已知函数，且 .
(1)求函数的解析式；
(2)判断函数在区间上的单调性并用定义法加以证明.
2.（2022·全国·高一专题练习）判断 在 的单调性.
3.（2022·贵州黔西·高一期末）已知函数的定义域为，判断在上的单调性，并用定义证明；
题型二：抽象函数单调性的判断证明
类型一：型
【例1】已知定义在上的函数对任意，恒有，且当时，.试判断在的单调性，并证明；
【题型专练】
1.已知函数的定义域为，当时，，且，试判断函数在定义域上的单调性。
2．（2022·全国·高一专题练习）定义在上的函数满足下面三个条件：
① 对任意正数，都有；② 当时，；③
(1)求和的值；
(2)试用单调性定义证明：函数在上是减函数；
类型二：型
【例1】已知函数的定义域为，且对任意的均有，且对任意的，都有.
（1）试说明：函数是上的单调递减函数；
【题型专练】
1.已知函数的定义域为，且对任意的均有，且对任意的，都有，试判断函数在定义域上的单调性。
类型三：型
【例1】已知定义域为，对任意都有，且当时，.(1)试判断的单调性，并证明；
【题型专练】
1.已知定义域为，对任意都有，且当时，.
(1)试判断的单调性，并证明；
题型三：函数单调性定义的理解（注意对于任意字样）
【例1】下列命题正确的是（ ）
A．若对于，，，都有，则函数 在R上是增函数
B．若对于，，，都有，则函数在R上是增函数
C．若对于，都有成立，则函数 在R上是增函数
D．若对于，都有，为增函数，则函数在R上也是增函数
【题型专练】
1.（2021·河北·石家庄一中高一期中）给出下列命题，其中是错误命题的是（ ）
A．若函数的定义域为[0，2]，则函数的定义域为[0，4].
B．函数的单调递减区间是
C．若定义在R上的函数在区间上是单调增函数，在区间上也是单调增函数，则在R上是单调增函数.
D．、是在定义域内的任意两个值，且<，若，则减函数.
题型四：基本初等函数的单调性
1.一次函数：①当时，为增函数②当时，为减函数
2.反比例函数：①当时，在和上为减函数②当时，在和上为增函数，注意：不能说反比例函数在定义域为增函数或者减函数，不连续的函数一定要注意，不能写成，只能用“和”或者“，”
3.二次函数：，看开口方向和对称轴
【例1】（2022·江苏·高一）函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（2021·全国·高一专题练习）函数与的单调递增区间分别为（ ）
A．[1，+∞)，[1，+∞) B．(﹣∞，1]，[1，+∞)
C．(1，+∞)，(﹣∞，1] D．(﹣∞，+∞)，[1，+∞)
【例3】（2021·全国·高一单元测试）函数在（ ）
A．上是增函数 B．上是减函数
C．和上是增函数 D．和上是减函数
【例4】下列结论正确的是
A．函数的单调增区间是
B．函数在定义域内单调递减
C．函数 的单调递增区间是
D．函数的单调递减区间是
【例5】（2021·江苏·高一单元测试）已知，，设，则关于的说法正确的是（ ）
A．最大值为3，最小值为
B．最大值为，无最小值
C．单调递增区间为和，单调递减区间为和
D．单调递增区间为和，单调递减区间为和
【题型专练】
1.下列说法正确的是
若，当时，，则在上为增函数
函数在上为增函数
函数 在定义域内为增函数
函数的单调增区间为
2.下列函数中，满足“对于任意，都有”的是
3.求函数的单调区间为
4.函数的定义域是，则其值域为
5.（2021·全国·高一课前预习）函数 的单调递减区间是________．
6.（2021·全国·高一课时练习）函数的单调递增区间为______.
题型五：函绝对值函数的单调性判断
1.注意函数和函数图象的画法
2.当函数中某一部有绝对值可以考虑通过讨论正负去掉绝对值
【例1】（2022·上海金山·高一期末）函数的递增区间是______.
【例2】（2021·全国·高一专题练习）函数的单调递减区间是__________.
【例3】（2020·全国·高一课时练习）求函数的单调递增区间________.
【例4】（2022·全国·高一专题练习）函数的单调递减区间是________.
【例5】（2021·全国·高一专题练习）函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【题型专练】
1.（2020·全国·高一课时练习）关于函数，下列结论：①函数在定义域内是减函数；②函数有两个单调区间，且单调性不相同；③函数在上单调递减；④函数的单调区间为.其中正确的个数是（ ）
A．1 B． C．3 D．
2.求函数的单调增区间为
3.（2021·全国·高一课时练习）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．增区间是 B．减区间是
C．增区间是 D．增区间是
4.（2023·全国·高三专题练习）函数的单调递增区间是（ ）
A． B．和
C． D．和
题型六：已知函数的单调性求参数范围
【例1】已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【例2】若函数的单调增区间是，则_________
【例3】已知函数在区间上是增函数，试求的取值范围。
【例4】（2021·全国·高一单元测试）已知函数与在区间上都是减函数，那么（ ）
A． B． C． D．
【例5】（2021·全国·高一专题练习）已知函数，下列关于函数的单调性说法正确的是（ ）
A．函数在上不具有单调性
B．当时，在上递减
C．若的单调递减区间是，则a的值为
D．若在区间上是减函数，则a的取值范围是
E．在区间上不可能是减函数
【例6】已知二次函数的图象过点，且不等式的解集为.
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）设，若在上是单调函数，求实数m的取值范围.
【题型专练】
1.（2021·全国·高一单元测试）函数在区间上单调递增，则的取值范围是有（ ）
A． B． C． D．
2.（2021·全国·高一课时练习）若函数在上是严格增函数，则实数a的取值范围是______．
3.（2021·全国·高一课时练习）若是上的严格减函数.则实数的取值范围是________．
4.（2021·全国·高一课时练习）若是上的严格增函数，则实数a、b的取值范围分别是_________________．
5．（2021·全国·高一课时练习）已知函数在区间上是严格减函数，并且函数值不恒为负，则a的取值范围是______.
6.（2020重庆巴蜀高一半期） 若二次函数满足,且．
（1）求的解析式;
（2）若函数在上递减,上递增,求的值及当时函数的值域.
题型七：分段函数的单调性求参数范围
【例1】（2020·尤溪县第五中学高一期末）若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（重庆巴蜀高一月考）设函数是定义在上增函数，则实数取值范围（ ）
A. B. C. D.
【例3】（2021·江苏·高一单元测试）已知函数 若对任意，，且，有成立，则实数a的值是（ ）
A．2 B． C． D．1
【例4】（2022·河南·南阳中学高一阶段练习）已知函数是R上的增函数，则a的取值范围为（ ）
A．[-4，0) B．[-4，-2] C． D．
【例5】（2021·全国·高一课时练习）已知函数（）是区间上的增函数，则实数t的取值范围是（ ）
A．{1} B． C． D．
【题型专练】
1.（2021·江苏·高一单元测试）函数，若对任意，都有成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．(－∞，1] B．(1，5) C．[1，5) D．[1，4]
2.（2021·全国·高一课时练习）已知f(x)＝，若f(x)是R上的增函数，则实数a的范围是________．
4.已知函数在上是减函数，则a的取值范围为
A． B． C． D．
5.已知在上单调递减，则a的取值范围为
A． B． C． D．
6.已知函数是R上的增函数，则a的取值范围是
A． ﹣3≤a＜0 B． ﹣3≤a≤﹣2 C． a≤﹣2 D． a＜0
题型八：复合函数单调性（同增异减）
【例1】函数的增区间为
【例2】（重庆巴蜀中学高一月考）已知函数对任意两个不相等的实数，都有不等式成立，则实数的取值范围是
【例3】（重庆18中高一半期）已知函数的定义域为,则函数的单调递增区间是
A. B.
C. D.
【题型专练】
1.（2021·全国·高一课时练习）函数的单调递增区间为______.
2.函数的单调增区间是___________, 单调减区间是___________;
题型九：抽象函数单调性解不等式
【例1】若函数在单调递增，且，则实数的取值范围是（ ）
【例2】（2022·湖南·高一课时练习）已知是定义在区间上的增函数，且，则的取值范围为______.
【例3】（2021·全国·高一课时练习）设是定义在上的单调增函数，且对定义域内任意，都有，且，则使不等式成立的的取值范围是______．
【例4】已知函数f(x)＝，若f(2－a2)＞f(a)，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－1,2)
C．(－2,1) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
【例5】（2021莆田第十五中学高三月考）设是定义在上的增函数，且不等式对恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题型专练】
1.已知是定义在上的减函数，并且，求实数m的取值范围．
2.已知在区间上是减函数，且，则下列表达正确的是
A． B．
C． D．
3.设函数是上的减函数，则（ ）
A. B. C. D.
4.已知函数对于任意的，都有，则的大小关系为第13讲 函数的单调性9种常见题型
【考点分析】
考点一：函数单调性的定义
如果函数对区间内的任意，当时都有，则在内是增函数；当时都有，则在内时减函数。
考点二：单调性的定义的等价形式：
设，那么在是增函数；
在是减函数；
在是减函数。
在是增函数。
考点三：函数单调性的应用
即若在区间上递增（递减）且()；
若在区间上递递减且.().
考点四：函数单调性的性质
在公共定义域内，则
①增函数增函数是增函数；
②减函数减函数是减函数；
③增函数减函数是增函数；
④减函数增函数是减函数。
考点五：双勾函数及其性质
函数叫做双勾函数
在上单调递增；在上是单调递减。
考点六：复合函数单调性的判断（同增异减）
讨论复合函数的单调性时要注意：
①若，在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数;
②若，在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数．列表如下:
增 增 增
增 减 减
减 增 减
减 减 增
复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减．
【题型目录】
题型一：用定义法证明函数单调性
题型二：抽象函数单调性的判断证明
题型三：函数单调性定义的理解
题型四：基本初等函数的单调性
题型五：函绝对值函数的单调性判断
题型六：已知函数的单调性求参数范围
题型七：分段函数的单调性求参数范围
题型八：复合函数单调性（同增异减）
题型九：抽象函数单调性解不等式
【典型例题】
题型一：用定义法证明函数单调性
证明函数单调性的步骤:
(1)取值:设，是定义域内一个区间上的任意两个量，且；
(2)变形:作差变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商变形；
(3)定号:判断差的正负或商与的大小关系；
(4)得出结论．
【例1】证明函数在（0，1）上是减函数。
证明：设，且，则
因为，且，所以，所以，所以，所以函数在（0，1）上是减函数。
【例2】（2021·湖北黄石·高一期中）已知函数（，），当时，用单调性的定义证明在上是增函数.
【答案】证明见解析
解：当时，，任取，且，则 .因为，所以，，，所以，即.所以在上是增函数.
【题型专练】
1．（2020·湖南·华容县教育科学研究室高一期末）已知函数，且 .
(1)求函数的解析式；
(2)判断函数在区间上的单调性并用定义法加以证明.
【答案】(1)，(2)单调递增，证明见解析
【分析】（1）直接根据题意代入求值即可；
（2）根据定义法判断函数在区间上的单调性即可.
（1）因为，所以，所以.
（2）函数在上单调递增，证明如下：任取，且，所以，因为，所以所以，即，所以在上单调递增.
2.（2022·全国·高一专题练习）判断 在 的单调性.
【答案】函数在 内单调递减，在 内单调递增．
【分析】根据单调性的定义，假设自变量的大小，作差比较函数值的大小，进而可判断单调性.
【详解】设，
则
（1）假如，则
又，所以故函数单调递减；
（2）假如，则
又所以故函数单调递增；
所以函数在内单调递减，在内单调递增．
3.（2022·贵州黔西·高一期末）已知函数的定义域为，判断在上的单调性，并用定义证明；
【答案】在上单调递增，证明见解析
【分析】设，由可证得在上单调递增.
【详解】在上单调递增，证明如下：设，
；
，，，，，
是在上单调递增.
题型二：抽象函数单调性的判断证明
类型一：型
【例1】已知定义在上的函数对任意，恒有，且当时，.试判断在的单调性，并证明；
解析：设是区间上的任意两个实数，且，所以，因为
且，所以，所以，所以，即，所以在上单调递减
【题型专练】
1.已知函数的定义域为，当时，，且，试判断函数在定义域上的单调性。
解析：设是区间上的任意两个实数，且，所以，因为
且，所以，所以，所以，即，所以在上单调递增
2．（2022·全国·高一专题练习）定义在上的函数满足下面三个条件：
① 对任意正数，都有；② 当时，；③
(1)求和的值；
(2)试用单调性定义证明：函数在上是减函数；
【答案】(1),，(2)证明见解析
【分析】（1）赋值计算得解；（2）根据定义法证明单调性；
【详解】(1)得，则，而，
且，则；
(2)取定义域中的任意的，，且，，
当时，，，
，在上为减函数．
类型二：型
【例1】已知函数的定义域为，且对任意的均有，且对任意的，都有.
（1）试说明：函数是上的单调递减函数；
解析：设是区间上的任意两个实数，且，所以，因为
且，所以，所以，所以，即，所以在上单调递减
【题型专练】
1.已知函数的定义域为，且对任意的均有，且对任意的，都有，试判断函数在定义域上的单调性。
解析：设是区间上的任意两个实数，且，所以
，因为
且，所以，所以，所以，即，所以在上单调递增
类型三：型
【例1】已知定义域为，对任意都有，且当时，.(1)试判断的单调性，并证明；
解析：设是区间上的任意两个实数，且，所以，因为且，所以，所以，所以，即，所以在上单调递减
【题型专练】
1.已知定义域为，对任意都有，且当时，.
(1)试判断的单调性，并证明；
解析：设，则，所以，即，任取，且，则，所以
即，所以在上单调递增
题型三：函数单调性定义的理解（注意对于任意字样）
【例1】下列命题正确的是（ ）
A．若对于，，，都有，则函数 在R上是增函数
B．若对于，，，都有，则函数在R上是增函数
C．若对于，都有成立，则函数 在R上是增函数
D．若对于，都有，为增函数，则函数在R上也是增函数
【答案】AB
【详解】A选项中，化简为，
故函数在R上是增函数；
B选项中，
故函数在R上是增函数；
C选项中，令，表示不超过x的最大的整数，
满足，但在R上不是增函数；
D选项中，令，但函数在R上不单调．
【题型专练】
1.（2021·河北·石家庄一中高一期中）给出下列命题，其中是错误命题的是（ ）
A．若函数的定义域为[0，2]，则函数的定义域为[0，4].
B．函数的单调递减区间是
C．若定义在R上的函数在区间上是单调增函数，在区间上也是单调增函数，则在R上是单调增函数.
D．、是在定义域内的任意两个值，且<，若，则减函数.
【答案】ABC
【解析】对于A，由于的定义域为[0，2]，则由可求出的定义域；对于B，反比例函数的两个单调区间不连续，不能用并集符号连接；对于C，举反例可判断；对于D，利用单调性的定义判断即可
【详解】解：对于A，因为的定义域为[0，2]，则函数中的，，所以的定义域为，所以A错误；
对于B，反比例函数的单调递减区间为和，所以B错误；
对于C，当定义在R上的函数在区间上是单调增函数，在区间上也是单调增函数，而在R上不一定是单调增函数，如下图，显然，
所以C错误；
对于D，根据函数单调性的定义可得该选项是正确的，
故选：ABC
题型四：基本初等函数的单调性
1.一次函数：①当时，为增函数②当时，为减函数
2.反比例函数：①当时，在和上为减函数②当时，在和上为增函数，注意：不能说反比例函数在定义域为增函数或者减函数，不连续的函数一定要注意，不能写成，只能用“和”或者“，”
3.二次函数：，看开口方向和对称轴
【例1】（2022·江苏·高一）函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据反比例函数的性质得解；
【详解】解：因为定义域为，函数在和上单调递减，
故函数的单调递减区间为和；
故选：A
【例2】（2021·全国·高一专题练习）函数与的单调递增区间分别为（ ）
A．[1，+∞)，[1，+∞) B．(﹣∞，1]，[1，+∞)
C．(1，+∞)，(﹣∞，1] D．(﹣∞，+∞)，[1，+∞)
【答案】A
【解析】先对，进行化简，再求单调区间即可.
【详解】解： ，
在上单调递增，
，
在上单调递增，
故选：A.
【例3】（2021·全国·高一单元测试）函数在（ ）
A．上是增函数 B．上是减函数
C．和上是增函数 D．和上是减函数
【答案】C
【分析】分离常数，作出函数图象，观察即可得出结果.
【详解】，函数的定义域为，
其图象如下：由图象可得函数在和上是增函数.
故选：C
【例4】下列结论正确的是
A．函数的单调增区间是
B．函数在定义域内单调递减
C．函数 的单调递增区间是
D．函数的单调递减区间是
【答案】C
【详解】对A，函数的定义域为，解得，所以A错
对B，所以在和上分别为减函数，但不能说定义域内单调递减
对C，由题意函数，
图象如图：
函数的单调增区间为，，单调减区间为，；
对D，当时，的开口向下，对称轴为，所以的单调减区间为，又当时，为减函数，但中间不能用这个符号
【例5】（2021·江苏·高一单元测试）已知，，设，则关于的说法正确的是（ ）
A．最大值为3，最小值为
B．最大值为，无最小值
C．单调递增区间为和，单调递减区间为和
D．单调递增区间为和，单调递减区间为和
【答案】BC
【分析】在同一坐标系中由与的图象得出函数的图象，结合图象即可得出的性质，判断各选项．
【详解】在同一坐标系中先画出与的图象，
当时，，表示的图象在的图象下方就留下的图象，
当时，，表示的图象在的图象下方就留下的图象，
然后根据定义画出，
就容易看出有最大值，无最小值，
故A错误，
当时，由，得舍或，
此时的最大值为：，无最小值，
故B正确，
时，由，解得：（舍去），
故F在，递增，在和递减
故C正确，D错误，
故选：BC．
【题型专练】
1.下列说法正确的是
若，当时，，则在上为增函数
函数在上为增函数
函数 在定义域内为增函数
函数的单调增区间为
【答案】B
【详解】对A，由函数单调性的定义知，应为对于任意，所以没有任意二字，不对
对B，对称轴为，开口向上，所以函数在上为增函数
对C，所以在和上分别为增函数，但不能说定义域内单调递增
对D，在和上分别为减函数，，但中间不能用这个符号
2.下列函数中，满足“对于任意，都有”的是
【答案】C
【详解】因为“对于任意，都有”，所以在上为增函数
3.求函数的单调区间为
【答案】增区间：和
【详解】，所以的单调递增区间为和
4.函数的定义域是，则其值域为
【答案】
【详解】由题意知在定义域上为增函数，所以当时，
，当时，
5.（2021·全国·高一课前预习）函数 的单调递减区间是________．
【答案】(－∞，1)，(1，＋∞)
【分析】根据函数单调性的定义求得函数 的单调递减区间.
【详解】函数的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，设x1，x2∈(－∞，1)，且x1f(x1)－f(x2)＝－＝.因为x1所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
所以函数f(x)在(－∞，1)上单调递减，同理函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减．
综上，函数f(x)的单调递减区间是(－∞，1)，(1，＋∞)．
故答案为：(－∞，1)，(1，＋∞)
6.（2021·全国·高一课时练习）函数的单调递增区间为______.
【答案】
【分析】先求函数的定义域，再由复合函数的单调性即可求解.
【详解】由题意可得，即，解得：，
所以函数的定义域是，
是由和 复合而成，
因为对称轴为，开口向下，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
而单调递增，
所以的单调递增区间是，
故答案为：.
题型五：函绝对值函数的单调性判断
1.注意函数和函数图象的画法
2.当函数中某一部有绝对值可以考虑通过讨论正负去掉绝对值
【例1】（2022·上海金山·高一期末）函数的递增区间是______.
【答案】[1，+∞）
【分析】画出函数y＝|x﹣1|的图象，数形结合可得函数的增区间．
【详解】解：函数y＝|x﹣1|的图象如图所示：
数形结合可得函数的增区间为[1，+∞），
故答案为：[1，+∞）．
【点睛】本题主要考查函数的图象特征，函数的单调性的判断，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．
【例2】（2021·全国·高一专题练习）函数的单调递减区间是__________.
【答案】
【分析】由题意结合零点分段法可得，即可得解.
【详解】由题意，
所以函数的单调递减区间为.
故答案为：.
【点睛】本题考查了含绝对值函数单调区间的求解，考查了零点分段法的应用与分类讨论思想，属于基础题.
【例3】（2020·全国·高一课时练习）求函数的单调递增区间________.
【答案】和
【解析】分类讨论去绝对值，求出分段函数的解析式，转化为二次函数的单调性，结合函数图像，即可求解.
【详解】，
作出函数图象如图所示.
函数的单调递增区间是和.
故答案为:和.
【点睛】本题考查分段函数和二次函数的单调性，属于中档题.
【例4】（2022·全国·高一专题练习）函数的单调递减区间是________.
【答案】
【解析】由，分段讨论出函数的单调区间，从而得出答案.
【详解】由
当时，开口向上，对称轴方程为，所以在上单调递增.
当时，开口向下，对称轴方程为
所以此时在上单调递增，在上单调递减.
故答案为：
【例5】（2021·全国·高一专题练习）函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】去绝对值，将化为分段函数，转化为二次函数的单调区间，即可求解.
【详解】，
所以递增区间是.
故选:C.
【点睛】本题考查分段函数的单调性，注意二次函数单调性的应用，属于基础题.
【题型专练】
1.（2020·全国·高一课时练习）关于函数，下列结论：①函数在定义域内是减函数；②函数有两个单调区间，且单调性不相同；③函数在上单调递减；④函数的单调区间为.其中正确的个数是（ ）
A．1 B． C．3 D．
【答案】A
【分析】先求出函数的定义域,让后将写成分段函数的形式,再判断单调性和求单调区间即可.
【详解】解:函数定义域为，，
定义域区间不连续，结论①、④错误；
在上函数单调递递增，结论③错误；
函数在区间上递增，在区间上递减，结论②正确.
故选:A
【点睛】本题考查了分段函数,函数的单调性和函数的单调区间,是基础题.
2.求函数的单调增区间为
【答案】和
【详解】画出函数的图象（如图所示）可知
3.（2021·全国·高一课时练习）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．增区间是 B．减区间是
C．增区间是 D．增区间是
【答案】D
【解析】根据题意，将写成分段函数的形式，结合二次函数的性质分段讨论的单调性和单调区间，综合可得答案．
【详解】根据题意，函数，
当时，，在区间上为减函数，在区间上为增函数；
当时，，在区间上为增函数，在区间上为减函数；
综合可得：在区间和上为减函数，在区间上为增函数，
故选：D.
4.（2023·全国·高三专题练习）函数的单调递增区间是（ ）
A． B．和
C． D．和
【答案】B
【解析】作出函数的图象，由图象求解单调区间.
【详解】，
作出其图象如图所示：
由图象可知，函数的增区间为和.
故选:B
题型六：已知函数的单调性求参数范围
【例1】已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】的对称轴为，因为在区间上是减函数，所以，解得
【例2】若函数的单调增区间是，则_________
【答案】
【详解】令，可得，因为函数的单调增区间是，所以，解得
【例3】已知函数在区间上是增函数，试求的取值范围。
【答案】
【详解】
因为在区间上是增函数，所以，解得
【例4】（2021·全国·高一单元测试）已知函数与在区间上都是减函数，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】二次函数在区间单减，则区间在二次函数的减区间范围内，从而求得的范围；反比例函数在区间单调递减，得，取交集即可
【详解】根据二次函数的表达式可知，的对称轴为，开口向下，若在区间上是减函数，则，是反比例函数，若在区间是减函数，则，所以
故选：C
【例5】（2021·全国·高一专题练习）已知函数，下列关于函数的单调性说法正确的是（ ）
A．函数在上不具有单调性
B．当时，在上递减
C．若的单调递减区间是，则a的值为
D．若在区间上是减函数，则a的取值范围是
E．在区间上不可能是减函数
【答案】BD
【解析】对二次项系数分类讨论，当时，，在上是减函数；当时，函数是二次函数，根据开口方向，和对称轴的位置，可判断其单调性，或由单调性，求参数，即可得出结论.
【详解】当时，，在上是减函数，A错误；
当时，，其单调递减区间是，
因此在上递减，B正确；
由的单调递减区间是得，
a的值不存在，C错误；
在D中，当时，，在上是减函数；
当时，由，得，
所以a的取值范围是，D正确；
由在区间上是减函数得，
解得，因此在区间上可能是减函数，E错误.
故选:BD
【点睛】本题考查一次函数、二次函数单调性，以及由单调性求参数范围，考查分类讨论思想，属于中档题.
【例6】已知二次函数的图象过点，且不等式的解集为.
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）设，若在上是单调函数，求实数m的取值范围.
解析：（1）由题意可设，即，由的图象过点，可得，解得，所以
（2），对称轴，因为在上是单调函数，所以，解得
【题型专练】
1.（2021·全国·高一单元测试）函数在区间上单调递增，则的取值范围是有（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先求出函数的对称轴，根据二次函数的性质得到不等式，解得即可；
【详解】解：因为函数，开口向下，对称轴为，依题意，解得，即
故选：D
2.（2021·全国·高一课时练习）若函数在上是严格增函数，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【分析】由题意知函数是严格增函数，故前面的系数大于零，即可得到答案.
【详解】 函数在上是严格增函数，.
故答案为：.
3.（2021·全国·高一课时练习）若是上的严格减函数.则实数的取值范围是________．
【答案】
【分析】当时，符合题意，当时，求出对称轴，由二次函数的性质可得或即可求解.
【详解】当时，在上单调递减，所以符合题意；
当时，对称轴为，
若是上的严格减函数，
则或，可得或，
综上所述：实数的取值范围是，
故答案为：.
4.（2021·全国·高一课时练习）若是上的严格增函数，则实数a、b的取值范围分别是_________________．
【答案】，
【分析】利用分段函数的单调性即可求解.
【详解】，
在上为增函数，
，
故答案为：，
5．（2021·全国·高一课时练习）已知函数在区间上是严格减函数，并且函数值不恒为负，则a的取值范围是______.
【答案】
【分析】将函数变形为，利用反比例型函数的性质求解.
【详解】将函数整理变形，得，
因为该函数在区间上是严格减函数，并且函数值不恒为负，
所以，且当时，函数值，
解得.
故答案为：
6.（2020重庆巴蜀高一半期） 若二次函数满足,且．
（1）求的解析式;
（2）若函数在上递减,上递增,求的值及当时函数的值域.
解析：（1）由题意，可设，因为二次函数满足,所以的对称轴为，所以，可得，又因，所以，可得，因为，即，即，所以，因为，解得
所以的解析式为
（2）由题意，可知：，因为在上递减,上递增，所以的对称轴为，所以，解得，所以，因为在上递减，所以在上递减，所以，当时，，当时，，所以当时函数的值域为
题型七：分段函数的单调性求参数范围
【例1】（2020·尤溪县第五中学高一期末）若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意知，要使在上单调递增，
则，解得
【例2】（重庆巴蜀高一月考）设函数是定义在上增函数，则实数取值范围（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：画出图象可得在上单调递增，因为函数是定义在上增函数，所以，解得
【例3】（2021·江苏·高一单元测试）已知函数 若对任意，，且，有成立，则实数a的值是（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】D
【分析】根据，得出函数在R上单调递减，分段函数递减必须满足，每一段是减函数，同时保证在分端点左右两端相等或递减，列式即可求解.
【详解】因为成立，
所以函数在R上单调递减，
由题意，得 ,
．
故选:D．
【例4】（2022·河南·南阳中学高一阶段练习）已知函数是R上的增函数，则a的取值范围为（ ）
A．[-4，0) B．[-4，-2] C． D．
【答案】B
【分析】依题意可得函数在各段均是增函数且在断点的左侧的函数值不大于断点右侧的函数值，即可得到不等式组，解得即可；
【详解】解：因为且在上单调递增，
所以，解得，即
故选：B
【例5】（2021·全国·高一课时练习）已知函数（）是区间上的增函数，则实数t的取值范围是（ ）
A．{1} B． C． D．
【答案】D
【分析】根据分段函数单调性的性质，列式求实数的取值范围.
【详解】∵（）是区间上的增函数，∴，∴．
故选：D．
【题型专练】
1.（2021·江苏·高一单元测试）函数，若对任意，都有成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．(－∞，1] B．(1，5) C．[1，5) D．[1，4]
【答案】D
【分析】由函数的单调性可求解．
【详解】因为对任意，都有成立，所以是减函数，
则，解得．
故选：D．
2.（2021·全国·高一课时练习）已知f(x)＝，若f(x)是R上的增函数，则实数a的范围是________．
【答案】
【分析】根据在上递增列不等式组，由此求得的取值范围.
【详解】由于在上递增，
所以，解得.
故答案为：
4.已知函数在上是减函数，则a的取值范围为
A． B． C． D．
答案：B
解析：因为函数在上是减函数，
所以，解得
5.已知在上单调递减，则a的取值范围为
A． B． C． D．
答案：B
解析：因为函数在上是减函数，
所以，解得
6.已知函数是R上的增函数，则a的取值范围是
A． ﹣3≤a＜0 B． ﹣3≤a≤﹣2 C． a≤﹣2 D． a＜0
答案：B
解析：因为函数在上是减函数，
所以，解得
题型八：复合函数单调性（同增异减）
【例1】函数的增区间为
答案：
解析：函数的定义域为，解得
设，对称轴，所以函数的增区间为
【例2】（重庆巴蜀中学高一月考）已知函数对任意两个不相等的实数，都有不等式成立，则实数的取值范围是
答案：D
解析：由函数对任意两个不相等的实数，都有不等式成立，得在上单调递增，设，则在上单调递增，且当时，，不满足题意，
当时，必有，解得
【例3】（重庆18中高一半期）已知函数的定义域为,则函数的单调递增区间是
A. B.
C. D.
答案：
解析：函数的定义域为，解得
设，对称轴，开口向下，所以函数的单调递增区间是为
【题型专练】
1.（2021·全国·高一课时练习）函数的单调递增区间为______.
【答案】
【分析】先求函数的定义域，再由复合函数的单调性即可求解.
【详解】由题意可得，即，解得：，
所以函数的定义域是，
是由和 复合而成，
因为对称轴为，开口向下，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
而单调递增，
所以的单调递增区间是，
故答案为：.
2.函数的单调增区间是___________, 单调减区间是___________;
解析：函数的定义域为，解得
设，对称轴，所以函数的单调增区间是和，单调减区间是和
3.函数在上是单调递减函数，则的单调递增区间是
答案：
解析：函数的定义域为，解得
设，对称轴，开口向下，所以函数的单调递增区间是为
题型九：抽象函数单调性解不等式
【例1】若函数在单调递增，且，则实数的取值范围是（ ）
答案：D
解析：因为函数在单调递增，且所以，即解得
【例2】（2022·湖南·高一课时练习）已知是定义在区间上的增函数，且，则的取值范围为______.
【答案】
【分析】由增函数的定义求解．
【详解】由题意，得解得①.
因为是定义在区间上的增函数，且，
所以，解得②.由①②得.
所以满足题设条件的的取值范围为.
故答案为：
【例3】（2021·全国·高一课时练习）设是定义在上的单调增函数，且对定义域内任意，都有，且，则使不等式成立的的取值范围是______．
【答案】
【分析】先根据，得出的值，再求出，从而将问题转化为，由函数的单调性结合定义域可解.
【详解】因为是定义在上的单调增函数，且，
所以，且．
又，所以，
因此，即，
所以．
故答案为：．
【例4】已知函数f(x)＝，若f(2－a2)＞f(a)，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－1,2)
C．(－2,1) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
答案：C
解析：函数，由函数解析式可知，在上是单调递增函数，因f(2－a2)＞f(a)，得，即，解得
【例5】（2021莆田第十五中学高三月考）设是定义在上的增函数，且不等式对恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
答案：A
解析：因为函数是定义在上的增函数，且不等式对恒成立，，所以对恒成立，即对恒成立，所以，当时，，所以
【题型专练】
1.已知是定义在上的减函数，并且，求实数m的取值范围．
答案：
解析：是定义在上的减函数，并且，所以，所以，解得
2.已知在区间上是减函数，且，则下列表达正确的是
A． B．
C． D．
答案：D
解析：在区间上是减函数，且，
所以，所以，因为，所以，两式相加可得
3.设函数是上的减函数，则（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：在区间上是减函数，因为
，所以，所以
4.已知函数对于任意的，都有，则的大小关系为
答案：
解析：因为函数对于任意的，都有，所以在区间上是减函数，
所以，所以
