第18讲 对数及对数式运算5大常考题型总结
【考点分析】
考点一：对数式的运算
①对数的定义：一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，读作以为底的对数，其中叫做对数的底数，叫做真数．
②常见对数的写法：
1.一般对数：以且为底，记为，读作以为底的对数；
2.常用对数：以为底，记为；
3.自然对数：以为底，记为；
③对数的性质：
1.特殊对数：；；其中且
2.对数恒等式：(其中且，)
3.对数换底公式： 如：．
倒数原理： 如：．
约分法则：
④对数的运算法则：
1.； 2.；
3.，； 4.和．
【题型目录】
题型一：对数的定义
题型二: 指数对数的互化
题型三: 对数的运算求值
题型四：换底公式的应用
题型五：对数式的应用题
【典型例题】
题型一：对数的定义
【例1】（2021·全国高一课前预习）在中，实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】由题意，要使式子有意义，则满足，
解得或，即实数的取值范围为.故答案为：.
【题型专练】
1．（2022江苏省江阴市第一中学高一期中）使式子有意义的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．且
【答案】D
【分析】对数函数中，底数大于0且不等于1，真数大于0，列出不等式，求出的取值范围.
【详解】由题意得：，解得：且.
故选：D
2.（2022全国·高一课时练习）若有意义，则实数k的取值范围是______.
【答案】
【分析】结合对数性质建立不等关系，即可求解.
【详解】若有意义，则满足，解得.
故答案为：
题型二: 指数对数的互化
【例1】（2022全国高一专题练习）将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.
（1）53=125； （2）4-2=； （3）log3=-3.
【答案】（1）log5125=3；（2）；（3）
【解析】（1）∵53=125，∴log5125=3.（2）∵，∴.
（3）∵，∴
【题型专练】
1.（2022全国高一课前预习）把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】（1）由可得；
（2）由得；
（3）由可得．
2.（2022全国高一课时练习）指数式和对数式互相转化：
（1）____________．（2）____________．
（3）____________．（4）____________．
【答案】
【解析】.故答案为：，，，.
题型三: 对数的运算求值
【例1】（2022·浙江·高考真题）已知，则（ ）
A．25 B．5 C． D．
【答案】C
【分析】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出．
【详解】因为，，即，所以．
故选：C.
【例2】（2022陕西·长安一中高一期中）设函数，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定分段函数直接计算即可得解
【详解】函数，则，，
所以.
故选：C
【例3】（2022全国高一专题练习）计算：（1）_________．
（2）_________．
（3）_________．
（4）__________．
（5）__________．
【答案】1
【解析】（1）原式
（2）原式
（3）原式
（4）原式
（5）
所以原式
故答案为：1，，，，
【例4】（2022·全国·高一课时练习）已知，则______．
【答案】10
【分析】由同底数对数加法公式以及，可得答案.
【详解】因为，所以．
故答案为：.
【例5】（2022·陕西·西安市雁塔区第二中学高二期末（文））计算：__________
【答案】1
【分析】根据指数的运算以及对数的运算性质即可求出．
【详解】原式＝．
故答案为：1．
【例6】（2021·江苏省沭阳高级中学高一期中）已知，，且，则的最小值为___________.
【答案】
【分析】由可得，则化简后利用基本不等式可求得答案
【详解】因为，所以，
所以，
因为，，
所以
，
当且仅当，即时取等号，，
所以的最小值为，
故答案为：
【题型专练】
1.(2020全国卷Ⅰ)设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因，所以，故
2.（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高二期末（文））若，则_________.
【答案】5
【分析】根据给定的分段函数，直接代值计算作答.
【详解】因函数，所以.
故答案为：5
3.（2022长沙市明德中学高一开学考试）计算：______
【答案】
【解析】原式.故答案为：
4.（2022·江苏·高一）计算___________
【答案】
【分析】利用对数运算及指数式与对数式互化计算作答
【详解】.
故答案为：
6.（2022·陕西·交大附中模拟预测（理））设函数，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【分析】根据给定的分段函数，判断自变量取值区间，再代入计算作答.
【详解】因，则，而，
所以.
故选：D
7.（2022江苏高二课时练习）若，，，则的最小值为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】A
【详解】因，所以，所以，所以，即
，所以
8.（2022全国高一课时练习）计算:________．
【答案】4
【解析】原式．
故答案为：4.
9.（2022全国高一课时练习）计算：____.
【答案】
【解析】原式
，
故答案为： .
题型四：换底公式的应用
【例1】（2022·全国·高一课时练习）已知，，则（ ）
A．1 B．2 C．5 D．4
【答案】A
【分析】先求得，然后结合对数运算求得正确答案.
【详解】∵，，∴，，
．
故选：A
【例2】（2022全国高一课时练习）设，且，则（ ）
A． B．10 C．20 D．100
【答案】A
【解析】由，可得，，
由换底公式得，，
所以，
又因为，可得．
故选：A.
【例3】（2022·全国·高一课时练习）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用对数的运算法则及性质进行运算可得答案．
【详解】因为，，所以
．
故选：D.
【例4】（2022·天津·高考真题）化简的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
【答案】B
【分析】根据对数的性质可求代数式的值.
【详解】原式
，
故选：B
【例5】（2021·江苏·高一专题练习）若实数、、满足，则下列式子正确的是
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由指数式化对数式，然后利用换底公式得出，，，利用对数的运算性质和可得出成立.
【详解】由已知，得 ，得 ， ，，所以，，，
而，则，
所以，即 .
故选A.
【题型专练】
1．（2022湖南·长沙麓山国际实验学校高一开学考试）已知，，，，则下列等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据对数运算法则，以及指对互化，即可判断选项.
【详解】，两式相除得，又，所以.
故选：B.
2.（2022湖北黄石·高一期中）已知，若，则___________.
【答案】8
【分析】利用指数函数、对数函数的性质、运算法则直接求解．
【详解】解：由，且
所以是方程的两根，
解得或，
又，所以，即，又
从而，且，则，．
所以.
故答案为：8.
3.（2021·上海高一专题练习）已知，用含的式子表示_________.
【答案】
【解析】.故答案为：
4．（2022·陕西·交大附中模拟预测（理））若，且，则_____________．
【答案】
【分析】由，可得，，，从而利用换底公式及对数的运算性质即可求解.
【详解】解：因为，所以，，，又，
所以，
所以，所以，
故答案为：.
5.（2022·全国·高一单元测试）把满足，为整数的叫作“贺数”，则在区间内所有“贺数”的个数是______．
【答案】4
【分析】利用换底公式计算可得，即可判断.
【详解】解：因为
，
又，，，，，……，
所以当，，，时，为整数，
所以在区间内“贺数”的个数是．
故答案为：
6.若均为不等于1的正数，且满足,则 .
【答案】3
【详解】因，所以，因，所以，所以
，因为，所以
题型五：对数式的应用题
【例1】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足
，其中星等为的星的亮度为．已知太阳的星等是，天狼星的星等是
，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设太阳的星等为，对应的亮度为，天狼星的星等为，对应的亮度为，
则由得，即，所以，所以
【例2】(2020 全国Ⅲ)Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公
布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数(的单位：天)的Logistic模型：，其
中为最大确诊病例数．当时，标志着已初步遏制疫情，则约为()（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意知，所以，即，所以，所以，即，所以，所以
【例3】(2021 全国甲卷文)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lgV．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意知，所以，即
【例4】（2022·全国·模拟预测）地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里氏震级标准．里氏震级是用距震中100千米处的标准地震仪所记录的地震波的最大振幅的对数值来表示的．里氏震级的计算公式为，其中是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）．根据该公式可知，2021年7月28日发生在美国阿拉斯加半岛以南91公里处的级地震的最大振幅约是2021年8月4日发生在日本本州近岸级地震的最大振幅的（ ）倍（精确到1）．（参考数据：，，）
A．794 B．631 C．316 D．251
【答案】A
【分析】将阿拉斯加半岛的震幅 和日本本州近岸5.3级地震的震幅 表示成指数形式，作商即可.
【详解】由题意，即，则；
当时，地震的最大振幅，
当时，地震的最大振幅，
所以，
即；
故选：A．
【例5】（2022·辽宁·抚顺市第二中学三模）一热水放在常温环境下经过t分钟后的温度T将合公式：，其中是环境温度，为热水的初始温度，h称为半衰期．一杯85℃的热水，放置在25℃的房间中，如果热水降温到55℃，需要10分钟，则一杯100℃的热水放置在25℃的房间中，欲降温到55℃，大约需要多少分钟 （ ）（）
A．11.3 B．13.2 C．15.6 D．17.1
【答案】B
【分析】依题意求出半衰期，再把的值代入利用换底公式计算，即可求出结果．
【详解】解：根据题意，，即，解得，
，即，
所以，
所以；
故选：B
【题型专练】
1.（2022·吉林一中高二阶段练习（理））深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.1以下（不含0.1）所需的训练迭代轮数至少为（参考数据：）（ ）
A．128 B．130 C．132 D．134
【答案】B
【分析】由已知可得，再由，结合指对数关系及对数函数的性质求解即可.
【详解】由题设，，则，
所以，即，
所以所需的训练迭代轮数至少为130次.
故选：B
2.（2022·内蒙古包头·二模（理））在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为．已知星的星等是，星的星等是，则星与星的亮度的比值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，运用代入法，结合对数与指数的互化公式进行求解即可.
【详解】因为，星的星等是，星的星等是，
所以，
故选：A
3.（2022福建省安溪第一中学高一月考）某种类型的细胞按如下规律分裂：每经过1小时，有约占总数的细胞分裂一次，分裂细胞由1个细胞分裂成2个细胞，现有100个细胞按上述规律分裂，要使细胞总数超过个，需至少经过（ ）（参考数据：，）
A．44小时 B．45小时 C．46小时 D．47小时
【答案】C
【详解】设小时后，细胞总数为，则，令，可得，两边取对数可得，又因，所以
4.（2022河北高一期末）地震学家里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测振仪衡量地震能量等级，其计算公式，表示里氏震级，是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测振仪距实际震中的距离造成的偏差)，计算7.8级地震的最大振幅是4.5级地震的最大振幅的倍数 (答案精确到个位，参考数据：，，，)
A．1995 B．398 C．89 D．48
【答案】A
【详解】设7.8级地震的最大振幅是，4.5级地震的最大振幅，依题意得：，，两式相减得
则由，又因，所以
5.某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入。若该公司2015年全年投入研发奖金130万元，在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12％，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是
(参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30)
(A)2018年 (B) 2019年 (C)2020年 (D)2021年
【答案】B
【详解】设年开始超过200万元，则，即，两边取对数得，即，所以，又因，所以取
6.常见的三阶魔方约有种不同的状态，将这个数记为，二阶魔方有种不同的状态，将这个数记为，则下列各数与最接近的是（ ）（参考数据：）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】，
因为，所以，所以第18讲 对数及对数式运算5大常考题型总结
【考点分析】
考点一：对数式的运算
①对数的定义：一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，读作以为底的对数，其中叫做对数的底数，叫做真数．
②常见对数的写法：
1.一般对数：以且为底，记为，读作以为底的对数；
2.常用对数：以为底，记为；
3.自然对数：以为底，记为；
③对数的性质：
1.特殊对数：；；其中且
2.对数恒等式：(其中且，)
3.对数换底公式： 如：．
倒数原理： 如：．
约分法则：
④对数的运算法则：
1.； 2.；
3.，； 4.和．
【题型目录】
题型一：对数的定义
题型二: 指数对数的互化
题型三: 对数的运算求值
题型四：换底公式的应用
题型五：对数式的应用题
【典型例题】
题型一：对数的定义
【例1】（2021·全国高一课前预习）在中，实数的取值范围为______.
【题型专练】
1．（2022江苏省江阴市第一中学高一期中）使式子有意义的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．且
2.（2022全国·高一课时练习）若有意义，则实数k的取值范围是______.
题型二: 指数对数的互化
【例1】（2022全国高一专题练习）将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.
（1）53=125； （2）4-2=； （3）log3=-3.
【题型专练】
1.（2022全国高一课前预习）把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．
（1）； （2）； （3）．
2.（2022全国高一课时练习）指数式和对数式互相转化：
（1）____________．（2）____________．
（3）____________．（4）____________．
题型三: 对数的运算求值
【例1】（2022·浙江·高考真题）已知，则（ ）
A．25 B．5 C． D．
【例2】（2022陕西·长安一中高一期中）设函数，则=（ ）
A． B． C． D．
【例3】（2022全国高一专题练习）计算：（1）_________．
（2）_________．
（3）_________．
（4）__________．
（5）__________．
【例4】（2022·全国·高一课时练习）已知，则______．
【例5】（2022·陕西·西安市雁塔区第二中学高二期末（文））计算：__________
【例6】（2021·江苏省沭阳高级中学高一期中）已知，，且，则的最小值为___________.
【题型专练】
1.(2020全国卷Ⅰ)设，则（ ）
A． B． C． D．
2.（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高二期末（文））若，则_________.
3.（2022长沙市明德中学高一开学考试）计算：______
4.（2022·江苏·高一）计算___________
6.（2022·陕西·交大附中模拟预测（理））设函数，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
7.（2022江苏高二课时练习）若，，，则的最小值为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
8.（2022全国高一课时练习）计算:________．
9.（2022全国高一课时练习）计算：____.
题型四：换底公式的应用
【例1】（2022·全国·高一课时练习）已知，，则（ ）
A．1 B．2 C．5 D．4
【例2】（2022全国高一课时练习）设，且，则（ ）
A． B．10 C．20 D．100
【例3】（2022·全国·高一课时练习）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【例4】（2022·天津·高考真题）化简的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
【例5】（2021·江苏·高一专题练习）若实数、、满足，则下列式子正确的是
A． B．
C． D．
【题型专练】
1．（2022湖南·长沙麓山国际实验学校高一开学考试）已知，，，，则下列等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
2.（2022湖北黄石·高一期中）已知，若，则___________.
3.（2021·上海高一专题练习）已知，用含的式子表示_________.
4．（2022·陕西·交大附中模拟预测（理））若，且，则_____________．
5.（2022·全国·高一单元测试）把满足，为整数的叫作“贺数”，则在区间内所有“贺数”的个数是______．
6.若均为不等于1的正数，且满足,则 .
题型五：对数式的应用题
【例1】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足
，其中星等为的星的亮度为．已知太阳的星等是，天狼星的星等是
，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ）
A． B． C． D．
【例2】(2020 全国Ⅲ)Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公
布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数(的单位：天)的Logistic模型：，其
中为最大确诊病例数．当时，标志着已初步遏制疫情，则约为()（ ）
A． B． C． D．
【例3】(2021 全国甲卷文)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lgV．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为( )
A． B． C． D．
【例4】（2022·全国·模拟预测）地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里氏震级标准．里氏震级是用距震中100千米处的标准地震仪所记录的地震波的最大振幅的对数值来表示的．里氏震级的计算公式为，其中是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）．根据该公式可知，2021年7月28日发生在美国阿拉斯加半岛以南91公里处的级地震的最大振幅约是2021年8月4日发生在日本本州近岸级地震的最大振幅的（ ）倍（精确到1）．（参考数据：，，）
A．794 B．631 C．316 D．251
【例5】（2022·辽宁·抚顺市第二中学三模）一热水放在常温环境下经过t分钟后的温度T将合公式：，其中是环境温度，为热水的初始温度，h称为半衰期．一杯85℃的热水，放置在25℃的房间中，如果热水降温到55℃，需要10分钟，则一杯100℃的热水放置在25℃的房间中，欲降温到55℃，大约需要多少分钟 （ ）（）
A．11.3 B．13.2 C．15.6 D．17.1
【题型专练】
1.（2022·吉林一中高二阶段练习（理））深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.1以下（不含0.1）所需的训练迭代轮数至少为（参考数据：）（ ）
A．128 B．130 C．132 D．134
2.（2022·内蒙古包头·二模（理））在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为．已知星的星等是，星的星等是，则星与星的亮度的比值为（ ）
A． B． C． D．
3.（2022福建省安溪第一中学高一月考）某种类型的细胞按如下规律分裂：每经过1小时，有约占总数的细胞分裂一次，分裂细胞由1个细胞分裂成2个细胞，现有100个细胞按上述规律分裂，要使细胞总数超过个，需至少经过（ ）（参考数据：，）
A．44小时 B．45小时 C．46小时 D．47小时
4.（2022河北高一期末）地震学家里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测振仪衡量地震能量等级，其计算公式，表示里氏震级，是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测振仪距实际震中的距离造成的偏差)，计算7.8级地震的最大振幅是4.5级地震的最大振幅的倍数 (答案精确到个位，参考数据：，，，)
A．1995 B．398 C．89 D．48
5.某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入。若该公司2015年全年投入研发奖金130万元，在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12％，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是
(参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30)
(A)2018年 (B) 2019年 (C)2020年 (D)2021年
6.常见的三阶魔方约有种不同的状态，将这个数记为，二阶魔方有种不同的状态，将这个数记为，则下列各数与最接近的是（ ）（参考数据：）
A． B．
C． D．
