第19讲 对数函数常考9大题型总结
【考点分析】
考点一：对数函数的定义
对数函数的定义：函数 且叫做对数函数，它是指数函数且的反函数．
考点二：对数函数的图像及性质
图象
性质 定义域：
值域：
过定点，即时，
在上增函数 在上是减函数
当时，，当时， 当时，，当时，
考点三：对数函数底数变化与图象变化的规律
在同一坐标系内，当时，随的增大，对数函数的图象愈靠近轴；当时，对数函数的图象随的增大而远离轴．(见下图)
【题型目录】
题型一：对数函数的概念
题型二：对数函数的定义域
题型三：对数函数的定义域为和值域为的区别
题型四：对数函数的定点问题
题型五：对数函数的奇偶性
题型七：对数函数的单调性
题型七：对数函数的值域
题型八：对数函数的图象问题
题型九：由函数性质写函数解析式
【典型例题】
题型一：对数函数的概念
【例1】（2022·全国·高一课时练习）下列函数是对数函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据对数函数的概念即得.
【详解】因为函数(且)为对数函数，
所以ABC均为对数型复合函数，而D是底数为自然常数的对数函数.
故选：D.
【题型专练】
1.（2022·全国·高三专题练习）已知函数①；②；③；④；⑤；⑥.其中是对数函数的是（ ）
A．①②③ B．③④⑤
C．③④ D．②④⑥
【答案】C
【分析】依据对数函数的定义即可判断.
【详解】根据对数函数的定义，只有符合（且）形式的函数才是对数函数，其中x是自变量，a是常数.易知，①是指数函数；②中的自变量在对数的底数的位置，不是对数函数；③中，是对数函数；④中，是对数函数；⑤⑥中函数显然不是对数函数，由此可知只有③④是对数函数.
故选：C.
题型二：对数函数的定义域
【例1】（2022奉新县第一中学高一月考）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】对于函数，有，解得.
因此，函数的定义域为.故选：C.
【例2】（2022·福建福州·高二期末）函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由对数式有意义及二次根式有意义可得．
【详解】由题意，，．
故选：D．
【例3】（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据的定义域可知，故，即可求出答案.
【详解】解：∵函数的定义域为
∴，
∴函数中，
∴
所以函数的定义域为[]．
故选：D
【例4】（2022·全国·高三专题练习）下列函数中，其定义域和值域分别与函数的定义域和值域相同的是（ ）
A．y＝x B．y＝lg x C．y＝2x D．y＝
【答案】D
【分析】求出函数的定义域和值域，对选项逐一判断即可.
【详解】因函数的定义域和值域均为，
对于A，的定义域和值域均为，故A错误；
对于B，的定义域和值域分别为，故B错误；
对于C，的定义域和值域均为，故C错误；
对于D，定义域和值域均为，故D正确；
故选：D．
【例5】（2022·全国·高一课时练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出的定义域为，再解不等式即得解.
【详解】解：因为，所以的定义域为，
由题得，所以或.
所以函数的定义域为.
故选：B
【题型专练】
1.（2022·云南昆明·高一期末）函数的定义域是__________．
【答案】
【分析】解不等式，可得出函数的定义域.
【详解】对于函数，由，即，解得.
因此，函数的定义域为.
故答案为：.
2.（2022江苏）已知函数的定义域是，则函数的定义域是
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由，得，所以，所以．故选：D.
3.（2022江苏如皋）函数的定义域为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意知，得，所以，所以．
4.函数的定义域为
【答案】
【详解】由题意知，得，所以，所以．
题型三：对数函数的定义域为和值域为的区别
【例1】（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
【分析】先由对数函数的定义域得到在R上恒成立，再由判别式求出实数a的取值范围即可.
【详解】根据条件可知在R上恒成立，则，且，解得，故a的取值范围是.
故答案为：.
【例2】（2022·全国·高一阶段练习）函数的值域为，则实数的取值范围为______．
【答案】
【分析】分析可知为函数的值域的子集，分和两种情况讨论，结合已知条件可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围.
【详解】解：由题可知，函数的值域为，
令，由题意可知为函数的值域的子集.
①当时，，此时，
函数的值域为，合乎题意；
②当时，若为函数的值域的子集，
则，解得.
综上所述，实数的取值范围是．
故答案为：．
【题型专练】
1．（2022·全国·高一课时练习）（1）若函数的定义域为，则实数的取值范围是___________；
（2）若函数的值域为，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【分析】（1）由题可得恒成立，分类讨论结合二次函数的性质即得；
（2）由题可得的解包含所有的正数，分类讨论结合二次函数的性质即得.
【详解】（1）当时，符合题意；
当时，欲使在上恒成立，
则,
解得，
综上，实数a的取值范围是；
（2）当时，，不符合题意；
当时，欲使取遍所有正数，只须使，
解得，
综上，实数a的取值范围是.
故答案为：；.
2.若函数的定义域为，则的范围为__________。
【答案】
【详解】由题意知对恒成立，所以当时，，解得，不成立，当时，，即，解得，
【例6】（2022全国高三专题练习（理））若函数的值域为，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意知能取到所有大于0的实数，所以当时，，所以的值域为，满足题意，当时，，即，解得，综上可知
题型四：对数函数的定点问题
【例1】（2022四川高一开学考试）函数（，且）的图象一定经过的点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令，，则，即函数图象过定点．故选：B．
【题型专练】
1.（2022镇远县文德民族中学校高一月考）函数的图象过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对于函数，令，可得，则，
因此，函数的图象过定点.故选：C.
题型五：对数函数的奇偶性
【例1】判断下列函数的奇偶性：
（1） （2）
【解析】（1）由题意知定义域为
，所以，
所以，所以为奇函数
（2）由题意知定义域为
，所以
，所以，所以为奇函数
注：形如类型的函数均为奇函数
【例2】（2022天津市武清区杨村第一中学高二阶段练习）设为偶函数，且当时，，则当时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用偶函数的定义经计算即可得解.
【详解】因为偶函数，且当时，，
因此，当时，，，
所以.
故选：C
【例3】（2022全国高一专题练习）已知函数，若定义在上的奇函数，有，则
A．2 B．0 C． D．
【答案】A
【详解】因为为奇函数，也为奇函数，设，则为奇函数，所以，所以，，因
，又因为奇函数，所以
【例4】（2022全国高一专题练习）已知函数 满足条件，其中，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因，则
，因
，所以
，所以
【例5】（2022全国高一专题练习）函数为奇函数，则实数__________．
【答案】
【详解】因为为奇函数，所以，所以
，即，所以
，所以，所以，所以，经检验知均满足题意
【题型专练】
1．（2023·全国·高三阶段练习）关于函数说法正确的是（ ）
A．定义域为 B．图象关于轴对称
C．图象关于原点对称 D．在内单调递增
【答案】ACD
【分析】由即可求出其的定义域；利用可判断为奇函数；求利用复合函数的单调性即可判断在内的单调性.
【详解】因为,
所以，
所以定义域为，故A正确；
因为，
所以图象关于原点对称，故B错误，C正确;
又在上单调递减，
所以在上单调递增，
又在上单调递增，
所以在上单调递增，故D正确.
故选：ACD.
2．（2022·湖北·高二学业考试）下列函数的图象关于轴对称的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据偶函数的定义判断即可；
【详解】解：对于A：定义域为，所以，
故为偶函数，函数图象关于轴对称，故A正确；
对于B：定义域为，且，
故为奇函数，函数图象关于原点对称，故B错误；
对于C：定义域为，定义域不关于原点对称，
故函数是非奇非偶函数，故C错误；
对于D：定义域为，定义域关于原点对称，
又因故函数是奇函数，故D错误；
故选：A
3.（2019全国卷2）设为奇函数，且当时，，若，则
【答案】
【详解】因为为奇函数，所以，所以
4.（2022四川绵阳·（文））已知函数对任意实数，满足，当时，（为常数），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由，可得为奇函数
由当时，，则，解得
所以当时，，所以
故选：B
5.（2022山西高三月考（理））函数，则（ ）
A．0 B． C．4 D．1
【答案】C
【详解】设，则为奇函数，所以，所以，，因，所以
6.已知函数，则_______；
【答案】
【详解】设，则为奇函数，所以，所以，，因，所以
7.已知函数，则=（ ）
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
【答案】D
【详解】，设，则为奇函数，所以，所以，，因，所以
题型六：对数函数的单调性
【例1】（2021·浙江·玉环中学高一阶段练习）函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由对数型复合函数定义域求法可求得定义域；根据复合函数单调性的判断方法可得到单调递减区间.
【详解】由得：，即定义域为；
令，则在上单调递增，在上单调递减；
又在上单调递减，
的单调递减区间为.
故选：B.
【例2】（2021·云南高一期末）若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围为__________．
【答案】
【解析】由可得，解得，
函数是由和复合而成，
又对称轴为，开口向下，
所以 在上单调递增，在上单调递减，
因为为减函数，所以的单调增区间为，
因为在区间内单调递增，所以，解得，
所以实数的取值范围为，故答案为：．
【例3】已知函数在上为增函数，则实数的取值范围为_____．
【答案】
【解析】令，则，因为的对称轴为，且在上为增函数，所以，解得
由题意知在内递增，所以．又在上恒大于0，所以，即．
综上，实数a的取值范围是：．故答案为：.
【例4】设函数，则使得成立的的取值范围是
（A） （B）（C）（D）
【答案】A
【解析】因为函数，所以是定义在上的偶函数，在上是单调递增的，，又因在上递增，所以，解得
【例5】已知定义在R上的函数在区间上单调递增，且的图象关于对称，若实数a满足，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为的图象关于对称，向左平移1个单位得到，所以关于对称，所以是定义在上的偶函数，在上是单调递增的，，又因在上递增，所以，即，所以解得
【例6】（2022广东·深圳市第二高级中学）已知函数，当，，且时，，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为当，，且时，，
所以在定义域内为单调减函数，因此，解得：，
所以实数的取值范围是.故选：C.
【例7】（2022年重庆巴蜀）若是定义域为上的单调递减函数，且对任意实数都有无理数，则（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【解析】因是定义域为上的单调递减函数，所以为定值，设，由题意知，又因，令，得，所以，所以，所以
【例8】（2022·全国·高一课时练习）设函数f（x）＝|2x+1|﹣|2x﹣1|，则f（x）（ ）
A．是偶函数，且在 单调递增
B．是奇函数，且在 单调递增
C．是偶函数，且在单调递增
D．是奇函数，且在 单调递增
【答案】B
【分析】先求出的定义域结合奇偶函数的定义判断的奇偶性，设t＝||，则y＝lnt，由复合函数的单调性判断的单调性，即可求出答案.
【详解】解：由，得x≠±．
又f（﹣x）＝|﹣2x+1|﹣|﹣2x﹣1|＝﹣（|2x+1|﹣|2x﹣1|）＝﹣f（x），
∴f（x）为奇函数，
由f（x）＝|2x+1|﹣|2x﹣1|＝||，
∵11．
可得内层函数t＝||的图象如图，
在（﹣∞，），（，+∞）上单调递减，在（，）上单调递增，
又对数式y＝是定义域内的增函数，
由复合函数的单调性可得，f（x）在（，）上单调递增，
在（﹣∞，），（，+∞）上单调递减．
故选：B．
【题型专练】
1.（2022新疆高一期末）函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对于函数，有，解得或，
故函数的定义域为，
内层函数在上单调递减，在上单调递增，
外层函数为减函数，
由复合函数的单调性可知，函数的单调递增区间为.故选：D.
2.（2022全国高一专题练习）已知函数（，且）在上是减函数，则实数a的取值范围是________．
【答案】
【解析】令，则，因为，所以递减，
由题意知在内递增，所以．又在上恒大于0，所以，即．
综上，实数a的取值范围是：．故答案为：.
3.（2022贵州凯里一中）已知函数，，且时，关于，的不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，且时，关于，的不等式恒成立，
即当时，，所以在上是减函数，所以，解得．故选：A．
4.【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设是定义域为R的偶函数，且在单调递减，则（ ）
A．（log3）＞（）＞（） B．（log3）＞（）＞（）
C．（）＞（）＞（log3） D．（）＞（）＞（log3）
【答案】C
【解析】因是定义域为R的偶函数，所以，因，由题意知在单调递减，所以
5.（2022·全国·高一单元测试）已知函数，下列结论中正确的是（ ）
A．当时，的定义域为
B．一定有最小值
C．当时，的值域为R
D．若在区间上单调递增，则实数a的取值范围是
【答案】AC
【分析】A项代入参数，根据对数型函数定义域求法进行求解；B项为最值问题，问一定举出反例即可；C项代入参数值即可求出函数的值域；D项为已知单调性求参数范围，根据二次函数单调性结合对数函数定义域求解即可.
【详解】对于A，当时，，令，解得或，则的定义域为，故A正确；
对于B、C，当时，的值域为R，无最小值，故B错误，C正确；
对于D，若在区间上单调递增，则在上单调递增，且当时，，
则，解得，故D错误．
故选：AC．
6.函数在上是减函数,则实数的取值范围为________.
【答案】
【详解】令，则，因为的对称轴为，由题意知在内递减，所以在上为增函数，所以，解得，又在上恒大于0，所以，即．
综上，实数a的取值范围是：．故答案为：.
7.（2022年重庆七中高一上期中）已知函数在上单调递减，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】令，则，由题意知在内递减，所以在上为增函数，所以且，解得，又在上恒大于0，所以，即．
综上，实数a的取值范围是：．故答案为：.
8.已知定义在上的函数单调递增，且对任意，恒有，则的值为_______．
【答案】2
【详解】因函数单调递增，所以为定值，设，由题意知，又因，令，得，所以，所以，所以
9.（2022年重庆南开）已知定义在上函数为单调函数,且对任意的实数 ,都有,则 ( )
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】因是定义在上得单调函数，所以为定值，设，由题意知，又因，令，得，所以，所以，所以
题型七：对数函数的值域
【例1】（2022·全国·高一单元测试）已知函数（，且）在上的值域为，则实数a的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分类讨论最值，当时，当时，分别求出最值解方程，即可得解.
【详解】若，则在上单调递减，则，不符合题意；
若，则在上单调递增，则，
又因为的值域为，所以，解得．
故选：A．
【例2】（2021·江苏·高一专题练习）已知函数，则函数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先解的定义域，然后利用换元法求所求函数的值域即可．
【详解】由，
则得，所以的定义域为，
令，故，
，
即，，
当时，的最小值为
函数的最小值为.
故选：A
【例3】（2022·全国·高三专题练习）已知的值域为R，那么a的取值范围是( )
A．(﹣∞，﹣1] B．(﹣1，) C．[﹣1，) D．(0，1)
【答案】C
【分析】先求出的值域，然后确定的值域所包含的集合，利用一次函数性质可得．
【详解】当x≥1时，f(x)=lnx，其值域为[0，+∞)，
那么当x<1时，f(x)=(1﹣2a)x+3a的值域包括(﹣∞，0)，
∴1﹣2a>0，且f(1)=(1﹣2a)+3a≥0，
解得：，且a≥﹣1.
故选：C.
【例4】（2022·全国·高一课时练习）已知函数，，则下列说法正确的是（ ）
A．若函数的定义域为，则实数的取值范围是
B．若函数的值域为，则实数
C．若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是
D．若，则不等式的解集为
【答案】AC
【分析】函数的定义域为等价于恒成立，由此即可列出不等式组，即可求出实数的取值范围；
若函数的值域为等价于的最小值为，由此可列出方程，即可求出实数的值；
若函数在区间上为增函数等价于函数在区间上为增函数且恒成立，由此即可列出不等式组，即可求出实数的取值范围；
若，，即可解出不等式；即可选出答案.
【详解】对于A，因为的定义域为，所以恒成立，则，解得，故A正确；
对于B，因为的值域为，所以的最小值为，所以，解得，故B错误；
对于C，因为函数在区间上为增函数，所以，解得，故C正确；
对于D，当m=0时，，由，可得，解得，故D错误.
故选：AC.
【例5】（2021·河北省曲阳县第一高级中学高三阶段练习）已知函数的定义域是，值域为，则下列四个函数①；②；③；④，其中值域也为的函数个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出①②③④中各函数的值域，即可得出合适的选项.
【详解】对于①，因为，则，①不满足条件；
对于②，对于函数，，则函数的值域为，②满足条件；
对于③，因为，则，③满足条件；
对于④，因为，，则，④满足条件.
故选：B.
【例6】（2023·全国·高三专题练习）函数的最小值是（ ）．
A．10 B．1 C．11 D．
【答案】B
【分析】利用换元法，令，则，先求出的范围，从而可求出函数的最小值
【详解】设，则，
因为，
所以，所以的最小值为1，
故选：B
【题型专练】
1.（2022·全国·高一专题练习）函数的值域是________.
【答案】
【分析】利用换元法，令，则，然后先求出内层函数的值域，再求外层函数的值域即可
【详解】令，则，
因为，
所以的值域为，
因为在是减函数，
所以，
所以的值域为，
故答案为：
2.（2022·陕西省安康中学高一期末）已知函数的值域为R，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先求出时函数的值域，设时，的值域为，依题意可得，即可得到不等式组，解得即可；
【详解】解：由题意可得当时，所以的值域为，
设时，的值域为，则由的值域为R可得，
∴，解得，即．
故选：D
3.（2023·全国·高三专题练习）若函数的值域为，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出当和时的取值范围，结合值域关系建立不等式进行求解即可
【详解】当 时，
当 时，
要使 的值域为
则 ，
故选：C
4.（2023·全国·高三专题练习）若函数的值域为，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分别求出和时f(x)的范围，根据两个范围的并集为即可求出a的范围．
【详解】当时，f(x)=，
当时，f(x)=，
故要使的值域是，则0≤≤1，解得．
故选：C．
5.（2023·全国·高三专题练习）已知的值域为R，且在上是增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．或
C．或 D．
【答案】B
【分析】根据函数的值域为R可得或，利用复合函数的单调性和二次函数的性质可得a的取值范围.
【详解】因为函数的值域为R，
所以取得一切正数，
即方程有实数解，
得，解得或；
又函数在上是增函数，
所以函数在上是减函数，且在上恒成立，
则，解得，
综上，实数a的取值范围为或.
故选：B
6．（2022·吉林·长春市第二中学高一期末）已知函数.
(1)当时，求该函数的值域；
(2)若，对于恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）令，可得，利用二次函数的性质即可求出；
（2）令，可得在上恒成立，求出的最大值即可.
(1)
令，，则，
函数转化为，，
则二次函数，，
当时，，当时，，
故当时，函数的值域为．
(2)
由于对于上恒成立，
令，，则
即在上恒成立，所以在上恒成立，
由对勾函数的性质知在上单调递增，
所以当时，，
故时，原不等式对于恒成立．
7．（2022·广东茂名·高一期末）已知．
(1)设，求t的最大值与最小值；
(2)求的值域．
【答案】(1)，；(2)[3，4].
【分析】(1)利用对数函数的单调性即得；
(2)换元后结合二次函数的性质可得函数在上单调递增，即求.
(1)因为函数在区间[2，4]上是单调递增的，
所以当时，，
当时，．
(2)令，则，
由（1）得，因为函数在上是单调增函数，
所以当，即时，；当，即时，，
故的值域为.
题型八：对数函数的图象问题
【例1】（2022·全国·高一课时练习）如图所示的曲线是对数函数，，，的图象，则a，b，c，d，1的大小关系为（ ）
A．b>a>1>c>d B．a>b>1>c>d C．b>a>1>d>c D．a>b>1>d>c
【答案】C
【分析】根据对数函数的图象性质即可求解.
【详解】由图可知a>1，b>1，0a>1>d>c．
故选：C．
【例2】（2022·全国·高一课时练习）已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】根据函数图象及对数函数的性质可求解.
【详解】因为函数为减函数，所以
又因为函数图象与轴的交点在正半轴，所以，即
又因为函数图象与轴有交点，所以，所以，
故选：D
【例3】（2023·全国·高三专题练习）作出下列函数的图象：
(1)； (2).
【答案】(1)答案见解析，(2)答案见解析
【分析】（1）先作出函数的图象，根据函数图象变换可作出函数的图象；
（2）先作出函数的图象，根据函数图象变换可作出函数的图象.
【详解】(1)解：因为，
所以可以先将函数的图象向左平移个单位，可得函数的图象，
再作所得图象关于轴对称的图象，得函数的图象，
最后将所得图象向下平移个单位，得函数的图象，
即为函数的图象，如下图所示：
(2)解：作函数的图象关于轴对称的图象，得函数的图象，
再把所得图象在轴下方的部分翻折到轴上方，可得到函数的图象，如下图所示：
【例4】（2022·全国·高一课时练习）若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作出，，的图象，根据图象可得结果.
【详解】在同一平面直角坐标系中作出函数，，的图象如下图所示，
数形结合可知：当时，，的取值范围为.
故选：D.
【例5】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则函数的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由时，和时，排除A、B、D选项即可.
【详解】当时，，故排除A、D选项；当时，，则，排除B选项．
故选：C．
【题型专练】
1．（2022·全国·高一课时练习）函数的图像是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由函数的图象与轴的交点是结合函数的平移变换得函数的图象与轴的公共点是，即可求解.
【详解】由于函数的图象可由函数的图象左移一个单位而得到，函数的图象与轴的交点是，
故函数的图象与轴的交点是，即函数的图象与轴的公共点是，显然四个选项只有A选项满足.
故选：A.
2．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，若，则（ ）
A． B．
C． D．以上选项均有可能
【答案】C
【分析】作出函数的图象结合可得到a,b的取值范围以及a,b之间的关系式，整理变形即可判断出答案.
【详解】作出函数的图象，如图：
由题意可知，，且由图象可知，，
所以即，
所以，即，，
即，
故选：C
3．（2022·全国·高一专题练习）已知（且，且），则函数与的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由对数的运算性质可得ab＝1，讨论a，b的范围，结合指数函数和对数函数的图像的单调性，即可得到答案．
【详解】，即为，即有ab＝1.
当a＞1时，0＜b＜1，
函数与均为减函数，四个图像均不满足
当0＜a＜1时，b＞1，
函数数与均为增函数，排除ACD
在同一坐标系中的图像可能是B，
故选：B．
4．（2022·海南·琼海市嘉积第三中学高三阶段练习）已知，则满足的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意作出函数的图象，根据图象可得的解集，利用换元法即可求解.
【详解】解：图像如图所示:
根据图象得：的解为，
将换成得.
故选：C.
5．（2022·全国·高一课时练习）已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】根据函数图象及对数函数的性质可求解.
【详解】因为函数为减函数，所以
又因为函数图象与轴的交点在正半轴，所以，即
又因为函数图象与轴有交点，所以，所以，
故选：D
6．（2022浙江·玉环中学高一阶段练习）函数与的大致图像是（ ）
A．B． C． D．
【答案】A
【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断即可；
【详解】解：因为在定义域上单调递减，
又，所以在定义域上单调递减，
故符合条件的只有A；
故选：A
7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数（且）的图像如图所示，则以下说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】结合函数的图象可得和，然后逐项分析即可求出结果.
【详解】由图象可知在定义域内单调递增，所以，
令，即，所以函数的零点为，结合函数图象可知，所以，
因此，故A错误；
，又因为，所以，因此不一定成立，故B错误；
因为，即，且，所以，故C正确；
因为，所以，即，故D错误，
故选：C.
8．（2022·全国·高一课时练习）若函数（且）在R上既是奇函数，又是减函数，则的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先求得的解析式中参数的值和的取值范围，再去判断其图像形状.
【详解】因为函数在R上是奇函数，
所以，所以，经检验，满足题意，
又因为为减函数，所以，则（）
由
可知的图象关于直线轴对称，排除选项CD ；
又，可知选项A错误.所以的大致图象为B．
故选：B
题型九：由函数性质写函数解析式
【例1】（2021·河南·洛宁县第一高级中学高一阶段练习）已知函数满足①定义域为；②值域为；③.写出一个满足上述条件的函数：___________.
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据函数满足的条件直接写出符合题意的函数解析式即可.
【详解】因为满足①定义域为；②值域为；
，
所以符合题意，
故答案为：，（答案不唯一）.
【例2】（2022·江苏省滨海中学模拟预测）写出满足条件“函数在上单调递增，且”的一个函数___________.
【答案】
【分析】根据已知确定函数形式，再结合单调性举例．
【详解】是对数函数模型，满足条件.
故答案为：．
【题型专练】
1．（2023·全国·高三专题练习）已知在上是减函数，且对任意的都成立，写出一个满足以上特征的函数___________.
【答案】答案不唯一
【分析】由变形到可考虑对数函数，然后根据单调性以及“”可考虑构造对数型函数.
【详解】由题意可知，可变化为的形式，由此可想到对数函数，
又因为在上是减函数且，
所以满足条件的一个函数可取，
故答案为：(答案不唯一).
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数满足①定义域为；②值域为R；③．写出一个满足上述条件的函数______．
【答案】（答案为唯一）
【分析】根据可以知道该函数是偶函数，根据定义域、值域、奇偶性写出一个函数即可.
【详解】的定义域为，值域为，且，因此符合题意．
故答案为：第19讲 对数函数常考9大题型总结
【考点分析】
考点一：对数函数的定义
对数函数的定义：函数 且叫做对数函数，它是指数函数且的反函数．
考点二：对数函数的图像及性质
图象
性质 定义域：
值域：
过定点，即时，
在上增函数 在上是减函数
当时，，当时， 当时，，当时，
考点三：对数函数底数变化与图象变化的规律
在同一坐标系内，当时，随的增大，对数函数的图象愈靠近轴；当时，对数函数的图象随的增大而远离轴．(见下图)
【题型目录】
题型一：对数函数的概念
题型二：对数函数的定义域
题型三：对数函数的定义域为和值域为的区别
题型四：对数函数的定点问题
题型五：对数函数的奇偶性
题型七：对数函数的单调性
题型七：对数函数的值域
题型八：对数函数的图象问题
题型九：由函数性质写函数解析式
【典型例题】
题型一：对数函数的概念
【例1】（2022·全国·高一课时练习）下列函数是对数函数的是（ ）
A． B． C． D．
【题型专练】
1.（2022·全国·高三专题练习）已知函数①；②；③；④；⑤；⑥.其中是对数函数的是（ ）
A．①②③ B．③④⑤
C．③④ D．②④⑥
题型二：对数函数的定义域
【例1】（2022奉新县第一中学高一月考）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【例2】（2022·福建福州·高二期末）函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【例3】（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【例4】（2022·全国·高三专题练习）下列函数中，其定义域和值域分别与函数的定义域和值域相同的是（ ）
A．y＝x B．y＝lg x C．y＝2x D．y＝
【例5】（2022·全国·高一课时练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【题型专练】
1.（2022·云南昆明·高一期末）函数的定义域是__________．
2.（2022江苏）已知函数的定义域是，则函数的定义域是
A． B． C． D．
3.（2022江苏如皋）函数的定义域为（ ）.
A． B． C． D．
4.函数的定义域为
题型三：对数函数的定义域为和值域为的区别
【例1】（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围是___________.
【例2】（2022·全国·高一阶段练习）函数的值域为，则实数的取值范围为______．
【题型专练】
1．（2022·全国·高一课时练习）（1）若函数的定义域为，则实数的取值范围是___________；
（2）若函数的值域为，则实数的取值范围是___________.
2.若函数的定义域为，则的范围为__________。
【例6】（2022全国高三专题练习（理））若函数的值域为，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型四：对数函数的定点问题
【例1】（2022四川高一开学考试）函数（，且）的图象一定经过的点是（ ）
A． B． C． D．
【题型专练】
1.（2022镇远县文德民族中学校高一月考）函数的图象过定点（ ）
A． B． C． D．
题型五：对数函数的奇偶性
【例1】判断下列函数的奇偶性：
（1） （2）
【例2】（2022天津市武清区杨村第一中学高二阶段练习）设为偶函数，且当时，，则当时，（ ）
A． B． C． D．
【例3】（2022全国高一专题练习）已知函数，若定义在上的奇函数，有，则
A．2 B．0 C． D．
【例4】（2022全国高一专题练习）已知函数 满足条件，其中，则（ ）
A． B． C． D．
【例5】（2022全国高一专题练习）函数为奇函数，则实数__________．
【题型专练】
1．（2023·全国·高三阶段练习）关于函数说法正确的是（ ）
A．定义域为 B．图象关于轴对称
C．图象关于原点对称 D．在内单调递增
2．（2022·湖北·高二学业考试）下列函数的图象关于轴对称的是（ ）
A． B．
C． D．
3.（2019全国卷2）设为奇函数，且当时，，若，则
4.（2022四川绵阳·（文））已知函数对任意实数，满足，当时，（为常数），则（ ）
A． B． C． D．
5.（2022山西高三月考（理））函数，则（ ）
A．0 B． C．4 D．1
6.已知函数，则_______；
7.已知函数，则=（ ）
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
题型六：对数函数的单调性
【例1】（2021·浙江·玉环中学高一阶段练习）函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【例2】（2021·云南高一期末）若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围为__________．
【例3】已知函数在上为增函数，则实数的取值范围为_____．
【例4】设函数，则使得成立的的取值范围是
（A） （B）（C）（D）
【例5】已知定义在R上的函数在区间上单调递增，且的图象关于对称，若实数a满足，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例6】（2022广东·深圳市第二高级中学）已知函数，当，，且时，，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例7】（2022年重庆巴蜀）若是定义域为上的单调递减函数，且对任意实数都有无理数，则（ ）
A．3 B． C． D．
【例8】（2022·全国·高一课时练习）设函数f（x）＝|2x+1|﹣|2x﹣1|，则f（x）（ ）
A．是偶函数，且在 单调递增
B．是奇函数，且在 单调递增
C．是偶函数，且在单调递增
D．是奇函数，且在 单调递增
【题型专练】
1.（2022新疆高一期末）函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
2.（2022全国高一专题练习）已知函数（，且）在上是减函数，则实数a的取值范围是________．
3.（2022贵州凯里一中）已知函数，，且时，关于，的不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4.【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设是定义域为R的偶函数，且在单调递减，则（ ）
A．（log3）＞（）＞（） B．（log3）＞（）＞（）
C．（）＞（）＞（log3） D．（）＞（）＞（log3）
5.（2022·全国·高一单元测试）已知函数，下列结论中正确的是（ ）
A．当时，的定义域为
B．一定有最小值
C．当时，的值域为R
D．若在区间上单调递增，则实数a的取值范围是
6.函数在上是减函数,则实数的取值范围为________.
7.（2022年重庆七中高一上期中）已知函数在上单调递减，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8.已知定义在上的函数单调递增，且对任意，恒有，则的值为_______．
9.（2022年重庆南开）已知定义在上函数为单调函数,且对任意的实数 ,都有,则 ( )
A. B. C. D.
题型七：对数函数的值域
【例1】（2022·全国·高一单元测试）已知函数（，且）在上的值域为，则实数a的值是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（2021·江苏·高一专题练习）已知函数，则函数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【例3】（2022·全国·高三专题练习）已知的值域为R，那么a的取值范围是( )
A．(﹣∞，﹣1] B．(﹣1，) C．[﹣1，) D．(0，1)
【例4】（2022·全国·高一课时练习）已知函数，，则下列说法正确的是（ ）
A．若函数的定义域为，则实数的取值范围是
B．若函数的值域为，则实数
C．若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是
D．若，则不等式的解集为
【例5】（2021·河北省曲阳县第一高级中学高三阶段练习）已知函数的定义域是，值域为，则下列四个函数①；②；③；④，其中值域也为的函数个数是（ ）
A． B． C． D．
【例6】（2023·全国·高三专题练习）函数的最小值是（ ）．
A．10 B．1 C．11 D．
【题型专练】
1.（2022·全国·高一专题练习）函数的值域是________.
2.（2022·陕西省安康中学高一期末）已知函数的值域为R，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3.（2023·全国·高三专题练习）若函数的值域为，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4.（2023·全国·高三专题练习）若函数的值域为，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
5.（2023·全国·高三专题练习）已知的值域为R，且在上是增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．或
C．或 D．
6．（2022·吉林·长春市第二中学高一期末）已知函数.
(1)当时，求该函数的值域；
(2)若，对于恒成立，求实数m的取值范围.
7．（2022·广东茂名·高一期末）已知．
(1)设，求t的最大值与最小值；
(2)求的值域．
题型八：对数函数的图象问题
【例1】（2022·全国·高一课时练习）如图所示的曲线是对数函数，，，的图象，则a，b，c，d，1的大小关系为（ ）
A．b>a>1>c>d B．a>b>1>c>d C．b>a>1>d>c D．a>b>1>d>c
【例2】（2022·全国·高一课时练习）已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【例3】（2023·全国·高三专题练习）作出下列函数的图象：
(1)； (2).
【例4】（2022·全国·高一课时练习）若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【例5】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则函数的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【题型专练】
1．（2022·全国·高一课时练习）函数的图像是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，若，则（ ）
A． B．
C． D．以上选项均有可能
3．（2022·全国·高一专题练习）已知（且，且），则函数与的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·海南·琼海市嘉积第三中学高三阶段练习）已知，则满足的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国·高一课时练习）已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6．（2022浙江·玉环中学高一阶段练习）函数与的大致图像是（ ）
A．B． C． D．
7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数（且）的图像如图所示，则以下说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·全国·高一课时练习）若函数（且）在R上既是奇函数，又是减函数，则的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
题型九：由函数性质写函数解析式
【例1】（2021·河南·洛宁县第一高级中学高一阶段练习）已知函数满足①定义域为；②值域为；③.写出一个满足上述条件的函数：___________.
【例2】（2022·江苏省滨海中学模拟预测）写出满足条件“函数在上单调递增，且”的一个函数___________.
【题型专练】
1．（2023·全国·高三专题练习）已知在上是减函数，且对任意的都成立，写出一个满足以上特征的函数___________.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数满足①定义域为；②值域为R；③．写出一个满足上述条件的函数______．
