第20讲 指对数比较大小8种常考题型总结
【题型目录】
题型一：直接利用单调性比较大小
题型二：比较与的大小关系
题型三：取中间值比较大小
题型四：利用换底公式比较大小
题型五：分离常数再比较大小
题型六：利用均值不等式比较大小
题型七：乘倍数比较数的范围比较大小
题型八：构造函数比大小
【典型例题】
题型一：直接利用单调性比较大小
【例1】（2022·湖南邵阳·高一期末）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【例2】（2022·全国·高三专题练习）已知，，，则a、b、c的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
【题型专练】
1.（2022·广东珠海·高一期末）下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．且
2．（2022·全国·高一单元测试）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
3.（2022·江西·上高二中模拟预测（文））已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
4.（2022·内蒙古·阿拉善盟第一中学高一期末）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
题型二：比较与的大小关系
【例1】（2022·甘肃酒泉·高二期末（理））若，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【例2】（2022·全国·高一课时练习）已知，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【例3】（2022·天津·高考真题）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【题型专练】
1.（2022·黑龙江·鸡东县第二中学二模）若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
2.（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）已知，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
3.（2022·陕西汉中·高一期末）已知，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
题型三：取中间值比较大小
【例1】（2022·吉林·东北师大附中模拟预测（文））已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【例2】（2021·全国·高考真题）已知，，，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【例3】（2022·山东滨州·高二期末）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【题型专练】
1．（2022·河南濮阳·高一期末（文））已知，，，则有（ ）
A． B． C． D．
2.（2022·贵州黔西·高二期末（理））设，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·重庆九龙坡·高二期末）已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
题型四：利用换底公式比较大小
【例1】（2021·全国·高一期末）设，，为正数，且，则（ ）
A． B． C． D．
【例2】（2022·全国·高三专题练习）设a=log32，b=ln2，c，则a b c三个数的大小关系是（ ）
A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．c>b>a
【例3】（2022·全国·高三专题练习）设a=log32，b=ln2，c，则a b c三个数的大小关系是（ ）
A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．c>b>a
【题型专练】
1.（2022河南·高三开学考试（文））设，，则（ ）
A． B．
C． D．
2.（2022·重庆八中高三阶段练习）设，，则（ ）
A． B．
C． D．
3.（2021·江苏·海安高级中学高一阶段练习）设，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高一课时练习多选题）已知正数x，y，z满足，则下列说法中正确的是（ ）
A． B． C． D．
题型五：分离常数再比较大小
【例1】（2022·河南·汝州市第一高级中学模拟预测（文））已知，，，则（ ）．
A． B．
C． D．
【题型专练】
1.设，，，则（ ）
A. B. C. D.
题型六：利用均值不等式比较大小
【例1】（2022·黑龙江·绥化市第九中学高二期末），，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（2022·安徽省临泉第一中学高二期末）若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【题型专练】
1．（2022·全国·高考真题（文））已知，则（ ）
A． B． C． D．
2.（2022·河南商丘·高二期末（文））已知，，，则实数a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
题型七：乘倍数比较小
【例1】（2020·全国·高考真题（理））已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（ ）
A．a
【题型专练】
1.已知，，，则实数a，b，c的大小关系为（ ）
A．a题型八：构造函数比大小
【例1】（2022·全国·高一专题练习）设，，则下列叙述正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【例2】（2022·四川·树德中学高二阶段练习（文））若，则（ ）
A． B． C． D．
【题型专练】
1．（2021·江西·高二阶段练习（理））若，且，则（ ）
A． B．
C． D．
2.（2022·全国·高一单元测试）已知正实数，满足，则（ ）
A． B．
C． D．第20讲 指对数比较大小8种常考题型总结
【题型目录】
题型一：直接利用单调性比较大小
题型二：比较与的大小关系
题型三：取中间值比较大小
题型四：利用换底公式比较大小
题型五：分离常数再比较大小
题型六：利用均值不等式比较大小
题型七：乘倍数比较数的范围比较大小
题型八：构造函数比大小
【典型例题】
题型一：直接利用单调性比较大小
【例1】（2022·湖南邵阳·高一期末）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由对数函数得单调性即可得出结果.
【详解】∵在定义域上单调递增，
∴，即.
故选：A.
【例2】（2022·全国·高三专题练习）已知，，，则a、b、c的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先利用对数运算法则进行化简，再用函数单调性比较大小.
【详解】，又，因为，单调递增，所以.
故选：C
【题型专练】
1.（2022·广东珠海·高一期末）下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．且
【答案】C
【分析】利用对数函数的单调性逐项判断可得答案.
【详解】对于A，因为是单调递增函数，所以，故A错误；
对于B，因为是单调递减函数，所以，故B错误；
对于C，因为，所以，故C正确；
对于D，当时，是单调递减函数，当时，是单调递增函数，
所以当时，，当时，，故D错误.
故选：C.
2．（2022·全国·高一单元测试）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据对数函数的单调性并借助1比较即可求解.
【详解】解：因为为单调递增函数，所以.
因为，所以．
故选:B．
3.（2022·江西·上高二中模拟预测（文））已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据对数的运算及对数函数的性质计算可得；
【详解】解：，，即，
又，所以，所以，
，，即，
又，所以，即，
综上可得；
故选：C
4.（2022·内蒙古·阿拉善盟第一中学高一期末）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用指数函数和对数函数的性质比较大小即可
【详解】因为在上为增函数，且，
所以，即，
因为在上为增函数，且，
所以，即，
所以
故选：B.
题型二：比较与的大小关系
【例1】（2022·甘肃酒泉·高二期末（理））若，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别根据、、的单调性，比较，，与0、1的大小，即可比较
【详解】在上是减函数，；
在上是增函数，；
在上是减函数，，
故，
故选：B
【例2】（2022·全国·高一课时练习）已知，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用函数的单调性判断出，，，即可得到正确答案.
【详解】因为为减函数，所以，即；
因为为增函数，所以，即；
因为为增函数，所以，即；
所以.
故选：D
【例3】（2022·天津·高考真题）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系.
【详解】因为，故.
故答案为：C.
【题型专练】
1.（2022·黑龙江·鸡东县第二中学二模）若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据指数函数以及对数函数的性质，判断a,b,c的范围，即可比较大小，可得答案.
【详解】由函数为增函数可知，
由为增函数可得，由由为增函数可得，
，
，
故选:D
2.（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）已知，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用分段法求得正确答案.
【详解】，
所以.
故选：C
3.（2022·陕西汉中·高一期末）已知，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据指数函数和对数函数的性质判断的范围，即可判断大小，即得答案.
【详解】由于，
故，
故选：C
题型三：取中间值比较大小
【例1】（2022·吉林·东北师大附中模拟预测（文））已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系.
【详解】因为，，，
因此，.
故选：D.
【例2】（2021·全国·高考真题）已知，，，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】对数函数的单调性可比较、与的大小关系，由此可得出结论.
【详解】，即.
故选：C.
【例3】（2022·山东滨州·高二期末）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据指数函数、对数函数的性质计算可得.
【详解】解：，即，
，即，
，即，
所以；
故选：A
【题型专练】
1．（2022·河南濮阳·高一期末（文））已知，，，则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据对数函数的单调性，借助中间值比较大小即可.
【详解】依题意，， ，
是单调递增，，，
，，
是单调递增，，，
， ，
是单调递增，，，
，，
是单调递增，，，
综上所述，.
故选：D.
2.（2022·贵州黔西·高二期末（理））设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用幂函数和对数函数的性质比较即可
【详解】因为，
所以，
因为在上为增函数，且，
所以，
因为在上为增函数，
所以，所以，
综上，
故选：D
3．（2022·重庆九龙坡·高二期末）已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据对数得运算性质结合对数函数的性质，利用中间量法即可得出答案.
【详解】解：由，则，
，
，
所以.
故选：B.
题型四：利用换底公式比较大小
【例1】（2021·全国·高一期末）设，，为正数，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】令，用k表示出x，y，z，再借助对数函数的性质即可比较作答.
【详解】因，，为正数，令，则，
因此有：，，，
又函数在上单调递增，而，则，
于是得，
所以.
故选：D
【例2】（2022·全国·高三专题练习）设a=log32，b=ln2，c，则a b c三个数的大小关系是（ ）
A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．c>b>a
【答案】D
【分析】根据对数函数与指数函数性质，结合中间值0、1比较可得．
【详解】∵01，
∴log32ln2，
∴a∵c50=1，
∴c>b>a，
故选：D.
【例3】（2022·全国·高三专题练习）设a=log32，b=ln2，c，则a b c三个数的大小关系是（ ）
A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．c>b>a
【答案】D
【分析】根据对数函数与指数函数性质，结合中间值0、1比较可得．
【详解】∵01，
∴log32ln2，
∴a∵c50=1，
∴c>b>a，
故选：D.
【题型专练】
1.（2022河南·高三开学考试（文））设，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由对数函数性质得，从而，由对数换底公式和对数运算法则计算得，再由不等式性质可得结论．
【详解】因为，，所以，所以，
，即，所以.
故选：D．
2.（2022·重庆八中高三阶段练习）设，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据对数函数的性质可得， ，由此可判断得选项.
【详解】解：因为，，所以，所以，故排除A、B选项；
又，且，所以，
故选：D.
3.（2021·江苏·海安高级中学高一阶段练习）设，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据指数式与对数式互化公式，结合对数的运算性质进行判断即可.
【详解】由，因为，
所以，由，因为，
所以，因此，
由，，
于是有：，因为，
所以，因为，所以，
即，
故选：B
【点睛】关键点睛：利用对数函数的单调性，结合两数的倒数和与之间的关系，进行判断是解题的关键.
4．（2022·全国·高一课时练习多选题）已知正数x，y，z满足，则下列说法中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】将已知条件转化为对数的形式，利用对数运算、商比较法、基本不等式等指数对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】正数x，y，z满足，设，
则，，．
对于A，，故A正确；
对于B，，，，
∵，∴，
∵，∴，∴，故B错误；
对于C，由（），两边平方，可得，故C正确；
对于D，由，可得（），故D正确．
故选：ACD
题型五：分离常数再比较大小
【例1】（2022·河南·汝州市第一高级中学模拟预测（文））已知，，，则（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】结合对数的运算公式以及对数函数的单调性进行转化求解即可．
【详解】由题意得，
，
，
，
因为函数在上单调递增，
所以，则，
所以.
故选：D．
【题型专练】
1.设，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】由题意得，
，所以可得：
故选：D．
题型六：利用均值不等式比较大小
【例1】（2022·黑龙江·绥化市第九中学高二期末），，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据对数函数的性质结合基本不等式分析比较即可
【详解】，，，
因为，
所以，
因为，，
所以，所以，
综上，
故选：B
【例2】（2022·安徽省临泉第一中学高二期末）若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由基本不等式可判断，由对数的性质可得，再作差可判断大小.
【详解】，，，则.
所以.
故选：A．
【题型专练】
1．（2022·全国·高考真题（文））已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出．
【详解】由可得，而，所以，即，所以．
又，所以，即，
所以．综上，．
故选：A.
2.（2022·河南商丘·高二期末（文））已知，，，则实数a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据换底公式可得，再根据换底公式与基本不等式可得，再根据可得，进而求得大小关系
【详解】，，
则，所以；
，，所以，则.
所以
故选：C.
题型七：乘倍数比较小
【例1】（2020·全国·高考真题（理））已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（ ）
A．a【答案】A
【分析】由题意可得、、，利用作商法以及基本不等式可得出、的大小关系，由，得，结合可得出，由，得，结合，可得出，综合可得出、、的大小关系.
【详解】由题意可知、、，，；
由，得，由，得，，可得；
由，得，由，得，，可得.
综上所述，.
故选：A.
【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.
【题型专练】
1.已知，，，则实数a，b，c的大小关系为（ ）
A．a【答案】B
【详解】，，所以，所以
又因，，所以，所以
所以，故选B
题型八：构造函数比大小
【例1】（2022·全国·高一专题练习）设，，则下列叙述正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】A
【分析】利用函数的单调性分析判断即可
【详解】因为和在上均为增函数，
所以在上为增函数，
所以时，得，反之也成立，
即时，，反之也成立，
所以时，，反之也成立，
故选：A
【例2】（2022·四川·树德中学高二阶段练习（文））若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先构造函数，通过导函数得到单调性，从而得到，故可通过函数单调性判断出，而可能比1大，可能等于1，也可能，故CD均错误.
【详解】令，则恒成立，故单调递增，由可得：，故，A错误，B正确；
可能比1大，可能等于1，也可能，故不能确定与0的大小关系，CD错误.
故选：B
【题型专练】
1．（2021·江西·高二阶段练习（理））若，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，构造函数，利用函数单调性，结合对数函数的性质，即可判断和选择.
【详解】因为，即，
故令，则上式等价于
因为，都是上的单调增函数，
故为上的单调增函数，则由，可得，即；
则，故，则A正确；B错误；
因为，故无法判断的正负，故C，D错误.
故选：.
【点睛】本题考查对数函数的单调性，以及函数单调性的应用，属综合中档题；解决问题的关键是根据已知条件，构造函数，并利用其单调性判断的大小关系.
2.（2022·全国·高一单元测试）已知正实数，满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】可以利用筛选法逐个检验选项或者构造函数，结合单调性求解.
【详解】方法一（筛选法） 由题意，．当，即时，，而，所以，故不成立．当时，，，不成立，故，所以，，故A错误，B正确．，则，，故C正确．，故D不一定正确．
故选：BC．
方法二（构造函数法） 由题意，．设函数，显然在区间上单调递增，故由，得，故，故A错误．，B正确；由，得，故，C正确；，故D不一定正确，
故选：BC．