第24讲 三角函数概念及定义5种题型总结
【考点分析】
考点一：角的概念
①任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；
②分类：角按旋转方向分为正角(逆时针旋转）、负角（顺时针旋转）和零角（不旋转）．
②所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是．
③象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，叫做轴线角．
④象限角的集合表示方法：
考点二：弧度制的概念
①定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0．
②角度制和弧度制的互化：,,．
③扇形的弧长公式：，扇形的面积公式：．
考点三：任意角的三角函数
①定义：任意角的终边与单位圆交于点时，则，，．
考点四：任意角三角函数的性质如下：
三角函数 定义域 第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号
＋ ＋ － －
＋ － － ＋
＋ － ＋ －
【题型目录】
题型一：与角终边相同的角的集合的表示
题型二：判断等分角的象限问题
题型三：扇形的弧长、面积公式的计算
题型四：任意角三角函数的定义
题型五：三角函数值的正负判断
【典例例题】
题型一：与角终边相同的角的集合的表示
【例1】（2022·全国·高一课时练习）将－1485°化成的形式是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（2022·陕西渭南·高一期末）与终边相同的角是（ ）
A． B． C． D．
【例3】（2022·全国·高三专题练习）与角的终边相同的角的表达式中，正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【例4】（2022·河南南阳·高一期末）已知角，则角的终边落在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【例5】（2022·全国·高一课时练习）终边落在直线上的角的集合为（ ）
A． B．
C． D．
【例6】（2022·全国·高三专题练习（多选题））如果角与角的终边相同，角与的终边相同，那么的可能值为（ ）
A． B． C． D．
【例7】（2022·全国·高一课时练习）下列说法中正确的是（ ）
A．第二象限角大于第一象限角
B．若，则为第一或第二象限角
C．钝角一定是第二象限角
D．三角形的内角是第一或第二象限角
【例8】（2022·全国·高一课时练习）已知，则角的终边落在的阴影部分是（ ）
A． B． C． D．
【题型专练】
1.（2022·河南安阳·高一期末）把表示成，的形式，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
2.（2022·广西·北海市教育教学研究室高一期末）下列各角中，与 角终边相同的角是（ ）
A． B． C． D．
3.（2022·全国·高一课时练习）与终边相同的角可以为___________.（填写一个符合题意的角即可）
4.（2022·全国·高三专题练习）若角的终边在直线上，则角的取值集合为（ ）
A． B．
C． D．
5.（2022·全国·高一课时练习）如图，用弧度制表示终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合：______.
6．（2022·西藏·林芝市第二高级中学高一期末）的角化为角度制的结果为_______．
7.（2022·全国·高三专题练习（多选题））下列条件中，能使和的终边关于轴对称的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022·全国·高一课时练习）如果角与角x＋45°具有相同的终边，角与角x－45°具有相同的终边，那么与之间的关系是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2022·全国·高一课时练习）若，，则角与角的终边一定（ ）
A．重合 B．关于原点对称
C．关于x轴对称 D．关于y轴对称
10．（2023·全国·高三专题练习）集合中的角所表示的范围(阴影部分)是（ ）
A． B． C． D．
题型二：判断等分角的象限问题
【例1】（2022·浙江·高三专题练习）若，则的终边在（ ）
A．第一、三象限 B．第一、二象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
【例2】（2022·江西上饶·高一阶段练习多选）若是第二象限角，则（ ）
A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角
C．是第二象限角 D．是第三或第四象限角
【题型专练】
1.（2022·全国·高三专题练习（理））角的终边属于第一象限，那么的终边不可能属于的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2.（2022·全国·高三专题练习）θ是第二象限角，则下列选项中一定为负值的是（ ）
A．sin B．cos C．sin 2θ D．cos 2θ
3.（2022·全国·高三专题练习）已知角第二象限角，且，则角是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
题型三：扇形的弧长、面积公式的计算
【例1】（2022·河南·郑州四中高三阶段练习（文））已知扇形的圆心角为，弦长，则扇形的弧长等于（ ）
A． B． C． D．
【例2】（2022·浙江·高三开学考试）如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，钱塘江和钱江潮头是会徽的形象核心，绿水青山展示了浙江杭州山水城市的自然特征，江潮奔涌表达了浙江儿女勇立潮头的精神气质，整个会徽形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形，设弧长度是，弧长度是，几何图形面积为，扇形面积为，若，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【例3】（2022·全国·高三专题练习）已知扇形的周长为4 cm，当它的半径为________ cm和圆心角为________弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是________ cm2.
【例4】（2022·浙江·镇海中学模拟预测）《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧及其所对弦围成的图形．若弧田的弦长是2，弧所在圆心角的弧度数也是2，则弧田的弧长为_______，弧田的面积为_________．
【例5】（2022·全国·高一课时练习多选题）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，如图，设扇形的面积为，其圆心角为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面为“美观扇面”，下列结论正确的是（参考数据：）（ ）
A．
B．若，扇形的半径，则
C．若扇面为“美观扇面”，则
D．若扇面为“美观扇面”，扇形的半径，则此时的扇形面积为
【题型专练】
1．（2022·上海市松江二中高一期末）已知扇形的圆心角为，扇形的弧长为，则该扇形所在圆的半径为___________.
2.（2022·全国·高一学业考试）已知扇形的周长是12，面积是8，则扇形的圆心角的弧度数可能是（ ）
A．1 B．4 C．2 D．3
3.（2022·全国·高考真题（理））沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高三专题练习）玉雕在我国历史悠久，拥有深厚的文化底蕴，数千年来始终以其独特的内涵与魅力深深吸引着世人．某扇形玉雕壁面尺寸（单位：cm）如图所示，则该玉雕壁画的扇面面积约为（ ）
A． B． C． D．
5.（2022·全国·高三专题练习）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.按如下方法剪裁，扇面形状较为美观.从半径为的圆面中剪下扇形，使剪下扇形后所剩扇形的弧长与圆周长的比值为，再从扇形中剪下扇环形制作扇面，使扇环形的面积与扇形的面积比值为.则一个按上述方法制作的扇环形装饰品（如图）的面积与圆面积的比值为（ ）
A． B． C． D．
6.（2022·浙江·赫威斯育才高中模拟预测）“圆材埋壁”是我国古代的数学著作《九章算术》中的一个问题，现有一个“圆材埋壁”的模型，其截面如图所示，若圆柱形材料的底面半径为1，截面圆圆心为，墙壁截面为矩形，且，则扇形的面积是__________.
7.（2022·全国·模拟预测）炎炎夏日，在古代人们乘凉时习惯用的纸叠扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形加工制作而成.如图，扇形纸叠扇完全展开后，扇形ABC的面积S为，若，则当该纸叠扇的周长C最小时，BD的长度为___________.
题型四：任意角三角函数的定义
【例1】（2021·天津市武清区杨村第一中学高一阶段练习）已知函数的图象恒过定点，若角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，且点在角的终边上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【例2】（2022·黑龙江·大庆市东风中学高一期末）已知角的终边与单位圆交于点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【例3】（2022·陕西渭南·高一期末）已知角的终边经过点，且，则（ ）
A． B．1 C．2 D．
【题型专练】
1.（2022·陕西渭南·高一期末）已知是角终边上一点，且，则的值是（ ）
A． B． C． D．
2.（2022·陕西渭南·高一期末）已知角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．－2
3.（2022·江苏省如皋中学高一期末多选）已知函数的图象经过定点，且点在角的终边上，则的值可能是（ ）
A．2 B．3 C． D．
4.（2022·全国·高一课时练习）已知角的终边上有一点，且，则m的值为______．
5.（2023·全国·高三专题练习）已知角α的终边与单位圆的交点为P，则＝______．
题型五：三角函数值的正负判断
【例1】（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）若满足，则的终边在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【例2】（2022·全国·高一课时练习）若角是第四象限角，则______．
【例3】（2023·全国·高三专题练习）已知角θ在第二象限，且，则角在（ ）
A．第一象限或第三象限
B．第二象限或第四象限
C．第三象限
D．第四象限
【例4】（2022·全国·高一课时练习）（多选）下列三角函数值中符号为负的是（ ）
A． B． C． D．
【例5】（2022·河北·石家庄二中模拟预测）若角满足，，则在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【例6】（2022·全国·高三专题练习（理））我们知道，在直角坐标系中，角的终边在第几象限，这个角就是第几象限角．已知点在第三象限，则角的终边在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【题型专练】
1.（2022·全国·高一课时练习）在平面直角坐标系xOy中，角以Ox为始边，终边经过点，则下列各式的值一定为负的是（ ）
A． B． C． D．
2.（2022河南开封·高一期末）已知点在第三象限，则角在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.（2022全国高一课时练习）在中，A为钝角，则点（ ）
A．在第一象限 B．在第二象限
C．在第三象限 D．在第四象限
4.（2021·全国高一课时练习）“角是第一或第三象限角”是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5.（2022·全国·高三专题练习）如果，且，则的化简为_____.
6.（2022·浙江·模拟预测）已知，则“”是“角为第一或第四象限角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要第24讲 三角函数概念及定义5种题型总结
【考点分析】
考点一：角的概念
①任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；
②分类：角按旋转方向分为正角(逆时针旋转）、负角（顺时针旋转）和零角（不旋转）．
②所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是．
③象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，叫做轴线角．
④象限角的集合表示方法：
考点二：弧度制的概念
①定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0．
②角度制和弧度制的互化：,,．
③扇形的弧长公式：，扇形的面积公式：．
考点三：任意角的三角函数
①定义：任意角的终边与单位圆交于点时，则，，．
考点四：任意角三角函数的性质如下：
三角函数 定义域 第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号
＋ ＋ － －
＋ － － ＋
＋ － ＋ －
【题型目录】
题型一：与角终边相同的角的集合的表示
题型二：判断等分角的象限问题
题型三：扇形的弧长、面积公式的计算
题型四：任意角三角函数的定义
题型五：三角函数值的正负判断
【典例例题】
题型一：与角终边相同的角的集合的表示
【例1】（2022·全国·高一课时练习）将－1485°化成的形式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由或转换．
【详解】因为，，，所以－1485°可化成．
故选：D．
【例2】（2022·陕西渭南·高一期末）与终边相同的角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】与终边相同的角可表示为.
【详解】∵，
∴与终边相同的角是.
故选：D
【例3】（2022·全国·高三专题练习）与角的终边相同的角的表达式中，正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】
【分析】
要写出与的终边相同的角，只要在该角上加的整数倍即可．
【详解】
首先角度制与弧度制不能混用，所以选项AB错误；
又与的终边相同的角可以写成，
所以正确．
故选：．
【例4】（2022·河南南阳·高一期末）已知角，则角的终边落在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】利用象限角的定义判断可得出结论.
【详解】因为，而是第三象限角，故角的终边落在第三象限.
故选：C.
【例5】（2022·全国·高一课时练习）终边落在直线上的角的集合为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先确定的倾斜角为，再分当终边在第一和三象限时角度的表达式再求解即可.
【详解】易得的倾斜角为，当终边在第一象限时，，；当终边在第三象限时，，．所以角的集合为．
故选：B
【例6】（2022·全国·高三专题练习（多选题））如果角与角的终边相同，角与的终边相同，那么的可能值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】
根据终边相同可得角与角之间的关系，从而可得的代数形式，故可得正确的选项.
【详解】
因为角与角的终边相同，故，其中，
同理，其中，
故，其中，
当或时，或，故AC正确，
令，此方程无整数解；
令即，此方程无整数解；
故BD错误.
故选：AC.
【例7】（2022·全国·高一课时练习）下列说法中正确的是（ ）
A．第二象限角大于第一象限角
B．若，则为第一或第二象限角
C．钝角一定是第二象限角
D．三角形的内角是第一或第二象限角
【答案】C
【分析】利用任意角的知识，对选项分别判断即可.
【详解】对A选项，如，故A错误.
对B选项，为第一或第二象限角或终边落在y轴正半轴上的角．故B错误.
对C选项，因为钝角大于90°且小于180°，所以钝角一定是第二象限角，故C正确.
对D选型，当三角形的一个内角为90°时，不是象限角，故D错误.
故选: C.
【例8】（2022·全国·高一课时练习）已知，则角的终边落在的阴影部分是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】令即可判断出正确选项.
【详解】令，得，则B选项中的阴影部分区域符合题意.
故选：B．
【题型专练】
1.（2022·河南安阳·高一期末）把表示成，的形式，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由结合弧度制求解即可.
【详解】∵，∴
故选：B
2.（2022·广西·北海市教育教学研究室高一期末）下列各角中，与 角终边相同的角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将化为，即可确定答案.
【详解】因为，故角的终边与的终边相同，
故选：A
3.（2022·全国·高一课时练习）与终边相同的角可以为___________.（填写一个符合题意的角即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】终边相同的角，相差的整数倍，据此即可求解
【详解】∵，当时，，∴与终边相同的角可以为，
故答案为：222°（答案不唯一）
4.（2022·全国·高三专题练习）若角的终边在直线上，则角的取值集合为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据若终边相同，则求解.
【详解】
解：
，由图知，
角的取值集合为:
故选：D.
【点睛】
本题主要考查终边相同的角，还考查了集合的运算能力，属于基础题.
5.（2022·全国·高一课时练习）如图，用弧度制表示终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合：______.
【答案】
【分析】将角度化为弧度，结合任意角概念表示出来即可.
【详解】因为，，
结合图像可看作范围内的角，结合任意角的概念可表示为
.
故答案为:.
6．（2022·西藏·林芝市第二高级中学高一期末）的角化为角度制的结果为_______．
【答案】
【分析】利用角度与弧度的互化即可求得对应角度制的结果
【详解】
故答案为：
7.（2022·全国·高三专题练习（多选题））下列条件中，能使和的终边关于轴对称的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】
【分析】
根据和的终边关于轴对称时，逐一判断正误即可.
【详解】
根据和的终边关于轴对称时可知，
选项B中，符合题意；选项D中，符合题意；
选项AC中，可取时显然可见和的终边不关于轴对称.
故选：BD.
8．（2022·全国·高一课时练习）如果角与角x＋45°具有相同的终边，角与角x－45°具有相同的终边，那么与之间的关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先根据终边相同的角分别表达出，再分析，即可.
【详解】利用终边相同的角的关系，得，.
则与有关，故AC错误；
又．因为m，n是整数，所以n－m也是整数，用表示，所以.
故选：D．
9．（2022·全国·高一课时练习）若，，则角与角的终边一定（ ）
A．重合 B．关于原点对称
C．关于x轴对称 D．关于y轴对称
【答案】C
【分析】根据角与角的终边关于x轴对称即可得解.
【详解】解：因为角与角的终边关于x轴对称，所以角与角的终边一定也关于x轴对称．
故选：C
10．（2023·全国·高三专题练习）集合中的角所表示的范围(阴影部分)是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】对按奇偶分类讨论可得．
【详解】当k＝2n(n∈Z)时，2nπ≤≤2nπ＋(n∈Z)，此时的终边和0≤≤的终边一样，当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π≤≤2nπ＋π＋ (n∈Z)，此时的终边和π≤≤π＋的终边一样．
故选：B．
题型二：判断等分角的象限问题
【例1】（2022·浙江·高三专题练习）若，则的终边在（ ）
A．第一、三象限 B．第一、二象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
【答案】A
【解析】
【分析】
分和讨论可得角的终边所在的象限.
【详解】
解：因为，所以
当时，，其终边在第三象限；
当时，，其终边在第一象限.
综上，的终边在第一、三象限.
故选：A.
【例2】（2022·江西上饶·高一阶段练习多选）若是第二象限角，则（ ）
A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角
C．是第二象限角 D．是第三或第四象限角
【答案】AB
【分析】由与关于轴对称，即可判断AD；由已知可得，，再根据不等式的性质可判断B；由是第一象限角判断C．
【详解】解：因为与关于轴对称，而是第二象限角，所以是第三象限角，
所以是第一象限角，故A正确，D错误；
因为是第二象限角，所以，，所以，，
故是第一或第三象限角，故 B正确；
因为是第二象限角，所以是第一象限角，故C错误．
故选：AB．
【题型专练】
1.（2022·全国·高三专题练习（理））角的终边属于第一象限，那么的终边不可能属于的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意知，，，即可得的范围，讨论、、对应的终边位置即可.
【详解】
∵角的终边在第一象限，
∴，，则，，
当时，此时的终边落在第一象限，
当时，此时的终边落在第二象限，
当时，此时的终边落在第三象限，
综上，角的终边不可能落在第四象限，
故选：D.
2.（2022·全国·高三专题练习）θ是第二象限角，则下列选项中一定为负值的是（ ）
A．sin B．cos C．sin 2θ D．cos 2θ
【答案】C
【解析】
表示出第二象限角的范围，求出和所在象限，确定函数值的符号．
【详解】
因为θ是第二象限角，
所以，
则，
所以2θ为第三或第四象限角或终边在轴负半轴上，，所以sin 2θ<0.
而，是第一象限或第三象限角，正弦余弦值不一定是负数．
故选：C．
3.（2022·全国·高三专题练习）已知角第二象限角，且，则角是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】C
【解析】
【分析】
由是第二象限角，知在第一象限或在第三象限，再由，知，由此能判断出所在象限．
【详解】
因为角第二象限角,所以，
所以，
当是偶数时，设，则，
此时为第一象限角；
当是奇数时，设，则，
此时为第三象限角.；
综上所述：为第一象限角或第三象限角，
因为，所以，所以为第三象限角．
故选：C．
题型三：扇形的弧长、面积公式的计算
【例1】（2022·河南·郑州四中高三阶段练习（文））已知扇形的圆心角为，弦长，则扇形的弧长等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求得扇形的半径，从而求得扇形的弧长.
【详解】扇形的半径，
所以扇形的弧长等于.
故选：B
【例2】（2022·浙江·高三开学考试）如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，钱塘江和钱江潮头是会徽的形象核心，绿水青山展示了浙江杭州山水城市的自然特征，江潮奔涌表达了浙江儿女勇立潮头的精神气质，整个会徽形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形，设弧长度是，弧长度是，几何图形面积为，扇形面积为，若，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】通过弧长比可以得到与的比，接着再利用扇形面积公式即可求解
【详解】解：设，则，所以，即，
所以，
故选：C
【例3】（2022·全国·高三专题练习）已知扇形的周长为4 cm，当它的半径为________ cm和圆心角为________弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是________ cm2.
【答案】 1 2 1
【解析】
【详解】
，则，
则时，面积最大为，此时圆心角，
所以答案为1；2；1.
【例4】（2022·浙江·镇海中学模拟预测）《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧及其所对弦围成的图形．若弧田的弦长是2，弧所在圆心角的弧度数也是2，则弧田的弧长为_______，弧田的面积为_________．
【答案】 ; .
【解析】
【分析】
（1）利用弧长公式解决，那么需要算出半径和圆心角；（2）用扇形的面积减去三角形的面积即可.
【详解】
由题意可知：，
所以弧长，弧田的面积，
故答案为：；.
【例5】（2022·全国·高一课时练习多选题）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，如图，设扇形的面积为，其圆心角为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面为“美观扇面”，下列结论正确的是（参考数据：）（ ）
A．
B．若，扇形的半径，则
C．若扇面为“美观扇面”，则
D．若扇面为“美观扇面”，扇形的半径，则此时的扇形面积为
【答案】AC
【分析】首先确定所在扇形的圆心角，结合扇形面积公式可确定A正确；由可求得，代入扇形面积公式可知B错误；由即可求得，知C正确；由扇形面积公式可直接判断出D错误.
【详解】对于A，与所在扇形的圆心角分别为，，
，A正确；
对于B，，，，B错误；
对于C，，，，C正确；
对于D，，D错误.
故选：AC.
【题型专练】
1．（2022·上海市松江二中高一期末）已知扇形的圆心角为，扇形的弧长为，则该扇形所在圆的半径为___________.
【答案】4
【分析】利用弧长公式直接求得.
【详解】扇形的圆心角为，为，设半径为r，
由弧长公式可得：，解得：.
故答案为：4
2.（2022·全国·高一学业考试）已知扇形的周长是12，面积是8，则扇形的圆心角的弧度数可能是（ ）
A．1 B．4 C．2 D．3
【答案】AB
【分析】利用扇形的弧长与面积公式建立方程组求解，再利用圆心角公式.
【详解】设扇形的半径为，弧长为，面积为S，圆心角为，则，，解得，或，，则或1．故C，D错误.
故选：AB．
3.（2022·全国·高考真题（理））沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
连接，分别求出，再根据题中公式即可得出答案.
【详解】
解：如图，连接，
因为是的中点，
所以，
又，所以三点共线，
即，
又，
所以，
则，故，
所以.
故选：B.
4．（2022·全国·高三专题练习）玉雕在我国历史悠久，拥有深厚的文化底蕴，数千年来始终以其独特的内涵与魅力深深吸引着世人．某扇形玉雕壁面尺寸（单位：cm）如图所示，则该玉雕壁画的扇面面积约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据扇形的面积公式，利用大扇形面积减去小扇形面积即可求解.
【详解】易知该扇形玉雕壁画可看作由一个大扇形剪去一个小扇形得到，
设大、小扇形所在圆的半径分别为，，相同的圆心角为，
则，得，又因为，
所以，，
该扇形玉雕壁画面积
．
故选：D．
5.（2022·全国·高三专题练习）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.按如下方法剪裁，扇面形状较为美观.从半径为的圆面中剪下扇形，使剪下扇形后所剩扇形的弧长与圆周长的比值为，再从扇形中剪下扇环形制作扇面，使扇环形的面积与扇形的面积比值为.则一个按上述方法制作的扇环形装饰品（如图）的面积与圆面积的比值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
记扇形的圆心角为，扇形的面积为，扇环形的面积为，圆的面积为，根据扇形面积公式，弧长公式，以及题中条件，即可计算出结果.
【详解】
记扇形的圆心角为，扇形的面积为，扇环形的面积为，圆的面积为，
由题意可得，，，，
所以，
因为剪下扇形后所剩扇形的弧长与圆周长的比值为，
所以，则，
所以.
故选：D.
6.（2022·浙江·赫威斯育才高中模拟预测）“圆材埋壁”是我国古代的数学著作《九章算术》中的一个问题，现有一个“圆材埋壁”的模型，其截面如图所示，若圆柱形材料的底面半径为1，截面圆圆心为，墙壁截面为矩形，且，则扇形的面积是__________.
【答案】##
【解析】
【分析】
计算，再利用扇形的面积公式求解.
【详解】
由题意可知，圆的半径为，即，
又，所以为正三角形，∴，
所以扇形的面积是.
故答案为：
7.（2022·全国·模拟预测）炎炎夏日，在古代人们乘凉时习惯用的纸叠扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形加工制作而成.如图，扇形纸叠扇完全展开后，扇形ABC的面积S为，若，则当该纸叠扇的周长C最小时，BD的长度为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
设扇形ABC的半径为rcm，弧长为lcm，根据扇形ABC的面积S为，由得到，然后由纸叠扇的周长，利用基本不等式求解.
【详解】
解：设扇形ABC的半径为rcm，弧长为lcm，则扇形面积.
由题意得，所以.
所以纸叠扇的周长，
当且仅当即，时，等号成立，
所以.又，
所以，
所以，
故.
故答案为：
题型四：任意角三角函数的定义
【例1】（2021·天津市武清区杨村第一中学高一阶段练习）已知函数的图象恒过定点，若角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，且点在角的终边上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先由对数函数图象的特征求出定点，再由三角三函数的定义求解即可
【详解】函数的图象恒过定点，
且点在角的终边上，
所以，
故选：C
【例2】（2022·黑龙江·大庆市东风中学高一期末）已知角的终边与单位圆交于点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角函数的定义即可求出．
【详解】因为角的终边与单位圆交于点，
所以根据三角函数的定义可知，．
故选：C．
【例3】（2022·陕西渭南·高一期末）已知角的终边经过点，且，则（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】C
【分析】由三角函数定义求得值．
【详解】由题意，解得．
故选：C．
【题型专练】
1.（2022·陕西渭南·高一期末）已知是角终边上一点，且，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据，可判断点位于第二象限，利用正弦函数的定义列方程求解即可.
【详解】解：因为是角终边上一点，，故点位于第二象限，
所以，，
整理得：，因为，所以.
故选：D.
2.（2022·陕西渭南·高一期末）已知角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．－2
【答案】A
【分析】根据三角函数的定义即可得解.
【详解】解：因为角的终边经过点，
所以.
故选：A.
3.（2022·江苏省如皋中学高一期末多选）已知函数的图象经过定点，且点在角的终边上，则的值可能是（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】AC
【分析】先由函数可知点的坐标，再由三角函数的定义可求解.
【详解】由题意，可知或，
当点是时，
由三角函数的定义有，
所以；
当点是时，
由三角函数的定义有，
所以.
故选：AC
4.（2022·全国·高一课时练习）已知角的终边上有一点，且，则m的值为______．
【答案】或0
【分析】根据三角函数的定义列方程即可求解.
【详解】由题意可知，解得或0．
故答案为：或0
5.（2023·全国·高三专题练习）已知角α的终边与单位圆的交点为P，则＝______．
【答案】
【分析】根据单位圆求出，然后由三角函数定义求得，再相乘可得．
【详解】由题意，，
时，，，，
时，，，，
综上，．
故答案为：．
题型五：三角函数值的正负判断
【例1】（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）若满足，则的终边在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】直接由各象限三角函数的符号判断即可.
【详解】由可知的终边在第三象限或第四象限，又，则的终边在第三象限.
故选：C.
【例2】（2022·全国·高一课时练习）若角是第四象限角，则______．
【答案】－1
【分析】根据在第四象限三角函数的符号，化简计算y值.
【详解】因为角是第四象限角，所以，，，
所以．
故答案为：-1.
【例3】（2023·全国·高三专题练习）已知角θ在第二象限，且，则角在（ ）
A．第一象限或第三象限
B．第二象限或第四象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】C
【分析】由题可得角在第一或第三象限，再结合三角函数值的符号即得.
【详解】∵角θ是第二象限角，
∴θ∈，
∴，，
∴角在第一或第三象限，
∵，∴，
∴角在第三象限.
故选：C.
【例4】（2022·全国·高一课时练习）（多选）下列三角函数值中符号为负的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】根据各交所在象限判断三角函数的正负情况.
【详解】因为，所以角是第二象限角，所以；因为，角是第二象限角，所以；因为，所以角是第二象限角，所以；；
故选：BCD．
【例5】（2022·河北·石家庄二中模拟预测）若角满足，，则在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】
根据可知是第二或第四象限角；根据第二或第四象限角正余弦的符号可确定结果.
【详解】
，是第二或第四象限角；
当是第二象限角时，，，满足；
当是第四象限角时，，，则，不合题意；
综上所述：是第二象限角.
故选：B.
【例6】（2022·全国·高三专题练习（理））我们知道，在直角坐标系中，角的终边在第几象限，这个角就是第几象限角．已知点在第三象限，则角的终边在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】
本题首先可以根据题意得出、，然后得出，即可得出结果.
【详解】
因为点在第三象限，
所以，，
则，角的终边在第二象限，
故选：B.
【题型专练】
1.（2022·全国·高一课时练习）在平面直角坐标系xOy中，角以Ox为始边，终边经过点，则下列各式的值一定为负的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】由已知角终边上的点可得，，，结合诱导公式判断各项的正负，即可得答案.
【详解】由题意知：，，.
∵不确定m的正负，
∴与的符号不确定.
∵，
∴一定为负值的是A，D选项.
故选：AD
2.（2022河南开封·高一期末）已知点在第三象限，则角在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】∵点在第三象限，∴，∴在第四象限.故选：D.
3.（2022全国高一课时练习）在中，A为钝角，则点（ ）
A．在第一象限 B．在第二象限
C．在第三象限 D．在第四象限
【答案】B
【解析】在中，A为钝角，则B为锐角，则，则点在第二象限，
故选：B
4.（2021·全国高一课时练习）“角是第一或第三象限角”是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】角是第一象限角时，，则；若角是第三象限角，，则.故“角是第一或第三象限角”是“”的充分条件.
若，即或，所以角是第一或第三象限角.故“角是第一或第三象限角”是“”的必要条件.
综上，“角是第一或第三象限角”是“”的充要条件.故选:C.
5.（2022·全国·高三专题练习）如果，且，则的化简为_____.
【答案】
【解析】
【分析】
由，且，得到是第二象限角，由此能化简．
【详解】
解：∵，且，∴是第二象限角，
∴．
故答案为：．
6.（2022·浙江·模拟预测）已知，则“”是“角为第一或第四象限角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要
【答案】B
【解析】
【分析】
利用定义法进行判断.
【详解】
充分性：当时，不妨取时轴线角不成立.故充分性不满足；
必要性：角为第一或第四象限角，则，显然成立.
故选：B.
