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专题05 矩形的性质与判定重难点题型分类-高分必刷题
专题简介：本份资料包含矩形的性质与判定这两节的常考主流题型，所选题目源自各名校期中、期末试题
中的典型考题，具体包含六类题型：利用矩形的性质求角度、利用矩形的性质求边长、矩形中的折叠模型、利用矩形的性质证明、斜边上的中线等于斜边的一半、矩形的判定。适合于培训机构的老师给学生作复习培训时使用或者学生考前刷题时使用。
矩形的性质：①角=90；②对角线相等；③平行四边形的所有性质。
题型一 利用矩形的性质求角度
1．（2022·广东）如图，在矩形中，对角线与相交于点，已知，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：∵矩形的对角线，相交于点，∴，，，
∴，∴，∴，故选：C．
2．如图，在矩形中，、交于点O，于点E，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：∵四边形是矩形，∴，，，，∴，
∴，∵，∴，∵，
∴，∴，故C正确；故选：C．
3．（2022秋·四川）如图，矩形ABCD中，AC的垂直平分线MN与AB交于点E，连接CE．若∠CAD＝70°，则∠DCE＝_____°．
【详解】解：∵MN是AC的垂直平分线，∴EC=EA，∴∠ECA=∠EAC，∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠D=90°，∴∠DCA=∠EAC=90°-70°=20°，∴∠DCE=∠DCA+∠ECA=20°+20°=40°，
故答案为：40．
4．如图，将矩形沿对角线折叠，使点落在处，交于点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：∵四边形为矩形，∴，，又∵，
∴，∴，∵矩形沿对角线折叠，
∴．故选：B．
5．（2016·内蒙古）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE=__________度．
【详解】四边形ABCD是矩形，AC=BD，OA=OC，OB=OD，OA=OB═OC，∠OAD=∠ODA，∠OAB=∠OBA，∠AOE=∠OAD+∠ODA=2∠OAD，∠EAC=2∠CAD，∠EAO=∠AOE，
AE⊥BD，∠AEO=90°，∠AOE=45°，∠OAB=∠OBA=67.5°，即∠BAE=∠OAB﹣∠OAE=22.5°．
题型二 利用矩形的性质求边长
6．（2022秋·湖南长沙）如图，矩形中，对角线交于点O，，则矩形的面积是（ ）
A．2 B． C． D．8
【详解】解：∵四边形是矩形，，，
∴，是等边三角形，，在中，，
，，矩形的面积是，故选C.
7．（2022秋·全国）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，于点E，，，则（ ）
A． B． C．2 D．
【详解】解：设，则，∴，得：，即，∵，
∴，，∵，设，则，∴，解之得：，
∴，，∴，∵，∴，故选：A．
8．（2022春·新疆）如图，矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M，N分别为BC，OC的中点．若MN＝4，则AC的长为__________．
【答案】16．
9．（2023春·八年级）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝6，AC＝8，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为_____．
【详解】解：∵∠BAC＝90°，且BA＝6，AC＝8，∴BC＝＝10，∵DM⊥AB，DN⊥AC，
∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，∴四边形DMAN是矩形，∴MN＝AD， ∴当AD⊥BC时，AD的值最小，
此时，△ABC的面积＝AB×AC＝BC×AD，∴AD＝＝，∴MN的最小值为；故答案为：．
10．（2022春·黑龙江）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，点P为边AB上任意一点，过点P作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E、F，则PE+PF=______．
【详解】解：连接OP，如图：
∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，OA=OC，OB=OD，AC=BD，∴OA=OB，AC==10，∴S矩形ABCD=AB BC=48，S△AOB=S矩形ABCD=12，OA=OB=5，
∴S△AOB=S△AOP+S△BOP=OA PE+OB PF=OA（PE+PF）=×5×（PE+PF）=12，∴PE+PF=；
故答案为：．
题型三 矩形中的折叠模型
11．（2023春·八年级）如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：由翻折变换的性质可知：，∴，，，
∵四边形为矩形，，，∴，，，
∴，，在和中，，∴，
∴，，设，则，在中，，
∴，解得：，∴，∴．故选：B．
12.(麓山)如图1，将长方形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且点落在对角线处.若，，则的长为( )
A. B. C. D.
图1 图2 图3
【解答】解：∵AB＝3，AD＝4，∴DC＝3，BC＝4∴AC＝＝5，根据折叠可得：△DEC≌△D′EC，∴D′C＝DC＝3，DE＝D′E，设ED＝x，则D′E＝x，AD′＝AC﹣CD′＝2，AE＝4﹣x，
在Rt△AED′中：（AD′）2+（ED′）2＝AE2，22+x2＝（4﹣x）2，解得：x＝．
故选：D．
13.（长郡）如图2，矩形ABCD中，，，AF平分，，则____________.
【解答】解：∵AF平分∠DAE，∴∠DAF＝∠EAF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠C＝90°，AD＝BC＝5，AB＝CD＝4，∵EF⊥AE，∴∠AEF＝∠D＝90°，在△AEF和△ADF中
，∴△AEF≌△ADF（AAS），∴AE＝AD＝5，EF＝DF，
在△ABE中，∠B＝90°，AE＝5，AB＝4，由勾股定理得：BE＝3，∴CE＝5﹣3＝2，
设CF＝x，则EF＝DF＝4﹣x，在Rt△CFE中，由勾股定理得：EF2＝CE2+CF2，
∴（4﹣x）2＝x2+22，x＝，CF＝，故答案为：．
14.(雅实)如图3，将矩形沿折叠，使点C落在的中点上，若，，则长为( )
A． B．4 C．4.5 D．5
【解答】解：∵点C′是AB边的中点，AB＝6，∴BC′＝3，由图形折叠特性知，C′F＝CF＝BC﹣BF＝9﹣BF，在Rt△C′BF中，BF2+BC′2＝C′F2，∴BF2+9＝（9﹣BF）2，解得，BF＝4，故选：A．
题型四 利用矩形的性质证明
15．（2023·河南信阳）如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF，CE．
求证：四边形AECF是平行四边形．
【详解】证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB＝∠DFC＝∠AEF＝∠CFE＝90°，∴AECF
∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，ABCD，∴∠ABE＝∠FDC，
在△ABE和△CDF中， ∴△ABE≌△CDF（AAS），∴AE＝CF，
∴四边形AECF为平行四边形．
16．（2021·新疆）如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且．
求证：（1）；
（2）四边形AEFD是平行四边形．
【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，∠B=∠DCB=90°，∴∠DCF=90°，
在△ABE和△DCF中，，∴（SAS）．
（2）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD=BC，即AD=BE+EC，∵BE=CF，∴AD=CF+EC，
即AD=EF，∵点F在BC的延长线上，∴AD∥EF，∴四边形AEFD是平行四边形．
17．（2013·湖南湘西）如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD的中点，连接AF，CE
（1）求证：△BEC≌△DFA；
（2）求证：四边形AECF是平行四边形．
【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC.又∵E、F分别是边AB、CD的中点，∴BE=DF.∵在△BEC和△DFA中，，∴△BEC≌△DFA（SAS）.
（2）由（1）△BEC≌△DFA，∴CE=AF，∵E、F分别是边AB、CD的中点，∴AE=CF∴四边形AECF是平行四边形.
18．（2022春·广东阳江）如图，在矩形ABCD中，点E、F是对角线AC上的两点，AF＝CE．
(1)试判断四边形BEDF的形状，并说明理由；
(2)若BE⊥AC，BF＝10，BE＝6，求线段CF的长．
【详解】（1）四边形BEDF为平行四边形，理由如下：∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠BAF=∠DCE，在△BAF和△DCE中，，∴△DCE≌△BAF（SAS），
∴DE=BF，∠DEF=∠BFE，∴DE∥BF，∴四边形BEDF为平行四边形；
（2）如图，连接BD交AC于点O，
，
，，，
∵四边形ABCD是矩形，，．
题型五 斜边上的中线等于斜边的一半
19．（2022春·广西）如图，O是矩形的对角线的中点，E是边的中点．若，则线段的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【详解】解：∵在矩形ABCD中，，，O是矩形ABCD的对角线BD的中点，E是AB边的中点，∴OE为的中位线，∴，，∴，
∵点O为BD的中点，，∴，故选：C．
20．（2022春·河南）如图，在中，、分别是直角边、的中点，若，则边上的中线的长为（ ）
A．5 B．6 C． D．10
【详解】解：∵D、E分别是边BC、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线．∴．∵DE=10，
∴AB=2DE=20．∵CP是中斜边AB上的中线，∴故选：D．
21．（2022春·湖南）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点连接AF，BF，∠AFB =90°，且AB=8，BC= 14，则EF的长是 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【详解】解：∵∠AFB=90°，点D是AB的中点，∴DF= AB=4，∵BC= 14，D、E分别是AB，AC的中点，
∴DE=BC=7，∴EF=DE-DF=3，故选：B。
22．（2022春·上海）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．
（1）求证：BM=MN；
（2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长．
【详解】（1）在△CAD中，∵M、N分别是AC、CD的中点，∴MN∥AD，且MN=AD，在Rt△ABC中，∵M是AC的中点，∴BM=AC，又∵AC=AD，∴MN=BM；
（2）∵∠BAD=60°且AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC=30°，由（1）知，BM=AC=AM=MC，
∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°．∵MN∥AD，∴∠NMC=∠DAC=30°，∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°，
∴，而由（1）知，MN=BM=AC=×2=1，∴BN=．
23．（2022秋·江苏）如图，在△ABC中，AD是高，CE是中线，DG垂直平分CE，连接DE．
（1）求证：DC＝BE；
（2）若∠AEC＝72°，求∠BCE的度数．
【详解】(1)证明：∵DG垂直平分CE，∴DE＝DC，∵AD是高，CE是中线，∴DE是Rt△ADB的斜边AB上的中线，∴DE＝AB＝BE，∴DC＝BE；
(2)∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠DCE，∴∠EDB＝∠DEC＋∠BCE＝2∠BCE，∵DE＝BE，∴∠B＝∠EDB，
∴∠B＝2∠BCE，∴∠AEC＝3∠BCE＝72°，∴∠BCE＝24°.
题型六 矩形的判定
矩形的判定：三个条件或者“2＋1”模式
三个角是直角的四边形是矩形；
对角线相等的平行四边形是矩形；
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
24.（中雅培粹）下列命题正确的是（ ）
A.有一个角是直角的四边形是矩形 B.两条对角线相等的四边形是矩形
C.两条对角线互相垂直的四边形是菱形 D.四个角都是直角的四边形是矩形
【解答】解：A、有一个直角的平行四边形是矩形，故错误；
B、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故错误；
C、两条对角线互相垂直的四边形可能是梯形等，故错误；
D、四个角都是直角的四边形是矩形，正确，
故选：D．
(广益)如图，在菱形ABCD中，对角对AC、BD交于点O，过点A作于点E，延长BC至F，使,连接DF.
(1)求证：四边形AEFD是矩形；(2)若,求CD的长.
【解答】（1）证明：∵在菱形ABCD中，∴AD∥BC且AD＝BC，∵BE＝CF，∴BC＝EF，
∴AD＝EF，∵AD∥EF，∴四边形AEFD是平行四边形，∵AE⊥BC，∴∠AEF＝90°，∴四边形AEFD是矩形；
（2）解：设BC＝CD＝x，则CF＝8﹣x在Rt△DCF中，∵x2＝（8﹣x）2+42 ，∴x＝5，∴CD＝5．
26.（麓山国际）如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，点，在上，，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求和的长．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴OB＝OD，∵E是AD的中点，∴OE是△ABD的中位线，∴OE∥FG，∵OG∥EF，∴四边形OEFG是平行四边形，∵EF⊥AB，∴∠EFG＝90°，∴平行四边形OEFG是矩形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，AB＝AD＝10，∴∠AOD＝90°，∵E是AD的中点，∴OE＝AE＝AD＝5；由（1）知，四边形OEFG是矩形，∴FG＝OE＝5，∵AE＝5，EF＝4，∴AF＝＝3，∴BG＝AB﹣AF﹣FG＝10﹣3﹣5＝2．
27.如图,AC=BC,D是AB的中点,CE∥AB,CE=AB.
(1)求证：四边形CDBE是矩形。
(2)若AC=5，CD=3，F是BC上一点，且DF⊥BC，求DF长。
【解答】（1）证明：∵AC＝BC，∴△ACB是等腰三角形，∵D是AB中点，∴DB＝AB，CD⊥DB，∵CE＝AB，∴DB＝CE，∵CE∥AB，∴四边形CDBE是平行四边形，又∵CD⊥DB，∴四边形CDBE是矩形；
（2）解：在Rt△CDB中，∠CDB＝90°，CB＝AC＝5，CD＝3，∴BD＝＝4，∵DF⊥BC于F，∴DF BC＝CD BD，解得：DF＝．
28.（青竹湖）如图，将平行四边形的边延长至点，使，连接，，交于点.
(1)求证：；
(2)连接，若，求证：四边形是矩形.
【解答】证明：（1）在平行四边形ABCD中，AD＝BC，AB＝CD，AB∥CD，则BE∥CD．又∵AB＝BE，
∴BE＝DC，∴四边形BECD为平行四边形，∴BD＝EC．∴在△ABD与△BEC中，
，∴△ABD≌△BEC（SSS）；
（2）由（1）知，四边形BECD为平行四边形，则OD＝OE，OC＝OB．∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A＝∠BCD，即∠A＝∠OCD．又∵∠BOD＝2∠A，∠BOD＝∠OCD+∠ODC，∴∠OCD＝∠ODC，∴OC＝OD，∴OC+OB＝OD+OE，即BC＝ED，∴平行四边形BECD为矩形．
29．已知：如图，在中，，是的一条角平分线，是外角的平分线，，垂足为点．连接交于．
（1）求证：四边形为矩形；
（2）求证：，．
（3）若，则四边形的面积为多少？
【详解】（1）证明：∵AB＝AC，是的一条角平分线，AD⊥BC，∴AD⊥BC，BD=DC，∠ABC＝∠ACB，∠MAC＝∠ABC+∠ACB＝2∠ACB，又AN平分∠MAC，∴∠MAC＝2∠NAC，∴∠NAC＝∠ACB，∴AN∥BC，∴∠ADC+∠DAE＝180°，∵AD⊥BC，∴∠ADC=∠DAE＝90°，又CE⊥AN，∴∠AEC＝90°，
∴四边形ADCE为矩形；
（2）证明：∵四边形ADCE为矩形，∴FA=FC，∵DB=DC，∴DF∥AB，DF＝AB．
（3）∵，∴DB=DC=2，∵AD⊥BC，∴，
四边形的面积为．
30.(雅礼)如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，点分别为的中点，延长至，使，连接
(1)求证：；
(2)当线段与线段满足什么数量关系时，四边形是矩形？请说明理由.
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，
∴∠ABE＝∠CDF，∵点E，F分别为OB，OD的中点，∴BE＝OB，DF＝OD，∴BE＝DF，
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）解：当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下：∵AC＝2OA，AC＝2AB，
∴AB＝OA，∵E是OB的中点，∴AG⊥OB，∴∠OEG＝90°，同理：CF⊥OD，∴AG∥CF，
∴EG∥CF，∵EG＝AE，OA＝OC，∴OE是△ACG的中位线，∴OE∥CG，∴EF∥CG，
∴四边形EGCF是平行四边形，∵∠OEG＝90°，∴四边形EGCF是矩形．
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专题05 矩形的性质与判定重难点题型分类-高分必刷题
专题简介：本份资料包含矩形的性质与判定这两节的常考主流题型，所选题目源自各名校期中、期末试题
中的典型考题，具体包含六类题型：利用矩形的性质求角度、利用矩形的性质求边长、矩形中的折叠模型、利用矩形的性质证明、斜边上的中线等于斜边的一半、矩形的判定。适合于培训机构的老师给学生作复习培训时使用或者学生考前刷题时使用。
矩形的性质：①角=90；②对角线相等；③平行四边形的所有性质。
题型一 利用矩形的性质求角度
1．（2022·广东）如图，在矩形中，对角线与相交于点，已知，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在矩形中，、交于点O，于点E，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·四川）如图，矩形ABCD中，AC的垂直平分线MN与AB交于点E，连接CE．若∠CAD＝70°，则∠DCE＝_____°．
4．如图，将矩形沿对角线折叠，使点落在处，交于点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2016·内蒙古）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE=__________度．
题型二 利用矩形的性质求边长
6．（2022秋·湖南长沙）如图，矩形中，对角线交于点O，，则矩形的面积是（ ）
A．2 B． C． D．8
7．（2022秋·全国）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，于点E，，，则（ ）
A． B． C．2 D．
8．（2022春·新疆）如图，矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M，N分别为BC，OC的中点．若MN＝4，则AC的长为__________．
9．（2023春·八年级）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝6，AC＝8，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为_____．
10．（2022春·黑龙江）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，点P为边AB上任意一点，过点P作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E、F，则PE+PF=______．
题型三 矩形中的折叠模型
11．（2023春·八年级）如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
12.(麓山)如图1，将长方形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且点落在对角线处.若，，则的长为( )
A. B. C. D.
图1 图2 图3
13.（长郡）如图2，矩形ABCD中，，，AF平分，，则____________.
14.(雅实)如图3，将矩形沿折叠，使点C落在的中点上，若，，则长为( )
A． B．4 C．4.5 D．5
题型四 利用矩形的性质证明
15．（2023·河南信阳）如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF，CE．
求证：四边形AECF是平行四边形．
16．（2021·新疆）如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且．
求证：（1）；
（2）四边形AEFD是平行四边形．
17．（2013·湖南湘西）如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD的中点，连接AF，CE
（1）求证：△BEC≌△DFA；
（2）求证：四边形AECF是平行四边形．
18．（2022春·广东阳江）如图，在矩形ABCD中，点E、F是对角线AC上的两点，AF＝CE．
(1)试判断四边形BEDF的形状，并说明理由；
(2)若BE⊥AC，BF＝10，BE＝6，求线段CF的长．
题型五 斜边上的中线等于斜边的一半
19．（2022春·广西）如图，O是矩形的对角线的中点，E是边的中点．若，则线段的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
20．（2022春·河南）如图，在中，、分别是直角边、的中点，若，则边上的中线的长为（ ）
A．5 B．6 C． D．10
21．（2022春·湖南）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点连接AF，BF，∠AFB =90°，且AB=8，BC= 14，则EF的长是 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
22．（2022春·上海）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．
（1）求证：BM=MN；
（2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长．
23．（2022秋·江苏）如图，在△ABC中，AD是高，CE是中线，DG垂直平分CE，连接DE．
（1）求证：DC＝BE；
（2）若∠AEC＝72°，求∠BCE的度数．
题型六 矩形的判定
矩形的判定：三个条件或者“2＋1”模式
三个角是直角的四边形是矩形；
对角线相等的平行四边形是矩形；
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
24.（中雅培粹）下列命题正确的是（ ）
A.有一个角是直角的四边形是矩形 B.两条对角线相等的四边形是矩形
C.两条对角线互相垂直的四边形是菱形 D.四个角都是直角的四边形是矩形
广益)如图，在菱形ABCD中，对角对AC、BD交于点O，过点A作于点E，延长BC至F，使,连接DF.
(1)求证：四边形AEFD是矩形；(2)若,求CD的长.
【解答】（1）证明：∵在菱形ABCD
26.（麓山国际）如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，点，在上，，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求和的长．
27.如图,AC=BC,D是AB的中点,CE∥AB,CE=AB.
(1)求证：四边形CDBE是矩形。
(2)若AC=5，CD=3，F是BC上一点，且DF⊥BC，求DF长。
28.（青竹湖）如图，将平行四边形的边延长至点，使，连接，，交于点.
(1)求证：；
(2)连接，若，求证：四边形是矩形.
29．已知：如图，在中，，是的一条角平分线，是外角的平分线，，垂足为点．连接交于．
（1）求证：四边形为矩形；
（2）求证：，．
（3）若，则四边形的面积为多少？
30.(雅礼)如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，点分别为的中点，延长至，使，连接
(1)求证：；
(2)当线段与线段满足什么数量关系时，四边形是矩形？请说明理由.
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD
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