江苏省南通市如皋市2022-2023学年高一下学期教学质量调研（一）数学试题（含解析）

江苏省南通市如皋市2022-2023学年高一下学期教学质量调研（一）数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．己知向量，不共线，向量，且，则的值为（ ）
A．1 B． C．±1 D．2
2．在中，若，则的形状是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
3．在平行四边形中，为的重心，，则（ ）
A． B．2 C． D．1
4．定慧禅寺位于江苏省如皋市，是国家AAA级旅游景区．地处如皋古城东南隅，寺门正对玉带河，东临放生池，西南傍玉莲池，寺院平面布置呈"回"字形，楼堂环绕四周，宝殿坐落中央，形成"水环寺，楼抱殿"独特格局．某同学为测量寺内观音塔的高度，在观音塔的正北方向找到一座建筑物，高约为22.5，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部A，观音塔顶部的仰角分别为30°和45°，在A处测得观音塔顶部的仰角为15°，观音塔的高度约为（ ）
A．32 B．39 C．45 D．55
5．如图在直角梯形ABCD中，已知，，，，则（ ）．
A．22 B．24
C．20 D．18
6．已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知，则（ ）
A． B． C． D．
8．24届国际数学家大会在北京召开，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果大正方形的面积是小正方形面积的25倍，直角三角形中较小的锐角为，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列各式中，值为1的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．若，则内切圆的半径为2
C．若，则
D．若P为内一点满足，则与的面积相等
11．下列说法错误的有（ ）
A．若，则
B．若与共线，则一定有使得
C．若，则四边形是平行四边形
D．若且，则和在上的投影向量相等
12．在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是（ ）
A．若B+C=2A，则面积的最大值为
B．若，且只有一解，则b的取值范围为
C．若C=2A，且为锐角三角形，则c的取值范围为
D．为的外心，则
三、填空题
13．已知函数，则的最小正周期为____．
14．如图，、是以为直径的半圆上的两点，其中，，，则与所成角的余弦值为_______．
15．在中，角所对的边分别为，，，，且面积为，若，则______．
四、双空题
16．在2022年2月4日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴，象征各国、各地区代表团的“小雪花”汇聚成一朵代表全人类“一起走向未来”的“大雪花”的意境惊艳了全世界（如图①），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形（如图②）．已知正六边形的边长为1，点M满足，则_______；若点P是正六边形边上的动点（包括端点），则的最大值为_______．
五、解答题
17．已知是同一平面内的两个向量，其中，且．
(1)若，求的坐标；
(2)若，求与夹角．
18．已知
(1)求的值
(2)求的值
19．等边三角形，边长为2，为的中点，动点在边上，关于的对称点为．
(1)若为的中点，求．
(2)求的取值范围．
20．已知函数，，若，的最小值为
(1)求在区间上的值域；
(2)若，，求的值．
21．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．
(1)求A；
(2)若，点在边上，，求．
22．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求角C；
(2)求的取值范围．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】根据向量共线定理及平面向量基本定理列出等式解出即可.
【详解】解：因为向量，不共线，且，
所以，即，，
所以，解得或.
故选：C
2．B
【分析】首先根据正弦定理边化角得到，再结合三角函数恒等变换得到，即可得到答案.
【详解】因为，
所以，
所以.
因为，所以.
又因为，所以，为直角三角形.
故选：B
3．C
【分析】由题意作图，根据重心的几何性质，得到线段的比例关系，利用平面向量的运算，可得答案.
【详解】如图，设与相交于点，为的重心，
可得为的中点，,
可得,
故选：C
4．C
【分析】先在中求出的长度，然后再求出中，，利用正弦定理求出，最后利用三角函数定义求出的长度.
【详解】由题意得，在中，，
在中，，，
.
由正弦定理得，，得，
在中，.
故选：C.
5．A
【分析】以为一组基底，利用平面向量基本定理，将转化为基底，根据数量和垂直关系及向量的运算法则计算结果即可.
【详解】解：因为，，
所以
，
因为，，所以，
因为直角梯形ABCD，所以，故，
所以原等式
.
故选：A
6．A
【分析】当时，分别求出，，从而求出的值；当时对原式两边同时除以得到，的关系式，利用的公式求出结果.
【详解】当时，，即，；
原式变为，即，所以，.
此时.
当时，对两边同时除以，得 ，即，
所以.综上所述，.
故选：A.
7．D
【分析】将看成整体，转化，然后利用二倍角整体代换，求解即可.
【详解】,
，
所以，
故选：D
8．B
【分析】设小正方形的边长为，则大正方形边长为，直角三角形的面积为6，列方程组求出直角边得出，，代入所求即可得出答案．
【详解】因为大正方形的面积是小正方形面积的25倍，
设小正方形的边长为，则大正方形边长为，直角三角形的面积为6，
设直角三角形的直角边分别为且，则由对称性可得，
而直角三角形的面积为＝6，
联立方程组可得，
，，
.
故选：B
9．BC
【分析】选项A利用二倍角的余弦公式计算得出结果；选项B利用二倍角的正弦公式计算得出结果；选项C利用两角和的余弦公式计算得出结果；选项D利用两角和的正切公式计算得出结果.
【详解】对于选项A，，故A错误；
对于选项B，，故B正确；
对于选项C，，故C正确；
对于选项D，，故D错误.
故选：BC.
10．BCD
【分析】对于A，由正弦定理和勾股定理判断；
对于B，利用等面积法求解；
对于C，判断；
对于D，利用找到点与线段间位置，然后利用线段比求解面积比.
【详解】对于A， 根据正弦定理得，，所以,则 ，所以A正确，
对于B，当时，，由选项A可知为直角三角形，设内切圆半径为，则，所以，解得，所以内切圆半径为1，所以B错误；
对于C，当时，，可知为直角三角形，所以C错误；
对于D，即(如图，D为AC中点)，由此可得P
为BD中点，,,由此知与的面积不相等，故D错；
故选：BCD
11．AB
【分析】根据平面向量共线概念和投影向量概念依次判断选项即可得到答案.
【详解】对选项A，若，与不共线，满足，故A错误.
对选项B，若，，满足，则不存在，使得，故B错误.
对选项C，若，则，，则四边形是平行四边形，
故C正确.
对选项D，因为且，
在上的投影向量为，在上的投影向量，
所以，故D正确.
故选：AB
12．ACD
【分析】对于A，由正弦定理可得，根据求出，再由余弦定理、基本不等式和三角形面积公式可判断A；由正弦定理得，利用可判断B；求出，利用为锐角三角形得的范围，由正弦定理得，求出的范围可判断C；做交于点点，则点为的中点，设可得，利用数量积公式计算可判断D.
【详解】对于A，由正弦定理可得，
因为，所以，所以，
若，且，所以，
由余弦定理得，
由，可得，即，
则面积，所以面积的最大值为，故A正确；
对于B，若，且，由正弦定理得，
所以，当时即，所以时有一解，故B错误；
对于C，若C=2A，所以，且为锐角三角形，
所以，解得，所以，
由正弦定理得，故C正确；
对于D，如图做交于点点，则点为的中点，且，
设，所以，
所以，故D正确.
故选：ACD.
13．π
【分析】利用三角恒等变换公式化简的函数的解析式即可求最小正周期.
【详解】
，
所以的最小正周期为,
故答案为: .
14．##
【分析】令圆心为，连接，则，是等边三角形，建立直角坐标系，求得与的坐标，从而利用向量夹角的坐标表示即可求解.
【详解】
如图，令圆心为，连接，
因为，所以，
取中点，连接，
因为，所以是等边三角形，
所以，则
如图，以为原点，分别以为轴，轴建立直角坐标系，
则，所以，
令，
所以，，
所以，
即与所成角的余弦值为.
故答案为：
15．3
【分析】根据三角形面积解得，代入解得或；然后根据余弦定理求得.
【详解】解得：；
又，代入得：或；
根据余弦定理得：，
解得：；
故答案为：3
16． 1 ##
【分析】由题可得，利用向量的数量积的运算法则即得，然后利用数量积的定义和正六边形的性质解得 最大值为.
【详解】由题可知，
∴，
∴，
结合以及正六边形的几何特征可知为的中点，
所以
要使最大，可知当在处时，最大，此时最大，
即.
故答案为：；
17．(1)或者.
(2)
【分析】（1）设，由与得到关于的方程组，解之即可；
（2）由得，化简得，从而由解得.
【详解】（1）设.
因为，，
所以即
因为，所以.
解得或，
所以或者.
（2）记与夹角为.
因为，所以，
则，即，
所以，
又因为，所以.
18．(1)
(2)
【分析】(1)由求出，最后利用两角和的正切公式求出结果.
(2)方法一：利用诱导公式和平方关系得到，求出结果；
方法二：利用平方关系求出，，再利用诱导公式求出结果.
【详解】（1）因为，
所以，
所以.
（2）方法一：
.
方法二：
因为，
所以，
所以.
19．(1)
(2)
【分析】（1）利用平行四边形法则表示向量，然后利用向量数量积计算即可；
（2）利用已知条件求出的值，根据关于的对称点为，得，
然后计算，由于动点在上，当时，取最小值，当与重合时，取最大值，即可求得的取值范围.
【详解】（1）因为为中点，
所以.
因为为中点，
所以，
所以
.
（2）因为等边三角形，边长为2，为中点
所以为，
因为关于的对称点为，
所以，
所以
，
因为动点在上，
所以当时，取最小值，即，
当与重合时，取最大值，即，
所以，
所以的取值范围为.
20．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦的两角差公式展开，然后利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，然后利用已知条件把函数的解析式求出来，在根据所给条件利用函数的性质求的函数的值域即可；
（2）由，结合函数，得的值，由分析得出的值，再利用换元法及二倍角公式计算即可.
【详解】（1）由题意知：
，
因为，的最小值为，
所以，又，所以，
所以.
因为，所以，
所以，
所以在 区间上的值域为.
（2）因为，，所以，
因为，所以，
又，所以，
所以.
令，则且，则，
所以.
21．(1)
(2)
【分析】（1）根据余弦定理或者正弦定理边角互化求解得；
（2）利用 根据余弦定理解得，然后解，根据余弦定理或者向量表示解得
【详解】（1）方法一：
因为，
由余弦定理得，
，
整理得，
所以，
因为， 所以
方法二：
因为，
所以，
由正弦定理得，
，
因为，
所以，
所以，
整理得
因为， 所以，
所以，
又， 所以.
（2）因为，
由余弦定理得： ，
整理得，又，
所以.
方法一：
所以.
因为点在边上，，
所以为边上靠近的三等分点，
所以.
在中，
，
又，
所以.
方法二：
，
又，
所以.
22．(1)
(2)
【分析】（1）利用倍角公式化简为，再弦化切得，再逆用和角正切公式可得，进而可求解；
（2）利用正弦定理边化角得，令，则，转化为求取值范围，从而利用二次函数在区间的最值求法可得.
【详解】（1）因为，
所以，
，
因为，
所以，
所以，
上式整理得，即，
所以，
所以.
因为，所以，
因为，
所以，即，解得.
（2）因为
，
所以令，
因为，所以
所以，则.
则，
所以，
令，
因为的对称轴为，且开口向上，
所以在区间上单调递增，
所以的取值范围为，
所以的取值范围为.
【点睛】关键点睛：
第二问中求的取值范围，利用与的关系，设，从而，最终问题转化为求的取值范围.
答案第1页，共2页
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