天津市西青区名校2022-2023学年高一下学期第一次适应性测试数学试题（含解析）

天津市西青区名校2022-2023学年高一下学期第一次适应性测试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列命题正确的是（ ）
A．若，都是单位向量，则
B．若向量，，则
C．与非零向量共线的单位向量是唯一的
D．已知为非零实数，若，则与共线
2．是，，，则（　　）
A．12 B．0 C．-3 D．-11
3．已知向量，是两个不共线的向量，与共线，则（ ）
A．2 B． C． D．
4．在中，已知为上一点，若，则（ ）
A． B．
C． D．
5．在中，，则（ ）
A．30° B．45° C．30°或150° D．60°
6．在中，若，则是（ ）
A．正三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．有一内角为60°的直角三角形
7．已知和点满足.若存在实数使得成立，则=
A．2 B．3 C．4 D．
8．四边形中，，，则四边形面积为（ ）
A． B． C．2 D．
9．一条东西方向的河流两岸平行，河宽，河水的速度为向正东．一艘小货船准备从河南岸码头P处出发，航行到河对岸Q（与河的方向垂直）的正西方向并且与Q相距的码头M处卸货，若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为，则当小货船的航程最短时，小货船航行速度的大小为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
10．已知点A(2，1)，B(－2，3)，O为坐标原点，且，则点C的坐标为________.
11．已知向量，若，则k等于________．
12．已知向量与的夹角为，且，若，且则实数的值为__________．
三、双空题
13．已知点，则向量在上的投影向量坐标为________，投影向量的模为__________.
四、填空题
14．在中，，，分别为角，，所对的边，，，则的面积为___________.
15．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则下列结论正确的有________.
①
②
③
④在向量上的投影向量为
五、解答题
16．已知向量．
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）若，求向量与夹角的大小．
17．已知向量与向量的夹角为，且，.
（1）求；
（2）若，求.
18．在中，内角所对的边长分别为，且满足.
(1)求；
(2)若，求.
19．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答．
问题：在中，角，，所对的边分别为，，，且______．
(1)求角；
(2)若角的平分线长为1，且，求外接圆的面积．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
20．已知向量，，．
(1)求函数的单增区间；
(2)若，求的值；
(3)在中，角，，所对的边分别为，，，且满足，求函数的范围．
21．设坐标平面上全部向量集合为，已知由到的对应关系由确定，其中.
(1)当取值范围变化时，是否变化？试证明你的结论；
(2)若，，且与垂直，求向量，的夹角.
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页
参考答案：
1．D
【分析】根据向量的基本概念和共线定理，逐项判断，即可得到结果.
【详解】单位向量的方向不一定相同，故A错误；
当时，显然与不一定平行，故B错误；
非零向量共线的单位向量有，故C错误；
由共线定理可知，若存在非零实数，使得，则与共线，故D正确.
故选：D.
2．C
【分析】计算出的坐标，然后根据向量数量积计算公式计算即可.
【详解】由题可知：，
所以
故选：C
3．C
【分析】根据向量共线的充要条件建立方程直接求解.
【详解】因为与共线，所以，，
所以，
因为向量，是两个不共线的向量，所以，解得，
故选：C．
4．D
【分析】作出图形，利用平面向量的加法和减法法则可得出关于、的表达式.
【详解】如下图所示，.
故选：D.
5．A
【分析】根据题意利用正弦定理运算求解，注意三角形的性质应用.
【详解】由正弦定理，可得，
∵，则，即，
∴.
故选：A.
6．C
【解析】根据正弦定理得到，，故，得到答案.
【详解】根据正弦定理：，故，，
即，，故，故.
故选：.
【点睛】本题考查了利用正弦定理判断三角形形状，意在考查学生的计算能力和应用能力.
7．B
【分析】根据得到为重心，再根据（为的中点）得到的值．
【详解】由题根据，则为的重心．设点为底边的中点，
则，所以，故 ，选B.
【点睛】一般地，在中，
（1）如果，则为的重心；
（2）如果，则为的垂心；
（3）如果（为的对边），则为的内心.
8．A
【分析】根据单位向量结合向量线性运算分析可得四边形为菱形，，再根据模长运算可得，结合菱形的性质求四边形的面积.
【详解】若，则四边形为平行四边形，且，
可知表示分别与同向的单位向量，
若，则对角线为的角平分线，
故四边形为菱形，则，
故，则，
∵，即，
解得，故，
且，则，
即为等边三角形，则，且，
∴四边形面积.
故选：A.
9．C
【分析】由已知条件求解直角三角形，根据向量的平行四边形法则，结合向量的模长公式，即可求解小货船航行速度的大小．
【详解】解：由题意，当小货船的航程最短时，航线路线为线段，设小货船航行速度为，水流的速度为，水流的速度与小货船航行的速度的合速度为，作出示意图如下：
，，在中，有，
所以，，，
所以，
所以，
所以小货船航行速度的大小为，
故选：C.
10．(0,4)
【分析】由向量的坐标表示计算即可.
【详解】设C(x，y)，则.
由，则x＝0，y＝4.则.
故答案为：(0,4)
11．
【分析】首先求出的坐标，再根据向量垂直得到，即可求出参数的值；
【详解】解：因为
所以，因为
所以，解得
故答案为：
12．
【详解】∵⊥，∴·＝(λ＋)·(－)＝－λ　2＋　2＋(λ－1)·＝0，即－λ×9＋4＋(λ－1)×3×2×＝0，解得λ＝.
点睛：平面向量数量积的类型及求法
(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式a·b＝|a||b|cos θ；二是坐标公式a·b＝x1x2＋y1y2；三是利用数量积的几何意义.
(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.
13．
【分析】根据平面向量的线性运算，结合投影向量及投影向量的模运算求解.
【详解】由题意可得：，则，
空1：向量在上的投影向量，
故向量在上的投影向量坐标为；
空2：投影向量的模为.
故答案为：；.
14．
【分析】根据题意及正弦定理，求得，结合三角形的面积公式，即可求解.
【详解】因为，由正弦定理可得，所以，
所以的面积为.
故答案为：.
15．①②④
【分析】首先明确正八边形的特征，然后根据数量积的定义进行计算，可判断选项①③；根据向量的加法运算可判断选项②；根据向量投影向量的概念可判断④.
【详解】图2中的正八边形中，每个边所对的圆心角皆为，其中，
对于①，，故①正确；
对于②，，故②正确．
对于③，，，的夹角为 ,的夹角为， ,故，故③错误．
对于④，与的的夹角为，.
在向量上的投影向量为，故④正确．
故答案为：①②④．
16．（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【分析】（Ⅰ）首先求出的坐标，再根据，可得，即可求出，再根据向量模的坐标表示计算可得；
（Ⅱ）首先求出的坐标，再根据计算可得；
【详解】解：（Ⅰ）因为，所以，
由，可得，
即，解得，即，
所以；
（Ⅱ）依题意，
可得，即，
所以，
因为，
所以与的夹角大小是．
17．（1）；（2）或.
【分析】（1）本小题先求出，再求即可；
（2）本小题先求出，再求解.
【详解】解：（1）∵，
∴，∴，
∴.
（2）∵，
∴，
整理得：，
解得：或.
【点睛】本题考查利用向量垂直求向量的数量积、向量的数量积公式、利用和与差的向量的模求参数，是中档题.
18．(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理的边化角公式得出；
（2）由正弦定理得出，再由面积公式求解.
【详解】（1）因为，由正弦定理可得，
因为，所以
因为为三角形的内角，所以
（2）因为，，，
由正弦定理可得：，所以
因为为三角形的内角，所以
.
19．(1)
(2)
【分析】（1）若选①：根据题意边角转化得：，再求解即可；若选②：根据题意边角转化得：，再求解即可；若选③：根据题意得：，即，即，再求解即可；（2）根据题意得：，即，再利用余弦定理求出，再利用正弦定理求出外接圆半径即可求解.
【详解】（1）若选①：在中，因，
所以，即，
由正弦定理可得，，
又因为，，所以，，
所以，则，
若选②：在中，因，
所以，
由正弦定理可得，，
所以，
又因为，所以，所以，则，
若选③：在中，因为，所以，
所以，由正弦定理可得，，
又因为，所以，所以，又，
即，又，所以，所以，
所以，又因为，所以，则，
（2）因为角的平分线为，又，所以
，
即，即，
又，
所以，所以，即，
故外接圆的面积，
20．(1);
(2);
(3)．
【分析】（1）利用平面向量的数量积得到的解析式，求解单调区间即可；
（2）由（1）的解析式，利用，结合倍角公式求的值即可；
（3）结合正弦定理结合内角和公式，得到的解析式，结合三角函数的有界性求值域即可．
【详解】（1），
∴．
由，得：，．
的递增区间是．
（2）．
∵，∴，∴．
（3）∵，由正弦定理得．
∴．∴．
∵．∴，∴．
∵．∴．∴．∴，．
又∵，∴．
故函数的取值范围是．
21．(1)的值不会随着取值范围的变化而变化，证明见解析
(2)
【分析】（1）根据数量积的运算律求出，即可得解；
（2）由（1）知，，即可得到，根据数量积的运算律得到，再根据夹角公式计算可得.
【详解】（1）解：∵，∴，
∵，
∴
，
∴的值不会随着取值范围的变化而变化.
（2）解：由（1）知，，
又与垂直，
∴，即，
即，又，，
即，解得，
设、的夹角为，则，
又，
∴，即向量、的夹角为.
答案第4页，共10页
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