横江中学校2022-2023学年高一下学期3月学情检测
数学
注意事项：
.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本卷上无效。
.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（ ）
A． B． C． D．
3．已知幂函数的图象过点，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．已知，则的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．2
5．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解．例如，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为：．年月日，我国汶川发生了里氏级大地震，它所释放出来的能量约是年月日我国泸定发生的里氏级地震释放能量的（ ）倍．（参考数据：，，）
A． B． C． D．
6．若，，，则a，b，c三者的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
7．为得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）
A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位
8．若函数满足，且当时，，则（ ）
A．－1 B． C．0 D．
二、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分，部分选对的得分，有选错的得分。
9．已知，则下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
11．下列命题中正确的是（ ）
A．命题：“，”的否定是“，”
B．函数（且）恒过定点
C．已知函数的定义域为，则函数的定义域为
D．若函数，则
12．质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的上逆时针做匀速圆周运动，同时出发．P的角速度大小为，起点为与x轴正半轴的交点；Q的角速度大小为，起点为射线与的交点．则当Q与P重合时，Q的坐标可以为（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．_________．
14．已知，则_________．
15．已知都是锐角，，，则___________．
16．函数的部分图象如图所示.若方程有实数解，则=__________和的取值范围为__________.
四、解答题：本题共小题，共分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．已知，．
(1)求，的值；
(2)求的值．
18．（1）化简：
（2）求值：．
19．已知函数
(1)求函数的最小正周期和对称轴．
(2)当 时，求函数的单调区间．
20．已知函数是定义在上的奇函数，当时，．
(1)求．
(2)求函数的解析式．
(3)若，求实数a的取值范围．
21．某小区要在一块扇形区域中修建一个矩形的游泳池．如图，在扇形OPQ中，半径，圆心角，C是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形．记，矩形ABCD的面积为．
(1)将面积S表示为角的函数；
(2)当角取何值时，S最大？并求出这个最大值．
22．已知函数在区间上的最大值为3．
(1)求使成立的的取值集合；
(2)将函数图象上所有的点向下平移1个单位长度，再向右平移一个单位长度，得到函数的图象，若，且，求的值．数学 答案解析
注意事项：
.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本卷上无效。
.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据并集运算求解.
【详解】因为集合，，
所以，
故选:D.
2．（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据诱导公式即可求解.
【详解】.
故选：B.
3．已知幂函数的图象过点，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据幂函数的定义，设出解析式，代入点可得答案.
【详解】设，因为幂函数的图象过点，所以，
即，所以.
故选：C.
4．已知，则的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．2
【答案】B
【分析】根据基本不等式即可求解最值.
【详解】由于，故，所以，当且仅当，即时等号成立，故最小值为4，
故选：B
5．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解．例如，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为：．年月日，我国汶川发生了里氏级大地震，它所释放出来的能量约是年月日我国泸定发生的里氏级地震释放能量的（ ）倍．（参考数据：，，）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设里氏级、里氏级地震释放的能量分别为、，利用对数的运算性质可求得的值.
【详解】设里氏级、里氏级地震释放的能量分别为、，
则，即，
所以，.
故选：B.
6．若，，，则a，b，c三者的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数单调性，并借助“媒介数”比较大小作答.
【详解】，，，
所以a，b，c三者的大小关系为.
故选：D
7．．为得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）
A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位
【答案】A
【分析】设出向左平移个长度，利用诱导公式将余弦函数变为正弦函数，列出方程，求出答案.
【详解】，
将函数向左平移个长度单位，得到，
故，解得，
即向左平移个长度单位.
故选：A
8．若函数满足，且当时，，则（ ）
A．－1 B． C．0 D．
【答案】B
【分析】先利用求出函数的周期，利用周期性转化代入即可求解.
【详解】依题意，
因为，所以，
所以，所以函数的周期为4，
所以.
又因为，所以，
当时，，所以，
所以.
故选：B.
二、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分，部分选对的得分，有选错的得分。
9．已知，则下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根据诱导公式、同角三角函数的基本关系式求得正确答案.
【详解】依题意，，
所以，
所以，A选项正确；
，B选项错误；
，C选项正确.
，D选项错误.
故选：AC
10．已知，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】AC
【分析】对A，直接作差比较即可证明，对B，首先得，再根据不等式性质即可判断，对C，首先放缩得，构造函数即可判断C，对D，举反例即可.
【详解】对A，，，，
，即，即，故A正确，
对B，若，则，则，故B错误，
对C，若，若，则，
函数，根据增函数加增函数为增函数的结论得在上单调递增，
，则，故C正确，
对D，若，则，，则，故D错误，
故选：AC.
11．下列命题中正确的是（ ）
A．命题：“，”的否定是“，”
B．函数（且）恒过定点
C．已知函数的定义域为，则函数的定义域为
D．若函数，则
【答案】BCD
【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题可判断A，根据指数函数的性质可判断B，根据抽象函数的定义域可判断C，根据配凑法可判断D.
【详解】A选项，“”的否定是“”，A错误；
B选项，且，当时，，故函数（且）恒过定点，B正确；
C选项，由得：，故函数的定义域为，C正确；
D选项，，且，
故，D正确.
故选：BCD.
12．质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的上逆时针做匀速圆周运动，同时出发．P的角速度大小为，起点为与x轴正半轴的交点；Q的角速度大小为，起点为射线与的交点．则当Q与P重合时，Q的坐标可以为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】确定点Q的初始位置，由题意列出重合时刻t的表达式，进而可得Q点的坐标，通过赋值对比选项即可得解.
【详解】由题意，点Q的初始位置的坐标为，锐角，
设t时刻两点重合，则,即，
此时点，
即，
当时，，故A正确；
当时，，即，故B正确；
当时，，即，故D正确.
由三角函数的周期性可得，其余各点均与上述三点重合.
故选：ABD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．=_________．
【答案】
14．已知，则_________．
【答案】.
【分析】分子分母同时进行弦化切计算求解.
【详解】因为，又，
所以.
故答案为：.
15．已知都是锐角，，，则___________．
【答案】
【分析】根据求解即可.
【详解】因为，所以，，，
所以
.
故答案为：
16．函数的部分图象如图所示.若方程有实数解，则__________和的取值范围为__________.
【答案】 ，
【分析】根据图象求出函数的解析式为，求出，令，根据二次函数的性质，即可求出结果.
【详解】解：由图可知，，
所以，即，
当时，，可得，
即，因为，所以，
所以函数的解析式为，
设，
则，
令，
记，
因为，所以，
即，故，
故的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题：本题共小题，共分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．已知，．
(1)求，的值；
(2)求的值．
【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）根据同角三角函数基本关系公式可求出结果；
（2）根据和差角公式可求出结果.
【详解】（1）由，，
所以,
所以；
（2）.
18．（1）化简：
（2）求值：．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据诱导公式和同角公式进行化简可求出结果；
（2）借助诱导公式转化，结合和差公式，即可求得本题答案．
【详解】（1）
（2）
19．已知函数
(1)求函数的最小正周期和对称轴．
(2)当 时，求函数的单调区间．
【答案】(1)最小正周期为，对称轴为 ；
(2) 单调递增， 单调递减.
【分析】（1）运用诱导公式和辅助角公式作恒等变换，将原函数转换为单一三角函数的形式；
（2）用整体代入法，根据正弦函数的单调性求解.
【详解】（1）
，
所以函数f(x)的最小正周期；
对称轴为 ；
（2）当 时， ，所以当 ，即 时，函数f(x)单调递增；当 即 时，函数f(x)单调递减；
综上， ，最小正周期为 ，对称轴为.
20．已知函数是定义在上的奇函数，当时，．
(1)求．
(2)求函数的解析式．
(3)若，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为为奇函数，则
（2）因为为奇函数，，
设，则，
则,因为为奇函数，则
则．
（3）当时，为单调递增函数，由奇函数可知是定义在[﹣3，3]上的增函数，
又∵，∴，
故有：，则有，解得
所以实数a取值范围是：
21．某小区要在一块扇形区域中修建一个矩形的游泳池．如图，在扇形OPQ中，半径，圆心角，C是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形．记，矩形ABCD的面积为．
(1)将面积S表示为角的函数；
(2)当角取何值时，S最大？并求出这个最大值．
【答案】(1)；
(2)，.
【分析】（1）根据给定的图形，用的正余弦函数表示矩形的一组邻边即可列式作答.
（2）利用（1）中函数，结合正弦函数的性质求解作答.
【详解】（1）依题意，在中，，则，
，在中，，则，
因此，
，
所以面积S表示为角的函数是.
（2）由（1）知，当时，，则当，即时，，
所以当时，.
22．已知函数在区间上的最大值为3．
(1)求使成立的的取值集合；
(2)将函数图象上所有的点向下平移1个单位长度，再向右平移一个单位长度，得到函数的图象，若，且，求的值．
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）因为，所以，
所以，所以，
所以，
因为函数在区间上的最大值为3，
所以，解得，
所以，由，可得，
故，解得，
故使成立的x的取值集合为；
（2）将函数图象上所有的点向下平移1个单位长度，可得，
再向右平移一个单位长度，可得，
因为，所以，
令，得，
令，可得，
故在上的对称轴为，
因为，所以，
所以.
令，可得，
故在上的对称轴为．
因为，所以．
所以，
综上，的值为．
