河南省郑州励德双语学校2022-2023学年高一下学期3月第一次月考数学试题（含解析）

郑州励德双语学校2022-2023学年下学期月考
高一数学试题
（考试时间120分钟，共150分）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分.在每小题5分）
1.如果，是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
2.（ ）
A. B. C. D.
3.下列各组向量中，共线的是（ ）
A.， B.，
C.， D.，
4.下列说法正确的是（ ）
A.若，则
B.若，，则
C.长度不相等而方向相反的两个向量是平行向量
D.单位向量都相等
5.已知向量，满足，，若与的夹角为，则（ ）
A.1 B. C. D.
6.已知单位向量，满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
7.若，，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.若，，与的夹角为135°，则等于（ ）
A. B. C. D.2
9.已知平面向量，.若，则（ ）
A. B.-2 C. D.2
10.已知向量，，则（ ）
A. B. C. D.
11.如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，若，，则（ ）
A.1 B. C.2 D.3
12.在中，角，，的对边分别为，，，其面积为，若，则一定是（ ）
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知平面上三点，，，则的坐标是_________.
14.如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为_________.
15.甲、乙两楼相距，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则乙楼的高是________m.
16.已知向量，，，且，，则_________.
三、解答题（本大题共6小题，共72.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题10.0分）
已知与的夹角为30°，，，求，.
（本小题12.0分）
18.已知向量，，当为何值时：
（1）？
（2）？
（3）与的夹角是钝角
19.（本小题12.0分）
在中，，，.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值.
20.（本小题12.0分）
已知向量，，.
（1）若与的夹角为，求；
（2）若，求的值.
21.（本小题12.0分）
已知，，与的夹角为45°.
（1）求的值；
（2）若向量与的夹角是锐角，求实数的取值范围.
22.（本小题12.0分）
在中，.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，，求的值.
2022--2023年下学期郑州励德双语学校月考高一数学
【答案】
1.D 2.D 3.D 4.C 5.D 6.B 7.C 8.B 9.A 10.B 11.C 12.B
13. 14. 15.40 16.11
17.解：，，与的夹角为30°，
；
.
18.解：（1）若，
则，解得；
（2）若，
则，解得；
（3）若与的夹角为钝角，
则，且，不共线.
即有，
解得且.
19.解：（Ⅰ），
.
（Ⅱ），.
，
由正弦定理，
，
.
20.【解析】（1），.
（2），，，即
，.
21.（1）
（2）与的夹角是锐角
，且与不能同向共线
，，
或
22.解：（Ⅰ）在中，，
由余弦定理，
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
.
，
，
又，，
.
【解析】
1.【分析】
本题考查了单位向量和向量的模、向量的数量积，是容易题.
直接用数量积相关知识结合单位向量的模等于1可解本题.
【解答】
解：对于A，，是单位向量，但方向不一定相同，故A错误；
对于B，，
不一定有，故B错误；
对于C，，是单位向量，不一定是相反向量，
故不一定成立，故C错误；
对于D，，是单位向量，所以，故D正确.
故选D.
2.【分析】
本题主要考查向量的加法运算，是基础题.
根据向量加法直接运算即可.
6.【解答】
解：.
故选D.
3.【分析】
本题考查平面向量的概念，向量共线定理：存在实数，使得的应用，判断两向量共线，利用共线向量定理，只需找到一个实数，使得，另外零向量与任意向量平行，于是可得本题答案.
8.【解答】
解：对于，所以两个向量不平行，
对于B，因为，所以两个向量不平行，
对于C，因为，所以两个向量不平行，
对于D，因为，所以两个向量平行，
故选D.
4.【分析】
本题考查了向量的概念及几何表示，向量的模，单位向量，零向量，共线向量，相反向量等概念，属于基础题.
利用向量的定义及概念可以得出.
10.【解答】
A.若，只能说明两个向量的模长相等，但是方向不确定，所以A错误；
B.如果，结论B不正确；
C.根据平行向量的定义，C正确；
D.单位向量长度相等，但是方向不确定，所以D错误.
故选C.
5.【分析】
本题主要考查了向量数量积的运算性质，属于基础题.
利用向量的数量积即可求出.
【解答】
解：因为，，，
所以.
6.【分析】
本题考查向量的数量积，向量的投影，解题的关键是理解投影的概念，属于基础题.
【解答】
解：平方得，
所以，
所以在方向上的投影向量为.
故选B.
7.【分析】
本题考查了向量线性运算的几何意义，属于基础题.
利用向量模的几何意义得出向量同向时，模长最小，反向时，模长最大.
【解答】
解：，当，同向时，；当，反向时，；
当，不共线时，.综上，可知.
8.【分析】
本题考查的是向量的数量积，是基础题.
根据向量数量积的计算公式计算即可.
18.【解答】
解：.
故选B.
9.解：，
，解得.
故选：A.
根据即可得出，解出即可.
本题考查了平行向量的坐标关系，考查了计算能力，属于基础题.
10.略
11.【分析】本题考查了向量的线性运算，由三点共线求参数的问题，熟记向量的共线定理是关键.属于基础题.
连接，因为为中点，可由平行四边形法则得，再将其用，表示.由、、三点共线可知，其表达式中的系数和，即可求出的值.
解：连接，由为中点可得，
、、三点共线，
.
故选：C.
12.【分析】
本题考查三角形形状的判定，考查余弦定理及正弦定理的应用，属于中档题.
由已知结合余弦定理求得，再由三角形面积公式及已知条件得到或，进一步得到三角形为直角三角形.
【解答】
解：由，且，得
，则.
，.
又，
，得或.
当时，代入，得；
当时，代入，得，
是直角三角形，
因为已知，所以的另一个锐角为，
故不可能是等腰三角形.
故选B.
13.【分析】
本题考查平面向量的坐标表示和坐标计算，属于基础题.
根据题意，由、、的坐标可计算得，的坐标，相加即得答案.
【解答】
解：根据题意，，，，
则，，
故.
故答案为.
14.【分析】
本题主要考查平面向量的线性运算、共线定理，平面向量基本定理的运用，属于中档题.
解法1：先根据得到，从而可得，再根据三点共线定理，即可得到的值.
解法2：根据图形和向量的转化用，去表示，根据图形可得：，设，通过向量线性运算可得：，从而根据平面向量基本定理列方程组，解方程组得的值.
【解答】
解法1：因为，所以，
又，
所以
因为点，，三点共线，
所以，
解得：.
解法2：
因为，设，
所以，
因为，所以，
又，
所以，
所以，
又，
所以解得：，
所以.
故答案为.
15.解：如图，甲楼位于点，乙楼位于点，其楼顶分别为、，则，，，
，，.
在中，由正弦定理得，，即，
，即乙楼的高是.
故答案为：40.
根据题意画出平面图，可以求出边长和角度，从而利用正弦定理即可求解.
本题考查了正弦定理，考查了学生的数学建模思想和转化能力，属于基础题.
16.【分析】
本题考查向量平行与垂直的充要条件，考查数学运算的核心素养，属于基础题.
利用平行向量，垂直向量的运算，即可求.
【解答】
解：依题意可得，，解得，，则.
17.本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量模的求法，属于基础题.
由已知结合，展开后结合数量积求解.
18.本题考查向量共线的坐标表示，考查向量垂直的条件：数量积为0，考查向量的夹角为钝角的等价条件，考查运算能力，属于基础题和易错题.
（1）由向量共线的坐标表示，解方程即可得到；
（2）运用向量垂直的条件：数量积为0，计算即可得到；
（3）由向量的夹角为钝角的等价条件：数量积小于0，且不共线，解不等式组即可得到的范围.
19.（Ⅰ）根据余弦定理即可求出；
（Ⅱ）根据正弦定理即可求出.
本题考查了余弦定理和正弦定理，考查了运算求解能力，属于基础题.
20.本题考查向量的平行与垂直，考查向量的数量积运算，考查学生的计算能力，属于中档题.
（1）设，则根据和，建立关于，的两个方程解方程组即可求出的坐标；
（2）与垂直，可得，然后展开后，可求出，再根据可求出两向量的夹角.
21.略
22.（Ⅰ）根据已知条件，结合余弦定理，即可求解.
（Ⅱ）由已知条件，运用三角函数的同角公式，可得，再结合正弦定理和二倍角公式，即可求解.
本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用.考查了学生对三角函数基础知识的综合运用，属于中档题.