云南省红河州个旧市第三高级中学2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题（含解析）

个旧市第三高级中学2022-2023学年高一下学期3月月考
数学试卷
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题（每小题5分，共40分）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知扇形的圆心角为，面积为，则扇形的弧长等于（ ）
A． B． C． D．
3．函数的零点所在的一个区间是（ ）
A． B． C． D．
4．设，，，则a，b，c大小关系为（ ）
A． B． C． D．
5．已知是第四象限角，为其终边上一点，且，则的值（ ）
A．0 B． C． D．5
6．已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．设向量，，则是的条件．（ ）
A．充要 B．必要不充分 C．充分不必要 D．既不充分也不必要
8．如图，已知A，B，C共线，且向量，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（每小题5分，共20分）
9．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，则 D．若，，则
10．有如下命题，其中真命题为（ ）
A．若幂函数的图象过点，则
B．函数（且）的图象恒过定点
C．函数在上单调递减
D．己知向量与的夹角为，且，，则在方向上的投影向量是．
11．下列结论错误的是（ ）
A．若函数对应的方程没有根，则不等式的解集为R；
B．不等式在R上恒成立的条件是且；
C．若关于x的不等式的解集为R，则；
D．不等式的解为．
12．若函数在一个周期内的图象如图所示，则（ ）
A．
B．的图象的一个对称中心为
C．的单调递增区间是，
D．把的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，可得的图象
三、填空题（每小题5分，共20分）
13．命题“，”的否定是______．
14．已知向量，，若，则______．
15．若函数在上单调递增，则m的取值范围是______．
16．已知函数，若函数无零点，则k的取值范围是______．
四、解答题（共70分）
17．（本小题10分）化简求值：
（1）已知化简．
（2）．
18．（本小题12分）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角B的大小；
（2）再从下面条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的面积．
条件①，；条件②：，．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
19．（本小题12分）已知，且．将y表示为x的函数，若记此函数为，
（1）求的单调递增区间；
（2）将的图象向右平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求函数在上的最大值与最小值．
20．（本小题12分）人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．若二维空间有两个点，，则曼哈顿距离为：，余弦相似度为：，余弦距离为
（1）若，，求A，B之间的曼哈顿距离和余弦距离；
（2）已知，，，若，，求的值．
21．（本小题12分）某呼吸机生产企业计划投资固定成本500万元引进先进设备，用于生产救治新冠肺炎患者的无创呼吸机，需要投入成本y（单位：万元）与年产量x（单位：百台）的函数关系式为．据以往出口市场价格，每台呼吸机的售价为3万元，且依据国外疫情情况，预测该年度生产的无创呼吸机能全部售完．
（1）求年利润t（单位：万元）关于年产量x的函数解析式（利润＝销售额－投入成本固定成本）；
（2）当年产量为多少时，年利润最大？并求出最大年利润．
22．（本小题12分）已知函数．
（1）若，求a的值；
（2）若函数在的最小值为，求实数a的取值范围；
（3）是否存在整数m、n使得关于x的不等式的解集恰为？若存在，请求出m、n的值；若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．D【详解】解：∵，，∴．故选：D
2．D【详解】由扇形面积公式得，∴，∴，故选：D．
3．C【详解】∵，，
，，，∴，故选C．
4．C【详解】∵，，∴，
又在上单调递增，∴，∴，故选：C．
5．D【详解】由条件可知，，所以，
解得：，所以，．故选：D
6．C【详解】．
故选：C．
7．C【详解】若则，∴，若，有可能或为0，故是的充分不必要条件．故选：C．
8．D【详解】因为，A，B，C三点共线，所以，
所以．故选：D．
9．AD【详解】对于A，因为，，所以成立，故选项A正确；
对于B，因为，，若，，，，则，故选项B错误；
对于C，因为，若，则，故选项C错误；
对于D，因为，，所以，因为，则，故选项D正确，故选：AD．
10．BD
11．AD【详解】A：函数不存在零点，若则解集为R，若则解集为空集，错误；
B：由不等式对应的二次函数图像开口向下，说明且至多与x轴有一个交点，故，正确；
C：当时，显然不符合题意，当时由二次函数的性质知：，解得，正确；
D：，解得，错误；故选：AD
12．AB【详解】由题图可知，函数的最小正周期，故，解得，所以，又函数的图象经过点，
所以，即，因为，所以，
所以，解得，所以，故A正确；
因为，所以的图象的一个对称中心为，故B正确；
令，，解得，，所以的单调递增区间是，，故C错误；
把的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，可得到的图象，故D错误．
故选：AB．
13．，．
14．【详解】由，，，得，解得，所以，，所以．故答案为：．
15．【详解】∵函数在上单调递增，
∴函数在区间上为增函数，∴，解得，
∴实数m的取值范围是．故答案为．
16．【详解】试题分析：∵函数，故函数在上是增函数，在上是减函数，故当时，有最小值为．由题意可得，函数的图象与直线无交点，∴．故实数k的取值范围是．
考点：1．函数零点；2．函数的单调性．
17．（1）；
（2）
18．（1）；（2）答案不唯一，具体见解析．
【详解】解（1）内为，由止弦定理．
因为，，所以．因为，所以．
（2）条件①：，；因为，，由（1）得，
所以根据余弦定理得，化简整理为，解得．
所以的面积．
条件②：，由（1）知，，根据正弦定理得，
所以．因为，所以，
所以的面积．
19．（1）单调递增区间为，
（2）最大值为3，最小值为0．
【详解】：（1）由得，
所以．
由，得，，
即函数的单调递增区间为，
（2）由题意知因为，∴，
故当时，有最大值为3；当时，有最小值为0．
故函数在上的最大值为3，最小值为0．
20．（1），
（2）-3
（1），，
故余弦距离等于；
（2）
；
故，，则．
21．（1）
（2）8000台，1040万元
【详解】（1）当时，；
当时，．
所以．
（2）当时，，
故当时，t取得最大值，为625，当时，因为，
当且仅当，即时等号成立，
所以，
即当时，t取得最大值，为1040，
综上所述，当年产量为8000台时，年利润最大，且最大年利润为1040万元．
22．（1）1或；（2）；（3）存在，，．
【详解】（1）因为，且，
所以，
整理得，解得或；
（2）的对称轴为，因为，
①若，即，则在上单调递增，
所以，符合题意；
②若，即，则在上单调递减，在单调递增，
所以，则，与矛盾，不符合题意；
③，即，则在上单调递减，
所以，则，与矛盾，不符合；
综上，因此实数a的取值范围为；
（3）因为关于x的不等式的解集恰为，
①若，则在上单调递增，所以，即m，n是方程，即的两个根，由韦达定理得，所以，所以，当时，m不存在，舍去，
当时，，所以当时，；当时，，
又因为，所以，，经检验，此时，关于x的不等式的解集不是，故不符合题意舍去；
②若，则在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，所以，
即有两个不相等的实数根，且，由于m，n为整数，则a为整数，则
当时，，，经检验关于x的不等式的解集不是，故不符合题意舍去；
当时，，，经检验符合题意；
故，；
③若，则在上单调递减，所以，
即，则，不合题意舍去．
综上：存在这样的m，n为整数，且，．