6.2.3 向量的数乘运算（教案）——高中数学人教A版（2019）必修第二册

第六章 平面向量及其应用
6.2.3 向量的数乘运算
教学设计
教学目标
1.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及其运算规则.
2.理解平面向量的数乘运算的几何意义.
3.理解两个平面向量共线的含义.
4.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.
教学重难点
教学重点：平面向量的数乘运算及其几何意义.
教学难点：平面向量的数乘运算的应用.
教学过程
新知积累
1.向量的数乘运算：一般地，规定实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下：
（1）；
（2）当时，的方向与a的方向相同；当时，的方向与a的方向相反.
由（1）可知，当时，，由（1）（2）可知，.
2.向量数乘的运算律：设，为实数，那么：
（1）；
（2）；
（3）.
特别地，有，.
3.向量的线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是向量.对于任意向量a，b，以及任意实数，，，恒有.
4.向量共线定理：向量与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使.
例题巩固
例1 计算：
（1）；
（2）；
（3）.
解析：（1）原式；
（2）原式；
（3）原式.
例2 如图，的两条对角线相交于点M，且，，用a，b表示，，和.
解：在中，，.
由平行四边形的两条对角线互相平分，
得，，
，.
例3 如图，已知任意两个非零向量a，b，试作，，.猜想A，B，C三点之间的位置关系，并证明你的猜想.
解：分别作向量，，，过点A，C作直线AC如图，
观察发现，不论向量a，b怎样变化，点B始终在直线AC上，猜想A，B，C三点共线.
事实上，因为，，
所以. 因此A，B，C三点共线.
例4 已知a，b是两个不共线的向量，向量，共线，求实数t的值.
解：由a，b不共线，易知为非零向量，
由向量，共线，
可知存在实数，使得，即.
由a，b不共线，必有，
否则，不妨设，则，
由两个向量共线的充要条件知a，b共线，与已知矛盾，
由，解得，
因此，当向量，共线时，.
课堂练习
1.已知，是不共线的向量，，，那么，，三点共线的充要条件为( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：因为，，三点共线，所以向量.令，，，由，是不共线的向量，得，解得，.故选B.
2.（多选）若点D，E，F分别为的边BC，CA，AB的中点，且，，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
答案：ABC
解析：在中，，故A正确；，故B正确；，，故C正确；，故D不正确.故选ABC.
3.设向量，不平行，向量与平行，则实数________.
答案：
解析：因为向量，不平行，向量与平行，所以存在实数，使得，即，解得，所以.
小结作业
小结：本节课学面向量的数乘运算.
作业：完成本节课课后习题.
板书设计
6.2.3 向量的数乘运算
1.向量的数乘运算
2.向量数乘的运算律
3.向量的线性运算
4.向量共线定理
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