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河北省石家庄市部分学校2023届高三下学期数学开学考试试卷
一、单选题
1．（2023高三下·石家庄开学考）设i为虚数单位，复数z在复平面内对应的点为，则（ ）
A． B． C．2 D．3
2．（2023高三下·石家庄开学考）已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023高三下·石家庄开学考）已知向量，，若，则（ ）
A． B． C．-2 D．2
4．（2023高三下·石家庄开学考）已知为第四象限角，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023高三下·石家庄开学考）已知是偶函数，当时，，若，则（ ）
A． B． C．或3 D．或
6．（2023高三下·石家庄开学考）在正四棱锥P-ABCD中，，E为PC的中点，则异面直线AP与DE所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023高三下·石家庄开学考）若正数x，y，z满足，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2023高三下·石家庄开学考）已知圆C1：和圆，点P为上任意一点，过P作的两条切线，连接两个切点的线段称为圆的切点弦，则在圆内不与切点弦相交的区域的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2023高三下·石家庄开学考）已知m，n是空间中两条不同的直线，，β是两个不同的平面，Q是空间中的一个点，下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
10．（2023高三下·石家庄开学考）已知双曲线E，则（ ）
A．，E的渐近线方程为
B．，E的离心率为
C．，E的离心率为
D．，E的虚轴长为2
11．（2023高三下·石家庄开学考）下列说法正确的是（ ）
A．若，则函数的最小值为
B．若实数a，b满足，且，则的最小值是3
C．若实数a，b满足，且，则的最大值是4
D．若实数a，b满足，且，则的最小值是1
12．（2023高三下·石家庄开学考）某计算机程序每运行一次都随机出现一个n位二进制数，其中ai，若在A的各数位上出现0和1的概率均为，记，则当程序运行一次时（ ）
A．
B．
C．X的数学期望
D．X的方差
三、填空题
13．（2023高三下·石家庄开学考）某校机器人兴趣小组有男生3名，女生2名，现从中随机选出3名参加一个机器人大赛，则选出的3名学生中既有男生又有女生的选法有 种
14．（2023高三下·石家庄开学考）已知，为椭圆的左、右焦点，点P为C上一点，则的最小值为 ，的最小值为 ．
15．（2023高三下·石家庄开学考）湖北省中药材研发中心整合省农业科技创新中心、省创新联盟相关资源和力量，为全省中药材产业链延链、补链、强链提供科技支撑，某科研机构研究发现，某品种中医药的药物成分甲的含量x（单位：g与药物功效y（单位：药物单位）之间满足，检测这种药品一个批次的6个样本，得到成分甲的含量x的平均值为5g，标准差为g，则估计这批中医药的药物功效y的平均值为 药物单位．
16．（2023高三下·石家庄开学考）在三棱锥P-ABC中，，点M，N分别是PB，BC的中点，且，则平面AMN截三棱锥P-ABC的外接球所得截面的面积是 ．
四、解答题
17．（2023高三下·石家庄开学考）已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且，
（1）求角A的大小：
（2）若，求△ABC的面积．
18．（2023高三下·石家庄开学考）在数列，中，，为各项均为正数的等比数列，且其前三项和为，为等差数列，且其前三项和为9.
（1）求，的通项公式；
（2）求的前n项和.
19．（2023高三下·石家庄开学考）北方某市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核，记考核成绩不小于80分的为优秀，为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了60名学生的考核成绩，如下表
成绩 [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100]
人数 5 5 15 25 10
（1）从参加接训的学生中随机选取1人，请根据表中数据，估计这名学生考核优秀的概率，
（2）用分层抽样的方法，在考核成绩为[70，90）的学生中任取8人，再从这8人中随机选取4人，记取到考核成绩在[80，90）的学生为X，求X的分布列和数学期望，
20．（2023高三下·石家庄开学考）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，，△PAD为等腰直角三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E为CD的中点，．
（1）证明：EF//平面PAB；
（2）求平面AEF与平面PCD夹角的余弦值．
21．（2023高三下·石家庄开学考）已知椭圆的左、右焦点分别是，，抛物线的准线过点，且C2的准线与交于M．
（1）求的方程；
（2）如图，过作直线l交于A，B，交于C，D，O为坐标原点，记△OAB，△F1CD的面积分别是，，且，求直线l的方程．
22．（2023高三下·石家庄开学考）已知函数
（1）若，求f(x)在（，0）上的极值；
（2）若在上恒成立，求实数a的取值范围
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】复数的代数表示法及其几何意义；复数求模
【解析】【解答】由复数的几何意义得，所以．
故答案为：A.
【分析】由复数的几何意义得，再根据复数的四则运算和复数模的定义，可求出答案.
2．【答案】D
【知识点】交集及其运算；补集及其运算
【解析】【解答】解：，且，
则，，又，
当时，，当时，，
当时，当时，，当时，，
则
又 ，
所以，
故答案为：D
【分析】先化简集合A、B，再利用集合的交集和补集的运算进行求解，可得答案.
3．【答案】C
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】因为，所以，即，所以．
故答案为：C．
【分析】直接利用向量共线的坐标表示得到，即得 的值.
4．【答案】A
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】因为，联立解得或，
又为第四象限角，所以，所以.
故答案为：A．
【分析】由已知条件结合同角三角函数基本关系式求出，再利用正弦的二倍角公式可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】函数奇偶性的性质
【解析】【解答】当时，由，得，
解得（舍去）或；
根据偶函数的图象关于y轴对称，可知当时，
由，得(舍)或，
综上，
故答案为：B.
【分析】分和两种情况结合偶函数的性质，可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】如图，连接AC，BD相交于O，连接OE，则O为AC的中点，又E为PC的中点，所以，
所以∠DEO为异面直线AP与DE所成的角或其补角．
又 为等比三角形，且边长为2，
故又，
所以，所以∠EOD=，所以，
故答案为：C
【分析】连接AC，BD相交于O，连接OE，可得∠DEO为异面直线AP与DE所成的角或其补角，根据勾股定理可得∠EOD=，进而求出异面直线AP与DE所成角的余弦值.
7．【答案】D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；指数式与对数式的互化；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】设，则，在同一坐标系中作出，的图象，如图所示
易得，即，
故答案为：D
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性进行比较大小，可得答案.
8．【答案】B
【知识点】直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】解：如图，切点为，，连接，与的交点为，
由切线长定理可得，，且，
，所以，则原点到直线的距离为定值
故切点弦始终与圆相切，在圆内不与切点弦相交的区域面积为．
故答案为：B．
【分析】由题意画出大致图像，由切点弦找出临界点D，结合圆的面积公式即可求出在圆内不与切点弦相交的区域面积.
9．【答案】C,D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】对于A，若，直线m与平面可能相交，A不符合题意；
对于B，若可知n上有一点在内，根据两点确定一条直线可知，n不一定在β内，B不符合题意；
对于C，∵，C符合题意：
对于D，β，D符合题意．
故答案为：CD
【分析】若，直线m与平面可能相交，可判断A；若可知 或n与相交，可判断B；由直线与平面平行的性质定理可得 ，可判断C；由线面垂直的性质和面面垂直的性质可得 ，可判断D.
10．【答案】A,C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】当时，E的方程可化为，此时其渐近线方程为，
离心率为，虚轴长为2；
当时，E的方程可化为，此时其渐近线方程为，
离心率为，虚轴长为4，AC符合题意，BD不符合题意.
故答案为：AC．
【分析】分和两种情况化简双曲线方程，求出其渐近线方程、离心率和虚轴长，可得答案.
11．【答案】B,D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】对A，，函数，
当且仅当，即时取等号，即函数的最大值为，A不符合题意；
对B，，且，则，
当且仅当，即，时取等号，则的最小值是3，B对；
对C，，且，∴，即，解得，当且仅当时取等号，C不符合题意；
对D，，且，令，则，
所以，当且仅当，即时取等号，D对.
故答案为：BD
【分析】由已知结合基本不等式及函数的性质，逐项进行判断，可得答案.
12．【答案】A,B,C
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布与n次独立重复试验的模型
【解析】【解答】由二进制数A的特点知每一个数位上的数字只能填0，1，每位数出现0，1是独立的，
所以，所以，A符合题意；
，B符合题意；
因为，所以，C符合题意，D不符合题意.
故答案为：ABC
【分析】推导出，由此利用二项分布的性质，逐项进行判断，可得答案.
13．【答案】9
【知识点】排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】选出的人员中恰好有一名女生的选法有种，选出的人员中恰好有两名女生的选法有种，所以选出的3名学生中既有男生又有女生的选法有种．
故答案为：9
【分析】先按女生个数分类，再分别计算相加即可得答案.
14．【答案】12；
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】椭圆中， 即，
因为 ，所以 ，所以，
又，所以，所以的最小值为12．
又，
当且仅当时取等号，所以的最小值为．
故答案为：
【分析】由已知结合椭圆的定义可求出，进而求出 的最小值 ；当且仅当，可得的最小值.
15．【答案】15
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】设6个样本中药物成分甲的含量分别为，
因为成分甲的含量的平均值为5g，所以，
标准差为g，所以，可得
又由，所以，
所以这批中医药的药物功效的平均值为
故答案为：15.
【分析】设6个样本中药物成分甲的含量分别为，由成分甲的含量的平均值为5g， 标准差为g ，可得，由此可得，即可求出这批中医药的药物功效的平均值.
16．【答案】
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】因为，M是PB的中点，所以，
又平面PBC，
所以AM⊥平面PBC，又BC平面PBC，
所以，
又平面PAB，
所以BC⊥平面PAB，又PB，AB平面PAB，
所以
在△ABC中，，
所以，
在△PAC中，，所以，所以，
取PC的中点O，又PA，
所以，即点O是三棱锥P-ABC的外接球的球心，
因为，故外接球半径为，
设O到平面AMN的距离为h，平面AMN截球O所得的截面圆的半径为r，
因为MN是△PBC的中位线，所以O到平面AMN的距离等于B到平面AMN的距离，
故，即，得，
所以，
所以截面圆的面积为．
故答案为：.
【分析】 证明出PC的中点即为外接球的球心，从而得到外接球半径，再设设O到平面AMN的距离为h，平面AMN截球O所得的截面圆的半径为r，由等体积法求出h，进而得到r，可得到截面圆的面积.
17．【答案】（1）解：根据题意，得
由正弦定理可得，即
得，
又，所以，所以，所以.
（2）解：由，得，又，
由余弦定理可得解得，，
所以.
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】(1)根据正弦定理和三角函数的关系式的变换求出角A的大小；
(2)利用正弦定理和余弦定理及三角形的面积公式求出 △ABC的面积．
18．【答案】（1）解：设等比数列的公比为，
因为数列的前三项和为，所以，
或舍去，所以，
设等差数列的公差为，因为前三项和为9，
所以有，
所以，因为，
所以；
（2）解：由（1）可知：，
所以，
，
，得，
，所以.
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】 (1)根据等差数列和等比数列的通项公式进行求解，即可得 ，的通项公式；
(2) 由（1）可知： ，利用错位相减法进行求解，即可得 的前n项和.
19．【答案】（1）解：设该名学生考核成绩优秀为事件A，由已知50名同学的成绩中，优秀的有35名同学，所以，
可以可估计这名学生考核优秀的概率为．
（2）解：由已知，用分层抽样方法，在考核成绩为[70，90）的学生中任取8人，则考核成绩在[70，80）的学生应抽取3人，考核成绩在[80，90）的学生应抽取5人．
由题意可得X的所有可能取值为1，2，3，4，
所以
所以随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4
P
所以
即所求数学期望为．
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)根据古典概型的概率计算公式即可求解出这名学生考核优秀的概率；
(2)根据分层抽样的抽样比可得[70， 80)和[80， 90)抽取的学生人数， 由题意可得X的所有可能取值，由超几何分布求解出对应的概率，进而得分布列，再根据期望公式求出数学期望.
20．【答案】（1）证明：取AB的中点N，连接NE，过F作且与AP交于点M，连接MN．
∵E为CD的中点，N为AB的中点，，
∴.
∵，∴.
∴，∴四边形MNEF为平行四边形，∴.
∵MN平面PAB，EF平面PAB，
∴EF平面PAB.
（2）解：由为等腰直角三角形，4，平面PAD⊥平面ABCD，
以A为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，则
．
设平面PCD的法向量为，由，
有，取，得，所以平面PCD的一个法向量为．
设平面AEF的法向量为，由，
有，取，得，所以平面AEF的一个法向量为
所以，
所以平面AEF与平面PCD夹角的余弦值为．
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】(1) 取AB的中点N，连接NE，过F作且与AP交于点M，连接MN，可得四边形EFMN是平行四边形，则EF//MN，即可证明出EF//平面PAB；
(2) 以A为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，求出平面PCD的法向量和平面AEF的法向量，利用向量法可求出平面AEF与平面PCD夹角的余弦值．
21．【答案】（1）解：由题意知抛物线的准线方程是，所以，
由题意可知点在椭圆上，故
所以 解得，所以的方程是
（2）解：因为O为，的中点，所以O到直线l的距离为到l距离的一半，又1，所以|．
当直线l的斜率不存在时，易得不符合题意．
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，设，
联立方程组 ，可得，
则，
由两点间距离公式可得，
所以，
联立方程组可得，
则
所以 因为，解得，
所以直线l的方程是或
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 由题意知抛物线的准线方程是，所以 ，把点代入椭圆方程可求出a，b的值，可得的方程；
（2）当直线l的斜率不存在时，易得不符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，设，与椭圆方程联立，结合韦达定理可得 ，由两点间距离公式求出，把直线l的方程与抛物线方程联立，结合韦达定理可得 ， 由 ，求出k的值，可得直线l的方程.
22．【答案】（1）解：若x，则，令，，
则，令
则
，
所以在上恒成立，在上单调递增，
所以，所以在上恒成立，即g(x)在上单调递减，所以f'(x)在上单调递减，
又所以f(x)在（，）上单调递增，在（，0）上单调递减．
又，所以f(x)的极大值是
（2）解：由（1）可知函数，在上单调递减，即在上单调递减，
易知为偶函数．
所以f'(x)在上单调递增，又
当，即时，，所以f(x)在 上单调递增，所以，符合题意；
当，即时，，又，
存在，使得，所以存在，使得，所以f(x)在上单调递减，
在单调递增，故，不合题意．
综上，实数a的取值范围是．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1） 若，求导， 令，求导，根据导数符号可得 在上单调性， 可得 f(x)在（，）和（，0）上单调性，进而求出f(x)在（，0）上的极值；
（2）由（1）可知函数，在上单调递减，易知为偶函数，可得f(x)在上单调递减，在单调递增，可得实数a的取值范围.
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河北省石家庄市部分学校2023届高三下学期数学开学考试试卷
一、单选题
1．（2023高三下·石家庄开学考）设i为虚数单位，复数z在复平面内对应的点为，则（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【知识点】复数的代数表示法及其几何意义；复数求模
【解析】【解答】由复数的几何意义得，所以．
故答案为：A.
【分析】由复数的几何意义得，再根据复数的四则运算和复数模的定义，可求出答案.
2．（2023高三下·石家庄开学考）已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】交集及其运算；补集及其运算
【解析】【解答】解：，且，
则，，又，
当时，，当时，，
当时，当时，，当时，，
则
又 ，
所以，
故答案为：D
【分析】先化简集合A、B，再利用集合的交集和补集的运算进行求解，可得答案.
3．（2023高三下·石家庄开学考）已知向量，，若，则（ ）
A． B． C．-2 D．2
【答案】C
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】因为，所以，即，所以．
故答案为：C．
【分析】直接利用向量共线的坐标表示得到，即得 的值.
4．（2023高三下·石家庄开学考）已知为第四象限角，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】因为，联立解得或，
又为第四象限角，所以，所以.
故答案为：A．
【分析】由已知条件结合同角三角函数基本关系式求出，再利用正弦的二倍角公式可求出答案.
5．（2023高三下·石家庄开学考）已知是偶函数，当时，，若，则（ ）
A． B． C．或3 D．或
【答案】B
【知识点】函数奇偶性的性质
【解析】【解答】当时，由，得，
解得（舍去）或；
根据偶函数的图象关于y轴对称，可知当时，
由，得(舍)或，
综上，
故答案为：B.
【分析】分和两种情况结合偶函数的性质，可求出答案.
6．（2023高三下·石家庄开学考）在正四棱锥P-ABCD中，，E为PC的中点，则异面直线AP与DE所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】如图，连接AC，BD相交于O，连接OE，则O为AC的中点，又E为PC的中点，所以，
所以∠DEO为异面直线AP与DE所成的角或其补角．
又 为等比三角形，且边长为2，
故又，
所以，所以∠EOD=，所以，
故答案为：C
【分析】连接AC，BD相交于O，连接OE，可得∠DEO为异面直线AP与DE所成的角或其补角，根据勾股定理可得∠EOD=，进而求出异面直线AP与DE所成角的余弦值.
7．（2023高三下·石家庄开学考）若正数x，y，z满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；指数式与对数式的互化；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】设，则，在同一坐标系中作出，的图象，如图所示
易得，即，
故答案为：D
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性进行比较大小，可得答案.
8．（2023高三下·石家庄开学考）已知圆C1：和圆，点P为上任意一点，过P作的两条切线，连接两个切点的线段称为圆的切点弦，则在圆内不与切点弦相交的区域的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】解：如图，切点为，，连接，与的交点为，
由切线长定理可得，，且，
，所以，则原点到直线的距离为定值
故切点弦始终与圆相切，在圆内不与切点弦相交的区域面积为．
故答案为：B．
【分析】由题意画出大致图像，由切点弦找出临界点D，结合圆的面积公式即可求出在圆内不与切点弦相交的区域面积.
二、多选题
9．（2023高三下·石家庄开学考）已知m，n是空间中两条不同的直线，，β是两个不同的平面，Q是空间中的一个点，下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】C,D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】对于A，若，直线m与平面可能相交，A不符合题意；
对于B，若可知n上有一点在内，根据两点确定一条直线可知，n不一定在β内，B不符合题意；
对于C，∵，C符合题意：
对于D，β，D符合题意．
故答案为：CD
【分析】若，直线m与平面可能相交，可判断A；若可知 或n与相交，可判断B；由直线与平面平行的性质定理可得 ，可判断C；由线面垂直的性质和面面垂直的性质可得 ，可判断D.
10．（2023高三下·石家庄开学考）已知双曲线E，则（ ）
A．，E的渐近线方程为
B．，E的离心率为
C．，E的离心率为
D．，E的虚轴长为2
【答案】A,C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】当时，E的方程可化为，此时其渐近线方程为，
离心率为，虚轴长为2；
当时，E的方程可化为，此时其渐近线方程为，
离心率为，虚轴长为4，AC符合题意，BD不符合题意.
故答案为：AC．
【分析】分和两种情况化简双曲线方程，求出其渐近线方程、离心率和虚轴长，可得答案.
11．（2023高三下·石家庄开学考）下列说法正确的是（ ）
A．若，则函数的最小值为
B．若实数a，b满足，且，则的最小值是3
C．若实数a，b满足，且，则的最大值是4
D．若实数a，b满足，且，则的最小值是1
【答案】B,D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】对A，，函数，
当且仅当，即时取等号，即函数的最大值为，A不符合题意；
对B，，且，则，
当且仅当，即，时取等号，则的最小值是3，B对；
对C，，且，∴，即，解得，当且仅当时取等号，C不符合题意；
对D，，且，令，则，
所以，当且仅当，即时取等号，D对.
故答案为：BD
【分析】由已知结合基本不等式及函数的性质，逐项进行判断，可得答案.
12．（2023高三下·石家庄开学考）某计算机程序每运行一次都随机出现一个n位二进制数，其中ai，若在A的各数位上出现0和1的概率均为，记，则当程序运行一次时（ ）
A．
B．
C．X的数学期望
D．X的方差
【答案】A,B,C
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布与n次独立重复试验的模型
【解析】【解答】由二进制数A的特点知每一个数位上的数字只能填0，1，每位数出现0，1是独立的，
所以，所以，A符合题意；
，B符合题意；
因为，所以，C符合题意，D不符合题意.
故答案为：ABC
【分析】推导出，由此利用二项分布的性质，逐项进行判断，可得答案.
三、填空题
13．（2023高三下·石家庄开学考）某校机器人兴趣小组有男生3名，女生2名，现从中随机选出3名参加一个机器人大赛，则选出的3名学生中既有男生又有女生的选法有 种
【答案】9
【知识点】排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】选出的人员中恰好有一名女生的选法有种，选出的人员中恰好有两名女生的选法有种，所以选出的3名学生中既有男生又有女生的选法有种．
故答案为：9
【分析】先按女生个数分类，再分别计算相加即可得答案.
14．（2023高三下·石家庄开学考）已知，为椭圆的左、右焦点，点P为C上一点，则的最小值为 ，的最小值为 ．
【答案】12；
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】椭圆中， 即，
因为 ，所以 ，所以，
又，所以，所以的最小值为12．
又，
当且仅当时取等号，所以的最小值为．
故答案为：
【分析】由已知结合椭圆的定义可求出，进而求出 的最小值 ；当且仅当，可得的最小值.
15．（2023高三下·石家庄开学考）湖北省中药材研发中心整合省农业科技创新中心、省创新联盟相关资源和力量，为全省中药材产业链延链、补链、强链提供科技支撑，某科研机构研究发现，某品种中医药的药物成分甲的含量x（单位：g与药物功效y（单位：药物单位）之间满足，检测这种药品一个批次的6个样本，得到成分甲的含量x的平均值为5g，标准差为g，则估计这批中医药的药物功效y的平均值为 药物单位．
【答案】15
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】设6个样本中药物成分甲的含量分别为，
因为成分甲的含量的平均值为5g，所以，
标准差为g，所以，可得
又由，所以，
所以这批中医药的药物功效的平均值为
故答案为：15.
【分析】设6个样本中药物成分甲的含量分别为，由成分甲的含量的平均值为5g， 标准差为g ，可得，由此可得，即可求出这批中医药的药物功效的平均值.
16．（2023高三下·石家庄开学考）在三棱锥P-ABC中，，点M，N分别是PB，BC的中点，且，则平面AMN截三棱锥P-ABC的外接球所得截面的面积是 ．
【答案】
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】因为，M是PB的中点，所以，
又平面PBC，
所以AM⊥平面PBC，又BC平面PBC，
所以，
又平面PAB，
所以BC⊥平面PAB，又PB，AB平面PAB，
所以
在△ABC中，，
所以，
在△PAC中，，所以，所以，
取PC的中点O，又PA，
所以，即点O是三棱锥P-ABC的外接球的球心，
因为，故外接球半径为，
设O到平面AMN的距离为h，平面AMN截球O所得的截面圆的半径为r，
因为MN是△PBC的中位线，所以O到平面AMN的距离等于B到平面AMN的距离，
故，即，得，
所以，
所以截面圆的面积为．
故答案为：.
【分析】 证明出PC的中点即为外接球的球心，从而得到外接球半径，再设设O到平面AMN的距离为h，平面AMN截球O所得的截面圆的半径为r，由等体积法求出h，进而得到r，可得到截面圆的面积.
四、解答题
17．（2023高三下·石家庄开学考）已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且，
（1）求角A的大小：
（2）若，求△ABC的面积．
【答案】（1）解：根据题意，得
由正弦定理可得，即
得，
又，所以，所以，所以.
（2）解：由，得，又，
由余弦定理可得解得，，
所以.
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】(1)根据正弦定理和三角函数的关系式的变换求出角A的大小；
(2)利用正弦定理和余弦定理及三角形的面积公式求出 △ABC的面积．
18．（2023高三下·石家庄开学考）在数列，中，，为各项均为正数的等比数列，且其前三项和为，为等差数列，且其前三项和为9.
（1）求，的通项公式；
（2）求的前n项和.
【答案】（1）解：设等比数列的公比为，
因为数列的前三项和为，所以，
或舍去，所以，
设等差数列的公差为，因为前三项和为9，
所以有，
所以，因为，
所以；
（2）解：由（1）可知：，
所以，
，
，得，
，所以.
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】 (1)根据等差数列和等比数列的通项公式进行求解，即可得 ，的通项公式；
(2) 由（1）可知： ，利用错位相减法进行求解，即可得 的前n项和.
19．（2023高三下·石家庄开学考）北方某市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核，记考核成绩不小于80分的为优秀，为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了60名学生的考核成绩，如下表
成绩 [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100]
人数 5 5 15 25 10
（1）从参加接训的学生中随机选取1人，请根据表中数据，估计这名学生考核优秀的概率，
（2）用分层抽样的方法，在考核成绩为[70，90）的学生中任取8人，再从这8人中随机选取4人，记取到考核成绩在[80，90）的学生为X，求X的分布列和数学期望，
【答案】（1）解：设该名学生考核成绩优秀为事件A，由已知50名同学的成绩中，优秀的有35名同学，所以，
可以可估计这名学生考核优秀的概率为．
（2）解：由已知，用分层抽样方法，在考核成绩为[70，90）的学生中任取8人，则考核成绩在[70，80）的学生应抽取3人，考核成绩在[80，90）的学生应抽取5人．
由题意可得X的所有可能取值为1，2，3，4，
所以
所以随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4
P
所以
即所求数学期望为．
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)根据古典概型的概率计算公式即可求解出这名学生考核优秀的概率；
(2)根据分层抽样的抽样比可得[70， 80)和[80， 90)抽取的学生人数， 由题意可得X的所有可能取值，由超几何分布求解出对应的概率，进而得分布列，再根据期望公式求出数学期望.
20．（2023高三下·石家庄开学考）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，，△PAD为等腰直角三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E为CD的中点，．
（1）证明：EF//平面PAB；
（2）求平面AEF与平面PCD夹角的余弦值．
【答案】（1）证明：取AB的中点N，连接NE，过F作且与AP交于点M，连接MN．
∵E为CD的中点，N为AB的中点，，
∴.
∵，∴.
∴，∴四边形MNEF为平行四边形，∴.
∵MN平面PAB，EF平面PAB，
∴EF平面PAB.
（2）解：由为等腰直角三角形，4，平面PAD⊥平面ABCD，
以A为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，则
．
设平面PCD的法向量为，由，
有，取，得，所以平面PCD的一个法向量为．
设平面AEF的法向量为，由，
有，取，得，所以平面AEF的一个法向量为
所以，
所以平面AEF与平面PCD夹角的余弦值为．
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】(1) 取AB的中点N，连接NE，过F作且与AP交于点M，连接MN，可得四边形EFMN是平行四边形，则EF//MN，即可证明出EF//平面PAB；
(2) 以A为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，求出平面PCD的法向量和平面AEF的法向量，利用向量法可求出平面AEF与平面PCD夹角的余弦值．
21．（2023高三下·石家庄开学考）已知椭圆的左、右焦点分别是，，抛物线的准线过点，且C2的准线与交于M．
（1）求的方程；
（2）如图，过作直线l交于A，B，交于C，D，O为坐标原点，记△OAB，△F1CD的面积分别是，，且，求直线l的方程．
【答案】（1）解：由题意知抛物线的准线方程是，所以，
由题意可知点在椭圆上，故
所以 解得，所以的方程是
（2）解：因为O为，的中点，所以O到直线l的距离为到l距离的一半，又1，所以|．
当直线l的斜率不存在时，易得不符合题意．
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，设，
联立方程组 ，可得，
则，
由两点间距离公式可得，
所以，
联立方程组可得，
则
所以 因为，解得，
所以直线l的方程是或
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 由题意知抛物线的准线方程是，所以 ，把点代入椭圆方程可求出a，b的值，可得的方程；
（2）当直线l的斜率不存在时，易得不符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，设，与椭圆方程联立，结合韦达定理可得 ，由两点间距离公式求出，把直线l的方程与抛物线方程联立，结合韦达定理可得 ， 由 ，求出k的值，可得直线l的方程.
22．（2023高三下·石家庄开学考）已知函数
（1）若，求f(x)在（，0）上的极值；
（2）若在上恒成立，求实数a的取值范围
【答案】（1）解：若x，则，令，，
则，令
则
，
所以在上恒成立，在上单调递增，
所以，所以在上恒成立，即g(x)在上单调递减，所以f'(x)在上单调递减，
又所以f(x)在（，）上单调递增，在（，0）上单调递减．
又，所以f(x)的极大值是
（2）解：由（1）可知函数，在上单调递减，即在上单调递减，
易知为偶函数．
所以f'(x)在上单调递增，又
当，即时，，所以f(x)在 上单调递增，所以，符合题意；
当，即时，，又，
存在，使得，所以存在，使得，所以f(x)在上单调递减，
在单调递增，故，不合题意．
综上，实数a的取值范围是．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1） 若，求导， 令，求导，根据导数符号可得 在上单调性， 可得 f(x)在（，）和（，0）上单调性，进而求出f(x)在（，0）上的极值；
（2）由（1）可知函数，在上单调递减，易知为偶函数，可得f(x)在上单调递减，在单调递增，可得实数a的取值范围.
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