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河南省信阳市2022-2023学年高一下学期数学阶段性测试（开学考）试卷
一、单选题
1．（2023高一下·信阳开学考）若集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算；对数函数的单调区间；一元二次不等式的解法
【解析】【解答】，
，所以，所以，
所以.
故答案为：B
【分析】根据不等式的解法和对数函数的性质，求得集合，再结合集合交集的概念与运算，即可求解.
2．（2023高一下·信阳开学考）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等关系与不等式
【解析】【解答】当时，不能推出，
当时，不能推出，
所以“”是“”的既不充分也不必要条件.
故答案为：D
【分析】由，得出充分性不成立，再由时，得到必要性不成立，即可求解.
3．（2023高一下·信阳开学考）已知是第二象限角，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】终边相同的角；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】因为是第二象限角，所以是第一象限角，
又因为，所以.
故答案为：B
【分析】根据是第二象限角，求得是第一象限角，结合三角函数的基本关系式，即可求解.
4．（2023高一下·信阳开学考）若，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】由，所以，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为3.
故答案为：C.
【分析】根据题意化简，结合基本不等式，即可求解.
5．（2023高一下·信阳开学考）方程的解所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数零点的判定定理；函数的零点
【解析】【解答】由得，
设，则在上单调递增，
，
所以的唯一零点在区间，
即方程的解所在的区间为.
故答案为：B
【分析】根据题意化简方程为，设，得到在上单调递增，结合，利用零点的存在性定理，结合选项，即可求解.
6．（2023高一下·信阳开学考）著名画家达·芬奇画完他的《抱银貂的女子》后，看着画中女人脖子上悬挂的黑色珍珠项链，开始思考这样一个问题：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的悬链线问题，最终的答案是这条曲线的方程是双曲余弦函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数表达式为.设函数，若实数满足不等式，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】奇偶性与单调性的综合；指数函数单调性的应用
【解析】【解答】由题意，，为增函数，
由，
则函数为奇函数，
由，即，
所以，解得，
所以的取值范围为.
故答案为：A.
【分析】由题意的函数，根据指数函数的性质得到为增函数，再由，得到函数为奇函数，把布置转化为，列出不等式，即可求解.
7．（2023高一下·信阳开学考）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】指数函数单调性的应用；对数值大小的比较；对数函数的单调区间
【解析】【解答】，，即.
，
所以.
故答案为：A
【分析】根据指数幂的运算，求得，，再由对数函数的性质，求得，即可求解.
8．（2023高一下·信阳开学考）已知函数为奇函数，且在上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】余弦函数的单调性
【解析】【解答】因为函数为奇函数，
所以，
故，
要使得在上单调递减，只需在上单调递增，
因为，所以，其中，
结合正弦函数图象可知：，
解得：，
综上：.
故答案为：C
【分析】由函数为奇函数，求得，化简得到，进而转化为函数在上单调递增，再由，结合三角函数的性质，列出不等式，即可求解.
二、多选题
9．（2023高一下·信阳开学考）已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为
B．的图象关于直线对称
C．的图象关于点对称
D．在上单调递增
【答案】B,C
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦函数的奇偶性与对称性；正弦函数的单调性
【解析】【解答】由题意，
所以的最小正周期，A不符合题意；
当时，所以的图象关于直线对称，B符合题意；
当时，所以的图象关于点对称，C符合题意；
当时，，所以在上不具有单调性，D不符合题意；
故答案为：BC
【分析】化简函数，根据最小值正周期的公式，可判定A不符合题意；根据时，求得，结合三角函数的性质，可判定B符合题意；根据时，求得，可判定C符合题意；根据，结合三角函数的性质，可判定D不符合题意.
10．（2023高一下·信阳开学考）已知函数，则（ ）
A．的定义域为 B．的图象关于轴对称
C．的值域为 D．是减函数
【答案】A,C
【知识点】对数函数图象与性质的综合应用
【解析】【解答】由，即，解得，
所以函数的定义域为，A符合题意；
又，
所以函数为奇函数，B不符合题意；
又，
因为函数在上为增函数，
所以函数在上为增函数，D不符合题意；
又，所以，即，
所以，即，
所以，
故函数的值域为，C符合题意.
故答案为：AC.
【分析】由，求得，可判定A符合题意；化简得到，可判定B不符合题意；化简，根据函数在上为增函数，利用复合函数的单调性的判定方法，可判定D不符合题意；根据，结合对数函数的性质，可判定C符合题意.
11．（2023高一下·信阳开学考）下列计算结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】两角和与差的正弦公式；两角和与差的正切公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】，A符合题意；
，B符合题意；
，C不符合题意；
由，
可得
，D符合题意；
故答案为：ABD
【分析】根据三角函数的基本关系式和余弦的倍角公式，可判定A符合题意；化简得到，结合正切的两角和公式，可判定B符合题意；利用诱导公式和正弦的倍角公式，可判定C不符合题意；化简，进而化简得到，结合诱导公式和两角和的正弦公式可判定D符合题意；
12．（2023高一下·信阳开学考）已知函数有两个零点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B,C
【知识点】函数与方程的综合运用；函数的零点
【解析】【解答】在坐标系作和的图象如图所示，
则和图象的交点即为函数的零点，
由图象可得，
所以 ，A不符合题意；
，B符合题意；
，C符合题意；
因为，，且，
所以，
所以，D不符合题意；
故答案为：BC
【分析】作出函数和的图象，结合图象得到，可判定A不符合题意；由，可判定B符合题意；化简，可判定C符合题意；由，，且，得到，可判定D不符合题意；
三、填空题
13．（2023高一下·信阳开学考）命题“，”的否定是 ．
【答案】，
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】改量词：由改成；
否结论：对进行否定得；
所以原命题的否定为：，.
故答案为：，.
【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.
14．（2023高一下·信阳开学考）已知是定义在上的奇函数，当时，（为常数），则在上的最大值为 .
【答案】-6
【知识点】奇偶性与单调性的综合；指数函数单调性的应用
【解析】【解答】依题意，是定义在上的奇函数，
所以，
即当时，，单调递增，
所以在区间上的最小值为，
所以在区间上的最大值为-6.
故答案为：-6
【分析】根据题意，利用，求得的值，结合函数的单调性，求得函数在区间上的最小值，进而求得函数的最大值.
15．（2020高一上·汕尾期末）已知 为锐角， ， ，则
【答案】
【知识点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】 ， 都是锐角， ，
又 ， ， ， ，
则 ．
故答案为： .
【分析】根据同角三角函数基本关系式及两角差的余弦公式即可求出。
16．（2023高一下·信阳开学考）已知函数，若有三个零点，则 .
【答案】
【知识点】函数与方程的综合运用；函数的零点
【解析】【解答】依题意，的开口向下，对称轴为，，
由解得，，
由于有三个零点，
所以，解得（负根舍去）.
故答案为：
【分析】由求得方程的解，再由有三个零点，得到，即可求解.
四、解答题
17．（2023高一下·信阳开学考）已知函数的最小值为，方程有两个实根和6.
（1）求函数的解析式；
（2）求关于的不等式的解集.
【答案】（1）解：因为方程有两个实根和，
所以，方程有两个实根和，
所以，①，②
因为函数的最小值为，
所以③，
所以，由①②得，代入③解得，
所以，，，
所以，；
（2）解：因为，即为
所以，，即，
所以，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.
【知识点】二次函数的性质；一元二次不等式的解法；一元二次方程的解集及其根与系数的关系
【解析】【分析】（1） 由题意得到方程有两个实根和，得到和，再由函数的最小值为，得到，进而求得的值，得出函数的解析式；
（2） 把不等式转化为，分、和，三种情况讨论，即可求解.
18．（2023高一下·信阳开学考）已知函数的定义域为，关于的不等式的解集为.
（1）当时，求；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：∵的定义域为，即解得，
∴函数的定义域，∴；
又∵当时，的解集为，
∴；
（2）解：∵是的充分不必要条件，∴，∴ ，
又∵的解集为，
∴，解得，
∴实数的取值范围.
【知识点】集合的包含关系判断及应用；交、并、补集的混合运算；充分条件；一元二次不等式的解法；其他不等式的解法
【解析】【分析】（1） 根据对数函数的性质，得到不等式，求得函数的定义域，得到；在有绝对值的定义求得集合，结合集合并集的概念与运算，即可求解；
（2）根据题意转化为 ，根据集合，列出不等式组，即可求解.
19．（2023高一下·信阳开学考）已知函数.
（1）若当时，函数有意义，求实数的取值范围.
（2）是否存在实数，使得函数在上为增函数，并且在此区间的最小值为？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：因为且，设，则为减函数，
所以当时，，
要使有意义，则时，恒成立．
所以．所以．
又且，所以且，
所以的取值范围为；
（2）解：由（1）知，且，为减函数，
要使函数在上为增函数，
根据复合函数的单调性可知，，且
则，解得，
所以存在使得函数在上为增函数，并且在此区间的最小值为.
【知识点】对数函数的定义域；对数函数的单调区间；对数函数图象与性质的综合应用
【解析】【分析】（1）设，得到为减函数，根据题意转化为时，恒成立，得到，再结合对数函数的性质，即可求得的取值范围；
（2） 由（1）得到为减函数，根据复合函数的单调性可知，得到，求得的值，进而确定函数的最小值，得到答案.
20．（2023高一下·信阳开学考）已知函数.
（1）求函数的单调递减区间；
（2）若当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：
.
由
解得，
所以函数的单调递减区间为
（2）解：由（1）得，
若，则，
所以当时，
取得最大值为，
所以.
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦函数的单调性；正弦函数的零点与最值
【解析】【分析】（1）化简函数为，结合正弦函数的图象与性质，列出不等式，即可求解；
（2） 由（1），根据题意得到，求得函数取得最大值，进而求得 实数的取值范围.
21．（2023高一下·信阳开学考）已知函数.
（1）求函数的值域.
（2）求不等式的解集.
（3）当为何值时，关于的方程在内的实根最多？最多有几个？（直接给出答案即可，无需说明理由）
【答案】（1）解：因为，
所以当时，，当时，，
所以函数的值域为.
（2）解：因为，所以，则 ，
所以，得的解集为.
（3）解：当时，方程在内的实根最多，最多有5个.
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；余弦函数的定义域和值域；余弦函数的零点与最值
【解析】【分析】（1） 化简函数为，结合余弦函数和二次函数的性质，求得函数的最值，即可求得函数的值域.
（2）把不等式转化为，得到，即可求解；
（3）根据题意转化为，结合余弦函数的图象与性质，即可求解.
22．（2023高一下·信阳开学考）已知函数.
（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）若存在正实数且，使得在区间上的值域为，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：函数为偶函数，理由如下：
由题知函数的定义域为，
因为，
所以函数为偶函数.
（2）解：因为，，
所以，当时，，
设，则，
所以，
所以，即，
所以，函数在上单调递增，
因为在正实数且，使得在区间上的值域为，
所以，即方程有两个不相等的正实数根，
所以，方程有两个不相等的正实数根，
令，
所以，方程有两个均大于且不相等的正实数根，
所以，两个均大于且不相等的正实数根，
令，
所以，两个均大于且不相等的零点，
所以，，即，解得，
所以，实数的取值范围是
【知识点】函数奇偶性的判断；奇偶性与单调性的综合；指数函数综合题
【解析】【分析】（1）根据函数奇偶性的定义和指数幂的运算性质，即可求解；
（2） 利用函数单调性的定义和指数函数的性质，求得函数在上单调递增，根据题意得到，转化为有两个不相等的正实数根，令，得到两个均大于且不相等的正实数根，令，进而得到两个均大于且不相等的零点，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解.
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河南省信阳市2022-2023学年高一下学期数学阶段性测试（开学考）试卷
一、单选题
1．（2023高一下·信阳开学考）若集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023高一下·信阳开学考）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2023高一下·信阳开学考）已知是第二象限角，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2023高一下·信阳开学考）若，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2023高一下·信阳开学考）方程的解所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023高一下·信阳开学考）著名画家达·芬奇画完他的《抱银貂的女子》后，看着画中女人脖子上悬挂的黑色珍珠项链，开始思考这样一个问题：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的悬链线问题，最终的答案是这条曲线的方程是双曲余弦函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数表达式为.设函数，若实数满足不等式，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023高一下·信阳开学考）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2023高一下·信阳开学考）已知函数为奇函数，且在上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2023高一下·信阳开学考）已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为
B．的图象关于直线对称
C．的图象关于点对称
D．在上单调递增
10．（2023高一下·信阳开学考）已知函数，则（ ）
A．的定义域为 B．的图象关于轴对称
C．的值域为 D．是减函数
11．（2023高一下·信阳开学考）下列计算结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2023高一下·信阳开学考）已知函数有两个零点，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．（2023高一下·信阳开学考）命题“，”的否定是 ．
14．（2023高一下·信阳开学考）已知是定义在上的奇函数，当时，（为常数），则在上的最大值为 .
15．（2020高一上·汕尾期末）已知 为锐角， ， ，则
16．（2023高一下·信阳开学考）已知函数，若有三个零点，则 .
四、解答题
17．（2023高一下·信阳开学考）已知函数的最小值为，方程有两个实根和6.
（1）求函数的解析式；
（2）求关于的不等式的解集.
18．（2023高一下·信阳开学考）已知函数的定义域为，关于的不等式的解集为.
（1）当时，求；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
19．（2023高一下·信阳开学考）已知函数.
（1）若当时，函数有意义，求实数的取值范围.
（2）是否存在实数，使得函数在上为增函数，并且在此区间的最小值为？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由.
20．（2023高一下·信阳开学考）已知函数.
（1）求函数的单调递减区间；
（2）若当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围.
21．（2023高一下·信阳开学考）已知函数.
（1）求函数的值域.
（2）求不等式的解集.
（3）当为何值时，关于的方程在内的实根最多？最多有几个？（直接给出答案即可，无需说明理由）
22．（2023高一下·信阳开学考）已知函数.
（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）若存在正实数且，使得在区间上的值域为，求实数的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算；对数函数的单调区间；一元二次不等式的解法
【解析】【解答】，
，所以，所以，
所以.
故答案为：B
【分析】根据不等式的解法和对数函数的性质，求得集合，再结合集合交集的概念与运算，即可求解.
2．【答案】D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等关系与不等式
【解析】【解答】当时，不能推出，
当时，不能推出，
所以“”是“”的既不充分也不必要条件.
故答案为：D
【分析】由，得出充分性不成立，再由时，得到必要性不成立，即可求解.
3．【答案】B
【知识点】终边相同的角；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】因为是第二象限角，所以是第一象限角，
又因为，所以.
故答案为：B
【分析】根据是第二象限角，求得是第一象限角，结合三角函数的基本关系式，即可求解.
4．【答案】C
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】由，所以，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为3.
故答案为：C.
【分析】根据题意化简，结合基本不等式，即可求解.
5．【答案】B
【知识点】函数零点的判定定理；函数的零点
【解析】【解答】由得，
设，则在上单调递增，
，
所以的唯一零点在区间，
即方程的解所在的区间为.
故答案为：B
【分析】根据题意化简方程为，设，得到在上单调递增，结合，利用零点的存在性定理，结合选项，即可求解.
6．【答案】A
【知识点】奇偶性与单调性的综合；指数函数单调性的应用
【解析】【解答】由题意，，为增函数，
由，
则函数为奇函数，
由，即，
所以，解得，
所以的取值范围为.
故答案为：A.
【分析】由题意的函数，根据指数函数的性质得到为增函数，再由，得到函数为奇函数，把布置转化为，列出不等式，即可求解.
7．【答案】A
【知识点】指数函数单调性的应用；对数值大小的比较；对数函数的单调区间
【解析】【解答】，，即.
，
所以.
故答案为：A
【分析】根据指数幂的运算，求得，，再由对数函数的性质，求得，即可求解.
8．【答案】C
【知识点】余弦函数的单调性
【解析】【解答】因为函数为奇函数，
所以，
故，
要使得在上单调递减，只需在上单调递增，
因为，所以，其中，
结合正弦函数图象可知：，
解得：，
综上：.
故答案为：C
【分析】由函数为奇函数，求得，化简得到，进而转化为函数在上单调递增，再由，结合三角函数的性质，列出不等式，即可求解.
9．【答案】B,C
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦函数的奇偶性与对称性；正弦函数的单调性
【解析】【解答】由题意，
所以的最小正周期，A不符合题意；
当时，所以的图象关于直线对称，B符合题意；
当时，所以的图象关于点对称，C符合题意；
当时，，所以在上不具有单调性，D不符合题意；
故答案为：BC
【分析】化简函数，根据最小值正周期的公式，可判定A不符合题意；根据时，求得，结合三角函数的性质，可判定B符合题意；根据时，求得，可判定C符合题意；根据，结合三角函数的性质，可判定D不符合题意.
10．【答案】A,C
【知识点】对数函数图象与性质的综合应用
【解析】【解答】由，即，解得，
所以函数的定义域为，A符合题意；
又，
所以函数为奇函数，B不符合题意；
又，
因为函数在上为增函数，
所以函数在上为增函数，D不符合题意；
又，所以，即，
所以，即，
所以，
故函数的值域为，C符合题意.
故答案为：AC.
【分析】由，求得，可判定A符合题意；化简得到，可判定B不符合题意；化简，根据函数在上为增函数，利用复合函数的单调性的判定方法，可判定D不符合题意；根据，结合对数函数的性质，可判定C符合题意.
11．【答案】A,B,D
【知识点】两角和与差的正弦公式；两角和与差的正切公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】，A符合题意；
，B符合题意；
，C不符合题意；
由，
可得
，D符合题意；
故答案为：ABD
【分析】根据三角函数的基本关系式和余弦的倍角公式，可判定A符合题意；化简得到，结合正切的两角和公式，可判定B符合题意；利用诱导公式和正弦的倍角公式，可判定C不符合题意；化简，进而化简得到，结合诱导公式和两角和的正弦公式可判定D符合题意；
12．【答案】B,C
【知识点】函数与方程的综合运用；函数的零点
【解析】【解答】在坐标系作和的图象如图所示，
则和图象的交点即为函数的零点，
由图象可得，
所以 ，A不符合题意；
，B符合题意；
，C符合题意；
因为，，且，
所以，
所以，D不符合题意；
故答案为：BC
【分析】作出函数和的图象，结合图象得到，可判定A不符合题意；由，可判定B符合题意；化简，可判定C符合题意；由，，且，得到，可判定D不符合题意；
13．【答案】，
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】改量词：由改成；
否结论：对进行否定得；
所以原命题的否定为：，.
故答案为：，.
【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.
14．【答案】-6
【知识点】奇偶性与单调性的综合；指数函数单调性的应用
【解析】【解答】依题意，是定义在上的奇函数，
所以，
即当时，，单调递增，
所以在区间上的最小值为，
所以在区间上的最大值为-6.
故答案为：-6
【分析】根据题意，利用，求得的值，结合函数的单调性，求得函数在区间上的最小值，进而求得函数的最大值.
15．【答案】
【知识点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】 ， 都是锐角， ，
又 ， ， ， ，
则 ．
故答案为： .
【分析】根据同角三角函数基本关系式及两角差的余弦公式即可求出。
16．【答案】
【知识点】函数与方程的综合运用；函数的零点
【解析】【解答】依题意，的开口向下，对称轴为，，
由解得，，
由于有三个零点，
所以，解得（负根舍去）.
故答案为：
【分析】由求得方程的解，再由有三个零点，得到，即可求解.
17．【答案】（1）解：因为方程有两个实根和，
所以，方程有两个实根和，
所以，①，②
因为函数的最小值为，
所以③，
所以，由①②得，代入③解得，
所以，，，
所以，；
（2）解：因为，即为
所以，，即，
所以，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.
【知识点】二次函数的性质；一元二次不等式的解法；一元二次方程的解集及其根与系数的关系
【解析】【分析】（1） 由题意得到方程有两个实根和，得到和，再由函数的最小值为，得到，进而求得的值，得出函数的解析式；
（2） 把不等式转化为，分、和，三种情况讨论，即可求解.
18．【答案】（1）解：∵的定义域为，即解得，
∴函数的定义域，∴；
又∵当时，的解集为，
∴；
（2）解：∵是的充分不必要条件，∴，∴ ，
又∵的解集为，
∴，解得，
∴实数的取值范围.
【知识点】集合的包含关系判断及应用；交、并、补集的混合运算；充分条件；一元二次不等式的解法；其他不等式的解法
【解析】【分析】（1） 根据对数函数的性质，得到不等式，求得函数的定义域，得到；在有绝对值的定义求得集合，结合集合并集的概念与运算，即可求解；
（2）根据题意转化为 ，根据集合，列出不等式组，即可求解.
19．【答案】（1）解：因为且，设，则为减函数，
所以当时，，
要使有意义，则时，恒成立．
所以．所以．
又且，所以且，
所以的取值范围为；
（2）解：由（1）知，且，为减函数，
要使函数在上为增函数，
根据复合函数的单调性可知，，且
则，解得，
所以存在使得函数在上为增函数，并且在此区间的最小值为.
【知识点】对数函数的定义域；对数函数的单调区间；对数函数图象与性质的综合应用
【解析】【分析】（1）设，得到为减函数，根据题意转化为时，恒成立，得到，再结合对数函数的性质，即可求得的取值范围；
（2） 由（1）得到为减函数，根据复合函数的单调性可知，得到，求得的值，进而确定函数的最小值，得到答案.
20．【答案】（1）解：
.
由
解得，
所以函数的单调递减区间为
（2）解：由（1）得，
若，则，
所以当时，
取得最大值为，
所以.
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦函数的单调性；正弦函数的零点与最值
【解析】【分析】（1）化简函数为，结合正弦函数的图象与性质，列出不等式，即可求解；
（2） 由（1），根据题意得到，求得函数取得最大值，进而求得 实数的取值范围.
21．【答案】（1）解：因为，
所以当时，，当时，，
所以函数的值域为.
（2）解：因为，所以，则 ，
所以，得的解集为.
（3）解：当时，方程在内的实根最多，最多有5个.
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；余弦函数的定义域和值域；余弦函数的零点与最值
【解析】【分析】（1） 化简函数为，结合余弦函数和二次函数的性质，求得函数的最值，即可求得函数的值域.
（2）把不等式转化为，得到，即可求解；
（3）根据题意转化为，结合余弦函数的图象与性质，即可求解.
22．【答案】（1）解：函数为偶函数，理由如下：
由题知函数的定义域为，
因为，
所以函数为偶函数.
（2）解：因为，，
所以，当时，，
设，则，
所以，
所以，即，
所以，函数在上单调递增，
因为在正实数且，使得在区间上的值域为，
所以，即方程有两个不相等的正实数根，
所以，方程有两个不相等的正实数根，
令，
所以，方程有两个均大于且不相等的正实数根，
所以，两个均大于且不相等的正实数根，
令，
所以，两个均大于且不相等的零点，
所以，，即，解得，
所以，实数的取值范围是
【知识点】函数奇偶性的判断；奇偶性与单调性的综合；指数函数综合题
【解析】【分析】（1）根据函数奇偶性的定义和指数幂的运算性质，即可求解；
（2） 利用函数单调性的定义和指数函数的性质，求得函数在上单调递增，根据题意得到，转化为有两个不相等的正实数根，令，得到两个均大于且不相等的正实数根，令，进而得到两个均大于且不相等的零点，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解.
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