登录二一教育在线组卷平台 助您教考全无忧
湘豫名校联考2023届高三下学期理数2月入学摸底考试试卷
一、单选题
1．（2023高三下·开学考）已知集合， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】由题意得，集合， ，
故，
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合正弦函数求值域的方法得出集合A，再结合一元二次不等式求解方法得出集合B，再利用交集的运算法则，进而得出集合A和集合B的交集。
2．（2023高三下·开学考）复数的共轭复数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】因为，
所以复数的共轭复数是.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则得出复数z，再结合复数与共轭复数的关系，进而得出复数z的共轭复数。
3．（2023高三下·开学考）2022年秋，某京剧演员因疫情原因无法演出，在短视频平台开设自己的账号，不断直播京剧知识.初始直播时已有50名粉丝，经过x天后，粉丝人数满足关系式：，其中M，k为常数，若开播10天后有200名粉丝，则开播30天后预计该京剧演员在平台上的粉丝数量为（ ）
A．600 B．800 C．3200 D．3400
【答案】C
【知识点】函数模型的选择与应用
【解析】【解答】根据题意，得解得
故.
当时，.
所以开播30天后预计该京剧演员在平台上的粉丝数量为.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合函数建模的方法，再结合代入法得出开播30天后预计该京剧演员在平台上的粉丝数量。
4．（2023高三下·开学考）函数的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】定义域为R，且，
所以为偶函数，排除C；
令，得，排除B；
因为，排除D，A符合要求，.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合偶函数的定义，从而判断出函数为偶函数，再结合偶函数的图象的对称性和特殊点排除法，进而找出合适可能的图象。
5．（2023高三下·开学考）河南一国家级湿地，以其独特的地理环境和良好的生态环境，吸引了全国近三分之一的鸟种在此繁衍生息，成了鸟类自然保护区.天鹅戏水、白鹭觅食，形成了一幅群鸟嬉戏的生态美景.该保护区新建一个椭球形状的观鸟台，椭球的一部分竖直埋于地下，其外观的三视图（单位：米）如下，正视图中椭圆（部分）的长轴长为16米，则该椭球形状观鸟台的最高处到地面的垂直高度为（ ）
A．8米 B．10米 C．12米 D．16米
【答案】C
【知识点】椭圆的应用；由三视图还原实物图
【解析】【解答】如图，以长轴中点为坐标原点，长轴为轴，垂直长轴为轴，建立平面直角坐标系，
设正视图的椭圆（部分）对应的标准方程为，
结合题意及三视图可得：，
所以椭圆（部分）对应的标准方程为，
将点代入，可得.
故该椭球形状观鸟台的最高处到地面的垂直高度为（米）.
故答案为：C.
【分析】以长轴中点为坐标原点，长轴为轴，垂直长轴为轴，建立平面直角坐标系，设正视图的椭圆（部分）对应的标准方程为，结合题意及三视图可得a，b的值，从而得出椭圆（部分）对应的标准方程，再利用已知条件结合代入法，即将点代入，可得的值，从而得出该椭球形状观鸟台的最高处到地面的垂直高度。
6．（2023高三下·开学考）执行如图所示的程序框图，若输入k的值为1，则输出n的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】程序框图的三种基本逻辑结构的应用
【解析】【解答】输入，第一次循环：，，；
第二次循环：，，；
第三次循环：，，；
第四次循环：，结束循环，此时，.所以输出.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构，进而得出输出n的值。
7．（2023高三下·开学考）若一个数列的后项与其相邻的前项的差值构成的数列为等差数列，则称此数列为二阶等差数列.现有二阶等差数列：2，3，5，8，12，17，23，…，设此数列为，若数列满足，则数列的前n项和（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等差数列；等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【解答】由题可知，数列是以为首项，1为公差的等差数列，
所以.
所以.
所以.
所以.
故，
所以数列的前项和.
故答案为：D
【分析】由题结合的等差数列的定义可知，数列是以为首项，1为公差的等差数列，再利用等差数列的通项公式得出数列的通项公式，再结合，从而得出数列的通项公式，字节和裂项相消的方法得出数列的前n项和。
8．（2023高三下·开学考）已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线与双曲线C交于A，B两点（点A在第二象限），且.则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质；余弦定理
【解析】【解答】因为，所以.因为，所以.所以.
根据余弦定理，得，.
所以.故双曲线的离心率为.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合直线的斜率与直线的倾斜角的关系式得出的值，再利用余弦定理和作差法得出a，c的关系式，再结合双曲线离心率公式变形得出双曲线的离心率的值。
9．（2023高三下·开学考）某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，以单次最大续航里程500公里为标准进行测试，且每辆汽车是否达到标准相互独立，设每辆新能源汽车达到标准的概率为p（），当100辆汽车中恰有80辆达到标准时的概率取最大值时，若预测该款新能源汽车的单次最大续航里程为X，且，则预测这款汽车的单次最大续航里程不低于600公里的概率为（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.6 D．0.8
【答案】A
【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值；互斥事件与对立事件；二项分布与n次独立重复试验的模型
【解析】【解答】设100辆汽车中恰有80辆达到标准时的概率为，则，则.当时，，所以在上单调递增；当时，，所以在上单调递减.所以在处取得最大值.所以.
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合二项分布求概率公式和求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最大值，再结合对立事件求概率公式，进而预测出这款汽车的单次最大续航里程不低于600公里的概率。
10．（2023高三下·开学考）在中，若内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的平分线交AC于点D，且，则周长的最小值为（ ）
A．7 B． C． D．4
【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】由题可得，，即，
又，所以，则，
因为，所以，则，
所以，即，
又因为，，
所以，整理得，
所以，
解得或（舍去），
所以，当且仅当时，等号成立，
则，
故周长的最小值为.
故答案为：C.
.
【分析】由题可得，再利用三角形的面积公式和正弦定理，则，再利用三角形中角的取值范围额三角函数的图象求值域的方法，则，所以，再利用余弦定理和均值不等式求最值的方法得出a+c的最小值，再结合三角形的周长公式得出三角形周长的最小值。
11．（2023高三下·开学考）某车间生产一种圆台形零件，其下底面的直径为4，上底面的直径为8，已知为上底面的直径，点P是上底面圆周上一点，且，是该圆台的一条母线，且，则与平面所成的角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面所成的角；任意角三角函数的定义
【解析】【解答】方法一：由题可得，因为，所以，
由题意可得圆台的高，
则，
所以，
因为，所以，
设点到平面的距离为，则，
解得，故与平面所成的角的正弦值为.
故答案为：D.
方法二：如图，设为上底面的圆心，因为，所以，
设为下底面的圆心，所以，
因为，平面，所以平面.
因为，所以平面，所以平面，
又平面，所以平面平面，
因为平面平面，
所以在平面的射影为，则与平面所成的角即为，
过点作于点，因为，，
所以，则，
因为，所以，
故，所以.
故答案为：D.
.
【分析】方法一：由题可得，再利用结合三角形的面积公式得出三角形的值，再利用勾股定理得出圆台的高和CA的长，再结合棱锥的体积公式得出的值，再利用和三角形的面积公式得出的值，设点到平面的距离为，再利用已知条件和三棱锥的体积公式得出d的值，再结合正弦函数的定义得出直线与平面所成的角的正弦值；
方法二：设为上底面的圆心，再利用结合等腰三角形三线合一，所以，设为下底面的圆心，所以，再利用线线垂直证出线面垂直，所以平面，再结合，所以平面，再利用线面垂直证出面面垂直，所以平面平面，再利用平面平面，所以在平面的射影为，则与平面所成的角即为，过点作于点D结合已知条件和正弦函数的定义以及二倍角的余弦公式，进而得出直线 与平面所成的角的正弦值。
12．（2023高三下·开学考）设函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数的值域；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】设，则，，
，
令，得；令，得或，故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.所以，，
设，则.令，得.
在同一平面直角坐标系中作出函数和的图象，如图所示，
联立消去得，
化简得.整理得，解得或或.
若数的值域为，由数形结合易知.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合分段函数的解析式画出分段函数的图象，再结合分段函数的图象求值域的方法，进而得出实数k的取值范围。
二、填空题
13．（2023高三下·开学考）已知，，且，则的最大值是 .
【答案】4
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】因为，，所以由基本不等式得，
所以，得，所以，
当且仅当即，时取等号，所以的最大值是4，
故答案为：4
【分析】利用已知条件结合均值不等式求最值的方法，进而得出xy的最大值。
14．（2023高三下·开学考）在的展开式中的系数为 ．
【答案】15
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】因为，
且的展开式为，
故的系数为．
故答案为：15．
【分析】利用已知条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再结合通项公式得出 的展开式中的系数 。
15．（2023高三下·开学考）已知函数，若，，，则的值为 .
【答案】
【知识点】二倍角的正切公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】根据题意，.
因为，，，所以，
所以，.
所以，，
所以.
故.
故答案为：
【分析】利用已知条件结合辅助角公式化简函数为正弦型函数，再结合恒成立问题求解方法和函数的最值求解方法，进而得出，.再结合诱导公式和同角三角函数基本关系式以及二倍角的正切公式，进而得出 的值。
16．（2023高三下·开学考）已知实数，函数，.若方程在上有且仅有4个实数根，则实数的取值范围是 .
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】方法一：因为，，所以由，得.
所以方程在上有且仅有4个实数根.
因为，所以.
令，则.
令，即，
所以，，
所以的单调递增区间为，，，
令可得：的单调递减区间为，.
因为，所以.因为，，，易知，所以，即.
方法二：由题可得，方程，即在上有且仅有4个实数根.设，，则函数与的图象有且仅有4个交点.
如图为两个恰好不成立的临界位置.
设函数与相切于点，又，，
所以，消去得.
因为，，所以，，
所以，.
由图观察知两种临界位置分别为时，；时，.
此两种情况对应的值分别为，，
所以.
故答案为：
【分析】方法一：利用，，所以由，得，所以方程在上有且仅有4个实数根，再利用，所以，令，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的单调递减区间为，，再利用，所以，再结合特殊值代入法和函数的解析式，进而比较出的大小，从而得出实数a的取值范围。
方法二：由题可得方程，即在上有且仅有4个实数根，设，，则函数与的图象有且仅有4个交点，设函数与相切于点，再利用，，所以，再结合，，所以，，所以，，由图观察知两种临界位置分别为时，；时，，进而得出此两种情况对应的值，从而得出实数a的取值范围。
三、解答题
17．（2023高三下·开学考）已知数列的前项和为，且满足，，.
（1）证明：数列是等比数列，并求；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）证明：因为，所以，
因为，，所以，，，
所以数列是首项为3，公比为2的等比数列，
即，，经检验 也成立，整理可得，，
由于 ，…， ；
（2）解：由（1）知， ，又，
， ，
当时，…①，
…②，
-②得：，
，
又 时，也满足上式，所以，；
综上，，，.
【知识点】等比数列；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合 ，所以，再利用，，所以，，，再结合等比数列的定义判断出数列是首项为3，公比为2的等比数列，再利用等比数列的通项公式和检验法得出，，进而得出数列的前项和。
（2） 利用数列的通项公式结合，进而得出的通项公式，再结合错位相减的方法得出数列的前项和。
18．（2023高三下·开学考）抖音（TikTok）是由今日头条推出的一款短视频分享APP，于2016年9月上线，是一个专注于年轻人音乐短视频创作分享的社区平台.抖音的出现是一把双刃剑，可以鼓励人们表达、沟通和记录，让每一个人看见并连接更大的世界，但同时也出现部分网民长时间沉迷刷抖音的现象，长时间刷抖音会影响用眼健康.为了解网民刷抖音的情况，某研究小组从抖音用户中随机抽取100人，对其平均每天刷抖普的时长进行统计，得到统计表如下：
平均每天刷抖音的时长 不大于1小时 大于1小时且小于3小时 不少于3小时
人数（男） 20 25 6
人数（女） 20 15 14
该研究小组按照用户平均每天刷抖音时长将沉迷刷抖音程度分为重度、中度、轻度、若某人平均每天刷抖音的时长不少于3小时则称为“重度沉迷”；平均每天刷抖音的时长大于1小时且小于3小时，叫称为“中度沉迷”；平均每天刷抖音的时长不大于1小时，则称为“轻度沉迷”.
附：，其中.
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
（1）根据调查数据，填写下面列联表，并根据数据判断是否有95%的把握认为性别与是否为“重度沉迷”刷抖音有关系？
非“重度沉迷” “重度沉迷” 合计
人数（男）
人数（女）
合计
（2）该研究小组为鼓励用户适度刷抖音，从这100名研究对象中按分层抽样的方式随机抽取20位，分别给与“重度沉迷”“中度沉迷”和“轻度沉迷”的抖音用户50元、100元、150元的购书券奖励.现从这20位抖音用户中随机抽取两人，求这两人所获得购书券总和X的分布列和期望.
【答案】（1）解：由图表可知，非“重度沉迷”的抖音用户男性有：（人），“重度沉迷”的抖音用户男性有：6人；
非“重度沉迷”的抖音用户女性有：（人），“重度沉迷”的抖音用户女性有：14人
填写列联表如下：
非“重度沉迷” “重度沉迷” 合计
人数（男） 45 6 51
人数（女） 35 14 49
合计 80 20 100
根据列联表中的数据计算可得，
因此有95%的把握认为性别与是否为“重度沉迷”刷抖音有关系.
（2）解：由表可知：“重度沉迷”的抖音用户有（人），“中度沉迷”的抖音用户有（人），“轻度沉迷”的抖音用户有（人）.
抽取的“重度沉迷”“中度沉迷”与“轻度沉迷”的抖音用户分别有（人），（人），（人），
X的所有可能取值为100，150，200，250，300，
则；；；；.
所以X的分布列为：
X 100 150 200 250 300
P
故购书券总和的数学期望为
.
【知识点】分层抽样方法；独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）利用已知条件填写出列联表，再结合列联表和独立性检验的方法判断出有95%的把握认为性别与是否为“重度沉迷”刷抖音有关系。
（2）利用已知条件结合分层抽样的方法得出 “重度沉迷”的抖音用户、“中度沉迷”的抖音用户和“轻度沉迷”的抖音用户的人数，从而得出随机变量X的可能的取值，再利用组合数公式和古典概型求概率公式得出随机变量X的分布列，再结合随机变量的分布列求数学期望公式，进而得出随机变量X的数学期望。
19．（2023高三下·开学考）如图，四边形是菱形，，平面，，，设，连接，交于点，连接，.
（1）试问是否存在实数，使得平面 若存在，请求出的值，并写出求解过程；若不存在，请说明理由.
（2）当时，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
【答案】（1）解：存在，且，理由如下：
因为四边形为菱形，所以，与互相垂直且平分，
因为，所以，所以三角形是等边三角形.
因为平面，平面，平面，
所以，，
因为，平面，平面，
所以平面.
又平面，所以.
过点作于点，易得四边形为矩形，
设，则，，
因为，所以，所以，
，.
欲使平面，只需，
即，所以，解得.
所以存在实数，使得平面，且.
（2）解：如图，以为原点，边上的垂直平分线所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，，，，
所以，，.
设平面的法向量为，
则，所以，
解得，令，则平面的一个法向量为.
设平面的法向量为，则，所以，
解得，令，则平面的一个法向量为.
设锐二面角的平面角为，则.
故平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；直线与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1） 存在，且，理由如下：利用四边形为菱形，所以，与互相垂直且平分，再利用，所以，所以三角形是等边三角形，再结合平面结合线面垂直的定义证出线线垂直，所以，，再利用线线垂直证出线面垂直，所以平面，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以，过点作于点，易得四边形为矩形，设，则，，再利用，所以，再结合勾股定理得出的值， 从而得出存在实数，使得平面，且。
（2） 以为原点，边上的垂直平分线所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，设，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用平面的法向量求解方法得出平面的法向量和平面的法向量，再结合数量积求向量夹角公式得出平面与平面所成的锐二面角的余弦值。
20．（2023高三下·开学考）已知抛物线与椭圆存在相同的焦点，第一象限内曲线上的一点到其焦点的距离为2，直线与相交于两点（不与点重合），直线，关于直线对称.
（1）求证：直线的斜率为定值；
（2）若椭圆上存在不同的两点关于直线对称，求原点到直线距离的取值范围.
【答案】（1）证明：因为椭圆，所以椭圆的焦点坐标分别为，，
又抛物线与椭圆存在相同的焦点，所以，，
故抛物线的方程为，
因为第一象限内曲线上的一点到其焦点的距离为2，曲线的准线为，
所以根据抛物线的定义得，所以，则，故（负值舍去），则，
因为直线，关于直线，即对称，所以两直线的斜率之和为0，
设直线，的方程分别为和（，且存在），
联立方程，消去，得，
则由，解得，
设，，则，，
所以代入，得点的坐标为，
同理可得点的坐标为，
所以，即直线的斜率为定值.
（2）解：方法一：
依题意，设椭圆上关于直线对称的两点为，，的中点为，直线的方程为，即，直线的方程为.
联立方程，消去，得，
则由，解得，且，
故，，
代入，可得，
所以，所以，
因为原点到直线的距离为，
又，所以，故，即，
所以原点到直线的距离的取值范围是.
方法二：
依题意，设椭圆上关于直线对称的两点为，，的中点为，
因为，，所以，
又，，
两式相减，得，
所以，即①，
设直线的方程为，则②，
由①②可得，，，
又因为点在椭圆内，所以，所以，
所以原点到直线的距离，
所以原点到直线的距离的取值范围为.
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用椭圆得出椭圆的焦点坐标，再利用抛物线与椭圆存在相同的焦点，从而得出p的值，从而得出抛物线的标准方程，再利用第一象限内曲线上的一点到其焦点的距离为2，再结合抛物线的定义得出曲线的准线方程，根据抛物线的定义得出t的值，进而得出s的值，从而得出点M的坐标，再利用直线，关于直线，即对称，所以两直线的斜率之和为0，设直线，的方程分别为和（，且存在），设，，再利用直线与抛物线相交，联立二者方程结合判别式法得出，再利用代入法得出点A的坐标，同理可得点的坐标，再利用两点求斜率公式得出直线的斜率为定值。
（2） 方法一：依题意，设椭圆上关于直线对称的两点为，，的中点为，直线的方程为，直线的方程为，再利用直线与椭圆相交，联立二者方程结合判别式法和韦达定理得出且，再利用中点坐标公式和代入法得出，所以，进而得出实数m的取值范围，再利用点到直线的距离公式得出原点到直线的距离为，再利用得出的取值范围，从而得出原点到直线的距离的取值范围；
方法二：依题意，设椭圆上关于直线对称的两点为，，的中点为，利用，，所以，再利用椭圆的标准方程和代入法以及作差法得出，，再利用点在椭圆内，所以，进而得出，再利用点到直线的距离公式得出原点到直线的距离的取值范围。
21．（2023高三下·开学考）已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：因为，所以.
所以曲线在点处的切线的斜率为.
又，故曲线在点处的切线方程是，即.
（2）解：，
函数有两个零点等价于方程有两个不相同的实数根.
因为不是该方程的实数根，所以
令（且），
则直线与函数的图象有两个不同的交点.
因为.令，得或.
当时，；当时，；当时，，
所以在，上单调递增，在，上单调递减.
又当时，，所以，又，
，，，
，当时，，，，
由此画出的大致图象如图所示，
所以由图可得，当或时，
直线与函数的图象有两个不同的交点，即函数有两个零点.
故实数的取值范围为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合导数的几何意义得出曲线在切点处的切线的斜率，再结合代入法得出切点的坐标，再利用点斜式得出曲线在切点处的切线方程。
（2）利用 和函数的零点与方程的根的等价关系，所以函数有两个零点等价于方程有两个不相同的实数根，再利用不是该方程的实数根，所以，令（且），再利用函数的零点与两函数交点的横坐标的等价关系，则直线与函数的图象有两个不同的交点，再利用求导的方法判断函数的单调性和函数求极限的方法，进而得出画出的大致图象，所以由图可得实数a的取值范围，进而得出直线与函数的图象有两个不同的交点，即函数有两个零点， 从而得出实数的取值范围。
22．（2023高三下·开学考）在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（2）若射线（其中，且，）与曲线在轴上方交于点，与直线交于点，求.
【答案】（1）解：由，得，即.
故直线的普通方程是.
由，得，
代入公式，得.
所以，即.
故曲线的直角坐标方程是.
（2）解：方法一：由（其中，且，），得，.
现将射线代入曲线的极坐标方程，可得，
所以.
又直线的极坐标方程为，
现将代入直线的极坐标方程，可得，
所以，
所以.
方法二：由题可得射线（其中，且，）的直角坐标方程为.
联立，解得，则点.
联立解得，则点.
所以.
【知识点】参数方程化成普通方程
【解析】【分析】（1） 利用已知条件结合极坐标与直角坐标的互化公式和参数方程与直角方程的转化方法，进而得出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程。
（2） 方法一：由（其中，且，），再利用三角函数的定义得出得，，现将射线代入曲线的极坐标方程，可得的值，再利用直线的极坐标方程为，现将代入直线的极坐标方程，可得的值，再利用两点距离公式得出的值。
方法二：由题可得射线（其中，且，）的直角坐标方程为，再利用直线与椭圆相交，联立二者方程得出交点M的坐标，再联立两直线方程得出交点N的坐标，再利用两点求距离公式得出的值。
23．（2023高三下·开学考）已知，，且.
（1）证明：；
（2）若，，求的最小值.
【答案】（1）证明：由已知可得，
当且仅当时，等号成立.
（2）解：因为，，，所以，且，
当时，
，当且仅当，且，即时，等号成立，
此时的最小值为，
当时，
，当且仅当，且，即时，等号成立，
此时的最小值为，
综上所述：此时的最小值为，
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合均值不等式求最值的方法得证出不等式成立。
（2）利用已知条件结合分类讨论的方法和均值不等式求最值的方法得出 的最小值 。
二一教育在线组卷平台（zujuan.21cnjy.com）自动生成 1 / 1登录二一教育在线组卷平台 助您教考全无忧
湘豫名校联考2023届高三下学期理数2月入学摸底考试试卷
一、单选题
1．（2023高三下·开学考）已知集合， ，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023高三下·开学考）复数的共轭复数是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023高三下·开学考）2022年秋，某京剧演员因疫情原因无法演出，在短视频平台开设自己的账号，不断直播京剧知识.初始直播时已有50名粉丝，经过x天后，粉丝人数满足关系式：，其中M，k为常数，若开播10天后有200名粉丝，则开播30天后预计该京剧演员在平台上的粉丝数量为（ ）
A．600 B．800 C．3200 D．3400
4．（2023高三下·开学考）函数的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023高三下·开学考）河南一国家级湿地，以其独特的地理环境和良好的生态环境，吸引了全国近三分之一的鸟种在此繁衍生息，成了鸟类自然保护区.天鹅戏水、白鹭觅食，形成了一幅群鸟嬉戏的生态美景.该保护区新建一个椭球形状的观鸟台，椭球的一部分竖直埋于地下，其外观的三视图（单位：米）如下，正视图中椭圆（部分）的长轴长为16米，则该椭球形状观鸟台的最高处到地面的垂直高度为（ ）
A．8米 B．10米 C．12米 D．16米
6．（2023高三下·开学考）执行如图所示的程序框图，若输入k的值为1，则输出n的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．（2023高三下·开学考）若一个数列的后项与其相邻的前项的差值构成的数列为等差数列，则称此数列为二阶等差数列.现有二阶等差数列：2，3，5，8，12，17，23，…，设此数列为，若数列满足，则数列的前n项和（ ）
A． B． C． D．
8．（2023高三下·开学考）已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线与双曲线C交于A，B两点（点A在第二象限），且.则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023高三下·开学考）某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，以单次最大续航里程500公里为标准进行测试，且每辆汽车是否达到标准相互独立，设每辆新能源汽车达到标准的概率为p（），当100辆汽车中恰有80辆达到标准时的概率取最大值时，若预测该款新能源汽车的单次最大续航里程为X，且，则预测这款汽车的单次最大续航里程不低于600公里的概率为（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.6 D．0.8
10．（2023高三下·开学考）在中，若内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的平分线交AC于点D，且，则周长的最小值为（ ）
A．7 B． C． D．4
11．（2023高三下·开学考）某车间生产一种圆台形零件，其下底面的直径为4，上底面的直径为8，已知为上底面的直径，点P是上底面圆周上一点，且，是该圆台的一条母线，且，则与平面所成的角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
12．（2023高三下·开学考）设函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2023高三下·开学考）已知，，且，则的最大值是 .
14．（2023高三下·开学考）在的展开式中的系数为 ．
15．（2023高三下·开学考）已知函数，若，，，则的值为 .
16．（2023高三下·开学考）已知实数，函数，.若方程在上有且仅有4个实数根，则实数的取值范围是 .
三、解答题
17．（2023高三下·开学考）已知数列的前项和为，且满足，，.
（1）证明：数列是等比数列，并求；
（2）设，求数列的前项和.
18．（2023高三下·开学考）抖音（TikTok）是由今日头条推出的一款短视频分享APP，于2016年9月上线，是一个专注于年轻人音乐短视频创作分享的社区平台.抖音的出现是一把双刃剑，可以鼓励人们表达、沟通和记录，让每一个人看见并连接更大的世界，但同时也出现部分网民长时间沉迷刷抖音的现象，长时间刷抖音会影响用眼健康.为了解网民刷抖音的情况，某研究小组从抖音用户中随机抽取100人，对其平均每天刷抖普的时长进行统计，得到统计表如下：
平均每天刷抖音的时长 不大于1小时 大于1小时且小于3小时 不少于3小时
人数（男） 20 25 6
人数（女） 20 15 14
该研究小组按照用户平均每天刷抖音时长将沉迷刷抖音程度分为重度、中度、轻度、若某人平均每天刷抖音的时长不少于3小时则称为“重度沉迷”；平均每天刷抖音的时长大于1小时且小于3小时，叫称为“中度沉迷”；平均每天刷抖音的时长不大于1小时，则称为“轻度沉迷”.
附：，其中.
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
（1）根据调查数据，填写下面列联表，并根据数据判断是否有95%的把握认为性别与是否为“重度沉迷”刷抖音有关系？
非“重度沉迷” “重度沉迷” 合计
人数（男）
人数（女）
合计
（2）该研究小组为鼓励用户适度刷抖音，从这100名研究对象中按分层抽样的方式随机抽取20位，分别给与“重度沉迷”“中度沉迷”和“轻度沉迷”的抖音用户50元、100元、150元的购书券奖励.现从这20位抖音用户中随机抽取两人，求这两人所获得购书券总和X的分布列和期望.
19．（2023高三下·开学考）如图，四边形是菱形，，平面，，，设，连接，交于点，连接，.
（1）试问是否存在实数，使得平面 若存在，请求出的值，并写出求解过程；若不存在，请说明理由.
（2）当时，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
20．（2023高三下·开学考）已知抛物线与椭圆存在相同的焦点，第一象限内曲线上的一点到其焦点的距离为2，直线与相交于两点（不与点重合），直线，关于直线对称.
（1）求证：直线的斜率为定值；
（2）若椭圆上存在不同的两点关于直线对称，求原点到直线距离的取值范围.
21．（2023高三下·开学考）已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围.
22．（2023高三下·开学考）在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（2）若射线（其中，且，）与曲线在轴上方交于点，与直线交于点，求.
23．（2023高三下·开学考）已知，，且.
（1）证明：；
（2）若，，求的最小值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】由题意得，集合， ，
故，
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合正弦函数求值域的方法得出集合A，再结合一元二次不等式求解方法得出集合B，再利用交集的运算法则，进而得出集合A和集合B的交集。
2．【答案】A
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】因为，
所以复数的共轭复数是.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则得出复数z，再结合复数与共轭复数的关系，进而得出复数z的共轭复数。
3．【答案】C
【知识点】函数模型的选择与应用
【解析】【解答】根据题意，得解得
故.
当时，.
所以开播30天后预计该京剧演员在平台上的粉丝数量为.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合函数建模的方法，再结合代入法得出开播30天后预计该京剧演员在平台上的粉丝数量。
4．【答案】A
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】定义域为R，且，
所以为偶函数，排除C；
令，得，排除B；
因为，排除D，A符合要求，.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合偶函数的定义，从而判断出函数为偶函数，再结合偶函数的图象的对称性和特殊点排除法，进而找出合适可能的图象。
5．【答案】C
【知识点】椭圆的应用；由三视图还原实物图
【解析】【解答】如图，以长轴中点为坐标原点，长轴为轴，垂直长轴为轴，建立平面直角坐标系，
设正视图的椭圆（部分）对应的标准方程为，
结合题意及三视图可得：，
所以椭圆（部分）对应的标准方程为，
将点代入，可得.
故该椭球形状观鸟台的最高处到地面的垂直高度为（米）.
故答案为：C.
【分析】以长轴中点为坐标原点，长轴为轴，垂直长轴为轴，建立平面直角坐标系，设正视图的椭圆（部分）对应的标准方程为，结合题意及三视图可得a，b的值，从而得出椭圆（部分）对应的标准方程，再利用已知条件结合代入法，即将点代入，可得的值，从而得出该椭球形状观鸟台的最高处到地面的垂直高度。
6．【答案】B
【知识点】程序框图的三种基本逻辑结构的应用
【解析】【解答】输入，第一次循环：，，；
第二次循环：，，；
第三次循环：，，；
第四次循环：，结束循环，此时，.所以输出.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构，进而得出输出n的值。
7．【答案】D
【知识点】等差数列；等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【解答】由题可知，数列是以为首项，1为公差的等差数列，
所以.
所以.
所以.
所以.
故，
所以数列的前项和.
故答案为：D
【分析】由题结合的等差数列的定义可知，数列是以为首项，1为公差的等差数列，再利用等差数列的通项公式得出数列的通项公式，再结合，从而得出数列的通项公式，字节和裂项相消的方法得出数列的前n项和。
8．【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质；余弦定理
【解析】【解答】因为，所以.因为，所以.所以.
根据余弦定理，得，.
所以.故双曲线的离心率为.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合直线的斜率与直线的倾斜角的关系式得出的值，再利用余弦定理和作差法得出a，c的关系式，再结合双曲线离心率公式变形得出双曲线的离心率的值。
9．【答案】A
【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值；互斥事件与对立事件；二项分布与n次独立重复试验的模型
【解析】【解答】设100辆汽车中恰有80辆达到标准时的概率为，则，则.当时，，所以在上单调递增；当时，，所以在上单调递减.所以在处取得最大值.所以.
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合二项分布求概率公式和求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最大值，再结合对立事件求概率公式，进而预测出这款汽车的单次最大续航里程不低于600公里的概率。
10．【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】由题可得，，即，
又，所以，则，
因为，所以，则，
所以，即，
又因为，，
所以，整理得，
所以，
解得或（舍去），
所以，当且仅当时，等号成立，
则，
故周长的最小值为.
故答案为：C.
.
【分析】由题可得，再利用三角形的面积公式和正弦定理，则，再利用三角形中角的取值范围额三角函数的图象求值域的方法，则，所以，再利用余弦定理和均值不等式求最值的方法得出a+c的最小值，再结合三角形的周长公式得出三角形周长的最小值。
11．【答案】D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面所成的角；任意角三角函数的定义
【解析】【解答】方法一：由题可得，因为，所以，
由题意可得圆台的高，
则，
所以，
因为，所以，
设点到平面的距离为，则，
解得，故与平面所成的角的正弦值为.
故答案为：D.
方法二：如图，设为上底面的圆心，因为，所以，
设为下底面的圆心，所以，
因为，平面，所以平面.
因为，所以平面，所以平面，
又平面，所以平面平面，
因为平面平面，
所以在平面的射影为，则与平面所成的角即为，
过点作于点，因为，，
所以，则，
因为，所以，
故，所以.
故答案为：D.
.
【分析】方法一：由题可得，再利用结合三角形的面积公式得出三角形的值，再利用勾股定理得出圆台的高和CA的长，再结合棱锥的体积公式得出的值，再利用和三角形的面积公式得出的值，设点到平面的距离为，再利用已知条件和三棱锥的体积公式得出d的值，再结合正弦函数的定义得出直线与平面所成的角的正弦值；
方法二：设为上底面的圆心，再利用结合等腰三角形三线合一，所以，设为下底面的圆心，所以，再利用线线垂直证出线面垂直，所以平面，再结合，所以平面，再利用线面垂直证出面面垂直，所以平面平面，再利用平面平面，所以在平面的射影为，则与平面所成的角即为，过点作于点D结合已知条件和正弦函数的定义以及二倍角的余弦公式，进而得出直线 与平面所成的角的正弦值。
12．【答案】C
【知识点】函数的值域；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】设，则，，
，
令，得；令，得或，故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.所以，，
设，则.令，得.
在同一平面直角坐标系中作出函数和的图象，如图所示，
联立消去得，
化简得.整理得，解得或或.
若数的值域为，由数形结合易知.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合分段函数的解析式画出分段函数的图象，再结合分段函数的图象求值域的方法，进而得出实数k的取值范围。
13．【答案】4
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】因为，，所以由基本不等式得，
所以，得，所以，
当且仅当即，时取等号，所以的最大值是4，
故答案为：4
【分析】利用已知条件结合均值不等式求最值的方法，进而得出xy的最大值。
14．【答案】15
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】因为，
且的展开式为，
故的系数为．
故答案为：15．
【分析】利用已知条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再结合通项公式得出 的展开式中的系数 。
15．【答案】
【知识点】二倍角的正切公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】根据题意，.
因为，，，所以，
所以，.
所以，，
所以.
故.
故答案为：
【分析】利用已知条件结合辅助角公式化简函数为正弦型函数，再结合恒成立问题求解方法和函数的最值求解方法，进而得出，.再结合诱导公式和同角三角函数基本关系式以及二倍角的正切公式，进而得出 的值。
16．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】方法一：因为，，所以由，得.
所以方程在上有且仅有4个实数根.
因为，所以.
令，则.
令，即，
所以，，
所以的单调递增区间为，，，
令可得：的单调递减区间为，.
因为，所以.因为，，，易知，所以，即.
方法二：由题可得，方程，即在上有且仅有4个实数根.设，，则函数与的图象有且仅有4个交点.
如图为两个恰好不成立的临界位置.
设函数与相切于点，又，，
所以，消去得.
因为，，所以，，
所以，.
由图观察知两种临界位置分别为时，；时，.
此两种情况对应的值分别为，，
所以.
故答案为：
【分析】方法一：利用，，所以由，得，所以方程在上有且仅有4个实数根，再利用，所以，令，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的单调递减区间为，，再利用，所以，再结合特殊值代入法和函数的解析式，进而比较出的大小，从而得出实数a的取值范围。
方法二：由题可得方程，即在上有且仅有4个实数根，设，，则函数与的图象有且仅有4个交点，设函数与相切于点，再利用，，所以，再结合，，所以，，所以，，由图观察知两种临界位置分别为时，；时，，进而得出此两种情况对应的值，从而得出实数a的取值范围。
17．【答案】（1）证明：因为，所以，
因为，，所以，，，
所以数列是首项为3，公比为2的等比数列，
即，，经检验 也成立，整理可得，，
由于 ，…， ；
（2）解：由（1）知， ，又，
， ，
当时，…①，
…②，
-②得：，
，
又 时，也满足上式，所以，；
综上，，，.
【知识点】等比数列；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合 ，所以，再利用，，所以，，，再结合等比数列的定义判断出数列是首项为3，公比为2的等比数列，再利用等比数列的通项公式和检验法得出，，进而得出数列的前项和。
（2） 利用数列的通项公式结合，进而得出的通项公式，再结合错位相减的方法得出数列的前项和。
18．【答案】（1）解：由图表可知，非“重度沉迷”的抖音用户男性有：（人），“重度沉迷”的抖音用户男性有：6人；
非“重度沉迷”的抖音用户女性有：（人），“重度沉迷”的抖音用户女性有：14人
填写列联表如下：
非“重度沉迷” “重度沉迷” 合计
人数（男） 45 6 51
人数（女） 35 14 49
合计 80 20 100
根据列联表中的数据计算可得，
因此有95%的把握认为性别与是否为“重度沉迷”刷抖音有关系.
（2）解：由表可知：“重度沉迷”的抖音用户有（人），“中度沉迷”的抖音用户有（人），“轻度沉迷”的抖音用户有（人）.
抽取的“重度沉迷”“中度沉迷”与“轻度沉迷”的抖音用户分别有（人），（人），（人），
X的所有可能取值为100，150，200，250，300，
则；；；；.
所以X的分布列为：
X 100 150 200 250 300
P
故购书券总和的数学期望为
.
【知识点】分层抽样方法；独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）利用已知条件填写出列联表，再结合列联表和独立性检验的方法判断出有95%的把握认为性别与是否为“重度沉迷”刷抖音有关系。
（2）利用已知条件结合分层抽样的方法得出 “重度沉迷”的抖音用户、“中度沉迷”的抖音用户和“轻度沉迷”的抖音用户的人数，从而得出随机变量X的可能的取值，再利用组合数公式和古典概型求概率公式得出随机变量X的分布列，再结合随机变量的分布列求数学期望公式，进而得出随机变量X的数学期望。
19．【答案】（1）解：存在，且，理由如下：
因为四边形为菱形，所以，与互相垂直且平分，
因为，所以，所以三角形是等边三角形.
因为平面，平面，平面，
所以，，
因为，平面，平面，
所以平面.
又平面，所以.
过点作于点，易得四边形为矩形，
设，则，，
因为，所以，所以，
，.
欲使平面，只需，
即，所以，解得.
所以存在实数，使得平面，且.
（2）解：如图，以为原点，边上的垂直平分线所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，，，，
所以，，.
设平面的法向量为，
则，所以，
解得，令，则平面的一个法向量为.
设平面的法向量为，则，所以，
解得，令，则平面的一个法向量为.
设锐二面角的平面角为，则.
故平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；直线与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1） 存在，且，理由如下：利用四边形为菱形，所以，与互相垂直且平分，再利用，所以，所以三角形是等边三角形，再结合平面结合线面垂直的定义证出线线垂直，所以，，再利用线线垂直证出线面垂直，所以平面，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以，过点作于点，易得四边形为矩形，设，则，，再利用，所以，再结合勾股定理得出的值， 从而得出存在实数，使得平面，且。
（2） 以为原点，边上的垂直平分线所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，设，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用平面的法向量求解方法得出平面的法向量和平面的法向量，再结合数量积求向量夹角公式得出平面与平面所成的锐二面角的余弦值。
20．【答案】（1）证明：因为椭圆，所以椭圆的焦点坐标分别为，，
又抛物线与椭圆存在相同的焦点，所以，，
故抛物线的方程为，
因为第一象限内曲线上的一点到其焦点的距离为2，曲线的准线为，
所以根据抛物线的定义得，所以，则，故（负值舍去），则，
因为直线，关于直线，即对称，所以两直线的斜率之和为0，
设直线，的方程分别为和（，且存在），
联立方程，消去，得，
则由，解得，
设，，则，，
所以代入，得点的坐标为，
同理可得点的坐标为，
所以，即直线的斜率为定值.
（2）解：方法一：
依题意，设椭圆上关于直线对称的两点为，，的中点为，直线的方程为，即，直线的方程为.
联立方程，消去，得，
则由，解得，且，
故，，
代入，可得，
所以，所以，
因为原点到直线的距离为，
又，所以，故，即，
所以原点到直线的距离的取值范围是.
方法二：
依题意，设椭圆上关于直线对称的两点为，，的中点为，
因为，，所以，
又，，
两式相减，得，
所以，即①，
设直线的方程为，则②，
由①②可得，，，
又因为点在椭圆内，所以，所以，
所以原点到直线的距离，
所以原点到直线的距离的取值范围为.
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用椭圆得出椭圆的焦点坐标，再利用抛物线与椭圆存在相同的焦点，从而得出p的值，从而得出抛物线的标准方程，再利用第一象限内曲线上的一点到其焦点的距离为2，再结合抛物线的定义得出曲线的准线方程，根据抛物线的定义得出t的值，进而得出s的值，从而得出点M的坐标，再利用直线，关于直线，即对称，所以两直线的斜率之和为0，设直线，的方程分别为和（，且存在），设，，再利用直线与抛物线相交，联立二者方程结合判别式法得出，再利用代入法得出点A的坐标，同理可得点的坐标，再利用两点求斜率公式得出直线的斜率为定值。
（2） 方法一：依题意，设椭圆上关于直线对称的两点为，，的中点为，直线的方程为，直线的方程为，再利用直线与椭圆相交，联立二者方程结合判别式法和韦达定理得出且，再利用中点坐标公式和代入法得出，所以，进而得出实数m的取值范围，再利用点到直线的距离公式得出原点到直线的距离为，再利用得出的取值范围，从而得出原点到直线的距离的取值范围；
方法二：依题意，设椭圆上关于直线对称的两点为，，的中点为，利用，，所以，再利用椭圆的标准方程和代入法以及作差法得出，，再利用点在椭圆内，所以，进而得出，再利用点到直线的距离公式得出原点到直线的距离的取值范围。
21．【答案】（1）解：因为，所以.
所以曲线在点处的切线的斜率为.
又，故曲线在点处的切线方程是，即.
（2）解：，
函数有两个零点等价于方程有两个不相同的实数根.
因为不是该方程的实数根，所以
令（且），
则直线与函数的图象有两个不同的交点.
因为.令，得或.
当时，；当时，；当时，，
所以在，上单调递增，在，上单调递减.
又当时，，所以，又，
，，，
，当时，，，，
由此画出的大致图象如图所示，
所以由图可得，当或时，
直线与函数的图象有两个不同的交点，即函数有两个零点.
故实数的取值范围为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合导数的几何意义得出曲线在切点处的切线的斜率，再结合代入法得出切点的坐标，再利用点斜式得出曲线在切点处的切线方程。
（2）利用 和函数的零点与方程的根的等价关系，所以函数有两个零点等价于方程有两个不相同的实数根，再利用不是该方程的实数根，所以，令（且），再利用函数的零点与两函数交点的横坐标的等价关系，则直线与函数的图象有两个不同的交点，再利用求导的方法判断函数的单调性和函数求极限的方法，进而得出画出的大致图象，所以由图可得实数a的取值范围，进而得出直线与函数的图象有两个不同的交点，即函数有两个零点， 从而得出实数的取值范围。
22．【答案】（1）解：由，得，即.
故直线的普通方程是.
由，得，
代入公式，得.
所以，即.
故曲线的直角坐标方程是.
（2）解：方法一：由（其中，且，），得，.
现将射线代入曲线的极坐标方程，可得，
所以.
又直线的极坐标方程为，
现将代入直线的极坐标方程，可得，
所以，
所以.
方法二：由题可得射线（其中，且，）的直角坐标方程为.
联立，解得，则点.
联立解得，则点.
所以.
【知识点】参数方程化成普通方程
【解析】【分析】（1） 利用已知条件结合极坐标与直角坐标的互化公式和参数方程与直角方程的转化方法，进而得出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程。
（2） 方法一：由（其中，且，），再利用三角函数的定义得出得，，现将射线代入曲线的极坐标方程，可得的值，再利用直线的极坐标方程为，现将代入直线的极坐标方程，可得的值，再利用两点距离公式得出的值。
方法二：由题可得射线（其中，且，）的直角坐标方程为，再利用直线与椭圆相交，联立二者方程得出交点M的坐标，再联立两直线方程得出交点N的坐标，再利用两点求距离公式得出的值。
23．【答案】（1）证明：由已知可得，
当且仅当时，等号成立.
（2）解：因为，，，所以，且，
当时，
，当且仅当，且，即时，等号成立，
此时的最小值为，
当时，
，当且仅当，且，即时，等号成立，
此时的最小值为，
综上所述：此时的最小值为，
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合均值不等式求最值的方法得证出不等式成立。
（2）利用已知条件结合分类讨论的方法和均值不等式求最值的方法得出 的最小值 。
二一教育在线组卷平台（zujuan.21cnjy.com）自动生成 1 / 1
