2022-2023学年广东省中山市八校联考九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

2022-2023学年广东省中山市八校联考九年级（下）月考数学试卷（3月份）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在，，，这四个数中，最大的数是( )
A. B. C. D.
2. 据测算，世博会召开时，上海使用清洁能源可减少二氧化碳排放约万吨，将万吨用科学记数法表示为( )
A. 吨 B. 吨 C. 吨 D. 吨
3. 在学校开展的劳动实践活动中，生物兴趣小组个同学采摘到西红柿的质量单位：分别是：，，，，，，，则这组数据的众数和中位数分别是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
4. 下列运用等式的性质，变形正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
5. 若和互为相反数，则的值为( )
A. B. C. D.
6. 若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7. 某文化旅游节期间，几名同学包租一辆面包车前去游览，面包车的租金为元，出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少分摊了元车费，设实际参加游览的同学共人，则所列方程为( )
A. B. C. D.
8. 在正方形网格中，以格点为圆心画圆，使该圆经过格点，，并在点，的右侧圆弧上取一点，连接，，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
9. 如图所示，在中，，根据尺规作图的痕迹，可以判断以下结论错误的是( )
A.
B.
C.
D.
10. 如图，在正方形中，，是边上的一点，：：将沿对折至，连接，则的长是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 计算： ．
12. 分解因式：______．
13. 若，则的值为______．
14. 如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，已知点的纵坐标为，点的纵坐标为，点的坐标为，则点的坐标是 ．
15. 如图，在中，，，，直线垂直平分，点为直线上的动点，则的最小值是______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共63.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 本小题分
解不等式组：．
17. 本小题分
先化简，再求值：，其中．
18. 本小题分
如图，在中，，、是边上的点，且求证：．
19. 本小题分
某校团委为了解学生关注“年北京冬奥会”情况，以随机抽样的方式对学生进行问卷调查，学生只选择一个运动项目作为最关注项目，把调查结果分为“滑雪”“滑冰”“冰球”“冰壶”“其他”五类，绘制成统计图和图．
本次抽样调查的学生人数共 人；
将图补充完整；
在这次抽样的学生中，从甲，乙，丙，丁四名学生里随机抽取名进行“爱我北京冬奥”主题演讲请用画树状图法或列表法求出抽中两名学生分别是甲和乙的概率．
20. 本小题分
如图，在菱形中，，，延长到点，使，延长到点，使，连接、、、。
求证：四边形是矩形；
求四边形的周长。
21. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点．点，点的纵坐标为．
求反比例函数与一次函数的表达式；
求的面积．
22. 本小题分
如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，点为轴上方抛物线上的动点，点为轴上的动点，连接，，．
求该抛物线所对应的函数解析式；
如图，当点的坐标为，求出此时面积的最大值；
如图，是否存在点，使得是以为腰的等腰直角三角形？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
最大的数是．
故选：．
实数的比较，正数大于零，零大于负数，两个正数，绝对值大的数也较大．
此题主要考查了实数的比较大小，关键是掌握实数比较大小的原则．
2.【答案】
【解析】解：将万吨用科学记数法表示为：吨．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是非负数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
3.【答案】
【解析】解：这组数据中，出现次数最多的是，共出现次，因此众数是，
将这组数据从小到大排列，处在中间位置的一个数是，因此中位数是，
故选：．
根据中位数、众数的定义进行解答即可．
本题考查中位数、众数，理解中位数、众数的定义是解决问题的关键．
4.【答案】
【解析】解：、当时，由不能推出，故本选项不符合题意；
B、若，则，不能推出，故本选项不符合题意；
C、等式两边都乘以，则，不能推出，故本选项不符合题意；
D、等式两边都乘以，则成立，故本选项符合题意．
故选：．
根据等式的性质逐个判断即可．
本题主要考查了等式的性质，注意：等式的性质是：等式的两边都加或减同一个数或式子，等式仍成立；等式的两边都乘以同一个数，等式仍成立；等式的两边都除以同一个不等于的数，等式仍成立．
5.【答案】
【解析】解：和互为相反数，
，
去分母得：，
解得：．
故选：．
根据相反数的意义，列出方程，再解出方程，即可求解．
本题主要考查了解一元一次方程，根据相反数的意义，准确列出方程是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：关于的方程有实数根，
，
解得，
故选：．
根据一元二次方程有实数根，列不等式求解即可．
本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的个数与判别式之间的关系．
7.【答案】
【解析】解：设实际参加游览的同学共人，
根据题意可得：，
故选：．
设实际参加游览的同学共人，则原有的几名同学每人分担的车费为：元，出发时每名同学分担的车费为：，根据每个同学比原来少分摊了元车费即可得到等量关系．
本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是首先弄清楚题意，根据关键描述语，找到合适的等量关系．
8.【答案】
【解析】解：，
．
故选：．
根据圆周角定理得出，进而即可求解．
本题考查了圆周角定理，求特殊角的正弦值，掌握以上知识是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：根据尺规作图的痕迹可知是的角平分线，，
，，，
在和中，
，
≌，
，
是直角三角形，
，
，
，但不一定平分，
不一定等于，
不一定等于，
故选：．
根据尺规作图的痕迹可知是的角平分线，，依据这两个条件逐项判断即可．
本题考查了作图基本作图，熟练掌握角平分线和垂线的尺规作图是解决问题的关键．
10.【答案】
【解析】解：连接交于点，作于点如图：
，：：．
，．
四边形是正方形．
．
根据折叠性质，，．
．
．
．
．
．
．
．
．
．
．
故选：．
连接交于点，作于点，根据已知可求出、的长度，利用面积法求出，再结合折叠性质，找到长度．结合勾股定理建立等式，即可求出最后即可求解．
本题考查了折叠的性质、正方形的性质、勾股定理，面积法求三角形的高等知识．本题关键在于利用勾股定理建立等式，求出边的长度．
11.【答案】
【解析】解：原式，
故答案为：．
根据零指数幂以及负整数指数幂的运算性质进行计算即可．
本题考查零指数幂、负整数指数幂，掌握零指数幂、负整数指数幂的运算性质是正确计算的前提．
12.【答案】
【解析】解：
．
故答案为：．
先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
13.【答案】
【解析】解：两式相加，得
，
两边都除以，得
，
故答案为：．
根据等式的性质，可得答案．
本题考查了二元一次方程组，利用等式的性质是解题关键．
14.【答案】
【解析】解：与是以原点为位似中心的位似图形，点的纵坐标为，点的纵坐标为，
与的相似比为：，
点的坐标为，
点的坐标为，即，
故答案为：
根据题意求出与的相似比，再根据位似变换的性质计算即可．
本题考查的是位似变换的性质，正确求出两个三角形的相似比是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：直线垂直平分，
点与关于直线对称，
设直线与的交点为，
当点与重合时，的值最小，且最小值是的长度，
在中，，，，
，
的最小值是，
故答案为：．
根据直线垂直平分，得到点与关于直线对称，设直线与的交点为，当点与重合时，的值最小，且最小值是的长度，根据直角三角形的性质健康得到结论．
本题主要考查了轴对称最短路线问题，含度角的直角三角形以及线段垂直平分线的性质，解题的关键是找到点所在的位置．
16.【答案】解：由，得：，
由，得：，
则不等式组的解集为．
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
17.【答案】解：
，
当时，原式．
【解析】对第一个分式分解因式，括号内的式子通分，然后将除法转化为乘法，再化简，最后将的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18.【答案】证明：，
，
在和中，
，
≌，
．
【解析】由“”可证≌，可得．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
19.【答案】
【解析】解：本次抽样调查的学生人数有人．
故答案为：．
人．
补全条形统计图如图所示．
画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中抽中两名学生分别是甲和乙的结果有种，
抽中两名学生分别是甲和乙的概率为．
用关注冰球的学生人数除以其所占的百分比可得本次抽样调查的学生人数．
用本次抽样调查的学生人数分别减去关注滑雪、冰球、冰壶、其他的学生人数，可求出关注滑冰的学生人数，补全条形统计图即可．
画树状图得出所有等可能的结果数和抽中两名学生分别是甲和乙的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．
20.【答案】解：，，
四边形是平行四边形，
四边形为菱形，
，
，
四边形是矩形；
在菱形中，，，
是等边三角形，
，
，，
是等边三角形，
，
四边形为矩形，
，，
，
过点作于点，
，
，
四边形的周长为：．
【解析】此题考查了矩形的判定与性质，以及菱形的判定，熟练掌握矩形的判定与性质是解本题的关键．
由对角线互相平分的四边形为平行四边形得出为平行四边形，再由为菱形，得到，进而得到，利用对角线相等的平行四边形为矩形即可得证；
推出为等边三角形，得到，利用矩形对边相等得到，过点作于点，利用锐角三角函数定义求出的长，得到的长，即可求出矩形的周长．
21.【答案】解：将点代入反比例函数中，解得：，
反比例函数的表达式为：；
当时，，
，
，
将点和代入中得：，解得：，
一次函数的表达式为：；
如图，设与轴交于点
一次函数的表达式为，
当时，，即，
，
．
【解析】本题考查了一次函数和反比例函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求一次函数、反比例函数的表达式的应用，三角形的面积，求得的长是解题的关键．
把点的坐标代入，利用待定系数法即可求得反比例函数表达式，进而求出的坐标，把、的坐标代入一次函数的表达式求出即可；
根据可得结论．
22.【答案】解：抛物线与轴交于点、，
，
解得：，
该抛物线所对应的函数解析式为；
如图，过点作轴交直线于点，
设直线的解析式为，
，，
，
解得：，
直线的解析式为，
设，则，
，
，
，，
当时，面积的最大值为；
设，，
，
，，
当，时，如图，过点作轴于点，
则，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，，
，
解得：或，
当时，，，
，即，
点在的负半轴上，
，
；
当时，，，
，即，
点在的负半轴上，
，
；
当，时，如图，过点作轴于点，轴于点，
则，
，
四边形是矩形，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，，，
，
解得：舍去或，
当时，，
，
；
综上所述，点的坐标为或或．
【解析】运用待定系数法即可求得答案；
如图，过点作轴交直线于点，运用待定系数法可得直线的解析式为，设，则，利用三角形面积公式可得，再运用二次函数性质即可求得答案；
设，，分两种情况：当，时，当，时，分别讨论计算即可．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积，等腰直角三角形的性质等，添加辅助线构造全等三角形及运用分类讨论思想是解题关键．
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