数学人教A版（2019）必修第二册8.4.1平面 课件（共31张ppt）

(共31张PPT)
§8.4.1 平面
§8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系
平面的概念
平面的基本性质
典型例题分析
小结及随堂练习
温故知新
表面积 体积
多 面 体 棱柱 =
棱锥 =
棱台 =
旋 转 体 圆柱 =
圆锥 =
圆台 =
球体
课前引语
前面我们初步认识了简单几何体的组成元素，知道了顶点、棱（直线段）、平面多边形是构成棱柱、棱锥等多面体的基本元素。
我们以直观感知的方式认识了这些基本元素之间的相互关系，从而得到了多面体的一些结构特征。
为了进一步认识立体图形的结构特征，需要对点、直线、平面之间 的位置关系进行研究。
本节我们先研究平面及其基本性质，在此基础上，研究空间点、直线、平面之间的位置关系。
平面的概念
01
探究新知
观察教室里的桌面、黑板、底面、海面，它们呈现出怎样的形象？
生活中的一些物体通常呈平面形，课桌面、黑板面、海面都给我们以平面的形象．
你还能从生活中举出类似平面形的物体吗？
学习新知
几何里所说的“平面”（plane）就是从这样的一些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的．
概念
理解
1.它是一个只描述而不定义的抽象概念；
2.平面图形（如圆形、三角形等）不是平面，它们有大小，只是
平面中的一部分，但是我们可以用这些图形来表示平面
平面 直线
平的 直的
无限延展的 无限延展的
无薄厚之分 无粗细之分
3.类比“直线”特征理解记忆
探究新知
平面的画法
直线的画法：画出直线的一部分来表示直线
平面的画法：画出平面的一部分来表示平面
类比生成
“平面的一部分” → 矩形
→ 矩形的直观图
→ 平行四边形
水平平面
直立平面
相交平面
M
N
M
N
平面的表示
探究新知
平面的表示
平面可以用单个希腊字母表示，并将它写在代表平面的平行四边形的一个角内；
使用代表平面的平行四边形的四个顶点来表示平面
使用相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称
A
B
C
D
平面
平面
平面
平面的基本性质
02
再探新知
探究1：①空间中最小的元素是什么？
“点动成线，线动成面”——直线和平面都可以看成点的集合．
②点与直线，平面之间的关系是什么？
A
B
A
B
③怎么表示上述关系呢？
再探新知
探究2：我们知道，两点可以确定一条直线，那么几点可以确定一个平面
过空间中一点可以做几个平面？ 过空间中两点呢？ 三点呢？
过空间中一点或两点可以做无数个平面，过空间中不共线的三点只能做一个，否则（三点共线）有无数个。
结论
学习新知
基本事实1
过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面 。
存在性
唯一性
图形语言
A
C
B
符号语言
不共线的三点确定一个平面
公理作用
确定一个平面的依据
再探新知
探究3：怎么判断直线与平面的位置关系呢？
看直线与平面交点的个数
追问①：如果直线与平面有一个公共点，
直线是否在平面内？
追问②：如果直线 与平面 有两个公共点，
直线 是否在平面 内？
否
是
如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内(即直线在平面内).
结论
学习新知
基本事实2
如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内。
图形语言
符号语言
公理作用
(1)判定直线是否在平面内；
(2)判定点是否在平面内；
(3)判断面是否是平面
A
B
l
理解新知
如图，由基本事实1，给定不共线三点，，，它们可以确定一个平面；
连接，，，由基本事实2，这三条直线都在平面内，进而连接这三条直线上任意两点所得直线也都在平面内，所有这些直线可以编织成一个“直线网”，这个“直线网”可以铺满平面；
组成这个“直线网”的直线的“直”和向各个方向无限延伸，说明了平面的“平”和“无限延展”.
整合新知
利用基本事实1和基础事实2，再结合“两点确定一条直线”，
可以得到下面三个推论：
设点是直线外一点，在直线上任取两点和，
则由基本事实，经过，，三点确定一个平面 a
再由基本事实，直线也在平面内，
因此平面经过直线和点，
即一条直线和这条直线外一点确定一个平面
推论1
经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。
图形语言
推论证明
符号语言
确定平面，使
整合新知
设直线，相交于点，在，上分别取不同于点的点，，
则点，，是不在同一直线上的三点
(否则与，为两条相交直线矛盾).
由基本事实，经过，，三点有一个平面.
再由基本事实，，在平面内
因此平面经过直线和直线，即两条相交直线确定一个平面
推论2
经过两条相交直线，有且只有一个平面。
图形语言
推论证明
符号语言
确定平面，使
整合新知
设直线 // ，由平行线的定义，，在同一平面内.
设为直线上任意一点，
则点 不在直线上，点和直线在过，的平面内
由推论，过点 和直线的平面只有一个
所以过平行直线，的平面只有一个
推论3
经过两条平行直线，有且只有一个平面。
图形语言
推论证明
符号语言
确定平面，使
再探新知
探究4：如图，把三角尺的一个角立在课桌面上，三角尺所在平面与课
桌面所在平面是否只相交于一点 为什么
想象三角尺所在的无限延展的平面，用它去“穿透”课桌面。可以想象，两个平面相交于一条直线。
教室里相邻的墙面在地面的墙角处有一个公共点这两个墙面相交于过这个点的一条直线。
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么这两个平面一定相交，并且它们有且只有一条过该点的公共直线（即两平面的交线）.
结论
学习新知
基本事实3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
图形语言
符号语言
公理意义
基本事实3告诉我们，如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面一定相交于过这个公共点的一条直线。两个平面相交成一条直线的事实，使我们进一步认识了平面的“平”和“无限延展”。
理解新知
推论给我们提供了确定一个平面的另外几种方法.如图，用两根细绳沿桌子四条腿的对角拉直，如果这两根细绳相交，说明桌子四条腿的底端在同一个平面内，否则就不在同一个平面内，其依据就是推论.
典型例题分析
03
应用新知
题型一：文字语言、图形语言、符号语言的相互转化
例1.用符号语言表示下面的语句，并画出图形.
(1)三个平面，，相交于，且平面与平面相交于平面与
平面相交于平面与平面相交于；
(2)平面与相交于直线，直线与，分别相交于点，.
解：①符号语言表示：，，，，
图形表示：如图.
用符号表示：，，，如图.
典例精析
题型二：点、线共面问题
例2.如图所示，已知，，.
求证：直线，，在同一平面内.
解：法一（纳入平面法）：
∵，∴和确定一个平面.
∵，∴.
又∵，∴.
同理可证.又∵，，∴.
∴直线，在同一个平面内.
先确定一个平面，
再证明有关点、线在此平面内
典例精析
题型二：点、线共面问题
例2.如图所示，已知，，.
求证：直线，，在同一平面内.
解：法二(辅助平面法)：
∵，∴，确定一个平面.
∵，∴，确定一个平面.
∵，,∴.∵，,∴.
同理可证.
∴不共线的三个点，，既在平面内，又在平面内.
∴平面和重合，即直线，在同一个平面内.
先证明有关的点、线确定平面，
再证明其余元素确定平面，
最后证明平面，重合.
典例精析
题型三：点共线、线共点问题
例2.如图，在正方体中，设与平面交于点,
求证：三点共线.
证明：如图，连接，，显然平面，平面，
∴平面同理平面.
∴平面平面.
∵平面，∴平面.
又∵平面，∴平面.
∴点在平面与平面的交线上，
即，故三点共线.
1.首先找出两个平面，然后证明这三点但是这两个平面的公共点，根据基本事实可
知，这些点都在两个平面的交线上.
2.选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在此直线上.
证明三点共线的方法
随堂练习
1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画 “√”，错误的画“×”．
①.我们常用平行四边形表示平面，所以平行四边形就是一个平面. （ ）
②.直线与平面有且只有两个公共点. （ ）
③.10个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚一些. （ ）
④.一个平面的面积是. （ ）
⑤.经过空间任意三点能确定一个平面. （ ）
⑥.四条线段首尾相连一定构成一个平面四边形. （ ）
⑦.基本事实2是确定直线在平面内的依据. （ ）
2.若平面与平面相交，点，既在平面内又在平面内，则点，必在
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