山东省青岛市胶州市名校2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题（含答案）

胶州市名校2022-2023学年高一下学期3月月考 数学
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在矩形中，，，则向量的长度等于（ ）
A.4 B. C.3 D.2
2.（ ）
A. B. C. D.
3.若向量与向量的夹角为60°，，，则（ ）
A.12 B.6 C.4 D.2
4.设函数，则下列函数中为偶函数的是（ ）
A. B. C. D.
5.已知，化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
6.已知，则（ ）
A. B. C. D.
7.在中，已知，且，则是（ ）
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形
8.如图，中，，，与交于，设，，，则为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列关于向量的命题正确的是（ ）
A.向量，共线的充要条件是存在实数，使得成立
B.对任意向量，，恒成立
C.非零向量，，，满足，，则
D.在中，为边上一点，且，则
10.若向量，满足，，则（ ）
A. B.与的夹角为
C. D.在上的投影向量为
11.如图，一个半径为4m的筒车按逆时针方向每分钟转2圈，筒车的轴心距离水面的高度为2.5m.设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：m）（在水面下时，为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，与时间（单位：s）之间的关系为，则（ ）
A. B. C. D.
12.关于函数，下列结论正确的是（ ）
A.函数的最大值是2
B.函数在上单调递增
C.函数的图像可以由函数的图像向右平移个单位得到
D.若方程在区间有两个实根，则
三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。
13.设，是不共线向量，与共线，则实数为______.
14.已知为锐角，，则______.
15.某旅游区每年各个月接待游客的人数近似地满足周期性规律，因而一年中的第个月从事旅游服务工作的人数可以近似用函数来表示（其中）.当该旅游区从事旅游服务工作的人数在5500或5500以上时，该旅游区进入了一年中的“旅游旺季”，那么该地区一年中进入“旅游旺季”的月份有______个.
16.在等腰梯形中，已知，，，，点和点分别在线段和上，且，，则______.______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.已知，，与的夹角为.
（1）求；
（2）当为何值时，？
18.如图矩形，，，与交于点.
（1）若，求的值；
（2）设，，试用，表示.
19.已知，.
（1）求和的值；
（2）若，，求的大小.
20.已知，.
（1）当为何值时，与共线？
（2）若，，且，，三点共线，求的值.
21.已知函数的部分图像如图所示.
（1）求函数的解析式，并求出该函数的单调递增区间；
（2）将函数的图像向左平移个单位长度，再把横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图像，求的对称轴和对称中心；
（3）若在上恒成立，求实数的取值范围.
22.如图，在扇形中，，，的平分线交扇形弧于点，点是扇形弧上的一点（不包含端点），过作的垂线交扇形弧于另一点，分别过，作的平行线，交，于点，.
（1）若，求，
（2）求四边形的面积的最大值.
答案
一、单项选择题
1.A 2.C 3.B 4.B 5.B 6.D 7.C 8.A
二、多项选择题
9.CD 10.BC 11.ACD 12.BCD
三、填空题
13. 14.50° 15.5 16.
四、解答题（共70分）
17.【详解】（1）∵，
∴，∴.
（2）由得：
，解得：.
18.【小问1详解】依题意，
又，所以解得.
【小问2详解】因为，，
所以，所以.
19.【详解】（1），
；
（2），
，∵，∴.
20.（1）由已知，，
与共线，则，；
（2）由已知，
，，三点共线，则，共线，而，不共线，
所以，解得.
21.【小问1详解】由图像可知，，且，解得，所以，
因为，所以，
则，因为，所以，所以，
由得
所以函数单调递增区间为.
【小问2详解】由（1）可知，，
将函数的图像向左平移个单位，，
再把所得图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图像，则；对称轴为，，对称中心为，.
【小问3详解】因为，所以，所以，
因为在上恒成立，
所以在上恒成立，所以，
所以实数的取值范围为.
22.【详解】（1）连接，，记，与的交点分别为，，，
故，，
，.
（2）连接，，记，与的交点分别为，，
设，，，
则，，
，
所以四边形的面积
因为，，所以当，即时，.