四川省成都市武侯区2022-2023学年高一下学期4月月考模拟数学试题（含解析）

武侯区2022-2023学年高一下学期4月月考模拟数学试题
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1．（ ）
A． B． C． D．
2．化简等于（ ）
A． B． C． D．
3．若角的终边经过点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知，且为锐角，则（ ）
A． B． C． D．
5．与图中曲线对应的函数可能是（ ）
A． B． C． D．
6．函数f（x）＝cos的单调递增区间为（　　）
A． B． C． D．
7．已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．在上单调递增
B．图象的对称轴方程为，
C．图象的一个对称中心为
D．当函数取得最大值时，，
8．明代科学家徐光启在《农政全书》中用图1描绘了筒车的工作原理.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车的半径为2m，筒车的轴心O到水面的距离为1m，筒车每分钟按逆时针转动2圈.规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，设盛水筒M从运动到点P时所用时间为t（单位：s），且此时点P距离水面的高度为h（单位：m）.若以筒车的轴心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系（如图2），则h与t的函数关系式为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．下列说法正确的是（ ）
A．与是非零向量，则与同向是的必要不充分条件
B．是互不重合的三点，若与共线，则三点在同一条直线上
C．与是非零向量，若与同向，则与反向
D．设为实数，若，则与共线
10．下列说法错误的是（ ）
A．若角，则角为第二象限角
B．如果以零时为起始位置，那么钟表的分针在旋转时所形成的角为负角
C．若角为第一象限角，则角也是第一象限角
D．若一扇形的圆心角为30°，半径为，则扇形面积为
11．已知函数，则（ ）
A．是奇函数 B．的最小正周期为
C．的图象关于点对称 D．在区间上单调递增
12．函数（为正整数，）的最小正周期，将函数的图象向右平移个单位后所得图象关于原点对称，则下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．是函数的一个零点 B．函数的图象关于直线对称
C．方程在上有三个解 D．函数在上单调递减
二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知，则________．
14．已知，则______．
15．给出下列四个结论：①；②；③；④.其中正确结论的序号是________.
16．设函数，若关于的方程有且仅有个不同的实根，则实数的取值范围是______.
三．解答题（本大题共6小题，共70分，应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．在平行四边形中，，，设，．
(1)用，表示； (2)用，表示．
18．已知，.
(1)求的值；(2)求的值.
19．已知函数.
（1）求最小正周期；
（2）求在闭区间上的最大值和最小值.
20．在①函数为偶函数；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．
已知函数的图象与直线的两个相邻交点间的距离为，且______．(1)求函数的解析式； (2)求函数在上的增区间．
注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
21．某小区要在一块扇形区域中修建一个矩形的游泳池．如图，在扇形OPQ中，半径，圆心角，C是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形．记，矩形ABCD的面积为．
(1)将面积S表示为角的函数；(2)当角取何值时，S最大？并求出这个最大值．
22．已知函数．
（1）若将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将向左平移个单位，得到函数图象，求函数的解析式；
（2）设，则是否存在实数，满足对于任意，都存在，使得成立？
答案
1．B
2．C .
3．D∵角的终边经过点，∴，，，∴．
4．C因为，且为锐角，则，所．
5．D对于A选项，当时，，A选项不满足条件；
对于B选项，当时，，，B选项不满足条件；
对于C选项，当时，，C选项不满足条件；
对于D选项，令，该函数的定义域为，
，故函数为偶函数，
当时，，D选项满足条件.
6．C由，解得：
∵x∈[0，π]，∴，∴函数f（x）在[0，π]的单调递增区间为.
7．C法一：设函数的最小正周期为T,由题图可知，，即，
所以，所以，所以．
因为，所以，，
即，，又因为，所以，所以．
令，，得，，
当时，即为，而，但不是的子集，所以函数在上不是单调递增的，故A不正确；
令，，得，，所以函数图象的对称轴方程为，，故B不正确；
令，，得，，令，则，
所以函数图象的一个对称中心为，故C正确；
当，，即，时，函数取得最大值，故D不正确．
8．A，所以对应的角是，由在内转过的角为，
可知以为始边，以为终边的角为，则点的纵坐标为，
所以点距水面的高度表示为的函数是.
9．ABC 与同向，但不一定与相等，，若，则与同向，且有=，与同向是的必要不充分条件，A正确.
与共线，则有=，故一定有三点在同一条直线上，B正确.
与同向，则与反向，C正确.时，与不一定共线，D错误.
10．CD选项A中，，故角为第二象限角，正确；
选项B中，以零时为起始位置，则钟表的分针是顺时针旋转，故所形成的角为负角，正确；
选项C中，角为第一象限角，例如，则不是第一象限角，故错误；
选项D中，扇形的圆心角为30°，即，半径为，故扇形面积为，故错误.
11．BCD对于A：令，
则，故不是奇函数，故A不正确；
对于B：因为，所以的最小正周期为，故B正确；
对于C：当时，，且的零点为其对称中心，所以的图象关于点对称，故C正确；
对于D：令，解得：，
故当时，在区间上单调递增，故D正确；
12．ABD 因为，，所以，解得，
又为正整数，所以，所以，所以函数的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数，
由题意知，函数的图象关于原点对称，故，即，
又，所以，，所以，
对于A，，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，令，因为，所以，
显然在内只有，两个解，即方程在上只有两个解，故C错误；
对于D，当时，，
因为在上单调递减，所以函数在上单调递减，故D正确.
故选：ABD.
13． .
14．
15．①根据正弦函数的性质，可知：在上单调递增
，，①正确；
由诱导公式，可得：，②错误；
根据正切函数的性质，可知：在上单调递增，
，，③错误；
, .即
故答案为：①
16．作出函数的简图如图，
令，要使关于的方程有且仅有个不同的实根，则方程有两个不同的实数根、，且由图知、，
设，则有，解得，
17．（1）解：，且四边形是平行四边形
（2）
18．（1）因为，所以，所以，
所以.
（2）由（1）得，，，
则.
19．（1）
所以的最小正周期.
（2）
20． （1）∵的图象与直线的两个相邻交点间的距离为，
∴，即，∴，∴，
选条件①：
∵为偶函数，∴，即，，
∵，从而，∴；
选条件②：
∵，∴，
∴，或，，∴，或，，
∵，∴，∴；
选条件③：
∵，，∴为的最大值，∴，，即，，∵，∴，∴．
（2）由(1)中知，令，，
得，令，得，从而函数在上的增区间为．
21（1）依题意，在中，，则，
，在中，，则，
因此，
，
所以面积S表示为角的函数是.
（2）由（1）知，当时，，则当，即时，，所以当时，.
22． （1）
将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到，
再向左平移个单位，得到函数
所以函数的解析式为：
（2），即；
又，，即
假设存在实数，满足对任意，都存在，使得成立，
则的值域是值域的子集，即
则，此方程组无解，故满足题意得实数不存在.
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域的子集 ．