2014年湖南省下东中学数学中考专题复习：压轴题
文档属性
| 名称 | 2014年湖南省下东中学数学中考专题复习：压轴题 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 165.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2014-05-09 21:19:35 | ||
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文档简介
2014年下东中学数学中考专题复习：压轴题
一．训练目标
熟悉题型结构，辨识题目类型，调用解题方法；
书写框架明晰，踩点得分（完整、快速、简洁）。
二．题型结构及解题方法
压轴题综合性强，知识高度融合，侧重考查学生对知识的综合运用能力，对问题背景的研究能力以及对数学模型和套路的调用整合能力。
考查要点 常考类型举例 题型特征 解题方法
问题背景研究 求坐标或函数解析式，求角度或线段长 已知点坐标、解析式或几何图形的部分信息 研究坐标、解析式，研究边、角，特殊图形。
模型套路调用 求面积、周长的函数关系式，并求最值 速度已知，所求关系式和运动时间相关 分段：动点转折分段、图形碰撞分段；利用动点路程表达线段长；设计方案表达关系式。
坐标系下，所求关系式和坐标相关 利用坐标及横平竖直线段长；分类：根据线段表达不同分类；设计方案表达面积或周长。
求线段和（差）的最值 有定点（线）、不变量或不变关系 利用几何模型、几何定理求解，如两点之间线段最短、垂线段最短、三角形三边关系等。
套路整合及分类讨论 点的存在性 点的存在满足某种关系，如满足面积比为9:10 抓定量，找特征；确定分类；.根据几何特征或函数特征建等式。
图形的存在性 特殊三角形、特殊四边形的存在性 分析动点、定点或不变关系（如平行）；根据特殊图形的判定、性质，确定分类；根据几何特征或函数特征建等式。
三角形相似、全等的存在性 找定点，分析目标三角形边角关系；根据判定、对应关系确定分类；根据几何特征建等式求解。
三．答题规范动作
试卷上探索思路、在演草纸上演草。
合理规划答题卡的答题区域：两栏书写，先左后右。
作答前根据思路，提前规划，确保在答题区域内写完答案；同时方便修改。
作答要求：框架明晰，结论突出，过程简洁。
23题作答更加注重结论，不同类型的作答要点：
几何推理环节，要突出几何特征及数量关系表达，简化证明过程；
面积问题，要突出面积表达的方案和结论；
几何最值问题，直接确定最值存在状态，再进行求解；
存在性问题，要明确分类，突出总结。
20分钟内完成。www.
实力才是考试发挥的前提。若在真题演练阶段 ( http: / / www.21cnjy.com )训练过程中，对老师所讲的套路不熟悉或不知道，需要查找资源解决。下方所列查漏补缺资源集中训练每类问题的思路和方法，这些训练与真题演练阶段的训练互相补充，帮学生系统解决压轴题，以到中考考场时，不仅题目会做，而且能高效拿分。
四．真题训练：
1．（2013 济南）如图，在直角坐标系中 ( http: / / www.21cnjy.com )有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其坐标为t，
①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求出当△CEF与△COD相似点P的坐标；
②是否存在一点P，使△PCD得面积最大？若存在，求出△PCD的面积的最大值；若不存在，请说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com )
解：（1）在Rt△AOB中，OA=1，tan∠BAO= ( http: / / www.21cnjy.com )=3， ∴OB=3OA=3．
∵△DOC是由△AOB绕点O逆时针旋转90°而得到的， ∴△DOC≌△AOB，
∴OC=OB=3，OD=OA=1， ∴A、B、C的坐标分别为（1，0），（0，3）（﹣3，0）．
代入解析式得：
( http: / / www.21cnjy.com )， 解得： ( http: / / www.21cnjy.com )．
∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3；
（2）①∵抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3， ∴对称轴l=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )=﹣1，
∴E点的坐标为（﹣1，0）．
如图，当∠CEF=90°时，△CEF∽△COD．此时点P在对称轴上，即点P为抛物线的顶点，P（﹣1，4）；
当∠CFE=90°时，△CFE∽△COD，过点P作PM⊥x轴于点M，则△EFC∽△EMP．
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )， ∴MP=3EM．
∵P的横坐标为t， ∴P（t，﹣t2﹣2t+3）．
∵P在二象限， ∴PM=﹣t2﹣2t+3，EM=﹣1﹣t，
∴﹣t2﹣2t+3=3（﹣1﹣t）， 解得：t1=﹣2，t2=﹣3（与C重合，舍去），
∴t=﹣2时，y=﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3=3． ∴P（﹣2，3）．
∴当△CEF与△COD相似时，P点的坐标为：（﹣1，4）或（﹣2，3）；
②设直线CD的解析式为y=kx+b，由题意，得
( http: / / www.21cnjy.com )， 解得： ( http: / / www.21cnjy.com )， ∴直线CD的解析式为：y= ( http: / / www.21cnjy.com )x+1．
设PM与CD的交点为N，则点N的坐标为（t， ( http: / / www.21cnjy.com )t+1），
∴NM= ( http: / / www.21cnjy.com )t+1． ∴PN=PM﹣NM=t2﹣2t+3﹣（ ( http: / / www.21cnjy.com )t+1）=﹣t2﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )+2．
∵S△PCD=S△PCN+S△PDN，
∴S△PCD= ( http: / / www.21cnjy.com )PM CM+ ( http: / / www.21cnjy.com )PN OM
= ( http: / / www.21cnjy.com )PN（CM+OM）= ( http: / / www.21cnjy.com )PN OC= ( http: / / www.21cnjy.com )×3（﹣t2﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )+2）=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )（t+ ( http: / / www.21cnjy.com )）2+ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴当t=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )时，S△PCD的最大值为 ( http: / / www.21cnjy.com )．
( http: / / www.21cnjy.com )
2．已知：抛物线 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 的对称轴为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 与 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 轴交于 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 两点，
与 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 轴交于点 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 其中 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 、 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
（1）求这条抛物线的函数表达式．
（2）已知在对称轴上存在一点P，使得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 的周长最小．请求出点P的坐标．
（3）若点 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 是线段 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 上的一个动点（不与点O、点C重合）．过点D作 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 交 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 轴
]于点 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 连接 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 、 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．设 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 的长为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 的面积为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．求 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 与 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 之间的函数关系式．
试说明 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．
解：（1）由题意得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 解得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
∴此抛物线的解析式为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
（2）连结 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 、 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" .因为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 的长度一定，所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 周长最小，就是使 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 最小.
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 点关于对称轴的对称点是 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 点， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 与对称轴 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 的交点即为所求的点 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" .
设直线 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 的表达式为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4
则 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 解得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4
∴此直线的表达式为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
把 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 代入得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 点的坐标为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
（3） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 存在最大值
理由：∵ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 即 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 即 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
方法一：
连结 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ∵ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ∴当 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 时， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
方法二：
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
∵ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ∴当 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 时， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
3．（2013常德）如图，已知二次函数的图象过点A（0，﹣3），B（ ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )），对称轴为直线x=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，点P是抛物线上的一动点，过点P分别作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，在四边形PMON上分别截取PC= ( http: / / www.21cnjy.com )MP，MD= ( http: / / www.21cnjy.com )OM，OE= ( http: / / www.21cnjy.com )ON，NF= ( http: / / www.21cnjy.com )NP．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）求证：以C、D、E、F为顶点的四边形CDEF是平行四边形；
（3）在抛物线上是否存在这样的点P，使四边形CDEF为矩形？若存在，请求出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com )
解： （1）解：设抛物线的解析式为：y=a（x+ ( http: / / www.21cnjy.com )）2+k，∵点A（0，﹣3），B（ ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )）在抛物线上，∴ ( http: / / www.21cnjy.com )， 解得：a=1，k= ( http: / / www.21cnjy.com )．∴抛物线的解析式为：y=（x+ ( http: / / www.21cnjy.com )）2 ( http: / / www.21cnjy.com )=x2+x﹣3．（2）证明：如右图，连接CD、DE、EF、FC．∵PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N， ∴四边形PMON为矩形，∴PM=ON，PN=OM． ∵PC= ( http: / / www.21cnjy.com )MP，OE= ( http: / / www.21cnjy.com )ON， ∴PC=OE；∵MD= ( http: / / www.21cnjy.com )OM，NF= ( http: / / www.21cnjy.com )NP， ∴MD=NF， ∴PF=OD．在△PCF与△OED中， ( http: / / www.21cnjy.com ) ∴△PCF≌△OED（SAS）， ∴CF=DE．同理可证：△CDM≌△FEN， ∴CD=EF．∵CF=DE，CD=EF， ∴四边形CDEF是平行四边形．（3）解：假设存在这样的点P，使四边形CDEF为矩形．设矩形PMON的边长PM=ON=m，PN=OM=n，则PC= ( http: / / www.21cnjy.com )m，MC= ( http: / / www.21cnjy.com )m，MD= ( http: / / www.21cnjy.com )n，PF= ( http: / / www.21cnjy.com )n．若四边形CDEF为矩形，则∠DCF=90°，易证△PCF∽△MDC，∴ ( http: / / www.21cnjy.com )，即 ( http: / / www.21cnjy.com )，化简得： m2=n2， ∴m=n，即矩形PMON为正方形．∴点P为抛物线y=x2+x﹣3与坐标象限角平分线y=x或y=﹣x的交点．联立 ( http: / / www.21cnjy.com )， 解得 ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )，∴P1（ ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )），P2（﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )）；联立 ( http: / / www.21cnjy.com )， 解得 ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )，∴P3（﹣3，3），P4（﹣1，1）．∴抛物线上存在点P，使四边形CDEF为矩形．这样的点有四个，在四个坐标象限内各一个，其坐标分别为：P1（ ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )），P2（﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )），P3（﹣3，3），P4（﹣1，1）． ( http: / / www.21cnjy.com )
4.（2013湘潭）如图，在坐标系xoy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC = 90°，A(1,0)，B(0，2).抛物线 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 的图象过C点. (1)求抛物线的解析式;
(2)平移该抛物线的对称轴所在直线l，当l移动到何处时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分
(3)点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使四边形PACB为平行四边形 若存在，求出P点坐标，若不存在，说明理由.
解：（1）如图1，过点C作CD⊥x轴于点D，则∠BOA = ∠ADC = 90°，∵∠BAC = 90°，∴∠CAD＋∠BAO = 90°，∠CAD＋∠ACD= 90°，∴∠BAO =∠ACD，∵AB=AC,∴△BAO ≌△ACD（AAS），∴CD=AO=1，AD=BO=2，∴C（3,1），∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3
（2）当直线l在点A左侧时，△ABC在直线l左侧的面积显然小于直线l右侧的面积，∴直线l应在点A右侧，如图2，设直线l交BC于点E，交AC于点F，设直线AC的解析式为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，则 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，解之，得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，同理：直线BC的解析式为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，设直线l的解析式为x=m，则点E的坐标为（m， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ），点F的坐标为（m， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ），∴EF=（ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ）－（ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ）= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，假设直线l恰好将△ABC的面积分为相等的两部分，则 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 = HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ×（ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ）×（3－m）= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 （舍去）， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，∴直线l的解析式为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3
（3）如图3，过点C作CK⊥y轴于点K，过 ( http: / / www.21cnjy.com )点P作PH⊥x轴于点H，则∠PHA = ∠BKC = 90°，PH∥BO，∵四边形PACB为平行四边形，∴PA =BC，PA∥BC，∴∠AMO =∠CBK，∵PH∥BO，∴∠AMO =∠PHO，∴∠PHO=∠CBK，∴△PAH≌△BCK（AAS），∴AH=CK=3，PH=BK=1，
∵A(1,0)，∴P（－2,1），当x=－2时， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，
∴抛物线存在点P，使四边形PACB为平行四边形，P（－2，1）.
A
C
x
y
B
O
O
A
C
x
y
B
E
P
D
yx
x
A
C
B
O
l
yx
x
A
C
B
O
l
（备用图）
图1
yx
x
A
C
B
O
l
D
E
yx
x
A
C
B
O
l
FD
图2
一．训练目标
熟悉题型结构，辨识题目类型，调用解题方法；
书写框架明晰，踩点得分（完整、快速、简洁）。
二．题型结构及解题方法
压轴题综合性强，知识高度融合，侧重考查学生对知识的综合运用能力，对问题背景的研究能力以及对数学模型和套路的调用整合能力。
考查要点 常考类型举例 题型特征 解题方法
问题背景研究 求坐标或函数解析式，求角度或线段长 已知点坐标、解析式或几何图形的部分信息 研究坐标、解析式，研究边、角，特殊图形。
模型套路调用 求面积、周长的函数关系式，并求最值 速度已知，所求关系式和运动时间相关 分段：动点转折分段、图形碰撞分段；利用动点路程表达线段长；设计方案表达关系式。
坐标系下，所求关系式和坐标相关 利用坐标及横平竖直线段长；分类：根据线段表达不同分类；设计方案表达面积或周长。
求线段和（差）的最值 有定点（线）、不变量或不变关系 利用几何模型、几何定理求解，如两点之间线段最短、垂线段最短、三角形三边关系等。
套路整合及分类讨论 点的存在性 点的存在满足某种关系，如满足面积比为9:10 抓定量，找特征；确定分类；.根据几何特征或函数特征建等式。
图形的存在性 特殊三角形、特殊四边形的存在性 分析动点、定点或不变关系（如平行）；根据特殊图形的判定、性质，确定分类；根据几何特征或函数特征建等式。
三角形相似、全等的存在性 找定点，分析目标三角形边角关系；根据判定、对应关系确定分类；根据几何特征建等式求解。
三．答题规范动作
试卷上探索思路、在演草纸上演草。
合理规划答题卡的答题区域：两栏书写，先左后右。
作答前根据思路，提前规划，确保在答题区域内写完答案；同时方便修改。
作答要求：框架明晰，结论突出，过程简洁。
23题作答更加注重结论，不同类型的作答要点：
几何推理环节，要突出几何特征及数量关系表达，简化证明过程；
面积问题，要突出面积表达的方案和结论；
几何最值问题，直接确定最值存在状态，再进行求解；
存在性问题，要明确分类，突出总结。
20分钟内完成。www.
实力才是考试发挥的前提。若在真题演练阶段 ( http: / / www.21cnjy.com )训练过程中，对老师所讲的套路不熟悉或不知道，需要查找资源解决。下方所列查漏补缺资源集中训练每类问题的思路和方法，这些训练与真题演练阶段的训练互相补充，帮学生系统解决压轴题，以到中考考场时，不仅题目会做，而且能高效拿分。
四．真题训练：
1．（2013 济南）如图，在直角坐标系中 ( http: / / www.21cnjy.com )有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其坐标为t，
①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求出当△CEF与△COD相似点P的坐标；
②是否存在一点P，使△PCD得面积最大？若存在，求出△PCD的面积的最大值；若不存在，请说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com )
解：（1）在Rt△AOB中，OA=1，tan∠BAO= ( http: / / www.21cnjy.com )=3， ∴OB=3OA=3．
∵△DOC是由△AOB绕点O逆时针旋转90°而得到的， ∴△DOC≌△AOB，
∴OC=OB=3，OD=OA=1， ∴A、B、C的坐标分别为（1，0），（0，3）（﹣3，0）．
代入解析式得：
( http: / / www.21cnjy.com )， 解得： ( http: / / www.21cnjy.com )．
∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3；
（2）①∵抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3， ∴对称轴l=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )=﹣1，
∴E点的坐标为（﹣1，0）．
如图，当∠CEF=90°时，△CEF∽△COD．此时点P在对称轴上，即点P为抛物线的顶点，P（﹣1，4）；
当∠CFE=90°时，△CFE∽△COD，过点P作PM⊥x轴于点M，则△EFC∽△EMP．
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )， ∴MP=3EM．
∵P的横坐标为t， ∴P（t，﹣t2﹣2t+3）．
∵P在二象限， ∴PM=﹣t2﹣2t+3，EM=﹣1﹣t，
∴﹣t2﹣2t+3=3（﹣1﹣t）， 解得：t1=﹣2，t2=﹣3（与C重合，舍去），
∴t=﹣2时，y=﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3=3． ∴P（﹣2，3）．
∴当△CEF与△COD相似时，P点的坐标为：（﹣1，4）或（﹣2，3）；
②设直线CD的解析式为y=kx+b，由题意，得
( http: / / www.21cnjy.com )， 解得： ( http: / / www.21cnjy.com )， ∴直线CD的解析式为：y= ( http: / / www.21cnjy.com )x+1．
设PM与CD的交点为N，则点N的坐标为（t， ( http: / / www.21cnjy.com )t+1），
∴NM= ( http: / / www.21cnjy.com )t+1． ∴PN=PM﹣NM=t2﹣2t+3﹣（ ( http: / / www.21cnjy.com )t+1）=﹣t2﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )+2．
∵S△PCD=S△PCN+S△PDN，
∴S△PCD= ( http: / / www.21cnjy.com )PM CM+ ( http: / / www.21cnjy.com )PN OM
= ( http: / / www.21cnjy.com )PN（CM+OM）= ( http: / / www.21cnjy.com )PN OC= ( http: / / www.21cnjy.com )×3（﹣t2﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )+2）=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )（t+ ( http: / / www.21cnjy.com )）2+ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴当t=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )时，S△PCD的最大值为 ( http: / / www.21cnjy.com )．
( http: / / www.21cnjy.com )
2．已知：抛物线 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 的对称轴为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 与 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 轴交于 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 两点，
与 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 轴交于点 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 其中 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 、 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
（1）求这条抛物线的函数表达式．
（2）已知在对称轴上存在一点P，使得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 的周长最小．请求出点P的坐标．
（3）若点 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 是线段 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 上的一个动点（不与点O、点C重合）．过点D作 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 交 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 轴
]于点 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 连接 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 、 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．设 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 的长为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 的面积为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．求 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 与 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 之间的函数关系式．
试说明 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．
解：（1）由题意得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 解得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
∴此抛物线的解析式为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
（2）连结 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 、 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" .因为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 的长度一定，所以 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 周长最小，就是使 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 最小.
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 点关于对称轴的对称点是 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 点， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 与对称轴 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 的交点即为所求的点 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" .
设直线 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 的表达式为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4
则 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 解得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4
∴此直线的表达式为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
把 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 代入得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 点的坐标为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
（3） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 存在最大值
理由：∵ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 即 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 即 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
方法一：
连结 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ∵ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ∴当 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 时， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
方法二：
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
∵ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ∴当 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 时， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
3．（2013常德）如图，已知二次函数的图象过点A（0，﹣3），B（ ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )），对称轴为直线x=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，点P是抛物线上的一动点，过点P分别作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，在四边形PMON上分别截取PC= ( http: / / www.21cnjy.com )MP，MD= ( http: / / www.21cnjy.com )OM，OE= ( http: / / www.21cnjy.com )ON，NF= ( http: / / www.21cnjy.com )NP．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）求证：以C、D、E、F为顶点的四边形CDEF是平行四边形；
（3）在抛物线上是否存在这样的点P，使四边形CDEF为矩形？若存在，请求出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com )
解： （1）解：设抛物线的解析式为：y=a（x+ ( http: / / www.21cnjy.com )）2+k，∵点A（0，﹣3），B（ ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )）在抛物线上，∴ ( http: / / www.21cnjy.com )， 解得：a=1，k= ( http: / / www.21cnjy.com )．∴抛物线的解析式为：y=（x+ ( http: / / www.21cnjy.com )）2 ( http: / / www.21cnjy.com )=x2+x﹣3．（2）证明：如右图，连接CD、DE、EF、FC．∵PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N， ∴四边形PMON为矩形，∴PM=ON，PN=OM． ∵PC= ( http: / / www.21cnjy.com )MP，OE= ( http: / / www.21cnjy.com )ON， ∴PC=OE；∵MD= ( http: / / www.21cnjy.com )OM，NF= ( http: / / www.21cnjy.com )NP， ∴MD=NF， ∴PF=OD．在△PCF与△OED中， ( http: / / www.21cnjy.com ) ∴△PCF≌△OED（SAS）， ∴CF=DE．同理可证：△CDM≌△FEN， ∴CD=EF．∵CF=DE，CD=EF， ∴四边形CDEF是平行四边形．（3）解：假设存在这样的点P，使四边形CDEF为矩形．设矩形PMON的边长PM=ON=m，PN=OM=n，则PC= ( http: / / www.21cnjy.com )m，MC= ( http: / / www.21cnjy.com )m，MD= ( http: / / www.21cnjy.com )n，PF= ( http: / / www.21cnjy.com )n．若四边形CDEF为矩形，则∠DCF=90°，易证△PCF∽△MDC，∴ ( http: / / www.21cnjy.com )，即 ( http: / / www.21cnjy.com )，化简得： m2=n2， ∴m=n，即矩形PMON为正方形．∴点P为抛物线y=x2+x﹣3与坐标象限角平分线y=x或y=﹣x的交点．联立 ( http: / / www.21cnjy.com )， 解得 ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )，∴P1（ ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )），P2（﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )）；联立 ( http: / / www.21cnjy.com )， 解得 ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )，∴P3（﹣3，3），P4（﹣1，1）．∴抛物线上存在点P，使四边形CDEF为矩形．这样的点有四个，在四个坐标象限内各一个，其坐标分别为：P1（ ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )），P2（﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )），P3（﹣3，3），P4（﹣1，1）． ( http: / / www.21cnjy.com )
4.（2013湘潭）如图，在坐标系xoy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC = 90°，A(1,0)，B(0，2).抛物线 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 的图象过C点. (1)求抛物线的解析式;
(2)平移该抛物线的对称轴所在直线l，当l移动到何处时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分
(3)点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使四边形PACB为平行四边形 若存在，求出P点坐标，若不存在，说明理由.
解：（1）如图1，过点C作CD⊥x轴于点D，则∠BOA = ∠ADC = 90°，∵∠BAC = 90°，∴∠CAD＋∠BAO = 90°，∠CAD＋∠ACD= 90°，∴∠BAO =∠ACD，∵AB=AC,∴△BAO ≌△ACD（AAS），∴CD=AO=1，AD=BO=2，∴C（3,1），∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3
（2）当直线l在点A左侧时，△ABC在直线l左侧的面积显然小于直线l右侧的面积，∴直线l应在点A右侧，如图2，设直线l交BC于点E，交AC于点F，设直线AC的解析式为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，则 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，解之，得 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，同理：直线BC的解析式为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，设直线l的解析式为x=m，则点E的坐标为（m， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ），点F的坐标为（m， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ），∴EF=（ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ）－（ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ）= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，假设直线l恰好将△ABC的面积分为相等的两部分，则 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 = HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ×（ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ）×（3－m）= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，∴ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 （舍去）， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，∴直线l的解析式为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3
（3）如图3，过点C作CK⊥y轴于点K，过 ( http: / / www.21cnjy.com )点P作PH⊥x轴于点H，则∠PHA = ∠BKC = 90°，PH∥BO，∵四边形PACB为平行四边形，∴PA =BC，PA∥BC，∴∠AMO =∠CBK，∵PH∥BO，∴∠AMO =∠PHO，∴∠PHO=∠CBK，∴△PAH≌△BCK（AAS），∴AH=CK=3，PH=BK=1，
∵A(1,0)，∴P（－2,1），当x=－2时， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 ，
∴抛物线存在点P，使四边形PACB为平行四边形，P（－2，1）.
A
C
x
y
B
O
O
A
C
x
y
B
E
P
D
yx
x
A
C
B
O
l
yx
x
A
C
B
O
l
（备用图）
图1
yx
x
A
C
B
O
l
D
E
yx
x
A
C
B
O
l
FD
图2
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