2014年湖南省下东中学数学中考专题复习：最值问题

株洲中考专题复习：最值问题
1．（2012兰州）如图，四边形ABCD ( http: / / www.21cnjy.com )中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为【 】
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A．130° B．120° C．110° D．100°
考点：轴对称-最短路线问题。
分析：根据要使△AMN的周长最小，即利用点 ( http: / / www.21cnjy.com )的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和ED的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝60°，进而得出∠AMN＋∠ANM＝2(∠AA′M＋∠A″)即可得出答案．
解：作A关于BC和ED的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．作DA延长线AH，
∵∠EAB＝120°，
∴∠HAA′＝60°，
∴∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝60°，
∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，
且∠MA′A＋∠MAA′＝∠AMN，∠NAD＋∠A″＝∠ANM，
∴∠AMN＋∠ANM＝∠MA′A＋∠MAA′＋∠NAD＋∠A″＝2(∠AA′M＋∠A″)＝2×60°＝120°，
故选：B．
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点评：此题主要考查了平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出M，N的位置是解题关键．
2．（2012济南）如图，∠MON=90° ( http: / / www.21cnjy.com )，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为（Ａ）
A． HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 　　　B． HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 　　　C． HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 5　　　D． HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4
【考点】直角三角形斜边上的中线；三角形三边关系；勾股定理；矩形的性质．
【专题】代数综合题．
【分析】取AB的中点E，连 ( http: / / www.21cnjy.com )接OE、DE、OD，根据三角形的任意两边之和大于第三边可知当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，再根据勾股定理列式求出DE的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE的长，两者相加即可得解．
【解答】解：如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD，
∵OD≤OE+DE，
∴当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，
此时，∵AB=2，BC=1，
∴OE=AE= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" AB=1，
DE= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，
∴OD的最大值为： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
故选A．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中 ( http: / / www.21cnjy.com )线等于斜边的一半得到性质，三角形的三边关系，矩形的性质，勾股定理，根据三角形的三边关系判断出点O、E、D三点共线时，点D到点O的距离最大是解题的关键．
3．如图，在矩形ABCD中，AD= ( http: / / www.21cnjy.com )4，AB=m(m＞4)，点P是AB边上的任意一点（不与A、B重合），连结PD，过点P作PQ⊥PD，交直线BC于点Q．
(1)当m=10时，是否存在点P使得点Q与点C重合？若存在，求出此时AP的长；若不存在，说明理由；
(2)连结AC，若PQ∥AC,求线段BQ的长（用含m的代数式表示）
(3)若△PQD为等腰三角形，求以P、Q、C、D为顶点的四边形的面积S与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围．
(1) 假设当m=10时，存在点P使得点Q与点C重合（如下图），
∵PQ⊥PD∴∠DPC=90°，∴∠APD＋∠BPC=90°，
又∠ADP＋∠APD=90°，∴∠BPC=∠ADP，
又∠B=∠A=90°，∴△PBC∽△DAP，∴
AP=2或8，∴存在点P使得点Q与点C重合，出此时AP的长2 或8．
(2) 如下图，∵PQ∥AC，∴∠ ( http: / / www.21cnjy.com )BPQ=∠BAC，∵∠BPQ=∠ADP，∴∠BAC=∠ADP，又∠B=∠DAP=90°，∴△ABC∽△DAP，
∴