2014年湖南省下东中学数学中考专题复习：动点最值问题

2014年下东中学数学中考复习：动点最值问题
一．株洲最近几年中考试题：
年 份 内 容 分值
2013年中考 相似三角形的判定与性质； 8分
2012年中考 相似三角形的判定与性质；二次函数的最值。 8分
2011年中考 △全等的判定；勾股定理。 8分
2010年中考 相似三角形的判定与性质；二次函数的最值。 8分
2009年中考 相似三角形的判定与性质；二次函数的最值。 10分
二．中考真题：
1．（2013 株洲）已知在△ABC中， ( http: / / www.21cnjy.com )∠ABC=90°，AB=3，BC=4．点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB（如图1）或线段AB的延长线（如图2）于点P．
（1）当点P在线段AB上时，求证：△APQ∽△ABC；
（2）当△PQB为等腰三角形时，求AP的长．
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2．（2012 株洲）如图，在△ABC中， ( http: / / www.21cnjy.com )∠C=90°，BC=5米，AC=12米．M点在线段CA上，从C向A运动，速度为1米/秒；同时N点在线段AB上，从A向B运动，速度为2米/秒．运动时间为t秒．
（1）当t为何值时，∠AMN=∠ANM？
（2）当t为何值时，△AMN的面积最大？并求出这个最大值．
( http: / / www.21cnjy.com )
3．（2010年株洲）（本题满分8分）如图，直角 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 中， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，点 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 为边 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 上一动点， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ∥ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 交 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 于点 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，连结 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．
（1）求 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 、 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 的长；
（2）设 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 的长为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 的面积为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ．当 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 为何值时， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 最大，并求出最大值．
4．（2011株洲）如图，矩形 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 中，点 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 是线段 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 上一动点， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 的中点， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
的延长线交 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 于 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" .（1）求证： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ；
（2）若 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 厘米， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 厘米， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 从点 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 出发，
以1厘米/秒的速度向 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 运动（不与 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 重合）.
设点 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 运动时间为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 秒，请用 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 表示 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 的长；
并求 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 为何值时，四边形 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 是菱形．
5．（2009年株洲）（本题满分10分）如图1， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 中， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，点 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
在线段 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 上运动，点 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 、 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 分别在线段 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 、 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 上，且使得四边形 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 是矩形．设
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 的长为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，矩形 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 的面积为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，已知 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 是 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 的函数，其图象是过点（12，36）的
抛物线的一部分（如图2所示）． （1）求 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 的长；
（2）当 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 为何值时，矩形 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 的面积最大，并求出最大值．
为了解决这个问题，孔明和研究性学习小组的同学作了如下讨论：
张明：图2中的抛物线过点（12，36）在图1中表示什么呢？
李明：因为抛物线上的点是表示图1中的长与矩形面积的对应关系，
那么，（12，36）表示当时，的长与矩形面积的对应关系.
赵明：对，我知道纵坐标36是什么意思了！
孔明：哦，这样就可以算出，这个问题就可以解决了.
请根据上述对话，帮他们解答这个问题.
三．模拟训练：
1．(2013湘潭)如图，在坐标系xoy中，已知D（－5,4），B（－3,0），过D点分别作
DA、DC垂直于x轴、y轴，垂足分别为A、C两点.动点P从O点出发，沿x轴以每
秒1个单位长度的速度向右运动，运动时间为t秒.
(1)当t为何值时，PC//DB; (2)当t为何值时，PC⊥BC;
(3)以点P为圆心，PO的长为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与△BCD的边
（或边所在的直线)相切时，求t的值.
2．（2013 张家界）如图，△ABC中， ( http: / / www.21cnjy.com )点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）求证：OE=OF；
（2）若CE=12，CF=5，求OC的长；
（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com )
3.（2013永州）如图，已知AB HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" BD，CD HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" BD
（1）若AB=9，CD=4，BD=10，请问在BD上是否存在P点，使以P、A、B三点为顶点的
三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？若存在，求BP；若不存在，请说明理由；
（2）若AB=9，CD=4，BD=12，请问在BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的
三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？并求BP的长；
（3）若AB=9，CD=4，BD=15，请问在BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的
三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？并求BP的长；
（4）若AB= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，CD= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，BD= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，请问 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 满足什么关系时，存在以P、A、B三点为顶点
的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的一个P点？两个P点？三个P点？
4．（2013 衡阳）如图，P为正方形ABCD的边AD上的一个动点，AE⊥BP，CF⊥BP，
垂足分别为点E、F，已知AD=4．
（1）试说明AE2+CF2的值是一个常数；
（2）过点P作PM∥FC交CD于点M，点P在何位置时线DM最长，并求出此时DM的值．
( http: / / www.21cnjy.com )
6.（2013怀化）如图10，矩形ABCD中，AB=12cm，AD=16cm，动点E、F分别从A点、
C点同时出发，均以2cm/s的速度分别沿AD向D点和沿CB向B点运动。
⑴经过几秒首次可使EF⊥AC？
⑵若EF⊥AC，在线段AC上，是否存在一点P，使 ( http: / / www.21cnjy.com )？若存在，请说
明P点的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由。
7.（2013娄底）如图，在 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 中， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，高 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，矩形 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 的一边
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 在 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 边上， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 、 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 分别在 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 、 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 上， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 交 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 于点 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" .
（1）求证： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ；
（2）设 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，当 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 为何值时，矩形 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 的面积最大？并求出最大面积；
（3）当矩形 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 的面积最大时，该矩形 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 以每秒1个单位的速度沿射线 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 匀速向上
运动（当矩形的边 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 到达 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 点时停止运动），设运动时间为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 秒，矩形 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 与 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 重
叠部分的面积为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，求 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 与 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 的函数关系式，并写出 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 的取值范围.
( http: / / www.21cnjy.com )
四．填空题：
1．代数式x -2x+3的最小值是
2.正方形的边长为2，为的中点，是上一动点．连结，由正方形对称性
可知， 与关于直线对称．连结交于，则的最小值是___________．
3.如下左图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，
在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为 。
4.如上中图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，
CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为___________．
5.如上右图，锐角△ABC的边AB=4，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N
分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是___________．
五、路径最短问题(两点间连线中，直线段最短)
1.如图，圆柱形的桶外，有 ( http: / / www.21cnjy.com )一只蚂蚁从桶外的A点爬到桶内的B点处寻找食物，已知点A到桶口的距离AC为12cm，点B到桶口的距离BD为8cm，CD的长为15cm，那么蚂蚁爬行的最短路程是___________．
2.如图，是一个三级台阶，它的每一级的 ( http: / / www.21cnjy.com )长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是___________．
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
3.如图是一块长、宽、高分别是4c ( http: / / www.21cnjy.com )m、2cm和1cm的长方体木块，一只蚂蚁要从顶点A出发，沿长方体的表面爬到C1处吃食物，那么它需要爬行的最短路线的长是___________．
4.如图所示，有一圆锥形粮堆，其正 ( http: / / www.21cnjy.com )视图是边长为6m的正三角形ABC，粮堆母线AC的中点P处有一只老鼠正在偷吃粮食．此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是___________米（结果不取近似值）
六．综合题中的动点最值问题：
已知：抛物线的对称轴为x=-1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，
其中A（-3，0）、C（0，-2）．
（1）求这条抛物线的函数表达式．
（2）已知在对称轴上存在一点P，使得△PBC的周长最小．请求出点P的坐标．
（3）若点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C重合）．过点D作DE∥PC交
x轴于点E．连接PD、PE．设CD的长为m，△PDE的面积为S．求S与m之间的函数
关系式．试说明S是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．
O
O
P
A
B
C
D
y
x