阳信县第二高级中学实验中心2022-2023学年高一下学期3月第一次月考数学试卷解析
一，单选题
1, 复数（ ）
A. B. C. D.
解析：复数. 故选：B
2, 已知向量，，，若，则实数m的值是（ ）
A. －10 B. －8 C. 10 D. 8
解析： ；
故选：A.
3, 在中，下列各式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
解析：对于选项A：由正弦定理有，故，故选项A错误；
对于选项B：因为，故，故选项B错误；
对于选项C：，由余弦定理得；故选项C错误；
对于选项D：由正弦定理可得，再根据诱导公式可得：，即，故选项D正确；
故选：D
4, 已知中，的中点为，点O是线段三等分点（靠近点M），则向量（ ）
A． B． C． D．
解析：. 故选：C
5, 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则的值是（ ）
A. 6 B. 8 C. 4 D. 2
解析：因为，根据正弦定理得到：
故得到 再由余弦定理得到： ， 代入，，得到. 故选：A.
6, 如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°，从C点测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100 m，则山高MN＝（ ）
A. 150 m B. 150 m C. 150 m D. 50 m
解析：由题意∠CAB＝45°，BC＝100 m，三角形ABC为直角三角形，可得，
在中，∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，则∠AMC＝45°，
由正弦定理有：，即，
故，在直角三角形中，，可得（m）
故选：A
7,一个三角形的腰与底边（或底边与腰）的比值等于黄金比，则称此三角形为黄金三角形．黄金三角形有锐角三角形和钝角三角形，其中锐角三角形的顶角，底角，而钝角三角形顶角，底角．如图，在一个锐角黄金中，．根据这些信息，可得（ ）
A. B. C. D.
解析：取的中点，连接，如下图所示：
则，
所以，，
所以，.
故选：A.
8, 如图所示的矩形ABCD中，，，以为圆心的圆与AC相切，为圆上一点，且，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
法1：解析：解：过点做交延长线于点，如图所示：
因为矩形ABCD中，，，所以，
因为为圆上一点，所以为圆的半径，
因为圆与相切，根据面积相等可得：
，即，
解得，因为，所以，
所以，因为，所以，
因为，，所以，
所以，因为，，所以，
所以，所以，
所以，
故，所以.
故选：C
法2：以点A为原点，AB为x轴，AD为y轴建立空间直角坐标系，则各点坐标分别为,过点P分别向x轴、y轴引垂线，因为, 所以，可得点P的坐标为, 又因为，所以，解得：，所以
故选：C
二，多选题
9, 下列说法正确的是（ ）
A. 多面体至少有四个面 B. 平行六面体六个面都是平行四边形
C. 长方体、正方体都是正四棱柱 D. 棱台的侧面都是梯形
解析：最简单的多面体是三棱锥，它有四个面，A正确；由平行六面体的定义知，平行六面体六个面都是平行四边形，B正确；
长方体的共点的三条棱可以互不相等，而正四棱柱底面是正方形，即长方体不一定是正四棱柱，正方体是正四棱柱，C错误；
由棱台的结构特征知，棱台的的侧面都是梯形，即D正确.
故选：ABD
10．下列说法中错误的是（ ）
A．单位向量都相等
B．向量与是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上
C．若为非零向量，则表示为与同方向的单位向量
D．若，，则
解析：单位向量模长相等，但是方向不一定相同，所以A错误；向量共线与向量平行是相同的概念，向量是可以平行移动的，所以B错误；的模长为1，因为，所以方向与方向相同，所以C正确；若为零向量，则与可为任意向量，所以D错误。所以错误的选项为ABD。故选：ABD
11, 已知平面上点是直线外一点，是直线上给定的两点，点是直线上的动点，且满足，则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，点C为线段的中点 B. 当点C为线段的三等分点时，
C. 当时，点C在线段上 D. 当点C在线段的延长线上时，
解析：由题意可得，即,
当时，点，即C为线段中点，A正确；
当点C为线段的三等分点时，C可能是靠近B的三等分点也可能是靠近A的三等分点，
故或，B错误；
当时，，由于同向，故点C在线段上，C正确；
当点C在线段的延长线上时，反向，故，D错误，
故选：AC
12,“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（ ）
A. 若，则为的重心
B. 若为的内心，则
C. 若，，为的外心，则
D. 若为的垂心，，则
解析：对于A，取BC中点D，连接MD，AM，
由，则，
所以，
所以A，M，D三点共线，且，
设E，F分别为AB，AC的中点，同理可得，，
所以为的重心，故A正确；
对于B，由为的内心，则可设内切圆半径为，
则有，，，
所以，
即，故B正确；
对于C，由为的外心，则可设的外接圆半径为，
又，，
则有，，，
所以，
，
，
所以，故C错误；
对于D，如图，延长AM交BC于点D，延长BM交AC于点F，延长CM交AB于点E，
由为的垂心，，则，
又，则，，
设，，则，，
所以，即，
所以，所以，故D正确；
故选：ABD．
三，填空题
13, 已知为坐标原点，，，则______．
解析：因为，所以.
故答案为：.
14, 若，，与的夹角为60°，若，则m的值为__________．
解析：由题意可知：，所以，所以，所以.
15. 一船向正北方向航行，看见正西方向有相距海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，船继续航行半小时后，看见灯塔在船的南偏西方向，另一灯塔在船的南偏西方向，则这艘船的速度是____________
解析：设船的初始位置为，航行半小时后到达位置，两灯塔的位置为，如图所示，
由题意知：，，，，
，，
，；
在中，，
船的速度为（海里/小时）故答案为：海里/小时.
16,如图所示，点是平行四边形BCDE内（含边界）的一点，点B是AC的中点，，且．
①当时，______；
②的最大值为______．
解析：①由题意可知，作出图形如图所示
因为点B是AC的中点， 所以,即,
因为，所以, 因为， 所以, 所以，
所以当时，.
②过作交于,过作交的延长线于,如图所示
因为四边形是平行四边形，所以. 又；
所以，； 由图形看出，当与重合时，；
此时取最大值，取得最小值 所以的最大值为. 故答案为：；.
四，解答题
17，（1）已知，求向量在方向上的投影向量的坐标.
（2）已知，若的夹角为锐角，求的取值范围.
解析：（1）向量在方向上的投影向量为：，计算可得：向量在方向上的投影向量为：
（2）因为的夹角为锐角，所以，解得：，又当与共线时，可得：，解得：，此时，此时与同向共线，需排除，所以的取值范围是：.
18. （1）已知关于的实系数方程，若是方程的一个复数根，求出，的值；
（2）复数的最大和最小值各是多少？（此小题只写出结果）
解析：（1）因为是方程的一个复数根，
所以，化简得；
所以，解得.
（2）由复数的几何意义知，在复平面内对应点的坐标为；
表示复数对应点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
所以最大值为，最小值为.
19, 在①；②；③，这三个条作中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 .
（1）求角C的大小；
（2）若，求周长的取值范围.
解析：（1）选择条件①：由及正弦定理，得：，
即，由余弦定理，得,
因为，所以；
选择条件②：由及正弦定理，
得：，
即.
即.
在中，，所以，
即，因为，所以，所以,
因为，所以；
选择条件③：由及正弦定理，
得：，
因为,，所以.
在中，，则，
故.
因为，所以，则，
故；
（2）在中应用余弦定理得：，所以，因为，所以. 因为，所以，解得：，又因为，所以，当且仅当时取等号.所以周长的取值范围是：
20, 如图，在平面四边形中，，，，，交于点.
（1）若，求；
（2）若，求.
解析：（1），又因为，，为等边三角形，所以中，故中，.
（2）设，则，，
中，由余弦定理得，
所以.，
解得.
由题意可知：，得，
所以，得.
21, 如图矩形ABCD，，，AC与EF交于点N．
（1）若，求的值；
（2）设，，试用，表示．
解析：（1）依题意，
又，所以解得．
（2）因为，，
所以，所以．
22. 如图1所示，在中，点在线段BC上，满足，G是线段AB上的点，且满足，线段CG与线段AD交于点．
（1）若，求实数；
（2）如图2所示，过点的直线与边AB，AC分别交于点E，F，设，；
（i）求的最大值；
（ii）设面积为，四边形BEFC的面积为，求的取值范围．
（参考公式：的面积）
解析：（1）依题意，因为，
所以，
因为G、O、C三点共线，所以存在实数使得，
所以，
因为，
所以，
又因为，
所以，
解得：，，
综上所述，．
（2）解：（i）根据题意．
同理可得：，
由（1）可知，，
所以，
因为E，O，F三点共线，所以存在实数，使得，
所以，
所以
化简得，又因为，
所以，
当且仅当，即，时等号成立．
（ii）根据题意，，
，
所以
，
由（i）可知，则，
所以，
所以，
易知，当时，有最大值，
又因为，
则.阳信县第二高级中学实验中心2022-2023学年高一下学期3月第一次月考 数学试卷
一，单选题
1, 复数（ ）
A. B. C. D.
2, 已知向量，，，若，则实数m的值是（ ）
A. －10 B. －8 C. 10 D. 8
3, 在中，下列各式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4, 已知中，的中点为，点O是线段三等分点（靠近点M），则向量（ ）
A． B． C． D．
5, 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则的值是（ ）
A. 6 B. 8 C. 4 D. 2
6, 如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°，从C点测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100 m，则山高MN＝（ ）
A.150 m B. 150 m C. 150 m D. 50 m
7,一个等腰三角形的腰与底边（或底边与腰）的比值等于黄金比，则称此三角形为黄金三角形．黄金三角形有锐角三角形和钝角三角形，其中锐角三角形的顶角，底角，而钝角三角形顶角，底角．如图，在一个锐角黄金中，．根据这些信息，可得（ ）
A. B. C. D.
8, 如图所示的矩形ABCD中，，，以为圆心的圆与AC相切，为圆上一点，且，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
二，多选题
9, 下列说法正确的是（ ）
A. 多面体至少有四个面 B. 平行六面体六个面都是平行四边形
C. 长方体、正方体都是正四棱柱 D. 棱台的侧面都是梯形
10．下列说法中错误的是（ ）
A．单位向量都相等
B．向量与是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上
C．若为非零向量，则表示为与同方向的单位向量
D．若，，则
11, 已知平面上点是直线外一点，是直线上给定的两点，点是直线上的动点，且满足，则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，点C为线段的中点 B. 当点C为线段的三等分点时，
C. 当时，点C在线段上 D. 当点C在线段的延长线上时，
12,“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（ ）
A. 若，则为的重心
B. 若为的内心，则
C. 若，，为的外心，则
D. 若为的垂心，，则
三，填空题
13, 已知为坐标原点，，，则______．
14, 若，，与的夹角为60°，若，则m的值为__________．
15. 一船向正北方向航行，看见正西方向有相距海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，船继续航行半小时后，看见灯塔在船的南偏西方向，另一灯塔在船的南偏西方向，则这艘船的速度是____________海里/小时.
16,如图所示，点是平行四边形BCDE内（含边界）的一点，点B是AC的中点，，且．
①当时，______；
②的最大值为______．
四，解答题
17, （1）已知，，求向量在上的投影向量的坐标．
（2）已知, 若的夹角为锐角，求的取值范围.
18. （1）已知关于的实系数方程，若是方程的一个复数根，求出，的值；
（2）复数的最大和最小值各是多少？
19, 在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.
在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 .
（1）求角C的大小；
（2）若，求周长的取值范围.
20, 如图，在平面四边形中，，，，，交于点.
（1）若，求；
（2）若，求.
21, 如图矩形ABCD，，，AC与EF交于点N．
（1）若，求的值；
（2）设，，试用，表示．
22, 如图1所示，在中，点在线段BC上，满足，G是线段AB上点，且满足，线段CG与线段AD交于点．
（1）若，求实数；
（2）如图2所示，过点的直线与边AB，AC分别交于点E，F，设，；
（i）求的最大值；
（ii）设的面积为，四边形BEFC的面积为，求的取值范围．
（参考公式：的面积）
