2022-- 2023学年第二学期第一次月考
高一数学试卷
考试时间:120分钟 试卷满分:150分
第 I卷 (选择题)
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的．
1. 己知集合 A={0,1,2,3,4}, 集合 B= x ∣ x2-2x- 3< 0 , 则 A∩ B= ( )
A. {-1,0,1,2,3} B. {0,1,2,3} C. {0,1,2} D. {1,2}
答案 C
解析 B= x ∣ x2-2x- 3< 0 ={x| -1< x< 3}所以 A∩ B={0,1,2}
故选：C
2. 终边落在直线 y= x上的角 α的集合为 ( )
A. α α= 2kπ +
π ,k∈ Z 4 B. α α= kπ+
π
4 ,k∈ Z
C. α α= 2kπ± π4 ,k∈ Z D. α α= kπ±
π
4 ,k∈ Z
答案 B
解析 当角的终边落在直线 y= x上且在第一象限时，角的集合为 {α α= 2kπ+ π4 ，k∈ Z ；
当角的终边落在直线 y= x上且在第三象限时，角的集合为 {α α= 2kπ+ π+ π4 ，k∈ Z ．
π
取并集可得，终边落在直线 y= x上的角的集合为 {α α= kπ+ 4 ．
故选：B．
3. 函数 y= sin 2x+ π2 是 ( )
A. 周期为 2π的奇函数 B. 周期为 2π的偶函数
C. 周期为 π的奇函数 D. 周期为 π的偶函数
答案 D
y= sin 2x+ π = cos2x T= 2π解析 2 ， 2 = π.
设 f x = cos2x，定义域为 R，
f -x = cos -2x = cos2x= f x ，所以 y= cos2x为偶函数.
故选：D
4. 一个盒子中有若干白色围棋子，为了估计其中围棋子的数目，小明将 100颗黑色的围棋子放入其中，充分
捡拌后随机抽出了 20颗，数得其中有 5颗黑色的围棋子，根据这些信息可以估计白色围棋子的数目约为
( )
A. 200颗 B. 300颗 C. 400颗 D. 500颗
·1·
答案 B
5 100
解析 设白色围棋子的数目为 n，则由已知可得 20 = n+ 100 ，
解得 n= 300，
即白色围棋子的数目大约有 300颗.
故选：B.
5. 设 a= 0.70.8,b= 0.80.7,c= log0.80.7，则 ( )
A. c> a> b B. a> c> b C. a> b> c D. c> b> a
答案 D
解析 因为 a= 0.70.8< 0.70.7< 0.80.7= b,b= 0.80.7< 0.80= 1,c= log0.80.7> log0.80.8= 1，所以 c> b> a.
故选：D.
6. 如图是杭州 2022 年第 19 届亚运会会徽，名为“潮涌”，如图是会徽的几何图形，设弧 AD长度是 l1，弧 BC
l S
长度是 l2，几何图形 ABCD
1 1
面积为 S1，扇形 BOC面积为 S2，若 l = 3，则2 S
= ( )
2
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
答案 D
∠ l OA α OA解析 设 BOC= α 1 ，则 l = = 3，所以 = 3，2 OB α OB
1
S 2 α OA
2- 1 2 α OB
2 2 2 2 2
1
所以 S = 1 =
OA - OB = 9 OB - OB 2 2 = 8，
2 α OB 2 OB OB 2
故选：D
7. 函数 y= f x 对任意 x∈ R都有 f x+ 2 = f x 成立，且函数 y= f x- 1 的图象关于点 1,0 对称，
f 1 = 4，则 f 2020 + f 2021 + f 2022 = ( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
答案 A
解析 ∵函数 f x- 1 的图象关于 1,0 对称，且把 y= f x- 1 向左平移 1个单位可得 y= f x 的图
象，
∴函数 y= f x 的图象关于 0,0 对称，即函数 y= f x 为奇函数，
∴ f 0 = 0，
∵ f x+ 2 = f x
∴函数 f x 是以 2为周期的周期函数，
∴ f 2020 = f 1010× 2 = f 0 = 0，
f 2021 = f 1010× 2+ 1 = f 1 = 4，
·2·
f 2022 = f 1011× 2 = f 0 = 0，
即有 f 2020 + f 2021 + f 2022 = 4.
故选：A.
8. π π将函数 f x = cos ωx+ 4 ω> 0 的图象向右平移 4 个单位长度后得到函数 g x 的图象，若 g x 在
π , 5π4 4 上单调递减，则ω的最大值为 ( )
A. 1 B. 34 4 C.
1
2 D. 1
答案 B
f x π g x = cos ωx- ωπ解析 将 的图象向右平移 4 个单位长度后得到 4 +
π
4 的图象.
x∈ π , 5π π <ωx- ωπ π因为 4 4 ，所以 4 4 + 4 <ωπ+
π
4 ，
g x π , 5π因为 在 4 4 上单调递减，所以ωπ+
π
4 ≤ π，0<ω≤
3 3
4 ，所以ω的最大值为 4 .
故选：B.
二、多选题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求．全部选对
的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分．
9. π已知函数 f x = 2sin 2x+ 3 ，则 ( )
A. f x π 的最小正周期是 π B. x= 6 是 f x 图象的对称轴
C. - π6 ,0 是 f
π
x 图象的对称中心 D. f x 在区间 0, 3 上单调递减
答案 AC
2π
解析 最小正周期为 T= 2 = π,A正确；
f π = 2sin π + π6 3 3 = 3，
所以 x= π6 不是 f x 图象的对称轴，B错误；
f - π π π6 = 2sin - 3 + 3 = 0，
所以 - π6 ,0 是 f x 图象的对称中心，C正确；
因为 x∈ 0, π 2x+ π π3 ，所以 3 ∈ 3 ,π ，
所以 f π x 在区间 0, 3 上有增有减，D错误，
故选:AC.
10. 下列说法正确的是 ( )
A. x- 3函数 f x = x+ 2 的定义城为 -∞,-2 ∪ 3,+∞
2
B. f x = x x 和 g(x) = x表示同一个函数
C. f x = 1函数 x - x的图像关于坐标原点对称
D. 函数 f (x)满足 f x - 2 f -x = x- 1，则 f 2 x = 3 x+ 1
答案 AC
·3·
A x- 3解析 对于 ：由 x+ 2 ≥ 0解得 x≥ 3或 x<-2，
所以函数 f x = x- 3 x+ 2 的定义域为 -∞,-2 ∪ 3,+∞ ，故 A正确；
2
对于 B x：f x = x 的定义域为 -∞,0 ∪ 0,+∞ ，g x = x的定义为 -∞,+∞ ，定义域不相同，
2
所以 f x = xx 和 g x = x不是同一个函数，故 B错误；
1 1 1
对于C：由 f -x = -x + x=- x - x =- f x ，所以 f x = x - x为奇函数，
1
所以函数 f x = x - x的图像关于坐标原点对称，故C正确；
对于D：因为函数 f (x)满足 f x - 2 f -x = x- 1，所以 f -x - 2 f x =-x- 1，
f x - 2 f -x = x- 1 1由 f -x - 2 f x =-x- 1 解得 f x = 3 x+ 1，故D错误；
故选：AC.
11. 已知 x,y是正数，且 x+ y= 2，则 ( )
A. x x+ 2y 的最大值为 4 B. log2x+ log2y的最大值为 0
C. 2x+2y 1 2 3的最小值为 4 D. x + y 的最小值为 2 + 2
答案 BCD
解析 由 x,y是正数，且 x+ y= 2，可得 0< x< 2,0< y< 2，
对 A，x x+ 2y = (x+ y- y) (x+ y+ y) = (x+ y)2-y2= 4- y2，
由 0< y2< 4可得 0< 4- y2< 4，x x+ 2y 无最大值，故 A错误；
对 B，由 x+ y= 2≥ 2 xy，所以 0< xy≤ 1，当且仅当 x= y= 1时等号成立，
所以 log2x+ log2y= log2xy≤ log21= 0，故 B正确；
对C，由基本不等式可得 2x+2y≥ 2 2x 2y= 2 2x+y= 4，
当且仅当 x= y= 1时取等号，故C正确；
D 1对 ，x +
2
y =
1 12 x +
2 y
y (x+ y) =
1
2 3+ +
2x
x y ≥
1
2 3+ 2 yx 2xy = 32 + 2，
当且仅当 x= 2 2- 1 ,y= 4- 2 2 时取等号，故D正确.
故选：BCD
12. 在一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字 1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体木块两次，
并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件 A为“两次记录的数字之和为偶数”，事件 B为“第
一次记录的数字为偶数”；事件C为“第二次记录的数字为偶数”，则下列结论正确的是 ( )
A. 事件 B与事件C是互斥事件 B. 事件 A与事件 B是相互独立事件
C. P A P B P 1 1 C = 8 D. P ABC = 8
答案 BC
解析 对于 A，事件 B与事件C不是互斥事件，因为它们有可能同时发生，如，第一次和第二次都是数字
4 ，故选项 A错误；
对于 B，对于事件 A B P A 8 1 2× 4 1 2× 2 1与事件 ， = 4× 4 = 2 ,P B = 4× 4 = 2 ,P AB = 4× 4 = 4 = P A
P B ,事件 A与事件 B是相互独立事件,故选项 B正确；
对于C，P(C) = 4× 2 = 1 ,P A = 8 = 1 ,P B = 2× 4 14× 4 2 4× 4 2 4× 4 = 2 ,所以 P A P B P C =
1
8 ，故选项C
·4·
正确；
对于D，事件 ABC 2× 2 1表示第一次记录的数字为偶数，第二次记录的数字为偶数，故 P ABC = 4× 4 = 4 ，
故D错误.
故选：BC．
第 II卷 (非选择题)
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．
13. 10π 13π计算 cos 3 - 2sin - 6 = .
- 1答案 2
10π 2π 2π
解析 因为 cos 3 = cos - 3 = cos 3 =-
1
2 ,sin -
13π
6 = sin -
π
6 =-
1
2 ，
所以 cos 10π 13π3 - 2sin - 6 =-
1
2
14. 已知 cos π6 + θ =
3
3 ,
π
则 sin 3 - θ = .
3
答案 3
解析 sin π3 - θ = sin
π
2 -
π
6 + θ = cos
π
6 + θ =
3
3
2
15. f (x) = 8x +3asinx+ 8若函数 存在最大值和最小值，记M= f (x) ,N= f (x) ，侧M+N= ．
x2+1 max min
答案 16
2
f (x) = 8x +3asinx+ 8 = 8+ 3asinx解析 2+ 2+ ，令 g(x) =
3asinx
x 1 x 1 x2+ ,x∈ R1
(- )= 3asin -xg x =- 3asinx则 - 2+ =-g(x)，即 g(x)为奇函数，由此 g(x)x 1 x2+1 min+g(x)max= 0
故M+N= 8+ g(x)max+8+ g(x)min= 16
故答案为：16.
16. 三个元件 a,b,c 1 1 2独立正常工作的概率分别是 3 , 2 , 3 ，把它们随意接入如图所示电路的三个接线盒 T1,T2,
T3中 (一盒接一个元件)，各种连接方法中，此电路正常工作的最大概率是 .
4
答案 9
1 1 1 5
解析 若 T1接入 a，T2,T3分别接入 b,c，则该电路正常工作的概率为 3 × 1- 2 × 3 = 18 ；
若 T1接入 b，T ,T
1 2 1 7
2 3分别接入 a,c，则该电路正常工作的概率为 2 × 1- 3 × 3 = 18 ；
若 T1接入 c，T2,T
2 2 1 4
3分别接入 a,b，则该电路正常工作的概率为 3 × 1- 3 × 2 = 9 ；
∵ 49 >
7
18 >
5 4
18 ，∴此电路正常工作的最大概率为 9 .
4
故答案为：9 .
四、解答题：本题共 6小题，共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
·5·
17. 已知角 α 的顶点在坐标原点, 3始边与 x 轴的非负半轴重合, 终边经过点 P(-8,m), 且 sinα=- 5 .
(1)求 m 的值;
2cos 3π2 + α + cos(-α)(2)求 的值
sin 5π2 - α - cos(π+ α)
答案 (1) -6；(2) 54 .
解析 (1)由三角函数定义得 sinα= m =- 3 ,
(-8)2+m2 5
3
两边平方解得 m2= 36, 又 sinα=- 5 < 0, 故 m< 0,∴m=-6.
2cos 3π2 + α + cos(-α)(2) = 2sinα+ cosα = 2sinα+ cosα ,
sin 5π2 - α - cos(π+ α)
cosα+ cosα 2cosα
(1) tanα= 3 . = 2sinα+ cosα 1+ 2tanα 5由 得 4 原式 2cosα = 2 = 4
18. 某工厂为了检验某产品的质量，随机抽取 100 件产品，测量其某一质量指数，根据所得数据，按 10,12 ,
12,14 , 14,16 , 16,18 , 18,20 分成 5组，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)估计该产品这一质量指数的中位数；
(2)若采用分层抽样的方法从这一质量指数在 16,18 和 18,20 内的该产品中抽取 6件，再从这 6件产
品中随机抽取 2件，求这 2件产品不是取自同一组的概率.
答案 (1)15；(2) 815 .
解析 (1)因为 0.025+ 0.125 × 2= 0.3< 0.5，0.3+ 0.200× 2= 0.7> 0.5，
所以该产品这一质量指数的中位数在 14,16 内，
设该产品这一质量指数的中位数为m，则 m- 14 × 0.2+ 0.3= 0.5，
解得m= 15；
(2)由频率分布直方图可得 100× 0.100× 2= 20,100× 0.050× 2= 10，
即在 16,18 和 18,20 的产品分别由 20,10件，
采用分层抽样的方法抽取的 6件产品中这一质量指数在 16,18 内的有 4件，记为 a,b,c,d，这一质量指
数在 18,20 内的有 2件，记为 e, f，
从这 6件产品中随机抽取 2件的情况有 ab,ac,ad,ae,af ,bc,bd,be,bf ,cd,ce,cf ,de,df ,ef，
共 15种；其中符合条件的情况有 ae,af ,be,bf ,ce,cf ,de,df，共 8种，
·6·
8
故所求概率 P= 15 .
19. 已知函数 f (x) =-3cos 2x+ π4 .
(1)求函数 f (x) 的对称中心和单调递减区间；
(2)若 x∈ π , 3π4 4 , 求函数 f (x) 的值域.
答案 (1) kπ π对称中心为 2 + 8 ,0 (k∈Z) -
5π
；单调递减区间为 8 + kπ,-
π
8 + kπ
(k∈Z).(2)
解析 (1) 令 2x+ π4 = kπ+
π kπ π
2 (k∈Z), 解得 x= 2 + 8 (k∈Z).
∴ 函数 f (x) kπ π图像的对称中心为 2 + 8 ,0 (k∈Z).
∵ 函数 y= cosx 的単调递增区间为 [-π+ 2kπ,2kπ] (k∈Z),
∴ 函数 y=-3cosx 的单调递减区间为 [-π+ 2kπ,2kπ] (k∈Z).
令 -π+ 2kπ≤ 2x+ π4 ≤ 2kπ(k∈Z) ，
5π
解得 - 8 + kπ≤ x≤-
π
8 + kπ(k∈Z).
∴ 函数 f (x) 5π π的单调递减区间为 - 8 + kπ,- 8 + kπ
(k∈Z).
(2) ∵ 函数 f (x) - 5π的单调递减区间为 8 + kπ,-
π
8 + kπ
(k∈Z),
π , 3π 8 4
-
5π + kπ,- π + kπ ， π8 8 4 ,
3π
8 ∩
-
5π
8 + kπ,-
π + kπ 8 =
∴ 当 x∈ π , 3π4 4 时，函数 f (x)
π 3π 3π 3π
在 ,
4 8 上单调递增，在
, 8 4 上单调递减,
∴ f (x) 3π 3π 3π π 3 2max= f 8 = 3, f (x)min= f 4 =-3cos 2× 4 + 4 =- 2 .
∴ 函数 f (x) 的值域为 -
3 2
2 ,3 .
20. 2022 年冬天新冠疫情卷土重来，我国大量城市和地区遭受了奥密克戎新冠病毒的袭击，为了控制疫情，
某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围内，每喷洒 1个单位的消毒剂，空气
中释放的浓度 y(单位：毫克 /立方米)随着时间 x(单位：小时)变化的关系如下：当 0≤ x≤ 4 时，y=
16
8- x - 1；当 4< x≤ 10 时，y= 5-
1
2 x. 若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消
毒剂在相应时刻所释放的浓度之和. 由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于 4(毫克 /立方米)时，它才
能起到杀灭空气中的病毒的作用.
(1)若一次喷洒 4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达几小时？
(2)若第一次喷洒 2个单位的消毒剂，6小时后再喷洒 a(1≤ a≤ 4)个单位的消毒剂，要使接下来的 4小
时中能够持续有效消毒，试求 a的最小值.(精确到 0.1，参考数据： 2 取 1.4)
答案 (1)8；(2)1.6
解析 (1)解：因为一次喷洒 4个单位的净化剂，
64 - 4, 0≤ x≤ 4
所以其浓度为 f x = 4y= 8- x ，20- 2x, 4< x≤ 10
0≤ x≤ 4 64当 时，8- x - 4≥ 4，解得 x≥ 0，此时 0≤ x≤ 4，
当 4< x≤ 10时，20- 2x≥ 4，解得 x≤ 8，此时 4< x≤ 8，
·7·
综上 0≤ x≤ 8，
所以若一次喷洒 4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达 8小时；
(2)设从第一次喷洒起，经 x 6≤ x≤ 10 小时后，
g x = 2 5- 1 x + a 16其浓度为 2 - 18- x- 6 ，
= 10- x+ 16a 16a14- x - a= 14- x+ 14- x - a- 4，
因为 14- x∈ 4,8 ,a∈ 1,4 ，
所以 14- x+ 16a 16a14- x - a- 4≥ 2 14- x 14- x - a- 4= 8 a- a- 4，
当且仅当 14- x= 16a14- x，即 x= 14- 4 a时，等号成立；
所以其最小值为 8 a- a- 4，
由 8 a- a- 4≥ 4，解得 24- 16 2≤ a≤ 4，
所以 a的最小值为 24- 16 2 ≈ 1.6.
21. 函数 f (x) = Asin(ωx+ φ) (其中 A> 0,ω> 0,|φ| < π2 )的部分图象如图所示，把函数 f (x)的图像向右平
π
移 4 个单位长度，再向下平移 1个单位，得到函数 g(x)的图像．
(1)判断 g(x) =- 13 在 0,2π 的解的个数，并求出所有解的和；
(2)令 F(x) = f (x) - 3，若对任意 x都有 F 2(x) - (2+m)F(x) + 2+m≤ 0恒成立，求m的最大值．
答案 (1)4 10π 26个， 3 ；(2) - 5 ．
解析 (1)根据图像可知 A= 1, 1 T= 7π4 12 -
π 2π
3 ∴ T= π,∴ω= T = 2, f (x) = sin(2x+ φ)
7π代入 12 ,-1
7π
得，sin 6 + φ =-1,φ= 2kπ+
π
3 ,k∈ Z，
∵ |φ| < π2 ,∴ k= 0,φ=
π
3 ∴ f (x) = sin 2x+
π
3
把函数 f (x) π的图像向右平移 4 个单位长度，再向下平移 1个单位，得到函数 g(x)
∴ g(x) = sin 2 x- π4 +
π
3 - 1= sin 2x-
π
6 - 1，
由 g(x) =- 1 π 23 ，得 sin 2x- 6 = 3 ，
当 x∈ 0,2π ，则 2x- π ∈ π 23π 6 - 6 , 6 ，
在 0,2π 的解的个数为 4个，设这 4个解分别为 a,b,c,d，
π π π
根据函数图像的对称性可得 2a- 6 + 2b- 6 = 2× 2 ,2c-
π + 2d- π = 2× 5π6 6 2 ，
所以 a+ b= 2π3 ,c+ d=
8π
3 ，
所以 a+ b+ c+ d= 10π3
·8·
g(x) =- 1 0,2π 4 10π所以 3 在 的解的个数为 个，所有解的和为 3 -
(2)由 (1)可知 f (x) = sin 2x+ π3 ∈ [-1,1]
F(x) = f (x) - 3∈ [-4,-2]对任意 x都有 F 2(x) - (2+m)F(x) + 2+m≤ 0恒成立
令 t= F(x) ∈ [-4,-2]，h(t) = t2- (2+m)t+ 2+m，是关于 t的二次函数，开口向上
则 h(t)max≤ 0恒成立而 h(t)的最大值，在 t=-4或 t=-2时取到最大值
10
h(-2)≤ 0 4- (2+m) (-2) + 2+m≤ 0
m≤-
则 3 h(-4)≤ 0， 16- (2+m) (-4) + 2+m≤ 0，解得 m≤- 265
m≤- 26所以 5 ，则m
26
的最大值为- 5 ．-
22. 已知函数 f (x) = ln(x+ 1) - ln(1- x).
(1)判断函数 f (x)的单调性，并证明；
(2)若 g(x) = 2cos π2 x，记 h(x) = f (x) - g(x)，求证：h(x)有且只有一个零点.
答案 (1) f (x)单调递增，证明见解析；(2)证明见解析
解析 (1) x+ 1> 0由 1- x> 0 ,所以-1< x< 1，所以 f (x)的定义域 (-1,1),
判断：f (x)在 (-1,1)上单调递增.
证明如下：任取 x1,x2∈ (-1,1)且 x1< x2，
所以 f x1 -
x +1 x +1 x +1 1- x
f x2 = ln 1 - ln 2 = ln
1 2
1- x1 1- x
，
2 1- x1 x2+1
又 x1+1> 0,1- x2> 0,1- x1> 0,x2+1> 0,
x1+1 1- x2 - 1- x1 x2+1 = 2 x1-x2 < 0，
< x1+1 1- x2 < x1+1 1- x所以 0 2 - + 1，所以 ln - + < 0，即 f x1 < f x , 1 x1 x2 1 1 x x 1 2
1 2
所以 f (x)在 (-1,1)上单调递增.
(2) π证明：因为 g(x) = 2cos 2 x在 (-1,0)上单调递增；在 (0,1)上单调递减；
当 x∈ (-1,0]时，g(x) = 2cos π2 x> 0；
x+ 1 2 x+ 1 2
1- x = 1- x - 1∈ (0,1], f (x) = ln 1- x = ln 1- x - 1 ≤ 0，
此时，h(x) = f (x) - g(x)< 0，所以 h(x)在 (-1,0]上没有零点；
当 x∈ (0,1) 2时，1- x - 1递增,故 f (x) = ln
x+ 1
1- x = ln
2
1- x - 1 递增，
则 h(x) = f (x) - g(x)在 (0,1)上单调递增，
又 h(0) = f (0) - g(0) =-2< 0,h 23 = f
2
3 - g
2
3 = ln5- 1> 0，
所以 h(x) = f (x) - g(x)在 (0,1)上有唯一的零点，
综上，h(x)在 (-1,1)上有且只有一个零点.
·9·南昌市第八中学2022-2023学年高一下学期第一次（3月）月考 数学试卷
考试时间:120分钟 试卷满分:150分
注意事项:
1．答题前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
4．本试卷主要考试内容:北师大版选择性必修第一册。
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1．己知集合 , 集合 , 则 （）
A. B. C. D.
2．终边落在直线上的角的集合为（ ）
A． B．
C． D．
3．函数是（ ）
A．周期为的奇函数 B．周期为的偶函数
C．周期为的奇函数 D．周期为的偶函数
4．一个盒子中有若干白色围棋子，为了估计其中围棋子的数目，小明将100颗黑色的围棋子放入其中，充分捡拌后随机抽出了20颗，数得其中有5颗黑色的围棋子，根据这些信息可以估计白色围棋子的数目约为（ ）
A．200颗 B．300颗 C．400颗 D．500颗
5．设，则（ ）
A． B．
C． D．
6．如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，如图是会徽的几何图形，设弧长度是，弧长度是，几何图形面积为，扇形面积为，若，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
7．函数对任意都有成立，且函数的图象关于点对称，，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
8．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若在上单调递减，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9．已知函数，则（ ）
A．的最小正周期是 B．是图象的对称轴
C．是图象的对称中心 D．在区间上单调递减
10．下列说法正确的是（ ）
A．函数的定义城为
B．和g（x）=x表示同一个函数
C．函数的图像关于坐标原点对称
D．函数f（x）满足，则
11．已知是正数，且，则（ ）
A．的最大值为4
B．的最大值为0
C．的最小值为4
D．的最小值为
12．在一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“两次记录的数字之和为偶数”，事件B为“第一次记录的数字为偶数”；事件C为“第二次记录的数字为偶数”，则下列结论正确的是（ ）
A．事件B与事件C是互斥事件
B．事件A与事件B是相互独立事件
C．
D．
三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13. 计算 ___________.
14. 已知 , 则 ___________.
15．若函数存在最大值和最小值，记，侧____________．
16．三个元件独立正常工作的概率分别是，把它们随意接入如图所示电路的三个接线盒中（一盒接一个元件），各种连接方法中，此电路正常工作的最大概率是__________.
四、解答题:本大题共6小题,共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17. 已知角 的顶点在坐标原点, 始边与 轴的非负半轴重合, 终边经过点 , 且 .
(1)求 的值;
(2)求 的值
18．某工厂为了检验某产品的质量，随机抽取100件产品，测量其某一质量指数，根据所得数据，按分成5组，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)估计该产品这一质量指数的中位数；
(2)若采用分层抽样的方法从这一质量指数在和内的该产品中抽取6件，再从这6件产品中随机抽取2件，求这2件产品不是取自同一组的概率.
19. 已知函数 .
(1)求函数 的对称中心和单调递减区间；
(2)若 , 求函数 的值域.
20．2022年冬天新冠疫情卷土重来，我国大量城市和地区遭受了奥密克戎新冠病毒的袭击，为了控制疫情，某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围内，每喷洒1个单位的消毒剂，空气中释放的浓度单位：毫克/立方米随着时间单位：小时变化的关系如下：当时，；当时，若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于毫克/立方米时，它才能起到杀灭空气中的病毒的作用.
(1)若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达几小时？
(2)若第一次喷洒2个单位的消毒剂，6小时后再喷洒个单位的消毒剂，要使接下来的4小时中能够持续有效消毒，试求a的最小值.精确到，参考数据：取
21．函数（其中）的部分图象如图所示，把函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移1个单位，得到函数的图像．
（1）判断在的解的个数，并求出所有解的和；
（2）令，若对任意都有恒成立，求的最大值．
22．已知函数.
(1)判断函数的单调性，并证明；
(2)若，记，求证：有且只有一个零点.
