路桥中学重点班2005入学数学试题及答案[下学期]

★绝密★
路桥中学重点班2005入学试题及答案
数 学
说明：
I. 本卷考试时间90分钟，满分100分。
II. 本卷分为试题（共2页）和答卷（共4页），答案必须做在答题卷上。
试 题
1、 填空题（每题5分，共25分）
1．实数x1，x2满足x1- x2 =，则x1，x2的方差等于 ▲ 。
2． CD为Rt△ABC斜边上的高线，AC、BC为x2-5x+2=0的两根，则AD·BD的值等于 ▲ 。
3．如图，△ABC中，AB=AC=8，D、E、F为BC、AB、AC上的点，DE=DB，DF=DC，BE+CF=4，则BC= ▲ 。
4．如图，Rt△ABC纸片中，∠C=90°，BC=1，AB=2，沿AD对折，使点C落在AB边上，则tanα= ▲ 。
5．如图，在直角坐标系中，点P（3，3），两坐标轴的正半轴上有M、N两点，且∠MPN=45°，则△MON的周长等于 ▲ 。
2、 选择题（每题5分，共25分）
6．若关于x的不等式组 有解，则函数y=（a-3）x2-x-图象与x轴的交点个数为（▲）
（A）0 （B）1
（C）2 （D）1或2
7．设a、b、c、d、e的值均为0、1、2中之一，且a+b+c+d+e=6，a2+b2+c2+d2+e2=10，则a3+b3+c3+d3+e3的值为 （▲）
（A）14 （B）16 （C）18 （D）20
8．正五边形对角线长为2，则边长a为（▲）
（A）-1 （B）+1 （C）3- （D）2-3
9．如图，圆O的圆心在梯形ABCD的底边AB上，并与其它三边均相切，若AB=10，AD=6，则CB长（▲）
（A）4 （B）5
（C）6 （D）无法确定
10．平面直角坐标系中，已知点P0（1，0），将点P0绕原点O按逆时针方向旋转30°得到P1，延长OP1到P2，使OP2=2OP1；再将P2绕点O按逆时针方向旋转30°得P3，然后延长OP3到P4，使OP4=2OP3；……；如此下去，则点P2004的坐标为（▲）
（A）（-22004，0） （B）（-21002，0） （C）（0，21002） （D）（21002，0）
3、 解答题（共50分）
11．（12分）设x1、x2是方程x2-6x+a=0的两个根，以x1、x2为两边长的等腰三角形只可以画出一个，试求a的取值范围。
12．（12分）先阅读下列一段文字，然后回答问题。
某运输部门确定：办理托运，当一件物品的重量不超过a千克（a＜18）时，需付基础费30元和保险费b元；为限制过重物品的托运，当一件物品的重量超过a千克时，除了付以上基础费和保险费外，超过部分每千克还需付c元超重费。设某件物品的重量为x千克，支付费用为y元。
（1）当0＜x≤a时，y= ▲ ，（用含b的代数式表示）；当x＞a时，y= ▲ （用含x和a、b、c的代数式表示）。
（2）甲、乙、丙三人各托运了一件物品，重量与支付费用如右表所示：①试根据以上提供的信息确定a、b、c的值，并写出支付费用y（元）与每件物品重量x（千克）的函数关系式。②试问在物品可拆分的情况下，用不超过120元的费用能否托运55千克物品？若能，请设计出一种托运方案，并求出托运费用；若不能，请说明理由。
13．（本题13分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，
CA=3cm，CB=4cm，设点P、Q为AB、CB上动点，
它们分别从A、C同时出发向B点匀速移动，移动速度为1cm/秒，
设P、Q移动时间为t秒（0≤t≤4）.
①当∠CPQ=90°时，求t的值。
②是否存在t，使△CPQ成为正三角形？若存在，求出t的值；
若不存在，能否改变Q的运动速度（P的速度不变），使△CPQ成为正三角形？如何改变？并求出相应的t值。
14．（本题13分）已知定点F（0，-2），动点P（x，y）到F点的距离与它到x轴的距离相等。
（1）写出y关于x的函数关系式
（2）若（1）中的函数图象与过F点的直线y=kx+b交于A、B两点，
ⅰ 请用k表示线段AB的长；
ⅱ 以AB为弦的圆与y轴交于M（0，－4＋2）、N（0，－4－2）两点，求此时直线y=kx+b的解析式。
数学标准答案及评分标准
一、填空题（每题5分，共25分）
1. 3/4 2. 4/21 3. 4 4. 2- 5. 6
二、选择题（每题5分，共25分）
6.D 7.C 8.A 9.A 10.B
三、解答题（共50分）
11.（12分）解：设x1，x2为方程两根，且x1≤x2
则x1=3-
x2=3+
∵x1＞0，x2＞0
∴0＜a≤9 …………………………………………2’
ⅰ 当x1=x2时，
即△=9-a=0
a=9时为正三角形 ………………………………5’
ⅱ 当x1≠x2时，
∵x1≤x2 ∴以x2为腰为等腰三角形必有一个
而等腰三角形只有一个，故不存在以x2为底，x1为腰的三角形
∴2x1≤x2
∴6-2≤3+
∴≥1
∴0＜a≤8 …………………………………………………11’
综上所述：当0＜a≤8或a=9时只有一个等腰三角形 ………………………12’
12.（12分）（1）y=30+b；
y=30+b+c（x-a） ……………………各1’ 共2’
（2）①
由此得：c=3，3a-b=45 …………………………………4’
假设a＜12，则30+b+3（12-a）=33 得 3a-b=33 这与3a-b=45 矛盾
∴a≥12，故30+b=33， ∴b=3， ∴a=16
∴ …………………7’（注：若不讲理由就得30+b=33，扣2分）
∴y= ………………………………9’
②只要满足条件的方案即可，如方案：分成16、16、23，托费120元。………12’
13．（13分）（1）作MP⊥AC，由△APM∽△ACB得MP=t，AM=t
作PN⊥CQ于N，则CN=PM=t
由射影定理得CP2=CN·CQ
故t2-t+9=（t）t
整理得：t2-18t+45=0
∴t1=3，（t2=15舍去） ………………………………………………6’
②ⅰ假设存在t使△PCQ为正三角形
则CN=MP ， ∴t=t
∴t=0 ，故△PCQ不存在
∴△CPQ不可能为正△ ………………………………………………8’
ⅱ 设Q速度为x，则CQ=xt，若△CPQ为正△，则
CN=CQ
PN=CN ………………………………………………………10’
CQ < 4
解得： x=， ……………………………………………11’
t= ……………………………………………13’
14．（13分）解：（1）过P作PH⊥x轴于H，则PF=PH
∴
∴y=-x2-1 ……………………………………………………………5’
（2）ⅰ设A （x1，y1），B（x2，y2）（这里y1＜0，y2＜0）
∵直线过F（0，-2）
∴直线为y=kx-2
由 得 y2+4（1+k2）y+4（k2+1）=0 ……………………6’
A、B 在抛物线上，由已知条件知：AB=AF+FB
∴AB== -（y1+y2）=4（k2+1） …………………………10’
ⅱ 由相交弦定理
AF·FB=FM·FN ………………………………………………11’
又AF·FB=
∴ ………………………………………………12’
∴k=±1
即直线方程为y=±x-2 ………………………………………………13’
C
F
D
A E B
（第3题）
B
D
α
C A
（第4题）
y
P
M
0 N x
（第5题）
x≥a+2
x＜3a-2
D C
A O B
(第9题)
物品重量（千克） 支付费用（元）
12 33
18 39
25 60
A
P
C Q B
（第13题）
39=30+b+c（18-a）
60=30+b+c（25-a）
a=16
b=3
c=3
33（0＜x≤16
33+3（x-16）（x＞16）
y=kx-2
y=-x2-1
－数试 5－( 共 5 页)