广东省佛山市南山湖实验中学2022-2023学年高一下学期3月教学质量检测数学试题（含解析）

广东省佛山市南山湖实验中学2022-2023学年高一下学期3月教学质量检测数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列各式中结果为零向量的是（ ）
A． B．
C． D．
2．函数的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
3．为了得到函数的图像，只需要将函数的图像（ ）
A．向左平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向右平移个单位
4．在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，DE交AC于F，则（ ）
A． B． C． D．
5．若，则（ ）
A． B． C． D．
6．（ ）
A． B． C． D．
7．已知，则（ ）
A．三点共线 B．三点共线
C．三点共线 D．三点共线
8．设函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于直线对称
B．的图象关于点对称
C．把的图象向左平移个单位长度，得到一个偶函数的图象
D．在区间上为增函数
二、多选题
9．下列各式中，正确的有（ ）
A． B．
C． D．
10．函数f（x）＝cos（2x）的图象的一条对称轴方程为（ ）
A．x B．x C．xπ D．x
11．已知向量，，则（ ）
A．若与垂直，则 B．若，则的值为
C．若，则 D．若，则与的夹角为
12．已知函数的部分图像如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则下列说法正确的（ ）
A． B．
C．函数为奇函数 D．函数在区间上单调递减
三、填空题
13．已知，，且，则与夹角为___________．
14．=_______．
15．已知与的夹角为，则在方向上的投影向量为__.
16．若在区间上的单调递增，则正数的取值范围是_________．
四、解答题
17．已知．
（1）化简；
（2）若是第三象限角，且，求的值．
18．已知向量，.
（1）求的值；
（2）若，求的值.
19．已知 .
（1）求和的值；
（2）求和.
20．已知函数，．
(1)求函数的最小正周期和单调递减区间；
(2)求函数在上的最大值及相应自变量的值．
21．函数的部分图象如图：
(1)求解析式；
(2)写出函数在上的单调递减区间.
22．如图，设A是单位圆和x轴正半轴的交点，P、Q是单位圆上的两点，O是坐标原点，，．
（1）若，求的值；
（2）设函数，求的值域．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】根据向量的加法和减法运算，对四个选项逐一计算，即可得正确答案.
【详解】对于选项：，选项不正确；
对于选项： ，选项不正确；
对于选项：，选项不正确；
对于选项：
选项正确.
故选：D
2．B
【分析】利用正切型函数最小正周期可直接求得结果.
【详解】的最小正周期为.
故选：B.
3．B
【分析】根据三角函数平移变换原则可直接得到结果.
【详解】，
只需将向左平移个单位，即可得到.
故选：B.
4．D
【分析】由题可得，再根据向量运算法则即可表示.
【详解】因为是BC的中点，，所以，
所以.
故选：D.
5．C
【解析】利用诱导公式可求得的值.
【详解】.
故选：C.
6．A
【分析】根据给定条件，利用诱导公式、逆用差角的正弦计算作答.
【详解】.
故选：A
7．C
【分析】根据向量共线定理，考查选项中两个向量之间是否有倍数关系即可判断.
【详解】对于A:不存在实数 ，使得，故 三点不共线；
对于B: 不存在实数 ，使得，故 三点不共线；
对于C: ,故 ，所以三点共线；
对于D: 不存在实数 ，使得，故 三点不共线；
故选：C
8．C
【分析】由可判断A；由可判断B；的图象向左平移个单位可得，可判断C；由可判断D
【详解】当时，，，故直线不为对称轴，A不正确；
当时，，，故点不为对称中心，B不正确；
把的图象向左平移个单位长度，得到函数
，它是偶函数，C正确；
由，在上不单调，D不正确
故选：C
9．ABC
【分析】对于A、C：利用两角差的正弦公式直接求解；对于B：利用二倍角的余弦公式直接求解；对于D：先利用诱导公式，再利用两角和的余弦公式直接求解.
【详解】对于A：.故A正确；
对于B：.故B正确；
对于C：.故C正确；
对于D：.
故D错误.
故选：ABC
10．BC
【分析】由余弦函数的性质，令2xkπ，k∈Z，解得：x，k∈Z，讨论即可求解.
【详解】令2xkπ，k∈Z，则解得：x，k∈Z，
当k＝1时，x，当k＝2时，x.
故选：BC.
【点睛】本题主要考查了余弦函数的性质，还考查了函数思想和运算求解的能力，属于基础题.
11．BC
【解析】利用平面向量垂直的坐标表示可判断A选项的正误；利用平面向量共线的坐标表示与平面向量数量积的坐标表示可判断B选项的正误；利用平面向量的模长公式可判断C选项的正误；利用平面向量夹角余弦的坐标表示可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项，，则，解得，A选项错误；
对于B选项，，，，B选项正确；
对于C选项，若，则，所以，，C选项正确；
对于D选项，若，则，，
此时，与的夹角不是，D选项错误.
故选：BC.
12．BC
【分析】根据给定图象结合“五点法”作图方法求出函数的解析式，再逐项分析判断作答.
【详解】观察函数的图象得：，令的周期为T，则，即，，
由得：，而，则，A不正确；
，则，
而，即，B正确；
，有，即为奇函数，C正确；
当时，，而在上单调递增，则在区间上单调递增，D不正确.
故选：BC
13．
【分析】利用平面向量数量积的定义可求得与夹角的余弦值，结合夹角的取值范围可求得结果.
【详解】设与夹角为，则，，因此，.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用平面向量数量积的定义求向量的夹角，考查计算能力，属于基础题.
14．
【分析】将式子上下乘以，然后利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系式求解即可.
【详解】解： ，
故答案为：.
15．
【分析】由向量投影的定义即可求得则在方向上的投影向量.
【详解】在方向上的投影向量为.
故答案为：
16．
【分析】通过辅助角公式进行化简，然后根据正弦函数的单调区间确定的取值范围.
【详解】，由且，所以，因为在上为增函数，所以，可得，所以正数的取值范围是．
故答案为：．
17．（1）；（2）
【解析】（1）利用诱导公式对式子进行化简；
（2）由（1）得到，再利用同角三角函数的基本关系求得答案.
【详解】（1）．
（2）由得，又是第三象限角，
∴．
【点睛】本题考查诱导公式的应用、同角三角函数的基本关系，考查运算求解能力，求解时注意“奇变偶不变，符号看象限”这一口诀的应用.
18．（1）（2）
【分析】（1）根据题中条件，先求出，进而可求出结果；
（2）先由题意得到，根据得到，进而可求出结果.
【详解】（1）因为向量，，
则，
则
（2）因为向量，，
则，
若，
则，
解得：．
【点睛】本题主要考查求向量的模，以及根据向量垂直求参数的问题，熟记向量的坐标运算即可，属于常考题型.
19．（1），；（2），.
【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系求解出的值，结合诱导公式可求的值；
（2）根据两角和的正弦公式以及两角差的余弦公式求解出结果.
【详解】（1）因为，所以，
又；
（2），
.
20．(1)，
(2)，
【分析】（1）首先利用辅助角公式将函数化简，再根据正弦函数的周期公式，可求函数的最小正周期，根据正弦函数的增区间求得函数的单调递减区间；
（2）根据正弦函数的定义域和值域，求得函数的最值．
【详解】（1）因为
由题意得：，即最小正周期为．
由，
解得：，
故函数的单调递减区间为；
（2）由得，
在区间上的最大值为．
当，即，所以时
21．(1)
(2)
【分析】（1）根据图象求得，从而求得解析式.
（2）利用整体代入法求得在区间上的单调递减区间.
【详解】（1）由图象知，所以，又过点，
令，由于，故所以.
（2）由，
可得，
当时，
故函数在上的单调递减区间为.
22．（1）（2）
【分析】（1）根据三角函数的定义求出，然后再根据两角和差公式求的值即可.（2）首先求出向量和的坐标，然后根据向量的坐标运算可求出，最后根据正弦函数的性质求值即可.
【详解】（1）由已知可得，
所以
（2）
因为
所以，故
所以的值域是
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