山东省枣庄市重点中学2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题（含解析）

山东省枣庄市重点中学2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
2．化简等于（ ）
A． B． C． D．
3．设，，，则下列结论成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列函数中最小正周期为，且在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
5．若函数图像的一条对称轴为，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知单位向量，满足，若向量，则＝（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，若在上的值域是，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．的最小正周期为
B．为偶函数
C．在区间内的最小值为1
D．的图象关于直线对称
10．已知向量，，是三个非零向量，则下列结论正确的有（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．若，则 D．若，则
11．已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为 B．的定义域为
C．若，则（） D．在其定义域上是增函数
12．质点和在以坐标原点为圆心，半径为1的上逆时针作匀速圆周运动，同时出发.的角速度大小为，起点为与轴正半轴的交点；的角速度大小为，起点为点.则当与重合时，的坐标可以为（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．已知，则______.
14．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为______．
15．如图，在边长为2的等边中，点为中线的三等分点（靠近点），点为的中点，则______.
16．写出一个最小正周期为2的奇函数________．
四、解答题
17．在平面直角坐标系中，锐角的顶点与坐标原点O重合，始边为x轴的非负半轴，终边分别与单位圆O交于A，B两点，且.
(1)求的值；
(2)若点A的纵坐标为，求点B的纵坐标.
18．已知函数.
(1)求函数的最小正周期T；
(2)求函数的最大值，并求出使该函数取得最大值时的自变量x的值.
19．如图，某公园摩天轮的半径为40m，圆心O距地面的高度为50m，摩天轮做匀速转动，每转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在距地面最近处.
(1)已知在时点距离地面的高度为.求时，点距离地面的高度；
(2)当离地面m以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中在点处有多少时间可以看到公园的全貌.
20．已知，，且与夹角为求：
(1)；
(2)与的夹角．
21．如图所示，已知在△AOB中，点C是以A为对称中心的点B的对称点，＝2，DC和OA交于点E，设，．
（1）用和表示向量、；
（2）若＝λ，求实数λ的值．
22．已知函数，且当时，的最大值为．
(1)求a的值；
(2)设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数b的取值范围．
试卷第4页，共4页
试卷第3页，共4页
参考答案：
1．A
【分析】由三角函数的单调性直接判断是否能推出，反过来判断
时，是否能推出.
【详解】当时，利用正弦函数的单调性知；当时，或.综上可知“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
【点睛】本题考查判断充分必要条件，三角函数的性质，意在考查基本判断方法，属于基础题型.
2．C
【分析】根据向量的加法运算求解即可.
【详解】
.
故选:C.
3．B
【解析】比较、的大小关系，并比较、、三个数与的大小关系，由此可得出、、三个数的大小关系.
【详解】且，即，
又，因此，.
故选：B.
4．B
【分析】根据三角函数的周期性与单调性即可求解.
【详解】依题意，对于AC，最小正周期为：，
所以AC选项不符合题意；
对于B：周期为：，且在上单调递增，
所以B选项符合题意；
对于D：周期为：，且在上单调递减，
所以D选项不符合题意；
故选：B.
5．A
【分析】首先根据为对称轴，得到，然后对取值，结合的取值范围即可求解.
【详解】因为为的一条对称轴，则，所以，当时，，此时，符合题意.
故选：A
6．D
【分析】切化弦后，由二倍角公式，两角差的正弦公式化简变形后可得．
【详解】由已知，，则，
从而，所以，
故选：D．
7．B
【分析】计算出，及，从而利用向量余弦夹角公式计算得到，再利用同角三角函数平方关系求出.
【详解】因为，是单位向量，
所以，
又因为，，
所以，
，
所以，
因为，
所以．
故选：B．
8．B
【分析】用换元法转化为在上的值域为，画图观察列式可得结果.
【详解】由题意可得，令 则 ,如图所示，
∵的值域是，，
∴，即：
∴由图可知，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：B.
9．AC
【分析】由图知，的最小正周期为，结论A正确；
求出，从而不是偶函数，结论B错误；
因为，，则在区间内的最小值为1，结论C正确；
因为为的零点，不是最值点，结论D错误.
【详解】解：由图知，的最小正周期为，结论A正确；
因为，，则．因为为在内的最小零点，则，得，所以，从而不是偶函数，结论B错误；
因为，，结合图像可得在区间内的最小值为1，结论C正确；
因为，则为的零点，不是最值点，结论D错误.
故选：AC．
10．BD
【分析】A注意，方向相反的情况，B由向量平行的定义，注意向量平行传递性的前提条件，C根据向量数量积的定义有，即不一定成立，D利用向量数量积的运算律求，即可知正误.
【详解】A：，当，方向相反时，错误；
B：，，且，，是三个非零向量，则有，正确；
C：知：，不一定有，错误；
D：即，可得，即，正确.
故选：BD
11．ABC
【分析】根据正切函数的性质依次求出函数的最小正周期、定义域、单调区间即可求解.
【详解】A：，函数的最小正周期为，故A正确；
B：由，得，
所以函数的定义域为，故B正确；
C：，得，解得，故C正确；
D：，解得
所以函数在上单调递增，故D错误.
故选：ABC.
12．ABD
【分析】由题意列出重合时刻t的表达式，进而可得Q点的坐标，通过赋值对比选项即可得解.
【详解】点的初始位置的坐标为，锐角，
设时刻两点重合，则，即，
此时点，
即，，
当时，，故A正确；
当时，，即，故B正确；
当时，，即，故D正确.
由三角函数的周期性可得，其余各点均与上述三点重合.
故选：ABD.
13．
【分析】由于，将代入计算即可.
【详解】，
令得，
即
故答案为：
14．
【分析】确定，，根据单调性得到，解得答案
【详解】当时， 在区间上不可能单调递增，排除；
当时，，则，则，解得；
综上所述：
故答案为：
15．1
【分析】利用向量的线性运算得，再利用数量积的计算公式计算即可.
【详解】在边长为2的等边中，为中线，则，
.
故答案为：1
16．
【解析】根据奇函数性质可考虑正弦型函数，，再利用周期计算，选择一个作答即可.
【详解】由最小正周期为2，可考虑三角函数中的正弦型函数，，
满足，即是奇函数；
根据最小正周期，可得.
故函数可以是中任一个，可取.
故答案为：.
17．(1)；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，确定的范围，再利用平方关系求解作答.
（2）利用三角函数的定义，结合差角的正弦公式求解作答.
【详解】（1）因为都是锐角，则，而，
所以.
（2）因为角终边与单位圆交点纵坐标为，则，
又因为角为锐角，因此，
所以，
所以B点的纵坐标为.
18．(1)
(2)最大值，
【分析】（1）利用倍角公式和辅助角公式变形化简，然后根据公式可得周期.
（2）利用正弦函数的性质可得的最大值及取最大值时x的值.
【详解】（1）由已知
所以函数的最小正周期；
（2）由（1）得
函数的最大值为，
此时有，即.
19．(1)
(2)转一圈中在点处有的时间可以看到公园的全貌.
【分析】（1）根据题意，确定的表达式，代入运算即可；
（2）要求，即，解不等式即可.
【详解】（1）依题意知，，，，
由，解得，所以，
因为，所以，又，所以，
所以，
所以，
即时点距离地面的高度为；
（2）令，即，
解得，
即，
又，
所以转一圈中在点处有的时间可以看到公园的全貌.
20．(1)12；
(2).
【分析】（1）根据平面向量数量积的定义和运算性质进行求解即可；
（2）根据平面向量夹角公式，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可.
【详解】（1），，且与夹角为，
，，
，
；
（2），
，
，
设与的夹角为，
，
又，
所以，即与的夹角为．
21．（1），；（2）λ＝．
【分析】(1)结合向量的加法、减法法则运算即可；
(2)根据向量的减法法则可得＝(2－λ)、，结合平行向量的基本定理计算即可.
【详解】（1）由题意知，A是BC的中点，且＝，
由平行四边形法则，＋＝2，
∴＝2－＝，
＝－＝()－＝．
（2）∥．
又∵＝－＝()－λ＝(2－λ)，
＝，
∴＝，∴λ＝．
22．(1)2
(2)
【分析】（1）整理可得，利用换元法结合二次函数的性质运算求解；
（2）先求值域，根据题意可得值域是值域的子集，分类讨论运算求解.
【详解】（1）∵
，
令，则在上的最大值为，且，
则，解得，
当时，则的开口向下，对称轴为，
故当时，取到最大值，
则，解得或（舍去），
故a的值为2.
（2）由（1）可得：，
令，则的开口向下，对称轴为，
故当或时，取到最小值，
故在上的值域，
又∵，则，故，
设在上的值域为，
若对任意的，总存在，使得，则，
当时，则，显然不成立，不合题意，舍去；
当时，则，可得，解得；
当时，则，可得，解得；
综上所述：实数b的取值范围为.
【点睛】方法点睛：三角函数值域(最值)的三种求法
（1）直接法：利用sinx，cosx的有界性直接求．
（2）单调性法：化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，采用整体思想，求出ωx＋φ的范围，根据y＝sinx的单调性求出函数的值域(最值)．
（3）换元法：对于y＝asin2x＋bsinx＋c和y＝a(sinx＋cosx)＋bsinxcosx＋c型常用到换元法，转化为二次函数在限定区间内的最值问题．
答案第10页，共10页
答案第9页，共10页