湖南省永州市重点中学2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题（含解析）

永州市重点中学2022-2023学年高一下学期3月月考
数 学
一、单选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数为纯虚数，则实数a的值为（ ）
A. －1 B. 0 C. 0或－1 D. 1
2. 若向量与向量的夹角为，，，则（ ）
A. 12 B. 6 C. 4 D. 2
3. 在中，，，，AD为BC边上的高，若，则（ ）
A. 1 B. C. D.
4. 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：m/s）可以表示为，其中Q表示鲑鱼的耗氧量的单位数.当一条鲑鱼以的速度游动时，其耗氧量是静止时耗氧量的倍数为（ ）
A. B. 8 C. 32 D. 64
5. 在中，，向量在上的投影向量为，，则（ ）
A. 5 B. C. D.
6. 在中，若，则该三角形的形状是（ ）
A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
7. 已知函数的图象如图所示，图象与x轴的交点为，与y轴的交点为N，最高点，且满足.若将的图象向左平移1个单位得到的图象对应的函数为，则（ ）
A. B. 0 C. D.
8. 已知函数的定义域为D，若，，满足，则称函数具有性质.已知定义在上的函数具有性质，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 下列关于向量的命题正确的是（ ）
A. 非零向量，，，满足，，则
B. 向量，共线的充要条件是存在实数，使得成立
C. 在中，，，，该三角形有唯一解
D. 若，，为锐角，则实数m的范围是
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 半径为1，圆心角为的扇形的面积等于
B. 若正数a，b满足，则
C. 在中，的充要条件是
D. 在中，若，，，则或
11. 直角中，斜边，P为所在平面内一点，（其中），则（ ）
A. 的取值范围是 B. 点P经过的外心
C. 点P所在轨迹的长度为2 D. 的取值范围是
12. 已知函数，若方程有四个不同的实数解，它们从小到大依次记为，，，，则（ ）
A. B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知向量，，，则______.
14. 复数与在复平面上对应的向量分别为与，则向量对应的复数是______.
15. 设函数是定义在上的偶函数，记，且函数在区间上是增函数，则不等式的解集为______.
16. 在锐角中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，且，则的取值范围是______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）已知，为单位向量，且，的夹角为，向量，.
（1）求；
（2）求与的夹角.
18.（本小题满分12分）在中，，.再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使其能够确定唯一的三角形，求：
（1）a的值；
（2）的面积.条件①：；条件②：；条件③：.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
19.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，已知向量，，.
（1）若，求x的值；
（2）若函数，且函数没有最值，求实数a的取值范围.
20.（本小题满分12分）已知函数.
（1）求函数在区间上的单调递减区间；
（2）在中，A，B，C所对应的边为a，b，c，且，，求面积的最大..
21.（本小题满分12分）如图，在菱形ABCD中，，.
（1）若，，求；
（2）若菱形ABCD的边长为6，求的取值范围.
22.（本小题满分12分）已知函数（其中，，）的图象与x轴交于A，B两点，A，B两点的最小距离为，且该函数的图象上的一个最高点的坐标为.
（1）求函数的解析式；
（2）求证：存在大于的正实数，使得不等式在区间有解.（其中e为自然对数的底数）.
永州市重点中学2022-2023学年高一下学期3月月考
数学试卷答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B B D D C A D D AD BC ABD ACD
13. 4 14. 15. 16.
3. D 【详解】如图，因为，，而AD为高，故，
又，故，
而，不共线，故，，所以，故选：D.
4. D 【详解】因为，所以当鲑鱼静止时，，即，
化简得，所以；
当，即，
化简得，所以，所以..故选：D.
5. C 【详解】因为向量在上的投影向量为，故为钝角，
如图，过B作AC的垂线，垂足为E，则E在CA的延长线上，
而向量在上的投影向量为，
故，而，故，故，
故，故选：C.
6. A 【详解】∵，∴，
由正弦定理可得，∴，∴，
∴，整理得，，
∴的形状是等腰三角形，故选A.
7. D 【详解】解：由题知，函数的周期T满足，解得，
所以，
由图象与x轴的交点为得，
因为，所以，即，所以，图象与y轴的交点为，
因为，所以，解得（负舍），
所以，所以若将的图象向左平移1个单位得到的图象对应的函数为，，所以.故选：D.
8. D 【详解】由题意得定义在上的函数具有性质，
即，，满足，
即，，恒成立；
记函数，的值域为M，，
则由题意得，
当，即时，在单调递减，
则，即，此时不满足，舍去；
当，即时，，在时取得最大值，
即，即，
要满足，需，解得或，
而，故，即m的取值范围为，故选：D.
11. ABD 【详解】由，又斜边，则，故，A正确；
若O为AB中点，则，
故，又，
所以O，P，C共线，故P在线段OC上，轨迹长为1，又O是的外心，B正确，C错误；
由上，则，
又，则，当且仅当等号成立，
所以，D正确.故选：ABD.
12. ACD 【详解】当时，，易得开口向上，对称轴为，
所以在上单调递减，在上单调递增，且，
当时，，注意此时在处取不到函数值；
当时，，则，所以，
易得的图像是的图像向上平移1个单位得到的，
当时，，注意此时在处取不到函数值；
当时，，则，所以，
易得的图像是的图像向下平移1个单位得到的，且；
综上，画出与在上的图像，如图，
对于A，因为与的图像的交点个数即为方程的解的个数，
又有四个不同的实数解，所以，故A正确；
对于B，结合图像可知，故B错误；
对于C，结合图像可知与关于对称，所以，故C正确；
对于D，因为，所以，所以，
由选项C知，又，，则，
所以，
当且仅当且，即时，等号成立，
易知，所以，所以，故D正确.
故选：ACD.
15. 【详解】解：因为，且是定义在上的偶函数，
则，∴函数为偶函数，
原不等式可化为，即，
又因为函数在区间上是增函数，则，解之得：或，
故答案为：.
16. 【详解】由正弦定理和正弦二倍角公式可得
，
因为，，所以，
可得，
因为，，所以，所以，，
由，可得，
所以，，
由正弦定理得
.故答案为：.
17.【详解】（1）解：∵，为单位向量，且，的夹角为，
∴.
∴.…………5分
（2）设与的夹角为.
∵，
，
∴.
又∵，∴，
∴与的夹角为.…………10分
18.【详解】（1）选条件①：，
在中，由余弦定理得，，
，即.
解得或，
满足条件的三角形有两个，不符合题意，舍去；
选条件②：即，
在中，由余弦定理得，，
，解得；
选条件③：，
在中，由正弦定理得，，
所以；…………6分
（2）选条件②：由题可知，，
所以的面积；
选条件③：，则，，
所以的面积.……12分
19.【详解】（1）∵，，，
∴.又，∴.
∴，∴.…………5分
（2），
∵，∴.
令，则，.
∴函数没有最值等价于函数在区间上无最值.
∴或.∴实数a的取值范围为.…………12分
20.【详解】（1）
.
∵，∴，
∵在区间上单调递减，
∴，∴，
∴在区间上的单调递减区间为.…………5分
（2）由（1）知：，即：，
又∵，∴，
∴.
方法1：由余弦定理得：，
∴ ①
又∵，当且仅当时去等号.②
由①②得：，当且仅当时去等号.
∴的面积最大值为；
方法2：由正弦定理得：，
解得：，，则
，
∵，∴，∴，
∴当时，即：时，取得最大值为1，
∴，
∴，
∴的面积最大值为.…………12分
21.【详解】（1）在菱形ABCD中，∴，且∴，，
又∵，∴，
∴
.…………5分
（2）（i）∵菱形ABCD，∴，，则
，
∵，
∴
，
∵，∴，
∴的取值范围是：.…………12分
22.【详解】解：（1）由题意可知，，，故函数的周期为，故，
故，
∵，则，，即，，
∵，∴，∴；…………4分
（2）证明：因为，故当时，，
原不等式可化为，
又因为，则，
要使得在有解，只需在区间有解，
代入得：，
当解得，即，时，
此时与区间与区间的交集为空集，
当，即，时，
令得时，满足，
又因为，所以，原不等式在区间有解.…………12分