吉林省实验繁荣高级中学
2022-2023 学年度下学期高一年级第一次月考试题
数 学
本试卷分第 I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试时间
120 分钟。第 I 卷 1 至 4 页，第Ⅱ卷 4 至 6 页。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。并在规定位置粘
贴考试用条形码。
2.请认真阅读答题卡上的注意事项，在答题卡上与题号相对应的答题区域内答题，
写在试卷、草稿纸上或答题卡非题号对应答题区域的答案一律无效。不得在答题卡上
做任何标记。
3.回答选择题时，选出每小题答案后记得填涂答题卡。
4.考试结束后，答题卡要及时上交，试卷由考生自行保存。
第 I 卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知 e1,e2是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是 （ ）
A．a 0 , b e1 e2 B．a 3e1 3e2 , b e1 e2
C．a e1 2e2 , b e1 2e2 D．a e1 2e2 , b 2e1 4e2
2．已知向量 AB 9, x ，CD x,1 ，若 AB 与CD同向共线，则 x （ ）
A．3 B． 3 C． 3或3 D． 0 或3
3．在△ABC 中，角 A、B、C 对的边分别为 a、b、c．若 a 1，b 3，c 13 ，
则角C等于 （ ）
A．90 B．120 C．60 D．45
第 1 页 共 6 页
4．在△ABC 中，“sin2 A sin2 B sin2 C ”是“△ABC 是锐角三角形（” ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．冬奧会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久
的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形
象、新梦想．某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角
度，比如在弯折位置通常采用 30°、45°、60°、90°、120°、150°等特殊角
度下．为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求．该同学取端
点绘制了△ABD，测得 AB=5，BD=6，AC= 14，AD=3，若点 C 恰好在边
BD 上，请帮忙计算 sin ACD 的值 （ ）
1 5 2 2 14
A． B． C． D．
2 9 3 9
6．已知 a 4，e为单位向量，当向量 a 与 e的夹角 等于150 时，则向量
a 在向量 e上的投影向量为 （ ）
A． 2e B． 2e C． 2 3e D． 2 3e
2π
7．若两个向量 a 、b 的夹角是 ，a 是单位向量， b 2，c 2a b，则
3
向量 c与b 的夹角为 （ ）
π π 2π 5π
A． B． C． D．
6 3 3 6
第 2 页 共 6 页
8．如图，点T 是半径为 1 的半圆弧上的动点，半圆的圆心为O，OP 2OB ，
则 PT OT 的最大值为 （ ）
A． 3 B． 5
C．3 D．4
二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项
中，有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选
错的得 0 分．
3 2
9．若 e 是直线 l上的一个单位向量，这条直线上的向量a e，b e ，
2 3
则下列说法正确的是 （ ）
4
A．a b B．b a
9
C． a 与 b的夹角为 D．a b=1
10．设点M 是△ABC 所在平面内一点，则下列说法正确的是 （ ）
A．若 AM 3AC 4AB，则点M 、 B 、C三点共线
AB AC
B．在△ABC 中，若 BC 0，则△ABC 为等腰三角形．
AB AC
C．若点M 是△ABC 的重心，则MA MB MC 0
1 2
D．若 AM xAB yAC 且 x y ，则△MBC 的面积是△ABC 面积的
3 3
11．已知平面直角坐标系中三个点 A 1, 3 ，B 1,1 ，C 2, 1 ，点D为线
段 AB 上靠近A 的三等分点，下列说法正确的是 （ ）
1 5
A．△ABC 是钝角三角形 B．D( , )
3 3
C．CD BC 1 D．若四边形 ABCE为平行四边形，则点 E 为 0, 5
第 3 页 共 6 页
12．在锐角△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，外接圆半径为 R ，
若a 3， A ，则（ ）
3
A． R 1 B． 3 b 2
C．CA CB 的取值范围为 (0,3) D．△ABC 周长的最大值为3 3
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．在△ABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，面积为3 2,c 3, A ，
4
则b =_____．
14．在静水中划船的速度为50m / min ，水流的速度为25m / min，如果船
从岸边出发，最终船垂直于水流的航线到达对岸，那么船行进的方向与水
流方向所成角是________．
15．已知平面向量 a (1,2)，b ( 1,1)，若 ka b 与a 3b 垂直，则实数
k ．
16．已知对任意角 ， 均有公式 sin 2 sin 2 2sin cos .
1
设△ABC 的内角 A，B，C 满足 sin 2A sin A B C sin C A B .
2
面积 S 满足1 S 2 .记 a，b，c 分别为 A，B，C 所对的边，则 abc的取值
范围为 ．
第 4 页 共 6 页
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤．
17．（10 分）
已知点 A 1,1 ， B 2, 1 ．
（1）若 C 是线段 AB 的中点，求 C 点坐标；
（2）若直线 AB 上的点 D 满足 AD 2BD，求 D 点坐标．
18．（12 分）
在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 a 1， c 3．
（1）若 B ，求 b；
6
π
（2）若 A ，求 b．
6
19．（12 分）
在△ABC 中， BAC 120 ，AB 3，AC 1，D是边BC 上一点，DC 2BD，
设 AB a， AC b ．
（1）试用 a ，b 表示 AD；
（2）求 AD BC 的值．
20．（12 分）
已知 A 2,0 ， B 0,2 ，C cos ,sin ，O为坐标原点．
（1） AC BC 1，求 sin 2 的值；
（2）若 OA OC 7 ，且 0,π ，求OB 与OC 的夹角．
第 5 页 共 6 页
21．（12 分）
在△ABC 中，角 A、B、C 对的边分别为 a、b、c．且 ．
（1）求角 B 的大小；
（2）求 sin A sinC 的取值范围；
（3）若 a 3， c 2，P 为 AC 边中点，求 BP 的长．
22．（12 分）
如图所示，在△ABC 中，P 在线段 BC 上，满足2BP PC ，O是线段 AP 的
中点．
（1）过点O的直线与边 AB ，AC 分别交于点 E，F，设 ．
（i）求证 2 为定值；
S1
（ii）设△AEF 的面积为 S1 ，△ABC 的面积为 S2 ，求 的最小值． S2
（2）若△ABC 是边长为 1 的正三角形，且P1, P2 Pk P nn 1是线段BC 的 等
分点， APk t AB 1 t AC ，其中1 k n 1，n、k N ，n 2 ，求
AB AP1 AP2 …+AP2023 AC 的值．
第 6 页 共 6 页2022-2023 学年度下学期高一年级第一次月考——数学答案
一、单选题 二、多选题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C A B B C D D C BC BCD ABD ACD
三、填空题
13、 4 14、 120
5
15、 2 16、 8,16 2
三、解答题
17．（10分）
【答案】
(1)解：设C(x, y)，又 A 1,1 ，B 2, 1 ，
uuur uur
则 AC (x 1, y 1),CB (2 x, 1 y)，
uuur uur x 1 2 x
C是线段 AB的中点， AC CB，即
y 1 1 y
，
x 1 C(1解得 2， ,0)2 -----------------------------------------------5分
y 0
uuur uuur
（2）设D(a,b)，又 A 1,1 ，B 2, 1 ， AD (a 1,b 1),BD (a 2,b 1)，
uuur uuur a 1 2(a 2) a 1
Q AD 2BD， ，解得 1， D(1,
1
)
b 1 2(b 1) b 3 .---------------10分 3
18．（12分）
a2 c2 b2 3
【答案】（1）由余弦定理，得 cosB ，∴b 1．---------6分
2ac 2
c sin A 3 1 3 π 2π
（2）由正弦定理，得 sinC ，∵C 0, π ，∴C C
a 1 2 2 3
或 3 ．
第 1 页 共 4 页
C π B π 2π π当 时， 2，∴b 3 1 2；当
C 时， A B ，∴b 1．
3 3 6
综上，b 2或b 1．----------------------------------------------------------12分
19．（12分）
1
【答案】（1）∵D是边 BC上一点，DC 2BD，∴BD BC，又∵ AB a，3
AC b，BC b a，
1 1 2 1
∴ AD AB BD AB BC a b a a b．--------------------------6分3 3 3 3
（2）∵ a AB 3，b AC 1， BAC 120 ，∴ a b a b cos BAC 3 ，
2
AD BC 2
a 1
b
3 3
b a 1 2b 1 a b 2 2a 3 10 .--------------------12分
3 3 3 6
20．（12分）
【答案】
（1） AC BC (cos 2,sin ) (cos , sin 2) cos (cos 2) sin (sin 2)
cos2 2cos sin2 2sin 1 2sin 2cos 1，
所以 sin cos 1，平方得 sin2 2sin cos cos2 1， sin 2 0．----6分
（2）OA OC CA (cos 2)2 sin2 7 ，cos 1 ，又 (0, )，所以
2
2
3 ，sin
3
，
2
OB OC 2
3
cos BOC 2 3 ，而 BOC [0, ]，所以 BOC ．即OB与
OB OC 2 1 2 6
OC的夹角为 ．------------------------------------------------------------------12分6
21．（12分）
2a c a 2 b 2 c 2
【答案】（1）由正弦定理及，得 2 2 2 ，c a c b
第 2 页 共 4 页
2a 1 2a
2 a 2 b 2 c 2 2a 2
即 2 2 2 1 ，化简得c a c b a 2 c 2 b 2
2sin A sinC a2 b2 c2 a2 c2 b2 2 2 2 1
sinC a2 c2 b2 a c b ac，故 cos B ．又
B 0, ，
2ac 2
B 故 ．--------------------------------------------------------------------------4分
3
2 1 A 2 （ ）由（ ）知， C 3 ，故
sinA sinC sinA sin 2 A sin A
3cos A 1 sin A
3 2 2
3 sin A 3 cos A 3 sin
2 2
A
6
.
0 A 2 A 5
3
又 ，则 ， 3 sin
A
3 6 6 6 6
, 32 ，故
3 sinA sinC , 32 ．------------------------------------------------------8分
1 2 1 1 2 2
3 2（ ）∵BP (BC BA)，∴BP (BC BA) (BC BA 2BC BA)，
2 4 4
2
∵ BC 3,BA 2,B
BP 1 (9 4 2 2 19 3 cos )
3 4 3 4
19
BP ----------------------------------------------------------------------12分
2
22．（12分）
【详解】（1）（i）根据题意 AB AE EB AE AE 1 AE,
同理可得： AC 1 AF ，
1 1 1
由（1）可知， AO AP AB AC，
2 3 6
1 1
所以 AO AE AF，
3 6
第 3 页 共 4 页
1 1
因为 E,O,F三点共线，所以 1，
3 6
化简得 2 3，
即 2 为定值，且定值为 3；----------------------------------------4分
（ii 1）根据题意， S1 AE AF sin A，2
S 1 12 AB AC sin A 1 AE 1 AF sin A，2 2
1
S AE AF sin A
所以 1 2
1
S 1 ，2 1 AE 1 AF sin A 1 1
2
由（i）可知 2 3，则 3 2 ，
S1 1 1 1
所以 S2 1 1 3 2 2 2 2 4 1 2 2 9 ， 2 2
S S 2
易知，当
1
1 1时， S 有最小值，此时
S 9 .---------------------------8分2 2 2
（2）根据题意可知 P1,P2 Pk P2023是线段BC的 2024等分点，
所以 AB AC AP1 AP2023 AP2023 AP1
所以 AB AP1 AP2 AP2023 AC AC AP2023 AP2 AP1 AB
2025 AB AC ，
AB AP AP 2025
则 1 2 AP2023 AC AB AC
2025 3
.---------------12分2 2
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