理科选修2-2导数、推理与复数

导数及其应用
1 导数的概念及运算
【考点阐释】
了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义，能根据定义求几个简单函数的导数，能利用导数公式表及导数的四则运算法则求简单函数的导数。
【高考定位】
1.了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义，主要以填空题形式来考查；
2.能根据导数定义求最基本函数的导数，能利用导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数；
3.会求切线的方程，区分在点处与过点的切线方程；
4.导数运算每年必考，常与导数的应用交汇，考查导数的运算能力。
【教材回归】
1.函数的平均变化率
一般地，函数在区间上的平均变化率为
2.函数在处的导数
（1）定义
设函数在区间上有定义，，若无限趋于0时，比值
无限趋于一个常数A，则称在 处可导，并称该常数A为函数在点处 的导数，记作
（2）几何意义
函数在点处的导数的几何意义是曲线在点 的切线的斜率。
3.基本初等函数的导数公式
（C为常数）； （a为常数）；
； ；
； ；
； ______ .
4.导数的四则运算法则
（1）=
（2）=
（3）错误！不能通过编辑域代码创建对象。= ，。
【典例精析】
例1：已知质点M按规律做直线运动（位移单位：cm，时间单位：s）。
当t=2，时，求；
求质点M在t=2时的瞬时速度。
分析：求函数在一点处的平均变化率代入公式，瞬时变化率即该点处的导数值
解：（1）

（2）
所以质点M在t=2时的瞬时速度为8cm/s.
点评：求函数的平均变化率紧扣定义分两步（1）求函数值的增量（2）计算平均变化率.瞬时变化率即该点处的导数值.
例2：求下列各函数的导数：
(2) (3) 分析：据常见函数求导公式公式及相关求导法则求得,若函数式能化简先化简.
解：（1）
（2）
（3）
点评：函数求导要注意：（1）准确地把函数转化为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导。（2）在求导过程中，仔细分析函数式特征，紧扣求导法则，联系基本函数求导公式。（3）对于比较的函数式应先进行合理变形，转化为较简单的结构形式，再求导。例3：已知曲线y=?
（1）求曲线在x=2处的切线方程；?
（2）求曲线过点（2，4）的切线方程.
分析：只要求出切点处的导数值就得到了斜率,为此要先确定切点,要注意区分“在一点”与“过一点”.
解：（1）因为 所以切线斜率
当x=2时y=4由点斜式得切线方程为y-4=4(x-2) 即4x-y-4=0
（2）设切点坐标为（a,b）,则 切线斜率为
又切线过点（2，4）切线斜率为
所以 整理得
∴或
从而切点为（-1，1）或（2，4）对应的斜率分别为1或4
得过点(2,4)的切线方程为x-y+2=0或4x-y-8=0.
点评：求曲线的切线首先要分清是“在一点”还是“过一点”的切线，若求在一点处的切线，则直接由函数在该点处的导数值求出斜率；若求过一点的切线，无论点是否在哪里，先设出切点坐标，利用切点处的导数值与过切点和已知点直线斜率相等求出切点，进而求出切线方程。
【实战演练】
一 选择题
1、在曲线y=x2+1的图像上取一点（1,2）及邻近一点（1+Δx,2+Δy）,则为（ ）
A.Δx++2 B.Δx－－2 C.Δx+2 D.2+Δx－
2．如果质点A按规律s=2t3运动，则在t=3 s时的瞬时速度为（ ）
A. 6m/s B. 18m/s C. 54m/s D. 81m/s
3．若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
4． （ ）
　A．－１ Ｂ．－2 C．－3 D．1
5. 曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
6. 函数y＝ax2＋1的图像与直线y＝x相切，则a＝( )
A. B. C. D. 1
7. 过点（－1，0）作抛物线的切线，则其中一条切线为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知曲线S:y=3x－x3及点,则过点P可向S引切线的条数为( )
A 0 B 1 C 2 D 3
9．函数的图像如图所示，下列数值排序正确的是（ ）
A. y
B.
C.
D. O 2 3 x
10．已知二次函数的导数为，，对于任意实数都有，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
11．设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为（ ）
A. 1 B 2 C 3 D 4
12. 若曲线存在垂直于轴的切线，则实数取值范围是( )
A B C D
二 填空题
13.函数的导函数是_____________________.
14．物体的运动方程是，在某一时刻的速度为零，则相应时刻为________.
15.点P在曲线上移动，设点P处切线的倾斜角为，则角的取值范围是________________________.
16. 函数，则________.
三.解答题
17. 求下列函数导数
（1） （2） （3）y=
18. 设曲线在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为,令，试求数列的前99项的和。
19. 已知函数.
（1）求这个函数在点处的切线的方程；
（2）过原点作曲线y＝ex的切线，求切线的方程.
20. 设函数，曲线在点处的切线方程为．
（1）求的解析式；
（2）证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值，并求此定值．
第二节 导数在研究函数中的应用
【考点阐释】
了解函数的单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间；了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，会利用导数求函数的极值和函数在闭区间上的最值（对多形式一般不超过三次）。
【高考定位】
1.以解答题的形式考查应用导数研究函数的单调性和极值（最值）；
2.利用函数的单调性求参数的范围；
3.利用数形结合思想，及函数的单调性判断方程的根。
【教材回归】
1.函数的单调性与导数
（1） 设函数在某区间内可导，
如果 ，那么函数在这个区间上为增函数；
如果 ，那么函数在这个区间上为减函数；
（2）函数为增函数的 条件；
2.函数的极值
解方程，当时，
（1）如果在附近的左侧 ，右侧 ，那么是极大值；
（2）如果在附近的左侧 ，右侧 ，那么是极小值；
3.求函数在上的最值
（1）求函数在 内的极值；
（2）将函数得各极值与 的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个为最小值。
【典例精析】
例1：设函数，其中常数a>1
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若当x≥0时，f(x)>0恒成立，求a的取值范围。
分析：求解导函数大于（小于）0不等式即得单调区间；恒成立可转化为求函数的最值。
解： （1）
由知，当时，，故在区间是增函数；
当时，，故在区间是减函数；
当时，，故在区间是增函数。
综上，当时，在区间和是增函数，在区间是减函数。
（2）由（I）知，当时，在或处取得最小值。


由假设知 即 解得 1故的取值范围是（1，6）
点评：1.求函数单调区间的步骤（1）确定定义域（2）求导数（3）令，得增区间；令，得减区间
2. 恒成立问题一般情况下可转化为求函数的最值问题。
例2：已知函数
(1)若函数的单调递减区间是（-3，1），求的值
(2)若函数在上是单调增函数，求的取值范围
分析：若函数的单调递增(减)区间是(a,b),则(或)的解集为(a,b)；若函数在区间(a,b)上为单调增(减) 则(或)在区间(a,b)上恒成立.
解：（1）
因为函数的单调递减区间是（-3，1）所以的解集为（-3，1）
所以
(2)因为函数在上是单调增函数，所以在上恒成立，
即函数在上的最小值，
而在上为增函数，所以，
从而 所以。
因此的取值范围。
点评：据单调性求函数中的参数问题要分清是“单调递增(减)区间是(a,b)”还是“在区间(a,b)上为单调增(减)”，第一种情况转化为(或)的解集为(a,b)；第二种情况转化为(或)在区间(a,b)上恒成立.
例3：已知函数.
（1）求的最大值；
（2）设实数，求函数在上的最小值
分析：求函数的最值时结合函数在区间上的单调性很容易找出最值点,为此先利用导数讨论函数的单调性,进而求出最值.
解：（1）定义域为
令得
当时，，在上为增函数
当时，，在上为减函数
（2），由（1）知：
在上单调递增，在上单调递减．
在上的最小值

当时，
当时，
点评：求函数的最值一般情况下与函数单调性相结合能达到事半功倍的效果，尤其是含参数的函数。
例4：已知函数在点处取得极大值，其导函数的图像经过点，，如图所示.求：
（1）的值；（2）的值.
分析：据导函数图像可知函数单调性,进而确定其极值点,据极值点处求出参数值.注意要验证在极值点附近导数值是否异号.
解：（1）由图像可知，函数的单调增区间为，单减区间为
所以
（2）
由题知 解得
点评：函数在一点处取极值导数为0是据极值点求参数的基本出发点，但要区分极大值点（导数左正右负）极小值点（导数左负右正）。
例5: 设a为实数，已知函数.
（1）当a=1时，求函数的极值．
（2）若方程=0有三个不等实数根，求a的取值范围
分析：据求极值的步骤解决(1),对于(2)利用导数讨论函数的单调性和极值可以做出函数图像的大致形状,方程=0的根的情况取决于图像与x轴的交点个数,则利用数形结合的思想可得极值所满足的条件便可解决.
解：1)依题有，
故.
由
x
0
2
+
0
－
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
得在时取得极大值，在时取得极小值.
(2) 因为，
所以方程的两根为a－1和a+1，
显然，函数在x= a－1取得极大值，在x=a+1是取得极小值.
因为方程=0有三个不等实根，
所以 即 解得且.
故a的取值范围是.
点评：1.求极值的步骤（1）确定定义域（2）求导数（3）解方程
（3）用方程的根顺次将定义域分成若干区间，列出，随变化情况表，（4）据表格得出极值。
2.研究方程的根的情况一般构造函数，将问题转化为方程=0的根，利用导数研究函数的单调性及极值，数形结合得到相关约束条件，进而求出参数。
【实战演练】
一 选择题
1. 函数在下面哪个区间内是增函数（ ）.

2.已知对任意实数，有，且时，，则时（ ）
A． B．
C． D．
3. 函数的定义域为开区间，导函数在内的图像如图所示，则函数在开区间内有极小值点（　 ）
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
4. 函数f(x)＝x3－3x+1在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是( )
(A)1，－1 　(B)3，-17 (C)1，－17 (D)9，－19
5设是函数的导函数，将和的图像画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）
6函数 y=2x3－3x2+a的极大值为6，那么a等于( )
A 6 B 0 C 5 D 1
7. 设在上可导，且，则当时，有（ ）
A. B.
C. D.
8. 函数在区间内是减函数，则应满足（ ）
A. 且b=0 B. 且
C. 且 D. 且
9. 设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图像如图所示，则导函数y=f ((x)的图像可能为(　)
10. 对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x－1）(0，则必有（ ）
A．f（0）＋f（2）(2f（1） B. f（0）＋f（2）(2f（1）
C．f（0）＋f（2）(2f（1） D. f（0）＋f（2）(2f（1）
11. 已知，，则的值为（ ）
Ａ．０　　　　　Ｂ．１　　　　　Ｃ．-1 D．2010
12．若函数在定义域内是增函数，则实数的取值范围是（　　）．
A B C D
二 填空题
13.设函数f (x)=x3+ax2+bx－1，若当x=1时，有极值为1，则函数g(x)=x3+ax2+bx的单调递减区间为 .
14. 函数的单调递增区间是
15. 已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为
16已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，则
三.解答题
17.设函数，已知是奇函数。
（1）求、的值。 （2）求的单调区间与极值。
18.若函数，当时，函数取极小值，
（1）求函数的解析式；
（2）若方程有3个解，求实数的取值范围．
19.设函数，.
⑴当时，求函数图象上的点到直线距离的最小值；
⑵是否存在正实数，使对一切正实数都成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
20. 已知函数
（1）若函数在处的切线方程为，求的值；
（2）若函数在为增函数，求的取值范围；
（3）讨论方程解的个数，并说明理由。
第三节导数的综合运用
【考点阐释】
会用导数解决某些实际问题，利用求导法解决一些实际应用问题是函数内容的继续与延伸，这种解决问题的方法使复杂问题变得简单化，因而已逐渐成为新高考的又一热点
【高考定位】
1.以解答题的形式考查导数与三角函数，解析几何，不等式等知识相结合的问题。会构造函数来求导。
2. 解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数。把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化，形式化，抽象成数学问题，再划归为常规问题，选择合适的数学方法求解。
【教材回归】
导数在实际生活中的应用主要是解决有关最大（小）值问题，一般应 ，则问题转化为导数问题，解题中应该注意 。
【典例精析】
例1某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为万元。
（1）试写出关于的函数关系式；
（2）当=640米时，需新建多少个桥墩才能使最小？
分析：找出桥墩数与间的关系，建立函数，再利用导数解决，最后回到实际问题。
解：（1）设需要新建个桥墩，
所以

（2） 由（1）知，
令，得，所以=64
当0<<64时<0， 在区间（0，64）内为减函数；
当时，>0. 在区间（64，640）内为增函数，
所以在=64处取得最小值，此时，
故需新建9个桥墩才能使最小。
点评：认真审题，理顺关系，建立准确的函数模型，利用导数解决数学问题，最后回到实际问题中。
例2： 已知函数， .
（1）求的单调区间和极值；
（2）设≥１，函数，若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围；
（3）对任意，求证：.
分析:(1)利用导数知识解决。（2）把问题转化为两个函数值域间的关系，求出它们的值域即可。（3）属于不等式证明问题，转化为证明相关函数的单调性。
解：(1) ∵ ∴当＞１时，＜０，当０＜＜１时，＞０．
∴的单调递增区间为，单调递减区间为，极大值为．
(２) ∵（≥１）∴当时，，单调递减，
此时值域为．
由(1)得，当时，值域为，
由题意可得：≤－１，所以１≤≤.
（3）令，则，∵，∴，原不等式等价于
由（1）知在上单调递减，∴，即
令，∵，当时，，
∴在上单调递增，∴，即
综上所述，对任意，恒有成立.
点评：对于一些函数综合题，要深入分析条件，把问题转化，证明不等式时要构造恰当的函数。
例3：某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A,B 及CD的中点P 处，已知AB=20km,
CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A,B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP ，设排污管道的总长为km．
（1）按下列要求写出函数关系式：
①设∠BAO=(rad)，将表示成的函数关系式；
②设OP(km) ，将表示成x的函数关系式．
（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短
分析:把三条排污管道的长度用给出的变量表示，得到函数关系，进而解决第二问。
解：（1）①由条件知PQ 垂直平分AB，
若∠BAO=(rad) ，则,
故，又OP＝10－10ta，
所以，
所求函数关系式为
②若OP=(km) ，则OQ＝10－，所以OA =OB=
所求函数关系式为
（2）选择函数模型①，
令0 得sin ，因为，所以=，
当时， ，是的减函数；当时， ，是的增函数，所以当=时，。这时点P 位于线段AB 的中垂线上，且距离AB 边
km处。
点评：建立适当的函数模型，利于解决实际问题。
【实战演练】
一 选择题
1.某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R与年产量x的关系是则总利润最大时，每年生产的产品是 （ ）A.100 B.150 C.200 D.300
2.要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm,要使其体积最大，则高为 （ ）A. B. C. D.
3.将长为200cm的铁丝剪成2段，各围成正方形，那么两个正方形面积之和最小值为（ ）
A.1250 B 1000 C.800 D.2500
4. 已知函数f(x)的定义域为，部分对应值如下表
x
－2
0
4
f(x)
1
－1
1
为的导函数，函数的图象如图所示，若两正数a，b满足f(2a+b)<1，则的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
5. 函数在处取得极值，则的值为（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
6. 质点P在半径为10cm的圆上逆时针作匀速圆周远动，角速度为1，设A（10，0）为起始点，则时刻t时，点P在y轴上的射影点M的速度是 ( )
A. B. C. D
二．填空题
7.做一个容积为216的圆柱形封闭容器，要使所用材料最省，底面直径为 。
8.对正整数n，设曲线在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为则数列的前n项和的公式是 。
三.解答题
9.函数．
（1）试求f(x)的单调区间；
（2）当a>0时，求证：函数f(x)的图像存在唯一零点的充要条件是a=1；
（3）求证：不等式对于恒成立．
10.设关于x的方程的两根为，函数，（1）求的值；（2）证明是上的增函数；（3）当a为何值时，在区间上的最大值与最小值之差最小？
11.某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销，经调查，每年投入广告费（百万元），可增加销售额约为（百万元）。
（1）若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费才能使该公司由此获得的收益最大？
（2）现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造，经预测，每投入技术改造费（百万元）可增加的销售额约为（百万元），请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大？（注：收益=销售额—投入）
12.某造船个是年最高造船量是20艘，已知造船艘的产值函数为（单位：万元），成本函数为（单位：万元），又在经济学中，函数的边际函数定义为：。求：
（1）利润函数及边际利润函数；（提示：利润=产值—成本）
（2）年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？
（3）求边际利润函数的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？
1 导数及其运算
一1~5C C A B D 6~10B D C B C 11~12D C
二 13 14 15 16 19
三 17（1） （2） （3）
18 因为 所以
从而切线方程为
令y=0得
所以
故=
19 （1）因为 所以
故切线方程为
（2）设切点坐标则
解之得 所求切线方程为
即
20 （1）方程可化为．
当时，，又，于是解得
故．
（2）设为曲线上任一点，由知曲线在点处的切线方程为
，即．
令得，从而得切线与直线的交点坐标为．
令得，从而得切线与直线的交点坐标为．
所以点处的切线与直线，所围成的三角形面积为．
故曲线上任一点处的切线与直线，所围成的三角形的面积为定值，此定值为．
2 导数在研究函数中的应用
一1—5 D B A B D 6—10A C B D C 11—12B B
二13 14 15 16 41
三 17.（1）因为
所以
又因为是奇函数，所以且
因此
（2）由（1）知，
令 得 或
令 得
因此函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
当时，函数取极大值，极大值为，
当时，函数取极小值，极小值为
18． 当时，函数取极小值
故且 解得
所以
（2）由（1）得令得或
列出，随变化情况表，
-2
2
+
0
-
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
方程有3个解，即函数图象与直线有三个交点
所以 即
19 ⑴ 由 得 ，令 得
∴所求距离的最小值即为到直线的距离

⑵假设存在正数，令 则
由得：
∵当时， ，∴为减函数；
当时，，∴ 为增函数.
∴ ∴ ∴
∴的取值范围为
20 1）因为： ，又在处的切线方程为

所以 解得：
（2）若函数在为增函数，则在上恒成立，
即：在上恒成立。所以有
（3）当时，在定义域上恒大于，此时方程无解；
当时，在上恒成立，所以在定义域上为增函数。
，，所以方程有惟一解。
当时，
因为当时，，在内为减函数；
当时，在内为增函数。
所以当时，有极小值即为最小值。
当时，，此方程无解；
当时，此方程有惟一解。
当时，
因为且，所以方程在区间上有惟一解，
因为当时，，所以
所以
因为 ，所以
所以 方程在区间上有惟一解。
所以 方程在区间上有两解。
综上所述：当时，方程无解；当时，方程有惟一解；
当时方程有两解。
3 导数综合应用
一 B D A A C A
二．7. 8.
三，9. 解:（1）． 　
当时，，在上单调递增； 　
当时，时，，在上单调递减；
时，，在上单调递增．
综上所述，当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）充分性：a=1时，由（1）知，在x=1处有极小值也是最小值，
即。而在上单调递减，在上单调递增，
在上由唯一的一个零点x=1．
必要性： =0在上有唯一解，且a>0, 由（1）知，在x=a处有极小值也是最小值f(a)， f(a)=0,即．
令， ．
当时，，在上单调递增；当a>1时，，
在上单调递减。， =0只有唯一解a=1．
=0在上有唯一解时必有a=1．
综上：在a>0时， =0在上有唯一解的充要条件是a=1．
（3）证明：∵1 令，∴，
由（1）知，当a=1时，，∴，∴．
∴，∴F（x）在（1，2）上单调递增，∴，
∴。∴
10. 解：（1），
（2）设，则当时，

∴ 函数在上是增函数
（3）函数在上最大值，最小值
∵ ∴ 当且仅当时
取最小值4，此时
11. 解：（1）设投入（百万元）的广告费后增加的收益为（百万元），则有
所以当百万元时，取得最大值，即投入2百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大。
（2）设用于技术改造的资金为（百万元），则用于广告促销的资金为（百万元）又设由此获得的收益为则有
令得（舍去）或
又当时，，当时，，
故在上是增函数，在上是减函数，所以时，取得最大值，即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，该公司由此获得的收益最大。
12. 解：（1）
（2）
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，当时，取最大值，即年造船12艘时，公司造船的年利润最大。
（3）由
当时，单调递减，其实际意义是：
随着产量的增加，每艘船的利润与前一艘相比较，利润在减少。
导数学习提纲
一、考试要求
(1) 了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）。掌握函数在某一点处的导数的定义和导数的几何意义。理解导函数的概念。
(2)熟记基本导数公式（c，xm（m为有理数），sinx，cosx，ex，ax，lnx，logax的导数）。掌握两个函数和、差、积、商的求导法则。了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。
(3)了解可导函数的单调性与其导数的关系。了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）。会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值。
二、基础知识梳理
1.导数的有关概念。
(1)定义：
函数y=f(x)的导数f/(x)，就是当时，函数的增量与自变量的增量的比的极限，即。
(2)实际背景：瞬时速度，加速度，角速度，电流等。
(3)几何意义：
函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率。
2.求导的方法：
(1)常用的导数公式：
C/=0（C为常数）；
(xm)/=mxm-1(m∈Q);
(sinx)/=cosx;
(cosx)/= -sinx ;
(ex)/=ex;
(ax)/=axlna
;
.
(2)两个函数的四则运算的导数：
(3)复合函数的导数：
3.导数的运用：
(1)判断函数的单调性。
当函数y=f(x)在某个区域内可导时，如果f/(x)>0，则f(x)为增函数；如果f/(x)<0，则f(x)为减函数。
(2)极大值和极小值。
设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近所有的点，都有f(x)f(x0)）,我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值（或极小值）。
(3)函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的求法。
三、例题讲解：
【例1】(1)试述函数y=f(x)在x=0处的导数的定义；
(2)若f(x)在R上可导，且f(x)= -f(x)，求f/(0)。
(1)解：如果函数y=f(x)在x=0处的改变量△y与自变量的改变量△x之比，当时有极限，这极限就称为y=f(x)在x=0处的导数。记作。
(2)解法一：∵f(x)= f(-x)，则f(△x)= f(-△x)
∴
当时，有
∴
∴。
解法二：∵f(x)= f(-x)，两边对x求导，得
∴
∴。
评析：本题旨在考查对函数在某一点处的定义的掌握。题（2）可对其几何意义加以解释：由于f(x)=f(-x),所以函数y=f(x)为偶函数，它的图象关于y轴对称，因此它在x=x0处的切线关于y轴对称，斜率为互为相反数，点(0,f(0))位于y轴上，且f/(0)存在，故在该点的切线必须平行x轴（当f(0)=0时，与x轴重合），于是有f/(0)=0。在题（2）的解二中可指出：可导的偶函数的导数为奇函数。
【例2】设f(x)在点x0处可导，a为常数，则 等于( )
A.f/(x0) B.2af/(x0) C.af/(x0) D.0
解：

故选(C)
评析：在例1的基础之上，本题旨在巩固学生对函数在某一点处的导数的定义的掌握。
【例3】一汽车以50km/h的速度沿直线驶出，同时，一气球以10km/h的速度离开此车直线上升，求1h后它们彼此分离的速度。
解：以汽车和气球运动方向所在直线分别为x轴、y轴建立直角坐标系系（如图），t时刻汽车位于(50t,0)处，气球位于(0,10t)处，
则两汽车和气球的距离
令t=1,
故1h后它们彼此分离的速度为。
评析：本题考查对导数的某些实际背景的了解，要求学生能熟练运用复合函数的求导法则。而且考查了学生的画图识图能力，考查了学生用所学数学知识处理实际问题的能力。
【例4】设f/(x)是函数f(x)的导函数，y=f/(x)的图象如右图所示，则y=f(x) 的图象最有可能是（ ）

答案：（C）
评析：此题以直观的角度揭示了可导函数的单调性和其导数的关系。令，
【例5】设函数，其中a>0。
求f(x)的单调区间；
解不等式f(x)≤1。
解：(1)
当a≥1时，有，此时f/(x)<0，
∴函数f(x)在区间上是单调递减函数。
当0解不等式f/(x)<0得，
∴f(x)在区间上是单调递减函数。
解不等式f/(x)>0得，
∴f(x)在区间上是单调递增函数。
(2)当a≥1时,∵函数f(x)在区间上是单调递减函数,
由f(0)=1,
∴当且仅当x≥0时f(x)≤1.
当0∵f(x)在区间上是单调递减函数,
f(x)在区间上是单调递增函数,
由f(x)=1得x=0或，
且,
∴当且仅当时，f(x)≤1.
综上可得：
当a≥1时，f(x)≤1的解集为{x|x≥0};
当0§2.1.1合情推理
一、课标解读 知己知彼，百战百胜
【课标表述】结合已学过的数学实例和生活中的实例了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会认识合情推理在数学发现中的作用.
【目标分解】
1、了解合情推理的含义.
2、使学生能利用归纳和类比进行简单的推理，作出猜想.
二、课程导学 自主探究，提高能力
1、体会认识哥德巴赫猜想的过程：
①哥德巴赫猜想内容为：_________?的偶数都等于 .
②猜想的过程遵循 到一般，部分到 的数学思维方式.
2、归纳推理：这种由某些事物 对象具有某些特征，推出该类事物
对象具有这些特征的推理，或者由 概括出 的推理，称为归纳推理。例如，由此可猜想得 .
3、仿生学的许多发明的最初构想都是 生物机制得到的.例如：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子.他的思路是这样的：茅草是齿形的，茅草能割破手，需要一种能割断木头的，它也可以是齿形的.
4、体会认识类比推理的过程，填写下表：

圆的性质
球的性质
圆心与弦(不是直径)的中点的连线垂直于弦
与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长
圆的切线垂直于过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
5、类比推理：这种由 对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些 特征，推出另一类对象也具有 的推理，称为类比推理.比如： （均为实数），
请推测= = .
强化认识：
①类比推理是由 到 的推理.
②类比推理在数学中应用广泛，我们可以已解决的问题和已经获得的知识出发通过类比而提出新问题和作出新发现.
③类比推理的前提是两类对象之间具有某些可以清楚定义的类似特征，所以类比推理的关键是明确指出两类对象在某些方面的类似特征.
④数学中常用类比，如：圆与球，向量与数，无限与有限，不等与相等等类比.
6、类比推理的一般步骤：
⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征.
⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想.
⑶ 检验猜想.即
7、合情推理： 推理和 推理都是根据 ，经过 、 、 、 ，再进行 、 ，然后提出 的推理，统称为合情推理.
①推理过程分解为基本的四步：
， ， ，
②数学研究中得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论，证明一个数学结论之前它能为我们提供证明的方向和思路. ③费马猜想告诉我们由合情推理获得的结论 .比如：等式的性质： 猜想不等式的性质：
(1)a=b(a+c=b+c (1) a＞b(a+c＞b+c
(2)a=b( ac=bc (2) a＞b( ac＞bc
(3)a=b(a2=b2等等 (3) a＞b(a2＞b2等等.
问：这样猜想出的结论是否一定正确？
三、典例探究 领悟解题思想，体会解题规范
【例1】等差数列{an}中，公差为d，前n项和为Sn,有如下性质：
通项an=am+(n-m)d
若m+n=p+s,m、n、p、s∈N*，则am+an=ap+as
若m+n=2r,m、n、r∈N*,则am+an=2ar
Sn,S2n-Sn,S3n-S2n构成等差数列
类比上述性质，得出等比数列的有关性质.
【分析】比较等比数列与等差数列的定义可知，等差数列中的差类比为等比数列的商，由此猜想，和类比为积，倍数类比为乘方.
解：数列{an}为等比数列，公比为q，前n项和为、、、、,则
⑴an=amqn-m
⑵若m+n=r+s则aman=aras
⑶若m+n=2r则aman=ar2
⑷Sn,S2n-Sn,S3n-S2n构成等比数列
【点评】类比推理首先要找出两类事物间的类比性质，然后用一类事物的性质推测另一类事物的性质.
【变式训练】在△ABC中，射影定理可以表示为a=bcosC+ccosB,其中a,b,c分别为角A,B,C的对边，类比上述定理，给出四面体性质的猜想.
【方法归纳】合情推理即借助具体实例，进行观察、分析、比较、联想等，通过归纳、类比手段猜想出新结论.
【例2】计算：
解：
点评：本小题充分利用两数位数的倍数关系巧妙分解，进而达到化难为易解决问题的目的.
四、实战演练 一丝不苟，一步到位
【基础卷】
一、选择题：
1、下面使用的类比推理中恰当的是（　　）
Ａ．“若，则”类比得出“若，则”
Ｂ．“”类比得出“”
Ｃ．“”类比得出“”
Ｄ．“”类比得出“”
2、在等差数列中，若，公差，则有，类比上述性质，在等比数列中，若，则的一个不等关系是（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
3、下列给出的平面图形中，与空间的平行六面体作为类比对象较为合适的是（　　）
Ａ．三角形 Ｂ．梯形 Ｃ．平行四边形 Ｄ．矩形
4、正整数按下表的规律排列
则上起第2005行，左起第2006列的数应为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
5、设是定义在R上的函数且，且，则　( )
A . B. C . D.
6、观察下列各式：，，，，，可以得出的一般结论是（　　）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
二、填空题：
1、若等差数列的前项和公式为，
则=_______，首项=_______，公差=_______.
2、设，利用课本中推导等差数列前项和公式的方法，可求得
的值是________________.
3、下面是按照一定规律画出的一列“树型”图：

设第个图有个树枝，则与之间的关系是 .　　　　
4、如图（1）有面积关系，则图（2）有体积关系_______________.　
三、解答题：
1、已知命题：“若数列是等比数列，且，则数列也是等比数列”．类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论．
2、已知：
通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出证明.
【 提高卷 】
一、选择题：
1、观察式子：，，，，则可归纳出式子为（　　）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
2、图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数是（　　）
Ａ．25 Ｂ．66 Ｃ．91 Ｄ．120
3、如图，在梯形中，．若，到与的距离之比为，则可推算出：．试用类比的方法，推想出下述问题的结果．在上面的梯形中，延长梯形两腰相交于点，设，的面积分别为，且到与的距离之比为，则的面积与的关系是（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
4、设平面内有条直线，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用表示这条直线交点的个数，则（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
5、定义集合运算：，设集合，，则集合的所有元素之和为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
6、计算机中常用的十六进制是逢进的计数制，采用数字0～9和字母A～F共个计数符号，这些符号与十进制的数字的对应关系如下表：
十六进制
0
1
2
3
4
5
6
7
十进制
0
1
2
3
4
5
6
7
十六进制
8
9
A
B
C
D
E
F
十进制
8
9
10
11
12
13
14
15
例如:用十六进制表示,则（ ）
A． B． C． D．

二、填空题：
1、在等差数列中,若，则有等式成立.类比上述性质，相应地，在等比数列{}中，若=1,则有等式
成立.
2、已知，则中共有　　　　项．
3、中，若，则的外接圆半径，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体中，若两两垂直，，则四面体的外接球半径____________．
4、若，则=_____________.
三、解答题：
1、设，（其中，且）．
（1）请你推测能否用来表示；
（2）如果（1）中获得了一个结论，请你推测能否将其推广．
2、请先阅读：在等式的两边对x求导=.由求导法则得，化简后得等式sin2x=2sinxcosx.
(1)利用上述想法（或者其他方法），试由等式=(x∈R，整数n≥2),证明：.
(2)对于整数n≥2,求证：.
§2.1.2演绎推理
一、课标解读 知己知彼，百战百胜
【课标表述】结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理;通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.
【目标分解】
1、了解演绎推理的含义，能利用“三段论”进行简单的推理.
2、用归纳和类比进行推理，做出猜想；了解合情推理和演绎推理间的联系和差异.
二、课程导学 自主探究，提高能力
1、演绎推理：从 的原理出发，推出某个 情况下的结论，把这种推理称为演绎推理.
①演绎推理是由 到 的推理.
②合情推理和演绎推理间的联系和差异。
2、三段论是演绎推理的一般模式。包括：
(1)大前提-------- .
(2)小前提-------- .
(3)结论---------- .
3、“三段论”的表示：
大前提：M是P
小前提：S是M
结 论：S是P
注：利用集合知识说明“三段论”：若M的所有元素都具有性质P，S是M的一个子集，那么S中所有元素也具有性质P.

三、典例探究 领悟解题思想，体会解题规范
【例1】如图:在锐角三角形ABC中,AD⊥BC, BE⊥AC,
D,E是垂足,求证AB的中点M到D,E的距离相等.
解： (1)因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形,——大前提
在△ABC中,AD⊥BC,即∠ADB=90°——-小前提
所以△ABD是直角三角形——结论
(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,——大前提
因为 DM是直角三角形斜边上的中线,——小前提
所以 DM= AB——结论
同理 EM=AB
所以 DM=EM.
【例2】已知数列，，…，，其中，，…，是首项为，公差为的等差数列；，，…，是公差为的等差数列，，，…，是公差为的等差数列．
（1）若，求；
（2）试写出关于的关系式，并求的取值范围；
（3）续写已知数列，使得，，…，是公差为的等差数列，…，依次类推，把已知数列推广为无穷数列．提出同（2）类似的问题（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？
解：（1），，；
（2），
当时，
；
（3）所给数列可推广为无穷数列，其中，，，是首项为，公差为的等差数列，当时，数列，，，是公差为的等差数列．
研究的问题可以是：试写出关于的关系式，并求的取值范围．
研究的问题可以是：由，
依次类推可得
当时，的取值范围为．
四、实战演练 一丝不苟，一步到位
一、选择题：
1．下面说法正确的有（　　）
①演绎推理是由一般到特殊的推理；
②演绎推理得到的结论一定是正确的；
③演绎推理的一般模式是“三段论”形式；
④演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关．
Ａ．1个 Ｂ．2个 Ｃ．3个 Ｄ．4个
2．“所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故该奇数是3的倍数”，上述推理（　　）
Ａ．小前提错 Ｂ．结论错
Ｃ．正确 Ｄ．大前提错
3．对于函数，在使成立的所有常数中，我们把的最大值叫做的下确界，则对于，且，的下确界是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
4．对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出：正四面体的内切球切于四面各正三角形的位置是（　　）
Ａ．各正三角形内的任一点 Ｂ．各正三角形的中心
Ｃ．各正三角形边上的任一点 Ｄ．各正三角形的某中线的中点
5．推理“①正方形是平行四边形；②梯形不是平行四边形；③所以梯形不是正方形”中的小前提是（　　）
Ａ．① Ｂ．② Ｃ．③ Ｄ．①和②
6. 命题：“有些有理数是分数，整数是有理数，则整数是分数”结论是错误的，其原因是( )　
A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.以上都不是
二、填空题：
1．写出用三段论证明为奇函数的步骤是　　　　．
2.如下图，命题：点P、Q是线段AB的三等分点，则有，把此命题推广，设点是AB的n等分点（n≥3且n∈N*）,则有 .
3.已知经过计算和验证有下列正确的不等式：，，
，根据以上不等式的规律，请写出对正实数成立的条件不等式　　　　　．
4. 长方形的对角线与边和的夹角分别为和，则有，此结论推广到空间可得 ．
三、解答题：
1.用三段论证明：满足前n项和的数列，是等差数列.
2．用三段论方法证明：．
§2.2.1综合法和分析法
一、课标解读 知己知彼，百战百胜
【课标表述】结合已学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法---综合法和分析法.了解两种方法的思考进程、特点.
【目标分解】
重点：结合已学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法---综合法和分析法。了解两种方法的思考进程、特点.
难点：根据问题的特点，结合的思考过程、特点，选择适当的证明方法或不同的证明方法结合使用.
二、课程导学 自主探究，提高能力
1、综合法：一般地，利用 等，经过一系列的推理论证，最后导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法.
用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：
P=>Q?---->Q?=>Q2---->Q2=>Q3---->、、、---->Qn=>Q
2、分析法：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件 直到最后把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、定理、公理等）为止，这种证明方法叫做分析法.
①分析法又叫做逆推法或执果索因法.
②用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：
Q<=P?------->P?<=P2------->P2<=P3------->、、、------->得到一个明显成立的条件
三、典例探究 领悟解题思想，体会解题规范
【例1】设a、b是两个正实数，且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2．
??? 证明：(分析法)
??? 要证 a3+b3＞a2b+ab2成立，
??? 只需证(a+b)(a2-ab+b2)＞ab(a+b)成立，
??? 即需证a2-ab+b2＞ab成立.(∵a+b＞0)
??? 只需证a2-2ab+b2＞0成立，
??? 即需证(a-b)2＞0成立.
??? 而由已知条件可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)2＞0显然成立，由此命题得证.
??? (综合法)
??? 证明：∵a≠b，∴a-b≠0，∴，即
??? 亦即由题设条件知，a+b＞0，∴
即，由此命题得证.
注：分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法.在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件.综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题.对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛.
【例2】若实数，求证：
证明：采用差值比较法：
=
= =
=
∴
∴
注：分析法和综合法的思考过程、特点. “变形”是解题的关键，是最重一步.因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法.
四、实战演练 一丝不苟，一步到位
【基础卷】
一、选择题：
1．分析法是从要证明的结论出发逐步寻求使结论成立的（　　）
Ａ．充分条件 Ｂ．必要条件
Ｃ．充要条件 Ｄ．等价条件
2．在证明命题“对于任意角，”的过程：“”中应用了（　　）
Ａ．分析法 Ｂ．综合法 Ｃ．分析法和综合法综合使用 Ｄ．间接证法
3．要使成立，则应满足的条件是（　　）
Ａ．且 Ｂ．且
Ｃ．且 Ｄ．且或且
4．在中，，则一定是（　　）
Ａ．锐角三角形 Ｂ．直角三角形 Ｃ．钝角三角形 Ｄ．不确定
5．已知，且，则（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
6．函数在下列哪个区间内是增函数（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题：
1. 若，则.
2. 设(是两两不等的常数),则的值是 ______________.
3. 一同学在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前120个圈中的●的个数是 .
4. 直角三角形的三边满足 ，分别以三边为轴将三角形旋转一周所得旋转体的体积记为，则它们的大小为 .
三、解答题：
1．如图，已知矩形所在平面，分别是的中点．
求证：（1）平面；（2）．
2．判断命题“若且，则”是真命题还是假命题，并证明你的结论．
【 提高卷 】
一、选择题：
1．已知，，，则以下结论正确的是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．，大小不定
2. 设为奇函数，，，则（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
3. 条件甲：“”是条件乙：“”的（　　）
Ａ．既不充分又不必要条件 Ｂ．充要条件
Ｃ．充分不必要条件 Ｄ．必要不充分条件
4. 如果函数是偶函数，那么函数的图像的一条对称轴是直线（ ）
A. B. C. D.
5. 若，且，则的最大值为（　　）
Ａ．14 Ｂ．15 Ｃ．16 Ｄ．17
6. ．弹子跳棋共有60颗大小相同的球形弹子，现在棋盘上将它叠成四面体形球垛，使剩下的弹子尽可能的少，那么剩余的弹子共有（　　）
Ａ．0颗 Ｂ．4颗 Ｃ．5颗 Ｄ．11颗
二、填空题：
1. 在空间 这样的多面体，它有奇数个面，且它的每个面又都有奇数条边（填“不存在”或“存在” ）．
2. 如果，则、应满足条件是 .
3. 的值为　　　　 .
4. 若正数、满足，则的取值范围是__________________.
三、解答题：
1．证明：对于任意实数都有．
2. （用分析法证明）求证：当一个圆和一个正方形的周长相等时，圆的面积比正方形的面积大．
§2.2.2反证法
一、课标解读 知己知彼，百战百胜
【课标表述】结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法------反证法;了解反证法的思考过程、特点.
【目标分解】
重点：了解间接证明的一种基本方法------反证法
难点：根据问题的特点，结合反证法的思考过程、特点，选择适当的证明方法或把不同的方法结合使用.
二、课程导学 自主探究，提高能力
1、反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出 ，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.
①反证法的应用需要逆向思维，应用证明问题的原理是 .
②反证法证明的关键是在正确的推理下得出矛盾。这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等.
2、反证法的证明步骤：“一反设；二归谬；三结论”
反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个.归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨.导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾.
3、反证法适用的两种情形：
①要证明的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；
②如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形.
三、典例探究 领悟解题思想，体会解题规范

【例1】设，求证
证明：假设，则有，从而

因为，所以，这与题设条件矛盾，所以，原不等式成立.
【例2】设二次函数，求证：中至少有一个不小于.
证明：假设都小于，则. (1)
另一方面，由绝对值不等式的性质，有
(2)
（1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确.
注意：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，通常采用反证法进行.
议一议：一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况.试根据上述两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？
四、实战演练 一丝不苟，一步到位
一、选择题：
1．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是（　　）
Ａ．有一个解 Ｂ．有两个解
Ｃ．至少有三个解 Ｄ．至少有两个解
2．已知直线是异面直线，直线，那么与的位置关系（　　）
Ａ．一定是异面直线 Ｂ．一定是相交直线
Ｃ．不可能是平行直线 Ｄ．不可能是相交直线
3．（1）已知，求证，用反证法证明时，可假设，
（2）已知，，求证方程的两根的绝对值都小于1．用反证法证明时可假设方程有一根的绝对值大于或等于1，即假设，以下结论正确的是（　　）
Ａ．与的假设都错误
Ｂ．与的假设都正确
Ｃ．的假设正确；的假设错误
Ｄ．的假设错误；的假设正确
4．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程有有理根，那么中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（　　）
Ａ．假设都是偶数
Ｂ．假设都不是偶数
Ｃ．假设至多有一个是偶数
Ｄ．假设至多有两个是偶数
5．命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是（　　）
Ａ．有两个内角是钝角 Ｂ．有三个内角是钝角
Ｃ．至少有两个内角是钝角 Ｄ．没有一个内角是钝角
6. 否定“自然数中恰有一个偶数”时正确的反设为（ ）
A 都是奇数 B 都是偶数 C 中至少有两个偶数 D 都是奇数或至少有两个偶数
二、填空题：
1. 命题“△ABC中，若∠A>∠B，则a>b”的结论的否定是 .
2、在求证三角形三个内角中至少有一个内角小于或等于60°中，用反证法证明时应假设 .
3、用反证法证明命题“a,b∈N,ab可被5整除，那么a、b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为 .
4、用反证法证明“对于a、b∈R,若 ,则a=b=0”,假设的内容是
.
三、解答题：
1．已知，且，，求证：中至少有一个是负数．
2.已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，求证：a, b, c > 0
§2.3数学归纳法
一、课标解读 知己知彼，百战百胜
【课标表述】了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
【目标分解】
重点：掌握数学归纳法的原理及证明问题的方法.
难点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
二、课程导学 自主探究，提高能力
1、了解多米诺骨牌游戏，明确使所有多米诺骨牌倒下的条件：
(1) 第一块骨牌 ;
(2) 任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下.
2、数学归纳法：
一般地，证明一个与正整数n有关的命题.可按以下步骤进行：
（1）(归纳奠基)证明当取第一个值n0时命题成立.
（2）（归纳递推）假设n=k（k≥n0,k∈N*）时命题成立，证明当n=k+1时命题成立.
只要完成这两个步骤，就可以判定命题对从n0开始的所有正整数N都成立，上述证明方法叫做数学归纳法.
3、数学归纳法的框图表示：
验证n=n0时命题成立 若n=k(k>n0)时命题成立
证明n=k+1时命题也成立

命题对从n0开始所有的正整数n都成立.
三、典例探究 领悟解题思想，体会解题规范
【例1】若n为大于1的自然数，求证
证明 (1)当n=2时，
(2)假设当n=k时成立，即
注：等式的左右两边,由n=k到n=k+1时有什么不同?（注意从n=k到n=k+1时,添加项的变化.利用归纳假设创造递推条件，寻求f(k+1)与f(k)的递推关系）.
变式训练: 用数学归纳法证明.
【例2】求证：对于整数n≥0时，l1n+2＋122n+1能被133整除．
证明：①当n=0时，112＋12=133能被133整除
②假设n=k，11k+2＋122k+1能被133整除
那么n=k+1时
11k+3+122k+3=11·11k+2+122·122k+1=11(11k+2＋122k+1)＋133·122k+1
∵11(11k+2+122k+1)与133·122k+1均能被133整除
∴ 11(11k+2+122k+1)＋133·122k+1能被133整除
∴n=k+1命题成立
变式训练：用数学归纳法证明：能被9整除。
法一：配凑递推假设：
法二：计算f(k+1)-f(k)，避免配凑.
说明：①归纳证明时，利用归纳假设创造条件，是解题的关键.
②注意从“n=k到n=k+1”时项的变化.
四、实战演练 一丝不苟，一步到位
【基础卷】
选择题：
在验证n=1成立时，左边所得的项为 （ ）?????????????????????????????????????????????????
A．1
B．1+a
C．1＋a＋a2
D．1＋a＋a2＋a3
2．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn+yn能被x+y整除”第二步归纳假设应写成 （??? ）
A．假设n=2k+1(k∈N)正确，再推n=2k+3正确
B．假设n=2k-1(k∈N)正确，再推n=2k＋1正确
C．假设n=k(k∈N)正确，再推n=k＋1正确
D．假设n=k(k≥1)正确，再推n=k＋2正确
3．当时，比较与的大小并猜想得（　　）
Ａ．时， Ｂ．时，
Ｃ．时， Ｄ．时，
4．结论为：能被整除，令验证结论是否正确，得到此结论成立的条件可以为（　　）
Ａ． Ｂ．且 Ｃ．为正奇数 Ｄ．为正偶数
5．观察式子：，，，，则可归纳出式子为（　　）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
6．用数学归纳法证明，从到，左边需要增乘的代数式为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
二、填空题
1．猜想：1=1，1-4=-(1＋2)，1-4+9=1＋2＋3，……第n个式为 .
2．如图（1）、（2）、（3）、…是由花盆摆成的图案，根据图中花盆摆放的规律，第个图形中的花盆数____________________.
（1） （2） （3）
3．记凸边形的内角和为，则凸边形的内角和 .
4．已知，用数学归纳法证明时，等于　　　　　．
三、解答题
1．求证：对于整数n≥0时，l1n+2＋122n+1能被133整除．
2．是否存在常数，使得等式对一切正整数都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【 提高卷 】
一、选择题：
1．设是自然数，则的值 （ ）
A．一定是零 B.不一定是整数
C.一定是偶数 D.是整数但不一定是偶数
2．对于不等式，某学生的证明过程如下：①当时，，不等式成立；②假设时，不等式成立，即，则时，
，∴当时，不等式成立．由①②可知，对任意，不等式成立．（　　）
Ａ．过程全部正确 Ｂ．验证得不正确
Ｃ．归纳假设不正确 Ｄ．从到的推理不正确
3．用数学归纳法证明能被8整除时，当时，对于可变形为（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
4.已知n为正偶数，用数学归纳法证明
时，若已假设为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证（ ）
A．时等式成立 B．时等式成立
C．时等式成立 D．时等式成立
5. 数列中，a1=1，Sn表示前n项和，且Sn，Sn+1，2S1成等差数列，通过计算S1，S2，S3，猜想当n≥1时，Sn= （ ）
A． B． C． D．1－
6. 某个命题与正整数n有关，如果当时命题成立，那么可推得当时命题也成立. 现已知当时该命题不成立，那么可推得( )
A．当n=6时该命题不成立 B．当n=6时该命题成立
C．当n=8时该命题不成立 D．当n=8时该命题成立
二、填空题：
1．图中由火柴杆拼成的一列图形中，第个图形由个正方形组成：
通过观察可以发现：第四个图形中，火柴杆有 根；第个图形中，火柴杆有 根
2、用数学归纳法证明：当n∈N*时，1＋2＋22＋23＋…＋25n-1是31的倍数时，当n=1时原式为______，从k到k＋1时需增添的项是________．
3、已知数列的通项公式，记，试通过计算的值，推测出
4、设平面内有ｎ条直线，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用表示这ｎ条直线交点的个数，则= ；当ｎ＞４时，＝ （用含n的数学表达式表示）.
解答题：
1．由下列不等式：，，，，，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明．
2．若不等式对一切正整数都成立，求正整数的最大值，并证明结论．
答案
§2.1.1合情推理
【基础卷】
一、选择题：
1、C 2、B 3、C 4、D 5、A 6、B
二、填空题：
1、；，其常数项为，即
，
2、

3、
4、
三、解答题：
1、解：类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：若数列是等差数列，则数列也是等差数列．
证明如下：
设等差数列的公差为，则，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列．
2、解： 一般性的命题为
证明：左边

所以左边等于右边
【 提高卷 】
一、选择题：
1、C 2、C 3、C 4、D 5、 D 6、A
二、填空题：
1、b1b2b3…bn=b1b2b3…b17-n(n<17,n∈N*)
2、
3、
4、500
三、解答题：
1、解：（1）由，
，
因此．
（2）由，即，
于是推测．
证明：因为，（大前提）．
所以，，，（小前提及结论）
所以．
2、（1）解：在已知等式两边对x求导得
，
由求导法则得，整理得，即。
（2）证明：由（1）知，令x=-1，得，两端同乘以-1得。
§2.1.2演绎推理
一、选择题：
1、C 2、C 3、A 4、 D 5、B 6、A
二、填空题：
1、满足的函数是奇函数，　　　　　　　　 大前提
，　　 小前提
所以是奇函数． 结论
2、解析：，,同理可得：,,…, ，
答案：.
3、当时，有
4、长方体的对角线与棱、、所成的角分别为，则有
三、解答题：
1、证明：证法一 在数列中与的关系满足当n=1时，；当时， （大前提），而满足，则，，满足表达式（小前提），∴（结论）.
证法二 满足（为常数）的数列是等差数列（大前提），而在数列 中，由，可得（小前提），因此数列是等差数列（结论）.
2、证明：因为，所以（此处省略了大前提），
所以（两次省略了大前提，小前提），
同理，，，
三式相加得．
（省略了大前提，小前提）
§2.2.1综合法和分析法
【基础卷】
选择题:
1、A 2、B 3、D 4、C 5、B 6、B 令，
由选项知
填空题：
1、
而
2、
，都是
3、14
4、
因为，则
解答题：
1、证明：（1）取的中点，连结．
分别为的中点．
为的中位线，
，，而为矩形，
，且．
，且．
为平行四边形，，而平面，平面，
平面．
（2）矩形所在平面，
，而，与是平面内的两条直交直线，
平面，而平面，
．
又，．
2、解：此命题是真命题．
，，，．
要证成立，
只需证，即证，
也就是证，
即证．
因为，，
所以成立．
故原不等式成立．即命题为真命题．
【 提高卷 】
一、选择题：
1、 B 2、 C 3、B 4、D 5、B 6、B
二、填空题：
1、不存在
2、且.
3、
4、
三、解答题：
1、证明：（分析法）要证，
只需证明，
即．
要证，
只需与同时成立即可．
又知，即成立，
只需再有成立即可．
由于，
与同号，
，即成立，
对于任意实数都有成立．
2、证明：设圆和正方形的周长为，依题意，圆的面积为，
正方形的面积为．
因此本题只需证明．
要证明上式，只需证明，
两边同乘以正数，得．
因此，只需证明．
上式是成立的，所以．
这就证明了如果一个圆和一个正方形的周长相等，那么圆的面积比正方形的面积最大．
§2.2.2反证法
选择题：
1、 C 2、 C 3、D 4、B 5、 C 6、D
二、填空题：
1、a≤b
2、三个内角都大于60°。
3、a、b都不能被5整除。
4、若实数a、b不都为0，则
三、解答题：
1、证明：假设都是非负数．
因，所以，
又，
所以，这与已知矛盾．
所以中至少有一个是负数．
2、证：设a < 0, ∵abc > 0, ∴bc < 0
又由a + b + c > 0, 则b + c = (a > 0
∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0 与题设矛盾
又：若a = 0，则与abc > 0矛盾， ∴必有a > 0
同理可证：b > 0, c > 0
所以命题得证.
§2.3数学归纳法
【基础卷】
选择题：
1、C 2、 B 3、D 4、C 5、C 6、 B
二、填空题
1、1-4＋9-…＋(-1)n+1n2=(-1)n+1(1+2＋3＋…＋n)
2、
3、
4、
三、解答题
1、证明：①当n=0时，112＋12=133能被133整除
②假设n=k，11k+2＋122k+1能被133整除
那么n=k+1时
11k+3+122k+3=11·11k+2+122·122k+1=11(11k+2＋122k+1)＋133·122k+1
∵11(11k+2+122k+1)与133·122k+1均能被133整除
∴ 11(11k+2+122k+1)＋133·122k+1能被133整除
∴n=k+1命题成立
由①②可知，对任意n∈N命题均成立．
2、解：假设存在，使得所给等式成立．
令代入等式得解得
以下用数学归纳法证明等式对一切正整数都成立．
（1）当时，由以上可知等式成立；
（2）假设当时，等式成立，即，
则当时，
．
由（1）（2）知，等式结一切正整数都成立．
【 提高卷 】
一、选择题：
1、C 2、 D 3、 A 4、 B 5、B 6、 A
二、填空题：
1、；
2、1＋2＋22＋23+24，25k+25k+1+…+25k+4
3、
4、5 ；1）
解答题：
1、解：根据给出的几个不等式可以猜想第个不等式，即一般不等式为：
．
用数学归纳法证明如下：
（1）当时，，猜想成立；
（2）假设当时，猜想成立，即，
则当时，
，即当时，猜想也正确，所以对任意的，不等式成立．
2、解：当时，，即，
所以．
而是正整数，所以取，下面用数学归纳法证明：．
（1）当时，已证；
（2）假设当时，不等式成立，即．
则当时，
有
．
因为，
所以，
所以．
所以当时不等式也成立．
由（1）（2）知，对一切正整数，都有，
所以的最大值等于25．
§3.1　数系的扩充和复数的概念
课标解读　知己知彼，百战百胜
【课标表述】
１．在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程理论）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系.
２．理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件.
３．了解复数的代数表示法及其几何意义.
【目标分解】
借助实例，体会数系的扩充过程。
理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件。
了解复数的代数表示法及其几何意义。
课程导学　自主探究，提高能力
１．形如____________叫做复数，i称为_______,满足__________.____和____分别称为复数的实部和虚部，这种形式称为复数的代数形式，常用字母________表示复数.全体复数构成的集合记为_______，称为复数集.
２．两个复数与相等_____________________；一般情况下，两个复数______比较大小.
３．复数，当_______时，它是实数；当______时，它是虚数；当______时，它是纯虚数.
4．复平面即建立平面直角坐标系表示复数的平面，x轴叫______，y轴叫______，实轴上的点都表示______，虚轴上的点(除原点外)都表示__________.
５．任何一个复数 点Ｚ( , )向量=__________.
６．复数的模记为___________.
典例探究　领悟解题思想，体会解题规范
例１．已知，复数，当何值时，
（１）它为纯虚数；（２）对应点在实轴上；（３）对应点在直线上.
分析：据复数的定义及复数的几何意义，列出关于的方程，即可求出结果.
解：（１）若为纯虚数，则，解得
　　　　∴当时，复数为纯虚数.
（２）若对应点在实轴上，则，解得
∴当时，复数对应点在实轴上.
（３）若对应点在直线上，则，　解得
∴当时，复数对应点在直线上.
点评：熟记复数的定义及复数的几何意义，是解决这类问题的关键。
［变式训练1］
设，试判断复数能否为纯虚数？说明理由。
例２．已知集合同时满足，，求整数。
分析：据集合的有关概念，化归为复数相等的有关问题，再根据复数相等的条件列出方程组求解.
解：∵，
∴　或　
或
解得：　　或　　或　（舍去）
∴所求的整数为　或　
点评：准确找出两个复数的实部和虚部，建立方程组是解决与复数相等有关问题的关键.
［变式训练2］
已知（），则____________
例3．已知复数，，求的取值范围.
分析：据复数的几何意义，将表示为的函数，转化为求函数值域问题.
解：
∵
∴
∴
∴即的取值范围为.
点评：复数的模即复数对应的点到原点的距离或复数对应向量的模.
［变式训练3］
已知复数，，它对应的点Ｚ在第一象限，且，若与x轴正方向的夹角为，求复数.
［方法总结］复数只有时，a、b分别表示实部、虚部，在此基础上准确把握复数的有关概念及几何意义，把复数问题化归为实数问题是解决复数概念有关问题的主要方法.　
实战演练　一丝不苟，一步到位
[基础卷]
选择题：
１．如果复数为纯虚数，那么实数a的值为（　　）
Ａ．－２　　　　　　　Ｂ．１　　　　　　　Ｃ．２　　　　　　　Ｄ．１或－２
2．已知，则的充要条件是
Ａ．　　　Ｂ．　　　Ｃ．　　　Ｄ．
３．给出下列命题，其中正确命题的个数是（　　）
①若且，则；②的充要条件是；③若，则当时，是纯虚数；④若，则不可能是实数.
Ａ．０　　　　　　　Ｂ．１　　　　　　　　Ｃ．２　　　　　　　Ｄ．３
４．若，则实数的值为（　　）
Ａ．１　　　　　　　Ｂ．－１　　　　　　　Ｃ．1或-1　　　　　　　Ｄ．３
５．已知，复数，则的取值范围是（　　）
Ａ．（１，５）　　　Ｂ．（１，３）　　　Ｃ．（１，）　　　Ｄ．（１，）
６．当时，复数在复平面上的点位于（　　）
Ａ．第一象限　　　　Ｂ．第二象限　　　　Ｃ．第三象限　　　　Ｄ．第四象限
填空题：
７．复数与，()相等的充要条件是____________________
8．已知复数，（），则____________
9．复数，（）在复平面内对应点位于直线______________上.
１0．复数，，（），若，则所满足的条件是_____________________________________.
解答题：
11．设，
问：（１）若是虚数，求的范围；（２）若在复平面内对应的点在第三象限内，求的范围.
12．已知，其中，若为纯虚数，
求（１）对应点的轨迹；（２）的取值范围.
[提高卷]
一、选择题
１．下面给出三个命题：①在复平面上的点都表示虚数；②复数与复平面内所有的向量一一对应；③复数与复平面内点一一对应。其中真命题个数为（　　）
Ａ．０　　　　　　　Ｂ．１　　　　　　　　Ｃ．２　　　　　　　Ｄ．３
２．设平行四边形ABCD在复平面内，Ａ为原点，Ｂ、Ｄ两点对应的复数分别为和，则点Ｃ对应的复数是（　　）
Ａ．　　　　　Ｂ．　　　　　　Ｃ．　　　　　　　Ｄ．
３．复数、、在复平面上的对应点分别为Ａ、Ｂ、Ｃ，若BC的中点为D，则向量对应的复数是（　　）
Ａ．　　　　Ｂ．　　　　Ｃ．　　　　Ｄ．
４．是复数(a、b∈R)为纯虚数的（　　）
Ａ．充分不必要条件　Ｂ．必要不充分条件　Ｃ．充要条件　Ｄ．既不充分也不必要条件
５．虚数其中，当此虚数的模为１时，的取值范围是（　　）
Ａ．　Ｂ． Ｃ．　Ｄ．
６．复数对应的点在第二象限，它的模是３，实部是，则的虚部为（　　）
Ａ．　　 　 　Ｂ．　　 　 　Ｃ．　　 　　Ｄ．
二、填空题
7．若是纯虚数，则的值为_______________.
8．设O为原点，向量、分别对应复数和，则向量对应的复数是_______________.
９．下列四个命题：①若且，则是纯虚数；②实数集与虚数集的并集等于复数集；③复平面内纯虚数对应的点一定在虚轴上；④两个复数充要条件是.其中正确命题的序号______________.
10．若复数（），则的取值范围是__________
三、解答题
11．设复数，（），若，求的值.
12．复平面上两点Ａ、Ｂ分别对应复数和，其中，Ｐ为线段AB的中点。求Ｐ点的轨迹方程.
§3.2　复数的代数形式的四则运算
一、课标解读　知己知彼，百战百胜
【课标表述】
能进行复数代数形式的四则运算,了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.
【目标分解】
１．类比多项式的运算，掌握复数代数形式的四则运算法则及运算律，能进行复数代数形式的四则运算.
２．在理解复数的几何意义的基础上，了解复数加、减法的几何意义.
３．了解共轭复数的定义.
二、课程导学　自主探究，提高能力
１．复数，，则______________；_________________； _________________；_________________.
２．复数的加法满足运算律：
（１）交换律_____________________；（2）结合律_______________.
复数的乘法满足运算律：　（１）______________
（２）______________
（３）______________.
３．复数加法的几何意义是_____________________________________________________；
复数减法的几何意义是________________________________________________________.
4．两个复数满足__________________________时，称它们为互为共轭复数.
三、典例探究　领悟解题思想，体会解题规范
例１．计算
分析：按照复数的四则运算法则求解.
解：
点评：复数代数形式的四则运算，类似于多项式的运算，把含有i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可，但要把i的幂写成最简单形式。其中复数的除法是将分子、分母同乘以分母的共轭复数（即分母实数化），再化归为复数的乘法运算.
［变式训练1］
计算：　（１）
　　　　　　（２）
例２．已知平行四边形OABC，顶点Ｏ、Ａ、Ｃ分别对应复数０、、，试求（１）向量、、表示的复数；（２）点Ｂ对应的复数.
分析：求向量对应的复数，只要求出向量的坐标即可.
解：（１）∵，
∴　表示的复数为
∵
∴对应的复数为
∵
∴对应的复数为
（２）∵
∴表示的复数为
∴点Ｂ对应的复数为
点评：复数的加减即复数相应的向量的加减，反之亦然.
［变式训练2］
复平面内有三点A、B、C，Ａ点对应复数为；对应复数为，对应的复数为，求AC的中点Ｍ对应的复数.
［方法归纳］复数形式的四则运算类似于多项式的四则运算。牢记，把的幂化为最简形式.
实战演练　一丝不苟，一步到位
[基础卷]
一、选择题
１．复数的值为（　　）
Ａ．－１　　　　　　　Ｂ．０　　　　　　　Ｃ．１　　　　　　　Ｄ．
2．若，其中，则等于（　　）
Ａ．０　　　　　　　Ｂ．２　　　　　　　Ｃ．　　　　　　　Ｄ．５
３．的值为（　　）
Ａ．　　　Ｂ．　　　Ｃ．　　　　Ｄ．
４．设，则复数为实数的充要条件是（　　）
Ａ．　　Ｂ．　　Ｃ．　　Ｄ．
５．若（）是纯虚数，则的共轭复数为（　　）
Ａ．　　　Ｂ．　　　Ｃ．　　　Ｄ．
６．复数满足，则等于（　　）
Ａ．　　　　Ｂ．　　　　Ｃ．　　　　Ｄ．
二、填空题
７．已知复平面内，与对应的复数分别为与，则对应的复数为_______________
8．已知复数的对应点在直线上，则实数____________
9．复数，且（），则______________
１0．复数满足，则________________
三、解答题：
11．计算下列各式的值
（１）（２）
12．已知， ，若为实数，求实数的值.
[提高卷]
一、选择题
１．复数满足，则等于（　　）
Ａ．　　　Ｂ．　　　　Ｃ．　　　Ｄ．
２．满足条件的复数ｚ在复平面上对应点的轨迹是（　　）
Ａ．一条直线　　　Ｂ．两条直线　　　　Ｃ．圆　　　　　Ｄ．椭圆
３．复数ｚ满足，则复数ｚ等于（　　）
Ａ．　　　　Ｂ．　　　　Ｃ．　　　　Ｄ．
４．设ｚ的共轭复数为，若，，则等于（　　）
Ａ．　　　　　　　Ｂ．　　　　　　Ｃ．　　　　　　　Ｄ．
５．定义运算，复数ｚ满足，则复数ｚ的模为（　　）
Ａ．　　　　　Ｂ． 　　　　　Ｃ．　　　　　　　Ｄ．
６．设，，，则（　　）
Ａ．　　 　Ｂ．　 　 　Ｃ．　　 　　Ｄ．
二、填空题
7．已知复数所对应的点在第二象限，则实数的取值范围是___________.
8．若复数满足，则的取值范围是________________.
９．若复数、满足，则 ______________.
10．设，且，则__________
三、解答题
11．复数满足，且其对应点在第二象限，求的取值范围.
12．已知关于的方程有实根，求这个实根以及实数.
答案:
§3.1　数系的扩充和复数的概念
［变式训练1］
解：要复数为纯虚数，需，解得：
∴当时，复数为纯虚数.
［变式训练２］
解：由复数相等概念得，解得：
∴
［变式训练３］
解：由点Ｚ在第一象限得：①
由得：②
由向量与轴正方向的夹角为得：③
∴由①②③解得：
∴
实战演练　
[基础卷]
１．Ａ　　２．Ｃ　　３．Ｂ　　４．Ｃ　　５．Ｃ　　６．Ｄ
７．且　　８．　　９．　　10．且
11．解：（１）若为虚数，则有
　　　　　　∴　解得：且
　　　　（２）由题得　即　
　　　　　　解得：
12．解：（１）由为纯虚数，设，（且）
　　　　∴
　　　　∴复数对应点为Ｍ，（且）
　　　　其轨迹为直线，除去点
　　　（２）由（１）得：
　　　　　　∴且
　　　　　　∴≥３且
[提高卷]
１．C　　２．Ｄ　　３．Ｄ　　４．Ｂ　　５．Ａ　　６．Ｃ
７． （）　　８．　　９．②　　10．≥３
11．解：由得：　解得：或
　
12．解：由题知： ，设
　　　　则有点Ｂ的坐标为
　　　　∴复数
　　　由得：
　　　∴为Ｐ点的轨迹方程.
§3.2　复数的代数形式的四则运算
［变式训练1］
（１）
（２）
［变式训练２］
解：由题知：，
∴
∵
∴
∴C点的坐标为
∴AC的中点Ｍ坐标为
∴AC的中点Ｍ对应的复数为
实战演练　
[基础卷]
１．Ｂ　　２．Ｄ　　３．Ｄ　　４．Ｃ　　５．Ａ　　６．Ｄ
７．　　８．-2　　９．１　　10．
11．解：（１）　
　　　　（２）　
12．解：由题知：
　　　　∴
　　　　∵为实数
　　　　∴　　解得：
[提高卷]
１．Ｂ　　２．Ｃ　　３．Ｄ　　４．Ｄ　　５．Ｃ　　６．Ｃ
７． 　　　８．　　　９．　　　10．３
11．解：由题设： 复数对应点Ｚ，
　　　　∵复数满足
∴即
∴且
由即得点对应轨迹是以为圆心，以２为半径的圆在第二象限的部分.
∴易得
∵
∴
12．解：当，时，
由方程变形得
∴ 解得或
∴当时，方程的实根为
　当时，方程的实根为
第四届全国高中青年数学教师录像课观摩与评比
数学归纳法及其应用举例
选送单位:甘肃省教科所
参赛教师: 何乃文
选手单位:甘肃省兰州一中
2008年9月10日
课题：数学归纳法及其应用举例
授课教师：甘肃省兰州一中 何乃文
联系方式：电话：0931—8821653 手机：13909427771
E-mail：henaiwende@126.com
【教学目标】
知识与技能：
1. 了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确，使学生深入认识归纳法, 理解数学归纳法的原理与实质;
2. 掌握数学归纳法证题的两个步骤；初步会用“数学归纳法”证明简单的与自然数有关的命题(如恒等式等)．
3. 培养学生观察、分析、论证的能力, 进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力，让学生经历数学归纳法原理的构建过程, 体会类比的数学思想．
过程与方法:
1.努力创设和谐融洽的课堂情境，使学生处于积极思考、大胆质疑氛围，提高学生学习的兴趣和课堂效率．让学生体验知识的构建过程, 体会源于生活的数学思想;
2. 通过对数学归纳法的学习、应用，逐步体验观察、归纳、猜想、论证的过程，培养学生由特殊到一般的思维方式和严格规范的论证意识，并初步掌握论证方法;
3. 让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养学生创新能力.
情感、态度、价值观:
1. 通过对数学归纳法原理的探究，培养学生严谨的、实事求是的科学态度和不怕困难，勇于探索的精神；
2. 让学生通过对数学归纳法原理和本质的理解，感受数学内在美的震撼力，从而使学生喜欢数学,激发学生的学习热情，使学生初步形成做数学的意识和科学精神；
3. 学生通过置疑与探究，培养学生独立的人格与敢于创新的精神；
4. 持续增进师生互信，生生互助，共创教学相长的教与学的氛围和习惯.
【教学重点】
归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析，初步理解数学归纳法的原理并能简单应用.
【教学难点】
数学归纳法中递推思想的理解,初步明确用数学归纳法证明命题的两个步骤.
【教学方法】师生互动讨论、共同探究的方法
【教学手段】多媒体辅助课堂教学
【教学过程】
一、创设情境，启动思维
情境一、财主儿子学写字的笑话、“小明弟兄三个，大哥叫大毛……”的脑筋急转弯等；
教师总结：财主的儿子很傻很天真，但他懂一样思想方法，是什么？ 以上都是由特殊情况归纳出一般情况的方法---归纳法，这就是今天的课题. 人们通常也会用归纳法思考问题，小孩也会由此总结出什么年龄人该叫爷爷，什么年龄人叫阿姨，叫哥哥或姐姐.
情境二：华罗庚的“摸球实验”
1、这里有一袋球共12个，我们要判断这一袋球是白球，还是黑球，请问怎么判断？
启发回答:
方法一：把它全部倒出来看一看．特点：方法是正确的，但操作上缺乏顺序性．
方法二：一个一个拿，拿一个看一个．
比如结果为：第一个白球，第二个白球，第三个白球，……，第十二个白球，由此得到：这一袋球都是白球．特点：有顺序，有过程．
2、如果想象袋子有足够大容量，球也无限多？要判断这一袋球是白球，还是黑球，上述方法可行吗？
情境三: 回顾等差数列通项公式推导过程：

设计意图：首先设计情境一,分析情境，自然引出课题----归纳法，谈笑间进入正题.再通过情境二的交流激发学生的兴趣，调动学生学习的积极性．情境三点出两种归纳法的不同特点.通过梳理我们熟悉的一些问题，很自然为本节课主题与重点引出打下伏笔.
二、师生互动，探究问题
承上启下：以上问题的思考和解决，用的都是归纳法.什么是归纳法？ 归纳法特点是什么？上述归纳法有什么不同呢？
学生回答以上问题，得出结论：
1. 归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法. 特点：由特殊→一般；
2. 完全归纳法: 把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法；
3. 不完全归纳法: 根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法.
在生活和生产实际中，归纳法有着广泛的应用．例如气象工作者、水文工作者，地震工作者依据积累的历史资料作气象预测，水文预报，地震预测用的就是归纳法．
4. 引导学生举例：
⑴不完全归纳法实例：如欧拉发现立体图形的欧拉公式:(V为顶点数,E为棱数,F为面数)
⑵ 完全归纳法实例： 如证明圆周角定理时，分圆心在圆周角内部、外部及一边上三种情况讨论．
设计意图：从生活走向数学，与学生一起回顾以前学过的数学知识，并在这里我安排学生举完全归纳法的实例和不完全归纳法实例，进一步体会归纳意识，同时让学生感受到我们以前的学习中其实早已接触过归纳法，并引导学生积极投入到探寻论证方法过程的氛围中.
三 、借助史料, 引申思辨
问题1： 已知＝（n∈N），
(1) 分别求；；；．
(2) 由⑴你会有怎样的一个猜想？这个猜想正确吗？
问题2： 费马（Fermat）是17世纪法国著名的数学家，他是解析几何的发明者之一，是对微积分的创立作出贡献最多的人之一，是概率论的创始者之一，他对数论也有许多贡献．他曾认为，当n∈N时，一定都是质数，这是他对n＝0，1，2，3，4作了验证后得到的．后来，18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler）却证明了＝4 294 967 297＝6 700 417×641，从而否定了费马的推测．没想到当n＝5这一结论便不成立．
教师总结: 有人说，费马为什么不再多算一个数呢？今天我们是无法回答的．但是要告诉同学们，失误的关键不在于多算一个数上！
问题3 ：, 当n∈N时，是否都为质数？
验证： f（0）＝41，f（1）＝43，f（2）＝47，f（3）＝53，f（4）＝61，f（5）＝71，f（6）＝83，f（7）＝97，f（8）＝113，f（9）＝131，f（10）＝151，…，f（39）＝1 601．但是f（40）＝1 681＝，是合数．
承上启下：这里算了39个数不算少了吧，但还是不行！我们介绍以上两个资料，不是说世界级大师还出错，我们有错就可以原谅，也不是说归纳法不行，不去学了，而是要找出运用归纳法出错的原因，并研究出对策来 , 寻求数学证明.
教师设问：,不完全归纳法为什么会出错？如何弥补不足？怎么给出证明呢？
设计意图：在生活引例与已学数学知识的基础上，进一步引导学生看数学史料，能够让学生多方位多角度体会归纳法，感受使用归纳法的普遍性．同时引导学生进行思辨：在数学中运用不完全归纳法常常会得到错误的结论，不管是我们还是数学大师都有可能如此．那么，不完全归纳法价值体现在哪里？不足之处如何去弥补呢？ 结论正确性怎样给出证明？学生一定会带着许多问题进入下一阶段探究.
四、实例再现，激发兴趣
1、演示多米诺骨牌游戏视频.
师生共同探讨多米诺骨牌全部依次倒下的条件：
⑴ 第一块要倒下;
⑵ 当前面一块倒下时，后面一块必须倒下;
当满足这两个条件后，多米诺骨牌全部都倒下.
再举例：再举几则生活事例：推倒自行车, 早操排队对齐等．
2、学生类比多米诺骨牌依顺序倒下的原理，探究出证明有关正整数命题的方法（建立数学模型）.
设计意图：布鲁纳的发现学习理论认为，“有指导的发现学习”强调知识发生发展过程．这里通过类比多米诺骨牌过程，让学生发现数学归纳法的雏形，是一种再创造的发现性学习．另外，这个环节里，我在培养学生大胆猜想、类比概括能力方面实践的不够好．应该让学生在类比多米诺骨牌游戏的基础上说出数学归纳法原理，教师给予肯定和补充即可。事实上，情境的设计都是为学生更好的知识迁移而服务的。概括能力是思维能力的核心．鲁宾斯坦指出：思维都是在概括中完成的．心理学认为“迁移就是概括”，这里知识、技能、思维方法、数学原理的迁移，突破口就是学生的概括过程．
五、类比联想，形成概念
1、 类比多米诺骨牌过程, 证明等差数列通项公式(师生共同完成,教师强调步骤及注意点)
(1) 当n＝1时等式成立；
(2) 假设当n＝k时等式成立, 即,
则=, 即n＝k＋1时等式也成立．
于是, 我们可以下结论： 等差数列的通项公式对任何n∈都成立．
2．数学归纳法原理(学生表述,教师补正)：
（1）（递推奠基）：n取第一个值(例如 )时命题成立；
（2）（递推归纳）：假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确；（归纳假设）
利用它证明当n=k+1时结论也正确.（归纳证明）
由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确，这种证明方法叫做数学归纳法．
3、数学归纳法的本质：无穷的归纳→有限的演绎（递推关系）
设计意图：至此，由生活实例出发，与学生一起解析归纳原理, 揭示递推过程.教师强调数学归纳法特点. 数学归纳法实际上是一种以数学归纳法原理为依据的演绎推理，它将一个无穷的归纳过程转化为一个有限步骤的演绎过程，是处理自然数有关问题的有力工具，一种具普遍性的方法.
六、讨论交流，深化认识
例1、 数列中, ＝1, (n∈), 通项公式是什么？你是怎么得到的？
探讨一：观察数列特点，变形解出.
探讨二：先计算，，的值，再推测通项的公式, 最后用数学归纳法证明结论．
设计意图：通过典型例题使学生探究尝试，一方面体验“观察—归纳—猜想—证明”完整过程，既能巩固归纳法和数学归纳法，也能使他们体验数学方法，培养学生独立研究数学问题的意识和能力．不同的方法也体现解决问题的灵活性.
七、反馈练习, 巩固提高
（请两位同学板演以下两题，教师指正）
1、用数学归纳法证明：1＋3＋5＋…＋（2n－1）＝．
2、首项是，公比是q的等比数列的通项公式是．
3、用数学归纳法证明： 时，下列推证是否正确，说出理由？
证明：假设时，等式成立
就是 成立
那么
=
这就是说当时等式成立，
所以时等式成立.
4、判断下列推证是否正确，若是不对，如何改正.
求证：
证明：①当n=1时，左边＝　右边＝，等式成立.
　　　②设n=k时，有
　 那么，当n=k+1时，有
，即n=k+1时，命题成立
根据①②可知，对n∈N＊，等式成立.
设计意图：练习题1，2的证明难度不大，套用数学归纳法的证明步骤不难解答，通过这两个练习能看到学生对数学归纳法证题步骤的掌握情况．这样既可以检验学生的学习水平，保证不盲目拔高，同时不冲淡本节课的重点，对例题是一个很好的对比与补充．通过3，4的易错辨析，进一步体会数学归纳法证题时的两个步骤、一个结论，“递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉”.
八、总结归纳，加深理解
1、本节课的中心内容是归纳法和数学归纳法；
2、归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，它可以分为完全归纳法和不完全归纳法两种，枚举法仅局限于有限个元素，而不完全归纳法得出的结论不一定具有可靠性，数学归纳法属于完全归纳法；
3、数学归纳法作为一种证明方法，其基本思想是递推(递归)思想，使用要点可概括为：两个步骤一结论，递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉；
4、本节课所涉及到的数学思想方法有：递推思想、类比思想、分类思想、归纳思想、辩证思想．
九、布置作业, 课外延伸
十、书面作业：见教材P56
课后思考题：
1. 是否存在常数a、b、c使得等式：
对一切自然数n都成立并证明你的结论.
2.是否存在常数a、b、c，使得等式1
对一切自然数n都成立？并证明你的结论（a=3,b=11,c=10）
设计意图: 思考题则起着承上启下的作用, 它既是“观察—归纳—猜想—证明”的完整思维探究过程的再体验，也是对下节课内容的铺垫与伏笔．
十一、课后反思
本节课的实际教学时间是40分钟，主要的教学环节和过程比较完整。
1、情景设计的意图在于引出课题，激发学生兴趣，为主题打下伏笔。这里承上启下处理的比较到位，但稍显冗长，节奏较慢，细节处理上还需改进。
2、问题的提出，数学史料的引用，引导学生认识不完全归纳法作为方法的必要性、不足及其的弥补方法。问题层层递进，为学生营造探究的课堂氛围。特点是师生互动，学生能积极参与。
3、通过类比多米诺骨牌游戏演示，让学生发现数学归纳法的雏形，是一种再创造的发现性学习，学生观察—归纳—类比—抽象，得到数学归纳法原理，此环节为本节核心内容，教学目的基本达到，不足是时间稍紧，探究的结果如果由学生说出，效果会更好。
4、有讲有练，落实三基，培养能力，有形式有内容，有检测评价，有易错辨析，既掌握了通性通法，也鼓励学生灵活解题。
5、有头有尾，重点强调，内容延伸。
另外，本人教学中有很多不足，如：紧张，教学语言尚需提炼等等。
总之，教学过程体现以情境为起点，问题为中心，层层推进，这种安排强调过程，符合学生的认知规律，使数学课堂教学成为学生对书本知识的再创造、再发现的过程，从而培养学生的创新意识。
《数学归纳法及其应用》教学设计说明
人民教育出版社全日制普通高级中学教科书数学第三册(选修II)第二章第一节
甘肃省兰州一中 何乃文
数学归纳法及其应用举例是人教社全日制普通高级中学教科书数学第三册(选修II)第二章第一节的内容，归纳法是人们认识真理的常用方法，而数学归纳法是传统内容，是一种严格的证明方法，专门用来论证与自然数有关的命题，体现一种思想，这种思想方法是人类智慧的骄傲.本节共三课时，这是第一课时, 主要内容是数学归纳法理解与简单应用．我主要针对第一课时的教学，谈谈我的理解与设计，敬请各位专家斧正.
一、教材分析
1.1数学本质及在教材中的地位和作用 本课是数学归纳法的第一节课.前面学生已经通过《数列》一章内容和其它相关内容的学习，初步了解和使用了由有限多个特殊事例得出一般结论的推理方法，即不完全归纳法.不完全归纳法是研究数学问题，猜想或发现数学规律的重要手段, 几乎可以说全部中学数学教材都贯穿了归纳法基本思想. 但是，由有限多个特殊事例得出的结论不一定正确，这种推理方法不能作为一种论证方法.因此，在不完全归纳法的基础上，必须进一步学习严谨的科学的论证方法---数学归纳法.
数学归纳法是一种用于证明与自然数n有关的命题的正确性的证明方法，它的本质是将无穷的归纳过程转为有限的演绎过程的一种思维方法. 数学归纳法安排在数列之后极限之前，是促进学生从有限思维发展到无限思维的一个重要环节.它的操作步骤简单、目标明确. 教学的最终目的应该是数学归纳法的应用. 数学归纳法不仅在于它自身具有非常严谨的结构，更重要的，它是一种高明的数学思维，用数学归纳法去论证与自然数n有关的命题更具普遍性；学习数学归纳法，不仅能证明有关问题，更重要的是可以开阔学生的眼界，还可以使他们受到论证思维的训练. .本节内容也是培养学生严密的推理能力、训练学生抽象的思维能力、体验数学内在美的好素材.
1.2 教学诊断分析 运用数学归纳法证明与自然数n有关的命题虽说只有两步，但是原理很抽象．新教学理念告诉我们，不能把教学过程当作方法的灌输，技能的简单操练.对方法作简单的灌输，学生必然疑虑重重．为什么必须是两步呢？于是作为教师就会被动，可能反复举例，说明二步缺一不可．你怎么知道n=k时命题成立呢？教师又不得不作出解释，可学生仍未完全接受．学完了数学归纳法的学生又往往会出现“短路”问题，应该用时却想不起来，等等．为此，我在教学设计中，设法进行强化数学归纳法产生过程的教学，通过列举一定的实例，把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、认识当中，把数学归纳法的产生与不完全归纳法完善结合起来．把数学归纳法的原理与生活联系，这样不仅使学生可以看到数学归纳法产生的背景，从一开始就注意它的功能，为使用它打下良好的基础，而且可以强化归纳思想的教学，这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充，也是引导学生发展创新能力的良机．在学生数学归纳法理解中恰当的融入数学史的教学，也正面提升了学生数学学习的态度与学习成就感. 应此，根据本课的教学要求、内容特点和学生现有认知水平，不难确定本课教学重点为归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析,初步理解数学归纳法的原理;教学难点是数学归纳法中递推思想的理解,初步明确用数学归纳法证明命题的两个步骤. 运用数学归纳法证明与正整数有关的数学命题，两个步骤缺一不可．此外，数学归纳法的应用将重点放在下一课时完成，这种设计不仅使学生能够充分认识数学归纳法的原理与本质，更为课后的自修学习提供了很大的空间，便于发挥学生探究学习的主动性．
二、学情分析
2.1 学生的认知特点： 我所在的学校是省属重点中学，所教的班级是重点班，学生基础还不错.在知识方面，对数列已经熟悉，通过回顾数学旧知，追溯归纳，借助数学史料, 促使思辨，新知教学会有很好的基础；在技能方面，高二学生，有较强的概括能力和抽象思维能力；在情感方面，求知的欲望强烈，喜欢探求真理，具有积极的情感态度.
2.2 教学目标的拟定：鉴于这些特点,并结合教学大纲的要求以及对教材的分析,我拟定如下的教学目标:
知识与技能：
⑴ 了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确，使学生深入认识归纳法, 理解数学归纳的原理与实质;
⑵ 掌握数学归纳法证题的两个步骤；初步会用“数学归纳法”证明简单的与自然数有关的命题(如恒等式等)．
⑶ 培养学生观察, 分析, 论证的能力, 进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力，让学生经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想．
过程与方法:
⑴ 努力创设课堂愉悦情境，使学生处于积极思考、大胆质疑氛围，提高学生学习的兴趣和课堂效率．让学生经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想;
⑵ 通过对数学归纳法的学习、应用，培养学生观察、归纳、猜想、分析能力和严密的逻辑推理能力;
⑶ 让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题过程，培养学生创新能力.
情感、态度、价值观:
⑴ 通过对数学归纳法原理的探究，培养学生严谨的、实事求是的科学态度和不怕困难，勇于探索的精神。
⑵ 让学生通过对数学归纳法原理的理解，感受数学内在美的振憾力，从而使学生喜欢数学,激发学生的学习热情，使学生初步形成做数学的意识和科学精神．
⑶ 学生通过置疑与探究，培养学生独立的人格与敢于创新精神.
三、教法与学法
在教学方法上，我在这里运用了教师引导下的师生互动讨论、共同探究的方法．本课以问题为中心，以解决问题为主线展开，学生的思维也往往是从问题开始的，通过研读教材，我把本节课按照思维次序编排了问题链，把本节课的探究内容置于问题之中，包括引入和深入，类比和启发、巩固与反思、尽力使学生投入到思维活动中来，在逐渐展开中，引导学生用已学的知识、方法予以解决，并获得知识体系的更新与拓展．而这种参与的深度、广度、智能度取决于教师的现场调控和灵活把握，教师应充分做好发动、组织、引导和点拨．
探究方法能使是学生主动参与知识的发生、发展过程，自然的建构知识和方法体系.学生在探究问题过程中学习，在探究问题的过程中激发学生的好奇心和创新精神;在探究过程中学习科学研究的方法;在探究过程中形成坚韧不拔的精神，使他们学会学习.
四、过程及预期效果分析
数学知识来源于生活实际，生活本身又是一个巨大的数学课堂，我在教学过程中注重把教材内容与生活实践结合起来，笑话，老的掉牙的脑筋急转弯我都用上了，在谈笑间并不离题；另外，我深知所数学归纳法作为中学教学的经典内容，要给其找到生活的原型，多米诺骨牌游戏的类比功能自然是少不了的，虽然从设计到施教很难突破和创新，但我认为要做好对现有的素材更好的整合。要重过程，求突破，看效果. 学生是认知的主体，设计教学过程必须遵循学生的认知规律，尽可能地让学生去经历知识的形成与发展过程，考虑学生最近发展区，结合可接受性和可操作性原则，把教学目标的落实融入到教学过程之中，通过实例自然导出数学归纳法的形成,发展及应用过程，帮助学生主动建构.
附：教学设计结构图
§1.1.1变化率问题
教学目标：
1．理解平均变化率的概念；
2．了解平均变化率的几何意义；
3．会求函数在某点处附近的平均变化率
教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；
教学难点：平均变化率的概念．
教学过程：
一．创设情景
为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：
一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;
二、求曲线的切线;
三、求已知函数的最大值与最小值;
四、求长度、面积、体积和重心等。
导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。
导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度．
二．新课讲授
（一）问题提出
问题1 气球膨胀率
我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?
气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是
如果将半径r表示为体积V的函数,那么
分析: ，
当V从0增加到1时,气球半径增加了
气球的平均膨胀率为
当V从1增加到2时,气球半径增加了
气球的平均膨胀率为
可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．
思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?
问题2 高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?
思考计算：和的平均速度
在这段时间里，；
在这段时间里，
探究：计算运动员在这段时间里的平均速度，并思考以下问题：
⑴运动员在这段时间内使静止的吗？
⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，，
所以，
虽然运动员在这段时间里的平均速度为，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．
（二）平均变化率概念:
1．上述问题中的变化率可用式子 表示, 称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率
2．若设, (这里看作是对于x1的一个“增量”可用x1+代替x2,同样)
则平均变化率为
思考：观察函数f(x)的图象
平均变化率表示什么?

直线AB的斜率
三．典例分析
例1．已知函数f(x)=的图象上的一点及临近一点,则 ．
解：，
∴
求在附近的平均变化率。
解：，所以
所以在附近的平均变化率为
四．课堂练习
1．质点运动规律为，则在时间中相应的平均速度为 ．
2.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率.
3.过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q (1+Δx,1+Δy)作曲线的割线，求出当Δx=0.1时割线的斜率.
五．回顾总结
1．平均变化率的概念
2．函数在某点处附近的平均变化率
六．布置作业
§1.1.2导数的概念
教学目标：
1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；
2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；
3．会求函数在某点的导数
教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念；
教学难点：导数的概念．
教学过程：
一．创设情景
（一）平均变化率
（二）探究：计算运动员在这段时间里的平均速度，并思考以下问题：
⑴运动员在这段时间内使静止的吗？
⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，，
所以，
虽然运动员在这段时间里的平均速度为，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．
二．新课讲授
1．瞬时速度
我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，时的瞬时速度是多少？考察附近的情况：
思考：当趋近于0时，平均速度有什么样的变化趋势？
结论：当趋近于0时，即无论从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度都趋近于一个确定的值．
从物理的角度看，时间间隔无限变小时，平均速度就无限趋近于史的瞬时速度，因此，运动员在时的瞬时速度是
为了表述方便，我们用
表示“当，趋近于0时，平均速度趋近于定值”
小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。
2 导数的概念
从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:
我们称它为函数在出的导数，记作或，即

说明：（1）导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率
（2），当时，，所以
三．典例分析
例1．（1）求函数y=3x2在x=1处的导数.
分析：先求Δf=Δy=f(１＋Δx)-f(１)=6Δx+(Δx)2
　　再求再求
解：法一 定义法（略）
法二：
（2）求函数f(x)=在附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．
解：

例2．（课本例1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第时，原油的温度（单位：）为，计算第时和第时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．
解：在第时和第时，原油温度的瞬时变化率就是和
根据导数定义，
所以
同理可得:
在第时和第时，原油温度的瞬时变化率分别为和5，说明在附近，原油温度大约以的速率下降，在第附近，原油温度大约以的速率上升．
注：一般地，反映了原油温度在时刻附近的变化情况．
四．课堂练习
1．质点运动规律为，求质点在的瞬时速度为．
2．求曲线y=f(x)=x3在时的导数．
3．例2中，计算第时和第时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．
五．回顾总结
1．瞬时速度、瞬时变化率的概念
2．导数的概念
六．布置作业
§1.1.3导数的几何意义
教学目标：
1．了解平均变化率与割线斜率之间的关系；
2．理解曲线的切线的概念；
3．通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题；
教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义；
教学难点：导数的几何意义．
教学过程：
一．创设情景
（一）平均变化率、割线的斜率
（二）瞬时速度、导数
我们知道，导数表示函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率，反映了函数y=f(x)在x=x0附近的变化情况，导数的几何意义是什么呢？
二．新课讲授
（一）曲线的切线及切线的斜率：如图3.1-2，当沿着曲线趋近于点时，割线的变化趋势是什么？
我们发现,当点沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线.
问题：⑴割线的斜率与切线PT的斜率有什么关系？
⑵切线PT的斜率为多少？
容易知道，割线的斜率是,当点沿着曲线无限接近点P时，无限趋近于切线PT的斜率，即
说明：（1）设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.
这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;
②切线斜率的本质—函数在处的导数.
（2）曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.
（二）导数的几何意义：
函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点处的切线的斜率，
即
说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:
①求出P点的坐标;
②求出函数在点处的变化率 ，得到曲线在点的切线的斜率；
③利用点斜式求切线方程.
（二）导函数：
由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当时, 是一个确定的数，那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.记作：或，
即:
注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数．
（三）函数在点处的导数、导函数、导数 之间的区别与联系。
（1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。
(2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的， 就是函数f(x)的导函数
(3）函数在点处的导数就是导函数在处的函数值，这也是 求函数在点处的导数的方法之一。
三．典例分析
例1:（1）求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
（2）求函数y=3x2在点处的导数.
解：（1）,
所以，所求切线的斜率为2，因此，所求的切线方程为即
（2）因为
所以，所求切线的斜率为6，因此，所求的切线方程为即
（2）求函数f(x)=在附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．
解：

例2．（课本例2）如图3.1-3，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数
，根据图像，请描述、比较曲线在、、附近的变化情况．
解：我们用曲线在、、处的切线，刻画曲线在上述三个时刻附近的变化情况．
当时，曲线在处的切线平行于轴，所以，在附近曲线比较平坦，几乎没有升降．
当时，曲线在处的切线的斜率，所以，在附近曲线下降，即函数在附近单调递减．
当时，曲线在处的切线的斜率，所以，在附近曲线下降，即函数在附近单调递减．
从图3.1-3可以看出，直线的倾斜程度小于直线的倾斜程度，这说明曲线在附近比在附近下降的缓慢．
例3．（课本例3）如图3.1-4，它表示人体血管中药物浓度(单位：)随时间（单位：）变化的图象．根据图像，估计时，血管中药物浓度的瞬时变化率（精确到）．
解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度在此时刻的导数，从图像上看，它表示曲线在此点处的切线的斜率．
如图3.1-4，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值．
作处的切线，并在切线上去两点，如，，则它的斜率为：
所以
下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值：
0.2
0.4
0.6
0.8
药物浓度瞬时变化率
0.4
0
-0.7
-1.4
四．课堂练习
1．求曲线y=f(x)=x3在点处的切线；
2．求曲线在点处的切线．
五．回顾总结
1．曲线的切线及切线的斜率；
2．导数的几何意义
六．布置作业
§1.2.1几个常用函数的导数
教学目标：
1．使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数、、、的导数公式；
2．掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数．
教学重点：四种常见函数、、、的导数公式及应用
教学难点： 四种常见函数、、、的导数公式
教学过程：
一．创设情景
我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数，如何求它的导数呢？
由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数．
二．新课讲授
1．函数的导数
根据导数定义，因为
所以
函数
导数
表示函数图像（图3.2-1）上每一点处的切线的斜率都为0．若表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态．
2．函数的导数
因为
所以
函数
导数
表示函数图像（图3.2-2）上每一点处的切线的斜率都为1．若表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．
3．函数的导数
因为
所以
函数
导数
表示函数图像（图3.2-3）上点处的切线的斜率都为，说明随着的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当时，随着的增加，函数减少得越来越慢；当时，随着的增加，函数增加得越来越快．若表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体做变速运动，它在时刻的瞬时速度为．
4．函数的导数
因为
所以
函数
导数
5．函数的导数
因为
所以
函数
导数
（2）推广：若，则
三．课堂练习
1．课本P13探究1
2．课本P13探究2
四．回顾总结
函数
导数
五．布置作业
　　
§1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
教学目标：
1．熟练掌握基本初等函数的导数公式；
2．掌握导数的四则运算法则；
3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．
教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则
教学难点： 基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用
教学过程：
一．创设情景
五种常见函数、、、、的导数公式及应用
函数
导数
二．新课讲授
（一）基本初等函数的导数公式表
函数
导数
（二）导数的运算法则
导数运算法则
1．
2．
3．
（2）推论：
（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）
三．典例分析
例1．假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为，物价（单位：元）与时间（单位：年）有如下函数关系，其中为时的物价．假定某种商品的，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？
解：根据基本初等函数导数公式表，有
所以（元/年）
因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨．
例2．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．
（1）
（2）；
（3）；
（4）；
（5）．
（6）；
（7）
解：（1），
。
（2）
（3）
（4），
。
（5）
（6）
，
。
（7）
。
【点评】
① 求导数是在定义域内实行的．
② 求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心．
例3日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为时所需费用（单位：元）为
求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1） （2）
解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数．
因为，所以，纯净度为时，费用的瞬时变化率是52.84元/吨．
因为，所以，纯净度为时，费用的瞬时变化率是1321元/吨．
函数在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢．由上述计算可知，．它表示纯净度为左右时净化费用的瞬时变化率，大约是纯净度为左右时净化费用的瞬时变化率的25倍．这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快．
四．课堂练习
1．课本P92练习
2．已知曲线C：y ＝3 x 4－2 x3－9 x2＋4，求曲线C上横坐标为1的点的切线方程；
（y ＝－12 x ＋8）
五．回顾总结
（1）基本初等函数的导数公式表
（2）导数的运算法则
六．布置作业
§1.2.2复合函数的求导法则
教学目标 理解并掌握复合函数的求导法则．
教学重点 复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积．
教学难点 正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确．
一．创设情景
（一）基本初等函数的导数公式表
函数
导数
（二）导数的运算法则
导数运算法则
1．
2．
3．
（2）推论：
（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）
二．新课讲授
复合函数的概念 一般地，对于两个函数和，如果通过变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数，记作。
复合函数的导数 复合函数的导数和函数和的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积．
若，则
三．典例分析
例1（课本例4）求下列函数的导数：
（1）；（2）；
（3）（其中均为常数）．
解：（1）函数可以看作函数和的复合函数。根据复合函数求导法则有
=。
（2）函数可以看作函数和的复合函数。根据复合函数求导法则有
=。
（3）函数可以看作函数和的复合函数。根据复合函数求导法则有
=。
例2求的导数．
解：
【点评】
求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果．
例3求的导数．
解：
，
【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理．
例4求y ＝sin4x ＋cos 4x的导数．
【解法一】y ＝sin 4x ＋cos 4x＝(sin2x ＋cos2x)2－2sin2cos2x＝1－sin22 x
＝1－（1－cos 4 x）＝＋cos 4 x．y′＝－sin 4 x．
【解法二】y′＝(sin 4 x)′＋(cos 4 x)′＝4 sin 3 x(sin x)′＋4 cos 3x (cos x)′
＝4 sin 3 x cos x ＋4 cos 3 x (－sin x)＝4 sin x cos x (sin 2 x －cos 2 x)
＝－2 sin 2 x cos 2 x＝－sin 4 x
【点评】
解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步．
例5曲线y ＝x（x ＋1）（2－x）有两条平行于直线y ＝x的切线，求此二切线之间的距离．
【解】y ＝－x 3 ＋x 2 ＋2 x y′＝－3 x 2＋2 x ＋2
令y′＝1即3 x2－2 x －1＝0，解得 x ＝－或x ＝1．
于是切点为P（1，2），Q（－，－），
过点P的切线方程为，y －2＝x －1即 x －y ＋1＝0．
显然两切线间的距离等于点Q 到此切线的距离，故所求距离为
＝．
四．课堂练习
1．求下列函数的导数 (1) y =sinx3+sin33x；（2）;(3)
2.求的导数
五．回顾总结
六．布置作业
§1.3.1函数的单调性与导数（2课时）
教学目标：
1．了解可导函数的单调性与其导数的关系；
2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次；
教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间
教学难点： 利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间
教学过程：
一．创设情景
函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用．
二．新课讲授
1．问题：图3.3-1（1），它表示跳水运动中高度随时间变化的函数的图像，图3.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度随时间变化的函数的图像．
运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？
通过观察图像，我们可以发现：
运动员从起点到最高点，离水面的高度随时间的增加而增加，即是增函数．相应地，．
从最高点到入水，运动员离水面的高度随时间的增加而减少，即是减函数．相应地，．
2．函数的单调性与导数的关系
观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．
如图3.3-3，导数表示函数在点处的切线的斜率．
在处，，切线是“左下右上”式的，这时，函数在附近单调递增；
在处，，切线是“左上右下”式的，这时，函数在附近单调递减．
结论：函数的单调性与导数的关系
在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减．
说明：（1）特别的，如果，那么函数在这个区间内是常函数．
3．求解函数单调区间的步骤：
（1）确定函数的定义域；
（2）求导数；
（3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间；
（4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间．
三．典例分析
例1．已知导函数的下列信息：
当时，；
当，或时，；
当，或时，
试画出函数图像的大致形状．
解：当时，，可知在此区间内单调递增；
当，或时，；可知在此区间内单调递减；
当，或时，，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”．
综上，函数图像的大致形状如图3.3-4所示．
例2．判断下列函数的单调性，并求出单调区间．
（1）； （2）
（3）； （4）
解：（1）因为，所以，

因此，在R上单调递增，如图3.3-5（1）所示．
（2）因为，所以，
当，即时，函数单调递增；
当，即时，函数单调递减；
函数的图像如图3.3-5（2）所示．
（3）因为，所以，
因此，函数在单调递减，如图3.3-5（3）所示．
（4）因为，所以 ．
当，即 时，函数 ；
当，即 时，函数 ；
函数的图像如图3.3-5（4）所示．
注：（3）、（4）生练
例3．如图3.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度与时间的函数关系图像．
分析：以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快．反映在图像上，（A）符合上述变化情况．同理可知其它三种容器的情况．
解：
思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？
一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些．
如图3.3-7所示，函数在或内的图像“陡峭”，
在或内的图像“平缓”．
例4．求证：函数在区间内是减函数．
证明：因为
当即时，，所以函数在区间内是减函数．
说明：证明可导函数在内的单调性步骤：
（1）求导函数；
（2）判断在内的符号；
（3）做出结论：为增函数，为减函数．
例5．已知函数 在区间上是增函数，求实数的取值范围．
解：，因为在区间上是增函数，所以对恒成立，即对恒成立，解之得：
所以实数的取值范围为．
说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则；若函数单调递减，则”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．
例6．已知函数y=x+，试讨论出此函数的单调区间.
解：y′=(x+)′
=1－1·x－2=
令＞0.
解得x＞1或x＜－1.
∴y=x+的单调增区间是(－∞，－1)和(1，+∞).
令＜0，解得－1＜x＜0或0＜x＜1.
∴y=x+的单调减区间是(－1，0)和(0，1)
四．课堂练习
1．求下列函数的单调区间
1.f(x)=2x3－6x2+7 2.f(x)=+2x 3. f(x)=sinx , x 4. y=xlnx
2．课本 练习
五．回顾总结
（1）函数的单调性与导数的关系
（2）求解函数单调区间
（3）证明可导函数在内的单调性
六．布置作业
§3.3.2函数的极值与导数（2课时）
教学目标：
1.理解极大值、极小值的概念；
2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；
3.掌握求可导函数的极值的步骤；
教学重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤.
教学难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤.
教学过程：
一．创设情景
观察图3.3-8，我们发现，时，高台跳水运动员距水面高度最大．那么，函数在此点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？
放大附近函数的图像，如图3.3-9．可以看出；在，当时，函数单调递增，；当时，函数单调递减，；这就说明，在附近，函数值先增（，）后减（，）．这样，当在的附近从小到大经过时，先正后负，且连续变化，于是有．
对于一般的函数，是否也有这样的性质呢？
附：对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的. 从图象观察得出，判别极大、极小值的方法.判断极值点的关键是这点两侧的导数异号
二．新课讲授
1．问题：图3.3-1（1），它表示跳水运动中高度随时间变化的函数的图像，图3.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度随时间变化的函数的图像．
运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？
通过观察图像，我们可以发现：
运动员从起点到最高点，离水面的高度随时间的增加而增加，即是增函数．相应地，．
从最高点到入水，运动员离水面的高度随时间的增加而减少，即是减函数．相应地，．
2．函数的单调性与导数的关系
观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．
如图3.3-3，导数表示函数在点处的切线的斜率．在处，，切线是“左下右上”式的，这时，函数在附近单调递增；在处，，切线是“左上右下”式的，这时，函数在附近单调递减．
结论：函数的单调性与导数的关系
在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减．
说明：（1）特别的，如果，那么函数在这个区间内是常函数．
3．求解函数单调区间的步骤：
（1）确定函数的定义域；
（2）求导数；
（3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间；
（4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间．
三．典例分析
例1．（课本例4）求的极值
解： 因为，所以
。
下面分两种情况讨论：
（1）当>0,即，或时；
（2）当<0,即时.
当x变化时， ，的变化情况如下表：
-2
(-2,2)
2
+
0
－
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
因此，当时，有极大值，并且极大值为；
当时，有极小值，并且极小值为。
函数的图像如图所示。
例2求y=(x2－1)3+1的极值
解：y′=6x(x2－1)2=6x(x+1)2(x－1)2
令y′=0解得x1=－1，x2=0，x3=1
当x变化时，y′，y的变化情况如下表
-1
(-1,0)
0
(0,1)
1
－
0
－
0
+
0
+
↘
无极值
↘
极小值0
↗
无极值
↗
∴当x=0时，y有极小值且y极小值=0
1.极大值： 一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，x0是极大值点
2.极小值：一般地，设函数f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0).就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)，x0是极小值点
3.极大值与极小值统称为极值 注意以下几点：
（ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小
（ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个
（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，是极大值点，是极小值点，而>
（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点
而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点
4. 判别f(x0)是极大、极小值的方法:
若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值
5. 求可导函数f(x)的极值的步骤:
(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)
(2)求方程f′(x)=0的根
(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f(x)在这个根处无极值
如果函数在某些点处连续但不可导，也需要考虑这些点是否是极值点
四、巩固练习：
1．求下列函数的极值.
(1)y=x2－7x+6 (2)y=x3－27x
(1)解：y′=(x2－7x+6)′=2x－7
令y′=0，解得x=.
当x变化时，y′，y的变化情况如下表.
－
0
+
↘
极小值
↗
∴当x=时，y有极小值，且y极小值=－.
(2)解：y′=(x3－27x)′=3x2－27=3(x+3)(x－3)
令y′=0，解得x1=－3，x2=3.
当x变化时，y′，y的变化情况如下表.
-3
(-3,3)
3
+
0
－
0
+
↗
极大值54
↘
极小值-54
↗
∴当x=－3时，y有极大值，且y极大值=54.
当x=3时，y有极小值，且y极小值=－54
五、教学反思 ：函数的极大、极小值的定义以及判别方法.求可导函数f(x)的极值的三个步骤.还有要弄清函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，在整个定义区间可能有多个极值，且要在这点处连续.可导函数极值点的导数为0，但导数为零的点不一定是极值点，要看这点两侧的导数是否异号.函数的不可导点可能是极值点
六、课后作业：书本P 34 3 . 4 . 5
§1.3.3函数的最大（小）值与导数（2课时）
教学目标：
⒈使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数在闭区间上所有点（包括端点）处的函数中的最大（或最小）值必有的充分条件；
⒉使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤
教学重点：利用导数求函数的最大值和最小值的方法．
教学难点：函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系．
教学过程：
一．创设情景
我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质．也就是说，如果是函数的极大（小）值点，那么在点附近找不到比更大（小）的值．但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们更关心函数在某个区间上，哪个至最大，哪个值最小．如果是函数的最大（小）值，那么不小（大）于函数在相应区间上的所有函数值．
二．新课讲授
观察图中一个定义在闭区间上的函数的图象．图中与是极小值，是极大值．函数在上的最大值是，最小值是．
1．结论：一般地，在闭区间上函数的图像是一条连续不断的曲线，那么函数在上必有最大值与最小值．
说明：⑴如果在某一区间上函数的图像是一条连续不断的曲线，则称函数在这个区间上连续．（可以不给学生讲）
⑵给定函数的区间必须是闭区间，在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值．如函数在内连续，但没有最大值与最小值；
⑶在闭区间上的每一点必须连续，即函数图像没有间断，
⑷函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．（可以不给学生讲）
2．“最值”与“极值”的区别和联系
⑴最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．
⑵从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；
⑶函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
⑷极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．
3．利用导数求函数的最值步骤:
由上面函数的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
一般地，求函数在上的最大值与最小值的步骤如下：
⑴求在内的极值；
⑵将的各极值与端点处的函数值、比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数在上的最值
三．典例分析
例1．（课本例5）求在的最大值与最小值
解： 由例4可知，在上，当时，有极小值，并且极小值为，又由于，
因此，函数在的最大值是4，最小值是．
上述结论可以从函数在上的图象得到直观验证．
例2．求函数在区间上的最大值与最小值
解：先求导数，得
令＝0即解得
导数的正负以及，如下表
X
-2
（-2,-1）
-1
（-1,0）
0
（0,1）
1
（1,2）
2
y/
－
0
＋
0
－
0
＋
y
13
↘
4
↗
5
↘
4
↗
13
从上表知，当时，函数有最大值13，当时，函数有最小值4
例3．已知,∈(0,+∞).是否存在实数,使同时满足下列两个条件：（1）)在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数；（2）的最小值是1，若存在，求出，若不存在，说明理由.
解：设g(x)=
∵f(x)在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数
∴g(x)在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数.
∴ ∴ 解得
经检验，a=1,b=1时，f(x)满足题设的两个条件.
四．课堂练习
1．下列说法正确的是( )
A.函数的极大值就是函数的最大值 B.函数的极小值就是函数的最小值
C.函数的最值一定是极值 D.在闭区间上的连续函数一定存在最值
2．函数y=f(x)在区间［a,b］上的最大值是M，最小值是m,若M=m,则f′(x) ( )
A.等于0 B.大于0 C.小于0 D.以上都有可能
3．函数y=，在［－1，1］上的最小值为( )
A.0 B.－2 C.－1 D.
4．求函数在区间上的最大值与最小值．
5．课本 练习
五．回顾总结
1．函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中：导数等于零的点，导数不存在的点，区间端点；
2．函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件；
3．闭区间上的连续函数一定有最值；开区间内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值
4．利用导数求函数的最值方法．
六．布置作业
§1.4生活中的优化问题举例（2课时）
教学目标：
使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用
提高将实际问题转化为数学问题的能力
教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题．
教学难点：利用导数解决生活中的一些优化问题．
教学过程：
一．创设情景
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题．
二．新课讲授
导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：
1、与几何有关的最值问题；
2、与物理学有关的最值问题；
3、与利润及其成本有关的最值问题；
4、效率最值问题。
解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．
利用导数解决优化问题的基本思路：

三．典例分析
例1．海报版面尺寸的设计
学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图1.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm。如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？
解：设版心的高为xdm，则版心的宽为dm,此时四周空白面积为
。
求导数，得
。
令，解得舍去）。
于是宽为。
当时，<0；当时，>0.
因此，是函数的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白面积最小。
答：当版心高为16dm，宽为8dm时，海报四周空白面积最小。
例2．饮料瓶大小对饮料公司利润的影响
（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？
（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？
【背景知识】：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是 分，其中 是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm
问题：（１）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？
　　 （２）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？
解：由于瓶子的半径为，所以每瓶饮料的利润是

令 解得 （舍去）
当时，；当时，．
当半径时，它表示单调递增，即半径越大，利润越高；
当半径时， 它表示单调递减，即半径越大，利润越低．
（1）半径为cm 时，利润最小，这时，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值．
（2）半径为cm时，利润最大．
换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数的图像上观察，会有什么发现？
有图像知：当时，，即瓶子的半径为3cm时，饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等；当时，利润才为正值．
当时，，为减函数，其实际意义为：瓶子的半径小于2cm时，瓶子的半径越大，利润越小，半径为cm 时，利润最小．
例3．磁盘的最大存储量问题
计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化成磁道和扇区。磁道是指不同半径所构成的同心轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形区域。磁道上的定长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0或1，这个基本单元通常被称为比特（bit）。
为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于，每比特所占用的磁道长度不得小于。为了数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。
问题：现有一张半径为的磁盘，它的存储区是半径介于与之间的环形区域．
是不是越小，磁盘的存储量越大？
为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？
解：由题意知：存储量=磁道数×每磁道的比特数。
设存储区的半径介于与R之间，由于磁道之间的宽度必需大于，且最外面的磁道不存储任何信息，故磁道数最多可达。由于每条磁道上的比特数相同，为获得最大存储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达。所以，磁盘总存储量
×
（1）它是一个关于的二次函数，从函数解析式上可以判断，不是越小，磁盘的存储量越大．
（2）为求的最大值，计算．
令，解得
当时，；当时，．
因此时，磁盘具有最大存储量。此时最大存储量为
例4．汽油的使用效率何时最高
我们知道，汽油的消耗量（单位：L）与汽车的速度（单位：km/h）之间有一定的关系，汽油的消耗量是汽车速度的函数．根据你的生活经验，思考下面两个问题：
（1）是不是汽车的速度越快，汽车的消耗量越大？
（2）“汽油的使用率最高”的含义是什么？
分析：研究汽油的使用效率（单位：L/m）就是研究秋游消耗量与汽车行驶路程的比值．如果用表示每千米平均的汽油消耗量，那么，其中，表示汽油消耗量（单位：L），表示汽油行驶的路程（单位：km）．这样，求“每千米路程的汽油消耗量最少”，就是求的最小值的问题．
通过大量的统计数据，并对数据进行分析、研究，人们发现，汽车在行驶过程中，汽油平均消耗率（即每小时的汽油消耗量，单位：L/h）与汽车行驶的平均速度（单位：km/h）之间有如图所示的函数关系．
从图中不能直接解决汽油使用效率最高的问题．因此，我们首先需要将问题转化为汽油平均消耗率（即每小时的汽油消耗量，单位：L/h）与汽车行驶的平均速度（单位：km/h）之间关系的问题，然后利用图像中的数据信息，解决汽油使用效率最高的问题．
解：因为
这样，问题就转化为求的最小值．从图象上看，表示经过原点与曲线上点的直线的斜率．进一步发现，当直线与曲线相切时，其斜率最小．在此切点处速度约为90．
因此，当汽车行驶距离一定时，要使汽油的使用效率最高，即每千米的汽油消耗量最小，此时的车速约为90．从数值上看，每千米的耗油量就是图中切线的斜率，即，约为 L．
例5．在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？
解法一：设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积
．

令 ＝0，解得 x=0（舍去），x=40，
并求得V(40)=16 000
由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值
答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm3
解法二：设箱高为xcm，则箱底长为(60-2x)cm，则得箱子容积
．（后面同解法一，略）
由题意可知，当x过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处．
事实上，可导函数、在各自的定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值
例6．圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？
解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积
S=2πRh+2πR2
由V=πR2h，得，则
S(R)= 2πR+ 2πR2=+2πR2
令 +4πR=0
解得，R=，从而h====2
即h=2R
因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值
答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省
变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？
提示：S=2+h=
V(R)=R=
)=0 ．
例6．在经济学中，生产x单位产品的成本称为成本函数同，记为C(x)，出售x单位产品的收益称为收益函数，记为R(x)，R(x)－C(x)称为利润函数，记为P(x)。
（1）、如果C(x)＝，那么生产多少单位产品时，边际最低？(边际成本：生产规模增加一个单位时成本的增加量)
（2）、如果C(x)=50x＋10000，产品的单价P＝100－0.01x，那么怎样定价，可使利润最大？
变式：已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q，价格p与产量q的函数关系式为．求产量q为何值时，利润L最大？
分析：利润L等于收入R减去成本C，而收入R等于产量乘价格．由此可得出利润L与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润．
解：收入，
利润
令，即，求得唯一的极值点
答：产量为84时，利润L最大
例7．一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，希望在断面ABCD的面积为定值S时，使得湿周l=AB+BC+CD最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高h和下底边长b.
解：由梯形面积公式，得S= (AD+BC)h,其中AD=2DE+BC，DE=h,BC=b
∴AD=h+b, ∴S= ①
∵CD=,AB=CD.∴l=×2+b ②
由①得b=h,代入②,∴l=
l′==0,∴h=, 当h<时，l′<0,h>时，l′>0.
∴h=时，l取最小值，此时b=
例8．已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y ＝4－x2在x轴上方的曲线上，求这种矩形中面积最大者的边长．
【解】设位于抛物线上的矩形的一个顶点为（x，y），且x ＞0，y ＞0，
则另一个在抛物线上的顶点为（－x，y），
在x轴上的两个顶点为（－x，0）、（x，0），其中0＜ x ＜2．
设矩形的面积为S，则S ＝2 x（4－x2），0＜ x ＜2．
由S′（x）＝8－6 x2＝0，得x ＝，易知
x ＝是S在（0，2）上的极值点，
即是最大值点，
所以这种矩形中面积最大者的边长为和．
【点评】
应用题求解，要正确写出目标函数并明确题意所给的变量制约条件．应用题的分析中如确定有最小值，且极小值唯一，即可确定极小值就是最小值．
练习：1：一书店预计一年内要销售某种书15万册，欲分几次订货，如果每次订货要付手续费30元，每千册书存放一年要耗库费40元，并假设该书均匀投放市场，问此书店分几次进货、每次进多少册，可使所付的手续费与库存费之和最少？
【解】假设每次进书x千册，手续费与库存费之和为y元，
由于该书均匀投放市场，则平均库存量为批量之半，即，故有
y ＝×30＋×40，y′＝－＋20，
令y′＝0，得x ＝15，且y″＝，f″(15)＞0，
所以当x ＝15时，y取得极小值，且极小值唯一，
故 当x ＝15时，y取得最小值，此时进货次数为＝10（次）．
即该书店分10次进货，每次进15000册书，所付手续费与库存费之和最少．
2：有甲、乙两城，甲城位于一直线形河岸，乙城离岸40千米，乙城到岸的垂足与甲城相距50千米，两城在此河边合设一水厂取水，从水厂到甲城和乙城的水管费用分别为每千米500元和700元，问水厂应设在河边的何处，才能使水管费用最省？
【解】设水厂D点与乙城到岸的垂足B点之间的距离为x千米，总费用为y元，
则CD ＝．
y ＝500（50－x）＋700
＝25000－500 x ＋700，
y′＝－500＋700 · (x 2＋1600)· 2 x
＝－500＋，
令y′＝0，解得x ＝．
答：水厂距甲距离为50－千米时，总费用最省．
【点评】
当要求的最大（小）值的变量y与几个变量相关时，我们总是先设几个变量中的一个为x，然后再根据条件x来表示其他变量，并写出y的函数表达式f（x）．
四．课堂练习
1．用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作的容器的底面的一边比另一边长0.5m,那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．（高为1.2 m，最大容积）
5．课本 练习
五．回顾总结
1．利用导数解决优化问题的基本思路：

2．解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决．在这个过程中，导数往往是一个有利的工具。
六．布置作业
1.5.1曲边梯形的面积
一：教学目标　
知识与技能目标　
理解求曲边图形面积的过程：分割、以直代曲、逼近，感受在其过程中渗透的思想方法
过程与方法
情感态度与价值观
二：教学重难点　　
重点 掌握过程步骤：分割、以直代曲、求和、逼近（取极限）
难点　 对过程中所包含的基本的微积分 “以直代曲”的思想的理解
三：教学过程：
1．创设情景
我们学过如何求正方形、长方形、三角形等的面积，这些图形都是由直线段围成的。那么，如何求曲线围成的平面图形的面积呢？
这就是定积分要解决的问题。
定积分在科学研究和实际生活中都有非常广泛的应用。本节我们将学习定积分的基本概念以及定积分的简单应用，初步体会定积分的思想及其应用价值。
一个概念：如果函数在某一区间上的图像是一条连续不断的曲线，那么就把函数称为区间上的连续函数．（不加说明，下面研究的都是连续函数）
2．新课讲授
问题：如图，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线的一段，我们把由直线和曲线所围成的图形称为曲边梯形．如何计算这个曲边梯形的面积？
例1：求图中阴影部分是由抛物线，直线以及轴所围成的平面图形的面积S。

思考：（1）曲边梯形与“直边图形”的区别？
（2）能否将求这个曲边梯形面积S的问题转化为求“直边图形”面积的问题？
分析：曲边梯形与“直边图形”的主要区别：曲边梯形有一边是曲线段，“直边图形”的所有边都是直线段．“以直代曲”的思想的应用．

把区间分成许多个小区间，进而把区边梯形拆为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代取”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值．分割越细，面积的近似值就越精确。当分割无限变细时，这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积S．也即：用划归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积．
解：
（1）．分割
在区间上等间隔地插入个点，将区间等分成个小区间：
，，…，
记第个区间为，其长度为
分别过上述个分点作轴的垂线，从而得到个小曲边梯形，他们的面积分别记作：
，，…，
显然，

（2）近似代替
记，如图所示，当很大，即很小时，在区间上，可以认为函数的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点处的函数值，从图形上看，就是用平行于轴的直线段近似的代替小曲边梯形的曲边（如图）．这样，在区间上，用小矩形的面积近似的代替，即在局部范围内“以直代取”，则有
①
（3）求和
由①，上图中阴影部分的面积为
==
==
从而得到的近似值
（4）取极限
分别将区间等分8，16，20，…等份（如图），可以看到，当趋向于无穷大时，即趋向于0时，趋向于，从而有
从数值上的变化趋势：

3．求曲边梯形面积的四个步骤:
第一步：分割．在区间中任意插入各分点，将它们等分成个小区间，区间的长度，
第二步：近似代替，“以直代取”。用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出每个小曲边梯形面积的近似值．
第三步：求和．
第四步：取极限。
说明：1．归纳以上步骤，其流程图表示为：
分割以直代曲求和逼近
2．最后所得曲边形的面积不是近似值，而是真实值
例2．求围成图形面积
解：1．分割
在区间上等间隔地插入个点，将区间等分成个小区间：
，，…，
记第个区间为，其长度为
分别过上述个分点作轴的垂线，从而得到个小曲边梯形，他们的面积分别记作：
，，…，
显然，

（2）近似代替
∵，当很大，即很小时，在区间上，可以认为函数的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点处的函数值，这样，在区间上，用小矩形的面积近似的代替，即在局部范围内“以直代取”，则有
①
（3）求和
由①，上图中阴影部分的面积为
==
=
=
从而得到的近似值
（4）取极限

练习
设S表示由曲线，x=1，以及x轴所围成平面图形的面积。
四：课堂小结
求曲边梯形的思想和步骤：分割以直代曲求和逼近 （“以直代曲”的思想）
五：教学后记
1.5.2汽车行驶的路程
一：教学目标　
知识与技能目标　
了解求曲边梯形面积的过程和解决有关汽车行驶路程问题的过程的共同点；感受在其过程中渗透的思想方法：分割、以不变代变、求和、取极限（逼近）
过程与方法
通过与求曲边梯形的面积进行类比，求汽车行驶的路程有关问题，再一次体会“以直代曲“的思想
情感态度与价值观
在体会微积分思想的过程中，体会人类智慧的力量，培养世界是可知的等唯物主义的世界观
二：教学重难点　　
重点 掌握过程步骤：分割、以不变代变、求和、逼近（取极限）
难点　　过程的理解
三：教学过程：
1．创设情景
复习：1．连续函数的概念；
2．求曲边梯形面积的基本思想和步骤；
利用导数我们解决了“已知物体运动路程与时间的关系，求物体运动速度”的问题．反之，如果已知物体的速度与时间的关系，如何求其在一定时间内经过的路程呢？
2．新课讲授
问题：汽车以速度组匀速直线运动时，经过时间所行驶的路程为．如果汽车作变速直线运动，在时刻的速度为（单位：km/h），那么它在0≤≤1(单位：h)这段时间内行驶的路程（单位：km）是多少？
分析：与求曲边梯形面积类似，采取“以不变代变”的方法，把求匀变速直线运动的路程问题，化归为匀速直线运动的路程问题．把区间分成个小区间，在每个小区间上，由于的变化很小，可以近似的看作汽车作于速直线运动，从而求得汽车在每个小区间上行驶路程的近似值，在求和得（单位：km）的近似值，最后让趋紧于无穷大就得到（单位：km）的精确值．（思想：用化归为各个小区间上匀速直线运动路程和无限逼近的思想方法求出匀变速直线运动的路程）．
解：1．分割
在时间区间上等间隔地插入个点，将区间等分成个小区间：
，，…，
记第个区间为，其长度为
把汽车在时间段，，…，上行驶的路程分别记作：
，，…，
显然，

（2）近似代替
当很大，即很小时，在区间上，可以认为函数的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点处的函数值，从物理意义上看，即使汽车在时间段上的速度变化很小，不妨认为它近似地以时刻处的速度作匀速直线运动，即在局部小范围内“以匀速代变速”，于是的用小矩形的面积近似的代替，即在局部范围内“以直代取”，则有
①
（3）求和
由①，
==
==
从而得到的近似值
（4）取极限
当趋向于无穷大时，即趋向于0时，趋向于，从而有

思考：结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽车行驶的路程与由直线和曲线所围成的曲边梯形的面积有什么关系？
结合上述求解过程可知，汽车行驶的路程在数据上等于由直线和曲线所围成的曲边梯形的面积．
一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为，那么我们也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，利用“以不变代变”的方法及无限逼近的思想，求出它在a≤≤b内所作的位移．
例1．弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力（为常数，是伸长量），求弹簧从平衡位置拉长所作的功．
分析：利用“以不变代变”的思想，采用分割、近似代替、求和、取极限的方法求解．
解： 将物体用常力沿力的方向移动距离，则所作的功为．
1．分割
在区间上等间隔地插入个点，将区间等分成个小区间：
，，…，
记第个区间为，其长度为
把在分段，，…，上所作的功分别记作：
，，…，
（2）近似代替
有条件知：
（3）求和
=
从而得到的近似值
（4）取极限
所以得到弹簧从平衡位置拉长所作的功为：
四：课堂小结
求汽车行驶的路程有关问题的过程．
五：教学后记
阿1.5.3定积分的概念
一：教学目标　
知识与技能目标　
通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景；
能用定积分的定义求简单的定积分；
理解掌握定积分的几何意义；
过程与方法
借助于几何直观定积分的基本思想，理解定积分的概念；
情感态度与价值观
二：教学重难点　　
重点 定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义
难点　定积分的概念、定积分的几何意义
三：教学目标：
1．创设情景
复习：
1． 回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程，变力做功等问题的解决方法，解决步骤：分割→以直代曲→求和→取极限（逼近
2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点．
2．新课讲授
1．定积分的概念 一般地，设函数在区间上连续，用分点
将区间等分成个小区间，每个小区间长度为（），在每个小区间上取一点，作和式：
如果无限接近于（亦即）时，上述和式无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分。记为：
其中成为被积函数，叫做积分变量，为积分区间，积分上限，积分下限。
说明：（1）定积分是一个常数，即无限趋近的常数（时）称为，而不是．
（2）用定义求定积分的一般方法是：
①分割：等分区间；
②近似代替：取点；
③求和：；
④取极限：
（3）曲边图形面积：；变速运动路程；
变力做功
2．定积分的几何意义
如果在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由直线（），和曲线所围成的曲边梯形的面积。
说明：一般情况下，定积分的几何意义是介于轴、函数的图形以及直线之间各部分面积的代数和，在轴上方的面积取正号，在轴下方的面积去负号．
分析：一般的，设被积函数，若在上可取负值。
考察和式
不妨设
于是和式即为
阴影的面积—阴影的面积（即轴上方面积减轴下方的面积）
2．定积分的性质
根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：
性质1
性质2 （其中k是不为0的常数） （定积分的线性性质）
性质3 （定积分的线性性质）性质4
（定积分对积分区间的可加性）
性质5 若，则
推论1：，
推论2：
性质6设为在上的最大值、最小值，则
性质7（中值定理）若，则至少有一，使.
证：由性质6知，，依介值定理，必有，
使，即。
说明：
①推广：
②推广:
③性质解释：
例1．计算定积分
分析：所求定积分即为如图阴影部分面积，面积为。
即：
思考：若改为计算定积分呢？
改变了积分上、下限，被积函数在上出现了负值如何解决呢？（后面解决的问题）
练习
计算下列定积分
1．
解：
2．
解：
例2．计算由两条抛物线和所围成的图形的面积.
【分析】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。
解：，所以两曲线的交点为（0，0）、（1，1），面积S=，所以=
【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤：
1.作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积；4.微积分基本定理求定积分。
巩固练习 计算由曲线和所围成的图形的面积.
四：课堂小结
定积分的概念、定义法求简单的定积分、定积分的几何意义．
五：教学后记
（1）定积分的几何意义的片面理解。对于几何意义，多数学生片面理解成定积分就是面积，进而在相关习题中出现错误
阿1.6微积分基本定理
一：教学目标　
知识与技能目标　
通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分
过程与方法
通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法
情感态度与价值观
通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。
二：教学重难点　　
重点通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。
难点　了解微积分基本定理的含义　
三：教学过程：
1、复习：
定积分的概念及用定义计算
2、引入新课
我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。
变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系
设一物体沿直线作变速运动，在时刻t时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（），
则物体在时间间隔内经过的路程可用速度函数表示为。
另一方面，这段路程还可以通过位置函数S（t）在上的增量来表达，即
=

而。
对于一般函数，设，是否也有

若上式成立，我们就找到了用的原函数（即满足）的数值差来计算在上的定积分的方法。
注：1：定理 如果函数是上的连续函数的任意一个原函数，则
证明：因为=与都是的原函数，故
-=C（）
其中C为某一常数。
令得-=C，且==0
即有C=，故=+
=-=
令，有
此处并不要求学生理解证明的过程
为了方便起见，还常用表示，即
该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。 它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果。
例1．计算下列定积分：
（1）； （2）。
解：（1）因为，
所以。
（2））因为，
所以
。
练习：计算
解：由于是的一个原函数，所以根据牛顿—莱布尼兹公式有
===
例2．计算下列定积分：
。
由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论。
解：因为，
所以
，
，
.
可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0:
( l ）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时（图1.6一3 ) ，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积；
图1 . 6 一 3 ( 2 ）
（2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时（图 1 . 6 一 4 ) ，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数；
( 3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0（图 1 . 6 一 5 ) ，且等于位于 x 轴上方的曲边梯形面积减去位于 x 轴下方的曲边梯形面积．
例3．汽车以每小时32公里速度行驶，到某处需要减速停车。设汽车以等减速度=1.8米/秒2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？
解:首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间。当t=0时，汽车速度=32公里/小时=米/秒8.88米/秒,刹车后汽车减速行驶,其速度为当汽车停住时,速度,故从解得秒
于是在这段时间内,汽车所走过的距离是
=米,即在刹车后,汽车需走过21.90米才能停住.
微积分基本定理揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时它也提供了计算定积分的一种有效方法．微积分基本定理是微积分学中最重要的定理，它使微积分学蓬勃发展起来，成为一门影响深远的学科，可以毫不夸张地说，微积分基本定理是微积分中最重要、最辉煌的成果．
四：课堂小结：
本节课借助于变速运动物体的速度与路程的关系以及图形得出了特殊情况下的牛顿-莱布尼兹公式.成立，进而推广到了一般的函数，得出了微积分基本定理，得到了一种求定积分的简便方法，运用这种方法的关键是找到被积函数的原函数，这就要求大家前面的求导数的知识比较熟练，希望，不明白的同学，回头来多复习！
五：教学后记：
从教以来，一直困惑于一个问题：课堂上如何突出重点并突破难点。当然，理论方面自己早已烂熟于心，关键是缺乏实践方面的体验及感悟。在今天的课堂上，当自己在生物化学班重点及难点均未解决，相反将更多时间纠缠在细节方面，而物理班级恰好相反，教学效果的强烈反差，终于让自己对这个问题有了实践的切身的认识。记得当实习生时，本来一个相当简单的问题，可在课堂上却花费了大量时间，更严重的是学生却听得更为糊涂。一个主要原因在于，对相关知识结构理解不到位，眉毛胡子一把抓，而难点又无法解决。
§1.7定积分的简单应用
一：教学目标　
知识与技能目标　
进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法；
让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理；
初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法；
体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）。
过程与方法
情感态度与价值观
二：教学重难点　　
重点 曲边梯形面积的求法
难点　定积分求体积以及在物理中应用　
三：教学过程：
1、复习
1、求曲边梯形的思想方法是什么？
2、定积分的几何意义是什么？
3、微积分基本定理是什么？
2、定积分的应用
（一）利用定积分求平面图形的面积
例1．计算由两条抛物线和所围成的图形的面积.
【分析】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。
解：，所以两曲线的交点为（0，0）、（1，1），面积S=，所以=
【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤：
1.作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积；4.微积分基本定理求定积分。
巩固练习 计算由曲线和所围成的图形的面积.
例2．计算由直线，曲线以及x轴所围图形的面积S.
分析：首先画出草图（图1.7 一2 ) ，并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯形的面积问题．与例 1 不同的是，还需把所求图形的面积分成两部分S1和S2．为了确定出被积函数和积分的上、下限，需要求出直线与曲线的交点的横坐标，直线与 x 轴的交点．
解：作出直线，曲线的草图，所求面积为图1. 7一2 阴影部分的面积．
解方程组
得直线与曲线的交点的坐标为（8,4) .
直线与x轴的交点为（4,0).
因此，所求图形的面积为S=S1+S2
.
由上面的例题可以发现，在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限．
例3.求曲线与直线轴所围成的图形面积。
答案：
练习
1、求直线与抛物线所围成的图形面积。
答案：
2、求由抛物线及其在点M（0，－3）
和N（3，0）处的两条切线所围成的图形的面积。
略解：，切线方程分别为、
，则所求图形的面积为
3、求曲线与曲线以及轴所围成的图形面积。
略解：所求图形的面积为
4、在曲线上的某点A处作一切线使之与曲线以及轴所围成的面积为.试求：切点A的坐标以及切线方程.
略解：如图由题可设切点坐标为，则切线方程
为，切线与轴的交点坐标为
，则由题可知有
，所以切点坐标与切线方程分别为
总结：1、定积分的几何意义是：、轴所围成的图形的面积的代数和，即.
因此求一些曲边图形的面积要可以利用定积分的几何意义以及微积分基本定理，但要特别注意图形面积与定积分不一定相等，如函数的图像与轴围成的图形的面积为4,而其定积分为0.
2、求曲边梯形面积的方法与步骤：
画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；
对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限；
确定被积函数；
求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和。
3、几种常见的曲边梯形面积的计算方法：
（1）型区域：
①由一条曲线与直线以及轴所围成的曲边梯形的面积：（如图（1））；
②由一条曲线与直线以及轴所围成的曲边梯形的面积：（如图（2））；
③由两条曲线与直线
图（1） 图（2） 图（3）
所围成的曲边梯形的面积：（如图（3））；
（2）型区域：
①由一条曲线与直线以及轴所围成的曲边梯形的面积,可由得，然后利用求出（如图（4））；
②由一条曲线与直线以及轴所围成的曲边梯形的面积，可由先求出，然后利用求出（如图（5））；
③由两条曲线与直线所围成的曲边梯形的面积，可由先分别求出，，然后利用求出（如图（6））；
图（4） 图（5） 图（6）
2．求平面曲线的弧长
设曲线AB方程为，函数在区间上可导，且连续，则曲线AB的弧长为
.
3．求旋转体的体积和侧面积
由曲线，直线及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转而成的旋转体体积为
.
其侧面积为
.
（二）、定积分在物理中应用
(1)求变速直线运动的路程
我们知道，作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v=v (t) ( v(t) ≥0) 在时间区间[a,b]上的定积分，即
例 4。一辆汽车的速度一时间曲线如图1.7 一3 所示．求汽车在这1 min 行驶的路程．
解：由速度一时间曲线可知：
因此汽车在这 1 min 行驶的路程是：
答：汽车在这 1 min 行驶的路程是 1350m .
2．变力作功
一物体在恒力F（单位：N）的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向移（单位：m)，则力F所作的功为W=Fs .
探究
如果物体在变力 F(x）的作用下做直线运动，并且物体沿着与 F (x) 相同的方向从x =a 移动到x=b (a与求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程一样，可以用“四步曲”解决变力作功问题．可以得到

例5．如图1·7一4 ，在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置lm 处，求克服弹力所作的功．
解：在弹性限度内，拉伸（或压缩）弹簧所需的力 F ( x ）与弹簧拉伸（或压缩）的长度 x 成正比，即 F ( x ）= kx ,
其中常数 k 是比例系数．
由变力作功公式，得到
答：克服弹力所作的功为.
例6．A、B两站相距7.2km，一辆电车从A站B开往站，电车开出ts后到达途中C点，这一段的速度为1.2t(m/s)，到C点的速度为24m/s，从C点到B点前的D点以等速行驶，从D点开始刹车，经ts后，速度为（24-1.2t）m/s，在B点恰好停车，试求
（1）A、C间的距离；（2）B、D间的距离；（3）电车从A站到B站所需的时间。
分析：作变速直线运动的物体所经过的路程s,等于其速度函数v=v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a,b]上的定积分,即
略解：（1）设A到C的时间为t1则1.2t=24, t1=20(s),则AC＝
（2）设D到B的时间为t21则24-1.2t2=0, t21=20(s),
则DB＝
（3）CD=7200-2240=6720(m),则从C到D的时间为280(s),则所求时间为20+280+20=320（s）
例3：如果1N能拉长弹簧1cm，为了将弹簧拉长6cm，需做功（ A ）
A 0.18J B 0.26J C 0.12J D 0.28J
略解：设，则由题可得，所以做功就是求定积分。
练习：
四：课堂小结
本节课主要学习了利用定积分求一些曲边图形的面积与体积，即定积分在几何中应用，以及定积分在物理学中的应用，要掌握几种常见图形面积的求法，并且要注意定积分的几何意义，不能等同于图形的面积，要注意微积分的基本思想的应用与理解。
五教后反思
根据定积分的定义，定积分既有几何背景，又有物理背景，进而定积分与这些知识有着天然的联系。譬如：求几何图形的面积，求路程、平均速度、电荷量、电压、功、质量等。上述种种尽管形式相异，然而所采用的思想方法均是：化曲为直，以不变代变，逼近，从某个角度而言充分展现了数学思想方法的高度抽象性及应用的广泛性
课题:合情推理
掌握归纳推理的技巧，并能运用解决实际问题。
通过“自主、合作与探究”实现“一切以学生为中心”的理念。
感受数学的人文价值，提高学生的学习兴趣，使其体会到数学学习的美感。
●教学重点：归纳推理及方法的总结。
●教学难点：归纳推理的含义及其具体应用。
●教具准备：与教材内容相关的资料。
●课时安排：1课时
●教学过程：
一.问题情境
(1)原理初探
①引入：“阿基米德曾对国王说，给我一个支点，我将撬起整个地球！”
②提问：大家认为可能吗？他为何敢夸下如此海口？理由何在？
③探究：他是怎么发现“杠杆原理”的？
从而引入两则小典故：（图片展示-阿基米德的灵感）
A：一个小孩，为何轻轻松松就能提起一大桶水？
B：修筑河堤时，奴隶们是怎样搬运巨石的？
正是基于这两个发现，阿基米德大胆地猜想，然后小心求证，终于发现了伟大的“杠杆原理”。
④思考：整个过程对你有什么启发？
⑤启发：在教师的引导下归纳出：“科学离不开生活，离不开观察，也离不开猜想和证明”。

(2)皇冠明珠
追逐先辈的足迹，接触数学皇冠上最璀璨的明珠 — “歌德巴赫猜想”。
链接:
思考：其他偶数是否也有类似的规律？
③讨论：组织学生进行交流、探讨。
④检验：2和4可以吗？为什么不行？
⑤归纳：通过刚才的探究，由学生归纳“归纳推理”的定义及特点。
3.数学建构
●把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).
注:归纳推理的特点;
简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。
●归纳推理的一般步骤：
4.师生活动
例1 前提：蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的,海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物.
结论：所有的爬行动物都是用肺呼吸的。
例2 前提：三角形的内角和是1800，凸四边形的内角和是3600，凸五边形的内角和是5400，……
结论：凸n?边形的内角和是（n—2）×1800。
例3
探究：上述结论都成立吗？
强调：归纳推理的结果不一定成立！ —— “ 一切皆有可能！”
5.提高巩固
①探索：先让学生独立进行思考。
②活动：“千里走单骑”　—　鼓励学生说出自己的解题思路。
③活动：“圆桌会议”　—　鼓励其他同学给予评价，对在哪里？错在哪里？还有没有更好的方法？
【设计意图】：提供一个舞台, 让学生展示自己的才华，这将极大地调动学生的积极性，增强学生的荣誉感，培养学生独立分析问题和解决问题的能力，体现了“自主探究”，同时，也锻炼了学生敢想、敢说、敢做的能力。
【一点心得】：在“千里走单骑”和“圆桌会议”的探究活动中，教师一定要以“鼓励和表扬”为主，面带微笑，消除学生的恐惧感，提高学生的自信心．
⑵能力培养（例2拓展）
①思考：怎么求？组织学生进行探究，寻找规律。
②归纳：由学生讨论，归纳技巧，得到技巧②和③。
技巧②:有整数和分数时,往往将整数化为分数.
技巧③:当分子分母都在变化时,往往统一分子 (或分母),再寻找另一部分的变化规律.
6.课堂小结
(1)归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理。通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。
(2)归纳推理的一般步骤：
通过观察个别情况发现某些相同的性质 从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）
证明
课题：类比推理
●教学目标：
通过对已学知识的回顾，认识类比推理这一种合情推理的基本方法，并把它用于对问
题的发现中去。
类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质，类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。
正确认识合情推理在数学中的重要作用，养成从小开始认真观察事物、分析问题、发现事物之间的质的联系的良好个性品质，善于发现问题，探求新知识。
认识数学在日常生产生活中的重要作用，培养学生学数学，用数学，完善数学的正确数学意识。
●教学重点：了解合情推理的含义，能利用类比进行简单的推理。
●教学难点：用类比进行推理，做出猜想。
●教具准备：与教材内容相关的资料。
●课时安排：1课时
●教学过程：
一．问题情境
从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子.
他的思路是这样的：
茅草是齿形的；
茅草能割破手.
我需要一种能割断木头的工具；
它也可以是齿形的.
这个推理过程是归纳推理吗？
二．数学活动
我们再看几个类似的推理实例。
例1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。
等式的性质： 猜想不等式的性质：
(1) a=b(a+c=b+c; (1) a＞b(a+c＞b+c;
(2) a=b( ac=bc; (2) a＞b( ac＞bc;
(3) a=b(a2=b2;等等。 (3) a＞b(a2＞b2;等等。
问：这样猜想出的结论是否一定正确？
例2、试将平面上的圆与空间的球进行类比.
圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.
球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合.
圆 球
弦←→截面圆
直径←→大圆
周长←→表面积
面积←→体积
圆的性质
球的性质
圆心与弦(不是直径)的中点的连线垂直于弦
球心与截面圆(不是大圆)的圆点的连线垂直于截面圆
与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长
与球心距离相等的两截面圆相等；与球心距离不等的两截面圆不等，距球心较近的截面圆较大
圆的切线垂直于过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
球的切面垂直于过切点的半径；经过球心且垂直于切面的直线必经过切点
经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
经过切点且垂直于切面的直线必经过球心
☆上述两个例子均是这种由两个（两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出他们在其他方面也相似或相同；或其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．
简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．
类比推理的一般步骤：
⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；
⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；
⑶ 检验猜想。即

例3.在平面上,设ha,hb,hc是三角形ABC三条边上的高.P为三角形内任一点,P到相应三边的距离分别为pa,pb,pc,我们可以得到结论:
试通过类比,写出在空间中的类似结论.
巩固提高
1．(2001年上海)已知两个圆①x2+y2=1:与②x2+(y-3)2=1,则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为圆的情况下加以推广,即要求得到一个更一般的命题,而已知命题应成为所推广命题的一个特例,推广的命题为-----------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2．类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想．

直角三角形
?3个面两两垂直的四面体
∠C＝90°
3个边的长度a，b，c
2条直角边a，b和1条斜边c
?∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°
4个面的面积S1，S2，S3和S
3个“直角面” S1，S2，S3和1个“斜面” S
3．（2004，北京）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。
已知数列是等和数列，且，公和为5，那么的值为______________，这个数列的前n项和的计算公式为________________
课堂小结
1．类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质。类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。
类比推理的一般步骤：
①找出两类事物之间的相似性或者一致性。
②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）
课 题：演绎推理
教学目标：1. 了解演绎推理 的含义。2. 能正确地运用演绎推理 进行简单的推理。3. 了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。
教学重点：正确地运用演绎推理 进行简单的推理
教学难点：了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。
教学过程：
复习:合情推理
归纳推理 从特殊到一般
类比推理 从特殊到特殊
从具体问题出发――观察、分析比较、联想――归纳。类比――提出猜想
问题情境。
观察与思考
1所有的金属都能导电
铜是金属,
所以，铜能够导电
2.一切奇数都不能被2整除,
(2100+1)是奇数，
所以， (2100+1)不能被2整除.
3.三角函数都是周期函数,
tan 是三角函数,
所以，tan 是 周期函数。
提出问题 ：像这样的推理是合情推理吗？
二．学生活动 ：
1.所有的金属都能导电 ←————大前提
铜是金属, ←-----小前提
所以，铜能够导电 ←――结论
2.一切奇数都不能被2整除 ←————大前提
(2100+1)是奇数，←――小前提
所以， (2100+1)不能被2整除. ←―――结论
3.三角函数都是周期函数, ←——大前提
tan 是三角函数, ←――小前提
所以，tan 是 周期函数。←――结论
建构数学
演绎推理的定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．
１．演绎推理是由一般到特殊的推理；
２．“三段论”是演绎推理的一般模式；包括　
　⑴大前提---已知的一般原理；　　　　　　　　
⑵小前提---所研究的特殊情况；　　　　　　　
⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．
三段论的基本格式
M—P（M是P） （大前提）
S—M（S是M） （小前提）
S—P（S是P） （结论）
3.三段论推理的依据,用集合的观点来理解:
若集合M的所有元素都具有性质P,S是M的一个子集,那么S中所有元素也都具有性质P.
四，数学运用
解：二次函数的图象是一条抛物线 （大前提）

例2.已知lg2=m,计算lg0.8
解 （1） lgan=nlga(a>0)---------大前提
lg8=lg23————小前提
lg8=3lg2————结论
lg(a/b)=lga-lgb(a>0,b>0)——大前提
lg0.8=lg(8/10)——－小前提
lg0.8=lg(8/10)——结论
例3.如图;在锐角三角形ABC中,AD⊥BC, BE⊥AC,
D,E是垂足,求证AB的中点M到D,E的距离相等
解： (1)因为有一个内角是只直角的三角形是直角三角形,——大前提
在△ABC中,AD⊥BC,即∠ADB=90°——-小前提
所以△ABD是直角三角形——结论
(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,——大前提
因为 DM是直角三角形斜边上的中线,——小前提
所以 DM= AB——结论
同理 EM= AB
所以 DM=EM.
练习：第35页 练习第 1，2，3，4，题
五 回顾小结：
演绎推理具有如下特点:课本第33页 。
演绎推理错误的主要原因是
1．大前提不成立；2, 小前提不符合大前提的条件。
作业：第35页 练习 第5题 。习题2。1 第4题。
课题：推理案例赏识
课型：新授课
教学目标：
1. 了解合情推理和演绎推理 的含义。2. 能正确地运用合情推理和演绎推理 进行简单的推理。3. 了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。
教学重点：了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别
教学难点：了解合情推理和演绎推理是怎样推进数学发现活动的。
教学过程：
复习 合情推理和演绎推理的过程
案例：
例一 正整数平方和公式的推导。
提出问题
我们知道，前n个正整数的和为
(n)=1+2+3+…….+n= n(n+i) ①
那么，前n 个正整数的平方和
（n）＝＝？ ②
三，数学活动
思路1 （归纳的方案） 参照课本 第36页 －37页 三表 猜想
（n）＝
思考 ：上面的数学活动是由哪些环节构成的？
在这个过程中提出了哪些猜想？
提出猜想时使用了哪些推理方法？
合情推理和演绎推理分别发挥了什么作用？
思路2 （演绎的方案）
尝试用直接相加的方法求出正整数的平方和。
把正整数的平方和表示出来，参照课本棣37页
左右两边分别相加，等号两边的（n）被消去了，所以无法从中求出 （n）的值，尝试失败了。
（2）从失败中吸取有用信息，进行新的尝试
（3）尝试把两项和的平方公式改为两项和的立方公式。左右两边相加，
终于导出了公式。
思考： 上面的数学活动是由哪些环节构成的？
在这个过程中提出了哪些猜想？
提出猜想时使用了哪些推理方法？
合情推理和演绎推理分别发挥了什么作用。
四，数学理论：
上面的案例说明：
（1）数学发现过程是一个探索创造的过程.是一个不断地提出猜想验证猜想的过程，合情推理和论证推理相辅相成，相互为用，共同推动着发现活动的进程。
（2）合情推理是富于创造性的或然推理，在数学发现活动中，它为演绎推理确定了目标和方向，具有提出猜想、发现结论，提供思路的作用。
（3）演绎推理是形式化程度较高的必然推理，在数学发现活动中，它具有类似于“实验”的功能，它不仅为合情推理提供了前提，而且可以对猜想作出“判决”和证明，从而为调控探索活动提供依据。
五，巩固练习：
阅读课本第39页
棱台体积公式的探求
通过阅读或查资料，寻找合情推理和演绎推理在数学推理在数学活动中的作用的案例，并回答问题：
1 。案例中的数学活动是由哪些环节构成的？
2 。在上这个过程中提出了哪些猜想？
3 ， 提出猜想时使用了哪些推理方法？
4， 合情推理和演绎推理分别发挥了什么作用？
六，教学小结：
（1）数学发现过程是一个探索创造的过程.是一个不断地提出猜想验证猜想的过程，合情推理和论证推理相辅相成，相互为用，共同推动着发现活动的进程。
（2）合情推理是富于创造性的或然推理，在数学发现活动中，它为演绎推理确定了目标和方向，具有提出猜想、发现结论，提供思路的作用。
（3）演绎推理是形式化程度较高的必然推理，在数学发现活动中，它具有类似于“实验”的功能，它不仅为合情推理提供了前提，而且可以对猜想作出“判决”和证明，从而为调控探索活动提供依据。
七，作业：
八，教后感：
课题：直接证明--综合法与分析法
1．教学目标：
知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。
过程与方法: 多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；
情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
2．教学重点：了解分析法和综合法的思考过程、特点
3．教学难点：分析法和综合法的思考过程、特点
4．教具准备：与教材内容相关的资料。
5．教学设想：分析法和综合法的思考过程、特点. “变形”是解题的关键，是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。
6．教学过程:
学生探究过程：证明的方法
（1）、分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。
（2）、例1．设a、b是两个正实数，且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2．
??? 证明：(用分析法思路书写)
??? 要证 a3+b3＞a2b+ab2成立，
??? 只需证(a+b)(a2-ab+b2)＞ab(a+b)成立，
??? 即需证a2-ab+b2＞ab成立。(∵a+b＞0)
??? 只需证a2-2ab+b2＞0成立，
??? 即需证(a-b)2＞0成立。
??? 而由已知条件可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)2＞0显然成立，由此命题得证。
??? (以下用综合法思路书写)
??? ∵a≠b，∴a-b≠0，∴(a-b)2＞0，即a2-2ab+b2＞0
??? 亦即a2-ab+b2＞ab
??? 由题设条件知，a+b＞0，∴(a+b)(a2-ab+b2)＞(a+b)ab
??? 即a3+b3＞a2b+ab2，由此命题得证
例2、若实数，求证：
证明：采用差值比较法：
=
= =
=
∴ ∴
例3、已知求证
本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。
证明：1) 差值比较法：注意到要证的不等式关于对称，不妨设
，从而原不等式得证。
2）商值比较法：设
故原不等式得证。
注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。
讨论：若题设中去掉这一限制条件，要求证的结论如何变换？
巩固练习：第81页练习1 , 2 , 3三次函数的三大性质初探
随着导数内容进入新教材，函数的研究范围也随之扩大，用导数的方法研究三次函数的性质，不仅方便实用，而且三次函数的性质变得十分明朗，本文给出三次函数的三大主要性质.
单调性
三次函数,
(1) 若，则在上为增函数；
(2) 若，则在和上为增函数，在上为减函数，其中.
证明 , △=，
(1) 当 即时，在 R上恒成立， 即在为增函数.
(2) 当 即时，解方程，得
或 在和上为增函数.
在上为减函数.
由上易知以下结论: 三次函数,
(1) 若，则在R上无极值；
(2) 若，则在R上有两个极值；且在处取得极大值，在处取得极小值.
2 根的性质
三次函数
(1) 若，则恰有一个实根；
(2) 若,且，则恰有一个实根；
(3) 若,且，则有两个不相等的实根；
(4) 若,且，则有三个不相等的实根.
证明 (1)(2)含有一个实根的充要条件是曲线与X轴只相交一次，即在R上为单调函数或两极值同号，所以或，且.
(3)有两个相异实根的充要条件是曲线与X轴有两个公共点且其中之一为切点，所以，且.
(4)有三个不相等的实根的充要条件是曲线与X轴有三个公共点，即有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以且. 由上易得以下结论：
三次函数在上恒正的充要条件是(m≥x2),或且(m3 对称性
三次函数的图象关于点对称，并且在处取得最小值，其图象关于直线对称.
证1
易知是奇函数，图象关于原点对称，则关于点对称.
， 当时，取得最小值，显然图象关于对称.
证2 设的图象关于点对称，任取 图象上点，则A关于的对称点也在图象上,
由上又可得以下结论：
是可导函数，若的图象关于点对称，则图象关于直线对称.
证明 的图象关于对称，则

图象关于直线对称.
若图象关于直线对称，则图象关于点对称.
证明 图象关于直线对称，则，
，
， 图象关于点对称.
掌握上面的研究方法和三次函数的三大性质，对于解决有关三次函数的问题是十分有益的.
1.1．3导数的几何意义(二)
教学目标：理解导数概念.掌握函数在一点处的导数定义及求法.掌握函数的导数的求法.
教学重点：导数的概念及其求法.及几何意义。
教学难点：对导数概念的理解.
教学过程：
复习引入
1．函数的导数值
函数y＝f(x)，如果自变量x在x0处有增量(x，则函数y相应地有增量 (y＝f(x0＋(x)－f(x0)．
比值就叫做函数y＝f(x)在x0到x0＋(x之间的平均变化率，即
如果当Δx→0时，有极限，我们就说函数y＝f(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做f(x)在x0处的导数(或变化率)记作f '(x0)或，即 f '(x0)＝=
2．函数 y＝f(x) 的导函数
如果函数在开区间(a, b)内每点处都有导数，对于每一个x0∈(a，b)，都对应着一
个确定的导数f ((x0)．从而构成一个新的函数f ((x)．称这个函数为函数y＝f(x)在开区间内的导函数．简称导数．也可记作y(．
3．导数的几何意义
函数y＝f(x) 在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P（x0, f(x0)）处的切线的斜率．
也就是说，曲线y＝f(x)在点P（x0, f(x0)）处的切线的斜率是f '(x0)．
切线方程为 y－y0＝f '(x0) (x0－x0)．
练习：
1．当自变量从x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数（ A ）
A．在区间[x0，x1]上的平均变化率 B．在x0处的变化率
C．在x1处的导数 D．在区间[x0，x1]上的导数
2．下列说法正确的是（ C ）
A．若f ′ (x0)不存在，则曲线y = f (x)在点(x0, f (x0))处就没有切线
B．若曲线y = f (x)在点(x0, f (x0))处有切线，则f ′ (x0)必存在
C．若f ′ (x0)不存在，则曲线y = f (x)在点(x0, f (x0))处的切线斜率不存在
D．若曲线y = f (x)在点(x0, f (x0))处的切线斜率不存在，则曲线在该点处就没有切线
3．已知曲线
求⑴ 点P处的切线的斜率；⑵ 点P处的切线的方程．
解：⑴
∴点P处的切线的斜率等于4．
⑵在点P处的切线的方程是 即
新课讲授：
教材例2。
教材例3。
练习：甲、乙二人跑步的路程与时间关系以及百米赛跑路程和时间关系分别如图①②，试问：
（1）甲、乙二人哪一个跑得快？
（2）甲、乙二人百米赛跑，
问快到终点时，谁跑得较快？
解：（1）乙跑的快；（2）乙跑的快.
例3．教材P10面第5题
例4．教材P11面第3题。
例5．已知：曲线与在处的切线互相垂直，求的值。
例6．已知点M (0, –1)，F (0, 1)，过点M的直线l与曲线在x = –2处的切线平行.
（1）求直线l的方程；
（2）求以点F为焦点，l为准线的抛物线C的方程.
解：（1）∵= 0. ∴直线l的斜率为0，其方程为y = –1.
（2）∵抛物线以点F (0, 1)为焦点，y = –1为准线. 设抛物线的方程为x2 = 2py，则.
故抛物线C的方程为x2 = 4y.
课堂小结
导数的几何意义
函数y＝f(x) 在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P（x0, f(x0)）处的切线的斜率．
也就是说，曲线y＝f(x)在点P（x0, f(x0)）处的切线的斜率是f '(x0)．
切线方程为 y－y0＝f '(x0) (x0－x0)．
课 后 作 业
《学案》P8面《双基训练》

1.1.1 变化率问题
教学任务：
理解平均变化的概念
了解平均变化率的几何意义
会求函数在某点处附近的平均变化率
教学重点
平均变化率的概念
教学难点
函数在某点处附近的平均变化率
教学过程
问题1 （教材P2）气球膨胀率问题
思考：当气球容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率是多少？
问题2（教材P3）高台跳水问题
平均变化率问题：
思考：
例题分析：
练习
小结
（1）平均变化率的概念
（2）函数在某点处附近的平均变化率
作业
《习案》作业一

1.1.2 导数的概念
教学目的：
了解瞬时速度，瞬时变化的概率
理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内含
会求函数在某点的导数
教学重点
瞬时速度，瞬时变化的概率，导数的概念，平均变化率的概念
教学难点
导数的概念
教学过程
1. 瞬时速度：
把物体在某一时刻的速度改为瞬时速度. 怎样求运动员的瞬时速度呢？例如t =2时的
瞬时速度是多少？



例2. 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh时，原油的温度（单位：oC）为y＝f(x)＝x2－7x＋15(0≤x≤8).计算第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.
计算上例中第3h时和第5h时原油温度瞬时变化率，并说明它们的意义
总结
（1）瞬时速度的变化率的概念
（2）导数的概念
（3）求函数的导数
作业：《习案》作业二

1.1.3 导数的几何意义
教学目的：
了解平均变化率与割线之间的关系
理解曲线的切线的概率
通过函数的图像理解导数的几何意义
教学重点
函数切线的概念，切线的斜率，导数的几何意义
教学难点
理解导数的几何意义
教学过程
练习
练习
注意
作业：《习案》作业三
1．2．2基本初等函数的导数及导数的运算法则(一)
一、教学目标：掌握八个函数求导法则及导数的运算法则并能简单运用.
二、教学重点：应用八个函数导数求复杂函数的导数..
教学难点：商求导法则的理解与应用.
三、教学过程：
（一）新课
1．P14面基本初等函数的导数公式（见教材）
2．导数运算法则：
（1）．和（或差）的导数
法则1 两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差），即
(u±v)(＝u(±v(．
例1 求y＝x3＋sinx的导数．
解：y'＝(x3)'＋(sinx)' ＝3x2＋cosx．
例2 求y＝x4－x2－x＋3的导数．
解：y'＝4x3 －2x－1．
（2）．积的导数
法则2 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数，即 (uv)(＝u(v＋uv(．
由此可以得出 (Cu)(＝C (u＋Cu(＝0＋Cu(＝Cu( ．
也就是说，常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数，即 (Cu)(＝Cu( ．
例3 求y＝2x3－3x2＋5x－4的导数．
解：y'＝6x2－6x＋5．
例4 求y＝(2x2＋3) (3x－2) 的导数．
解：y'＝(2x2＋3)'(3x－2)＋(2x2＋3)(3x－2)'＝4x(3x－2)＋(2x2＋3)·3＝18x2－8x＋9．
或：，
练习
1．填空：
⑴ [(3x2＋1)(4x2－3)]'＝( 6x )(4x2－3)＋ (3x2＋1)( 8x )；
⑵ (x3sinx)'＝( 3 )x2·sinx＋x3· ( cosx )．
2．判断下列求导是否正确，如果不正确，加以改正：
[(3＋x2)(2－x3)]'＝2x(2－x3)＋3x2(3＋x2)．
[(3＋x2)(2－x3)]'＝2x(2－x3)－3x2(3＋x2)．
3．求下列函数的导数：
⑴ y＝2x3＋3x2－5x＋4； ⑵ y＝ax3－bx＋c； ⑶ y＝sinx－x＋1；
（4） y＝(3x2＋1)(2－x)； （5） y＝(1＋x2)cosx； （6）
例5． 已知函数f(x)＝x2(x－1)，若f ' (x0)＝f(x0)，求x0的值．
（3）商的导数
例6．求下列函数的导数
（1） （2） （3）
练习：求下列函数的导数
（1） （2）
例7．求函数的导数
思考：设 f(x)＝x(x＋1) (x＋2) … (x＋n)，求f '(0)．
练习. 函数f(x)＝x(x－1) (x－2)(x－3) …(x－100)在x＝0处的导数值为( )
A. 0 B. 1002 C. 200 D. 100!
（三）课 堂 小 结
1．和（或差）的导数 (u±v)(＝u(±v(．
2．积的导数 (uv)(＝u(v＋uv(．
（四）课 后 作 业
《习案》作业五.
1.2.2 初等函数的导数及导数的运算法则 (2)
一、教学目标： 了解复合函数的求导法则，会求某些简单复合函数的导数.
二、教学重点： 掌握复合函数导数的求法
教学难点： 准确识别一个复合函数的复合过程以便准确应用求导法则进行求导.
三、教学过程：
（一）复习引入
1. 几种常见函数的导数公式
(C )(＝0 (C为常数)． (xn)(＝nxn－1 (n(Q)． ( sinx )(＝cosx ． ( cosx )(＝－sinx ．
2．和（或差）的导数 (u±v)(＝u(±v(．
3．积的导数 (uv)(＝u(v＋uv(． (Cu)(＝Cu( ．
4．商的导数
（二）讲授新课
1．复合函数：
如 y＝(3x－2)2由二次函数y＝u2 和一次函数u＝3x－2“复合”而成的．y＝u2 ＝(3x－2)2 ．
像y＝(3x－2)2这样由几个函数复合而成的函数，就是复合函数．
练习：指出下列函数是怎样复合而成的．
复合函数的导数
一般地，设函数u＝((x)在点x处有导数u'x＝('(x)，函数y＝f(u) 在点x的对应点u处有导数y'u＝f '(u) ，则复合函数y＝f(((x)) 在点x处也有导数，且 y'x ＝y'u·u'x．
或写作 f 'x (((x))＝f '(u) ('(x)．
复合函数对自变量的求导法则，即复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的函数，乘中间变量对自变量的导数．
例1 求y ＝(3x－2)2的导数．
解：y'＝[(3x－2)2]' ＝(9x2－12x＋4)'＝18x－12． 法1
函数y ＝(3x－2)2又可以看成由y＝u2 ，u＝3x－2复合而成，其中u称为中间变量．
由于y'u＝2u，u'x＝3，
因而 y'x＝y'u·u'x ＝2u·3＝2u·3＝2(3x－2)·3＝18x－12．
法2 y'x＝y'u·u'x
例2 求y＝(2x＋1)5的导数．
解：设y＝u5，u＝2x＋1，
则 y'x＝y'u·u'x ＝(u5)'u·(2x＋1) 'x＝5u4·2＝5(2x＋1)4·2＝10(2x＋1)4．
例3. 教材P17面的例4
练习1.教科书P.18面 练习
练习2. 求函数的导数.
例4.
解：设y＝u－4，u＝1－3x，则
y'x＝y'u·u'x＝(u－4)'u·(1－3x)'x＝－4u－5·(－3)＝12u－5＝12(1－3x)－5＝
例5.
例6．求的导数．
解：
例7． 求的导数．
解法1：
解法2：
（三）课堂小结
复合函数的导数：f 'x (((x))＝f '(u) ('(x)．
（四）课后作业
《习案》作业六
1．1．3函数的单调性与导数（一）
一、教学目标：了解可导函数的单调性与其导数的关系.掌握利用导数判断函数单调性的方法.
二、教学重点：利用导数判断一个函数在其定义区间内的单调性.
教学难点：判断复合函数的单调区间及应用；利用导数的符号判断函数的单调性.
三、教学过程
（一）复习引入
1．增函数、减函数的定义
一般地，设函数 f(x) 的定义域为I：如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说 f(x)在这个区间上是增函数．
当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说 f(x) 在这个区间上是减函数．
2．函数的单调性
如果函数 y＝f(x) 在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数 y＝f(x) 在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做 y＝f(x) 的单调区间．
在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的．
例1讨论函数y＝x2－4x＋3的单调性．
解：取x1＜x2，x1、x2∈R， 取值
f(x1)－f(x2)＝(x12－4x1+3)－(x22－4x2+3) 作差
＝(x1－x2)(x1＋x2－4) 变形
当x1＜x2＜2时，x1＋x2－4＜0，f(x1)＞f(x2)， 定号
∴y＝f(x)在(－(, 2)单调递减． 判断
当2＜x1＜x2时， x1＋x2－4＞0，f(x1)＜f(x2)，
∴y＝f(x)在(2, ＋∞)单调递增．综上所述y＝f(x)在(－(, 2)单调递减，y＝f(x)在(2, ＋∞)单调递增。
能否利用导数的符号来判断函数单调性？
一般地，设函数y＝f(x)在某个区间内可导，
如果f(x)'＞0，则f(x)为增函数； 如果f(x)'＜0，则f(x)为减函数．
例2．教材P24面的例1。
例3．确定函数f(x)＝x2－2x＋4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数．
解： f(x)'＝2x－2． 令2x－2＞0，解得x＞1．
因此，当x∈(1, +∞)时，f(x)是增函数．
令2x－2＜0，解得x＜1．
因此，当x∈(－∞, 1)时，f(x)是减函数．
例4．确定函数f(x)＝2x3－6x2＋7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数．
解：f(x)'＝6x2－12x．
令6x2－12x＞0，解得x＜0或x＞2．
因此，当x∈(－∞, 0)时，函数f(x)是增函数，
当x∈(2, ＋∞)时， f(x)也是增函数．
令6x2－12x＜0，解得0＜x＜2．
因此，当x∈(0, 2)时，f(x)是减函数．
利用导数确定函数的单调性的步骤：
(1) 确定函数f(x)的定义域；
(2) 求出函数的导数；
(3) 解不等式f ((x)＞0，得函数的单调递增区间；解不等式f ((x)＜0，得函数的单调递减区间．
练习1：教材P24面的例2
利用导数的符号来判断函数单调性:
设函数y＝f(x)在某个区间内可导
(1)如果f '(x)＞0 ，则f(x)为严格增函数； (2)如果f '(x)＜0 ，则f(x)为严格减函数．
思考：（1）若f '(x)＞0是f(x)在此区间上为增函数的什么条件？
若f '(x)＞0是f(x)在此区间上为增函数的充分而非必要条件．
例如 f(x)＝x3，当x=0，f '(x)=0，x≠0时，f '(x)>0，函数 f(x)＝x3在(－∞,＋∞)上是增函数．
（2）若f '(x) ＝0在某个区间内恒成立，f(x)是什么函数 ？
若某个区间内恒有f '(x)＝0，则f (x)为常数函数．
练习2. 教科书P.26练习(1)
（三）课堂小结
1．判断函数的单调性的方法； 2．导数与单调性的关系； 3．证明单调性的方法.
（四）作业《习案》作业七
1．1．3函数的单调性与导数（二）
一、教学目标：了解可导函数的单调性与其导数的关系.掌握利用导数判断函数单调性的方法.
二、教学重点：利用导数判断一个函数在其定义区间内的单调性.
教学难点：判断复合函数的单调区间及应用；利用导数的符号判断函数的单调性.
三、教学过程
（一）复习
1．确定下列函数的单调区间：
⑴ y＝x3－9x2＋24x； ⑵ y＝x－x3．（4）f (x)＝2x3－9x2＋12x－3
2．讨论二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的单调区间．
3．在区间(a, b)内f'(x)＞0是f (x)在(a, b)内单调递增的 ( A )
A．充分而不必要条件 B．必要但不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
（二）举例
例1．求下列函数的单调区间
(1) f (x)＝x－lnx(x＞0)；
(2)
(3) .
（4） （b>0）
（5）判断的单调性。
分三种方法：（定义法）（复合函数）（导数）
例2．（1）求函数的单调减区间.
（2）讨论函数的单调性.
（3）设函数f (x) = ax – (a + 1) ln (x + 1)，其中a≥–1，求f (x)的单调区间.
（1）解：y′ = x2 – (a + a2) x + a3 = (x – a) (x – a2)，令y′＜0得(x – a) (x – a2)＜0.
（1）当a＜0时，不等式解集为a＜x＜a2此时函数的单调减区间为(a, a2)；
（2）当0＜a＜1时，不等式解集为a2＜x＜a此时函数的单调减区间为(a2, a)；
（3）当a＞1时，不等式解集为a＜x＜a2此时函数的单调减区间为(a, a2)；
（4）a = 0，a = 1时，y′≥0此时，无减区间.
综上所述：
当a＜0或a＞1时的函数的单调减区间为(a, a2)；
当0＜a＜1时的函数的单调减区间为(a2, a)；
当a = 0，a = 1时，无减区间.
（2）解：∵， ∴f (x)在定义域上是奇函数.
在这里，只需讨论f (x)在(0, 1)上的单调性即可.
当0＜x＜1时，f ′ (x) ==.
若b＞0，则有f ′ (x)＜0，∴函数f (x)在(0, 1)上是单调递减的；
若b＜0，则有f ′ (x)＞0，∴函数f (x)在(0, 1)上是单调递增的.
由于奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，从而有如下结论：
当b＞0时，函数f (x)在(–1, 1)上是单调递减的；
当b＜0时，函数f (x)在(–1, 1)上是单调递增的.
（3）解：由已知得函数f (x)的定义域为 (–1, +∞)，且(a≥–1).
（1）当–1≤a≤0时，f ′ (x)＜0，函f (x)在(–1, +∞)上单调递减.
（2）当a＞0时，由f ′ (x) = 0，解得.
f ′ (x)、f (x)随x的变化情况如下表：
x
f ′ (x)
–
0
+
f (x)
↘
极小值
↗
从上表可知，
当x∈时，f ′ (x)＜0，函数f (x)在上单调递减.
当x∈时，f ′(x)＞0，函数f (x)在上单调递增.
综上所述，当–1≤a≤0时，函数f (x)在(–1, +∞)上单调递减；
当a＞0时，函数f (x)在上单调递减，函数f (x)在上单调递增.
作业：《习案》作业八。
1．1．3 函数的单调性（三）
教学目标：了解可导函数的单调性与其导数的关系.掌握利用导数判断函数单调性的方法.
教学重点：利用导数判断一个函数在其定义区间内的单调性.
教学难点：判断复合函数的单调区间及应用；利用导数的符号判断函数的单调性.
教学过程：
练习讲解及上一课时的例2。
新课：
题型一：求参数的取值范围：
例1．要使函数在区间上是减函数，求实数a的取值范围。
例2．若函数在区间（1，4）上是减函数，在区间 上是增函数，求实数a的取值范围
题型二：证明不等式
例1. 已知x＞1，求证：x＞ln(1＋x).
例2．已知x＞0，求证：1+2x＞.
例3．已知x求证：
练习：
小结：
若证明f(x)＞g(x)，x∈(a, b)可以等价转换为证明f(x)－g(x)＞0，如果(f(x)－g(x))'＞0，说明函数
f(x)－g(x)在(a, b)上是增函数，如果f(a)－g(a)≥0，由增函数的定义可知，当x∈(a, b)时，
f(x)－g(x)＞0，即f(x)＞g(x).
题型三：有关方程根的问题
例1．
小结：
用求导的方法确定根的个数，是一种很有效的方法，它是通过函数的变化情况，运用数形结合的思想来确定函数的图象与x轴的交点个数，最简单的一种是只有1个交点（即1个根）的情况，即函数在某个定义域内是单调函数，再结合某一个特殊值来确定f(x)＝0.
课堂小结
1．题型一：求取值范围；
2．题型二：证明不等式；
3．题型三：有关方程根的问题；
课后作业：《习案》作业八
1．1．3 函数的单调性（四）
一、教学目标：了解可导函数的单调性与其导数的关系.掌握利用导数判断函数单调性的方法.
二、教学重点：利用导数判断一个函数在其定义区间内的单调性.
教学难点：判断复合函数的单调区间及应用；利用导数的符号判断函数的单调性.
三、教学过程：
（一）讲授新课
1．曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ A ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
2．函数的单调递增区间是＿＿＿＿．
3．已知函数的图象在点处的切线方程是，
则3＿．
4．已知函数。 （Ⅰ）设，讨论的单调性；
（Ⅱ）若对任意恒有，求的取值范围。
解：（I） 的定义域为（，1）（1，）


因为（其中）恒成立，所以
⑴ 当时，在（，0）（1，）上恒成立，
所以在（，1）（1，）上为增函数；
⑵ 当时，在（，0）（0，1）（1，）上恒成立，
所以在（，1）（1，）上为增函数；
⑶ 当时，的解为：（，）（t，1）（1，+）（其中）
所以在各区间内的增减性如下表：
区间
（，）
（，t）
（t，1）
（1，+）
的符号
+
+
+
的单调性
增函数
减函数
增函数
增函数
（II）显然
⑴ 当时，在区间0，1上是增函数，所以对任意（0，1）都有；
⑵ 当时，是在区间 0，1上的最小值，即，这与题目要求矛盾；
⑶ 若，在区间0，1上是增函数，所以对任意（0，1）都有。
综合⑴、⑵、⑶ ，a的取值范围为（，2）
5．设a≥0，f (x)=x－1－ln2 x＋2a ln x（x>0）.
令F（x）＝xf＇（x），讨论F（x）在（0.＋∞）内的单调性
解：根据求导法则有，
故，于是，列表如下：
2
0
极小值
故知在内是减函数，在内是增函数
6．见课件。
课堂小结
课后作业
《学案》P19面〈双基训练〉
1．3．2 函数的极值(一)
一、教学目标：理解函数的极大值、极小值、极值点的意义.掌握函数极值的判别方法.进一步体验导数的作用.
二、教学重点：求函数的极值.
教学难点：严格套用求极值的步骤.
三、教学过程：
（一）函数的极值与导数的关系
1、观察下图中的曲线
a点的函数值f(a)比它临近点的函数值都大．b点的函数值f(b)比它临近点的函数值都小．
2、观察函数 f(x)＝2x3－6x2＋7的图象，
思考：函数y＝f(x)在点x＝0，x＝2处的函数值，与它们附近所有各点
处的函数值，比较有什么特点?
（1）函数在x＝0的函数值比它附近所有各点的函数值都大，
我们说 f(0) 是函数的一个极大值；
（2）函数在x＝2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，
则f(2)是函数的一个极小值．
函数y＝2x3－6x2＋7 的一个极大值: f (0)； 一个极小值: f (2)．
函数y＝2x3－6x2＋7 的 一个极大值点: ( 0， f (0) )； 一个极小值点: ( 2， f (2) )．
3、极值的概念：
一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜ f(x0)
我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作 y极大值＝f(x0)；
如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0)
我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值＝f(x0)．
极大值与极小值统称为极值．
4、观察下图中的曲线
考察上图中，曲线在极值点处附近切线的斜率情况．
上图中，曲线在极值点处切线的斜率为0，
极大值点左侧导数为正，右侧为负；极小值点左侧导数为负，右侧为正．
函数的极值点xi是区间[a, b]内部的点，区间的端点不能成为极值点．
函数的极大(小)值可能不止一个，并且函数的极大值不一定大于极小值，极小值不一定小于极大值．
函数在[a, b]上有极值，其极值点的分布是有规律的，像相邻两个极大值间必有一个极小值点．
5、利用导数判别函数的极大（小）值：
一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，判别f(x0)是极大（小）值的方法是：
⑴如果在x0附近的左侧f '(x)＞0，右侧f '(x)＜0，那么，f(x0)是极大值；
⑵如果在x0附近的左侧f '(x)＜0，右侧f '(x)＞0，那么，f(x0)是极小值；
思考：导数为0的点是否一定是极值点？
导数为0的点不一定是极值点．
如函数f(x)＝x3，x＝0点处的导数是0，但它不是极值点．
例1求函数
解：y(＝x2－4＝(x＋2)(x－2)．令 y(＝0，解得 x1＝－2，x2＝2．
当x变化时，y(，y的变化情况如下表．
因此，当x＝－2时， y极大值＝ ，当x＝2时，y极小值＝－．
求可导函数f (x)的极值的步骤：
⑴ 求导函数f ((x)；
⑵ 求方程 f ((x)＝0的根；
⑶ 检查f ((x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x)在这个根处取得极大值；
如果左负右正，那么f (x)在这个根处取得极小值．
例2．求函数的极值
例3 求函数y＝(x2－1)3＋1的极值．
解：定义域为R，y(＝6x(x2－1)2.由y(＝0可得x1＝－1，x2＝0，x3＝1当x变化时，y(，y的变化情况如下表：

当x＝0时，y有极小值，并且y极小值＝0．
例4．的极值
例5．的极值
思考：导数值为0的点一定为极值点吗？极值点一定导数值为0吗？
练习：求函数的极值
（三）课堂小结
1．考察函数的单调性的方法；2．导数与单调性的关系；3．用导数求单调区间的步骤.
（四）课后作业
1.《习案》作业九。
1．3．2 函数的极值(二)
一、教学目标：理解函数的极大值、极小值、极值点的意义.掌握函数极值的判别方法.进一步体验导数的作用.
二、教学重点：求函数的极值. 教学难点：严格套用求极值的步骤.
三、教学过程：
（一）复习引入
（1）函数的极值点xi是区间[a, b]内部的点，区间的端点不能成为极值点．
（2）、函数的极大(小)值可能不止一个，并且函数的极大值不一定大于极小值，极小值不一定小于极大值．
（3）函数在[a, b]上有极值，其极值点的分布是有规律的，像相邻两个极大值间必有一个极小值点．
练习：（1）见课件
（2）见课件
（二）讲授新课
练习：（1）已知函数f (x)＝x3＋ax2＋bx＋c，且知当x＝－1时取得极大值7，当x＝3时取得极小值，试求函数f (x)的极小值，并求a、b、c的值
（三）小结
（四）作业：见资料
1．3．2函数的极值(三)
一、教学目标：理解函数的极大值、极小值、极值点的意义.掌握函数极值的判别方法.进一步体验导数的作用.
二、教学重点：求函数的极值. 教学难点：严格套用求极值的步骤.
三、教学过程：
（一）复习引入
（二）讲授新课

课堂小结
根据函数的极值求参数.
课后作业
1．3．2 函数的极值与导数（4）
运用导数及函数的极值判断方程解的个数、函数图象与x轴交点个数
例1、设a为实数，函数f (x) = x3 – x2 – x + a.
（1）求f (x)的极值；
（2）当a在什么范围内取值时，曲线y = f (x)与x轴仅有一个交点.
例2．已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：．
例3．已知在区间[0,1]上是增函数,在区间上是减函数,又
(Ⅰ)求的解析式; (Ⅱ)若在区间(m＞0)上恒有≤x成立,求m的取值范围.
例4．设函数，其中．
证明：当时，函数没有极值点；当时，函数有且只有一个极值点，并求出极值．
例5．设函数，其中．
（Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性；
（Ⅱ）求函数的极值点；
（Ⅲ）证明对任意的正整数，不等式都成立．
1．3．3 函数的最大值与最小值(一)
一、教学目标：理解并掌握函数最大值与最小值的意义及其求法.弄请函数极值与最值的区别与联系.养成“整体思维”的习惯，提高应用知识解决实际问题的能力.
二、教学重点：求函数的最值及求实际问题的最值.
教学难点：求实际问题的最值.掌握求最值的方法关键是严格套用求最值的步骤，突破难点要把实际问题“数学化”，即建立数学模型.
三、教学过程：
（一）复习引入
1、问题1：观察函数f(x)在区间[a，b]上的图象，找出函数在此区间上
的极大值、极小值和最大值、最小值．
2、问题2：观察函数f(x)在区间[a，b]上的图象，找出函数在此区间上
的极大值、极小值和最大值、最小值．
（见教材P30面图1．3－14与１．３－15）
3、思考：⑴ 极值与最值有何关系？
⑵ 最大值与最小值可能在何处取得？⑶ 怎样求最大值与最小值？
4、求函数y＝在区间[0, 3]上的最大值与最小值．
（二）讲授新课
1、函数的最大值与最小值
一般地，设y＝f(x)是定义在[a，b]上的函数，在[a，b]上y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值。
函数的极值是从局部考察的，函数的最大值与最小值是从整体考察的。
2、求y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值，可分为两步进行：
⑴ 求y＝f(x)在(a，b)内的极值；
⑵ 将y＝f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
例1．求函数y＝x4－2x2＋5在区间[－2, 2]上的最大值与最小值．
解： y'＝4x3－4x＝4x(x＋1)(x－1)令y'＝0，即 4x(x＋1)(x－1)＝0，
解得x＝－1，0，1．当x变化时，y'，y的变化情况如下表：
故 当x＝±2时，函数有最大值13，当x＝±1时，函数有最小值4．
练习1.教科书P.31练习
例2．求函数y＝在区间[-2, ]上的最大值与最小值．
例3. 求函数的最大值和最小值.
例4. 求函数的最大值和最小值.
（三）课堂小结
已知函数解析式，确定可导函数在区间[a, b]上最值的方法；
（四）课后作业
《习案》作业十 第1题.
1．3．3 函数的最大值与最小值(二)
一、教学目标：理解并掌握函数最大值与最小值的意义及其求法.弄请函数极值与最值的区别与联系.养成“整体思维”的习惯，提高应用知识解决实际问题的能力.
二、教学重点：求函数的最值及求实际问题的最值.
教学难点：求实际问题的最值.掌握求最值的方法关键是严格套用求最值的步骤，突破难点要把实际问题“数学化”，即建立数学模型.
三、教学过程：
（一）复习引入
1．函数y = x·e–x在x∈[0, 4]的最小值为（ A ）
A．0 B． C． D．
2．给出下面四个命题.
①函数y = x2 – 5x + 4 (x∈[–1，3])的最大值为10，最小值为；
②函数y = 2x2 – 4x + 1 (x∈(2, 4))的最大值为17，最小值为1；
③函数y = x3 – 12x (x∈(–3, 3))的最大值为16，最小值为– 16；
④函数y = x3 – 12x (x∈(–2, 2))无最大值，也无最小值.
其中正确的命题有（ C ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（二）举例
例1．求函数的最大值与最小值。
练习：求函数的最大值与最小值。
例2．设，函数的最大值为1，最小值为，求：a、b的值
练习：已知函数。若f（x）在[-1，2]上的最大值为3，最小值为29，求：a、b的值
例3．已知x ,y 为正实数，且满足关系式，求xy的最大值。
（三）课堂小结
1．已知函数解析式，确定可导函数在区间[a, b]上最值的方法；
2．已知函数最值，求参数的值
（四）课后作业
《学案》 第24面《双基训练》.
1．4 生活中的优化问题（一）
教学目标：掌握利用导数求函数最大值和最小值的方法.会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值.-------面积、容积最大（最小）问题
教学重点：利用导数求函数最值的方法.用导数方法求函数最值的方法步骤
教学难点：对最值的理解及与极值概念的区别与联系.求一些实际问题的最大值与最小值
教学过程：
例1在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？
解：设箱底边长为xcm，则箱高
箱子容积(0＜x＜60)．
解得 (不合题意，舍去) 并求得
由题意知，当x过小(接近0)或过大(接近60)时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值．
答：当x＝40 cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm3．
在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使 f '(x)＝0 的情形，若函数在这点有极大（小）值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大（小）值．
这里所说的也适用于开区间或者无穷区间．
求最大（最小）值应用题的一般方法：
⑴ 分析问题中各量之间的关系，把实际问题化为数学问题，建立函数关系式；
⑵ 确定函数的定义域，并求出极值点；
⑶ 比较各极值与定义域端点函数的大小， 结合实际，确定最值或最值点．
练习
1．把长为60 cm的铁丝围成矩形，长、宽、高各为多少时，面积最大？
2．把长为100 cm的铁丝分成两段，各围成正方形，怎样分法，能使两个正方形面积之和最小？
变为：围成一个正方形与一个圆，怎样分法，能使面积之和最小？
练习2.用总长为14.8 m的钢条制作一个长方形容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5 m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．
例2．教材P34面的例1。
课后作业
阅读教科书P.34
《习案》作业十一
1．4 生活中的优化问题（二）
教学目标：掌握利用导数求函数最大值和最小值的方法.会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值.---------用材最省的问题----
教学重点：利用导数求函数最值的方法.用导数方法求函数最值的方法步骤
教学难点：对最值的理解及与极值概念的区别与联系.求一些实际问题的最大值与最小值
教学过程：
例1圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底半径应怎样选取，才能使所用材料最省？
解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积 S＝2(Rh＋2(R2．

则

从而 即h＝2R．
因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值． 答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省．
例2 已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C＝100＋4q，价格p与产量q的
函数关系式为求产量q为何值时，利润L最大．
分析：利润L等于收入R减去成本C，而收入R等于产量乘价格.由此可得出利润L与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润．
解：
求得唯一的极值点 q＝84．
因为L只有一个极值，所以它是最大值．
答：产量为84时，利润L最大．
练习1.某商品一件的成本为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出(200－x)件，应如何定价才能使利润最大？
例3．教材P34面的例2
课后作业
阅读教科书P.34-----P35
《习案》作业十二
1．4 生活中的优化问题（三）
教学目标：掌握利用导数求函数最大值和最小值的方法.会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值.---------用材最省的问题----
教学重点：利用导数求函数最值的方法.用导数方法求函数最值的方法步骤
教学难点：对最值的理解及与极值概念的区别与联系.求一些实际问题的最大值与最小值
教学过程：
例1 。教材P35面的例3
例2．某公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元（3≤a≤5）的管理费，预计当每件产品的售价为x元（9≤a≤11）时，一年的销售量为(12-x)2万件.
（1）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；
（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q(a).
例3．请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？
解：设OO1为，则
由题设可得正六棱锥底面边长为：
，（单位：）
故底面正六边形的面积为：
=，（单位：）
帐篷的体积为：
求导得。
令，解得（不合题意，舍去），，
当时，，为增函数；
当时，，为减函数。
∴当时，最大。
答：当OO1为时，帐篷的体积最大，最大体积为。
例4．水库的需水量随时间而变化，现用t表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于t的近似函数关系为：
（1）该水库的蓄水量小于50的时期称为枯水期，以i-1（2）求一年内该水库的最大蓄水量（取e=2.7计算）.
课后作业
阅读教科书P.34-----P35
《学案》P32面双基训练
1．5.1 曲边梯形的面积
教学目标：通过探求曲边梯形的面积，使学生了解定积分的实际背景，了解“以直代曲”“逼近”的思想方法，建立微积分的概念的认识基础.
教学重点：了解定积分的基本思想“以直代曲” “逼近”的思想.
教学难点：“以直代曲” “逼近”的思想的形成求和符号
教学过程：
复习引入
问题一：你会求哪些平面图形的面积？这些平面图形有什么特点？
问题二：圆的面积是怎样求得的？
问题三：如图：阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线y=f(x)的一段.我们吧由直线x=a，x=b
(a≠b)，y=0和曲线y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形.如何计算这个曲边梯形的面积呢？
问题四：能否将求曲边梯形的面积转化为求“直边梯形”面积？
问题五：求曲边梯形面积时，能否对整个曲边梯形进行“以直代曲”呢？怎样减少误差？
问题六：对每个小曲边梯形怎样“以直代曲”
问题七：如何从曲边梯形的近似值求出曲边梯形的面积？
问题八：具体怎样实施“以直代曲”和“逼近”的思想求曲边梯形面积？
问题九：
练习：P42面练习
归纳：如何求曲边梯形的面积？
小结：
1.求曲边梯形面积的思想方法是什么？
2.具体步骤是什么？
3.最终形式是什么？
作业《习案》作业十四.
1.5.2 汽车行使的路程
教学目标：通过探求汽车行使的路程，使学生了解定积分的实际背景，了解“以不变代变”“逼近”的思想方法，建立微积分的概念的认识基础.
教学重点：了解定积分的基本思想“以不变代变” “逼近”的思想.
教学难点：“以不变代变” “逼近”的思想的形成求和符号
教学过程：
思考1：已知物体运动路程与时间的关系怎样求物体的运动速度？
例如 S(t)=3t2+2. 则v(t)= S′(t)=6t+0.
思考2：已知物体运动速度为v(常量)及时间t，怎么求路程？
S=vt 直接求出
思考3：如果汽车作匀速直线运动，在时刻t的速度为v(t)=- t2+2.那么它在0≤t≤1这段时间内行驶的路程S是多少呢？
思考4：结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽车行驶的路程S由直线t=0，t=1，v=0和曲线v=- t2+2所围成的曲边梯形的面积有什么关系？
图中矩形面积和就是曲边梯形的面积，从而汽车行驶的路程在数值上就等于相应曲边梯形面积.
思考5：在上面的第二步“近似代替”中，如果我们认为在每个小时间间隔上，汽车进似地以时刻处的速度作匀速行驶，从而得到汽车行驶的总路程s的近似值，用这种方法能求出s的值吗？若能求出，这个值也是吗？
练习：P45面练习第2题.
思考：怎样求上式中汽车在2≤t≤4这段时间行驶的路程？
1.5.3 定积分的概念
教学目标：
了解曲边梯形面积与变速直线运动的共同特征.
理解定积分及几何意义.
掌握定积分的基本性质及其计算
教学重点与难点：
定积分的概念及几何意义
定积分的基本性质及运算
教学过程：
定积分的定义：
怎样用定积分表示：
x=0，x=1，y=0及f(x)=x2所围成图形的面积？
t=0，t=1，v=0及v=-t2-1所围成图形的面积？

你能说说定积分的几何意义吗？例如的几何意义是什么?
4.4. 根据定积分的几何意义，你能用定积分表示下图中阴影部分的面积吗？
思考：试用定积分的几何意义说明
1.的大小
由直线x=0，x=2，y=0及所围成的曲边梯形的面积，即圆x2+y2=22的面积的，
2.
5. 例：利用定积分的定义，计算的值.
6.由定积分的定义可得到哪些性质？
常数与积分的关系
和差的积分 推广到有限个也成立
区间和的积分等于各段积分和
7练习：计算下列定积分
1.6 微积分基本定理念(1)
教学目标：
教学重点与难点：
教学过程：
复习引入
1.定积分的概念及其几何意义;
2.曲边梯形面积的求法;
教材P51问题探究:
1)位移S是从哪几个角度研究的?
2)每个角度获得的结论是什么?
4)想一想3)的作用是什么?
新课讲解
研读教材P53
　(1)微积分基本原理是什么?
　(2)这一原理的作用又是什么?
　(3)利用这一原理的关键是什么?
　(4)请你归纳一下定积分的研究方法.
1.微积分基本原理:
2.定积分的一般研究方法:
采用“分割、近似代替、求和、取极值”求曲边梯形的面积
采用“找f(x)的原函数F(x)”, 求定积分的值。
练习：计算下列定积分
作业:1.<习案> 作业十七　　2.自学教材P53 例1(2)及例2, 谈谈你的想法,
1.6 微积分基本定理念(2)
教学目标：
教学重点与难点：
教学过程：
复习引入
教材P53例1(2).
新课讲解
例1.计算下列定积分
由计算结果你能发现什么结论?试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论.
例2.计算下列定积分
练习：教材P55练习T2、T4、T5
例3.计算定积分
练习：教材P55 A组 T1(4)(5)(6)
例4.计算定积分
练习：教材P55 B组 T1(2)(3); T2(2)(4);
小结：
求定积分, 利用微积分基本定理, 其关键是：
①利用定积分性质简化运算, 便于找原函数;
②利用求导公式或法则逆向寻找原函数.
作业 ：<习案> 作业十八1.6 A组
1.7.1 定积分z在几何中的应用
一、教学目标：
了解定积分的几何意义及微积分的基本定理.
2．掌握利用定积分求曲边图形的面积
二、教学重点与难点：
定积分的概念及几何意义
定积分的基本性质及运算的应用
三教学过程：
（一）练习
1．若dx = 3 + ln 2，则a的值为（ D ）
A．6 B．4 C．3 D．2
2．设，则dx等于（ C ）
A． B． C． D．不存在
3．求函数的最小值
解：∵．
∴． ∴当a = – 1时f (a)有最小值1．
4．求定分dx．
5．怎样用定积分表示：
x=0，x=1，y=0及f(x)=x2所围成图形的面积？

你能说说定积分的几何意义吗？例如的几何意义是什么?
表示轴，曲线及直线，之间的各部分面积的代数和，
在轴上方的面积取正，在轴下方的面积取负
二、新课
例1．教材P56面的例1
例2．教材P57面的例2。
练习：P58面
例3．求曲线y=sinx ,x与直线x=0 ,,x轴所围成图形的面积。
练习：
1．如右图，阴影部分面积为（ B ）
A．dx
B．dx
C．dx
D．dx
2．求抛物线y = – x2 + 4x – 3及其在点A（1，0）和点B（3，0）处的切线所围成的面积．
四、作业：《习案》作业十九
1.7.2 定积分在物理中的应用
一、教学目标：
了解定积分的几何意义及微积分的基本定理.
2．掌握利用定积分求变速直线运动的路程、变力做功等物理问题。
二、教学重点与难点：
定积分的概念及几何意义
定积分的基本性质及运算的应用
三教学过程：
（一）练习
1．曲线y = x2 + 2x直线x = – 1，x = 1及x轴所围成图形的面积为（ B ）．
A． B．2 C． D．
2．曲线y = cos x与两个坐标轴所围成图形的面积为（ D ）
A．4 B．2 C． D．3
3．求抛物线y2 = x与x – 2y – 3 = 0所围成的图形的面积．
解：如图：由得A（1，– 1），B（9，3）．
选择x作积分变量，则所求面积为
=
=．
（二）新课
变速直线运动的路程
1．物本做变速度直线运动经过的路程s，等于其速度函数v = v (t) (v (t)≥0 )在时间区间[a，b]上的 定积分 ，即．
2．质点直线运动瞬时速度的变化为v (t) = – 3sin t，则 t1 = 3至t2 = 5时间内的位移是
．（只列式子）
3．变速直线运动的物体的速度v (t) = 5 – t2，初始位置v (0) = 1，前2s所走过的路程为 ．
例1．教材P58面例3。
练习：P59面1。
变力作功
1．如果物体沿恒力F (x)相同的方向移动，那么从位置x = a到x = b变力所做的功W = F（b—a）．
2．如果物体沿与变力F (x)相同的方向移动，那么从位置x = a到x = b变力所做的
功W =．
例2．教材例4。
练习：
1．教材P59面练习2
2．一物体在力F (x) =（单位：N）的作用下沿与力F(x)做功为（ B ）
A．44J B．46J C．48J D．50J
3．证明：把质量为m（单位kg）的物体从地球的表面升高h（单位：m）处所做的功W = G·，其中G是地球引力常数，M是地球的质量，k是地球的半径．
证明：根据万有引力定律，知道对于两个距离为r，质量分别为m1、m2的质点，它们之间的引力f为f = G·，其中G为引力常数．
则当质量为m物体距离地面高度为x（0≤x≤h）时，地心对它有引力f (x) = G·故该物体从地面升到h处所做的功为
dx =·dx = GMmd (k + 1) = GMm
=．
（三）、作业《习案》作业二十
1.2．1 几种常见函数的导数
一、教学目标：熟记公式(C )(＝0 (C为常数)， (x)(＝1， ( x2 )(＝2x，
．
二、教学重点：牢固、准确地记住五种常见函数的导数，为求导数打下坚实的基础.
教学难点：灵活运用五种常见函数的导数.
三、教学过程：
（一）公式1：(C )(＝0 (C为常数)．
证明：y＝f(x)＝C, Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝C－C＝0,
也就是说，常数函数的导数等于0．
公式2： 函数的导数
证明：（略）
公式3： 函数的导数
公式4： 函数的导数
公式5： 函数的导数
（二）举例分析
例1. 求下列函数的导数．
⑴ ⑵ ⑶
解：⑴
⑵
⑶
练习
求下列函数的导数：
⑴ y＝x5； ⑵ y＝x6； （3） （4） （5）
例2．求曲线和在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积。
例3．已知曲线上有两点A（1，1），B（2，2）。
求：（1）割线AB的斜率； （2）在[1，1+△x]内的平均变化率；
（3）点A处的切线的斜率； （4）点A处的切线方程
例4．求抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0 的最短距离．
（三）课堂小结
几种常见函数的导数公式
(C )(＝0 (C为常数)， (x)(＝1， ( x2 )(＝2x， ．
（四）课后作业
《习案》作业四
§1.3.1函数的单调性与导数
【教学目标】
1．正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；
2．掌握利用导数判断函数单调性的方法。
【教学重点】利用导数判断函数单调性。
【教学难点】利用导数判断函数单调性。
【内容分析】??? 以前，我们用定义来判断函数的单调性． 对于任意的两个数x1，x2∈I，且当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么函数f(x)就是区间I上的增函数． 对于任意的两个数x1，x2∈I，且当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么函数f(x)就是区间I上的减函数。
在函数y=f(x)比较复杂的情况下，比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易． 如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单。
【教学过程】
一、复习引入
1． 常见函数的导数公式：
；；；．
2．法则1 　．
法则2 , ．
法则3 ．
3．复合函数的导数：设函数u=(x)在点x处有导数u′x=′(x)，函数y=f(u)在点x的对应点u处有导数y′u=f′(u)，则复合函数y=f( (x))在点x处也有导数，且 或f′x( (x))=f′(u) ′(x)．
4．复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代．
5．对数函数的导数： ．
6．指数函数的导数：； ．
二、讲解新课
1． 函数的导数与函数的单调性的关系：
我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数．从函数的图像
可以看到：
y=f(x)=x2－4x+3
切线的斜率
f′(x)
(2，+∞)
增函数
正
＞0
(－∞，2)
减函数
负
＜0
在区间（2，）内，切线的斜率为正，函数y=f(x)的值随着x的增大而增大，即>0时，函数y=f(x) 在区间（2，）内为增函数；在区间（，2）内，切线的斜率为负，函数y=f(x)的值随着x的增大而减小，即0时，函数y=f(x) 在区间（，2）内为减函数
定义：一般地，设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内>0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内<0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数
2．用导数求函数单调区间的步骤：
①求函数f(x)的导数f′(x)．
②令f′(x)＞0解不等式，得x的范围就是递增区间。
③令f′(x)＜0解不等式，得x的范围，就是递减区间。
三、讲解范例
例1确定函数f(x)=x2－2x+4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数。
解：f′(x)=(x2－2x+4)′=2x－2．
令2x－2＞0，解得x＞1．
∴当x∈(1，+∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数．
令2x－2＜0，解得x＜1．
∴当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数．
例2确定函数f(x)=2x3－6x2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数
解：f′(x)=(2x3－6x2+7)′=6x2－12x
令6x2－12x＞0，解得x＞2或x＜0
∴当x∈(－∞，0)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数．
当x∈(2，+∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数．
令6x2－12x＜0，解得0＜x＜2．
∴当x∈(0，2)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数．
例3证明函数f(x)=在(0，+∞)上是减函数．
证法一：（用以前学的方法证）
证法二：（用导数方法证）
∵f′(x)=( )′=(－1)·x－2=－，x＞0，∴x2＞0，∴－＜0． ∴f′(x)＜0，
∴f(x)= 在(0，+∞)上是减函数。
点评：比较一下两种方法，用求导证明是不是更简捷一些．如果是更复杂一些的函数，用导数的符号判别函数的增减性更能显示出它的优越性。
例4求函数y=x2(1－x)3的单调区间．
解：y′=［x2(1－x)3］′=2x(1－x)3+x2·3(1－x)2·(－1)
=x(1－x)2［2(1－x)－3x］=x(1－x)2·(2－5x)
令x(1－x)2(2－5x)＞0，解得0＜x＜． ∴y=x2(1－x)3的单调增区间是(0，)
令x(1－x)2(2－5x)＜0，解得x＜0或x＞且x≠1．
∵为拐点，∴y=x2(1－x)3的单调减区间是(－∞，0)，(，+∞)
例5当x＞0时，证明不等式：1+2x＜e2x．
分析：假设令f(x)=e2x－1－2x．∵f(0)=e0－1－0=0, 如果能够证明f(x)在(0，+∞)上是增函数，那么f(x)＞0，则不等式就可以证明。
证明：令f(x)=e2x－1－2x． ∴f′(x)=2e2x－2=2(e2x－1)
∵x＞0，∴e2x＞e0=1，∴2(e2x－1)＞0, 即f′(x)＞0
∴f(x)=e2x－1－2x在(0，+∞)上是增函数。
∵f(0)=e0－1－0=0．∴当x＞0时，f(x)＞f(0)=0，即e2x－1－2x＞0．
∴1+2x＜e2x
点评：所以以后要证明不等式时，可以利用函数的单调性进行证明，把特殊点找出来使函数的值为0。
例6已知函数y=x+，试讨论出此函数的单调区间。
解：y′=(x+)′
=1－1·x－2=
令＞0． 解得x＞1或x＜－1．
∴y=x+的单调增区间是(－∞，－1)和(1，+∞)．
令＜0，解得－1＜x＜0或0＜x＜1．
∴y=x+的单调减区间是(－1，0)和(0，1)．
四、课堂练习
1．确定下列函数的单调区间
(1)y=x3－9x2+24x (2)y=x－x3
(1)解：y′=(x3－9x2+24x)′=3x2－18x+24=3(x－2)(x－4)
令3(x－2)(x－4)＞0，解得x＞4或x＜2．
∴y=x3－9x2+24x的单调增区间是(4，+∞)和(－∞，2)
令3(x－2)(x－4)＜0，解得2＜x＜4．∴y=x3－9x2+24x的单调减区间是(2，4)
(2)解：y′=(x－x3)′=1－3x2=－3(x2－)=－3(x+)(x－)
令－3(x+)(x－)＞0，解得－＜x＜．
∴y=x－x3的单调增区间是(－，)．
令－3(x+)(x－)＜0，解得x＞或x＜－．
∴y=x－x3的单调减区间是(－∞，－)和(，+∞)
2．讨论二次函数y=ax2+bx+c(a＞0)的单调区间．
解：y′=(ax2+bx+c)′=2ax+b, 令2ax+b＞0，解得x＞－
∴y=ax2+bx+c(a＞0)的单调增区间是(－，+∞)
令2ax+b＜0，解得x＜－．
∴y=ax2+bx+c(a＞0)的单调减区间是(－∞，－)
3．求下列函数的单调区间(1)y= (2)y= (3)y=+x
(1)解：y′=()′=
∵当x≠0时，－＜0，∴y′＜0．
∴y=的单调减区间是(－∞，0)与(0，+∞)
(2)解：y′=()′
当x≠±3时，－＜0，∴y′＜0．
∴y=的单调减区间是(－∞，－3)，(－3，3)与(3，+∞)．
(3)解：y′=(+x)′．
当x＞0时+1＞0，∴y′＞0． ∴y=+x的单调增区间是(0，+∞)．
五、小结
f(x)在某区间内可导，可以根据f′(x)＞0或f′(x)＜0求函数的单调区间，或判断函数的单调性，或证明不等式．以及当f′(x)=0在某个区间上，那么f(x)在这个区间上是常数函数
六、课后作业
1.3.2 函数的极值与导数（教案）
一、教学目标
1 知识与技能
〈1〉结合函数图象，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件
〈2〉理解函数极值的概念，会用导数求函数的极大值与极小值
过程与方法
结合实例，借助函数图形直观感知，并探索函数的极值与导数的关系。
情感与价值
感受导数在研究函数性质中一般性和有效性，通过学习让学生体会极值是函数的局部性质，增强学生数形结合的思维意识。
二、重点：利用导数求函数的极值
难点：函数在某点取得极值的必要条件与充分条件
三、教学基本流程
回忆函数的单调性与导数的关系，与已有知识的联系
提出问题，激发求知欲
组织学生自主探索，获得函数的极值定义
通过例题和练习，深化提高对函数的极值定义的理解
四、教学过程
〈一〉创设情景，导入新课
1、通过上节课的学习，导数和函数单调性的关系是什么？
（提高学生回答）
2．观察图1.3.8 表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数=-4.9t2+6.5t+10的图象，回答以下问题
（1）当t=a时，高台跳水运动员距水面的高度最大，那么函数在t=a处的导数是多少呢？
（2）在点t=a附近的图象有什么特点？
（3）点t=a附近的导数符号有什么变化规律？
共同归纳: 函数h(t)在a点处h/(a)=0,在t=a的附近,当t＜a时,函数单调递增, ＞0;当t＞a时,函数单调递减, ＜0,即当t在a的附近从小到大经过a时, 先正后负,且连续变化,于是h/(a)=0.
3、对于这一事例是这样，对其他的连续函数是不是也有这种性质呢？
<二>探索研讨
1、观察1.3.9图所表示的y=f(x)的图象，回答以下问题：
（1）函数y=f(x)在a.b点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系?
（2） 函数y=f(x)在a.b.点的导数值是多少?
（3）在a.b点附近, y=f(x)的导数的符号分别是什么，并且有什么关系呢?
2、极值的定义:
我们把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值；
点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极大值。
极大值点与极小值点称为极值点, 极大值与极小值称为极值.
3、通过以上探索，你能归纳出可导函数在某点x0取得极值的充要条件吗？
充要条件：f(x0)=0且点x0的左右附近的导数值符号要相反
4、引导学生观察图1.3.11，回答以下问题：
（1）找出图中的极点，并说明哪些点为极大值点，哪些点为极小值点？
（2）极大值一定大于极小值吗？
5、随堂练习:
1 如图是函数y=f(x)的函数,试找出函数y=f(x)的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点.如果把函数图象改为导函数y=的图象?
<三>讲解例题
求函数的极值
教师分析:①求f/(x),解出f/(x)=0,找函数极点； ②由函数单调性确定在极点x0附近f/(x)的符号,从而确定哪一点是极大值点,哪一点为极小值点,从而求出函数的极值.
学生动手做,教师引导
解:∵∴=x2-4=(x-2)(x+2)
令=0,解得x=2,或x=-2.
下面分两种情况讨论:
当＞0,即x＞2,或x＜-2时;
当＜0,即-2＜x＜2时.
当x变化时, ,f(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,-2)
-2
(-2,2)
2
(2,+∞)
+
0
_
0
+
f(x)
单调递增
单调递减
单调递增
因此,当x=-2时,f(x)有极大值,且极大值为f(-2)= ;当x=2时,f(x)有极
小值,且极小值为f(2)=
函数的图象如:
归纳：求函数y=f(x)极值的方法是:
1求,解方程=0,当=0时:
如果在x0附近的左边＞0,右边＜0,那么f(x0)是极大值.
如果在x0附近的左边＜0,右边＞0,那么f(x0)是极小值
<四>课堂练习
1、求函数f(x)=3x-x3的极值
2、思考：已知函数f（x）=ax3+bx2-2x在x=-2，x=1处取得极值,
求函数f（x）的解析式及单调区间。
<五>课后思考题
若函数f(x)=x3-3bx+3b在（0，1）内有极小值，求实数b的范围。
已知f(x)=x3+ax2+(a+b)x+1有极大值和极小值，求实数a的范围。
<六>课堂小结
函数极值的定义
函数极值求解步骤
一个点为函数的极值点的充要条件。
<七>作业 P32 5 ① ④
教学反思
本节的教学内容是导数的极值,有了上节课导数的单调性作铺垫,借助函数图形的直观性探索归纳出导数的极值定义,利用定义求函数的极值.教学反馈中主要是书写格式存在着问题.为了统一要求主张用列表的方式表示,刚开始学生都不愿接受这种格式,但随着几道例题与练习题的展示,学生体会到列表方式的简便,同时为能够快速判断导数的正负,我要求学生尽量把导数因式分解.本节课的难点是函数在某点取得极值的必要条件与充分条件,为了说明这一点多举几个例题是很有必要的.在解答过程中学生还暴露出对复杂函数的求导的准确率比较底,以及求函数的极值的过程板书仍不规范,看样子这些方面还要不断加强训练
研讨评议
教学内容整体设计合理,重点突出,难点突破,充分体现教师为主导,学生为主体的双主体课堂地位,充分调动学生的积极性,教师合理清晰的引导思路,使学生的数学思维得到培养和提高,教学内容容量与难度适中,符合学情,并关注学生的个体差异,使不同程度的学生都得到不同效果的收获。
§1.3.3 函数的最大(小)值与导数
【教学目标】
1．使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数在闭区间上所有点（包括端点）处的函数中的最大（或最小）值必有的充分条件；
2．使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤。
【教学重点】利用导数求函数的最大值和最小值的方法。
【教学难点】函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系。
【教学过程】
一、复习引入
1．极大值： 一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，x0是极大值点
2．极小值：一般地，设函数f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0)．就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)，x0是极小值点
3．极大值与极小值统称为极值注意以下几点：
（ⅰ）极值是一个局部概念．由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小．并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。
（ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。
（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系．即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，是极大值点，是极小值点，而>。
（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。
而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。
4． 判别f(x0)是极大、极小值的方法：
若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值。
5． 求可导函数f(x)的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′(x)；
（2）求方程f′(x)=0的根；
（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格．检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f(x)在这个根处无极值。
二、讲解新课
1．函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间上的函数的图象．图中与是极小值，是极大值．函数在上的最大值是，最小值是。
一般地，在闭区间上连续的函数在上必有最大值与最小值。
说明：⑴在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值．如函数在内连续，但没有最大值与最小值；
⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的。
⑶函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件。
(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个。
⒉利用导数求函数的最值步骤:
由上面函数的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了
设函数在上连续，在内可导，则求在上的最大值与最小值的步骤如下：
⑴求在内的极值；
⑵将的各极值与、比较得出函数在上的最值。
三、讲解范例：
例1求函数在区间上的最大值与最小值．
解：先求导数，得
令＝0即解得
导数的正负以及，如下表
X
-2
（-2,-1）
-1
（-1,0）
0
（0,1）
1
（1,2）
2
y/
－
0
＋
0
－
0
＋
y
13
↘
4
↗
5
↘
4
↗
13
从上表知，当时，函数有最大值13，当时，函数有最小值4。
例2 已知,∈(0,+∞)．是否存在实数,使同时满足下列两个条件：（1）)在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数；（2）的最小值是1，若存在，求出，若不存在，说明理由。
解：设g(x)=
∵f(x)在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数
∴g(x)在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数．
∴ ∴ 解得
经检验，a=1,b=1时，f(x)满足题设的两个条件。
四、课堂练习
1．下列说法正确的是( )
A．函数的极大值就是函数的最大值 B．函数的极小值就是函数的最小值
C．函数的最值一定是极值 D．在闭区间上的连续函数一定存在最值
2．函数y=f(x)在区间［a,b］上的最大值是M，最小值是m,若M=m,则f′(x) ( )
A．等于0 B．大于0 C．小于0 D．以上都有可能
3．函数y=，在［－1，1］上的最小值为( )
A．0 B．－2 C．－1 D．
4．函数y=的最大值为( )
A． B．1 C． D．
5．设y=|x|3,那么y在区间［－3，－1］上的最小值是( )
A．27 B．－3 C．－1 D．1
6．设f(x)=ax3－6ax2+b在区间［－1，2］上的最大值为3，最小值为－29，且a>b,则( )
A．a=2,b=29 B．a=2,b=3 C．a=3,b=2 D．a=－2,b=－3
答案：1．D 2．A 3．A 4．A 5．D 6．B
五、小结 ：⑴函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中：导数等于零的点，导数不存在的点，区间端点；⑵函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件；⑶闭区间上的连续函数一定有最值；开区间内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值
六、课后作业
1.3.3函数的最大（小）值与导数
【学习目标】
1．借助函数图像，直观地理解函数的最大值和最小值概念。
2．弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系，理解和熟悉函数必有最大值和最小值的充分条件。
3．掌握求在闭区间上连续的函数的最大值和最小值的思想方法和步骤。
【复习回顾】
极大值、极小值的概念：
2．求函数极值的方法：
【知识点实例探究】
例1．求函数在[0,3]上的最大值与最小值。
你能总结一下，连续函数在闭区间上求最值的步骤吗？
变式：1 求下列函数的最值：
（1）已知，则函数的最大值为______，最小值为______。
（2）已知，则函数的最大值为______，最小值为______。
（3）已知，则函数的最大值为______，最小值为______。
（4）则函数的最大值为______，最小值为______。
变式：2 求下列函数的最值：
（1） （2）
例2．已知函数在[－2，2]上有最小值－37，
（1）求实数的值；（2）求在[－2，2]上的最大值。
姓名：_____________ 学号：______________
【作业】
1．下列说法中正确的是（ ）
A 函数若在定义域内有最值和极值，则其极大值便是最大值，极小值便是最小值
B 闭区间上的连续函数一定有最值，也一定有极值
C 若函数在其定义域上有最值，则一定有极值；反之，若有极值，则一定有最值
D 若函数在定区间上有最值，则最多有一个最大值，一个最小值，但若有极值，则可有多个极值
2．函数，下列结论中正确的是（ ）
A 有极小值0，且0也是最小值 B 有最小值0，但0不是极小值
C 有极小值0，但0不是最小值
D 因为在处不可导，所以0即非最小值也非极值
3．函数在内有最小值，则的取值范围是（ ）
A B C D
4．函数的最小值是（ ）
A 0 B C D
5．给出下面四个命题：
（1）函数的最大值为10，最小值为；
（2）函数的最大值为17，最小值为1；
（3）函数的最大值为16，最小值为－16；
（4）函数无最大值，无最小值。
其中正确的命题有
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
6．函数的最大值是__________，最小值是_____________。
7．函数的最小值为____________。
8．已知为常数），在[－2，2]上有最大值3，求函数在区间
[－2，2]上的最小值。
9．（1）求函数的最大值和最小值；
（2）求函数的极值。
自 助 餐
1．设为常数，求函数在区间上的最大值和最小值。
设，（1）求函数的单调递增，递减区间；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围。
3．已知函数，
（1）当，求函数的最小值；
（2）若对于任意恒成立，试求实数的取值范围。
4．已知函数，
（1）若函数在上是增函数，求实数的取值范围；
（2）若是的极值点，求在上的最大值；
（3）在（2）的条件下，是否存在实数，使得函数的图像与函数的图像恰有3个交点，若存在 ，求出实数的取值范围；取不存在，试说明理由。
5．当时，函数恒大于正数，试求函数的最小值。
1．（1）若在区间上，当时，有最大值；当时，有最小值0。（2）当，在区间上，当时，有最大值；当时，有最小值0。2．（1）递增区间为和，递减区间为；（2）。
3．（1）（2）。4．（1），（2），（3）且。
5．当时，。
1.7 定积分的简单应用（共两课时）
感悟要点
知识与技能
能利用定积分求曲边梯形的面积，以及解决物理中的变速直线运动的路程，变力做功问题。
2．过程与方法
通过利用定积分求曲边梯形的面积，体会定积分的基本思想，学会其方法，通过定积分在物理中应用，学会用数学工具解决物理问题，进一步体会定积分的价值。
3．情感态度与价值观
通过本节学习，进一步感受数学的应用价值，提高数学的应用意识，坚定学好数学的信心。
学习重难点
1.重点：应用定积分解决平面图形的面积、变速直线运动的路程和变力做功等问题，使学生在解决问题的过程中体验定积分的价值。
2.难点：将实际问题化归为定积分的问题。
温习旧知
定积分的几何意义和微积分基本定理分别是什么？
曲边梯形的面积表达式是什么？
匀变速直线运动中，s与v,t间的关系是什么？
4．如果物体在变力F（x）的作用下做直线运动，那么如何计算变力F（x）所做的功W呢？
例题精析
例1 计算由两条抛物线和所围成的图形的面积.
解析：
【教学札记】
合作探究：由例1总结求由两条曲线围成的平面图形面积的步骤是什么？
画出图形；
确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标，定出积分上下限；
确定被积函数，特别是要分清被积函数的上下位置；
写出平面图形的面积的定积分表达式；
运用微积分基本公式计算定积分，求出平面图形的面积。
例2 计算由曲线，直线以及x轴所围成的图形的面积.
解析：
【教学札记】
探究：这道题还有其它解法吗？
解法二：将所求平面图形的面积看成一个曲边梯形与一个三角形的面积之差：
解法三：将所求平面图形的面积看成位于y轴右边的一个梯形与一个曲边梯形的面积之差，因此可以取y为积分变量，还需把函数y=x-4变形为x=y-4,,函数变形为.
变式训练:计算有曲线和直线y=x-4所围成的图形面积.
作业：练习，A组第1题.
例3 一辆汽车的速度-时间曲线如图所示，求汽车在这1min行驶的路程。
解析：
【教学札记】
合作探究：这道题还有其他解法吗？
针对训练：一物体沿直线以（t的单位是：s，v的单位是：m/s）的速度运动，求该物体在3到5秒间行进的路程。

例4：如图：在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离水平位置L 米处，求克服弹力所作的功．
解析：
【教学札记】
针对训练：一物体在力（x的单位：m，F的单位：N）的作用下，沿着与里F相同的方向，从x=0处运动到x=4处，求力F（x）所做的功。
练习：
1（08年高考宁夏/海南卷）第10题
由直线曲线及轴所围图形的面积为（ ）

2（05年湖南卷）函数的图象与直线及x轴所围成的面积称为函数在上的面积，已知函数在上的面积为（）.则①函数在上的面积为＿＿＿＿＿．②函数＋１在上的面积为＿＿＿＿＿．
导数及其应用复习小结（共两课时）
本章知识结构
本章知识点
三、关于导数应用的几个题型：
利用公式求导：
幂函数求导
整式函数求导
分式函数求导
复合函数求导
求函数的导函数。
求函数的导函数。

求函数的导函数。

求函数的导函数。
利用导数几何意义解题——切点待定法（设出切点，写出切线表达式）
1、求切线方程
2、已知切线方程求曲线参数
例1、若曲线的一条切线的斜率为-2，则的方程为________________.
例2、 曲线在点M（e,1）处的切线方程为_________________.
例3、求过点（2，0）且与曲线相切的直线方程。
例4、若直线与曲线C：相切，则=___________.
导函数与原函数图象关系
例1、设是函数的导函数，的图象
如图所示，则的图象最有可能的是 （ ）
利用导数求函数的单调区间——三行表格法（求出使得=0的根，分出区间）
不含参
含参
已知函数，求的单调区间。
已知函数，求的单调区间。
导数与函数极值
已知函数表达式，求极值
已知极值，求函数表达式
求函数的极值。
若函数在处有极值，则常数 的值为_________。
导数与函数最值
已知函数表达式求最值
已知函数的其中一个最值，求另外一个
例1、求函数在区间[0，4]上的最大值和
最小值。
例2、已知函数
求的单调减区间。
若在区间[-2，2]上的最大值为20，求函数在该区间上的最小值。
导数中的两类恒成立问题
在R上恒成立
在某个区间[a,b](或（a,b）) 上恒成立
若函数是R上的单调递增函数，则m的取值范围是_________________.
例2、若在上是减函数，求b的取值范围。
八、生活优化问题
例、用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转角，再焊接而成，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？
1.7定积分的简单应用
一、教学目标
知识与技能：进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法；让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理；初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法；体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）。
过程与方法：通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法
情感、态度与价值观：通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。
二、教学重点与难点
重点 曲边梯形面积的求法
难点　定积分求体积以及在物理中应用　
三、教学过程
1、复习
1、求曲边梯形的思想方法是什么？2、定积分的几何意义是什么？
3、微积分基本定理是什么？
2、定积分的应用
（一）利用定积分求平面图形的面积
例1．计算由两条抛物线和所围成的图形的面积.
分析：两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。
解：，所以两曲线的交点为（0，0）、
（1，1），面积S=，所以=
【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤：
1.作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积；4.微积分基本定理求定积分。
巩固练习 计算由曲线和所围成的图形的面积.
例2．计算由直线，曲线以及x轴所围图形的面积S.
分析：首先画出草图（图1.7 一2 ) ，并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯形的面积问题．与例 1 不同的是，还需把所求图形的面积分成两部分S1和S2．为了确定出被积函数和积分的上、下限，需要求出直线与曲线的交点的横坐标，直线与 x 轴的交点．
解：作出直线，曲线的草图，所求面积为图1. 7一2 阴影部分的面积．
解方程组 得直线与曲线的交点的坐标为（8,4) .
直线与x轴的交点为（4,0).
因此，所求图形的面积为S=S1+S2
由上面的例题可以发现，在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限．
例3.求曲线与直线
轴所围成的图形面积。
答案：
练习
1、求直线与抛物线所围成的图形面积。
答案：
2、求由抛物线及其在点M（0，－3）
和N（3，0）处的两条切线所围成的图形的面积。
略解：，切线方程分别为、
，则所求图形的面积为
3、求曲线与曲线以及轴所围成的图形面积。
略解：所求图形的面积为
4、在曲线上的某点A处作一切线使之与曲
线以及轴所围成的面积为.试求：切点A的坐标以及切线方程.
略解：如图由题可设切点坐标为，则切线方程
为，切线与轴的交点坐标为
，则由题可知有
，所以切点坐标与切线方程分别为
总结：1、定积分的几何意义是：、轴所围成的图形的面积的代数和，即.
因此求一些曲边图形的面积要可以利用定积分的几何意义以及微积分基本定理，但要特别注意图形面积与定积分不一定相等，如函数的图像与轴围成的图形的面积为4,而其定积分为0.
2、求曲边梯形面积的方法与步骤：
(1)画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；
(2)对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限；
(3)确定被积函数；
(4)求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和。
3、几种常见的曲边梯形面积的计算方法：
（1）型区域：
①由一条曲线与直线以及轴所围成的曲边梯形的面积：（如图（1））；
②由一条曲线与直线以及轴所围成的曲边梯形的面积：（如图（2））；
③由两条曲线与直线
图（1） 图（2） 图（3）
所围成的曲边梯形的面积：（如图（3））；
（二）、定积分在物理中应用
(1)求变速直线运动的路程
我们知道，作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v=v (t) ( v(t) ≥0) 在时间区间[a,b]上的定积分，即
例 4。一辆汽车的速度一时间曲线如图1.7 一3 所示．求汽车在这1 min 行驶的路程．
解：由速度一时间曲线可知：
因此汽车在这 1 min 行驶的路程是：
答：汽车在这 1 min 行驶的路程是 1350m .
2．变力作功
一物体在恒力F（单位：N）的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向移（单位：m)，则力F所作的功为W=Fs .
探究
如果物体在变力 F(x）的作用下做直线运动，并且物体沿着与 F (x) 相同的方向从x =a 移动到x=b (a与求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程一样，可以用“四步曲”解决变力作功问题．可以得到

例5．如图1·7一4 ，在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置lm 处，求克服弹力所作的功．
解：在弹性限度内，拉伸（或压缩）弹簧所需的力 F ( x ）与弹簧拉伸（或压缩）的长度 x 成正比，即 F ( x ）= kx ,
其中常数 k 是比例系数．
由变力作功公式，得到
答：克服弹力所作的功为.
例6．A、B两站相距7.2km，一辆电车从A站B开往站，电车开出ts后到达途中C点，这一段的速度为1.2t(m/s)，到C点的速度为24m/s，从C点到B点前的D点以等速行驶，从D点开始刹车，经ts后，速度为（24-1.2t）m/s，在B点恰好停车，试求
（1）A、C间的距离；（2）B、D间的距离；（3）电车从A站到B站所需的时间。
分析：作变速直线运动的物体所经过的路程s,等于其速度函数v=v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a,b]上的定积分,即
略解：（1）设A到C的时间为t1则1.2t=24, t1=20(s),则AC＝
（2）设D到B的时间为t21则24-1.2t2=0, t21=20(s),
则DB＝
（3）CD=7200-2240=6720(m),则从C到D的时间为280(s),则所求时间为20+280+20=320（s）
例3：如果1N能拉长弹簧1cm，为了将弹簧拉长6cm，需做功（ A ）
A 0.18J B 0.26J C 0.12J D 0.28J
略解：设，则由题可得，所以做功就是求定积分。
练习：
四：课堂小结
本节课主要学习了利用定积分求一些曲边图形的面积与体积，即定积分在几何中应用，以及定积分在物理学中的应用，要掌握几种常见图形面积的求法，并且要注意定积分的几何意义，不能等同于图形的面积，要注意微积分的基本思想的应用与理解。
五:教后反思
《定积分在几何中的简单应用》教学设计
设计教师：
教学年级：高二年级
课题名称：定积分在几何中的简单应用
教材版本：人教版高中数学选修2-2
授课时间：40分钟
一．
教学构思
应用型的课题是培养学生观察、分析、发现、概括、推理和探索能力的极好素材。本节课通过创设情景、热身训练、问题探究、抽象归纳，巩固练习、应用提升等探究性活动，培养学生的数学创新精神和实践能力，使学生们掌握定积分解题的规律，体会数学学科研究的基本过程与方法。
二．
教学理念
以学生发展为本。
新型的师生关系；新型的教学目标；新型的教学方式；新型的呈现方式。
三．
教材分析
定积分的应用是在学生学习了定积分的概念、定积分的计算、定积分的几何意义之后，对定积分知识的总结和升华，通过用定积分解决一些简单的面积问题，初步感受定积分在解决数学问题与实际问题中的作用，体会导数与定积分之间的内在联系。
四．
教学目标
【知识与技能目标】 通过本节课的探究，学生能够应用定积分解决不太规则的平面图形的面积，能够初步掌握应用定积分解决实际问题的基本思想和方法。
【过程与方法目标】探究过程中通过数形结合的思想，加深对知识的理解，同时体会到数学研究的基本思路和方法。
【情感、态度与价值观目标】探究式的学习方法能够激发学生的求知欲，培养学生对学习的浓厚兴趣；探究式的学习过程能够培养学生严谨的科学思维习惯和方法，培养学生勇于探索和实践的精神；探究过程中对学生进行数学美育的渗透，用哲学的观点指导学生自主探究。
五．
教学重点难点
【教学重点】应用定积分解决平面图形的面积，使学生在解决问题的过程中体会定积分的价值。
【教学难点】如何恰当选择积分变量和确定被积函数。
六．
教学方法
教学方法是“问题诱导——启发讨论——探索结果”、“直观观察——抽象归纳——总结规律”的一种研究性教与学的方法，过程中注重“诱、思、探、练”的结合，从而引导学生转变学习方式。采用激发兴趣、主动参与、积极体验、自主探究地学习，形成师生互动的教学氛围。

六
教
学
过
程
教
学
过
程
教
学
过
程
教
学
过
程
教
学
过
程
教
学
过
程
教
学
过
程
教
学
过
程
师生活动
设计意图
课前准备：
复习定积分的概念、定积分的计算、定积分的几何意义.
情景引入：
展示精美的大桥油画，讲述古代数学家的故事及伟大发现：拱形的面积
【课件展示】课题：定积分在几何中的简单应用
油画图片
问：桥拱的面积如何求解呢？
答：……
【学生活动】本环节安排学生讨论，自主发现解决问题方向——定积分跟面积的关系，
新课讲授：
【热身训练】练习１．计算 ２．计算
【学生活动】思考口答
【课件展示】定积分表示的几何图形、练习答案.


【热身训练】练习３．用定积分表示阴影部分面积

图1 图2
【学生活动】回忆并口答图1的答案；
引导学生由X为积分变量的定积分类型来发现以Y为积分变量的另一种定积分类型。
【得出结论】定积分表示曲边梯形面积的两种类型.
【板书】配合学生探究的进展书写推理的过程.
【课件展示】
图1 选择X为积分变量，曲边梯形面积为
图2 选择Y为积分变量，曲边梯形面积为
【问题探究】
【课件展示】探究由曲线所围平面图形的面积解答思路

【学生活动】思考、探究、讨论
【展示结论】

【教师简单点评】探索到的结论一定可行吗？这就需要通过实践来检验。
【例题实践】例１．计算由曲线与所围图形的面积．
【师生活动】探究解法的过程.
找到图形----画图得到曲边形.
曲边形面积解法----转化为曲边梯形，做出辅助线.
定积分表示曲边梯形面积----确定积分区间、被积函数.
计算定积分.
【板书】根据师生探究的思路板书重要分析过程.
【课件展示】解答过程
解：作出草图，所求面积为图中阴影部分的面积.
解方程组得到交点横坐标为
及
曲边梯形OABC 曲边梯形OABD
【例题实践】例２．计算由与所围图形的面积.
【师生活动】讨论探究解法的过程
1．找到图形----画图得到曲边形.
2．曲边形面积解法----转化为曲边梯形，做出辅助线.
3．定积分表示曲边梯形面积----确定积分区间、被积函数.
问题：表示不出定积分.
探讨：X为积分变量表示不到，那换成Y为积分变量呢？
4．计算定积分.
【板书】根据师生探究的思路
板书重要分析过程.
【课件展示】解答过程
解：作出草图，所求面积为
图中阴影部分的面积
解方程组得到交点坐标为(2,-2)及(8,4)
选ｙ为积分变量
【抽象归纳】解由曲线所围的平面图形面积的解题步骤
【学生活动】学生根据例题探究的过程来归纳
【教师简单点评】帮助学生修改、提炼，强调注意注意选择y型积分变量时，要把函数变形成用y表示x的函数 .
【课件展示】解由曲线所围的平面图形面积的解题步骤：
1．画草图，求出曲线的交点坐标．
2．将曲边形面积转化为曲边梯形面积．
3．根据图形特点选择适当的积分变量．（注意选择y型积分变量时，要把函数变形成用y表示x的函数）
4．确定被积函数和积分区间．
5．计算定积分，求出面积.
【巩固练习】
练习４．计算由曲线与及轴所围平面图形的面积．
【学生活动】学生分组合作完成
【成果展示】邀请同学们把自己的成果展示给大家，发现这道题目有多种解答方法，过程中解决学生在解题过程中暴露出来的各种问题。

A:
B:
C:
【师生活动】此题为一题多解，解体的大方向分为选X做积分变量和选Y做积分变量.
问：遇到一题多解时，你会想到什么？
答：找最简单的解法.
问：以次题为例，如何寻找最简解法？
答：我们熟悉X做积分变量的类型；
做辅助线时，尽量将曲边形转化成我们熟悉的平面图形，如三角形、矩形、梯形和曲边梯形组合的图形.
【巩固练习】
练习５．计算由曲线与及、
所围平面图形的面积．
【学生活动】学生独立思考
【成果展示】邀请一位同学把自己的成果展示给大家
 　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【师生活动】解答思路清晰，表达正确
问：此题还有其他解法吗？
答： 所以只算一个S，取2倍就可以了.
【教师点评】做的漂亮，解题时要注意发现题目的特征，联系我们以前的知识将问题化简后再解答，提高效率.
【应用提升】
如图，一桥拱的形状为抛物线，已知该抛物线拱的高为常数h，
宽为常数b．　　　　　　　　　　
求证：抛物线拱的面积
【师生活动】探究解题方法
1.建立平面直角坐标系 确定抛物线方程
　　　2.求由曲线围成的平面图形面积的解题步骤
问：如何建立平面直角坐标系会使得抛物线方程的求解简单
答：以抛物线的顶点为坐标原点建立坐标系.
【学生活动】学生独立求解抛物线方程.
【成果展示】投影学生练习
如图建立平面直角坐标系，
可设抛物线方程为 ，
代抛物线上一点入方程，
则有 解得 ，所以抛物线方程为 .
【教师点评】在投影中与全班同学一起点评学生的练习.
【师生活动】探究、并在投影中完成该题
问：所求图形有什么特点？
答：左右对称；可以解答一半取2倍.
【成果展示】在黑板上与学生共同完成
设一半的面积为S，则有
……
（四）．互动小结
问：本节课我们做了什么探究活动呢？
答：用定积分解曲边形面积。
问：如何用定积分解决曲边形面积问题呢？
答：1.画草图，求出曲线的交点坐标．
2.将曲边形面积转化为曲边梯形面积．
3.根据图形特点选择适当的积分变量．（注意选择y型积分变量时，要把函数变形成用y表示x的函数）
4.确定被积函数和积分区间．
5.计算定积分，求出面积．
问：解答曲线所围的平面图形面积时须注意什么问题？
答：选择最优化的积分变量；根据图形特点选择最优化的解题方法.
问：体会到什么样的数学研究思路及方法呢？
答：从问题出发，联系相关知识，探究出解决问题的思路，通过实践的检验得到一般方法，通过练习巩固，通过应用提升。
（五）．作业 课本Ｐ67　Ａ组　1．　Ｐ68　Ｂ组　3．　创新训练No.13
培养学生复习的学习习惯。
激发学生们的求知欲和探索欲，设下悬念，以激发学生的探索激情，为后面作开启性的铺垫。
复习定积分的几何意义
培养学生用发展、联系的哲学思想解决问题
培养学生乐于尝试、敢于创新的精神。
通过探究，发现并掌握数学学科研究的基本过程与方法
巩固了学生的作图能力，在寻找曲边梯形的过程中提高了学生的想象能力。
完成了一般理论和具体问题的有机结合，初步达到了识记的目标，突显了教学重点。
使学生懂得如何灵活选择积分变量，确定被积函数，通过该题突破教学难点。
探索到的结果通过实践，学生都得到了一些解题心得，及时指导学生进行抽象归纳，便是探究的阶段小结，得到解题的一般方法。
趁学生们还沉浸在成功的喜悦之中，探索欲望高涨的时候，适时给学生扩大成就感的机会。所以准备了巩固练习，目的在于巩固解题方法、由一题多解锻炼学生的发散思维
体现了对称的思想和分类思想，培养学生的观察能力和分析思考问题的严密性，在此过程中进行了数学美育的渗透。
把本节课的探究活动推向高潮，解决了前面设下的悬念的同时，实现了生活中的实际问题与抽象数学的完美结合。
巩固定积分解题的基本方法和步骤。
提问式的课堂小结，目的在于调动学生积极参与梳理知识的过程，培养学生在探究之后整合知识的能力。
作业即是探究活动的一种延续。
教学设计
定积分在几何中的简单应用
选送学校：南海九江中学
设计教师：林洁
§1.4生活中的优化问题举例（2课时）
教学目标：
使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。
提高将实际问题转化为数学问题的能力。
教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题。
教学难点：利用导数解决生活中的一些优化问题。
教学过程：
一．创设情景
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题。
二．新课讲授
导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题。
解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具。
利用导数解决优化问题的基本思路：

三．典例分析
例1．汽油的使用效率何时最高
我们知道，汽油的消耗量（单位：L）与汽车的速度（单位：km/h）之间有一定的关系，汽油的消耗量是汽车速度的函数．根据你的生活经验，思考下面两个问题：
是不是汽车的速度越快，汽车的消耗量越大？
“汽油的使用率最高”的含义是什么？
分析：研究汽油的使用效率（单位：L/m）就是研究秋游消耗量与汽车行驶路程的比值．如果用表示每千米平均的汽油消耗量，那么，其中，表示汽油消耗量（单位：L），表示汽油行驶的路程（单位：km）．这样，求“每千米路程的汽油消耗量最少”，就是求的最小值的问题
通过大量的统计数据，并对数据进行分析、研究，人们发现，汽车在行驶过程中，汽油平均消耗率（即每小时的汽油消耗量，单位：L/h）与汽车行驶的平均速度（单位：km/h）之间有如图所示的函数关系。
从图中不能直接解决汽油使用效率最高的问题．因此，我们首先需要将问题转化为汽油平均消耗率（即每小时的汽油消耗量，单位：L/h）与汽车行驶的平均速度（单位：km/h）之间关系的问题，然后利用图像中的数据信息，解决汽油使用效率最高的问题
解：因为
这样，问题就转化为求的最小值．从图象上看，表示经过原点与曲线上点的直线的斜率．进一步发现，当直线与曲线相切时，其斜率最小．在此切点处速度约为90。
因此，当汽车行驶距离一定时，要使汽油的使用效率最高，即每千米的汽油消耗量最小，此时的车速约为90．从数值上看，每千米的耗油量就是图中切线的斜率，即，约为 L。
例2．磁盘的最大存储量问题
计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化成磁道和扇区。磁道是指不同半径所构成的同心轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形区域。磁道上的定长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0或1，这个基本单元通常被称为比特（bit）。
为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于，每比特所占用的磁道长度不得小于。为了数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数
问题：现有一张半径为的磁盘，它的存储区是半径介于与之间的环形区域．
是不是越小，磁盘的存储量越大？
为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？
解：由题意知：存储量=磁道数×每磁道的比特数。
设存储区的半径介于与R之间，由于磁道之间的宽度必需大于，且最外面的磁道不存储任何信息，故磁道数最多可达。由于每条磁道上的比特数相同，为获得最大存储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达。所以，磁盘总存储量
×
它是一个关于的二次函数，从函数解析式上可以判断，不是越小，磁盘的存储量越大。
为求的最大值，计算。
令，解得
当时，；当时，．
因此时，磁盘具有最大存储量。此时最大存储量为
例3．饮料瓶大小对饮料公司利润的影响
（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？
（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？
【背景知识】：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是 分，其中 是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm。
问题：（１）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？
　　 （２）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？
解：由于瓶子的半径为，所以每瓶饮料的利润是

令 解得 （舍去）
当时，；当时，．
当半径时，它表示单调递增，即半径越大，利润越高；
当半径时， 它表示单调递减，即半径越大，利润越低。
半径为cm 时，利润最小，这时，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值。
半径为cm时，利润最大。
换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数的图像上观察，会有什么发现？
有图像知：当时，，即瓶子的半径为3cm时，饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等；当时，利润才为正值
当时，，为减函数，其实际意义为：瓶子的半径小于2cm时，瓶子的半径越大，利润越小，半径为cm 时，利润最小。
说明：
四．课堂练习
1．用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作的容器的底面的一边比另一边长0.5m,那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．（高为1.2 m，最大容积）
5．课本 练习
五．回顾总结
1．利用导数解决优化问题的基本思路：

2．解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决．在这个过程中，导数往往是一个有利的工具
六．布置作业
1.6 微积分基本定理
一、教学目标　
知识与技能目标　
通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分
过程与方法
通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法
情感态度与价值观
通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。
二、教学重难点　　
重点 通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。
难点　了解微积分基本定理的含义　
三、教学过程
1、复习：
定积分的概念及用定义计算
2、引入新课
我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。
变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系
设一物体沿直线作变速运动，在时刻t时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（），
则物体在时间间隔内经过的路程可用速度函数表示为。
另一方面，这段路程还可以通过位置函数S（t）在上的增量来表达，即
=

而。
对于一般函数，设，是否也有

若上式成立，我们就找到了用的原函数（即满足）的数值差来计算在上的定积分的方法。
注：1：定理 如果函数是上的连续函数的任意一个原函数，则
证明：因为=与都是的原函数，故
-=C（）
其中C为某一常数。
令得-=C，且==0
即有C=，故=+
=-=
令，有
此处并不要求学生理解证明的过程
为了方便起见，还常用表示，即
该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。 它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果。
例1．计算下列定积分：
（1）； （2）。
解：（1）因为，
所以。
（2））因为，
所以
。
练习：计算
解：由于是的一个原函数，所以根据牛顿—莱布尼兹公式有
===
例2．计算下列定积分：
。
由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论。
解：因为，
所以
，
，
.
可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0:
( l ）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时（图1.6一3 ) ，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积；
图1 . 6 一 3 ( 2 ）
（2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时（图 1 . 6 一 4 ) ，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数；
( 3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0（图 1 . 6 一 5 ) ，且等于位于 x 轴上方的曲边梯形面积减去位于 x 轴下方的曲边梯形面积．
例3．汽车以每小时32公里速度行驶，到某处需要减速停车。设汽车以等减速度=1.8米/秒2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？
解:首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间。当t=0时，汽车速度=32公里/小时=米/秒8.88米/秒,刹车后汽车减速行驶,其速度为当汽车停住时,速度,故从解得秒
于是在这段时间内,汽车所走过的距离是
=米,即在刹车后,汽车需走过21.90米才能停住.
微积分基本定理揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时它也提供了计算定积分的一种有效方法．微积分基本定理是微积分学中最重要的定理，它使微积分学蓬勃发展起来，成为一门影响深远的学科，可以毫不夸张地说，微积分基本定理是微积分中最重要、最辉煌的成果．
四、课堂小结
本节课借助于变速运动物体的速度与路程的关系以及图形得出了特殊情况下的牛顿-莱布尼兹公式.成立，进而推广到了一般的函数，得出了微积分基本定理，得到了一种求定积分的简便方法，运用这种方法的关键是找到被积函数的原函数，这就要求大家前面的求导数的知识比较熟练，希望，不明白的同学，回头来多复习！
五、教学后记
从教以来，一直困惑于一个问题：课堂上如何突出重点并突破难点。当然，理论方面自己早已烂熟于心，关键是缺乏实践方面的体验及感悟。在今天的课堂上，当自己在生物化学班重点及难点均未解决，相反将更多时间纠缠在细节方面，而物理班级恰好相反，教学效果的强烈反差，终于让自己对这个问题有了实践的切身的认识。记得当实习生时，本来一个相当简单的问题，可在课堂上却花费了大量时间，更严重的是学生却听得更为糊涂。一个主要原因在于，对相关知识结构理解不到位，眉毛胡子一把抓，而难点又无法解决。
§2. 2 .1 综合法和分析法
一、教学目标：
（一）知识与技能：
结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合
法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。
（二）过程与方法:
培养学生的辨析能力和分析问题和解决问题的能力；
（三）情感、态度与价值观：
通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
二、教学重点：
了解分析法和综合法的思考过程、特点
三、教学难点：
分析法和综合法的思考过程、特点
四、教学过程:
（一）导入新课：
合情推理分归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的。数学结论的正确性必须通过逻辑推理的方式加以证明。本节我们将学习两类基本的证明方法：直接证明与间接证明。
（二）推进新课：
1. 综合法
在数学证明中，我们经常从已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，通过推理推导出所要的结论。例如：
已知a,b>0,求证
教师活动：给出以上问题，让学生思考应该如何证明，引导学生应用不等式证明。教师最后归结证明方法。
学生活动：充分讨论，思考，找出以上问题的证明方法
设计意图：引导学生应用不等式证明以上问题，引出综合法的定义
证明:因为，
所以。
因为，
所以。
因此 。
一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种方法叫做综合法。
用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q表示要证明的结论，则综合法可表示为：
综合法的特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。
例1、在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为,且A,B,C成等差数列, 成等比数列,求证△ABC为等边三角形.
分析：将 A , B , C 成等差数列，转化为符号语言就是2B =A + C; A , B , C为△ABC的内角，这是一个隐含条件，明确表示出来是A + B + C =； a , b，c成等比数列，转化为符号语言就是．此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和边之间的关系，进而判断三角形的形状，余弦定理正好满足要求．于是，可以用余弦定理为工具进行证明．
证明：由 A, B, C成等差数列，有 2B=A + C ． ①
因为A,B,C为△ABC的内角，所以 A + B + C=． ②
由①② ，得 B=． ③
由a, b，c成等比数列，有 ． ④
由余弦定理及③，可得
．
再由④，得 ．
即 ，
因此 ．
从而 A=C．
由②③⑤，得
A=B=C=．
所以△ABC为等边三角形．
注：解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言等．还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来．
例2、已知求证
分析：本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。
证明：1) 差值比较法：注意到要证的不等式关于对称，不妨设
，从而原不等式得证。
2）商值比较法：设
故原不等式得证。
注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。
2. 分析法
证明数学命题时，还经常从要证的结论 Q 出发，反推回去，寻求保证 Q 成立的条件，即使Q成立的充分条件P1，为了证明P1成立，再去寻求P1成立的充分条件P2，为了证明P2成立，再去寻求P2成立的充分条件P3，…… 直到找到一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止。
例如：基本不等式 （a>0，b>0）的证明就用了上述方法。
要证
，
只需证
，
只需证
，
只需证

由于显然成立，因此原不等式成立。
一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止。这种方法叫做分析法。
分析法可表示为：
分析法的特点是：执果索因
例3、求证。
分析：从待证不等式不易发现证明的出发点，因此我们直接从待证不等式出发，分析其成立的充分条件。
证明：因为都是正数，所以为了证明
，
只需明
，
展开得
，
只需证
，
因为成立，所以
成立。
在本例中，如果我们从“21〈25”出发，逐步倒推回去，就可以用综合法证出结论。但由于我们很难想到从“21<25”入手，所以用综合法比较困难。
事实上，在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q‘；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论 P‘．若由P‘可以推出Q‘成立，就可以证明结论成立．下面来看一个例子．
例4 、已知，且
①
②
求证：。
分析：比较已知条件和结论，发现结论中没有出现角，因此第一步工作可以从已知条件中消去。观察已知条件的结构特点，发现其中蕴含数量关系，于是，由 ①2一2×② 得．把与结论相比较，发现角相同，但函数名称不同，于是尝试转化结论：统一函数名称，即把正切函数化为正（余）弦函数．把结论转化为,再与比较，发现只要把中的角的余弦转化为正弦，就能达到目的．
证明：因为，所以将 ① ② 代入，可得
. ③
另一方面，要证
，
即证 ，
即证
，
即证
，
即证 。
由于上式与③相同，于是问题得证。
（三）课堂练习：
1、课本P89页 练习1、2、3
2、补充练习：
（四）课堂小结：
综合法和分析法的特点。
（五）布置作业：
课本P91页 1、2、3。
数学：2.2.1《综合法和分析法》教案
第一课时 2.2.1 综合法和分析法（一）
教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.
教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.
教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.
教学过程：
一、复习准备：
1. 已知 “若，且，则”，试请此结论推广猜想.
（答案：若，且，则 ）
2. 已知，，求证：.
先完成证明 → 讨论：证明过程有什么特点？
二、讲授新课：
1. 教学例题：
① 出示例1：已知a, b, c是不全相等的正数，求证：a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) > 6abc.
分析：运用什么知识来解决？（基本不等式） → 板演证明过程（注意等号的处理）
→ 讨论：证明形式的特点
② 提出综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.
框图表示： 要点：顺推证法；由因导果.
③ 练习：已知a，b，c是全不相等的正实数，求证.
④ 出示例2：在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列. 求证：为△ABC等边三角形.
分析：从哪些已知，可以得到什么结论？ 如何转化三角形中边角关系？
→ 板演证明过程 → 讨论：证明过程的特点.
→ 小结：文字语言转化为符号语言；边角关系的转化；挖掘题中的隐含条件（内角和）
2. 练习：
为锐角，且，求证：. （提示：算）
② 已知 求证：
3. 小结：综合法是从已知的P出发，得到一系列的结论，直到最后的结论是Q. 运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题.
三、巩固练习：
1. 求证：对于任意角θ，. （教材P100 练习 1题）
（两人板演 → 订正 → 小结：运用三角公式进行三角变换、思维过程）
2. 的三个内角成等差数列，求证：.
3. 作业：教材P102 A组 2、3题.
第二课时 2.2.1 综合法和分析法（二）
教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.
教学重点：会用分析法证明问题；了解分析法的思考过程.
教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.
教学过程：
一、复习准备：
1. 提问：基本不等式的形式？
2. 讨论：如何证明基本不等式.
（讨论 → 板演 → 分析思维特点：从结论出发，一步步探求结论成立的充分条件）
二、讲授新课：
1. 教学例题：
① 出示例1：求证.
讨论：能用综合法证明吗？ → 如何从结论出发，寻找结论成立的充分条件？
→ 板演证明过程 （注意格式）
→ 再讨论：能用综合法证明吗？ → 比较：两种证法
② 提出分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.
框图表示： 要点：逆推证法；执果索因.
③ 练习：设x > 0，y > 0，证明不等式：.
先讨论方法 → 分别运用分析法、综合法证明.
④ 出示例2：见教材P97. 讨论：如何寻找证明思路？（从结论出发，逐步反推）
⑤ 出示例3：见教材P99. 讨论：如何寻找证明思路？（从结论与已知出发，逐步探求）
2. 练习：证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面（指横截面）的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大.
提示：设截面周长为l，则周长为l的圆的半径为，截面积为，周长为l的正方形边长为，截面积为，问题只需证：> .
3. 小结：分析法由要证明的结论Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知，直到所有的已知P都成立；
比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”(分析)，从“已知”推“可知”（综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径. （框图示意）
三、巩固练习：
1. 设a, b, c是的△ABC三边，S是三角形的面积，求证：.
略证：正弦、余弦定理代入得：，
即证：，即：，即证：（成立）.
2. 作业：教材P100 练习 2、3题.
第三课时 2.2.2 反证法
教学要求：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点.
教学重点：会用反证法证明问题；了解反证法的思考过程.
教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.
教学过程：
一、复习准备：
1. 讨论：三枚正面朝上的硬币，每次翻转2枚，你能使三枚反面都朝上吗？（原因：偶次）
2. 提出问题： 平面几何中，我们知道这样一个命题：“过在同一直线上的三点A、B、C不能作圆”. 讨论如何证明这个命题？
3. 给出证法：先假设可以作一个⊙O过A、B、C三点，
则O在AB的中垂线l上，O又在BC的中垂线m上，
即O是l与m的交点。
但 ∵A、B、C共线，∴l∥m(矛盾)
∴ 过在同一直线上的三点A、B、C不能作圆.
二、讲授新课：
1. 教学反证法概念及步骤：
① 练习：仿照以上方法，证明：如果a>b>0，那么
② 提出反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.
证明基本步骤：假设原命题的结论不成立 → 从假设出发，经推理论证得到矛盾 → 矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论成立
应用关键：在正确的推理下得出矛盾（与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等）.
方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实.
注：结合准备题分析以上知识.
2. 教学例题：
① 出示例1：求证圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.
分析：如何否定结论？ → 如何从假设出发进行推理？ → 得到怎样的矛盾？
与教材不同的证法：反设AB、CD被P平分，∵P不是圆心，连结OP，
则由垂径定理：OP(AB，OP(CD，则过P有两条直线与OP垂直（矛盾），∴不被P平分.
② 出示例2：求证是无理数. （ 同上分析 → 板演证明，提示：有理数可表示为）
证：假设是有理数，则不妨设（m,n为互质正整数），
从而：，，可见m是3的倍数.
设m=3p（p是正整数），则 ，可见n 也是3的倍数.
这样，m, n就不是互质的正整数（矛盾）. ∴不可能，∴是无理数.
③ 练习：如果为无理数，求证是无理数.
提示：假设为有理数，则可表示为（为整数），即.
由，则也是有理数，这与已知矛盾. ∴ 是无理数.
3. 小结：反证法是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确. 注意证明步骤和适应范围（“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征的问题）
三、巩固练习： 1. 练习：教材P102 1、2题 2. 作业：教材P102 A组4题.
§2.3 数学归纳法
一、教学目标
1．了解归纳法的意义，培养学生观察、归纳、发现的能力．
2．了解数学归纳法的原理，能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤．
3．抽象思维和概括能力进一步得到提高．
二、教学重点与难点
重点：借助具体实例了解数学归纳的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些与正整数n（n取无限多个值）有关的数学命题。
难点：1、学生不易理解数学归纳的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明；
2、运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。
三、教学过程
（一）创设情景
对于数列{an}，已知， 错误！不能通过编辑域代码创建对象。(n=1,2,…), 通过对n=1,2,3,4前4项的归纳，猜想其通项公式为 。这个猜想是否正确需要证明。
一般来说，与正整数n有关的命题，当n比较小时可以逐个验证，但当n较大时，验证就很麻烦。特别是n可取所有正整数时逐一验证是不可能的。因此，我们需要寻求一种方法：通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数都成立。
（二）研探新知
1、了解多米诺骨牌游戏。
可以看出，只要满足以下两条件，所有多米诺骨牌就都能倒下：
（1）第一块骨牌倒下；
（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。
思考：你认为条件（2）的作用是什么？
可以看出，条件（2）事实上给出了一个递推关系：
当第k块倒下时，相邻的第k+1块也倒下。
这样，要使所有的骨牌全部倒下，只要保证（1）（2）成立。
2、用多米诺骨牌原理解决数学问题。
思考：你认为证明数列的通过公式是错误！不能通过编辑域代码创建对象。 这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？
分析：
多米诺骨牌游戏原理
通项公式?????的证明方法
（1）第一块骨牌倒下。
（1）当n=1时a1=1，猜想成立
（2）若第k块倒下时，则相邻的第k+1块也倒下。
（2）若当n=k时猜想成立，即错误！不能通过编辑域代码创建对象。 ?，则当n=k+1时猜想也成立，即 。
根据（1）和? （2），可知不论有多少块骨牌，都能全部倒下。
根据（1）和（2），可知对任意的正整数n，猜想都成立。
3、数学归纳法的原理
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
（1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n0时命题成立；
（2）（归纳递推）假设n=k()时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立。
上述证明方法叫做数学归纳法
注意：（1）这两步步骤缺一不可。
（2）用数学归纳法证明命题时，难点和关键都在第二步，而在这一步主要在于合理运用归纳假设，结合已知条件和其他数学知识，证明“当n=k+1时命题成立”。
（3）数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都用数学归纳法证明，学习时要具体问题具体分析。
4、例题讲解
例1 课本P94
例2 课本P94
例3．用数学归纳法证明：1+3+5+…+(2n－1)=n2。
证明：(1)当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立.
(2)假设当n=k时，等式成立，就是1+3+5+…+(2k－1)=k2，
那么
1+3+5+…+(2k－1)+［2(k+1)－1］=k2+［2(k+1)－1］=k2+2k+1=(k+1)2。
即当n=k+1时等式也成立。
根据(1)和(2)，可知等式对任何n∈N *都成立。
（三）课堂练习：
1、用数学归纳法证明：1+2+3+…+n=错误！不能通过编辑域代码创建对象。。
2、课本P95练习1、2。
（四）小结 ：
数学归纳法的原理和步骤。
（五）布置作业：
课本P96习题A 1、（3）和2。
数学：2.3《数学归纳法》教案（新人教A版选修2-2）
第一课时 2.3 数学归纳法（一）
教学要求：了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写.
教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
教学难点：数学归纳法中递推思想的理解.
教学过程：
一、复习准备：
1. 问题1： 在数列中，，先算出a2，a3，a4的值，再推测通项an的公式. （过程：，，，由此得到：）
2. 问题2：，当n∈N时，是否都为质数？
过程：=41，=43，=47，=53，=61，=71，=83，=97，=113，=131，=151，…? =1 601．但是=1 681=412是合数
3. 问题3：多米诺骨牌游戏. 成功的两个条件：（1）第一张牌被推倒；（2）骨牌的排列，保证前一张牌倒则后一张牌也必定倒.
二、讲授新课：
1. 教学数学归纳法概念：
① 给出定义：归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法. 特点：由特殊→一般.
不完全归纳法：根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫不完全归纳法.
完全归纳法：把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法.
② 讨论：问题1中，如果n=k猜想成立，那么n=k+1是否成立？对所有的正整数n是否成立？
③ 提出数学归纳法两大步：（i）归纳奠基：证明当n取第一个值n0时命题成立；（ii）归纳递推：假设n=k（k≥n0， k∈N*）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.
原因：在基础和递推关系都成立时，可以递推出对所有不小于n0的正整数n0+1，n0+2，…，命题都成立. 关键：从假设n=k成立，证得n=k+1成立.
2. 教学例题：
出示例1：.
分析：第1步如何写？n=k的假设如何写？ 待证的目标式是什么？如何从假设出发？
小结：证n=k+1时，需从假设出发，对比目标，分析等式两边同增的项，朝目标进行变形.
② 练习：
求证：.
③ 出示例2：设a＝++…+ (n∈N*)，求证：a<(n＋1).
关键：a<(k＋1)+＝(k+1)+<(k+1)+(k+)＝(k+2)
小结：放缩法，对比目标发现放缩途径. 变式：求证a>n(n＋1)
3. 小结：书写时必须明确写出两个步骤与一个结论，注意“递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉”；从n=k到n=k+1时，变形方法有乘法公式、因式分解、添拆项、配方等.
三、巩固练习： 1. 练习：教材108 练习1、2题 2. 作业：教材108 B组1、2、3题.
第二课时 2.3 数学归纳法（二）
教学要求：了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写.
教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
教学难点：经历试值、猜想、归纳、证明的过程来解决问题.
教学过程：
一、复习准备：
1. 练习：已知，猜想的表达式，并给出证明？
过程：试值，，…，→ 猜想 → 用数学归纳法证明.
2. 提问：数学归纳法的基本步骤？
二、讲授新课：
1. 教学例题：
① 出示例1：已知数列，猜想的表达式，并证明.
分析：如何进行猜想？（试值→猜想） → 学生练习用数学归纳法证明
→ 讨论：如何直接求此题的？ （裂项相消法）
小结：探索性问题的解决过程（试值→猜想、归纳→证明）
② 练习：是否存在常数a、b、c使得等式对一切自然数n都成立，试证明你的结论.
解题要点：试值n=1,2,3， → 猜想a、b、c → 数学归纳法证明
2. 练习：
① 已知 ，考察；；之后，归纳出对也成立的类似不等式，并证明你的结论.
② （89年全国理科高考题）是否存在常数a、b、c，使得等式 （答案：a=3,b=11,c=10）
1对一切自然数n都成立？并证明你的结论
3. 小结：探索性问题的解决模式为“一试验→二归纳→三猜想→四证明”.
三、巩固练习：
1. 平面内有n个圆，任意两个圆都相交于两点，任何三个圆都不相交于同一点，求证这n个圆将平面分成f(n)=n2－n+2个部分.
2. 是否存在正整数m，使得f（n）=（2n+7）·3n+9对任意正整数n都能被m整除?若存在，求出最大的m值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由. （答案：m=36）
3. 试证明面值为3分和5分的邮票可支付任何的邮资.
证明：（1）当时，由可知命题成立；
（2）假设时，命题成立. 则
当时，由（1）及归纳假设，显然时成立.根据（1）和（2），可知命题成立.
小结：新的递推形式，即（1）验证 成立；（2）假设成立，并在此基础上,推出成立. 根据(1)和(2)，对一切自然数,命题都成立.
2. 作业：教材108 A组1、2题.
复数的概念
教学目标：
　　1．理解复数的有关概念以及符号表示；
　　2．掌握复数的代数形式和几何表示法，理解复平面、实轴、虚轴等概念的意义掌握复数集C与复平面内所有点成一一对应；
　　3．理解共轭复数的概念，了解共轭复数的几个简单性质．
教学重点：复数的有关概念,复数的表示和共轭复数的概念；
教学难点：复数概念的理解,复数与复平面上点一一对应关系的理解．
教学过程
一、引入
　　我们知道，对于实系数一元二次方程 ，当 时，没有实数根．我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？
二、授课
1．引入数i
　　我们引入一个新数i ，i 叫做虚数单位，并规定：
　　（1）i2= -1 ；
　　（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立．
根据前面规定，－1可以开平方，而且－1的平方根是 ．
　2．复数的概念
根据虚数单位i 的第（2）条性质，i 可以与实数b相乘，再与实数a相加．由于满足乘法交换律及加法交换律，从而可以把结果写成a+bi .
形如 的数，我们把它们叫做复数．
复数的代数形式、复数、虚数、纯虚数、实部、虚部.
　　全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C表示，显然有：
N* N Z Q R C．
数的分类
复数
3.相等复数
如果两个复数的实部和虚部分别相等，我们就说这两个复数相等.即：
a,b,c,d(R, 则a+bi=c+di(a=c且b=d
注意：两个复数中若有一个是虚数，则它们不能比较大小.
4．复数的几何表示法
　　任何一个复数 都可以由一个有序实数对(a,b) 唯一确定．而有序实数对(a,b) 与平面直角坐标系中的点是一一对应的．由此，可以建立复数集与平面直角坐标系中的点集之间的一一对应．
　　复平面、实轴、虚轴等概念，并结合实例对这些概念进行一一说明．
　　由此可知，复数集C和复平面内所有的点所组成的集会是—一对应的，即
这就是复数的几何意义．这时提醒学生注意复数 中的字母z用小写字母表示，点Z(a,b) 中的Z 用大写字母表示．
复数的向量表示.
　5．共轭复数
　　（1）当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，虚部不为0的两个共轭复数也叫做互为共轭虚数．
　　（2）复数z的共轭复数用 表示，即如果 ，那么 ．
三、例题
　　例1 实数 分别取什么值时，复数 是（1）实数（2）虚数（3）纯虚数。
　　例2 设 （ ）， ，当 取何值时，
　　（1） z1=z2；（2）
　　例3 设复数 和复平面的点Z（ a , b）对应， 、 必须满足什么条件，才能使点Z位于：（1）实轴上？（2）虚轴上？（3）上半平面（含实轴）？（4）左半平面（不含虚轴及原点）？
　　例4? 计算 ．
四、作业 同步练习

理科选修2-2导数、推理与复数
《导数的概念》教案说明
四川省南充高级中学 韩永强
本节课的设计以新课程的教学理念为指导，遵循“学生为主体，教师为主导，知识为主线，发展思维为主旨”的原则。以学生发展为本，让学生在经历数学知识再发现的过程中获取知识，发展思维，感悟数学。教学的设计充分考虑了以下几方面内容 ：
一、教学内容的数学本质
（1）导数的科学价值和应用价值
导数是微积分的核心概念之一，是从生产技术和自然科学的需要中产生的，它深刻揭示了函数变化的本质，其思想方法和基本理论在在天文、物理、工程技术中有着广泛的应用，而且在日常生活及经济领域也日渐显示出其重要的功能。
（2）知识的内在联系
在中学数学中，导数具有相当重要的地位和作用。 从横向看，导数在现行高中教材体系中处于一种特殊的地位。它是众多知识的交汇点，是解决函数、不等式、数列、几何等多章节相关问题的重要工具，它以更高的观点和更简捷的方法对中学数学的许多问题起到以简驭繁的处理。
从纵向看，导数是函数一章学习的延续和深化，也是对极限知识的发展，同时为后继研究导数的几何意义及应用打下必备的基础，具有承前启后的重要作用。
（3）数学思想方法的提炼
通过本课导数概念的形成过程，让学生掌握从具体到抽象，特殊到一般的思维方法；领悟极限思想和函数思想；提高类比归纳、抽象概括、联系与转化的思维能力．进一步体会数学的本质。
二、教学目标的确定
学情是确定教学目标的基础之一。导数概念建立在极限基础之上，无限逼近的思想超乎学生的直观经验，抽象度高；再者，本课所用教材没有给出严格的函数极限的定义。如果对教学目标没有准确的定位，教学的重心很可能被难以理解的极限所牵制。因此，教学中，兼顾数学理想与严谨的同时，也充分考虑学生的认知规律和可接受性原则，循序渐近，螺旋上升。
立足于学情，结合教学大纲的要求，本课从“知识与技能”“过程与方法”“情感、态度与价值观”三方面拟定了立体化的教学目标。以过程与方法为平台，以情感、态度的体验与价值观为依托，让数学知识在课堂中得以传承，能力得到发展。做到知识与能力并重，认知与情感相融。
三、教学诊断分析
导数的定义和用定义求导数的方法是本节的重点，教材后续内容在推导导数运算法则与某些导数公式时，都是以此为依据的。根据求物体瞬时速度的方法和思想进行迁移，并结合导数的定义学生不难掌握求导方法。但是学生对文字，符号，图形三种语言的相互转化仍有一定困难，特别是对符号语言的规范使用要加以强调，因此在教学中注重培养学生的数学交流能力。
对导数概念的理解是本课的难点。具体教学表明，难点又主要集中在对瞬时变化率中“瞬时”二字的理解上。教学中借助于多媒体直观演示，无限逼近的过程，帮助学生更好理解极限思想，扫清思维障碍，有效突破难点。
导数的定义中还包含了可导的概念，如果时，有极限，才有函数在点处可导，进而才能得到在点处的导数。那么“可导”和“导数”两个问题可结合起来，利用转化的思想与已有的极限知识相联系，将问题化归为考察一个关于自变量的函数当时极限是否存在以及极限是什么的问题。教学表明，一部份学生往往把需要判断的极限误认为是在处的极限，须重视。
导函数简称导数，教材前后两处出现“导数”定义，初学者易产生混淆。问题的实质就在于弄清“函数在一点处的导数”、“函数在开区间内的导数”与“导数”三者的区别与联系。教学中通过改编的例题，组织学生动脑思考，动手操作，相互交流，帮助学生理清概念间的关系。
适当的变式训练，有助于加深学生对概念内涵的理解。在练习与作业中分别设计了“设函数f（x）在x0处可导，则等于（ ）A. f′（x0）B.0
C.2 f′（x0） D.－2 f′（x0）”和“已知f（3）=2，则的值为（ ）（A）0（B）－4 （C）8（D）不存在”这样两个题，提高学生的思维和能力水平。
四、教法的特点以及预期效果
教学中充分发挥学生的主体和教师的主导作用。用新课程理念处理传统教材，以恰当的问题为纽带，给学生创设自主探究、合作交流的空间，指导学生类比探究形成导数概念，引导学生经历数学知识再发现的过程。因此采用了引导发现式教学法。
（1）教学设计上，把数学知识的“学术形态”转化为数学课堂的“教学形态”，返璞归真，从两个反应概念现实原型的具体问题出发，让学生像数学家那样去“想数学”，“经历”一遍发现、创新的过程，体现了以学生的发展为本，不是教教材而是用教材教。
（2）在概念的教学过程中，与一般设想不同。如一般设想是“重结果，轻过程”，常常是直接给出一个定义，几项注意后，就是大量变式训练。本课的设计上注重过程教学，提出问题、观察归纳、概括抽象，拓展概念让学生充分经历了具体到抽象，特殊到一般，感性到理性，直观到严谨的知识再发现过程，引导学生经历了一个完整的数学概念发生、发展的探究过程，让学生在参与中获取知识，发展思维，感悟数学。
（3）教学过程中，以三种不同数学语言的识别、理解、组织、转换为切入点，组织学生进行数学阅读，培养自主学习的能力。借助于多媒体，直观显示而引起平均速度的系列变化，让学生从“数”的角度领悟极限思想，通过割线变切线的动态过程，让学生从“形”的角度领悟极限思想。从而，更好地揭示导数的本质。
（4）教学中，对不同层次的学生，提出不同的教学要求，采取不同的教学方法进行情感激励。对学有困难的学生更多地给予帮助和肯定，以激发他们学习数学的兴趣和信心。根据不同学情，把可导与连续的关系，设计成弹性化的选作题，既不影响主体知识建构,又能使学有余力的学生得到进一步的发展， 尊重了学生的个体差异，让每位学生的数学才能都能获得较好的发展。
（5）教学中，努力以数学文化滋养课堂。让学生了解导数的科学价值、文化价值和基本思想，体会到数学的理性与严谨，激发起对数学知识的热爱，养成实事求是的科学态度。同时，培养学生正确认识量变与质变、运动与静止等辩证唯物主义观点，形成正确的数学观。
以上的教学设计，符合学生认知规律，促进了个性化学习，有利于教学目标的落实。
说课课题：导数的概念（第三课时）
教材：全日制普通高级中学教科书数学第三册（选修Ⅱ）
（人民教育出版社）
说课教师：四川省南充高级中学 韩永强
一、【教材分析】
1. 本节内容：
《导数的概念》这一小节分“曲线的切线”，“瞬时速度”，“导数的概念”，“导数的几何意义”四个部分展开，大约需要4个课时．第一、二课时学习“曲线的切线”，“瞬时速度”，今天说的是第三课时的内容导数概念的形成.
2. 导数在高中数学中的地位与作用：
导数作为微积分的核心概念之一，在高中数学中具有相当重要的地位和作用.
从横向看，导数处于一种特殊的地位．它是解决函数、不等式、数列、几何等多章节相关问题的重要工具，它以更高的观点和更简捷的方法简化中学数学的许多问题．
从纵向看，导数是对函数知识的深化，对极限知识的发展，同时为以后研究导数的几何意义及应用打下必备的基础，具有承前启后的重要作用．
二、【学情分析】
1. 有利因素：学生已较好地掌握了函数极限的知识，又刚刚学过曲线的切线、瞬时速度，并积累了大量的关于函数变化率的经验；另外，我班学生思维比较活跃，对数学新内容的学习，有相当的兴趣和积极性，这为本课的学习奠定了基础．
2. 不利因素：导数概念建立在极限基础之上，超乎学生的直观经验，抽象度高；再者，本课内容思维量大，对类比归纳，抽象概括，联系与转化的思维能力有较高的要求，学生学习起来有一定难度．
三、【目标分析】
1. 教学目标
（1）知识与技能目标：①理解导数的概念.②掌握用定义求导数的方法.
（2）过程与方法目标：通过导数概念的形成过程，让学生掌握从具体到抽象，特殊到一般的思维方法；领悟极限思想和函数思想；提高类比归纳、抽象概括、联系与转化的思维能力．
（3）情感、态度与价值观目标：
①通过合作与交流，让学生感受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨，激发学生对数学知识的热爱，养成实事求是的科学态度．
②培养学生正确认识量变与质变、运动与静止等辩证唯物主义观点，形成正确的数学观．
2. 教学重、难点
【确定依据】依据教学大纲的要求，结合本节内容和本班学生的实际
重点：导数的定义和用定义求导数的方法．
难点：对导数概念的理解．
【难点突破】本课设计上从瞬时速度、切线的斜率两个具体模型出发，由特殊到一般、从具
体到抽象利用类比归纳的思想学习导数概念；把新知的核心“可导”和“导数”两个问题结合起来，利用转化的思想与学生已有的极限知识相联系，将问题化归为考察一个关于自变量的函数当时极限是否存在以及极限是什么的问题.
四、【教学法分析】
1. 教法、学法：引导发现式教学法，类比探究式学习法
教学中遵循“学生为主体，教师为主导，知识为主线，发展思维为主旨”的“四主”原则．以恰当的问题为纽带，给学生创设自主探究、合作交流的空间，指导学生类比探究形成导数概念．引导学生经历数学知识再发现的过程，让学生在参与中获取知识，发展思维，感悟数学．
2. 教学手段：多媒体辅助教学
【设计意图】通过多媒体弥补传统教学的不足，增强教学效果的直观性，帮助学生更好地理解无限逼近思想，揭示导数本质．
五、【教学过程分析】
【确定依据】为更好落实教学目标, 把数学知识的“学术形态”转化为数学课堂的“教学形态”，，为学生创设探究空间,让学生充分经历、体验数学知识再发现的过程,从中获取知识,发展思维,感受探索的乐趣.
（一）教学环节

（二）教学过程
教学环节
内 容
师生活动
设计意图
复
习
引
入
提
出
问
题
【回顾1】
当运动员从10米高台跳水时，从腾空到进入水面的过程中，不同时刻的速度是不同的.假设t秒后运动员相对地面的高度为：，问在2秒时运动员的瞬时速度为多少？
【回顾2】
已知曲线C是函数的图象,求曲线上点P处的切线斜率.
【思考】对瞬时速度和和切线的斜率两个具体问题，解决方法上有什么共同之处？
学生相互交流探讨瞬时速度和和切线的斜率两个具体问题，解决方法上有什么共同之处.
针对新概念创设相应的学生熟悉的问题情景，让学生从概念的现实原型，体验、感受直观背景和概念间的关系，为学生主动建构新知提供自然的生长点.
类
比
探
索

形
成
概
念
①归纳共性 揭示本质
http://www.21cnjy.com/研究
对象
求解问题
求解方法
本质
思想
具体例子
物体运动规律
H=h(t)
物体在时
的瞬时速度
求时间
增量
求位移
增量
求平均
速度
求瞬时速度
平均速度
的极限
极限
思想
曲线
y=f(x)
曲线上P
点处切线的斜率
求横坐标
增量
求纵坐标
增量
求割线的
斜率
求切线的斜率
割线斜率
的极限
极限
思想
一般情形
函数
y=f(x)
函数在
处的变化率
？
？
？
？
？
？
【师生活动】将学生分成若干学习小组，以表格为载体为师生、生生互动搭起积极交流的探究平台.教师巡视，鼓励学生参与，对个别学有困难的小组加以指导.探究后，共同归纳得出：两个问题的解决在方法、本质、思想上都有相同之处.一个是“位移改变量与时间改变量之比”的极限，一个是“纵坐标改变量与横坐标改变量之比”的极限.如果舍去它们的具体含义，都可以概括为求平均变化率的极限.
【设计意图】给学生创设探究的平台，分析瞬时速度和切线的斜率两个具体问题，讨论解决这两个问题的方法、本质、思想上有什么共同之处，引导学生分析、观察、归纳，打通揭示事物本质的思维通道.
教学环节
内 容
师生活动
设计意图
类
比
探
索

形
成
概
念
②类比迁移 形成概念
【思考】考虑求一般函数y=f(x) 在点到+之间的平均变化率的极限问题，也就是怎样计算函数在点处的变化率？
引出导数定义后，回归问题情景，反思概念的“原型”解释“切线的斜率”、“物体的瞬时速度”的本质.
引导学生利用求瞬时速度的方法和思想类比探究，猜想得出函数在点处的变化率
=,并对猜想的合理性进行分析后，引出
定义1：（函数在一点处可导及其导数）
用具体到抽象，特殊到一般的思维方式，利用瞬时速度进行类比迁移，自然引出函数在一点处可导和导数的概念.
由具体到抽象再回到具体的过程，感知上升到了理性，强化了对概念的理解.

类
比
探
索

形
成
概
念
③剖析概念 加深理解
【探讨1】 怎样判断函数在一点是否可导？

判断函数在点处是否可导
判断极限 是否存在
【探讨2】导数是什么？
描述角度
本 质
文字语言
瞬时变化率
符号语言
图形语言
（切线斜率）
组织学生阅读“导数”定义，抓住定义中的关键词“可导”与“导数”交流探讨，然后通过师生互动挖掘这些概念之间的深层含义.
分析导数的本质后，同时简单提及导数产生的时代背景.
引导学生以数学语言（文字语言、符号语言 、图形语言）的理解、把握、运用为切入点去揭示概念的内涵与外延，提高学生数学阅读和自主学习的能力.
让学生感受数学文化的熏陶，了解导数的文化价值、科学价值和应用价值.
教学环 节
内 容
师生活动
设计意图
类
比
探
索

形
成
概
念
【探讨3】求导数的方法是什么？
【例1】求函数y=x2在点处的导数.
让学生类比瞬时速度的问题，根据导数定义归纳出求函数在点处导数的方法步骤：
（1）求函数的增量；
（2）求平均变化率；
（3）取极限，得导数.
学生动手解答，老师强调符号语言的规范使用，对诸如忘写括号的现象加以纠正.
用定义法求导数是本课的重点之一.有了可导这个逻辑基础，导数成为可导的自然结果，求导数的方法则是对导数概念的理解与应用.让学生积极主动参与，进行有意义的建构，有利于重点知识的掌握.
本题是教材上的一道例题.在学生建立起导数概念，明确用定义求导数的方法之后,进行强化训练, 渗透算法思想，加深对导数概念的理解，强化对重点知识的巩固.
引
申
拓
展
发
展
概
念
利用例1继续设问，函数在处可导，那么，，这些点也可导吗？从而引申拓展出定义2：（函数在开区间内可导）
【探讨1】函数在开区间内可导，那么对于每一个确定的值,都有唯一确定的导数值与之相对应，这样在开区间内存在一个映射吗？
【探讨2】存在的这个映射是否构成一个新的函数呢？若能，新函数的定义域和对应法则分别是什么呢？

师生互动，共同探讨归纳函数在开区间的每一点可导，每一点就有确定的唯一的导数.这样在开区间内构成一个特殊的映射，这里的映射是数集到数集的映射，就是函数，我们把这个新函数叫做在开区间内的导函数。它的定义域是
通过层层展开的探讨，激活学生知识思维的“最近发展区”，引导学生主动将新问题与原认知结构中函数的相关知识相联系，自然引入导函数概念，从而完成从函数在一点可导函数在开区间内可导函数在开区间内的导函数的两次拓展.
教学环 节
内 容
师生活动
设计意图
引
申
拓
展
发
展
概
念
【探讨3】怎样求新函数的解析式？
探讨后引出定义3：（函数在开区间内的导函数）
【例2】已知y=，求（1）y′;（2）y′|x=2.
开区间，对应法则是对开区间内每一点求导.运用函数思想，只要把求一点处的导数替换成，就可以求出导函数的解析式.
分学习小组让学生动脑思考，动手“操作”，相互交流。书面总结出两小问的区别与联系，选出代表作品用投影仪全班交流.完善后，屏幕显示形成共识：
【区别】
（1）函数在点处的导数，是在点处的变化率，是一个常数；
（2）函数的导数是对开区间内任意点而言，是在开区间内任意点的变化率，是一个函数.
【联系】一般而言，在处的导数就是导函数在=处的函数值，表示为，这也是求的一种方法.
本例共两个小问，第(1)小问是教材上的一道例题, 第(2)小问是补充题.两问都是求导数，但它们有本质上的区别！学生容易产生混淆.通过此题让学生辨清“函数在一点处的导数”、“函数在开区间内的导数”与“导数”三者的关系.
教学
环节
内 容
设计意图
练
习
反
馈
巩
固
概
念
练习：
1．已知y=x3－2x+1，求y′，y′|x=2.
2．设函数f(x)在x0处可导，则等于
A. f′(x0) B.0 C.2 f′(x0) D.－2 f′(x0)
3． 已知一个物体运动的位移S（m）与时间t（s）满足关系S（t）＝-2t2+5t
（1）求物体第5秒和第6秒的瞬时速度；
（2）求物体在t时刻的瞬时速度；
（3）求物体t时刻运动的加速度，并判断物体作什么运动？
设计练习1，巩固求导方法； 设计练习2，通过适当的变式训练，揭示概念的内涵，提高学生的模式识别的能力，培养学生思维的深刻性和灵活性；设计练习3，体验实际应用，展示概念的外延，让学生认识到数学来源于生活并应用于生活.通过练习，反馈学生对知识技能的掌握情况，以便及时调节教学，更好的达成教学目标.
小
结
整
理
形
成
系
统

①知识层面 ：
②方法层面：用定义求导数的三个步骤
③思想层面：极限思想、函数思想、类比思想、转化思想
④应用层面：举出生活中与导数有关的实例（涉及变化率问题的问题可以考虑用导数解决）.
引导学生从知识、方法、思想和应用四个层面进行小结，理清知识结构，提炼数学方法和领悟数学思想，培养应用意识.
分
层
作
业

深
化
概
念
必做题：1.教材习题3.1 1、2、3、4、5
2. 已知f(3)=2，则的值为（ ）
（A）0 （B）－4 （C）8 （D）不存在
3.已知曲线C是函数的图象
（1）求点A(1,3)处的切线的斜率
（2）求函数在x=1处的导数
选做题： 1.有条件的同学上网查阅有关微积分产生的时代背景和历史意义的资料并交流讨论.
2.函数=|x|在x=0处是否可导？
3.函数y=f(x)在x=x0处可导是它在x=x0处连续的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条 D.既不充分也不必要条件
弹性的分层作业，照顾到各种层次的学生.补充的必做3，为下节课研究导数的几何意义打下伏笔.可导与连续的关系，设计成选作题，既不影响主体知识建构,又能使学有余力的学生得到进一步的发展.利用网络，便于学生开展自主学习，拓展学习方式和平台.
（三）板书设计（板书附后）
【设计意图】本课使用了电脑投影屏幕，黑板上的板书保留勾勒本课知识发展的主要线索，呈现完整的知识结构体系，用彩色粉笔突出重点，强化学生对新信息的纳入，同时对新学的符号语言的规范使用进行示范.
板书设计：

六、【教学反思】
一个概念的形成是螺旋式上升的，对新概念的抽象不仅是对结果的抽象，更是对方法和过程的抽象.本课设计上，把数学知识的“学术形态”转化为数学课堂的“教学形态”，返璞归真，从两个反应概念现实原型的具体问题出发，引出函数在一点处的导数再到开区间内的导函数，引导学生经历了一个完整的数学概念发生、发展的探究过程.提出问题、观察归纳、概括抽象，拓展概念让学生充分经历了具体到抽象，特殊到一般，感性到理性，直观到严谨的知识再发现过程，教师作为学生学习的组织者、引导者、合作者创设机会和空间，激活学生思维的最近发展区，倡导学生积极参与，自主探究，发现知识，培养能力.把可导与连续的关系，设计成弹性化的选作题，既不影响主体知识建构,又能使学有余力的学生得到进一步的发展.以上，体现了以学生的发展为本，不是教教材而是用教材教；教学中不是重结论，而是重过程和方法；不是采用接受式的学习方式，而是采用探究、交流的方式；不是统一要求，而是因材施教尊重个体差异.这样的设计符合学生认知规律，促进了个性化学习，更好地实现了教学目标.
§1.1.1变化率问题
教学目标
1．理解平均变化率的概念；
2．了解平均变化率的几何意义；
3．会求函数在某点处附近的平均变化率
教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；
教学难点：平均变化率的概念．
教学过程：
一．创设情景
为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：
一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;
二、求曲线的切线;
三、求已知函数的最大值与最小值;
四、求长度、面积、体积和重心等。
导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。
导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度．
二．新课讲授
（一）问题提出
问题1 气球膨胀率
我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?
气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是
如果将半径r表示为体积V的函数,那么
分析: ，
当V从0增加到1时,气球半径增加了
气球的平均膨胀率为
当V从1增加到2时,气球半径增加了
气球的平均膨胀率为
可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．
思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?
问题2 高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?
思考计算：和的平均速度
在这段时间里，；
在这段时间里，
探究：计算运动员在这段时间里的平均速度，并思考以下问题：
⑴运动员在这段时间内使静止的吗？
⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，，
所以，
虽然运动员在这段时间里的平均速度为，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．
（二）平均变化率概念:
1．上述问题中的变化率可用式子 表示, 称为函数f (x)从x1到x2的平均变化率
2．若设, (这里看作是对于x1的一个“增量”可用x1+代替x2,同样)
则平均变化率为
思考：观察函数f(x)的图象
平均变化率表示什么?

直线AB的斜率
三．典例分析
例1．已知函数f(x)=的图象上的一点及临近一点,则 ．
解：，
∴
求在附近的平均变化率。
解：，所以
所以在附近的平均变化率为
四．课堂练习
1．质点运动规律为，则在时间中相应的平均速度为 ．
2.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率.
3.过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q (1+Δx,1+Δy)作曲线的割线，求出当Δx=0.1时割线的斜率.
五．回顾总结
1．平均变化率的概念
2．函数在某点处附近的平均变化率
六．布置作业
课件15张PPT。1.1.1 变化率问题问题1 气球膨胀率 在吹气球的过程中, 可发现,随着气球内空气容量的增加, 气球的半径增加得越来越慢. 从数学的角度, 如何描述这种现象呢? 气球的体积V(单位:L)与半径r (单位:dm)之间的函数关系是若将半径 r 表示为体积V的函数, 那么当空气容量V从0L增加到1L , 气球半径增加了气球的平均膨胀率为当空气容量V从1L增加到2 L , 气球半径增加了气球的平均膨胀率为 随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小思考?当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?问题2 高台跳水 在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度 h (单位:m)与起跳后的时间 t (单位:s) 存在函数关系 如果用运动员在某段时间内的平均速度 描述其运动状态, 那么:在0 ≤ t ≤0.5这段时间里,在1≤ t ≤2这段时间里,平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。 计算运动员在 这段时间里的平均速度,并思考下面的问题:(1) 运动员在这段时间里是静止的吗?
(2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?探 究:现有南京市某年3月和4月某天日最高气温记载.观察：3月18日到4月18日与4月18日到4月20日的温度变化，用曲线图表示为：（注： 3月18日为第一天）问题3：问题1：“气温陡增”是一句生活用语，它的数学意义
是什么？（形与数两方面）问题2：如何量化（数学化）曲线上升的陡峭程度？（1 ）曲线上BC之间一段几乎成了“直线”，由此联想如何量化直线的倾斜程度。（2）由点B上升到C点，必须考察yC—yB的大小，但仅仅注意
yC—yB的大小能否精确量化BC段陡峭程度，为什么？在考察yC—yB的同时必须考察xC—xB，函数的本质在于一个
量的改变本身就隐含着这种改变必定相对于另一个量的改变。(3)我们用比值 近似地量化B、C这一段曲线的陡峭程度，并称该比值为【32，34】上的平均变化率(4)分别计算气温在区间【1，32】 【32，34】的平均变化率现在回答问题1：“气温陡增”是一句生活用语，它的
数学意义是什么？（形与数两方面）定义:平均变化率: 式子 称为函数 f (x)从x1到 x2的平均变化率.令△x = x2 – x1 , △ y = f (x2) – f (x1) ,则理解：
1，式子中△x 、△ y 的值可正、可负，但
的△x值不能为0， △ y 的值可以为0
2，若函数f (x)为常函数时， △ y =0
3, 变式思考:观察函数f(x)的图象
平均变化率
表示什么?OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1f(x2)-f(x1)直线AB的斜率练习: 1.甲用5年时间挣到10万元, 乙用5个月时间挣到2万元, 如何比较和评价甲、乙两人的经营成果? 2.已知函数 f (x) = 2 x +1, g (x) = – 2 x, 分别计算在下列区间上 f (x) 及 g (x) 的平均变化率.(1) [ –3 , –1] ; (2) [ 0 , 5 ] .做两个题吧!1 、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则Δy/Δx=( )
A 、 3 B、 3Δx-(Δx)2
C 、 3-(Δx)2 D 、3-Δx D2、求y=x2在x=x0附近的平均变化率.
2x0+Δx 小结：1.函数的平均变化率2.求函数的平均变化率的步骤:
(1)求函数的增量Δf=Δy=f(x2)-f(x1);
(2)计算平均变化率
§1.1.2导数的概念
教学目标
1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；
2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；
3．会求函数在某点的导数
教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念；
教学难点：导数的概念．
教学过程：
一．创设情景
（一）平均变化率
（二）探究：计算运动员在这段时间里的平均速度，并思考以下问题：
⑴运动员在这段时间内使静止的吗？
⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知， ，
所以，
虽然运动员在这段时间里的平均速度为，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．
二．新课讲授
1．瞬时速度
我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，时的瞬时速度是多少？考察附近的情况：
思考：当趋近于0时，平均速度有什么样的变化趋势？
结论：当趋近于0时，即无论从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度都趋近于一个确定的值．
从物理的角度看，时间间隔无限变小时，平均速度就无限趋近于史的瞬时速度，因此，运动员在时的瞬时速度是
为了表述方便，我们用
表示“当，趋近于0时，平均速度趋近于定值”
小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。
2 导数的概念
从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:
我们称它为函数在出的导数，记作或，即

说明：（1）导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率
（2），当时，，所以
三．典例分析
例1．（1）求函数y=3x2在x=1处的导数.
分析：先求Δf=Δy=f(１＋Δx)-f(１) =6Δx+ (Δx)2
　　再求再求
解：法一（略）
法二：
（2）求函数f(x)=在附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．
解：

例2．（课本例1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第时，原油的温度（单位：）为，计算第时和第时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．
解：在第时和第时，原油温度的瞬时变化率就是和
根据导数定义，
所以
同理可得:
在第时和第时，原油温度的瞬时变化率分别为和5，说明在附近，原油温度大约以的速率下降，在第附近，原油温度大约以的速率上升．
注：一般地，反映了原油温度在时刻附近的变化情况．
四．课堂练习
1．质点运动规律为，求质点在的瞬时速度为．
2．求曲线y=f(x)=x3在时的导数．
3．例2中，计算第时和第时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．
五．回顾总结
1．瞬时速度、瞬时变化率的概念
2．导数的概念
六．布置作业
课件11张PPT。1.1.2 导数的概念在高台跳水运动中,平均速度不一定能反映运动员在某一时刻的运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.又如何求
瞬时速度呢?
平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?求：从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度当△t = – 0.01时,当△t = 0.01时,当△t = – 0.001时,当△t =0.001时,当△t = –0.0001时,当△t =0.0001时,△t = – 0.00001,△t = 0.00001,△t = – 0.000001,△t =0.000001,………… 平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢? 当△ t 趋近于0时, 即无论 t 从小于2的一边, 还是从大于2的一边趋近于2时, 平均速度都趋近与一个确定的值 –13.1. 从物理的角度看, 时间间隔 |△t |无限变小时, 平均速度 就无限趋近于 t = 2时的瞬时速度. 因此, 运动员在 t = 2 时的瞬时速度是 –13.1.表示“当t =2, △t趋近于0时, 平均速度 趋近于确定值– 13.1”.从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度探 究:1.运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示?
2.函数f (x)在 x = x0 处的瞬时变化率怎样表示?定义:函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作或 , 即定义:函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作或 , 即由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的导数的一般方法:求函数的改变量
2. 求平均变化率
3. 求值一差、二化、三极限 例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. 如果第 x h时, 原油的温度(单位: )为 f (x) = x2 – 7x+15 ( 0≤x≤8 ) . 计算第2h和第6h, 原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义.解: 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率就是和根据导数的定义,所以,同理可得 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率分别为–3和5. 它说明在第2h附近, 原油温度大约以3 / h的速率下降; 在第6h附近,原油温度大约以5 / h的速率上升. 例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. 如果第 x h时, 原油的温度(单位: )为 f (x) = x2 – 7x+15 ( 0≤x≤8 ) . 计算第2h和第6h, 原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义. 练习: 计算第3h和第5h时原油的瞬时变化率, 并说明它们的意义.课堂练习:
如果质点A按规律 则在t=3s
时的瞬时速度为
A.6 B.18 C.54 D.81练习：§1.1.3导数的几何意义
教学目标
1．了解平均变化率与割线斜率之间的关系；
2．理解曲线的切线的概念；
3．通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题；
教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义；
教学难点：导数的几何意义．
教学过程：
一．创设情景
（一）平均变化率、割线的斜率
（二）瞬时速度、导数
我们知道，导数表示函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率，反映了函数y=f(x)在x=x0附近的变化情况，导数的几何意义是什么呢？
二．新课讲授
（一）曲线的切线及切线的斜率：如图3.1-2，当沿着曲线趋近于点时，割线的变化趋势是什么？
我们发现,当点沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线.
问题：⑴割线的斜率与切线PT的斜率有什么关系？
⑵切线PT的斜率为多少？
容易知道，割线的斜率是,当点沿着曲线无限接近点P时，无限趋近于切线PT的斜率，即
说明：（1）设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.
这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;
②切线斜率的本质—函数在处的导数.
（2）曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.
（二）导数的几何意义：
函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点处的切线的斜率，
即
说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:
①求出P点的坐标;
②求出函数在点处的变化率 ，得到曲线在点的切线的斜率；
③利用点斜式求切线方程.
（二）导函数：
由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当时, 是一个确定的数，那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.记作：或，
即:
注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数．
（三）函数在点处的导数、导函数、导数 之间的区别与联系。
1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。
2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的， 就是函数f(x)的导函数
3）函数在点处的导数就是导函数在处的函数值，这也是 求函数在点处的导数的方法之一。
三．典例分析
例1:（1）求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
（2）求函数y=3x2在点处的导数.
解：（1）,
所以，所求切线的斜率为2，因此，所求的切线方程为即
（2）因为
所以，所求切线的斜率为6，因此，所求的切线方程为即
（2）求函数f(x)=在附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．
解：

例2．（课本例2）如图3.1-3，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数
，根据图像，请描述、比较曲线在、、附近的变化情况．
解：我们用曲线在、、处的切线，刻画曲线在上述三个时刻附近的变化情况．
当时，曲线在处的切线平行于轴，所以，在附近曲线比较平坦，几乎没有升降．
当时，曲线在处的切线的斜率，所以，在附近曲线下降，即函数在附近单调递减．
当时，曲线在处的切线的斜率，所以，在附近曲线下降，即函数在附近单调递减．
从图3.1-3可以看出，直线的倾斜程度小于直线的倾斜程度，这说明曲线在附近比在附近下降的缓慢．
例3．（课本例3）如图3.1-4，它表示人体血管中药物浓度(单位：)随时间（单位：）变化的图象．根据图像，估计时，血管中药物浓度的瞬时变化率（精确到）．
解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度在此时刻的导数，从图像上看，它表示曲线在此点处的切线的斜率．
如图3.1-4，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值．
作处的切线，并在切线上去两点，如，，则它的斜率为：
所以
下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值：
0.2
0.4
0. 6
0.8
药物浓度瞬时变化率
0. 4
0
-0.7
-1.4
四．课堂练习
1．求曲线y=f(x)=x3在点处的切线；
2．求曲线在点处的切线．
五．回顾总结
1．曲线的切线及切线的斜率；
2．导数的几何意义
六．布置作业
课件17张PPT。1.1.3导数的几何意义先来复习导数的概念 定义：设函数y=f(x)在点x0处及其附近有定义,当自变量x在点x0处有改变量Δx时函数有相应的改变量Δy=f(x0+ Δx)- f(x0).如果当Δx?0 时,Δy/Δx的极限存在,这个极限就叫做函数f(x)在点x0处的导数(或变化率)记作 即:
下面来看导数的几何意义: 如图,曲线C是函数y=f(x)
的图象,P(x0,y0)是曲线C上的
任意一点,Q(x0+Δx,y0+Δy)
为P邻近一点,PQ为C的割线,
PM//x轴,QM//y轴,β为PQ的
倾斜角.斜率!PQ割线切线T请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P逐渐转动的情况. 我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线. 设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.即: 这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数.初中平面几何中圆的切线的定义：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切。这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点。割线趋近于确定的位置的直线定义为切线.曲线与直线相切，并不一定只有一个公共点。因此,切线方程为y-2=2(x-1),
即y=2x.求曲线在某点处的切线方程
的基本步骤:先利用切线斜率
的定义求出切线的斜率,然后
利用点斜式求切线方程.练习:如图已知曲线 ,求:
(1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程.即点P处的切线的斜率等于4. (2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.（1）求出函数在点x0处的变化率 ，得到曲线
在点(x0,f(x0))的切线的斜率。（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即归纳:求切线方程的步骤 无限逼近的极限思想是建立导数概念、用导数定义求 函数的导数的基本思想，丢掉极限思想就无法理解导 数概念。
作业:2.《变化率与导数》练习卷
姓名 班级 学号
一、选择题
1、在平均变化率的定义中，自变量的增量是（ ）
A． B． C． D．
2、设函数，当自变量由改变到时，函数的改变量是（ ）
A． B．
C． D．
3、已知函数的图象上一点及附近一点，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．向高为的水瓶中注水，注满为止，如果注水量与水深的函数关系如图所示，那么水瓶的形状是（　　）

5、如果质点按规律运动，则在一小段时间中相应的平均速度是（ ）
A． B． C． D．
6、如果质点按规律运动，则在时的瞬时速度是（ ）
A． B． C． D．
7、在中，不可能（ ）
A．大于 B．小于 C．等于 D．大于或小于
8、曲线在处的切线方程是（ ）
A． B． C． D．
9、函数在处的切线方程是（ ）
A． B． C． D．
10、曲线在点处切线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
11、一质点运动的方程为，则在一段时间内相应的平均速度是（ ）
A． B． C． D．
12、函数在处的导数的几何意义是（ ）
A．在点处的斜率
B．在点处的切线与轴所成夹角的正切值
C．曲线在点处切线的斜率
D．点与点连线的斜率
二、填空题
13、已知曲线，则过点的切线方程是____________________．
14、函数在处的导数是___________．
15、已知，从秒到秒的平均速度是______________．
16、已知函数，当时，__________．
三、解答题
17、已知抛物线方程为，
（1）求 。（2）求过抛物线上一点P的切线方程。
§1.1 变化率与导数学案
§1.1.1 变化率问题
学习目标：
1.理解平均变化率的概念;
2.了解平均变化率的几何意义;
3.会求函数在某点处附近的平均变化率.
教学重点：
平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率.
教学难点：
平均变化率的概念.
教学过程：
一、学习背景
为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象,在数学中引入了函数,随着对函数的研究,产生了微积分,微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关:
一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;
二、求曲线的切线;
三、求已知函数的最大值与最小值;
四、求长度、面积、体积和重心等.
导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效的工具.
导数研究的问题即变化率问题:研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度.
二、新课学习
(一)问题提出
问题1 气球膨胀率
我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?
分析： (1)当从增加到时,气球半径增加了
气球的平均膨胀率为
(2)当从增加到时,气球半径增加了
气球的平均膨胀率为
可以看出：
思考: 当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?
问题2 高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度(单位:)与起跳后的时间(单位:)存在函数关系.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?
思考计算: 和的平均速度
探究: 计算运动员在这段时间里的平均速度,并思考以下问题:(1)运动员在这段时间内使静止的吗？
(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
(二)平均变化率概念
1.上述问题中的变化率可用式子表示,称为函数从到的平均变化率.
2.若设, (这里看作是对于的一个“增量”可用代替,同样)
则平均变化率为
思考: 观察函数的图象
平均变化率表示什么?
三、典例分析
例1 已知函数的图象上的一点及
临近一点则 .
解:
例2 求在附近的平均变化率.
解:

四、课堂练习
1.质点运动规律为,则在时间中相应的平均速度为 .
2.物体按照的规律作直线运动,求在附近的平均变化率.
3.过曲线上两点和作曲线的割线,
求出当时割线的斜率.
五、课堂反馈
设函数，当自变量由改变到时，函数的改变量为（　　）
A　　　B　　　C　　D　
一质点运动的方程为，则在一段时间内的平均速度为（　　）
A　－4　　B　－8　　C　6　D　－6
将半径为R的球加热，若球的半径增加，则球的表面积增加等于（　　）
A　　B　　　C　　D　
在曲线的图象上取一点（1,2）及附近一点，则为（　　）
A　　　B　　　C　　　D　
在高台跳水运动中，若运动员离水面的高度h（单位：m）与起跳后时间t（单位：s）的函数关系是，则下列说法不正确的是（　　　）
A在这段时间里，平均速度是
B　在这段时间里，平均速度是
C运动员在时间段内，上升的速度越来越慢
D运动员在内的平均速度比在的平均速度小
6．函数的平均变化率的物理意义是指把看成物体运动方程时，在区间内的　　　　　　　　　　
7．函数的平均变化率的几何意义是指函数图象上两点、
连线的　　　　　　　
8．函数在处有增量，则在到上的平均变化率是　　　　　　　　　
9．正弦函数在区间和的平均变化率哪一个较大？　　　　　　　
10．甲、乙两人跑步路程与时间关系以及百米赛跑路程与时间关系分别如图（1）（2）所示，试问：（1）甲、乙两人哪一个跑得较快？（2）甲、乙两人百米赛跑，问接近终点时，谁跑得较快？
11．一水库的蓄水量与时间关系如图所示，试指出哪一段时间（以两个月计）蓄水效果最好？哪一段时间蓄水效果最差？
12．在受到制动后的t秒内一个飞轮上一点P旋转过的角度（单位：孤度）由函数（单位：秒）给出
（1）求t＝2秒时，P点转过的角度
（2）求在时间段内P点转过的平均角速度，其中①，②③
1.1.2 导数的概念
学习目标：
1.了解瞬时速度、瞬时变化率的概念;
2.理解导数的概念,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵;
3.会求函数在某点的导数.
教学重点：
瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念.
教学难点：
导数的概念.
学习过程：
一、创设情景
(一)平均变化率：
(二)探究
探究: 计算运动员在这段时间里的平均速度,并思考以下问题:
(1)运动员在这段时间内使静止的吗？
(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
探究过程:
二、学习新知
1.瞬时速度
我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度,那么,如何求运动员的瞬时速度呢？比如,时的瞬时速度是多少？考察附近的情况:
思考: 当趋近于时,平均速度有什么样的变化趋势？
结论:
小结:
2.导数的概念
从函数在处的瞬时变化率是:
我们称它为函数在出的导数,记作或
即
说明: (1)导数即为函数在处的瞬时变化率;
(2),当时,,所以.
三、典例分析
例1 (1)求函数在处的导数.
(2)求函数在附近的平均变化率,并求出该点处的导数.
分析: 先求,再求,最后求.
解: (1)

(2)

例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热,如果第时,原油的温度(单位:)为,计算第时和第时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.
解:
注: 一般地,反映了原油温度在时刻附近的变化情况.
四、课堂练习
1.质点运动规律为,求质点在的瞬时速度为.
2.求曲线在时的导数.
3.例2中,计算第时和第时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.
五、课堂反馈
1．自变量由变到时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数（ ）
A 在区间上的平均变化率 B 在处的变化率
C 在处的变化率 D 在区间上的导数
2．下列各式中正确的是（ ）
A B
C D
3．设，若，则的值（ ）
A 2 B . －2
C 3 D －3
4．任一做直线运动的物体，其位移与时间的关系是，则物体的初速度是（ ）
A 0 B 3
C －2 D
5．函数， 在处的导数是
6．，当时 ，
7．设圆的面积为A，半径为，求面积A关于半径的变化率。
8．（1）已知在处的导数为,求及的值。
（2）若,求的值.
9．枪弹在枪筒中运动可以看作匀速运动，如果它的加速度是，枪弹从枪口，射出的时间为，求枪弹射出枪口时的瞬时速度。
1.1.3 导数的几何意义
学习目标：
1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系;
2.理解曲线的切线的概念;
3.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义,并会用导数的几何意义解题.
教学重点：
曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义.
教学难点：
导数的几何意义.
学习过程：
一、创设情景
(一)平均变化率、割线的斜率
(二)瞬时速度、导数
我们知道,导数表示函数在处的瞬时变化率,反映了函数在附近的变化情况,导数的几何意义是什么呢？
二、学习新知
(一)曲线的切线及切线的斜率
如图,当沿着曲线趋近于点时,割线的变化趋势是什么？
我们发现:
问题: (1)割线的斜率与切线的斜率有什么关系？
(2)切线的斜率为多少？
说明: (1)设切线的倾斜角为,
那么当时,割线的斜率,称为曲线在点处的切线的斜率.
这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;
②切线斜率的本质—函数在处的导数.
(2)曲线在某点处的切线:
1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多.
(二)导数的几何意义
函数在处的导数等于在该点处的切线的斜率,
即
说明: 求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:
①求出点的坐标;
②求出函数在点处的变化率得到曲线在点的切线的斜率;
③利用点斜式求切线方程.
(三)导函数
由函数在处求导数的过程可以看到,当时,是一个确定的数,那么,当变化时,便是的一个函数,我们叫它为的导函数.
记作:或,即.
注: 在不致发生混淆时,导函数也简称导数.
(四)函数在点处的导数、导函数、导数之间的区别与联系
(1)函数在一点处的导数,就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限,它是一个常数,不是变数.
(2)函数的导数,是指某一区间内任意点而言的,就是函数的导函数.
(3)函数在点处的导数就是导函数在处的函数值,这也是求函数在点处的导数的方法之一.
三、典例分析
例1 (1)求曲线在点处的切线方程.
(2)求函数在点处的导数.
解:
例2 如图3.1-3,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数,根据图像,请描述、比较曲线在、、附近的变化情况.
解:
例3 如图3.1-4,它表示人体血管中药物浓度(单位:)随时间(单位:)变化的图象.根据图像,估计时,血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到).
解: 下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值:
0.2
0.4
0.6
0.8
药物浓度瞬时变化率
0.4
0
-0.7
-1.4
四、课堂练习
1.求曲线在点处的切线.
2.求曲线在点处的切线.
五、课堂反馈
1．曲线在处的（ ）
A 切线斜率为1 B 切线方程为 C 没有切线 D 切线方程为
2．已知曲线上的一点A（2，8），则点A处的切线斜率为（ ）
A 4 B 16 C 8 D 2
3．函数在处的导数的几何意义是（ ）
A 在点处的函数值
B 在点处的切线与轴所夹锐角的正切值
C 曲线在点处的切线的斜率
D 点与点（0，0）连线的斜率
4．已知曲线上过点（2，8）的切线方程为，则实数的值为（ ）
A －1 B 1 C －2 D 2
5．若，则＝（ ）
A －3 B －6 C －9 D －12
6．设为可导函数，且满足条件，则曲线在点
（1，1）处的切线的斜率为（ ）
A 2 B －1 C D －2
7． 已知曲线上的两点A（2，3），，当时，割线AB的斜率是__________，当时，割线AB的斜率是__________，曲线在点A处的切线方程是________________________。
8．．如果函数在处的切线的倾斜角是钝角，那么函数在附近的变化情况是__________________。
9．在曲线上过哪一点的切线，（1）平行于直线；
（2）垂直于直线；（3）与轴成的倾斜角；
（4）求过点R（1，－3）与曲线相切的直线。
§1.2.1几个常用函数的导数
教学目标：
1．使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数、、、的导数公式；
2．掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数．
教学重点：四种常见函数、、、的导数公式及应用
教学难点： 四种常见函数、、、的导数公式
教学过程：
一．创设情景
我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数，如何求它的导数呢？
由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数．
二．新课讲授
1．函数的导数
根据导数定义，因为
所以
函数
导数
表示函数图像（图3.2-1）上每一点处的切线的斜率都为0．若表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态．
2．函数的导数
因为
所以
函数
导数
表示函数图像（图3.2-2）上每一点处的切线的斜率都为1．若表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．
3．函数的导数
因为
所以
函数
导数
表示函数图像（图3.2-3）上点处的切线的斜率都为，说明随着的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当时，随着的增加，函数减少得越来越慢；当时，随着的增加，函数增加得越来越快．若表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体做变速运动，它在时刻的瞬时速度为．
4．函数的导数
因为
所以
函数
导数
（2）推广：若，则
三．课堂练习
1．课本P13探究1
2．课本P13探究2
4．求函数的导数
四．回顾总结
函数
导数
五．布置作业
　　
课件10张PPT。 1.2.1几种常见
函数的导数一、复习1.解析几何中,过曲线某点的切线的斜率的精确描述与
求值;物理学中,物体运动过程中,在某时刻的瞬时速
度的精确描述与求值等,都是极限思想得到本质相同
的数学表达式,将它们抽象归纳为一个统一的概念和
公式——导数,导数源于实践,又服务于实践.2.求函数的导数的方法是:说明:上面的方法中把x换x0即为求函数在点x0处的 导数.
说明:上面的方法中把x换x0即为求函数在点x0处的
导数. 3.函数f(x)在点x0处的导数 就是导函数 在x=
x0处的函数值,即 .这也是求函数在点x0
处的导数的方法之一。 4.函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y=
f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率.5.求切线方程的步骤：（1）求出函数在点x0处的变化率 ，得到曲线
在点(x0,f(x0))的切线的斜率。（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即二、几种常见函数的导数根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式.公式1: .1) 函数y=f(x)=c的导数.请同学们求下列函数的导数:表示y=x图象上每一点处的切线斜率都为1这又说明什么?公式2: . 请注意公式中的条件是 ,但根据我们所掌握的知识,只能就 的情况加以证明.这个公式称为幂函数的导数公式.事实上n可以是任意实数. 三、看几个例子:例1.已知P（-1，1），Q（2，4）是曲线y=x2上的两点，求与直线PQ平行的曲线y=x2的切线方程。2）四、小结与作业2.能结合其几何意义解决一些与切点、切线斜率有关的较为综合性问题.1.会求常用函数
的导数.其中:公式1: .五、练习、作业:·求曲线y=x2在点(1,1)处的切线与x轴、直线x=2所围城的三角形的面积。
1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
教学目标：
1．熟练掌握基本初等函数的导数公式；
2．掌握导数的四则运算法则；
3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。
教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则
教学难点： 基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用
教学过程：
一．创设情景
函数
导数
四种常见函数、、、的导数公式及应用
二．新课讲授
（一）基本初等函数的导数公式表
函数
导数
（二）导数的运算法则
导数运算法则
1．
2．
3．
（2）推论：
（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）
三．典例分析
例1．假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为，物价（单位：元）与时间（单位：年）有如下函数关系，其中为时的物价．假定某种商品的，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？
解：根据基本初等函数导数公式表，有
所以（元/年）
因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨．
例2．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．
（1）
（2）y ＝；
（3）y ＝x · sin x · ln x；
（4）y ＝；
（5）y ＝．
（6）y ＝（2 x2－5 x ＋1）ex
（7） y ＝
【点评】
① 求导数是在定义域内实行的．② 求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心．
例3日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为时所需费用（单位：元）为
求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1） （2）
解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数．
因为，所以，纯净度为时，费用的瞬时变化率是52.84元/吨．
因为，所以，纯净度为时，费用的瞬时变化率是1321元/吨．
函数在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢．由上述计算可知，．它表示纯净度为左右时净化费用的瞬时变化率，大约是纯净度为左右时净化费用的瞬时变化率的25倍．这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快．
四．课堂练习
1．课本练习
2．已知曲线C：y ＝3 x 4－2 x3－9 x2＋4，求曲线C上横坐标为1的点的切线方程；
（y ＝－12 x ＋8）
五．回顾总结
（1）基本初等函数的导数公式表
（2）导数的运算法则
六．布置作业
§1.2.2复合函数的求导法则
教学目标 理解并掌握复合函数的求导法则．
教学重点 复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积．
教学难点 正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确．
一．创设情景
（一）基本初等函数的导数公式表
函数
导数
（二）导数的运算法则
导数运算法则
1．
2．
3．
（2）推论：
（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）
二．新课讲授
复合函数的概念 一般地，对于两个函数和，如果通过变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数，记作。
复合函数的导数 复合函数的导数和函数和的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积．
若，则
三．典例分析
例1求y ＝sin（tan x2）的导数．
【点评】
求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果．
例2求y ＝的导数．
【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理．
例3求y ＝sin4x ＋cos 4x的导数．
【解法一】y ＝sin 4x ＋cos 4x＝(sin2x ＋cos2x)2－2sin2cos2x＝1－sin22 x
＝1－（1－cos 4 x）＝＋cos 4 x．y′＝－sin 4 x．
【解法二】y′＝(sin 4 x)′＋(cos 4 x)′＝4 sin 3 x(sin x)′＋4 cos 3x (cos x)′＝4 sin 3 x cos x ＋4 cos 3 x (－sin x)＝4 sin x cos x (sin 2 x －cos 2 x)＝－2 sin 2 x cos 2 x＝－sin 4 x
【点评】
解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步．
例4曲线y ＝x（x ＋1）（2－x）有两条平行于直线y ＝x的切线，求此二切线之间的距离．
【解】y ＝－x 3 ＋x 2 ＋2 x y′＝－3 x 2＋2 x ＋2
令y′＝1即3 x2－2 x －1＝0，解得 x＝－或x ＝1．
于是切点为P（1，2），Q（－，－），
过点P的切线方程为，y －2＝x －1即 x －y ＋1＝0．
显然两切线间的距离等于点Q 到此切线的距离，故所求距离为＝．
四．课堂练习
1．求下列函数的导数 (1) y =sinx3+sin33x；（2）;(3)
2.求的导数
五．回顾总结
六．布置作业
课件10张PPT。1.2.2基本初等函数的导数公式 及导数的运算法则我们今后可以直接使用的基本初等函数的导数公式导数的运算法则:法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的
和(差),即:法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函数的平方.即:例2.求函数y=x3-2x+3的导数.例4:求下列函数的导数:答案:例5.某运动物体自始点起经过t秒后的距离s满足s=
-4t3+16t2.
(1)此物体什么时刻在始点?
(2)什么时刻它的速度为零?解:(1)令s=0,即1/4t4-4t3+16t2=0,所以t2(t-8)2=0,解得:
t1=0,t2=8.故在t=0或t=8秒末的时刻运动物体在
始点. 即t3-12t2+32t=0,
解得:t1=0,t2=4,t3=8,故在t=0,t=4和t=8秒时物体运动的速度为零.例6.已知曲线S1:y=x2与S2:y=-(x-2)2,若直线l与S1,S2均
相切,求l的方程.解:设l与S1相切于P(x1,x12),l与S2相切于Q(x2,-(x2-2)2).对于 则与S1相切于P点的切线方程为y-x12
=2x1(x-x1),即y=2x1x-x12.①对于 与S2相切于Q点的切线方程为y+
(x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2),即y=-2(x2-2)x+x22-4.②因为两切线重合,若x1=0,x2=2,则l为y=0;若x1=2,x2=0,则l为y=4x-4.所以所求l的方程为:y=0或y=4x-4.课件16张PPT。例1 假设某国家在20年期间的平均通货膨胀率为5％，物价p(单位：元)与时间t（单位：年）有如下函数关系
其中p0为t = 0时的物价。假定某种商品的p0=1,那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）?解：根据基本初等函数导数公式表，有因此，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨。例2 根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求函数y=x3-2x+3的导数。解：因为y’=(x3-2x+3)’= (x3)’-(2x)’+(3)’=3x2-2∴函数y=x3-2x+3的导数是y’=3x2-2推广：[aU(x)±bV(x)]’=aU(x)’±bV(x)’例3 日常生活中的饮用水通常是经过净化的。随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加。已知将1吨水净化到纯净度x%时所需费用（单位：元）为求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率： （1）90％ （2）98％解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数所以，纯净度为90%时，费用的瞬时变化率是52.84元/吨所以，纯净度为98%时，费用的瞬时变化率是1321元/吨6.已知曲线S1:y=x2与S2:y=-(x-2)2,若直线l与S1,S2均
相切,求l的方程.解:设l与S1相切于P(x1,x12),l与S2相切于Q(x2,-(x2-2)2).对于 则与S1相切于P点的切线方程为y-x12
=2x1(x-x1),即y=2x1x-x12.①对于 与S2相切于Q点的切线方程为y+
(x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2),即y=-2(x2-2)x+x22-4.②因为两切线重合,若x1=0,x2=2,则l为y=0;若x1=2,x2=0,则l为y=4x-4.所以所求l的方程为:y=0或y=4x-4.一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)).如下函数由多少个函数复合而成：例4 求下列函数的导数函数求导的基本步骤：
1，分析函数的结构和特征
2，选择恰当的求导法则和导数公式
3，整理得到结果求下列函数的导数若可导函数f(x)是奇函数，求证：其导函数f′(x)是偶函数.2.利用积的运算法则和求导公式证明：已知函数y=(x)是可导的周期函数，试求证其导函数y=f′(x)也为周期函数.设y=f(x)是二次函数，方程f(x)=0有两个相等的实根，且f’(x)=2x+2.求y=f(x)的表达式。数学选修2-2第一章试卷
一、选择题（本大题共16小题，每小题5分，共80分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1. 已知函数f (x ) = a x 2 ＋c,且=2 , 则a的值为 （ ）
A.1 B. C.－1 D. 0
2. 已知函数在处的导数为3，则的解析式可能为 （ ）
A．(x - 1)3+3(x - 1) B．2(x - 1)2 C．2(x - 1) D．x - 1
3. 已知函数在处的导数为1，则 ( )
A．3 B． C． D．
4. 函数y = (2x＋1) 3在x = 0处的导数是 （ ）
A.0 B.1 C.3 D.6
5．函数处的切线方程是 （ ）
A． B．
C． D．
6.曲线与坐标轴围成的面积是 （ ）
A. 4 B. C. 3 D. 2
7．一质点做直线运动,由始点起经过t s后的距离为s =t4- 4t3 + 16t2,
则速度为零的时刻是 （ ）
A.4s末 B.8s末 C.0s与8s末 D.0s,4s,8s末
8．函数 有 （ ）
A.极小值－1，极大值1 B. 极小值－2，极大值3
C.极小值－1，极大值3 D. 极小值－2，极大值2
9. 已知自由下落物体的速度为V = g t ，则物体从t = 0到t 0所走过的路程为（ ）
A． B． C． D．
10．如果10N的力能使弹簧压缩10cm，为在弹性限度内将弹簧拉长6cm，则力所做的功为 （ ）
A．0.28J B．0.12J C．0.26J D．0.18J
11、一物体在力(单位:N)的的作用下,沿着与力F相同的方向,从x=1m处运动到x=3m处, 则力所作的功为（ ）
A. 10J B. 12J C. 14J D. 16J
12、若函数在内有极小值 , 则（ ）

13、函数在上最大值和最小值分别是（ ）
（A）5 , －15 (B)5,－4 (C)－4,－15 (D)5,－16
14、若函数的导数为，则可以等于（ ）
A. 、 B、 C.、 D、
15、函数导数是（ ）
A.. B. C. D.
16、函数的递增区间是 ( )
A. B. C. D.
二、填空题：（每题4分共24分）
11．函数的单调增区间为___________________________________。
12．设函数, = 9,则____________________________.
13. 物体的运动方程是s = －t3＋2t2－5,则物体在t = 3时的瞬时速度为______.
14.把总长为16 m的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_______m2.
15． , __________________.
16、已知物体的运动方程是,则物体在时刻t = 4时的速度v = ,加速度a = 。
三、解答题：(共46分)
17．计算下列定积分。（12分）
（1） （2）
18.已知函数在处取得极值,并且它的图象与直线
在点( 1 , 0 ) 处相切, 求a , b , c的值。
19.某厂生产产品x件的总成本(万元)，已知产品单价P(万元)与产品件数x满足:，生产100件这样的产品单价为50万元，产量定为多少件时总利润最大？（8分）
20.求由曲线与，，所围成的平面图形的面积。（8分）
21．物体A以速度在一直线上运动，在此直线上与物体A出发的同时，物体B在物体A的正前方5m处以的速度与A同向运动，问两物体何时相遇？相遇时物体A的走过的路程是多少？（时间单位为：s，速度单位为：m/s）（8分）
选修2-2第一章试卷答案

一、选择题（本大题共16小题，每小题5分，共80分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1. 已知函数f (x ) = a x 2 ＋c,且=2 , 则a的值为 （ A ）
A.1 B. C.－1 D. 0
2. 已知函数在处的导数为3，则的解析式可能为 （ A ）
A．(x - 1)3+3(x - 1) B．2(x - 1)2 C．2(x - 1) D．x - 1
3. 已知函数在处的导数为1，则 (B )
A．3 B． C． D．
4. 函数y = (2x＋1) 3在x = 0处的导数是 （ D ）
A.0 B.1 C.3 D.6
5．函数处的切线方程是 （ D ）
A． B．
C． D．
6.曲线与坐标轴围成的面积是 （ C ）
A. 4 B. C. 3 D. 2
7．一质点做直线运动,由始点起经过t s后的距离为s =t4- 4t3 + 16t2,
则速度为零的时刻是 （ D ）
A.4s末 B.8s末 C.0s与8s末 D.0s,4s,8s末
8．函数 有 （ C ）
A.极小值－1，极大值1 B. 极小值－2，极大值3
C.极小值－1，极大值3 D. 极小值－2，极大值2
9. 已知自由下落物体的速度为V = g t ，则物体从t = 0到t 0所走过的路程为（ A ）
A． B． C． D．
10．如果10N的力能使弹簧压缩10cm，为在弹性限度内将弹簧拉长6cm，则力所做的功为 （ D ）
A．0.28J B．0.12J C．0.26J D． 0.18J
11、一物体在力(单位:N)的的作用下,沿着与力F相同的方向,从x=1m处运动到x=3m处, 则力所作的功为（ C ）
A. 10J B. 12J C. 14J D. 16J
12、若函数在内有极小值 , 则（ A ）

13、函数在上最大值和最小值分别是（ A ）
（A）5 , －15 (B)5,－4 (C)－4,－15 (D)5,－16
14、若函数的导数为，则可以等于（ D ）
A. 、 B、 C.、 D、
15、函数导数是（ C ）
A.. B. C. D.
16、函数的递增区间是 ( C )
A. B. C. D.
二、填空题：（每题4分共24分）
11．函数的单调增区间为。
12．设函数, = 9,则 6 .
13. 物体的运动方程是s = －t3＋2t2－5,则物体在t = 3时的瞬时速度为__3____.
14.把总长为16 m的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是__16__m2.
15． 1 , .
16、已知物体的运动方程是,则物体在时刻t = 4时的速度v = ,加速度a = 。
三、解答题：(共46分)
17．计算下列定积分。（12分）
（1） （2）
= =
= =
= =1
18. 已知函数在处取得极值,并且它的图象与直线
在点( 1 , 0 ) 处相切, 求a , b , c的值。
19.某厂生产产品x件的总成本(万元)，已知产品单价P(万元)与产品件数x满
足:，生产100件这样的产品单价为50万元，产量定为多少件时总利润最大？（8分）
20.求由曲线与，，所围成的平面图形的面积。（8分）
21．物体A以速度在一直线上运动，在此直线上与物体A出发的同时，物体B在物体A的正前方5m处以的速度与A同向运动，问两物体何时相遇？相遇时物体A的走过的路程是多少？（时间单位为：s，速度单位为：m/s）（8分）
学案 导数的计算
学习目标：能利用导数的定义，求几种常见函数的导数；掌握基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则.
学习重点：几种常见函数的导数；基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则.
学习过程：
课前预习：内化知识 夯实基础
(一)基本知识回顾
1、几种常见函数的导数：
（1）若，则 （2）若 则
（3）若 则 （4）若则
（5）若,则 （6）若,则
（7）若,则 （8）若,则
（9）若,则 （）
（10）若,则
（11）若,则 （）
3、导数运算法则：（1） （2）
（3） （4） （）
(5)= .
（二）过关练习
1.函数在处的导数等于( )
A．1　　B．2　　Ｃ．3　　Ｄ．4
2.设，则等于( )
A． B． Ｃ． Ｄ．
3. 已知，若，则的值为( )
A． B． C． D．
4. 曲线在点处的切线方程是
5.函数y＝ax2＋1的图象与直线y＝x相切，则a＝
6.y=,且，则a的值等于　　　　　　　　　　　　　　。
二、课堂互动：积极参与 领悟技巧
例1、求下列函数的导数
（1） 　　　　　　（2）
（3）　　　　　　　　　　　　（4）
（5） 　　　　　　 （6）
（7）　　　　　　　　　　（8）
（9）
例2、偶函数的图象过点，且在处的切线方程为，求的解析式
例3、已知抛物线和.如果直线同时是、的切线，称为、的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段.
（1）取什么值时，、有且只有一条公切线？并写出公切线的方程.
（2）若、有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分
三、强化训练：自我检测 能力升级
1、曲线在点处的切线方程是
2、设，则
3、设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则f2005(x)＝
　　A．sinx　 B．－sinx　 C．cosx　 D．－cosx
4、已知，则等于
A． B． C． D．
5、若曲线与在处的切线互相垂直，则的值为
6、曲线在点处的切线方程为
7、点P是曲线上任意一点，则P到直线的距离的最小
值为
8、求经过原点与曲线相切的直线方程
9、在什么条件下，三次函数与轴相切？
滕州一中东校高三数学《选修1-1导数》作业
班级： 姓名： 学号： 分数：
A组：
1、求下列函数的导数
(1) (2) (3) （4）
2、求曲线过点的切线方程
3、已知曲线C1：与C2：.直线l与C1、C2都相切，求直线l的方程.
4、对于多项式函数
（1）若是关于的三次函数，且满足，，，
求函数的解析式.
（2）若是关于的一次函数，且对满足.求函数的解析式.
课件25张PPT。1.求过曲线y=x3-2x上的点(1,-1)的切线方程求过某点的曲线的切线方程时，除了要判断该点是否
在曲线上，还要分“该点是切点”和“该点不是切点”两种
情况进行讨论，解法复制。若设M(x0,y0)为曲线y=f(x)上
一点，则以M为切点的曲线的切线方程可设为
y-y0=f’(x)(x-x0)，利用此切线方程可以简化解题，避免
疏漏。1.3.1 函数的单调性与导数（4）.对数函数的导数:（5）.指数函数的导数: （3）.三角函数 ： （1）.常函数：(C)/ ? 0, (c为常数)； （2）.幂函数 ： (xn)/ ? nxn?1
一、复习回顾：基本初等函数的导数公式函数 y = f (x) 在给定区间 G 上，当 x 1、x 2 ∈G 且 x 1＜ x 2 时函数单调性判定单调函数的图象特征1）都有 f ( x 1 ) ＜ f ( x 2 )，则 f ( x ) 在G 上是增函数；2）都有 f ( x 1 ) ＞ f ( x 2 )，则 f ( x ) 在G 上是减函数；若 f(x) 在G上是增函数或减函数，增函数减函数则 f(x) 在G上具有严格的单调性。G 称为单调区间G = ( a , b )二、复习引入:在（－ ∞ ，0）和（0, ＋∞）
上分别是减函数。但在定义域上不是减函数。在（－ ∞ ，1）上是减函数，在（1, ＋∞）上是增函数。在(－ ∞,＋∞)上是增函数概念回顾画出下列函数的图像，并根据图像指出每个函数的单调区间(1)函数的单调性也叫函数的增减性； (2)函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概
念。这个区间是定义域的子集。(3)单调区间：针对自变量x而言的。
若函数在此区间上是增函数，则为单调递增区间；
若函数在此区间上是减函数，则为单调递减区间。 以前,我们用定义来判断函数的单调性.在假设x1 察: 下图(1)表示高台跳水运动员的高度 h 随时间 t 变化的函数 的图象, 图(2)表示高台跳水运动员的速度 v 随时间 t 变化的函数 的图象.
运动员从起跳到最高点, 以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别?aabbttvhOO ①运动员从起跳到最高点,离水面的高度h随时间t 的增加而增加,即h(t)是增函数.相应地, ②从最高点到入水,运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少,即h(t)是减函数.相应地,(1)(2)xyOxyOxyOxyOy = xy = x2y = x3 观察下面一些函数的图象, 探讨函数的单调性与其导函数正负的关系. 在某个区间(a,b)内,如果 ,那么函数
在这个区间内单调递增; 如果 ,那么函数 在这个区间内单调递减.如果恒有 ，则 是常数。题1 已知导函数 的下列信息:当1 < x < 4 时,当 x > 4 , 或 x < 1时,当 x = 4 , 或 x = 1时,试画出函数 的图象的大致形状.解: 当1 < x < 4 时, 可知 在此区间内单调递增; 当 x > 4 , 或 x < 1时, 可知 在此区间内单调递减; 当 x = 4 , 或 x = 1时, 综上, 函数 图象的大致形状如右图所示.题2 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:解:(1) 因为 , 所以因此, 函数 在 上单调递增.(2) 因为 , 所以当 , 即 时, 函数 单调递增;当 , 即 时, 函数 单调递减.题2 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:解:(3) 因为 , 所以因此, 函数 在 上单调递减.(4) 因为 , 所以 当 , 即 时, 函数 单调递增; 当 , 即 时, 函数 单调递减.1、求可导函数f(x)单调区间的步骤：
(1)求f’(x)
(2)解不等式f’(x)>0(或f’(x)<0)
(3)确认并指出递增区间（或递减区间）2、证明可导函数f(x)在(a,b)内的单调性的方法：
(1)求f’(x)
(2)确认f’(x)在(a,b)内的符号
(3)作出结论练习判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:例3 如图, 水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中, 请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象.(A)(B)(C)(D)htOhtOhtOhtO 一般地, 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大, 那么函数在这个范围内变化得快, 这时, 函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下); 反之, 函数的图象就“平缓”一些. 如图,函数 在 或 内的图象“陡峭”,在 或
内的图象平缓.练习2.函数 的图象如图所示, 试画出导函数 图象的大致形状练习3.讨论二次函数 的单调区间.解: 由 , 得 , 即函数 的递增区间是 ; 相应地, 函数的递减区间是 由 , 得 , 即函数 的递增区间是 ; 相应地, 函数的递减区间是练习4.求证: 函数 在 内是减函数.解: 由 , 解得 , 所以函数 的递减区间是 , 即函数 在 内是减函数.一、求参数的取值范围增例2：求参数解：由已知得因为函数在（0，1]上单调递增增例2：在某个区间上， ，f（x）在这个区间上单调递增
（递减）；但由f（x）在这个区间上单调递增（递减）而
仅仅得到 是不够的。还有可能导数等于0
也能使f（x）在这个区间上单调，
所以对于能否取到等号的问题需要单独验证
增例2：本题用到一个重要的转化：
例3：方程根的问题
求证：方程 只有一个根。作业：
已知函数f(x)=ax3+3x2-x+1在R上是减函数，求a的取值范围。1.3.1函数的单调性与导数（一）
一、教学目标：了解可导函数的单调性与其导数的关系.掌握利用导数判断函数单调性的方法.
二、教学重点：利用导数判断一个函数在其定义区间内的单调性.
教学难点：判断复合函数的单调区间及应用；利用导数的符号判断函数的单调性.
三、教学过程
（一）复习引入
1．增函数、减函数的定义
一般地，设函数 f(x) 的定义域为I：如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说 f(x)在这个区间上是增函数．
当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说 f (x) 在这个区间上是减函数．
2．函数的单调性
如果函数y＝f(x) 在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数 y＝f(x) 在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做 y＝f(x) 的单调区间．
在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的．
例1讨论函数y＝x2－4x＋3的单调性．
解：取x1＜x2，x1、x2∈R， 取值
f(x1)－f(x2)＝(x12－4x1+3)－(x22－4x2+3) 作差
＝(x1－x2)(x1＋x2－4) 变形
当x1＜x2＜2时，x1＋x2－4＜0，f(x1)＞f(x2)， 定号
∴y＝f(x)在(－(, 2)单调递减． 判断
当2＜x1＜x2时， x1＋x2－4＞0，f(x1)＜f(x2)，
∴y＝f(x)在(2, ＋∞)单调递增．综上所述y＝f(x)在(－(, 2)单调递减，y＝f(x)在(2, ＋∞)单调递增。
能否利用导数的符号来判断函数单调性？
一般地，设函数y＝f(x)在某个区间内可导，
如果f(x)'＞0，则f(x)为增函数； 如果f(x)'＜0，则f(x)为减函数．
例2．教材P24面的例1。
例3．确定函数f(x)＝x2－2x＋4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数．
解： f(x)'＝2x－2． 令2x－2＞0，解得x＞1．
因此，当x∈(1, +∞)时，f(x)是增函数．
令2x－2＜0，解得x＜1．
因此，当x∈(－∞, 1)时，f(x)是减函数．
例4．确定函数f(x)＝2x3－6x2＋7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数．
解：f(x)'＝6x2－12x．
令6x2－12x＞0，解得x＜0或x＞2．
因此，当x∈(－∞, 0)时，函数f(x)是增函数，
当x∈(2, ＋∞)时， f(x)也是增函数．
令6x2－12x＜0，解得0＜x＜2．
因此，当x∈(0, 2)时，f(x)是减函数．
利用导数确定函数的单调性的步骤：
(1) 确定函数f(x)的定义域；
(2) 求出函数的导数；
(3) 解不等式f ((x)＞0，得函数的单调递增区间；解不等式f ((x)＜0，得函数的单调递减区间．
练习1：教材P24面的例2
利用导数的符号来判断函数单调性:
设函数y＝f(x)在某个区间内可导
(1)如果f '(x)＞0 ，则f(x)为严格增函数； (2)如果f '(x)＜0 ，则f(x)为严格减函数．
思考：（1）若f '(x)＞0是f(x)在此区间上为增函数的什么条件？
若f '(x)＞0是f(x)在此区间上为增函数的充分而非必要条件．
例如 f(x)＝x3，当x=0，f '(x)=0，x≠0时，f '(x)>0，函数 f(x)＝x3在(－∞,＋∞)上是增函数．
（2）若f '(x) ＝0在某个区间内恒成立，f(x)是什么函数 ？
若某个区间内恒有f '(x)＝0，则f (x)为常数函数．
练习2. 教科书P.26练习(1)
（三）课堂小结
1．判断函数的单调性的方法； 2．导数与单调性的关系； 3．证明单调性的方法.
（四）作业
课件12张PPT。 1.3.2函数的极值与导数abxyO定义 一般地, 设函数 f (x) 在点x0附近有定义, 如果对x0附近的所有的点, 都有我们就说 f (x0)是 f (x)
的一个极大值, 点x0叫做函数 y = f (x)的极大值点. 反之, 若 , 则称 f (x0) 是 f (x) 的一个极小值, 点x0叫做函数 y = f (x)的极小值点. 极小值点、极大值点统称为极值点, 极大值和极小值统称为极值. 观察上述图象,试指出该函数的极值点与极值,并说出哪些是极大值点,哪些是极小值点.（1）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值（2）极大值不一定比极小值大（3）可导函数f(x),点是极值点的必要条件是在该
点的导数为0例：y=x3练习1 下图是导函数 的图象, 试找出函数 的极值点, 并指出哪些是极大值点, 哪些是极小值点.abxyx1Ox2x3x4x5x6因为 所以例1 求函数 的极值.解:令 解得 或当 , 即 , 或 ;
当 , 即 .当 x 变化时, f (x) 的变化情况如下表:– ++单调递增单调递减单调递增所以, 当 x = –2 时, f (x)有极大值 28 / 3 ;当 x = 2 时, f (x)有极小值 – 4 / 3 .求解函数极值的一般步骤：
（1）确定函数的定义域
（2）求方程f’(x)=0的根
（3）用方程f’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格
（4）由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况练习2求下列函数的极值:解: 令 解得 列表:+单调递增单调递减– 所以, 当 时, f (x)有极小值练习2求下列函数的极值:解: 解得 列表:– ++单调递增单调递减单调递增所以, 当 x = –3 时, f (x)有极大值 54 ;当 x = 3 时, f (x)有极小值 – 54 .练习2求下列函数的极值:解: 解得 所以, 当 x = –2 时, f (x)有极小值 – 10 ;当 x = 2 时, f (x)有极大值 22 .解得 所以, 当 x = –1 时, f (x)有极小值 – 2 ;当 x = 1 时, f (x)有极大值 2 .习题 A组 #4下图是导函数 的图象, 在标记的点中, 在哪一点处(1)导函数 有极大值?
(2)导函数 有极小值?
(3)函数 有极大值?
(4)函数 有极小值?或1．3．2 函数的极值与导数(1)
一、教学目标：理解函数的极大值、极小值、极值点的意义.掌握函数极值的判别方法.进一步体验导数的作用.
二、教学重点：求函数的极值.
教学难点：严格套用求极值的步骤.
三、教学过程：
（一）函数的极值与导数的关系
1、观察下图中的曲线
a点的函数值f(a)比它临近点的函数值都大．b点的函数值f(b)比它临近点的函数值都小．
2、观察函数 f(x)＝2x3－6x2＋7的图象，
思考：函数y＝f(x)在点x＝0，x＝2处的函数值，与它们附近所有各点
处的函数值，比较有什么特点?
（1）函数在x＝0的函数值比它附近所有各点的函数值都大，
我们说 f(0) 是函数的一个极大值；
（2）函数在x＝2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，
则f(2)是函数的一个极小值．
函数y＝2x3－6x2＋7 的一个极大值: f (0)； 一个极小值: f (2)．
函数y＝2x3－6x2＋7 的 一个极大值点: ( 0， f (0) )； 一个极小值点: ( 2， f (2) )．
3、极值的概念：
一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f (x)＜ f(x0)
我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作 y极大值＝f(x0)；
如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f (x0)
我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值＝f(x0)．
极大值与极小值统称为极值．
4、观察下图中的曲线
考察上图中，曲线在极值点处附近切线的斜率情况．
上图中，曲线在极值点处切线的斜率为0，
极大值点左侧导数为正，右侧为负；极小值点左侧导数为负，右侧为正．
函数的极值点xi是区间[a, b]内部的点，区间的端点不能成为极值点．
函数的极大(小)值可能不止一个，并且函数的极大值不一定大于极小值，极小值不一定小于极大值．
函数在[a, b]上有极值，其极值点的分布是有规律的，像相邻两个极大值间必有一个极小值点．
5、利用导数判别函数的极大（小）值：
一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，判别f(x0)是极大（小）值的方法是：
⑴如果在x0附近的左侧f '(x)＞0，右侧f '(x)＜0，那么，f(x0)是极大值；
⑵如果在x0附近的左侧f '(x)＜0，右侧f '(x)＞0，那么，f(x0)是极小值；
思考：导数为0的点是否一定是极值点？
导数为0的点不一定是极值点．
如函数f(x)＝x3，x＝0点处的导数是0，但它不是极值点．
例1求函数
解：y(＝x2－4＝(x＋2)(x－2)．令 y(＝0，解得 x1＝－2，x2＝2．
当x变化时，y(，y的变化情况如下表．
因此，当x＝－2时， y极大值＝ ，当x＝2时，y极小值＝－．
求可导函数f (x)的极值的步骤：
⑴ 求导函数f ((x)；
⑵ 求方程 f ((x)＝0的根；
⑶检查f ((x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x)在这个根处取得极大值；
如果左负右正，那么f (x)在这个根处取得极小值．
例2．求函数的极值
例3 求函数y＝(x2－1)3＋1的极值．
解：定义域为R，y(＝6x(x2－1)2.由y(＝0可得x1＝－1，x2＝0，x3＝1当x变化时，y(，y的变化情况如下表：

当x＝0时，y有极小值，并且y极小值＝0．
例4．的极值
例5．的极值
思考：导数值为0的点一定为极值点吗？极值点一定导数值为0吗？
练习：求函数的极值
（三）课堂小结
1．考察函数的单调性的方法；2．导数与单调性的关系；3．用导数求单调区间的步骤.
（四）课后作业
课件11张PPT。函数的最大值与最小值一、复习与引入1.当函数f(x)在x0处连续时,判别f(x0)是极大(小)值的方
法是:
①如果在x0附近的左侧 右侧 ,那么,f(x0)
是极大值;
②如果在x0附近的左侧 右侧 ,那么,f(x0)
是极小值.2.导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充
分条件.极值只能在函数不可导的点或导数为零的点
取到.3.在某些问题中,往往关心的是函数在一个定义区间上,
哪个值最大,哪个值最小,而不是极值.二、新课——函数的最值 观察右边一个定义在区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象.发现图中____________是极小值，_________是极大值，在区间上的函数的最大值是______，最小值是_______。 问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎样才能判断出f(x3)是最小值，而f(b)是最大值呢？ 导数的应用-----求函数最值. (2)将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)(端点处)比较,其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. 求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤(1)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值)求函数的最值时,应注意以下几点:(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概念,而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围内讨论问题,是一个整体性的概念.(2)闭区间[a,b]上的连续函数一定有最值.开区间(a,b)内的可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值.(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个, 而函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值,并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值).三、例题选讲例1:求函数y=x4-2x2+5在区间[-2,2]上的最大值与最小值.解:令 ,解得x=-1,0,1.当x变化时, 的变化情况如下表:从上表可知,最大值是13,最小值是4.例2、函数 y = x3 + 3 x2－9x在 [－4 , 4 ]上的最大值为 ,最小值为 .分析: (1) 由 f ′(x)=3x2 +6x－9=0,(2) 区间［－4 , 4 ］端点处的函数值为
f (－4) =20 , f (4) =76得x1=－3，x2=1 函数值为f (－3)=27, f (1)=－5当x变化时，y′ 、 y的变化情况如下表：比较以上各函数值，可知函数在［－4 , 4 ］上的最大值为 f (4) =76，
最小值为 f (1)=－5求下列函数在指定区间内的最大值和最小值:练习:最大值 f (－1)=3，最小值 f (3)= －61（04浙江文21）（本题满分12分）
已知a为实数，
（Ⅰ）求导数 ；
（Ⅱ）若 ，求 在[-2，2]上的最大值和最小值；
（Ⅲ）若 在（-∞，-2]和[2，+∞）上都是递增的，求a的取值范围。
例3五、小结1.求在[a,b]上连续,(a,b)上可导的函数f(x)在[a,b]上的
最值的步骤:
(1)求f(x)在(a,b)内的极值;
(2)将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较,其中最大的一个
是最大值,最小的一个是最小值.2.求函数的最值时,应注意以下几点:(1)要正确区分极值与最值这两个概念.(2)在[a,b]上连续,(a,b)上可导的函数f(x)在(a,b)内未
必有最大值与最小值.(3)一旦给出的函数在(a,b)上有个别不可导点的话,不
要忘记在步骤(2)中,要把这些点的函数值与各极值
和f(a)、f(b)放在一起比较.1．3．3 函数的最大值与最小值(一)
一、教学目标：理解并掌握函数最大值与最小值的意义及其求法.弄请函数极值与最值的区别与联系.养成“整体思维”的习惯，提高应用知识解决实际问题的能力.
二、教学重点：求函数的最值及求实际问题的最值.
教学难点：求实际问题的最值.掌握求最值的方法关键是严格套用求最值的步骤，突破难点要把实际问题“数学化”，即建立数学模型.
三、教学过程：
（一）复习引入
1、问题1：观察函数f (x)在区间[a，b]上的图象，找出函数在此区间上
的极大值、极小值和最大值、最小值．
2、问题2：观察函数f(x)在区间 [a，b]上的图象，找出函数在此区间上
的极大值、极小值和最大值、最小值．
（见教材P30面图1．3－14与１．３－15）
3、思考：⑴ 极值与最值有何关系？
⑵ 最大值与最小值可能在何处取得？⑶ 怎样求最大值与最小值？
4、求函数y＝在区间[0, 3]上的最大值与最小值．
（二）讲授新课
1、函数的最大值与最小值
一般地，设y＝f(x)是定义在[a，b]上的函数，在[a，b]上y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值。
函数的极值是从局部考察的，函数的最大值与最小值是从整体考察的。
2、求y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值，可分为两步进行：
⑴ 求y＝f(x)在(a，b)内的极值；
⑵ 将y＝f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
例1．求函数y＝x4－2x2＋5在区间[－2, 2]上的最大值与最小值．
解： y'＝4x3－4x＝4x(x＋1)(x－1)令y'＝0，即 4x (x＋1)(x－1)＝0，
解得x＝－1，0，1．当x变化时，y'，y的变化情况如下表：
故 当x＝±2时，函数有最大值13，当x＝±1时，函数有最小值4．
练习
例2．求函数y＝在区间[-2, ]上的最大值与最小值．
例3. 求函数的最大值和最小值.
例4. 求函数的最大值和最小值.
（三）课堂小结
已知函数解析式，确定可导函数在区间[a, b]上最值的方法；
（四）课后作业
选修2–2（导数及其应用1.1–1.3）
选择题
1．设函数可导，则（ ）
A． B． C． D．不能确定
2．设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）
3．设函数是上以5为周期的可导偶函数，则曲线在处的切线的斜率为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
4．已知函数，在处函数极值的情况是（ ）
A．没有极值 B．有极大值 C．有极小值 D．极值情况不能确定
5．曲线在点的切线方程是（ ）
A． B． C． D．
6．已知曲线在点M处有水平切线，则点M的坐标是（ ）．
A．（-15，76） B．（15，67） C．（15，76） D．（15，-76）
7．已知函数，则（ ）
A．在上递增 B．在上递减
C．在上递增 D．在上递减
8．已知对任意实数，有，且时，，则时（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．函数的单调递增区间是_____________．
10．若一物体运动方程如下：
则此物体在和时的瞬时速度是________．

11．曲线在点（－1，－1）处的切线的倾斜角是________．
12．已知，且，设， 在上是减函数，并且在（－1，0）上是增函数,则=________．
13．半径为r的圆的面积S(r)＝r2,周长C(r)=2r，若将r看作(0，＋∞)上的变量，则(r2)`＝2r ，式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为R的球，若将R看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于的式子： ,式可以用语言叙述为： ．
14．已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，则　　　　.
三、解答题
15．（1）求曲线在点（1，1）处的切线方程；
（2）运动曲线方程为，求t=3时的速度.
16. 设函数是定义在［－1，0）∪（0，1］上的奇函数，当x∈［－1，0）时，（a∈R).
（1）当x∈(0，1］时，求的解析式；
（2）若a＞－1，试判断在（0，1）上的单调性，并证明你的结论；
（3）是否存在a，使得当x∈（0，1）时，f(x)有最大值－6.
17．函数 对一切实数均有成立，且，
（1）求的值；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围．
18．请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面,中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？
19．已知函数，其中为参数，且．
（1）当时，判断函数是否有极值；
（2）要使函数的极小值大于零，求参数的取值范围；
（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数，函数在区间内都是增函数，求实数的取值范围．
20.已知函数，是方程f(x)=0的两个根，是f(x)的导数；设，（n=1,2,……）
（1）求的值；
（2）证明：对任意的正整数n，都有>a；
（3）记（n=1,2,……），求数列{bn}的前n项和Sn.


选修2–2（导数及其应用1.1–1.3）
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
D
B
C
A
C
D
B
二、填空题
9．与．10．0
11． 12．4.
13．V球＝，又 故式可填，用语言叙述为“球的体积函数的导数等于球的表面积函数.”
14．32．
三、解答题
15.分析：根据导数的几何意义及导数的物理意义可知，函数y=f(x)在处的导数就是曲线y=f(x)在点处的切线的斜率。瞬时速度是位移函数S(t)对时间的导数.
解：（1），，
即曲线在点（1，1）处的切线斜率k=0.
因此曲线在（1，1）处的切线方程为y=1.
　　（2） .
.
16.（1）解：设x∈(0，1］，则－x∈［－1，0)，f(－x)=－2ax+，
∵f(x)是奇函数.∴f(x)=2ax－，x∈(0，1］.
（2）证明：∵f′(x)=2a+，
∵a>－1，x∈(0，1］，>1，∴a+>0.即f′(x)>0.
∴f(x)在（0，1］上是单调递增函数.
（3）解：当a>－1时，f(x)在（0，1］上单调递增.
f(x)max=f(1)=－6，a=－(不合题意，舍之），　
当a≤－1时，f′(x)=0，x=.
如下表：fmax(x)=f()=－6，解出a=－2.　x=∈(0，1).
（－∞，）
（，+∞）
+
0
－

最大值
∴存在a=－2，使f(x)在（0，1）上有最大值－6.
17. （Ⅰ）因为,
令，
再令.
（Ⅱ）由知,即.
由恒成立，等价于恒成立，即．
当时，．
故．
18.解：设OO1为，则.
由题设可得正六棱锥底面边长为：
，（）
故底面正六边形的面积为：
=，（）
帐篷的体积为：
（）
求导得.令，
解得（不合题意，舍），，
当时，，为增函数；
当时，，为减函数.
∴当时，最大.
答：当OO1为时，帐篷的体积最大，最大体积为.
19. （Ⅰ）解：当时，，
则在内是增函数，故无极值.
（Ⅱ）解：，令，得.
由（Ⅰ），只需分下面两种情况讨论.
当时，随x的变化的符号及的变化情况如下表：
x
0
+
0
-
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
因此，函数在处取得极小值，且
.
要使，必有，可得.
由于，故
②当时，随x的变化，的符号及的变化情况如下表：
+
0
-
0
+
极大值
极小值
因此，函数处取得极小值，且
若，则.矛盾.所以当时，的极小值不会大于零.
综上，要使函数在内的极小值大于零，参数的取值范围为.
（III）解：由（II）知，函数在区间与内都是增函数.
由题设，函数内是增函数，
则a须满足不等式组
或
由（II），参数时时，。
要使不等式关于参数恒成立，必有，即.
综上，解得或.
所以的取值范围是.
20．解析：（1）∵，是方程f(x)=0的两个根，
∴；
（2），
=，
∵，∴有基本不等式可知（当且仅当时取等号），
∴，
同样，……，（n=1,2,……），
（3），
而，即，
，
同理，，
又.
.
陈陈陈陈陈陈陈陈陈陈陈陈
§1.4 生活中的优化问题举例
【学习目标】
使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用
提高将实际问题转化为数学问题的能力
【重点难点】
学习重点：利用导数解决生活中的一些优化问题．
学习难点：利用导数解决生活中的一些优化问题．
【问题探究】
一、生活中的优化问题
导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：
1、与几何有关的最值问题；
2、与利润及其成本有关的最值问题；
3、效率最值问题。
解决优化问题的方法：
首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．
利用导数解决优化问题的基本思路：

【典例分析】
例1．海报版面尺寸的设计
学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图1.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm。如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？
解：设版心的高为xdm，则版心的宽为________dm,此时四周空白面积为
例2．饮料瓶大小对饮料公司利润的影响
（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？
（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？
【背景知识】：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是 分，其中 是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm
问题：（１）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？
　　 （２）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？
解：由于瓶子的半径为，所以每瓶饮料的利润是

令 解得 （舍去）
例3．在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？
解:

事实上，可导函数、在各自的定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值
例．圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？
解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积S=__________________
例5．一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，希望在断面ABCD的面积为定值S时，使得湿周l=AB+BC+CD最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高h和下底边长b.

【目标检测】
1．已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y ＝4－x2在x轴上方的曲线上，求这种矩形中面积最大者的边长．

2.、两村距输电线（直线）分别为 和（如图），长现两村合用一台变压器供电. 问变压器设在何处,输电线总长 最小.


3.在经济学中，生产x单位产品的成本称为成本函数，记为C(x)，出售x单位产品的收益称为收益函数，记为R(x)，R(x)－C(x)称为利润函数，记为P(x)。
（1）如果C(x)＝，那么生产多少单位产品时，边际最低？(边际成本：生产规模增加一个单位时成本的增加量)
（2）如果C(x)=50x＋10000，产品的单价P＝100－0.01x，那么怎样定价，可使利润最大？
【总结反思】
知识
重点
能力与思想方法 .
【自我评价】你完成本学案的情况为( )
A.很好 B.较好 C.一般 D.较差
课件15张PPT。高二数学组 徐瑞虹1.4生活中的优化问题举例创设情景实例探究：
学校举行庆祝五一劳动节活动，需要张贴海报进行宣传．现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为 上、下两边各空2dm．左、右两边各空1dm.如何设计海报的尺寸，才能使四周空白的面积最小？
想一想则有　xy=128，（１）另设四周空白面积为Ｓ，则（２）由（１）式得：代入（２）式中得：xy2解法二：由解法(一)得解:设圆柱的高为h,底半径为r,则表面积S=2πrh+2πr2.由V=πr2h,得 ,则令 ,解得 ,从而
,即h=2r.由于S(r)只有一个极值,所以它是最小值.答:当罐的高与底直径相等时,所用的材料最省.例2.饮料瓶大小对饮料公司利润的 影响
（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般
比大包装的要贵些？
（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？
如：汇源百分百果汁1升的是10.5元，600毫升的是7.5元
背景知识：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料。
瓶子的制造成本是 分，其中 r 是瓶
子的半径，单位是厘米.已知每出售1 ml
的饮料，制造商可获利 0.2 分,且制造商能
制作的瓶子的最大半径为 6cm.
问题(１)瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？
　　 (２)瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？解：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是令当1.半径为２cm 时，利润最小，这时表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，
此时利润是负值２．半径为６cm时，利润最大当半径r＞２时，f ’(r)>0它表示 f(r) 单调递增， 即半径越大，利润越高；
当半径r＜２时，f ’(r)<0 它表示 f(r) 单调递减，即半径越大，利润越低．
课堂小结课件15张PPT。1.4《生活中的优化问题举例》教学目标 掌握导数在生活中的优化问题问题中的应用
教学重点：
掌握导数生活中的优化问题问题中的应用．问题背景：饮料瓶大小对饮料公司利润的影响
下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品，若它们
的价格如下表所示，则
（1）对消费者而言，选择哪一种更合算呢？
（2）对制造商而言，哪一种的利润更大？例1、某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造
成本是0.8pr2分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米，已知在不
考虑瓶子的成本的前提下，每出售1ml的饮料，制造商可获利
0.2分，且制造商能制造的瓶子的最大半径为6cm，则每瓶饮料
的利润何时最大，何时最小呢？-+减函数↘增函数↗解：∵每个瓶的容积为:∴每瓶饮料的利润：极小值例1、某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造
成本是0.8pr2分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米，已知在不
考虑瓶子的成本的前提下，每出售1ml的饮料，制造商可获利
0.2分，且制造商能制造的瓶子的最大半径为6cm，则每瓶饮料
的利润何时最大，何时最小呢？解：设每瓶饮料的利润为y，则-+减函数↘增函数↗∵f (r)在(0，6]上只有一个极值点
∴由上表可知，当r=2时，利润最小极小值解：设每瓶饮料的利润为y，则∵当r∈(0，2)时，答：当瓶子半径为6cm时，每瓶饮料的利润最大，
当瓶子半径为2cm时，每瓶饮料的利润最小.28.8p故f (6)是最大值-+减函数↘增函数↗极小值而当r∈(2，6]时，例2、海报版面尺寸的设计：
学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传，
现让你设计一张如右图所示的竖向张贴的海报，要求版
心面积为128dm2，上、下两边各空2dm，左、右两边各
空1dm，如何设计海报的尺寸才能使四周空白面积最小？2dm2dm1dm1dm解：设版心的高为xdm，则版心的
宽 dm，此时四周空白面积为-+减函数↘增函数↗极小值列表讨论如下：∵S(x)在(0，+∞)上只有一个极值点
∴由上表可知，当x=16，即当版心高为16dm，
宽为8dm时，S(x)最小答：当版心高为16dm，宽为8dm时，海报四周的
空白面积最小。练习、经统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的
耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式
可以表示为：
若已知甲、乙两地相距100千米。
（I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油为 升;
（II）若速度为x千米/小时，则汽车从甲地到乙地需
行驶 小时，记耗油量为h(x)升，其解析式为:
.
(III)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？17.5 练习、经统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的
耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式
可以表示为：
若已知甲、乙两地相距100千米。
(III)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解：设当汽车以x km/h的速度行驶时，从甲地到乙地
的耗油量为h(x) L，则练习2：已知某厂每天生产x件产品的总成本为 若受到产能影响，该厂每天至多只能生产800件产品，
则要使平均成本最低，每天应生产多少件产品呢？解：设平均成本为y元，每天生产x件产品，则练习2：已知某厂每天生产x件产品的总成本为变题：若受到产能的影响，该厂每天至多只能生产800件
产品，则要使平均成本最低，每天应生产多少件产品呢？∴函数在(0，1000)上是减函数答：每天生产800件产品时，平均成本最低解决这些优化问题的基本思路如以下流程图所示：小结： 在日常生活中，我们经常会遇到求在什么条件下可
使用料最省，利润最大，效率最高等问题，这些问题通
常称为优化问题.再见课件17张PPT。①②1．4 生活中的优化问题（一）
教学目标：掌握利用导数求函数最大值和最小值的方法.会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值.-------面积、容积最大（最小）问题
教学重点：利用导数求函数最值的方法.用导数方法求函数最值的方法步骤
教学难点：对最值的理解及与极值概念的区别与联系.求一些实际问题的最大值与最小值
教学过程：
例1在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？
解：设箱底边长为xcm，则箱高
箱子容积(0＜x＜60)．
解得 (不合题意，舍去) 并求得
由题意知，当x过小(接近0)或过大(接近60)时，箱子容积很小，因此， 16 000是最大值．
答：当x＝40 cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm3．
在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使 f '(x)＝0 的情形，若函数在这点有极大（小）值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大（小）值．
这里所说的也适用于开区间或者无穷区间．
求最大（最小）值应用题的一般方法：
⑴分析问题中各量之间的关系，把实际问题化为数学问题，建立函数关系式；
⑵ 确定函数的定义域，并求出极值点；
⑶ 比较各极值与定义域端点函数的大小， 结合实际，确定最值或最值点．
练习
1．把长为60 cm的铁丝围成矩形，长、宽、高各为多少时，面积最大？
2．把长为100 cm的铁丝分成两段，各围成正方形，怎样分法，能使两个正方形面积之和最小？
变为：围成一个正方形与一个圆，怎样分法，能使面积之和最小？
练习2.用总长为14.8 m的钢条制作一个长方形容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5 m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．
例2．课后作业
1．4 生活中的优化问题（三）
教学目标：掌握利用导数求函数最大值和最小值的方法.会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值.---------用材最省的问题----
教学重点：利用导数求函数最值的方法.用导数方法求函数最值的方法步骤
教学难点：对最值的理解及与极值概念的区别与联系.求一些实际问题的最大值与最小值
教学过程：
例1 。教材P35面的例3
例2．某公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元（3≤a≤5）的管理费，预计当每件产品的售价为x元（9≤a≤11）时，一年的销售量为(12-x)2万件.
（1）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；
（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q(a).
例3．请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？
解：设OO1为，则
由题设可得正六棱锥底面边长为：
，（单位：）
故底面正六边形的面积为：
=，（单位：）
帐篷的体积为：
求导得。
令，解得（不合题意，舍去），，
当时，，为增函数；
当时，，为减函数。
∴当时，最大。
答：当OO1为时，帐篷的体积最大，最大体积为。
例4．水库的需水量随时间而变化，现用t表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于t的近似函数关系为：
（1）该水库的蓄水量小于50的时期称为枯水期，以i-1（2）求一年内该水库的最大蓄水量（取e=2.7计算）.
课后作业
1．4 生活中的优化问题（二）
教学目标：掌握利用导数求函数最大值和最小值的方法.会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值.------- --用材最省的问题----
教学重点：利用导数求函数最值的方法.用导数方法求函数最值的方法步骤
教学难点：对最值的理解及与极值概念的区别与联系.求一些实际问题的最大值与最小值
教学过程：
例1圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底半径应怎样选取，才能使所用材料最省？
解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积 S＝2(Rh＋2(R2．

则

从而 即h＝2R．
因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值． 答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省．
例2 已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C＝100＋4q，价格p与产量q的
函数关系式为求产量q为何值时，利润L最大．
分析：利润L等于收入R减去成本C，而收入R等于产量乘价格.由此可得出利润L与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润．
解：
求得唯一的极值点 q＝84．
因为L只有一个极值，所以它是最大值．
答：产量为84时，利润L最大．
练习1.某商品一件的成本为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出(200－x)件，应如何定价才能使利润最大？
例3．教材P34面的例2
课后作业

课题:《曲边梯形的面积》 授课日期: 2011 姓名: 班级: 编号：第 周 号
一、学习目标
1、知识与技能：通过曲边梯形的面积，了解定积分的实际背景；初步掌握求曲边梯形面积的步骤——四步曲
2、过程与方法：了解“以直代曲”、“逼近”的思想方法；
3、情感态度与价值观：逐步培养学生分析问题、解决问题的能力和思维能力。
二、学习重难点
重点：掌握过程步骤：分割、以直代曲、求和、逼近（取极限）
难点: 对过程中所包含的基本的微积分 “以直代曲”的思想的理解
三、学法指导：阅读教材38---41页
四、知识链接
1你会求哪些平面图形的面积？这些平面图形有什么特点？
2如何求曲线围成的平面图形的面积呢？
这就是定积分要解决的问题。定积分在科学研究和实际生活中都有非常广泛的应用。本节我们将学习定积分的基本概念以及定积分的简单应用，初步体会定积分的思想及其应用价值。
五、学习过程
（一）连续函数与曲边梯形
问题1：函数________________________ _____________________________，那么我们称函数为在区间上的连续函数．
问题2：在图1.5－1中，由____________________ _________________围成的图形称为曲边梯形．
问题3：画出由与直线围成的曲边梯形．
（二）求曲边梯形面积的步骤——四步曲
第一步　分割
在由与直线所围成的曲边梯形中：
问题4：把区间等间隔地插入个点，将它等分为____个小区间，则第个小区间为________，其区间长度为___________，当时，___．
练习1：把区间等分，所得个小区间的长度（　　）
A．　　　B．　　　C．　　　D．
练习2：在区间中插入6个等分点，则所分的小区间长度_____，第3个小区间是__________．
第二步　近似代替
问题5：在区间上，函数的值______，曲边梯形在这个小区间的面积_____________________，即小矩形的面积近似地代替，即以直代曲．
第三步　求和
问题6：求图1.5－4中阴影部分面积（写出过程）．
问题7：__________．
练习3：用符号“”表示下列运算：
（1）___________．
（2）____________．
第四步　取极限——逼近的思想
问题8：从图1.5－5及表1－1中，当，即__________＝_______________________＝_______________．
问题9：把区间不进行等分可以吗？分割的目的是什么？
问题10：若函数在区间上的值近似地等于右端点处的函数值，用这种方法能求出的值吗？若能求出，这个值也是吗？取任意处的函数值作为近似值，情况又怎么样？
（三）典型例题
例1：求由与直线围成的曲边梯形的面积．
解：在区间等间隔地插入个点，将它等分，第个小区间为________，区间长度___．
．
练习求直线与曲线所围成的曲边梯形的面积．
七、【课堂小结】
1．求曲边梯形面积的四步曲是________________．
2．_____________．
八、课后反思
曲边梯形的面积
当堂检测
1．下列函数在定义域上不是连续函数的是（　　）
A．　　　　 B．
C．　　　　D．
2．在区间上等间隔地插入个点，所得小区间长度（　　）
A．　　B．　　C．　　D．
3．把区间等分后，第个小区间是（　　）
A．
B．
C．
D．
4计算： ________；
5求围成图形面积
1．5.1 曲边梯形的面积
教学目标：通过探求曲边梯形的面积，使学生了解定积分的实际背景，了解“以直代曲”“逼近”的思想方法，建立微积分的概念的认识基础.
教学重点：了解定积分的基本思想“以直代曲” “逼近”的思想.
教学难点：“以直代曲” “逼近”的思想的形成求和符号
教学过程：
复习引入
问题一：你会求哪些平面图形的面积？这些平面图形有什么特点？
问题二：圆的面积是怎样求得的？
问题三：如图：阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线y=f(x)的一段.我们吧由直线x=a，x=b
(a≠b)，y=0和曲线y=f (x)所围成的图形称为曲边梯形.如何计算这个曲边梯形的面积呢？
问题四：能否将求曲边梯形的面积转化为求“直边梯形”面积？
问题五：求曲边梯形面积时，能否对整个曲边梯形进行“以直代曲”呢？怎样减少误差？
问题六：对每个小曲边梯形怎样“以直代曲”
问题七：如何从曲边梯形的近似值求出曲边梯形的面积？
问题八：具体怎样实施“以直代曲”和“逼近”的思想求曲边梯形面积？
问题九：
归纳：如何求曲边梯形的面积？
小结：
1.求曲边梯形面积的思想方法是什么？
2.具体步骤是什么？
3.最终形式是什么？
课件19张PPT。1.5.1 曲边梯形的面积1.任何一个平面图形都有面积，其中矩形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等平面多边形的面积，可以利用相关公式进行计算.2.如果函数y＝f(x)在某个区间I上的图象是一条连续不断的曲线，则称函数f(x)为区间I上的连续函数.问题提出 3.如图所示的平面图形，是由直线 x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的，称之为曲边梯形.问题提出曲边梯形
的面积 设△ABC的底边AB＝a，AB边上的高CD＝h，将CD分成n等分，过每个分点按如图所示作n－1个矩形，则从下到上各矩形的长分别为多少？宽为多少？第i个矩形的长为 ，
每个矩形的宽为 . 探求新知 这n－1个矩形的面积之和Sn－1等于多少？探求新知 随着n的增大，Sn－1与△ABC的面积愈接近，当n趋向于无穷大时，Sn－1的极限为多少？由此可得什么结论？探求新知 三角形的面积等于各矩形面积之和的极限. 形成结论 由抛物线y＝x2与直线x＝1， y＝0所围成的平面图形是什么？探求新知 设想用极限逼近思想求上面图形的面积，在该曲边梯形内作若干个小矩形，具体如何操作？ 将区间[0，1]分成n等分，按如图所示作n－1个矩形.探求新知 上述n－1个矩形，从左到右各矩形的高分别为多少？宽为多少？ 第i个矩形的高为 ，
每个矩形的宽为 . 探求新知 计算,这n－1个小矩形的面积之和Sn－1等于多少？探求新知 如何利用各小矩形的面积之和求曲边梯形的面积S？所得的结果是什么？ 探求新知 上述用极限逼近思想求曲边梯形面积的过程有哪几个基本步骤? 分割→近似代替→求和→取极限. 探求新知 若按如图所示作小矩形，那么这些小矩形的面积之和的极限等于曲边梯形的面积吗？ 探求新知 若分别以区间
内任意一点对应的函数值为高作矩形，那么这些小矩形的面积之和的极限等于曲边梯形的面积吗？ 相等探求新知 例 求直线x＝0，x＝3，y＝0和曲线y＝－x2＋2x＋3所围成的曲边梯形的面积. 例题讲解课堂小结 2.求曲边梯形的面积的基本思路是：把曲边梯形分割成n个小曲边梯形→用小矩形近似替代小曲边梯形→求各小矩形的面积之和→求各小矩形面积之和的极限. 1.用极限逼近原理求曲边梯形的面积，是一种“以直代曲”的思想，它体现了对立统一，量变与质变的辨证关系. 3. 上述求曲边梯形面积的方法有一定的局限性，如果用一般方法不能求出各小矩形的面积之和，则得不到曲边梯形的面积.课堂小结1.5.1.2曲边梯形的面积和汽车行驶的路程
课时目标
通过学习了解曲边图形的面积的求法，变速直线运动的路程的求解和微分思想，了解以曲代直，以不变代变的极限思想
知识要点：
连续函数的定义：
2、阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲边的一段，我们把由直线和曲线所围成的图形称为____________________
要计算上述图形的面积，可将区间[a,b]分成许多小区间，进而把________拆分为一些小____________，对每个小_____________“以直线代曲线”即用__________的面积近似代替____________的面积，得到每个__________面积的近似值，对这些近似值求和，就得到____________面积的近似值.如图可以想象，随着拆分越来越细，近似程度就会越来越好.
3、求课本P42思考中曲边梯形的面积的步骤：（四步曲）
典型例题：
例1：给定n和区间，求下列函数与x轴所围成的曲边梯形面积


例2、在等分区间的情况下，写出所围成的曲边梯形的面积的和式及极限式.
例3、求由曲线和直线所围成的曲边梯形面积.
例4、设力F作用在质点M上，使M沿运动到且和正向相同，求F对质点M所做的功.
课堂作业：
有一质量非均匀分布的细棒，已知其线密度为（取细棒所在的直线为，细棒的一端为原点），棒长为L,试计算细棒的质量m.
1.5.2 汽车行使的路程
教学目标：通过探求汽车行使的路程，使学生了解定积分的实际背景，了解“以不变代变”“逼近”的思想方法，建立微积分的概念的认识基础.
教学重点：了解定积分的基本思想 “以不变代变” “逼近”的思想.
教学难点：“以不变代变” “逼近”的思想的形成求和符号
教学过程：
思考1：已知物体运动路程与时间的关系怎样求物体的运动速度？
例如S(t)=3t2+2. 则v(t)= S′(t)=6t+0.
思考2：已知物体运动速度为v(常量)及时间t，怎么求路程？
S=vt 直接求出
思考3：如果汽车作匀速直线运动，在时刻t的速度为v(t)=- t2+2.那么它在0≤t≤1这段时间内行驶的路程S是多少呢？
思考4：结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽车行驶的路程S由直线t=0，t=1，v=0和曲线v=- t2+2所围成的曲边梯形的面积有什么关系？
图中矩形面积和就是曲边梯形的面积，从而汽车行驶的路程在数值上就等于相应曲边梯形面积.
思考5：在上面的第二步“近似代替”中，如果我们认为在每个小时间间隔上，汽车进似地以时刻处的速度作匀速行驶，从而得到汽车行驶的总路程s的近似值，用这种方法能求出s的值吗？若能求出，这个值也是吗？
思考：怎样求上式中汽车在2≤t≤4这段时间行驶的路程？
课件17张PPT。引 入 反之，如果已知物体的速度与时间的
关系，如何求其在一定时间内经过的路程
呢？1.5.2 汽车行驶的路程 上图中:所有小矩形的面积之和,其极限就是由直线x=0,x=1和曲线v(t)=-t2+2所围成的曲边梯形的面积.即路程S. 思考 结论 练习 练习高一年级内部讲义
1.5.3定积分的概念
一、学习目标：
1、通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景；
2、能用定积分的定义求简单的定积分；
3、了解定积分的几何意义；
二、重点难点：
学习重点：定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义
学习难点：定积分的概念、定积分的几何意义
三、学习过程：
（一）、复习回顾
1.用“四步曲”： 求得曲边梯形的面积S=_________________________
2.用四步曲求得变速运动的路程S=_____________________________.
（二）、定积分的概念
阅读教材P.45-46，完成下列问题
问题1：函数在区间上连续,如同曲边梯形面积的“四步曲”求法写出其运算过程.
问题2：当时，上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数在区间上的
定积分,记做),其中与分别叫做 与 ，区间
叫做 ，函数叫做 ，叫做 ，叫做 。
（三）、定积分的几何意义
阅读教材P.46，完成下面问题
问题3：定积分的几何意义是：______________________________
。
例1：利用定积分的定义，计算的值. ()
练习1：利用定积分的几何意义说明的大小.
练习2：利用定积分的定义,证明,其中均为常数且.
（四）、定积分的运算性质
问题4：定积分的运算性质有以下3条，分别为：
性质1：
性质2：
性质3：
（五）、课堂小结
1、定积分的概念；
2、根据定积分的定义求简单的定积分；
3、定积分的几何意义．
四、学习反思
五、作业自测
设连续函数,则当时,定积分的符号________
A.一定是正的 B.一定是负的
C.当时是正的 D.以上都不对
与定积分相等的是_________
A. B.
C. - D.
定积分的的大小_________
与和积分区间有关,与的取法无关.
与有关,与区间以及的取法无关
与以及的取法有关,与区间无关
与以及的取法和区间都有关
下列等式成立的是________
A. B.
C. D.
已知=6,则
已知,则=______________
已知则___________
计算
计算
1.5.3 定积分的概念
教学目标：
了解曲边梯形面积与变速直线运动的共同特征.
理解定积分及几何意义.
掌握定积分的基本性质及其计算
教学重点与难点：
定积分的概念及几何意义
定积分的基本性质及运算
教学过程：
定积分的定义：
怎样用定积分表示：
x=0，x=1，y=0及f(x)=x2所围成图形的面积？
t=0，t=1，v=0及v=-t2-1所围成图形的面积？

你能说说定积分的几何意义吗？例如的几何意义是什么?
4.4. 根据定积分的几何意义，你能用定积分表示下图中阴影部分的面积吗？
思考：试用定积分的几何意义说明
1.的大小
由直线x=0， x=2，y=0及所围成的曲边梯形的面积，即圆x2+y2=22的面积的，
2.
5. 例：利用定积分的定义，计算的值.
6.由定积分的定义可得到哪些性质？
常数与积分的关系
和差的积分 推广到有限个也成立
区间和的积分等于各段积分和
7练习：计算下列定积分
课件17张PPT。1.5.3 定积分的概念 问题提出 1.求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程，都可以通过“四步曲”解决，这四个步骤是什么？其中哪个步骤是难点？ 分割→近似代替→求和→取极限. 2.求曲边梯形的面积与求变速直线
运动的路程是两类不同的问题，但它们
有共同的解决途径,我们可以此为基点，
构建一个新的数学理论，使得这些问题
归结为某个数学问题来解决，并应用于
更多的研究领域.定积分的概念探究（一）：定积分的有关概念与表示 思考1：对于由直线x＝a，x＝b(a＜b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积S，可以归结为一个什么形式的和的极限？ 思考2：对于做变速直线运动的物体，若速度函数为v＝v(t)，则物体在a≤t≤b时段内行驶的路程s，可以归结为一个什么形式的和的极限？思考3：一般地，如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点
a＝x0＜x1＜x2＜…＜xi＜…＜xn＝b将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi](i＝1，2,…，n)上任取一
点 作和式 ，那么
当n→∞时，Sn的极限是否一定存在？一定存在思考4：数学上，把 叫
做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，
记作 ，
即
其中
? ---积分号
a---积分下限
b---积分上限
区间[a，b] ---积分区间
函数f(x) ---被积函数
x---积分变量
f(x)dx---被积式定积分 ， ，

分别等于什么？
被积函数，积分上、下限. 思考5：定积分 的值由哪些要素所确定？探究（二）：定积分的几何意义思考2：下列两图中阴影部分的面积用定积分分别怎样表示？ (1)(2)（3）探究（三）：定积分的性质 性质4：性质5：性质6：思考4：定积分的概念
一、选择题　
1. 已知，则的最大值是
A． B． C． D．
2. 下列等于1的积分是 （ ）
A． B． C． D．
3. = （ ）
A． B． C． D．
4. 将和式的极限表示成定积分 （ ）
A． B． C． D．
5. 等于
A． B. 2 C. -2 D. +2
6. 给出下列四个结论：①；②命题“的否定是“”；③“若 则”的逆命题为真；④集合，则“”是“”
充要条件. 则其中正确结论的序号为A.①③ B.①② C.②③④ D.①②④7. 的值是
A. B.
C. D.
8. 的值是
A． B．
C． D．
二、填空题　
9. 已知，若，则=________________。
10. 已知函数．
（Ⅰ）方程在区间上实数解的个数是__________；
（Ⅱ）对于下列命题：① 函数是周期函数；
② 函数既有最大值又有最小值；
③ 函数的定义域是R，且其图象有对称轴；
④对于任意（是函数的导函数）．
11. 将和式表示为定积分 ．
12. 已知函数f（x）=3x2+2x+1，若成立，则a=___________。
13. 设函数，若，则_________.
三、解答题　
14. 设y=f（x）是二次函数,方程f（x）=0有两个相等的实根，且
f′（x）=2x+2.
（1）求y=f（x）的表达式；
（2）求y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积.
（2）若直线x=－t（0＜t＜1＝把y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值.
15. 计算下列定积分的值
（1）；（2）；
（3）；（4）
答案
一、选择题
1. B
2. C
3. C
4. B
5. D
解析∵.故选D
6. B
7. C
8. C
二、填空题
9. 2
10. ；②③
解析：（Ⅰ）由于，故
在中的整数个数
故在区间上实数解的个数为．
（Ⅱ）命题①：由分母为，易知不是周期函数，故为假命题；
命题②：由于是上的连续函数，且，可知既有最大值又有最小值，故为真命题；
命题③：由于，故的定义域是R
看到的对称轴为，且为的一条对称轴
故为图象的对称轴，故为真命题；
命题④：由在定义域R上连续，且，可知不可能在上为减函数，故为假命题．
11.
12. a=-1或a=-
13. 3
三、解答题
14. 解析：（1）设f（x）=ax2+bx+c，则f′（x）=2ax+b，
又已知f′（x）=2x+2
∴a=1，b=2.
∴f（x）=x2+2x+c
又方程f（x）=0有两个相等实根，
∴判别式Δ=4－4c=0，即c=1.
故f（x）=x2+2x+1.
（2）依题意，有所求面积=.
（3）依题意，有，
∴，－t3+t2－t+=t3－t2+t，2t3－6t2+6t－1=0，
∴2（t－1）3=－1，于是t=1－.
评述：本题考查导数和积分的基本概念.
15. 解析：（1）
（2）
（3）
（4）
微积分基本定理与应用
【知识网络】
1． 直观了解微积分基本定理的含义。
2． 会求简单的定积分。
3． 会用定积分的知识解决一些简单的应用问题。
【典型例题】
[例1]（1）由抛物线和直线x=1所围成的图形的面积等于 （ ）
A．1 B． C． D．
（2）如图，阴影部分的面积是 （ ）
A． B．
C． D．
（3）= （ ）
A． B．
C． D．
（4）= ．
（5）按万有引力定律，两质点间的吸引力，k为常数，为两质点的质量，r为两点间距离，若两质点起始距离为a，质点m1沿直线移动至离m2的距离为b处，试求所作之功（ｂ＞a） ．
[例2] 如图，求由两条曲线，及直线y= -1所围成图形的面积．
21世纪教育网
[例3]如图，抛物线C1：y= -x2与抛物线C2：y=x2-2ax(a>0)交于O、A两点．若过原点的直线l与抛物线C2所围成的图形面积为，求直线l的方程．
[例4]已知A（-1，2）为抛物线C：y=2x2上的点．直线l1过点A，且与抛物线C相切．直线l2：x=a(a≠-1)交抛物线C于点B，交直线l1于点D．
（1）求直线l1的方程；
（2）设ABD的面积为S1，求及S1的值；
（3）设由抛物线C、直线l1、l2所围成的图形的面积为S2，求证：S1∶S2的值为与a无关的常数．
【课内练习】
1． = （ ）
A．5 B。4 C。3 D。2
2． = （ ）
A． B。 C。 D。
3． 若，且a＞1，则a的值为 （ ）
A．6 B。4 C。3 D。2
4． 已知自由落体运动的速率v=gt，则落体运动从t=0到t=t0所走的路程为 （ ）21世纪教育网
A． B． C． D．
5． 曲线与直线所围成的图形（阴影部分）的面积等于 ．
6． 。
7． = 。
8． 计算下列定积分的值
（1）；（2）；（3）。
9． 平地上有一条小沟，沟沿是两条长100m的平行线段，沟宽AB为2m，与沟沿垂直的平面与沟的交线是一段抛物线，抛物线的顶点为O，对称轴与地面垂直，沟深1.5m，沟中水深1m．
（Ⅰ）求水面宽；
（Ⅱ）如图所示形状的几何体称为柱体，已知柱体的体积为底面积乘以高，沟中的水有多少立方米？
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10．设是二次函数，方程有两个相等的实根，且．
（1）求的表达式．
（2）若直线把的图象与坐标轴所围成的图形的面积二等分，求t的值．
微积分基本定理与应用
A组
1． 下列有定义的定积分为 （ ）
A． B。 C。 D。
2． = （ ）
A． B．2e C． D．
3． 曲线与坐标轴围成的面积 （ ）
A．4 B．2 C． D．3
4． 若=a3-2（a＞1），则a= 。
5． = 。
6． 求定积分：。
7． 求曲线与轴所围成的图形的面积．
8． 如图，抛物线与直线y＝3x的二交点为A、B.点P在抛物线的弧上从A向B运动。
??（1）求使的面积为最大时P点的坐标；
（2）证明由抛物线与线段AB围成的图形，被直线x＝a分为面积相等的两部分.
微积分基本定理与应用
B组
1． = （ ）
A． B。 C。 D。
2． = （ ）
A．21 B。22 C。23 D。24
3． 下列命题：
①若f(x)是定义在R上的奇函数，则为R上的偶函数；
②若f(x)是周期为T（＞0）的周期函数，则；
③。
其中正确命题的个数为 （ ）
A．0 B。1 C。2 D。3
4． 由曲线与直线所围成的平面图形的面积为 。
5． 已知弹簧每拉长0. 02 米要用9. 8N的力，则把弹簧拉长0. 1米所作的功为 ．
6． 求由曲线与x轴所围的封闭区域的面积。
7． 设某物体一天的温度T是时间t的函数，T (t) = at3+bt2+ct+d (a≠0)，其中温度的单位是，时间的单位是小时，t=0表示12∶00，t取正值表示12∶00以后．若测得该物体在8∶00的温度为8，12∶00的温度为60，13∶00的温度为58，且已知该物体的温度在8∶00和16∶00有相同的变化率．
（1）写出该物体的温度T关于时间t的函数关系式；
（2）该物体在10∶00到14∶00这段时间中（包括10∶00和14∶00），何时温度最高？并求出最高温度；
（3）如果规定一个函数在上函数值的平均为
，求该物体在8∶00到16∶00这段时间内的平均温度．
8． 一物体按规律x＝bt3作直线运动，式中x为时间t内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方．试求物体由x＝0运动到x＝a时，阻力所作的功．
8． 物体的速度．媒质阻力，其中k为比例常数，k>0．
当x=0时，t=0；当x=a时，，又ds=vdt，故阻力所作的功为
。
参考答案
微积分基本定理与应用
【典型例题】
[例1]（1）B．
（2）C．
（3）C．
（4）。
（5）。
[例2]由图形的对称性知，所求图形面积为位于y轴右侧图形面积的2倍．
由得C（1，-1）．同理得D（2，-1）．
∴ 所求图形的面积
S=
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．
[例3]设过原点的直线方程为y=kx，解方程组，得x1=0，x2=k+2a．
当k+2a≥0时，
．
于是 (k+2a)3=27a3，解得k=a．
所以，直线l的方程为y=ax．
当k+2a<0时，．
于是 - (k+2a)3=27a3，解得k= -5a．
所以，直线l的方程为y= -5ax．
综上所述，所求直线l的方程为y=ax或y= -5ax．
[例4]（1）由y=2x2，得．当x= -1时，．
∴l1的方程为y-2= -4(x+1)，即4x+y+2=0．
（2）由y=2x2及x=a，解得点B的坐标为（a,2a2）．
由4x+y+2=0及x=a，解得点D的坐标为（a,-4a-2）．21世纪教育网
又可求得点A到直线BD的距离为，=2a2+4a+2=2(a+1)2．
∴S1=．
（3）由题意，当a>-1时，
，
当a<-1时，，
∴S1∶S2=3∶2．即S1∶S2的值为与a无关的常数．
【课内练习】
1． A。
2． A。
3． D。
4． C。
5． 。
6． F(x)-F(0)。
7． 4a。
8． （1）；（2）；（3）。
9． （Ⅰ）如图建立直角坐标系xoy，设抛物线方程为．
则由抛物线过点，可得．
于是抛物线方程为．
当y=1时，，由此知水面宽为（m）．
（Ⅱ）柱体的底面积
．
∴柱体体积为，即水沟中有水．
10．（1）；（2）．
微积分基本定理与应用
A组
1． B。
2． D。
3． D。
4． 2。
5． 。
6． 。
7． 首先求出函数的零点：，，.又易判断出在 内，图形在轴下方，在内，图形在轴上方，所以所求面积为
。
8． （1）；（2）面积均为。
B组
1． D。
2． 23。
3． D。
4． 。
5． 如图所示，在弹性限度内，拉伸（或压缩）弹簧所需的力F与弹簧的伸长量（或压缩量）x成正比，即F = kx．在上式中k为比例系数．
根据题意，当x = 0. 02时，F = 9. 8，故由F = kx得k =490．这样得到的变力函数为F = 490x．于是所求的功为
（J）．
6．
7． （1）根据条件可得T（0）=60，T（-4）=8，T（1）=58，，则d=60，b=0，a=1，c= -3，因此，温度函数T(t)= t3-3t+60．
（2），当时，；当时，．因此，函数T(t)在（-2，-1）上单调递增，在（-1，1）上单调递减，在（1，2）上递增，即t= -1是极大值点．
由于T（-1）=T（2）=62，所以10∶00到14∶00这段时间中，该物体在11∶00和14∶00的温度最高，最高温度为62．
（3）根据定义，平均温度为，即该物体在8∶00到16∶00这段时间内的平均温度60．
8． 物体的速度．媒质阻力，其中k为比例常数，k>0．
当x=0时，t=0；当x=a时，，又ds=vdt，故阻力所作的功为
。
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高二数学理科导学案
1.6 微积分基本定理
学习目标
知识与技能 通过实例直观了解微积分积分定理的含义;熟练地用微积分积分定理计算微积分.
过程与方法 从局部到整体，从具体到一般的思想，利用导数的几何意义和定积分的概念，通过寻求导数和定积分之间的内在联系，得到微积分基本定理，进一步得出积分定理。情感态度与价值观 通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。
学习重点 直观了解微积分基本定理的含义，并能用定理计算简单的定积分。
学习难点 了解微积分基本定理的含义
学习连接 导数，定积分
学习过程 一、【复习回顾】
1.基本初等函数地求导公式（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7） （8）
2.导数运算法则: （1） （2）
（3） （4）:
3.连续函数在上的定积分定义:
4.定积分的性质:
二、引入新课
我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。
变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系
设一物体沿直线作变速运动，在时刻t时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（），
则物体在时间间隔内经过的路程可用速度函数表示为。
另一方面，这段路程还可以通过位置函数S（t）在上的增量来表达，即
=

而。
对于一般函数，设，是否也有

若上式成立，我们就找到了用的原函数（即满足）的数值差来计算在上的定积分的方法。
注：1：定理 如果函数是上的连续函数的任意一个原函数，则
证明：因为=与都是的原函数，故
-=C（）
其中C为某一常数。
令得-=C，且==0
即有C=，故=+
=-=
令，有
此处并不要求学生理解证明的过程
为了方便起见，还常用表示，即
该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。 它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果。
例1．计算下列定积分：
（1）； （2）。
解：（1）
（2）
例2．计算下列定积分：
。
由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论。
解：
可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0:
( l ）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时（图1.6一3 ) ，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积；
图1 . 6 一 3 ( 2 ）
（2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时（图 1 . 6 一 4 ) ，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数；
( 3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0（图 1 . 6 一 5 ) ，且等于位于 x 轴上方的曲边梯形面积减去位于 x 轴下方的曲边梯形面积．
例3．汽车以每小时32公里速度行驶，到某处需要减速停车。设汽车以等减速度=1.8米/秒2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？
解:
微积分基本定理揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时它也提供了计算定积分的一种有效方法．微积分基本定理是微积分学中最重要的定理，它使微积分学蓬勃发展起来，成为一门影响深远的学科，可以毫不夸张地说，微积分基本定理是微积分中最重要、最辉煌的成果．
三：课堂练习p55
四：课堂作业 计算下列定积分:
(1) (2)(3) (4) (5) (6)
(7) (8) (9) (10)
(11) (12) (13)
五：课堂小结：
本节课借助于变速运动物体的速度与路程的关系以及图形得出了特殊情况下的牛顿-莱布尼兹公式.成立，进而推广到了一般的函数，得出了微积分基本定理，得到了一种求定积分的简便方法，运用这种方法的关键是找到被积函数的原函数，这就要求大家前面的求导数的知识比较熟练，希望，不明白的同学，回头来多复习！
六：师生反思
1.6微积分基本定理
教学目标：通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分
教学重点：通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的
含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。
教学难点：了解微积分基本定理的含义　
一. 问题再现：
1、复习：导数的定义及运算法则；定积分的概念及用定义计算
2、利用定积分的定义计算
二. 自学导引：
1、自学教材 51—53页,回答下面的问题：微积分基本定理
一般地，如果是区间上的连续函数，并且，那么_______________,
这个结论叫做微积分基本定理，又叫做_______________，为了方便起见，还常用
表示________，即
注意：1、在定理中：若，那么_________，所以求定积分
的关键是找到满足的任意一个函数即可；2、无论是或，此公式
都成立。3、微积分基本定理的简单证明过程，了解即可。
证明：因为=与都是的原函数，故-=C（），其中C
为某一常数。令得-=C，且==0即有C=，故
=+即=-= 令，有
2、看53-54页的例2回答下面的问题：定积分的取值：
定积分的取值可能取________，也可能取_______，还可能是__________
（1）当对应的曲边梯形位于_________，定积分的值取________，且等于____________
（2）当对应的曲边梯形位于_________，定积分的值取________，且等于____________
（3）当位于轴_____________等于位于轴____________，定积分的值为__________ ，
且等于位于轴_____________减去位于 x 轴__________________．
三. 交流展示：比较用定积分定义计算定积分与用微积分基本基本定理求定积分的优越性：
四. 典型例题：
例1．计算下列定积分：（1）；（2）；
例2．计算下列定积分：（1） ；（2）
点拨提升：本节课借助于变速运动物体的速度与路程的关系以及图形得出了特殊情况下的牛顿-莱
布尼兹公式成立，进而推广到了一般的函数，得出了微积分基本定理，得到了一种求定积分的简
便方法，运用这种方法的关键是找到被积函数的原函数，这就要求对前面导数的知识非常熟练.
1.7定积分的简单应用
学习目标：1.进一步深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法；2.深刻
理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理；3.初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见
题型及方法； 4.体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）。
学习重点：曲边梯形面积的求法 学习难点：定积分求面积以及在物理中应用
一. 问题再现：
1、求曲边梯形的思想方法是什么？2、定积分的几何意义是什么？3、微积分基本定理是什么？
二. 自学导引：（一）.自学教材56—57页,思考并解决下列问题：
1.当有时,由直线和曲线围成的
曲边梯形的面积S=?当时，曲边梯形的面积会有什么变化？
2.当有时,由直线和曲线，
围成的曲边梯形的面积S=
3.总结求曲边梯形面积的方法与步骤
（二）.自学教材,思考并解决下列问题：
1.变速直线运动的路程公式——做变速直线运动的物体所经过的路程S等于其速度函数
v=v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a,b]上的定积分，即
2.变力作功公式——物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方
向从x=a移动到x=b(a三. 交流展示： 四. 典型例题：
例1.求正弦曲线和直线及轴所围成的平面图形的面积。
思路导引：先画出图形，当时，曲线位于轴的上方，而当时，
曲线位于轴的下方，因此所求的面积应为两部分面积的和，要注意如果在区间上
，那么，这时曲边梯形的面积
例2.一点在直线上从时刻开始以速度运动，求：（1）在
的位置（2）在运动的路程
思路导引：因为位置决定于位移，所以它是在[0,4]上的定积分，而路程是位移的绝对值
之和，因此需判断在[0,4]上，哪些时间段的位移为负。本题是用定积分解决变速运动的位
置与路程问题，将物理问题转化为数学问题是关键
点拨求曲边梯形面积的方法与步骤：
(1)画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；(2)对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定
积分的上、下限；(3)确定被积函数；(4)求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和。
课件15张PPT。1.6 微积分基本定理1. 由定积分的定义可以计算 , 但比较麻烦(四步曲),有没有更加简便有效的方法求定积分呢?一、引入
由定积分的定义得定理 （微积分基本定理）二、牛顿—莱布尼茨公式 如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,
并且F’(x)=f(x),则例1 计算下列定积分 解（１）∵ 练习： 11/21/415/4复习: 定积分的基本性质 性质1. 性质2. 例 ２．计算下列定积分 原式解:∵ 练习： 23/619e2-e+1例 ３．计算下列定积分 解（1）∵01解00微积分基本公式三、小结牛顿－莱布尼茨公式沟通了导数与定积分之间的关系． 作业：课件11张PPT。1.6 微积分基本定理(2)一: 定积分的基本性质 性质1. 性质2. 性质3. 定理 （微积分基本定理）二、牛顿—莱布尼茨公式如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,
并且F’(x)=f(x),则定积分公式例 1．计算解（1）∵01解例５ 计算作业：1.7.1 定积分在几何中的应用
一、教学目标：
了解定积分的几何意义及微积分的基本定理.
2．掌握利用定积分求曲边图形的面积
二、教学重点与难点：
定积分的概念及几何意义
定积分的基本性质及运算的应用
三教学过程：
（一）练习
1．若dx = 3 + ln 2，则a的值为（ D ）
A．6 B．4 C．3 D．2
2．设，则dx等于（ C ）
A． B． C． D．不存在
3．求函数的最小值
解：∵．
∴． ∴当a = – 1时f (a)有最小值1．
4．求定分dx．
5．怎样用定积分表示：
x=0，x=1，y=0及f(x)=x2所围成图形的面积？

你能说说定积分的几何意义吗？例如的几何意义是什么?
表示轴，曲线及直线，之间的各部分面积的代数和，
在轴上方的面积取正，在轴下方的面积取负
二、新课
例1．教材P56面的例1
例2．教材P57面的例2。
练习：
例3．求曲线y=sinx ,x与直线x=0 ,,x轴所围成图形的面积。
练习：
1．如右图，阴影部分面积为（ B ）
A．dx
B．dx
C．dx
D．dx
2．求抛物线y = – x2 + 4x –3及其在点A（1，0）和点B（3，0）处的切线所围成的面积．
课件13张PPT。1.7.1定积分在几何中的简单应用定积分的简单应用1、定积分的几何意义： x=a、x=b与 x轴所围成的曲边梯形的面积。=-S 当f(x)?0时，由y?f (x)、x?a、x?b 与 x 轴所围成的曲边梯形位于 x 轴的下方，一、复习回顾定理 （微积分基本定理）2、牛顿—莱布尼茨公式 如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,
并且F’(x)=f(x),则一、复习回顾二、热身练习1解： 如图由几何意义2计算:计算：解：如图由几何意义定积分的简单应用定积分的简单应用4．用定积分表示阴影部分面积二、热身练习曲边梯形（三条直边，一条曲边）曲边形面积 A=A1-A2三、问题探究曲边形面积的求解思路定积分的简单应用四、例题实践求曲边形面积例１．计算由曲线与所围图形的面积解：作出草图，所求面积为阴影部分的面积解方程组得交点横坐标为及Ｓ＝Ｓ曲边梯形ＯＡＢＣ－Ｓ曲边梯形ＯＡＢＤ＝＝定积分的简单应用归纳求由曲线围成的平面图形面积的解题步骤：（1）画草图，求出曲线的交点坐标（3）确定被积函数及积分区间（4）计算定积分，求出面积定积分的简单应用（2）将曲边形面积转化为曲边梯形面积S1S2Ａ：S1S2例2．计算由曲线直线以及x轴所围图形的面积Ｓ定积分的简单应用四、例题实践求曲边形面积Ｂ：五、巩固练习书本P58练习提高:书本P66复习参考题A组16题定积分的简单应用所围成平面图形的面积S1解题要点:S2有其他方法吗？S1=S2七、作业1、书本P60 习题A组1 B组3
2、全优设计P48－49
3、思考B组1，2六、小结1．本节课我们做了什么探究活动呢？
2．如何用定积分解决曲边形面积问题呢？
3．解题时应注意些什么呢？
4．体会到什么样的数学研究思路及方法呢？思考hb 如图, 一桥拱的形状为抛物线, 已知该抛物线拱的高为常数h, 宽为常数b. 求证: 抛物线拱的面积定积分的简单应用建立平面直角坐标系 确定抛物线方程求由曲线围成的平面图形面积的解题步骤课本P60 习题B组2证明：如图建立平面直角坐标系，可设抛物线方程为则有得所以抛物线方程为于是，抛物线拱的面积为代抛物线上一点入方程S2S定积分的简单应用1.7.2 定积分在物理中的应用
一、教学目标：
了解定积分的几何意义及微积分的基本定理.
2．掌握利用定积分求变速直线运动的路程、变力做功等物理问题。
二、教学重点与难点：
定积分的概念及几何意义
定积分的基本性质及运算的应用
三教学过程：
（一）练习
1．曲线y = x2 + 2x直线x = – 1，x = 1及x轴所围成图形的面积为（ B ）．
A． B．2 C． D．
2．曲线y = cos x与两个坐标轴所围成图形的面积为（ D ）
A．4 B．2 C． D．3
3．求抛物线y2 = x与x – 2y – 3 = 0所围成的图形的面积．
解：如图：由得A（1，– 1），B（9，3）．
选择x作积分变量，则所求面积为
=
=．
（二）新课
变速直线运动的路程
1．物本做变速度直线运动经过的路程s，等于其速度函数v = v (t) (v (t)≥0 )在时间区间[a，b]上的 定积分 ，即．
2．质点直线运动瞬时速度的变化为v (t) = – 3sin t，则 t1 = 3至t2 = 5时间内的位移是
．（只列式子）
3．变速直线运动的物体的速度v (t) = 5 – t2，初始位置v (0) = 1，前2s所走过的路程为
例1．教材例3。
练习：
变力作功
1．如果物体沿恒力F (x)相同的方向移动，那么从位置x = a到x = b变力所做的功W = F（b—a）．
2．如果物体沿与变力F (x)相同的方向移动，那么从位置x = a到x = b变力所做的
功W =．
例2．教材例4。
练习：
1．教材P59面练习2
2．一物体在力F (x) =（单位：N）的作用下沿与力F(x)做功为（ B ）
A．44J B．46J C．48J D．50J
3．证明：把质量为m（单位kg）的物体从地球的表面升高h（单位：m）处所做的功W = G·，其中G是地球引力常数，M是地球的质量，k是地球的半径．
证明：根据万有引力定律，知道对于两个距离为r，质量分别为m1、m2的质点，它们之间的引力f为f = G·，其中G为引力常数．
则当质量为m物体距离地面高度为x（0≤x≤h）时，地心对它有引力f (x) = G·故该物体从地面升到h处所做的功为
dx =·dx = GMmd (k + 1) = GMm
=．
课件9张PPT。1.7.2定积分在物理中的应用 设物体运动的速度v=v(t)，则此物体在时
间区间[a, b]内运动的距离s为一、变速直线运动的路程二、物体所做的功1) 恒力2）变力所做的功 物体在变力Ｆ（x）的作用下做直线运动，并且物体沿着与Ｆ（x）相同的方向从x=a移动到x=b（a二. 重点、难点：
1. 基本积分表
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
2. 运算公式
（1）
（2）
（3）
3.
【典型例题】
[例1] 若曲线在x处的导数为且曲线经过点A（1，3），求解析式。
解：，过A ∴ ∴
[例2] 求下列不定积分。
（1）

（2）
[例3] 求下列定积分
（1）
（2）
∵
∴
[例4] ，为何值时，M最小。
解：
∴ 时，
[例5] 已知，，试求的取值范围。
解：
即
设 ∴ 为方程
两根
∴ 或
∴
[例6] 求抛物线与直线所围成的图形的面积。
解：由 ∴ A（1，－1）B（9，3）
[例7] 求由抛物线，所围成图形的面积。
解：
[例8] 由抛物线及其在点A（0，－3），B（3，0）处两切线所围成图形的面积。
解：， ∴ P（）
[例9] 曲线C：，点，求过P的切线与C围成的图形的面积。
解：设切点，则
切线：过P（）
∴
∴ A（0，1）
∵ ∴
∴ B（）
∴
[例10] 抛物线在第一象限内与直线相切。此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S。求使S达到最大值的a，b值，并求。
解：依题设可知抛物线为凸形，它与x轴的交点的横坐标分别为，所以（1）
又直线与抛物线相切，即它们有唯一的公共点
由方程组
得，其判别式必须为0，即
于是，代入（1）式得：
令；在时得唯一驻点，且当时，；当时，。故在时，取得极大值，也是最大值，即时，S取得最大值，且
【模拟试题】
1. 将和式的极限表示成定积分（ ）
A. B. C. D.
2. 下列等于1的积分是（ ）
A. B. C. D.
3. （ ）
A. B. C. D.
4. 已知自由落体运动的速率，则落体运动从到所走的路程为（ ）
A. B. C. D.
5. 曲线与坐标所围成的面积（ ）
A. 4 B. 2 C. D. 3
6. （ ）
A. B. C. D.
7. 求由围成的曲边梯形的面积时，若选择x为积分变量，则积分区间为（ ）
A. B. [0，2] C. [1，2] D. [0，1]
8. 由直线，及x轴围成平面图形的面积为（ ）
A. B.
C. D.
9. 如果1N力能拉长弹簧，为将弹簧拉长6cm，所耗费的功是（ ）
A. 0.18 B. 0.26 C. 0.12 D. 0.28
10. 将边长为1米的正方形薄片垂直放于比彼一时为的液体中，使其上距液面距离为2米，则该正方形薄片所受液压力为（ ）
A. B. C. D.
11. 将和式表示为定积分 。
12. 曲线，所围成的图形的面积可用定积分表示为 。
13. 由及x轴围成的介于0与之间的平面图形的面积，利用定积分应表达为
。
14. 计算下列定积分的值。
（1） （2）
（3） （4）
15. 求曲线与轴所围成的图形的面积。
16. 设是二次函数，方程有两个相等的实根，且。
（1）求的表达式；
（2）求的图象与两坐标轴所围成图形的面积；
（3）若直线（把）的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求的值。

【试题答案】
1. B 2. C 3. C 4. C 5. D 6. D 7. B 8. C 9. A 10. A
11. 12. 13.
14.（1）
（2）=
（3）
（4）
15. 解：首先求出函数的零点：，又易判断出在（－1，0）内，图形在x轴下方，在（0，2）内，图形在x轴上方，
所以所求面积为
16. 解：（1）设，则
又已知 ∴ ∴
又方程有两个相等实根 ∴ 判别式，即
故
（2）依题意，有所求面积
（3）依题意，有
∴
，
∴ ，于是
1.7定积分的简单应用
学习目标　
知识与技能目标　
1、 进一步让学生深刻体会"分割、以直代曲、求和、逼近"求曲边梯形的思想方法；
2、 让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理；
3、 初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法；
4. 体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）。
过程与方法
情感态度与价值观　　
学习重点 曲边梯形面积的求法
学习难点　定积分求体积以及在物理中应用　
教学过程：
一．复习回顾
1、求曲边梯形的思想方法是什么？
2、定积分的几何意义是什么？
3、求曲边梯形面积的方法与步骤：
4、几种常见的曲边梯形面积的计算方法：
（1）型区域：①由一条曲线与直线以及轴所围成的曲边梯形的面积：（如图（1））；
②由一条曲线与直线以及轴所围成的曲边梯形的面积：（如图（2））；
③由两条曲线与直线
图（1） 图（2） 图（3）
所围成的曲边梯形的面积：（如图（3））；
（2）型区域：
①由一条曲线与直线以及轴所围成的曲边梯形的面积,可由得，然后利用求出（如图（4））；
②由一条曲线与直线以及轴所围成的曲边梯形的面积，可由先求出，然后利用求出（如图（5））；
③由两条曲线与直线所围成的曲边梯形的面积，可由先分别求出，，然后利用求出（如图（6））；
图（4） 图（5） 图（6）
2．求平面曲线的弧长
设曲线AB方程为，函数在区间上可导，且连续，则曲线AB的弧长为
.
二．本节引入
定积分在物理中应用
(1)求变速直线运动的路程
我们知道，作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v=v (t) ( v(t) ≥0) 在时间区间[a,b]上的定积分，即
例 1。一辆汽车的速度一时间曲线如图1.7 一3 所示．求汽车在这1 min 行驶的路程．
解：

2．变力作功
一物体在恒力F（单位：N）的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向移（单位：m)，则力F所作的功为W=Fs .
探究
如果物体在变力 F(x）的作用下做直线运动，并且物体沿着与 F (x) 相同的方向从x =a 移动到x=b (a与求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程一样，可以用“四步曲”解决变力作功问题．可以得到

例2．如图1·7一4 ，在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置lm 处，求克服弹力所作的功．
解：
三.课堂练习
1.：如果1N能拉长弹簧1cm，为了将弹簧拉长6cm，需做功（ A ）
A 0.18J B 0.26J C 0.12J D 0.28J
2.p59 1.
3.p59 2
五：课堂小结
本节课主要学习了利用定积分求一些曲边图形的面积与体积，即定积分在几何中应用，以及定积分在物理学中的应用，要掌握几种常见图形面积的求法，并且要注意定积分的几何意义，不能等同于图形的面积，要注意微积分的基本思想的应用与理解。
六：教后反思
根据定积分的定义，定积分既有几何背景，又有物理背景，进而定积分与这些知识有着天然的联系。譬如：求几何图形的面积，求路程、平均速度、电荷量、电压、功、质量等。上述种种尽管形式相异，然而所采用的思想方法均是：化曲为直，以不变代变，逼近，从某个角度而言充分展现了数学思想方法的高度抽象性及应用的广泛性
课件17张PPT。2.1合情推理与演绎推理 歌德巴赫猜想:
“任何一个不小于6的偶数都等于两个奇奇数之和”即:偶数＝奇质数＋奇质数歌德巴赫猜想的提出过程：
3＋7＝10，3＋17＝20，13＋17＝30， 歌德巴赫猜想:
“任何一个不小于6的偶数都等于两个奇奇数之和”即:偶数＝奇质数＋奇质数改写为:10＝3＋7，20＝3＋17，30＝13＋17．6＝3+3， 1000＝29+971，
8＝3+5， 1002=139+863,
10＝5+5, …
12＝5+7，
14＝7+7，
16＝5+11,
18 =7+11,
…， 这种由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概栝出一般结论的推理,称为归纳推理.(简称;归纳)归纳推理的几个特点;1.归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围.2.归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象,因而结论具有猜测性.3.归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观察、经验和实验的基础之上.归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分析的基础上.提出带有规律性的结论.需证明例1:已知数列{an}的第1项a1=1且
(n=1,2,3 …),试归纳出这个数列的通项公式.⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理；
⑵ 提出带有规律性的结论，即猜想；
⑶ 检验猜想。 归纳推理的一般步骤：例2:数一数图中的凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E,然后用归纳法推理得出它们之间的关系.46455659846455659866861281261046455659866861281261077916910151015F+V-E=2猜想欧拉公式例:如图有三根针和套在一根针上的若干金属片. 按下列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上. 1.每次只能移动1个金属片; 2.较大的金属片不能放在较小的金属片上面.试推测;把n个金属片从1号针移到3号针,最少需要移动多少次?解;设an表示移动n块金属片时的移动次数.当n=1时,a1=1当n=2时,a2=3123当n=1时,a1=1当n=2时,a2=3解;设an表示移动n块金属片时的移动次数.当n=3时,a3=7当n=4时,a4=15猜想 an=2n -1123作业:P93 1. 3. 4课件8张PPT。2.1.1合情推理1.工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿,发明了锯2.仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理,发明了潜水艇.3.科学家对火星进行研究,发现火星与地球有许多类似的特征; 1)火星也绕太阳运行、饶轴自转的行星; 2)有大气层,在一年中也有季节变更; 3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存,等等. 科学家猜想;火星上也可能有生命存在.4)利用平面向量的本定理类比得到空间向量的基本定理.在两类不同事物之间进行对比,找出若干相同或相似点之后,推测在其他方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式, 称为类比推理.(简称;类比)类比推理的几个特点;1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比出新的结果.2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性.3.类比的结果是猜测性的不一定可靠,单它却有发现的功能.例1：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想．s1s2s3c2=a2+b2例3：(2005年全国)计算机中常用的十六进位制是逢１６进１的计算制，采用数字０-９和字母Ａ-Ｆ共１６个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表；例如用１６进位制表示Ｅ+Ｄ＝１Ｂ，则Ａ×Ｂ＝（　　）ＡＡ．６E　Ｂ．７２　Ｃ．５Ｆ　Ｄ．０Ｂ例4:(2001年上海)已知两个圆①x2+y2=1:与②x2+(y-3)2=1,则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为圆的情况下加以推广,即要求得到一个更一般的命题,而已知命题应成为所推广命题的一个特例,推广的命题为-----------------------------
----------------------------------------------------------
----------------------------------------------------------
--------.(x-a)2+(y-b)2=r2与②(x-c)2+(y-d)2=r2（a≠c或设圆的方程为①b≠d),则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程.作业:P93-９４
Ａ组　5. B组　１．圆的概念和性质球的概念和性质与圆心距离相等的两弦相等与圆心距离不相等的两弦不相等,距圆心较近的弦较长以点(x0,y0)为圆心, r为半径的圆的方程为(x-x0)2+(y-y0)2 = r2圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦球心与不过球心的截面(圆面)的圆点的连线垂直于截面与球心距离相等的两截面面积相等与球心距离不相等的两截面面积不相等,距球心较近的面积较大以点(x0,y0,z0)为球心, r为半径的球的方程为(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2 = r2利用圆的性质类比得出求的性质球的体积球的表面积圆的周长 圆的面积课件12张PPT。2.1.2演绎推理复习:合情推理归纳推理
类比推理从具体问题出发观察、分析
比较、联想提出猜想归纳、
类比类比推理的一般步骤：⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；
⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；
⑶ 检验猜想。 复习:合情推理⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理；
⑵ 提出带有规律性的结论，即猜想；
⑶ 检验猜想。 归纳推理的一般步骤： 观察与是思考1.所有的金属都能导电, 2.一切奇数都不能被2整除, 3.三角函数都是周期函数, 4.全等的三角形面积相等 所以铜能够导电.因为铜是金属, 所以(2100+1)不能被2整除.因为(2100+1)是奇数,所以是tan 周期函数因为tan 三角函数,那么三角形ABC与三角形A1B1C1面积相等.如果三角形ABC与三角形A1B1C1全等,从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．注：１．演绎推理是由一般到特殊的推理；２．“三段论”是演绎推理的一般模式；包括　　⑴大前提---已知的一般原理；　　　　　　　　⑵小前提---所研究的特殊情况；　　　　　　　⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．２．“三段论”是演绎推理的一般模式；包括　　⑴大前提---已知的一般原理；　　　　　　　　⑵小前提---所研究的特殊情况；　　　　　　　⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．3.三段论推理的依据,用集合的观点来理解:若集合M的所有元素都具有性质P,S是M的一个子集,那么S中所有元素也都具有性质P.MSa1.全等三角形面积相等 那么三角形ABC与三角形A1B1C1面积相等.如果三角形ABC与三角形A1B1C1相似,2.相似三角形面积相等 那么三角形ABC与三角形A1B1C1面积相等.如果三角形ABC与三角形A1B1C1相似,想一想???练习:P91 3例.如图;在锐角三角形ABC中,AD⊥BC, BE⊥AC,
D,E是垂足,求证AB的中点M到D,E的距离相等. (1)因为有一个内角是只直角的三角形是直角三角形,在△ABC中,AD⊥BC,即∠ADB=900所以△ABD是直角三角形同理△ABD是直角三角形(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,M是Rt△ABD斜边AB的中点,DM是斜边上的中线所以 DM= AB同理 EM= AB所以 DM = EM大前提小前提结论大前提小前提结论证明:例:证明函数f(x)=-x2+2x在(-∞,1]上是增函数.满足对于任意x1,x2∈D,若x1f(x1)-f(x2)=(-x12+2x1)-(x22+2x2)
=(x2-x1)(x1+x2-2) 因为x10
因为x1,x2≤1所以x1+x2-2<0
因此f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)从推理的结论来看,合情推理的结论不一定正确,有待证明;演绎推理得到的结论一定正确.作业;P93 6 P110 A组2课题:合情推理（一）
●学习目标：
知识与技能：（1）了解归纳推理的含义
（2）掌握归纳推理的技巧，并能运用解决实际问题。
过程与方法：由部分到整体，由个别到一般，通过“自主、合作与探究”掌握归纳推理的方法和步骤，实现“一切以学生为中心”的理念。
（3）情感态度、价值观：感受数学的人文价值，提高学生的学习兴趣，使其体会到数学学习的美感。
●学习重点：归纳推理及方法的总结。
●学习难点：归纳推理的含义及其具体应用。
●教具准备：辅助课件
●学习过程：
一.问题情境
(1)原理初探
①引入：“阿基米德曾对国王说，给我一个支点，我将撬起整个地球！”
②提问：大家认为可能吗？他为何敢夸下如此海口？理由何在？
③探究：他是怎么发现“杠杆原理”的？
从而引入两则小典故：
A：一个小孩，为何轻轻松松就能提起一大桶水？
B：修筑河堤时，奴隶们是怎样搬运巨石的？
正是基于这两个发现，阿基米德大胆地猜想，然后小心求证，终于发现了伟大的“杠杆原理”。
④思考：整个过程对你有什么启发？
⑤启发：在教师的引导下归纳出：“科学离不开生活，离不开观察，也离不开猜想和证明”。

(2)皇冠明珠
追逐先辈的足迹，接触数学皇冠上最璀璨的明珠 — “歌德巴赫猜想”。
世界近代三大数学难题之一。哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于1690年，1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数（只能被和它本身整除的数）之和。如6＝3＋3，12＝5＋7等等。公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时的大数学家欧拉(Euler)，提出了以下的猜想: (a) 任何一个≥6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。 (b) 任何一个≥9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。
这就是着名的哥德巴赫猜想。欧拉在6月30日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。从提出这个猜想至今，许多数学家都不断努力想攻克它，但都没有成功。当然曾经有人作了些具体的验证工作，例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 = 5 + 13, . . . . 等等。有人对33×108以内且大过6之偶数一一进行验算，哥德巴赫猜想(a)都成立。但验格的数学证明尚待数学家的努力。从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。200年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近。1920年、挪威数学家布爵用一种古老的筛选法证明，得出了一个结论：每一个比大的偶数都可以表示为（99）。这种缩小包围圈的办法很管用，科学家们于是从（9十9）开始，逐步减少每个数里所含质数因子的个数，直到最后使每个数里都是一个质数为止，这样就证明了“哥德巴赫”。
思考：其他偶数是否也有类似的规律？
③讨论：组织学生进行交流、探讨。
④检验：2和4可以吗？为什么不行？
⑤归纳：通过刚才的探究，由学生归纳“归纳推理”的定义及特点。
二.数学建构
●概念：归纳推理（归纳）________________________________________________________________________________________________________________________
注:归纳推理的特点;
简言之,归纳推理是由__________________________________的推理。
●归纳推理的一般步骤：
三.师生活动
例1 前提：蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的,海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物.
结论：
例2 前提：三角形的内角和是1800，凸四边形的内角和是3600，凸五边形的内角和是5400，……
结论：
例3
探究：上述结论都成立吗？
强调：归纳推理的结果不一定成立！ —— “ 一切皆有可能！”
四 达标练习：
1. 在数列{}中，，，试猜想这个数列的通项公式。

2. 观察下面的“三角阵”：
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1

1 10 45 45 10 1
试找出相邻两行数之间的关系。
提高巩固
⑵2.2. 能力培养
①思考：怎么求？组织学生进行探究，寻找规律。
②归纳：由学生讨论，归纳技巧，得到技巧②和③。
技巧②:有整数和分数时,往往将整数化为分数.
技巧③:当分子分母都在变化时,往往统一分子 (或分母),再寻找另一部分的变化规律.
五 过关检测：
1．观察：， 所得的结果都是24的倍数，继续试验，你能得到什么猜想？
2．在数列{}中，，，试猜想这个数列的通项公式。
3．探求凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E之间的关系。

六.课堂小结
(1)归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理。通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。
(2)归纳推理的一般步骤：
通过观察个别情况发现某些相同的性质 从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）
证明
七．师生反思：
课题：类比推理
●学习目标：
知识与技能：
（1）了解类比推理的含义
（2）掌握类比推理的技巧，从而掌握合情推理，并能运用解决实际问题。
过程与方法：通过对已学知识的回顾，认识类比推理这一种合情推理的基本方法，并把它用于对问题的发现中去。
类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质，类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。
情感态度、价值观：正确认识合情推理在数学中的重要作用，养成从小开始认真观察事物、分析问题、发现事物之间的质的联系的良好个性品质，善于发现问题，探求新知识。
认识数学在日常生产生活中的重要作用，培养学生学数学，用数学，完善数学的正确数学意识。
●学习重点：了解合情推理的含义，能利用类比进行简单的推理。
●学习难点：用类比进行推理，做出猜想。
●教具准备：辅助课件
●学习过程：
一．问题情境
从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子.
他的思路是这样的：茅草是齿形的；茅草能割破手.我需要一种能割断木头的工具；它也可以是齿形的.
这个推理过程是归纳推理吗？
二．学习活动
我们再看几个类似的推理实例。
探究1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。
等式的性质： 猜想不等式的性质：
(1) a=b(a+c=b+c; (1) a＞b(a+c＞b+c;
(2) a=b( ac=bc; (2) a＞b( ac＞bc;
(3) a=b(a2=b2;等等。 (3) a＞b(a2＞b2;等等。
问：这样猜想出的结论是否一定正确？
探究2、试将平面上的圆与空间的球进行类比.
圆的定义：__________________________________________________球的定义：__________________________________________________
圆 球
弦←→截面圆
直径←→大圆
周长←→表面积
面积←→体积

圆的性质
球的性质
圆心与弦(不是直径)的中点的连线垂直于弦
与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长
圆的切线垂直于过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
1.结论：☆上述两个例子均是这种由两个（两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出他们在其他方面也相似或相同；或其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．
简言之，类比推理是由________________的推理．
类比推理的一般步骤：
⑴ _________________________________________________
⑵ __________________________________________________________
⑶ ______________。即

2.师生互动：
出示例1：类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质. （得到如下表格）
类比角度
实数的加法
实数的乘法
2．类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想．

直角三角形
?3个面两两垂直的四面体
∠C＝90°
3个边的长度a，b，c
2条直角边a，b和1条斜边c
3.形成结论
前面的推理过程可概括为：从具体问题出发――观察、分析比较、联想――归纳。类比――提出猜想
合情推理：____________________________________________________
_____________________________________________________________
三、巩固练习：
1. 练习：教材第78页第3题
2、练习：教材第84页第3题
第4题
第5题
四、巩固提高
1．(2001年上海)已知两个圆①x2+y2=1:与②x2+(y-3)2=1,则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为圆的情况下加以推广,即要求得到一个更一般的命题,而已知命题应成为所推广命题的一个特例,推广的命题为_________________________________________________
____________________________________________________________
3．（2004，北京）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。
已知数列是等和数列，且，公和为5，那么的值为______________，这个数列的前n项和的计算公式为________________
五、课堂小结
1．类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质。类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。
类比推理的一般步骤：
①找出两类事物之间的相似性或者一致性。
②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）
六、师生反思：
课 题：演绎推理
学习目标：
(1)知识与技能：
1. 了解演绎推理 的含义。2. 能正确地运用演绎推理 进行简单的推理。3. 了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。
（2）过程与方法：通过与合情推理比较，从一般到特殊概括出演绎推理的方法，运用类比思想来学习、掌握演绎推理这一推理方法。
（3）情感态度、价值观：感受数学的人文价值，提高学生的学习兴趣，使其体会到数学学习的美感。养成从小开始认真观察事物、分析问题、发现事物之间的质的联系的良好个性品质，善于发现问题，探求学习新知识。
学习重点：正确地运用演绎推理 进行简单的推理
学习难点：了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。
学习链接：合情推理
学习过程：
复习:合情推理
归纳推理 从特殊到一般
类比推理 从特殊到特殊
从具体问题出发――观察、分析比较、联想――归纳。类比――提出猜想
问题情境。一天晚上，美国总统林肯在忙碌了一天之后上床休息。突然电话铃大作，原来是个惯于专营的人告诉他，有位关税主管刚刚去世，这人问林肯是否能让他来取代。林肯回答说：“如果殡仪馆没意见，我当然不反对。”
以上故事，幽默诙谐，你知道林肯总统认定这位小人要去殡仪馆吗？其实他正是运用了以下的三段论：
大前提：关税主管去世了，去殡仪馆。
小前提：惯于专营的小人要取代他。
结论：小人要去殡仪馆。
其实在推理过程中，有很多地方都要用到这种方式：
观察与思考
1所有的金属都能导电
铜是金属,
所以，铜能够导电
2.一切奇数都不能被2整除,
(2100+1)是奇数，
所以， (2100+1)不能被2整除.
3.三角函数都是周期函数,
tan 是三角函数,
所以，tan 是 周期函数。
提出问题 ：像这样的推理是合情推理吗？
三．学生活动 ：
1.所有的金属都能导电 ←————大前提
铜是金属, ←-----小前提
所以，铜能够导电 ←――结论
2.一切奇数都不能被2整除 ←————大前提
(2+1)是奇数，←――小前提
所以， (2+1)不能被2整除. ←―――结论
3.三角函数都是周期函数, ←——大前提
tan 是三角函数, ←――小前提
所以，tan 是 周期函数。←――结论
建构数学
演绎推理的定义：_______________________________________
_________________________________________________________
１．演绎推理是由一般到特殊的推理；
２．“三段论”是演绎推理的一般模式；包括　
　⑴大前提---已知的一般原理；　　　　　　　　
⑵小前提---所研究的特殊情况；　　　　　　　
⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．
三段论的基本格式
M—P（M是P） （大前提）
S—M（S是M） （小前提）
S—P（S是P） （结论）
3.三段论推理的依据,用集合的观点来理解:
若集合M的所有元素都具有性质P,S是M的一个子集,那么S中所有元素也都具有性质P.
五、数学运用
解：二次函数的图象是一条抛物线 （大前提）

例5如图;在锐角三角形ABC中,AD⊥BC, BE⊥AC,
D,E是垂足,求证AB的中点M到D,E的距离相等
解：

例6、证明函数在（内是增函数
思考？
合情推理与演绎推理的区别：_______________________________
__________________________________________________________
七、 回顾小结：
演绎推理的特点:
演绎推理错误的主要原因是
1．大前提不成立；2, 小前提不符合大前提的条件。
八、师生反思：
选修2-2 2.1 合情推理与演绎推理(3课时)
第一课时 2.1.1 合情推理（一）
教学要求：结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义，能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用.
教学重点：能利用归纳进行简单的推理.
教学难点：用归纳进行推理，作出猜想.
教学过程：
一、新课引入：
1. 哥德巴赫猜想：观察4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……, 50=13+37, ……, 100=3+97，猜测：任一偶数（除去2，它本身是一素数）可以表示成两个素数之和. 1742年写信提出，欧拉及以后的数学家无人能解，成为数学史上举世闻名的猜想. 1973年，我国数学家陈景润，证明了充分大的偶数可表示为一个素数与至多两个素数乘积之和，数学上把它称为“1+2”.
2. 费马猜想：法国业余数学家之王—费马（1601-1665）在1640年通过对，，，，的观察，发现其结果都是素数，于是提出猜想：对所有的自然数，任何形如的数都是素数. 后来瑞士数学家欧拉，发现不是素数，推翻费马猜想.
3. 四色猜想：1852年，毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色.”，四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用1200个小时，作了100亿逻辑判断，完成证明.
二、讲授新课：
1. 教学概念：
① 概念：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理. 简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理.
② 归纳练习：(i)由铜、铁、铝、金、银能导电，能归纳出什么结论？
(ii)由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和180度，能归纳出什么结论？
(iii)观察等式：，能得出怎样的结论？
③ 讨论：(i)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，是否属归纳推理？
(ii)归纳推理有何作用？ （发现新事实，获得新结论，是做出科学发现的重要手段）
(iii)归纳推理的结果是否正确？（不一定）
2. 教学例题：
出示例题：已知数列的第1项，且，试归纳出通项公式.
（分析思路：试值n=1，2，3，4 → 猜想 →如何证明：将递推公式变形，再构造新数列）
② 思考：证得某命题在n＝n时成立；又假设在n＝k时命题成立，再证明n＝k＋1时命题也成立. 由这两步，可以归纳出什么结论？ （目的：渗透数学归纳法原理，即基础、递推关系）
③ 练习：已知 ，推测的表达式.
3. 小结：①归纳推理的药店：由部分到整体、由个别到一般；②典型例子：哥德巴赫猜想的提出；数列通项公式的归纳.
三、巩固练习：

第二课时 2.1.1 合情推理（二）
教学要求：结合已学过的数学实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用.
教学重点：了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理.
教学难点：用归纳和类比进行推理，作出猜想.
教学过程：
一、复习准备：
1. 练习：已知 ，考察下列式子：；；. 我们可以归纳出，对也成立的类似不等式为 .
2. 猜想数列的通项公式是 .
3. 导入：鲁班由带齿的草发明锯；人类仿照鱼类外形及沉浮原理，发明潜水艇；地球上有生命，火星与地球有许多相似点，如都是绕太阳运行、扰轴自转的行星，有大气层，也有季节变更，温度也适合生物生存，科学家猜测：火星上有生命存在. 以上都是类比思维，即类比推理.
二、讲授新课：
1. 教学概念：
① 概念：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理. 简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理.
② 类比练习：
(i)圆有切线，切线与圆只交于一点，切点到圆心的距离等于半径. 由此结论如何类比到球体？
(ii)平面内不共线的三点确定一个圆，由此结论如何类比得到空间的结论？
(iii)由圆的一些特征，类比得到球体的相应特征. （教材P81 探究 填表）
小结：平面→空间，圆→球，线→面.
③ 讨论：以平面向量为基础学习空间向量，试举例其中的一些类比思维.
2. 教学例题：
① 出示例1：类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质. （得到如下表格）
类比角度
实数的加法
实数的乘法
运算结果
若则
若则
运算律
逆运算
加法的逆运算是减法，使得方程有唯一解
乘法的逆运算是除法，使得方程有唯一解
单位元
② 出示例2：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想.
思维：直角三角形中，，3条边的长度，2条直角边和1条斜边；
→3个面两两垂直的四面体中，，4个面的面积和
3个“直角面”和1个“斜面”. → 拓展：三角形到四面体的类比.
3. 小结：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，统称为合情推理.
三、巩固练习：
第三课时 2.1.2 演绎推理
教学要求：结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理。.
教学重点：了解演绎推理的含义，能利用“三段论”进行简单的推理.
教学难点：分析证明过程中包含的“三段论”形式.
教学过程：
一、复习准备：
1. 练习： ① 对于任意正整数n，猜想（2n-1）与(n+1)2的大小关系？
②在平面内，若，则. 类比到空间，你会得到什么结论？（结论：在空间中，若，则；或在空间中，若.
2. 讨论：以上推理属于什么推理，结论正确吗？
合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明，有什么能使结论正确的推理形式呢？
3. 导入：① 所有的金属都能够导电，铜是金属，所以 ；
② 太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，冥王星是太阳系的大行星，因此 ；
③ 奇数都不能被2整除，2007是奇数，所以 .
（填空→讨论：上述例子的推理形式与我们学过的合情推理一样吗？→课题：演绎推理）
二、讲授新课：
1. 教学概念：
① 概念：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理。
要点：由一般到特殊的推理。
② 讨论：演绎推理与合情推理有什么区别？
合情推理；演绎推理：由一般到特殊.
③ 提问：观察教材P88引例，它们都由几部分组成，各部分有什么特点？
所有的金属都导电 铜是金属 铜能导电
已知的一般原理 特殊情况 根据原理，对特殊情况做出的判断
大前提 小前提 结论
“三段论”是演绎推理的一般模式：第一段：大前提——已知的一般原理；第二段：小前提——所研究的特殊情况；第三段：结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断.
④ 举例：举出一些用“三段论”推理的例子.
2. 教学例题：
① 出示例1：证明函数在上是增函数.
板演：证明方法（定义法、导数法） → 指出：大前题、小前题、结论.
② 出示例2：在锐角三角形ABC中，，D，E是垂足. 求证：AB的中点M到D，E的距离相等.
分析：证明思路 →板演：证明过程 → 指出：大前题、小前题、结论.
③ 讨论：因为指数函数是增函数，是指数函数，则结论是什么？
（结论→指出：大前提、小前提 → 讨论：结论是否正确，为什么？）
④ 讨论：演绎推理怎样才结论正确？（只要前提和推理形式正确，结论必定正确）
3. 比较：合情推理与演绎推理的区别与联系？（从推理形式、结论正确性等角度比较；演绎推理可以验证合情推理的结论，合情推理为演绎推理提供方向和思路.）
三、巩固练习：
数学：2.1《合情推理与演绎证明》测试
新人教A版选修（2-2）
一、选择题
1．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的（　　）
Ａ．充分条件 Ｂ．必要条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．等价条件
答案：Ａ
2．结论为：能被整除，令验证结论是否正确，得到此结论成立的条件可以为（　　）
Ａ． Ｂ．且 Ｃ．为正奇数 Ｄ．为正偶数
答案：Ｃ
3．在中，，则一定是（　　）
Ａ．锐角三角形 Ｂ．直角三角形 Ｃ．钝角三角形 Ｄ．不确定
答案：Ｃ
4．在等差数列中，若，公差，则有，类经上述性质，在等比数列中，若，则的一个不等关系是（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案：Ｂ
5．（1）已知，求证，用反证法证明时，可假设，
（2）已知，，求证方程的两根的绝对值都小于1．用反证法证明时可假设方程有一根的绝对值大于或等于1，即假设，以下结论正确的是（　　）
Ａ．与的假设都错误
Ｂ．与的假设都正确
Ｃ．的假设正确；的假设错误
Ｄ．的假设错误；的假设正确
答案：Ｄ
6．观察式子：，，，，则可归纳出式子为（　　）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
答案：Ｃ
7．如图，在梯形中，．若，到与的距离之比为，则可推算出：．试用类比的方法，推想出下述问题的结果．在上面的梯形中，延长梯形两腰相交于点，设，的面积分别为，且到与的距离之比为，则的面积与的关系是（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案：Ｃ
8．已知，且，则（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案：Ｂ
9．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程有有理根，那么中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（　　）
Ａ．假设都是偶数
Ｂ．假设都不是偶数
Ｃ．假设至多有一个是偶数
Ｄ．假设至多有两个是偶数
答案：Ｂ
10．用数学归纳法证明，从到，左边需要增乘的代数式为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案：Ｂ
11．类比“两角和与差的正余弦公式”的形式，对于给定的两个函数，，，其中，且，下面正确的运算公式是（　　）
①；
②；
③；
④；
Ａ．①③ Ｂ．②④ Ｃ．①④ Ｄ．①②③④
答案：Ｄ
12．正整数按下表的规律排列
则上起第2005行，左起第2006列的数应为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案：Ｄ
二、填空题
13．写出用三段论证明为奇函数的步骤是　　　　．
答案：满足的函数是奇函数，　　　　　　　　大前提
，　　小前提
所以是奇函数．　　　　　　　　　　　　　 结论
14．已知，用数学归纳法证明时，等于　　　　　．
答案：
15．由三角形的性质通过类比推理，得到四面体的如下性质：四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体内切球的球心，那么原来三角形的性质为　　　　　．
答案：三角形内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心
16．下面是按照一定规律画出的一列“树型”图：

设第个图有个树枝，则与之间的关系是　　　　．
答案：
三、解答题
17．如图（1），在三角形中，，若，则；若类比该命题，如图（2），三棱锥中，面，若点在三角形所在平面内的射影为，则有什么结论？命题是否是真命题．
解：命题是：三棱锥中，面，若点在三角形所在平面内的射影为，则有是一个真命题．
证明如下：
在图（2）中，连结，并延长交于，连结，则有．
因为面，，所以．
又，所以．
于是．
18．如图，已知矩形所在平面，分别是的中点．
求证：（1）平面；（2）．
证明：（1）取的中点，连结．
分别为的中点．
为的中位线，
，，而为矩形，
，且．
，且．
为平行四边形，，而平面，平面，
平面．
（2）矩形所在平面，
，而， 与是平面内的两条直交直线，
平面，而平面，
．
又，．
19．求证：当一个圆和一个正方形的周长相等时，圆的面积比正方形的面积大．
证明：（分析法）设圆和正方形的周长为，依题意，圆的面积为，
正方形的面积为．
因此本题只需证明．
要证明上式，只需证明，
两边同乘以正数，得．
因此，只需证明．
上式是成立的，所以．
这就证明了如果一个圆和一个正方形的周长相等，那么圆的面积比正方形的面积最大．
20．已知实数满足，，求证中至少有一个是负数．
证明：假设都是非负实数，因为，
所以，所以，，
所以，
这与已知相矛盾，所以原假设不成立，即证得中至少有一个是负数．
21．设，（其中，且）．
（1）请你推测能否用来表示；
（2）如果（1）中获得了一个结论，请你推测能否将其推广．
解：（1）由，
又，
因此．
（2）由，即，
于是推测．
证明：因为，（大前提）．
所以，，，（小前提及结论）
所以．
22．若不等式对一切正整数都成立，求正整数的最大值，并证明结论．
解：当时，，即，
所以．
而是正整数，所以取，下面用数学归纳法证明：．
（1）当时，已证；
（2）假设当时，不等式成立，即．
则当时，
有
．
因为，
所以，
所以．
所以当时不等式也成立．
由（1）（2）知，对一切正整数，都有，
所以的最大值等于25．
数学：2.1《合情推理与演绎证明》测试2
（新人教A版选修2-2）
一、选择题
1．下面使用的类比推理中恰当的是（　　）
Ａ．“若，则”类比得出“若，则”
Ｂ．“”类比得出“”
Ｃ．“”类比得出“”
Ｄ．“”类比得出“”
答案：Ｃ
2．图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是（　　）
Ａ．25 Ｂ．66 Ｃ．91 Ｄ．120
答案：Ｃ
3．推理“①正方形是平行四边形；②梯形不是平行四边形；③所以梯形不是正方形”中的小前提是（　　）
Ａ．① Ｂ．② Ｃ．③ Ｄ．①和②
答案：Ｂ
4．用数学归纳法证明等式时，第一步验证时，左边应取的项是（　　）
Ａ．1 Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案：Ｄ
5．在证明命题“对于任意角，”的过程：“”中应用了（　　）
Ａ．分析法 Ｂ．综合法 Ｃ．分析法和综合法综合使用 Ｄ．间接证法
答案：Ｂ
6．要使成立，则应满足的条件是（　　）
Ａ．且 Ｂ．且
Ｃ．且 Ｄ．且或且
答案：Ｄ
7．下列给出的平面图形中，与空间的平行六面体作为类比对象较为合适的是（　　）
Ａ．三角形 Ｂ．梯形 Ｃ．平行四边形 Ｄ．矩形
答案：Ｃ
8．命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是（　　）
Ａ．有两个内角是钝角 Ｂ．有三个内角是钝角
Ｃ．至少有两个内角是钝角 Ｄ．没有一个内角是钝角
答案：Ｃ
9．用数学归纳法证明能被8整除时，当时，对于可变形为（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案：Ａ
10．已知扇形的弧长为，所在圆的半径为，类比三角形的面积公式：底高，可得扇形的面积公式为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．不可类比
答案：Ｃ
11．已知，，，则以下结论正确的是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．，大小不定
答案：Ｂ
12．观察下列各式：，，，，，可以得出的一般结论是（　　）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
答案：Ｂ
二、填空题
13．已知，则中共有　　　　项．
答案：
14．已知经过计算和验证有下列正确的不等式：，，
，根据以上不等式的规律，请写出对正实数成立的条件不等式　　　　　．
答案：当时，有
15．在数列中，，，可以猜测数列通项的表达式为　　　．
答案：
16．若三角形内切圆的半径为，三边长为，则三角形的面积等于，根据类比推理的方法，若一个四面体的内切球的半径为，四个面的面积分别是，则四面体的体积　　　　　．
答案：
三、解答题
17．已知是整数，是偶数，求证：也是偶数．
证明：（反证法）假设不是偶数，即是奇数．
设，则．
是偶数，
是奇数，这与已知是偶数矛盾．
由上述矛盾可知，一定是偶数．
18．已知命题：“若数列是等比数列，且，则数列也是等比数列”．类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论．
解：类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：若数列是等差数列，则数列也是等差数列．
证明如下：
设等差数列的公差为，则，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列．
19．已知，且，求证：．
证明：因为，且，
所以，，要证明原不等式成立，只需证明r，
即证，从而只需证明，
即，
因为，，
所以成立，故原不等式成立．
20．用三段论方法证明：．
证明：因为，所以（此处省略了大前提），
所以（两次省略了大前提，小前提），
同理，，，
三式相加得．
（省略了大前提，小前提）
21．由下列不等式：，，，，，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明．
解：根据给出的几个不等式可以猜想第个不等式，即一般不等式为：
．
用数学归纳法证明如下：
（1）当时，，猜想成立；
（2）假设当时，猜想成立，即，
则当时，
，即当时，猜想也正确，所以对任意的，不等式成立．
22．是否存在常数，使得等式对一切正整数都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
解：假设存在，使得所给等式成立．
令代入等式得解得
以下用数学归纳法证明等式对一切正整数都成立．
（1）当时，由以上可知等式成立；
（2）假设当时，等式成立，即，
则当时，
．
由（1）（2）知，等式结一切正整数都成立．
课件20张PPT。2.2.1《直接证明与间接证明-综合法和分析法》教学目标结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.
教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.
教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.2.2直接证明与间接证明2.2.1 综合法和分析法(1)演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程.数学结论、证明思路的发现,主要靠合情推理.复习
例:已知a>0,b>0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc因为b2+c2 ≥2bc,a>0
所以a(b2+c2)≥2abc.又因为c2+b2 ≥2bc,b>0
所以b(c2+a2)≥ 2abc.因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.证明:利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论.则综合法用框图表示为:…例：在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ对应的边分别为a、b、c，且Ａ、Ｂ、Ｃ成等差数列，a、b、c成等比数列，求证△ＡＢＣ为等边三角形．例：在锐角三角形ＡＢＣ中，
求证sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC例：设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为Ｆ，经过点Ｆ的直线交抛物线于Ａ、Ｂ两点，点Ｃ在抛物线的准线上，且ＢＣ∥x轴（如图），证明直线ＡＣ经过原点ＯF作业：Ｐ１０２　Ａ组２，Ｂ组２2.2直接证明与间接证明2.2.1 综合法和分析法(2) 一般地，利用已知条件和某些已经学过的定义、定理、公理等，经过一系列的推理、论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。
特点:“由因导果”回顾基本不等式：
(a>0,b>0)的证明. 一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做分析法．
特点：执果索因.用框图表示分析法的思考过程、特点.例:设a,b,c为一个三角形的三
边,且s2=2ab,
试证s<2a例:如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作SB的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足为F,求证 AF⊥SC证明:要证AF⊥SC只需证:SC⊥平面AEF只需证:AE⊥SC只需证:AE⊥平面SBC只需证:AE⊥BC只需证:BC⊥平面SAB只需证:BC⊥SA只需证:SA⊥平面ABC因为:SA⊥平面ABC成立所以. AF⊥SC成立证:也可以是经过证明的结论例:已知数列{an}的通项an>0,(n∈N*),它的前n项的和记为sn,数列{s2n}是首项为3,公差为1的等差数列. (1)求an与sn的解析式; (2)试比较sn与3nan(n∈N*),的大小.作业：Ｐ１０２　Ａ组4，Ｂ组3思考题:甲、乙、丙三箱共有小球384个,先由甲箱取出若干放进乙、丙两箱内,所放个数分别为乙、丙箱内原有个数,继而由乙箱取出若干个球放进甲、丙两箱内,最后由丙箱取出若干个球放进甲、乙两箱内,方法同前.结果三箱内的小球数恰好相等.求甲、乙、丙三箱原有小球数甲:208个,乙:112个,丙:64个再见课件14张PPT。2.2.2《直接证明与间接证明-反证法》教学目标结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点.
教学重点：会用反证法证明问题；了解反证法的思考过程.
教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.经过证明的结论 一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做分析法．
特点：执果索因.用框图表示分析法思考题:甲、乙、丙三箱共有小球384个,先由甲箱取出若干放进乙、丙两箱内,所放个数分别为乙、丙箱内原有个数,继而由乙箱取出若干个球放进甲、丙两箱内,最后由丙箱取出若干个球放进甲、乙两箱内,方法同前.结果三箱内的小球数恰好相等.求甲、乙、丙三箱原有小球数甲:208个,乙:112个,丙:64个思考？ A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎。则C必定是在撒谎，为什么？分析:假设C没有撒谎, 则C真. - - -- -那么A假且B假;由A假, 知B真. 这与B假矛盾.那么假设C没有撒谎不成立;则C必定是在撒谎. 反证法：
假设命题结论的反面成立，经过正确的推理,引出矛盾，因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这样的的证明方法叫反证法。反证法的思维方法：
正难则反反证法的基本步骤：
（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成-------立；
（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
（3）从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结 ------论正确归缪矛盾：
（1）与已知条件矛盾；
（2）与已有公理、定理、定义矛盾；
（3）自相矛盾。应用反证法的情形：

(1)直接证明困难;
(2)需分成很多类进行讨论．
（3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个” ---类命题；
（4）结论为 “唯一”类命题；
例1：用反证法证明：
如果a>b>0，那么例2 已知a≠0，证明x的方程ax=b有且只有一个根。例3：证明：圆的两条不全是直径的相交弦不能互相平分.已知：在⊙O中,弦AB、CD相交于P，且AB、CD不全是直径 求证：AB、CD不能互相平分。ABCD 例4 求证： 是无理数。作业再见§2.2.1 直接证明与间接证明———综合法
【学习目标】
1会用综合法证明不等式；能说出综合法证明的意义;
2．能够记住并说出综合法实质——由因导果；
3．熟练记住所学过的重要定义、定理、公理和重要不等式等，并能恰当的利用它们进行证明.
【重点难点】
重点：会用综合法证明问题；综合法的思考过程.
难点：选择适当的条件方法，作为出发点是综合法证明的难点.
【知识链接】
（1）公理3：两个不重合的平面有一个公共点，那么
.
（2）重要不等式： ， ()
（3）两个向量的数量积公式： .
（4）正弦定理： ，
(5) 余弦定理: ， .
(6) 等差中项： .
等比中项： .
【知识链接】
归纳推理的概念
【问题探究】
2. 综合法的含义和特点：

.
【典例分析】
例2.若实数，求证：


例4 已知a，b∈R，且a+b=1． 求证：
本题解法很多，请发挥你的才智，用不同方法证明.
【目标检测】
4. 已知，，求证：.
5. 定义在上的函数在上是增函数,且函数为偶函数,则f(-1), f(4), f()的大小关系是__________________.
.已知二次函数的导数为,,对于任意实数x,都有,则的最小值为 ( )
A 3 B C 2 D
【总结反思】
知识
重点
能力与思想方法 .
【自我评价】你完成本学案的情况为( )
A.很好 B.较好 C.一般 D.较差
§2.2.2直接证明与间接证明———分析法
【学习目标】
1．能够用分析法证明不等式；
2．能够记住并说出分析法实质——执果索因；
3．提高证明不等式证法灵活性
【重点难点】
学习重点：分析法的思考过程、特点
学习难点：分析法的过程书写
【知识链接】
一般地，利用已知条件和某些已经学过的定义、定理、公理等，经过一系列的推理、论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。
【问题探究】
一、新课自学
回顾基本不等式：的证明.
证法一：因为： 证法二：要证：
所以 只需证：
所以 只需证：
所以 成立 只需证：
因为： 成立
所以 成立
1. 分析法:一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做分析法．分析法，又叫逆推证法或执果索因法。
2．分析法的思考过程、特点：

分析法证明的本质是从结论出发逐步寻求使结论成立的充分条件（或必要条件）.
【典例分析】
例1.求证
证明：因为都是正数，所以为了证明
只需证明_____________________
展开得 ______________________
即 ________________________
因为成立，所以
___________________________成立
即证明了___________________
例2已知a,b是正整数,求证: .
证明:
例3 设a,b,c为一个三角形的三边,且试证：
证明:
例4.图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作SB的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足为F,求证 ： AF⊥SC .
证明:要证
只需证:
只需证:
只需证: 只需证:
只需证: 只需证:
只需证: 所以， AF⊥SC成立
总结：分析法和综合法的优缺点
分析法的优点：解题方向明确，容易找到解题的思路和方法
缺点：思路逆行，叙述较繁.
综合法的优点：从条件推出结论，较简捷地解决问题；
缺点：不便于思考.
注：解题时，一般用分析法寻找解题思路，再用综合法写解题过程
【目标检测】
1.若x,y∈R+,且x≠y,则下列四个数中最小的一个是 ( )
A B C D
2.证明下列不等式:
(2)(x≥4);
3. 设a、b是两个正实数，且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2．
【总结反思】
知识
重点
能力与思想方法 .
【自我评价】你完成本学案的情况为( )
A.很好 B.较好 C.一般 D.较差
§2.2.3 反证法
【学习目标】
1.能说出间接证明的一种基本方法──反证法；
2.能说出反证法的思考过程、特点.
【重点难点】
学习重点：反证法的思考过程、特点
学习难点：反证法的思考过程、特点
【学法指导】
1.反证法是一种间接证法。
2.用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。
3．应用反证法的情形：
(1)直接证明困难;
(2)需分成很多类进行讨论；
（3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个” 类命题；
（4）结论为 “唯一”类命题.
【问题探究】
一、课题导入
A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎。则C必定是在撒谎，为什么？
二、新课自学
1．反证法 假设命题结论的反面成立，经过正确的推理,引出矛盾，因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这样的的证明方法叫反证法。
因此，反证法是一种间接证法。
2．反证法的思维方法： 正难则反。
3. 反证法的基本步骤：
（1）反设: 假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；
（2）归谬: 从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
（3）结论: 从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。
反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的。
例如：是/不是；存在/不存在；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。 归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。
4.归缪矛盾：
（1）与已知条件矛盾；
（2）与已有公理、定理、定义矛盾；
（3）自相矛盾。
5.应用反证法的情形
(1)直接证明困难;
(2)需分成很多类进行讨论．
（3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个” ---类命题；
（4）结论为 “唯一”类命题；

【典例分析】
例1. 已知x、y、z是整数，且x2+y2=z2.求证：x、y、z不可能都是奇数.
例2. 用反证法证明：不是有理数.
提示：直接证明一个数是无理数比较困难，所以我们采用反证法。从有理数的定义、表示、性质找突破口，然后利用有理数的运算（律）
例3. 已知：若均为实数，且
求证：至少中有一个大于0.
例. 设，用反证法证明：
议一议：试根据上述几例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？
【目标检测】
1.求证：不可能成等差数列.
2 若,且,求证: 或中至少有一个成立.
3．若，证明：关于的方程与 中至少有一个有实数根.
4．设，求证：不可能同时大于.
.设二次函数，求证：中至少有一个不小于.
提示：反证法，假设都小于，则
，即
根据三个不等关系可导出之间存在矛盾.
【总结反思】
知识
重点
能力与思想方法 .
【自我评价】你完成本学案的情况为( )
A.很好 B.较好 C.一般 D.较差
数学：2.2.1《综合法和分析法》教案
第一课时 2.2.1 综合法和分析法（一）
教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.
教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.
教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.
教学过程：
一、复习准备：
1. 已知 “若，且，则”，试请此结论推广猜想.
（答案：若，且，则 ）
2. 已知，，求证：.
先完成证明 → 讨论：证明过程有什么特点？
二、讲授新课：
1. 教学例题：
① 出示例1：已知a, b, c是不全相等的正数，求证：a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) > 6abc.
分析：运用什么知识来解决？（基本不等式） → 板演证明过程（注意等号的处理）
→ 讨论：证明形式的特点
② 提出综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.
框图表示： 要点：顺推证法；由因导果.
③ 练习：已知a，b，c是全不相等的正实数，求证.
④ 出示例2：在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列. 求证：为△ABC等边三角形.
分析：从哪些已知，可以得到什么结论？ 如何转化三角形中边角关系？
→ 板演证明过程 → 讨论：证明过程的特点.
→ 小结：文字语言转化为符号语言；边角关系的转化；挖掘题中的隐含条件（内角和）
2. 练习：
为锐角，且，求证：. （提示：算）
② 已知 求证：
3. 小结：综合法是从已知的P出发，得到一系列的结论，直到最后的结论是Q. 运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题.
三、巩固练习：
1. 求证：对于任意角θ，. （教材P100 练习 1题）
（两人板演 → 订正 → 小结：运用三角公式进行三角变换、思维过程）
2. 的三个内角成等差数列，求证：.
3. 作业：

第二课时 2.2.1 综合法和分析法（二）
教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.
教学重点：会用分析法证明问题；了解分析法的思考过程.
教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.
教学过程：
一、复习准备：
1. 提问：基本不等式的形式？
2. 讨论：如何证明基本不等式.
（讨论 → 板演 → 分析思维特点：从结论出发，一步步探求结论成立的充分条件）
二、讲授新课：
1. 教学例题：
① 出示例1：求证.
讨论：能用综合法证明吗？ → 如何从结论出发，寻找结论成立的充分条件？
→ 板演证明过程 （注意格式）
→ 再讨论：能用综合法证明吗？ → 比较：两种证法
② 提出分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.
框图表示： 要点：逆推证法；执果索因.
③ 练习：设x > 0，y > 0，证明不等式：.
先讨论方法 → 分别运用分析法、综合法证明.
④ 出示例2：见教材P97. 讨论：如何寻找证明思路？（从结论出发，逐步反推）
⑤ 出示例3：见教材P99. 讨论：如何寻找证明思路？（从结论与已知出发，逐步探求）
2. 练习：证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面（指横截面）的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大.
提示：设截面周长为l，则周长为l的圆的半径为，截面积为，周长为l的正方形边长为，截面积为，问题只需证：> .
3. 小结：分析法由要证明的结论Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知，直到所有的已知P都成立；
比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”(分析)，从“已知”推“可知”（综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径. （框图示意）
三、巩固练习：
1. 设a, b, c是的△ABC三边，S是三角形的面积，求证：.
略证：正弦、余弦定理代入得：，
即证：，即：，即证：（成立）.
2. 作业：
第三课时 2.2.2 反证法
教学要求：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点.
教学重点：会用反证法证明问题；了解反证法的思考过程.
教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.
教学过程：
一、复习准备：
1. 讨论：三枚正面朝上的硬币，每次翻转2枚，你能使三枚反面都朝上吗？（原因：偶次）
2. 提出问题： 平面几何中，我们知道这样一个命题：“过在同一直线上的三点A、B、C不能作圆”. 讨论如何证明这个命题？
3. 给出证法：先假设可以作一个⊙O过A、B、C三点，
则O在AB的中垂线l上，O又在BC的中垂线m上，
即O是l与m的交点。
但 ∵A、B、C共线，∴l∥m(矛盾)
∴ 过在同一直线上的三点A、B、C不能作圆.
二、讲授新课：
1. 教学反证法概念及步骤：
① 练习：仿照以上方法，证明：如果a>b>0，那么
② 提出反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.
证明基本步骤：假设原命题的结论不成立 → 从假设出发，经推理论证得到矛盾 → 矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论成立
应用关键：在正确的推理下得出矛盾（与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等）.
方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实.
注：结合准备题分析以上知识.
2. 教学例题：
① 出示例1：求证圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.
分析：如何否定结论？ → 如何从假设出发进行推理？ → 得到怎样的矛盾？
与教材不同的证法：反设AB、CD被P平分，∵P不是圆心，连结OP，
则由垂径定理：OP(AB，OP(CD，则过P有两条直线与OP垂直（矛盾），∴不被P平分.
② 出示例2：求证是无理数. （ 同上分析 → 板演证明，提示：有理数可表示为）
证：假设是有理数，则不妨设（m,n为互质正整数），
从而：，，可见m是3的倍数.
设m=3p（p是正整数），则 ，可见n 也是3的倍数.
这样，m, n就不是互质的正整数（矛盾）. ∴不可能，∴是无理数.
③ 练习：如果为无理数，求证是无理数.
提示：假设为有理数，则可表示为（为整数），即.
由，则也是有理数，这与已知矛盾. ∴ 是无理数.
3. 小结：反证法是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确. 注意证明步骤和适应范围（“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征的问题）
三、巩固练习：
一、选择题
1．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的（　　）
Ａ．充分条件 Ｂ．必要条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．等价条件
答案：Ａ
2．结论为：能被整除，令验证结论是否正确，得到此结论成立的条件可以为（　　）
Ａ． Ｂ．且 Ｃ．为正奇数 Ｄ．为正偶数
答案：Ｃ
3．在中，，则一定是（　　）
Ａ．锐角三角形 Ｂ．直角三角形 Ｃ．钝角三角形 Ｄ．不确定
答案：Ｃ
4．在等差数列中，若，公差，则有，类经上述性质，在等比数列中，若，则的一个不等关系是（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案：Ｂ
5．（1）已知，求证，用反证法证明时，可假设，
（2）已知，，求证方程的两根的绝对值都小于1．用反证法证明时可假设方程有一根的绝对值大于或等于1，即假设，以下结论正确的是（　　）
Ａ．与的假设都错误
Ｂ．与的假设都正确
Ｃ．的假设正确；的假设错误
Ｄ．的假设错误；的假设正确
答案：Ｄ
6．观察式子：，，，，则可归纳出式子为（　　）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
答案：Ｃ
7．如图，在梯形中，．若，到与的距离之比为，则可推算出：．试用类比的方法，推想出下述问题的结果．在上面的梯形中，延长梯形两腰相交于点，设，的面积分别为，且到与的距离之比为，则的面积与的关系是（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案：Ｃ
8．已知，且，则（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案：Ｂ
9．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程有有理根，那么中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（　　）
Ａ．假设都是偶数
Ｂ．假设都不是偶数
Ｃ．假设至多有一个是偶数
Ｄ．假设至多有两个是偶数
答案：Ｂ
10．用数学归纳法证明，从到，左边需要增乘的代数式为
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案：Ｂ
11．类比“两角和与差的正余弦公式”的形式，对于给定的两个函数，，，其中，且，下面正确的运算公式是（　　）
①；
②；
③；
④；
Ａ．①③ Ｂ．②④ Ｃ．①④ Ｄ．①②③④
答案：Ｄ
12．正整数按下表的规律排列
则上起第2005行，左起第2006列的数应为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案：Ｄ
二、填空题
13．写出用三段论证明为奇函数的步骤是　　　　．
答案：满足的函数是奇函数，　　　　　　　　大前提
，　　小前提
所以是奇函数．　　　　　　　　　　　　　 结论
14．已知，用数学归纳法证明时，等于　　　　　．
答案：
15．由三角形的性质通过类比推理，得到四面体的如下性质：四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体内切球的球心，那么原来三角形的性质为　　　　　．
答案：三角形内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心
16．下面是按照一定规律画出的一列“树型”图：

设第个图有个树枝，则与之间的关系是　　　　．
答案：
三、解答题
17．如图（1），在三角形中，，若，则；若类比该命题，如图（2），三棱锥中，面，若点在三角形所在平面内的射影为，则有什么结论？命题是否是真命题．
解：命题是：三棱锥中，面，若点在三角形所在平面内的射影为，则有是一个真命题．
证明如下：
在图（2）中，连结，并延长交于，连结，则有．
因为面，，所以．
又，所以．
于是．
18．如图，已知矩形所在平面，分别是的中点．
求证：（1）平面；（2）．
证明：（1）取的中点，连结．
分别为的中点．
为的中位线，
，，而为矩形，
，且．
，且．
为平行四边形，，而平面，平面，
平面．
（2）矩形所在平面，
，而，与是平面内的两条直交直线，
平面，而平面，
．
又，．
19．求证：当一个圆和一个正方形的周长相等时，圆的面积比正方形的面积大．
证明：（分析法）设圆和正方形的周长为，依题意，圆的面积为，
正方形的面积为．
因此本题只需证明．
要证明上式，只需证明，
两边同乘以正数，得．
因此，只需证明．
上式是成立的，所以．
这就证明了如果一个圆和一个正方形的周长相等，那么圆的面积比正方形的面积最大．
20．已知实数满足，，求证中至少有一个是负数．
证明：假设都是非负实数，因为，
所以，所以，，
所以，
这与已知相矛盾，所以原假设不成立，即证得中至少有一个是负数．
21．设，（其中，且）．
（1）请你推测能否用来表示；
（2）如果（1）中获得了一个结论，请你推测能否将其推广．
解：（1）由，
又，
因此．
（2）由，即，
于是推测．
证明：因为，（大前提）．
所以，，，（小前提及结论）
所以．
22．若不等式对一切正整数都成立，求正整数的最大值，并证明结论．
解：当时，，即，
所以．
而是正整数，所以取，下面用数学归纳法证明：．
（1）当时，已证；
（2）假设当时，不等式成立，即．
则当时，
有
．
因为，
所以，
所以．
所以当时不等式也成立．
由（1）（2）知，对一切正整数，都有，
所以的最大值等于25．
高中新课标选修（2-2）推理与证明综合测试题
一、选择题
1．下面使用的类比推理中恰当的是（　　）
Ａ．“若，则”类比得出“若，则”
Ｂ．“”类比得出“”
Ｃ．“”类比得出“”
Ｄ．“”类比得出“”
答案：Ｃ
2．图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是（　　）
Ａ．25 Ｂ．66 Ｃ．91 Ｄ．120
答案：Ｃ
3．推理“①正方形是平行四边形；②梯形不是平行四边形；③所以梯形不是正方形”中的小前提是（　　）
Ａ．① Ｂ．② Ｃ．③ Ｄ．①和②
答案：Ｂ
4．用数学归纳法证明等式时，第一步验证时，左边应取的项是（　　）
Ａ．1 Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案：Ｄ
5．在证明命题“对于任意角，”的过程：“”中应用了（　　）
Ａ．分析法 Ｂ．综合法 Ｃ．分析法和综合法综合使用 Ｄ．间接证法
答案：Ｂ
6．要使成立，则应满足的条件是（　　）
Ａ．且 Ｂ．且
Ｃ．且 Ｄ．且或且
答案：Ｄ
7．下列给出的平面图形中，与空间的平行六面体作为类比对象较为合适的是（　　）
Ａ．三角形 Ｂ．梯形 Ｃ．平行四边形 Ｄ．矩形
答案：Ｃ
8．命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是（　　）
Ａ．有两个内角是钝角 Ｂ．有三个内角是钝角
Ｃ．至少有两个内角是钝角 Ｄ．没有一个内角是钝角
答案：Ｃ
9．用数学归纳法证明能被8整除时，当时，对于可变形为（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案：Ａ
10．已知扇形的弧长为，所在圆的半径为，类比三角形的面积公式：底高，可得扇形的面积公式为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．不可类比
答案：Ｃ
11．已知，，，则以下结论正确的是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．，大小不定
答案：Ｂ
12．观察下列各式：，，，，，可以得出的一般结论是（　　）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
答案：Ｂ
二、填空题
13．已知，则中共有　　　　项．
答案：
14．已知经过计算和验证有下列正确的不等式：，，
，根据以上不等式的规律，请写出对正实数成立的条件不等式　　　　　．
答案：当时，有
15．在数列中，，，可以猜测数列通项的表达式为　　　．
答案：
16．若三角形内切圆的半径为，三边长为，则三角形的面积等于，根据类比推理的方法，若一个四面体的内切球的半径为，四个面的面积分别是，则四面体的体积　　　　　．
答案：
三、解答题
17．已知是整数，是偶数，求证：也是偶数．
证明：（反证法）假设不是偶数，即是奇数．
设，则．
是偶数，
是奇数，这与已知是偶数矛盾．
由上述矛盾可知，一定是偶数．
18．已知命题：“若数列是等比数列，且，则数列也是等比数列”．类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论．
解：类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：若数列是等差数列，则数列也是等差数列．
证明如下：
设等差数列的公差为，则，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列．
19．已知，且，求证：．
证明：因为，且，
所以，，要证明原不等式成立，只需证明r，
即证，从而只需证明，
即，
因为，，
所以成立，故原不等式成立．
20．用三段论方法证明：．
证明：因为，所以（此处省略了大前提），
所以（两次省略了大前提，小前提），
同理，，，
三式相加得．
（省略了大前提，小前提）
21．由下列不等式：，，，，，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明．
解：根据给出的几个不等式可以猜想第个不等式，即一般不等式为：
．
用数学归纳法证明如下：
（1）当时，，猜想成立；
（2）假设当时，猜想成立，即，
则当时，
，即当时，猜想也正确，所以对任意的，不等式成立．
22．是否存在常数，使得等式对一切正整数都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
解：假设存在，使得所给等式成立．
令代入等式得解得
以下用数学归纳法证明等式对一切正整数都成立．
（1）当时，由以上可知等式成立；
（2）假设当时，等式成立，即，
则当时，
．
由（1）（2）知，等式结一切正整数都成立．
选修2-2 《数学归纳法》 教案
【典型例题】
[例1] 求证：。
证明：
（1），左右，成立
（2）假设时成立
即：
当时，左=
=右
即时，成立
综上所述，由（1）（2）对一切命题成立。
[例2] 求证：
证明：
（1），左=4－18=－14=（—1）×2×7=右
（2）假设时成立
即：
当时
左
=右
即：n=k+1时成立
综上所述由（1）（2）命题对一切成立
另解：令中，
∴
[例3] 求证：
证明：
（1）n=1 左=1+1=2=右
（2）假设n=k时成立
即：
当时，左
欲证：左右
∴ 左边 ∴ 时成立
综上所述由（1）（2）对一切命题成立
[例4] 对于，2，求证：。
证明：
（1），左右
（2）假设n=k时成立
即：
当时，左=
右
即时成立
综上所述由（1）（2）对一切，命题成立
[例5] 对于，求证：，可被整除。
证明：
（1），左成立
（2）假设n=k时成立
即：
当时，
∴ 时成立
综上所述由（1）（2）对一切
[例6] 求证：，可被17整除。
证明：
（1）n=0，左=15+2=17成立
（2）假设n=k成立
即，M∈N
当时，
[例7] 是否存在常数使对一切恒成立。
证明：令
下证明对一切
恒成立
（1）n=1时，显然成立
（2）假设n=k时成立
当时，左
∴ 时成立
综上所述由（1）（2）对一切命题成立
[例8] 数列满足，，求。
解：，
∴ 推测
证明：
（1）n=1成立
（2）假设n=k成立
即
当时，
∴ 成立
综上所述对一切，成立
[例9] （为常数），试判断是否为数列中的一项。
证明：
推测
（1）成立
（2）假设n=k成立
即，时，
成立
综上所述对一切，成立
∴ p不是中的一项
[例10] 数列满足
（1）求证：对一切成立；
（2）令，，试比较与大小关系。
（1）① 成立
② 假设n=k时成立，即
当n=k+1时，
∴ ∴ 时成立
综上所述由①②对一切，
（2）
∴ ，
http://www.21cnjy.com/【模拟试题】
1. 用数学归纳法证明时，从n=k到n=k+1，左端需要增加的代数式为（ ）
A. B. C. D.
2. 用数学归纳法证明时，第一步应验证不等式（ ）
A. B.
C. D.
3. 用数学归纳法证明：“”，在验证时，左端计算所得的项为（ ）
A. 1 B. C. D.
4. 设，那么等于（ ）
A. B. C. D.
5. 使不等式对任意的自然数都成立的最小值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
6. 若命题对n=k成立，则它对也成立，又已知命题成立，则下列结论正确的是（ ）
A. 对所有自然数n都成立
B. 对所有正偶数n成立
C. 对所有正奇数n都成立
D. 对所有大于1的自然数n成立
7. 数列满足，且（），则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知数列的前n项和，而，通过计算，猜想（ ）
A. B. C. D.
9. 函数的最大值不大于，又时，
（1）求
（2）设，，求证：
10.设为常数，证明对任意

【试题答案】
1. B 2. B 3. C 4. D 5. D 6. B 7. A 8. B
9.证明：
（1）n=1 成立
（2）假设时成立
即，当n=k+1时，
∴ 成立
综上所述对一切，
10. 证明：（1）n=1，成立
（2）假设n=k时成立
即
当时，
∴ 成立
综上所述对一切命题成立
学校： 临清一中 学科：数学 编写人：杜学云 审稿人：张林
2.3数学归纳法
课前预习学案
一、预习目标：
理解数学归纳法原理及其本质，掌握它的基本步骤与方法．能较好地理解“归纳奠基”和“归纳递推”两者缺一不可。
二、预习内容：
提出问题：
问题1：前面学习归纳推理时，我们有一个问题没有彻底解决．即对于数列，已知 ，( n=1,2,3…)，通过对n=1,2,3,4前4项的归纳，猜想出其通项公式，但却没有进一步的检验和证明．
问题2：大家玩过多米诺骨牌游戏吗？这个游戏有怎样的规划？(多媒体演示多米诺骨牌游戏)
这是一个码放骨牌游戏，码放时保证任意两相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下．只要推倒第一块骨牌，就必然导致第二块骨牌倒下；而第二块骨牌倒下，就必然导致第三块骨牌倒下…最后，不论有多少块骨牌都能全部倒下．
讨论问题：
问题1、问题2有什么共同的特征？其结论成立的条件的共同特征是什么
结论成立的条件：结论对第一个值成立；结论对前一个值成立，则对紧接着的下一个值也成立．
上面两个条件分别起怎样的作用？它们之间有怎样的关系？我们能否去掉其中的一个？你能举反例说明吗？
在上述两个条件中，第一个条件是归纳递推的前提和基础，没有它，后面的递推将无从谈起；第二个步骤是核心和关键，是实现无限问题向有限问题转化的桥梁与纽带．
如在前面的问题1中，如果不是1，而是2，那么就不可能得出，因此第一步看似简单，但却是不可缺少的．而第二步显然更加不可缺少．这一点在多米诺骨牌游戏中也可清楚地看出．
解决问题：
由上，证明一个与自然数n有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)证明当n取第一个值()时命题成立；
(2)假设n=k(k≥,)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．
由以上两个步骤，可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立．
这种证明方法叫做数学归纳法，它是证明与正整数n(n取无限多个值)有关、具有内在递推关系的数学命题的重要工具．
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
学习目标
（1）了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确。（2）初步理解数学归纳法原理。（3）理解和记住用数学归纳法证明数学命题的两个步骤。（4）初步会用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的恒等式。
二、学习过程：
例1、证明等差数列通项公式：
解析：（1）让学生理解数学归纳法的严密性和合理性；（2）掌握从到时等式左边的变化情况。
证明：(1) 当n＝1时等式成立；
(2) 假设当n＝k时等式成立, 即, 则=, 即n＝k＋1时等式也成立
由 （1）、（2）可知， 等差数列的通项公式对任何n∈都成立．
点评：利用数学归纳法证明和正整数相关的命题时，要注意以下三句话：
递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。
变式训练1 .在数列{}中, ＝1, (n∈), 先计算，，的值，再推测通项的公式, 最后证明你的结论．
例2、用数学归纳法证明
()．
解析：（1）进一步让学生理解数学归纳法的严密性和合理性，从而从感性认识
上升为理性认识；
（2）掌握从到时等式左边的变化情况，合理的进行添项、拆项
合并项等。
证明：（1）时：左边，右边，左边=右边，等式成立。
??∴当时等式也成立。
? 由 （1）、（2）可知，对一切?，原等式均成立
点评：利用数学归纳法证明和正整数相关的命题时，要注意以下三句话：
递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。
变式训练2：用数学归纳法证明：1＋3＋5＋…＋（2n－1）＝．
反思总结：
1．归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，分完全归纳法和不完全归纳法两种，而不完全归纳法得出的结论不具有可靠性，必须用数学归纳法进行严格证明；
2．数学归纳法作为一种证明方法，用于证明一些与正整数有关数学命题，它的基本
思想是递推思想，它的证明过程必须是两步，最后还有结论，缺一不可；
3．递推归纳时从到，必须用到归纳假设，并进行适当的恒等变换。注意明等式时第一步中时左右两边的形式，第二步中时应增加的式子；第二步中证明命题成立是全局的主体，主要注意两个“凑”：一是“凑”时的形式（这样才好利用归纳假设），二是“凑”目标式。
当堂检测：
1．观察式子：，，，，则可归纳出式子为（　　）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
答案：Ｃ
2．用数学归纳法证明：首项是，公比是q的等比数列的通项公式是
，前n项和公式是
课后练习与提高
一、选择题
1．用数学归纳法证明过程中，由n=k递推到n=k+1时，不等式左边增加的项为 （ ）
A. B. C. D.
2．凸n边形有f(n)条对角线，凸n+1边形对角线 的条数f(n+1)为 （ ）
A. f(n)+n+1 B. f(n)+n C. f(n)+n-1 D. f(n)+n-2
3．用数学归纳法证明不等式 的过程中，由n=k递推到n=k+1时，不等式左边 （ ）
A.增加了一项
B.增加了一项
C.增加了“”，又减少了“”
D.增加了“ ”，又减少了“”
二、填空题
4．已知数列，计算得，由此可猜测_______．
5．若f(k)=则= + _______．
三、解答题
6．由下列不等式：，，，，，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明．
参考答案：1. C 2. C 3. C 4. 5.
6．解：根据给出的几个不等式可以猜想第个不等式，即一般不等式为：
．
用数学归纳法证明如下：
（1）当时，，猜想成立；
（2）假设当时，猜想成立，即，
则当时，
，即当时，猜想也正确，所以对任意的，不等式成立．
数学：2.3《数学归纳法》教案（新人教A版选修2-2）
第一课时 2.3 数学归纳法（一）
教学要求：了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写.
教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
教学难点：数学归纳法中递推思想的理解.
教学过程：
一、复习准备：
1. 问题1： 在数列中，，先算出a2，a3，a4的值，再推测通项an的公式. （过程：，，，由此得到：）
2. 问题2：，当n∈N时，是否都为质数？
过程：=41，=43，=47，=53，=61，=71，=83，=97，=113，=131，=151，…? =1 601．但是=1 681=412是合数
3. 问题3：多米诺骨牌游戏. 成功的两个条件：（1）第一张牌被推倒；（2）骨牌的排列，保证前一张牌倒则后一张牌也必定倒.
二、讲授新课：
1. 教学数学归纳法概念：
① 给出定义：归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法. 特点：由特殊→一般.
不完全归纳法：根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫不完全归纳法.
完全归纳法：把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法.
② 讨论：问题1中，如果n=k猜想成立，那么n=k+1是否成立？对所有的正整数n是否成立？
③ 提出数学归纳法两大步：（i）归纳奠基：证明当n取第一个值n0时命题成立；（ii）归纳递推：假设n=k（k≥n0， k∈N*）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.
原因：在基础和递推关系都成立时，可以递推出对所有不小于n0的正整数n0+1，n0+2，…，命题都成立. 关键：从假设n=k成立，证得n=k+1成立.
2. 教学例题：
出示例1：.
分析：第1步如何写？n=k的假设如何写？ 待证的目标式是什么？如何从假设出发？
小结：证n=k+1时，需从假设出发，对比目标，分析等式两边同增的项，朝目标进行变形.
② 练习：
求证：.
③ 出示例2：设a＝++…+ (n∈N*)，求证：a<(n＋1).
关键：a<(k＋1)+＝(k+1)+<(k+1)+(k+)＝(k+2)
小结：放缩法，对比目标发现放缩途径. 变式：求证a>n(n＋1)
3. 小结：书写时必须明确写出两个步骤与一个结论，注意“递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉”；从n=k到n=k+1时，变形方法有乘法公式、因式分解、添拆项、配方等.
三、巩固练习： 1. 练习：教材108 练习1、2题 2. 作业：教材108 B组1、2、3题.
第二课时 2.3 数学归纳法（二）
教学要求：了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写.
教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
教学难点：经历试值、猜想、归纳、证明的过程来解决问题.
教学过程：
一、复习准备：
1. 练习：已知，猜想的表达式，并给出证明？
过程：试值，，…，→ 猜想 → 用数学归纳法证明.
2. 提问：数学归纳法的基本步骤？
二、讲授新课：
1. 教学例题：
① 出示例1：已知数列，猜想的表达式，并证明.
分析：如何进行猜想？（试值→猜想） → 学生练习用数学归纳法证明
→ 讨论：如何直接求此题的？ （裂项相消法）
小结：探索性问题的解决过程（试值→猜想、归纳→证明）
② 练习：是否存在常数a、b、c使得等式对一切自然数n都成立，试证明你的结论.
解题要点：试值n=1,2,3， → 猜想a、b、c → 数学归纳法证明
2. 练习：
① 已知 ，考察；；之后，归纳出对也成立的类似不等式，并证明你的结论.
② （89年全国理科高考题）是否存在常数a、b、c，使得等式 （答案：a=3,b=11,c=10）
1对一切自然数n都成立？并证明你的结论
3. 小结：探索性问题的解决模式为“一试验→二归纳→三猜想→四证明”.
三、巩固练习：
1. 平面内有n个圆，任意两个圆都相交于两点，任何三个圆都不相交于同一点，求证这n个圆将平面分成f(n)=n2－n+2个部分.
2. 是否存在正整数m，使得f（n）=（2n+7）·3n+9对任意正整数n都能被m整除?若存在，求出最大的m值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由. （答案：m=36）
3. 试证明面值为3分和5分的邮票可支付任何的邮资.
证明：（1）当时，由可知命题成立；
（2）假设时，命题成立. 则
当时，由（1）及归纳假设，显然时成立.根据（1）和（2），可知命题成立.
小结：新的递推形式，即（1）验证 成立；（2）假设成立，并在此基础上,推出成立. 根据(1)和(2)，对一切自然数,命题都成立.
2. 作业：
课件10张PPT。 2.3数学归纳法(1)对于某类事物，由它的一些特殊事例或其全部可能情况，归纳出一般结论的推理方法，叫归纳法。特点:an=a1+(n-1)d如何证明:1+3+5+…+(2n-1)=n2 (n∈N*)二、数学归纳法的概念：证明某些与自然数有关的数学题,可用下列方法来证明它们的正确性:
(1)验证当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立,
(2)假设当n=k(k?N* ，k?n0 )时命题成立,
证明当n=k+1时命题也成立完成这两步，就可以断定这个命题对从n0开始的所有正整数n都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。求证请问：
第②步中“当n=k+1时”的证明可否改换为：
1+3+5+……+(2k-1)+[2(k+1)-1]= 1+3+5+……+(2k-1)+(2k+1)
= = (k+1)2 ?为什么？?例:用数学归纳法证明例、求证:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n? 1? 3?… ?(2n-1)作业:课件11张PPT。2.3数学归纳法（２）证明某些与自然数有关的数学题,可用下列方法来证明它们的正确性:
(1)验证当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立,
(2)假设当n=k(k?N* ，k?n0 )时命题成立,
证明当n=k+1时命题也成立完成这两步，就可以断定这个命题对从n0开始的所有正整数n都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。回顾例:已知数列
计算 ,根据计算的结果,猜想
的表达式,并用数学归纳法进行证明.例:是否存在常数a、b,使得等式:
对一切正整数n都成立,并证明你的结论.点拨:对这种类型的题目,一般先利用n的特殊值,探求出待定系数,然后用数学归纳法证明它对一切正整数n都成立.解:令n=1,2,并整理得以下用数学归纳法证明:
(2)假设当n=k时结论正确,即:
则当n=k+1时,故当n=k+1时,结论也正确.根据(1)、(2)知,对一切正整数n,结论正确.(1)当n=1时,由上面解法知结论正确.例:比较 2n 与 n2 (n∈N*)的大小注：先猜想，再证明解：当n=1时，2n=2,n2=1, 2n>n2
当n=2时，2n=4,n2=4, 2n=n2
当n=3时，2n=8,n2=9, 2n 当n=4时，2n=16,n2=16, 2n=n2
当n=5时，2n=32,n2=25, 2n>n2
当n=6时，2n=64,n2=36, 2n>n2
猜想当n≥5时，2n>n2(证明略)
例:平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,证明交点的个数f(n)=n(n-1)/2.说明:用数学归纳法证明几何问题,重难点是处理好当n=k+1时利用假设结合几何知识证明命题成立.注:在上例的题设条件下还可以有如下二个结论:(1)设这n条直线互相分割成f(n)条线段或射线,
---则: f(n)=n2.(2)这n条直线把平面分成(n2+n+2)/2个区域.１:平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,
证明这n条直线把平面分成f(n)＝(n2+n+2)/2个区域.作业：1:n边形有f(n)条对角线,则凸n+1边形的对角线 　　　　------的条数f(n+1)=f(n)+_________.2:设有通过一点的k个平面,其中任何三个平面或
三个以上的平面不共有一条直线,这k个平面将
空间分成f(k)个区域,则k+1个平面将空间分成
f(k+1)=f(k)+__________个区域.思考题3.1.1数系的扩充与复数的概念导学案
【学习目标】
1.了解数系从自然数系到有理数系到实数系再到复数系扩充的基本思想.
2.了解引进复数的必要性；
3.理解复数的有关概念，掌握复数的代数表示.
4.重点：数系的扩充，复数的概念与复数的相等的概念；
难点：正确理解各种数集及它们之间的关系，复数的概念，虚数与纯虚数的区别.
【典型例题】
例1.实数x取何值时，复数z＝（x－2）＋（x＋3）i：（1）是实数？ （2）是虚数？ （3）是纯虚数？
例2.求适合下列方程的x和y（x，y∈R）的值：
（1）（x＋2y）－i＝6x＋（x－y）i （2）（x＋y＋1）－（x－y＋2）i＝0
【当堂检测】
1.下列命题是假命题的是 （ ）
A.－i不是负数 B.不是无理数
C.如果a是实数，那么ai是虚数 D.不是分数
2.如果全集U是复数集C，那么 （ ）
A.CuQ＝{无理数} B.CuR＝{虚数} C.CuZ＝{分数} D.
3.下列命题中假命题是 （ ）
A.两个复数相等的一个必要条件是它们的虚部相等
B.两个复数不相等的一个充分条件是它们的实部不相等
C.两个虚数不能比较大小
D.实数一定大于虚数
4.已知2x－1＋(y＋1)i ＝x－y＋(－x－y)i，求实数x，y的值.
6.若方程x2＋mx＋2xi＝－1－mi有实根，求实数m的值，并求出此实根.
【归纳总结】
1.数系扩充的脉络；
2.复数的有关概念和复数相等的概念及其应用.
【巩固练习】
1.设复数z＝a＋bi(a，bR)，则z为纯虚数的必要不充分条件是 （ ）
A.a＝0 B.a＝0且b≠0 C.a≠0且b＝0 D.a≠0且b≠0
2.下列命题中真命题是 （ ）
A.－1的平方根只有一个 B.i是1的四次方根
C.i是－1的四次方根 D.i是方程x6－1＝0的根
3.以的虚部为实部，以的实部为虚部的复数是 （ ）
A.3－3i B.3＋i C. D.
4.已知x，yR，若x2＋2x＋(2y＋x)i＝3x＋(y＋1)i，则复数x＋yi＝
5.若复数z＝m2－1＋m(m＋1)i是纯虚数，则实数m的值.
6.实数k为何值时，复数(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)分别是（1）实数，（2）虚数，（3）纯虚数，
（4）零.
7.已知关于x的方程x2＋(1－2i)x＋3m－i＝0有实数根，求实数m.
8. （1）实数 （2）虚数 （3）纯虚数 （4）实部小于0且虚部大于0.
3.1.1数系的扩充和复数的概念
教学目标：
1. 知识与技能：了解引进复数的必要性；理解并掌握虚数的单位i
2. 过程与方法：理解并掌握虚数单位与实数进行四则运算的规律
3. 情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部) 理解并掌握复数相等的有关概念
教学重点：复数的概念，虚数单位i，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等等概念是本节课的教学重点.复数在现代科学技术中以及在数学学科中的地位和作用
教学难点：虚数单位i的引进及复数的概念是本节课的教学难点.复数的概念是在引入虚数单位i并同时规定了它的两条性质之后，自然地得出的.在规定i的第二条性质时，原有的加、乘运算律仍然成立
教具准备：多媒体、实物投影仪
教学设想：生产和科学发展的需要而逐步扩充，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾.
教学过程：
学生探究过程：
数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0.自然数的全体构成自然数集N
随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展
为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数；为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数.这样就把数集扩充到有理数集Q.显然NQ.如果把自然数集(含正整数和0)与负整数集合并在一起，构成整数集Z，则有ZQ、NZ.如果把整数看作分母为1的分数，那么有理数集实际上就是分数集
有些量与量之间的比值，例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数.所谓无理数，就是无限不循环小数.有理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R.因为有理数都可看作循环小数(包括整数、有限小数)，无理数都是无限不循环小数，所以实数集实际上就是小数集
因生产和科学发展的需要而逐步扩充，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾.但是，数集扩到实数集R以后，像x2=－1这样的方程还是无解的，因为没有一个实数的平方等于－1.由于解方程的需要，人们引入了一个新数，叫做虚数单位.并由此产生的了复数
讲解新课：
1.虚数单位:
(1)它的平方等于-1，即　;
(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立.
2. 与－1的关系: 就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－!　
3. 的周期性：4n+1=i, 4n+2=-1, 4n+3=-i, 4n=1
4.复数的定义：形如的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示*　
3. 复数的代数形式: 复数通常用字母z表示，即，把复数表示成a+bi的形式，叫做复数的代数形式
4. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0.
5.复数集与其它数集之间的关系：NZQRC.
6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等
这就是说，如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+dia=c，b=d　
复数相等的定义是求复数值，在复数集中解方程的重要依据　一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如3+5i与4+3i不能比较大小.
现有一个命题：“任何两个复数都不能比较大小”对吗？不对　如果两个复数都是实数，就可以比较大小　只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小　
例1请说出复数的实部和虚部，有没有纯虚数？
答：
例2 复数－2i+3.14的实部和虚部是什么？
答：
例3（课本例1）实数m取什么数值时，复数z=m+1+(m－1)i是:
(1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？
［分析］因为m∈R，所以m+1，m－1都是实数，由复数z=a+bi是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定m的值.
解：
例4　已知(2x－1)+i=y－(3－y)i，其中x，y∈R，求x与y.
解：
课堂练习：
1.设集合C=｛复数｝，A=｛实数｝，B=｛纯虚数｝，若全集S=C，则下列结论正确的是( ) A.A∪B=C B. A=B C.A∩B= D.B∪B=C
2.复数(2x2+5x+2)+(x2+x－2)i为虚数，则实数x满足( )
A.x=－ B.x=－2或－ C.x≠－2 D.x≠1且x≠－2
3.已知集合M=｛1，2，(m2－3m－1)+(m2－5m－6)i｝，集合P=｛－1，3｝.M∩P=｛3｝，则实数m的值为( )
A.－1 B.－1或4 C.6 D.6或－1
4.满足方程x2－2x－3+(9y2－6y+1)i=0的实数对(x，y)表示的点的个数是______.
5.复数z1=a+｜b｜i，z2=c+｜d｜i(a、b、c、d∈R)，则z1=z2的充要条件是______.
6.设复数z=log2(m2－3m－3)+ilog2(3－m)(m∈R)，如果z是纯虚数，求m的值.
7.若方程x2+(m+2i)x+(2+mi)=0至少有一个实数根，试求实数m的值.
8.已知m∈R，复数z=+(m2+2m－3)i，当m为何值时，
(1)z∈R; (2)z是虚数；(3)z是纯虚数；(4)z=+4i.
课后作业：
教学小结：
这节课我们学习了虚数单位i及它的两条性质，复数的定义、实部、虚部及有关分类问题，复数相等的充要条件，复平面等等.基本思想是：利用复数的概念，联系以前学过的实数的性质，对复数的知识有较完整的认识，以及利用转化的思想将复数问题转化为实数问题
师生反思：
复数的概念如果单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的历史，让学生体会到数集的扩充是生产实践的需要，也是数学学科自身发展的需要；介绍数的概念的发展过程，使学生对数的形成、发展的历史和规律，各种数集中之间的关系有着比较清晰、完整的认识.从而让学生积极主动地建构虚数的概念、复数的概念、复数的分类
课件10张PPT。数系的扩充自然数有理数实数Q+∪{0}QR用图形表示数集包含关系：大胆假设例题1与练习1回顾数系扩充问题提出代数形式虚数发展史 为了解决负数开平方问题，数学家大胆引入一个新数 i ，把 i 叫做虚数单位，并且规定：
(1) i 2??1；
(2)实数可以与 i 进行四则运算,在进行四则运算时,原有的加法与乘法的运算律(包括交换律、结合律和分配律)仍然成立.问题解决:其中a —实部 , b —虚部 ,复数的代数形式：通常用字母 z 表示，即 称为虚数单位.讨论:复数集 C 和实数集 R 之间有什么关系？规定: 0i=0 ,0+bi=bi, a+0i=a例1 实数m取什么值时，复数

是（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？解: （1）当 ，即 时，复数z 是实数．（2）当 ，即 时，复数z 是虚数．（3）当即 时，复数z 是
纯虚数．练习1:当m为何实数时，复数
是 （1）实数 （2）虚数 （3）纯虚数练习22答案 如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．例2 已知 ，其中 求解：根据复数相等的定义，得方程组解得 如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．1.虚数单位i的引入；2.复数有关概念：复数的代数形式:复数的实部 、虚部复数相等虚数、纯虚数3.复数的分类：学习小结3.1.2 复数的几何意义
学习目标:
1.理解复数与复平面的点之间的一一对应关系
2.掌握复数几何意义 及复数模的计算方法
学习重点：理解复数的几何意义，根据复数的代数形式描出其对应的点及向量。
学习难点: 根据复数的代数形式描出其对应的点及向量。
学习过程：
一、复习回顾：
1.复数集是实数集与虚数集的
2.实数集与纯虚数集的交集是
3.纯虚数集是虚数集的
4.设复数集C为全集，那么实数集的补集是
5.a，b．c．d∈R，a+bi=c+di
6.a=0是z=a+bi(a，b∈R)为纯虚数的 条件
二、创设情境：
思考：我们知道，实数与数轴上的点一一对应，因此，实数可以用数轴上的点来表示。类比实数的几何意义，复数的几何意义是什么呢？
三、新知探究：
（一）自主学习（看课本60-61页，完成下面题目）
1.复数z=a+bi(a、b∈R)与有序实数对(a，b)是 的
2. 叫做复平面， x轴叫做 ，y轴叫做 实轴上的点都表示 虚轴上的点除原点外，虚轴上的点都表示
3.复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即
复数 复平面内的点 平面向量
4.复数z=a+bi(a、b∈R)的模
（二）自主练习
自主练习
1、在复平面内，分别用点和向量表示下列复数：
4，2+i，-1+3i，3-2i，-i
2、已知复数=3+4i，=，试比较它们模的大小。
3、若复数Z=3a-4ai(a<0)，则其模长为
4、满足|z|=5(z∈R)的z值有几个？满足|z|=5(z∈C)的z值有几个？这些复数对应的点在复平面内构成怎样的图形？其轨迹方程是什么？
5、设Z∈C，满足2<3的点Z的集合是什么图形？
典例剖析
例1．（2007年辽宁卷）若，则复数在复平面内所对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
变式训练：已知复平面上正方形的三个顶点是A（1，2）、B（－2，1）、C（－1，－2），求它的第四个顶点D对应的复数.
四、课时小结 ：
五、当堂检测：
1.
2、（ ）
A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
3、已知a，判断z=所对应的点在第几象限？
六、课后作业：
1、已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点在直线x-2y+4=0上，实数m的值为_____________________.
2、若复数表示的点在虚轴上，求实数的取值。
3、若复数表示的点在虚轴上，求实数的取值。
变式：若表示的点在复平面的左（右）半平面，试求实数的取值。
3.1. 2复数的几何意义
教学目标：
知识与技能：理解复数与从原点出发的向量的对应关系
过程与方法：了解复数的几何意义
情感、态度与价值观：画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用
教学重点：复数与从原点出发的向量的对应关系．
教学难点：复数的几何意义。
教具准备：多媒体、实物投影仪。
教学设想：复数z=a+bi(a、b∈R)与有序实数对(a，b)是一一对应关系这是因为对于任何一个复数z=a+bi(a、b∈R)，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a，b)惟一确定.
教学过程：
学生探究过程：
1.若，，则
2. 若，，则 = ，
=
两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差
3. 若，，则
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标
即　=(=
讲授新课：
复平面、实轴、虚轴：
复数z=a+bi(a、b∈R)与有序实数对(a，b)是一一对应关系这是因为对于任何一个复数z=a+bi(a、b∈R)，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a，b)惟一确定，如z=3+2i可以由有序实数对(3，2)确定，又如z=－2+i可以由有序实数对(－2，1)来确定；又因为有序实数对(a，b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，如有序实数对(3，2)它与平面直角坐标系中的点A，横坐标为3，纵坐标为2，建立了一一对应的关系　由此可知，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系.
点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴
实轴上的点都表示实数
对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)， 它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数
在复平面内的原点(0，0)表示实数0，实轴上的点(2，0)表示实数2，虚轴上的点(0，－1)表示纯虚数－i，虚轴上的点(0，5)表示纯虚数5i
非纯虚数对应的点在四个象限，例如点(－2，3)表示的复数是－2+3i，z=－5－3i对应的点(－5，－3)在第三象限等等.
复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即
复数复平面内的点
这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应.
这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.
１．复平面内的点平面向量
2. 复数平面向量
例1．（2007年辽宁卷）若，则复数在复平面内所对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
.
例2．已知复数z1=cosθ－i，z2=sinθ+i，求| z1·z2|的最大值和最小值.


例3．满足条件的复数z在复平面上对应点的轨迹是（ ）
A. 一条直线 B. 两条直线 C. 圆 D. 椭圆
巩固练习：
课堂小结：
教学反思：
复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即
复数复平面内的点
这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应.
这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.
课件12张PPT。复数的意义探究复数的向量表示复习练习巩固复数的几何意义继续(1) 实数集原有的有关性质和特点能否推广到复数集？(2)从复数的特点出发，寻找复数集新的(实数集所不具有)性质和特点？探索复数集的性质和特点探索途径：想一想,实数集有些什么性质和特点?(1)实数可以判定相等或不相等；(2)不相等的实数可以比较大小；(3)实数可以用数轴上的点表示；(4)实数可以进行四则运算；(5)负实数不能进行开偶次方根运算；…… 能否找到用来表示复数的几何模型呢？我们知道实数可以用数轴上的点来表示。复数z=a+bi有序实数对(a,b)Z(a,b) 建立了平面直角坐标系来表示复数的平面——复平面x轴——实轴y轴——虚轴z=a+bi一一对应一一对应模与绝对值复数z=a+bi有序实数对(a,b)一一对应一一对应Z(a,b)z=a+bi实数绝对值的几何意义:复数的模其实是实数绝对值概念的推广xOAa|a| = |OA| 实数a在数轴上所对应的点A到原点O的距离.3变式(A)在复平面内,对应于实数的点都在实轴上；
(B)在复平面内,对应于纯虚数的点都在虚轴上；
(C)在复平面内,实轴上的点所对应的复数都是实数;
(D)在复平面内,虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数.练习：1.下列命题中的假命题是（ ）D2.“a=0”是“复数a+bi(a,b∈R)所对应的点在虚轴上”的( )
(A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件
(C)充要条件 (D)不充分不必要条件C3.已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点位于第二、四象限，求实数m的取值范围. 求证:对一切实数m，此复数所对应的点不可能位于第四象限.变式题:已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i本课小结：知识点：思想方法：(1)复平面(2)复数的模(1)类比思想(3)数形结合思想(2)转化思想2.满足|z|=5(z∈C)的复数z对应的点在复平面上将构成怎样的图形？选做作业:B 例2 实数x分别取什么值时，复数 对应的点Z在（1）第三象限？（2）第四象限？（3）直线
上？ 解：（1）当实数x满足即 时，点Z在第三象限． 即 时，点Z在第四象限． （2）当实数x满足（3）当实数x 满足即 时，点Z在直线 上 .复数的概念（1）
　　
一、选择题　　　
1、若z1与z2互为共轭虚数，则满足条件|z-z1|2-|z-z2|2=|z1-z2|2的复数z在平面上表示的图形是
　 (A)双曲线 (B)平行于x轴的直线　 (C)平面于y轴的直线　 (D)一个点
2、设z是纯虚数，则　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　 )
　 (A)|z|2=z2　　 (B)|z|2=-z2　　 (C)=-z2　　　 (D)z2=-z2
3、已知全集C={复数}，Q={有理数}，S={无理数}，R={实数}，P={虚数}，那么∪为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　 )
　 (A)S　　　 (B)C　　　 (C)R　　　 (D)Q
4、已知M={1，2，m2-3m-1＋(m2-5m-6)i}，N={-1，3}，M∩N＝{3}，则实数m为
　 (A)-1或6 　　　(B)-1或4 　　　(C)-1 　　　(D)4
5、若(m2-3m-4)＋(m2-5m-6)i是纯虚数，则实数m的值为　　　　　　 (　 )
　 (A)-1　　　　 (B)4　　　 (C)-1或4　　　　 (D)不存在
6、设集合C={复数}，R={实数}，M={纯虚数}，其中C为全集，则 (　 )
　 (A)M∪R=C　　　　 　　(B)R∪=C
　 (C)M∩R={0}　　　　　　 (D)C∩=
7、在复平面内，与复数z=-1-i的共轭复数对应的点位于　　　　　 (　 )
　 (A)第一象限　　　　　　 (B)第二角限
　 (C)第三象限　　　　　　 (D)第四象限
8、如果用C、R和I分别表示复数集、实数集和纯虚数集，其中C为全集，则
　 (A)=C∩I　　 (B)R∩I={0}　　 (C)R∩I=?　　 (D)C=R∪I
9、复数(i-)3的虚部是　
(A) -8 　　　　(B)-8i 　　　　(C)8　 　　　　(D) 0
10、设z为复数,且(z-1)2=|z-1|2那么z是　　　　　　　　　　　　　　 ( )
(A)纯虚数　 　　　(B)实数 　　　　　(C)虚数　　　　 (D)1
翰林汇11、在复平面内，复数z满足1<|z|<2，则z所对应的点P的集合构成的图形是
　 (A)圆　　 (B)直线　　 (C)线段　　 (D)圆环
12、下列命题中正确的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　 )
　 (A)每个复数都有唯一的模和唯一的辐角主值
　 (B)复数与复平面内的点是一一对应的
　 (C)共轭虚数的n次方仍是共轭复数
　 (D)任何两个复数都不能比较大小
13、设复数z=sin500-icos500则arg 等于　
(A)100　　　　　　　 (B)800　　　　　　　 (C)2600　　　　　 (D)3500
翰林汇14、已知π＜θ＜,复数z=|cosθ|+ i |sinθ|的辐角主值是　　　　　 (　 )
(A)π－θ　　　　 (B)π+θ　　　 　(C)θ－π　　　　　 (D)θ
15、已知π＜θ＜,复数z=|cosθ|+ i |sinθ|的辐角主值是　　　　　 ( 　)
(A)π－θ　　　 (B)π+θ　　　　 (C)θ－π　　　　　 (D)θ
16、设z为虚数,则z2一定是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　 )
(A)非负实数或虚数　　　　 (B)负数或虚数
(C)虚数 　　　　　　　　　(D)有可能是正数
17、下列命题正确的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　 )
(A)|z|＜1－1＜z＜1　　　　　 (B)共轭复数的差一定是纯虚数
(C)|z|=1　　　　　　　 (D)共轭复数的辐角之和为零
18、复数z1=(a＋bi)n,z2=(a－bi)n(a,bR且b≠0,nN),则z1与z2的关系是 (　 )
(A)共轭复数　　　　　　　 (B)共轭复数或相等实数
(C)相等的实数　　　　　　 (D)以上都不对
19、设复数z1、z2,则z1=的一个必要不充分条件是
(A)|z1－|=0　　　 (B)=z2　　　　 (C)z1=z2　　　 (D)|z1|=|z2|
20、复数z=2i-3的共轭复数是　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　 )
　 (A)-3＋2i　　 (B)2i＋3　　 (C)-2i＋3　　 (D)-2i-3
翰林汇二、填空题　　　
1、已知x，y是纯虚数，且满足(2x-1)＋i=y-(3-y)i，则x=___，y=___。
2、复数z=(a2-2a)+(a2-a-2)i的对应点在虚轴上，则实数a的值是＿＿＿＿＿＿。
3、若a?R，z=1＋ai，则z＋?R的充要条件是_________。
4、z为复数，由复数z，所组成的集合，最多含__个元素。
5、设x是实数，y是纯虚数且满足(2x-1)+i=y-(3-i)i则x=_____,y=________.
6、|z1|=10,z2=6+8i,且z1·为纯虚数，则z1=________.
7、已知(2x-1)+i=y-(3-y)i, x , y 则x=________,y=________.
8、设mR复数z=(m2-m-2)+(m2-1)i对应的点在第二象限，则m____; 而当m=________时, z为实数；当m=＿＿＿＿＿＿时, z为纯虚数。
9、如果x-1+yi, 与i-3x 是共轭复数则实数x与y分别是＿＿＿＿＿＿。
10、已知复数z的模为2，虚部为-1，它在复平面上的对应点位于第三象限，则z的共轭复数是_____。
三、判断题
1、判断下列命题是否正确：
(1)　 若z1 , z2 ∈C , 且| z1 | = | z2 | , 则z1 = ±z2　　　　　　　　 (　 )
(2)　 若a, b ∈R,且a ＞b ,则ai＞bi　 　　　　　　　　　　　(　 )
(3)　 与自身共轭的复数一定是实数　　　　　　　　　　　　　 (　 )
2、判断下列各命题是否正确：
(1)　 若z12 + z22 = 0 , 则z1 = 0 且z2 = 0 　　　　　　　　　　　(　 )
(2)　 若z1－z2＞0 , 则z1＞z2　 　　　　　　　　　　　　　　(　 )
3、判断下列各命题是否正确：
(1)　 若z∈C, 则z2 ≥0 　　　　　　　　　　　　　　　　　(　 )
(2)　 若z1 ·z2 = 0 , 则 z1 = 0 或z2 = 0 　　　　　　　　　　(　 )
4、判断命题的真假：任意两个复数都不能比较大小。　　　　　　　 (　 )
5、判断命题的真假：若x,y∈R,且x=y,则(x-y)+(x+y)是纯虚数　　　 ( 　)
6、判断命题的真假：的充要条件是x1=x2,且y1=y2.　　 (　 )
7、若z是复数，判断下面命题的真假：
(1)|z2|=|z|2 　　　　( 　)；　　　　 (2)|z|≤1-1≤z≤1 (　 )
8、若z是复数，判断下面命题的真假：
(1)|z|2=z2　　　　 (　 )；　　　　　 (2)|z|2z2　 　　(　 )
9、若z,z1,z2都是复数，判断下面命题的真假：
(1)　 ( 　)；　　　　　 (2)若|z1|=|z2|,则z1=z2 　( 　)
10、若z是复数，判断下面命题的真假：
(1)是实数　　 （　 ）；　 （2）是纯虚数　　　 （　 ）
11、若z是复数，判断下面命题的真假：
(1)z2≥0　　　 (　 )；　　　　 (2)若|z|=1,则　　　 (　 )
12、若z,z1,z2都是复数，判断下面命题的真假：
(1)　　 ( 　)；　 (2)若，则z1=z2=0 　( )
四、解答题　　 　
1、设复数z满足|z|=2,且(z－a)2=a,求实数a的值.
2、z1,z2是复数,z1·z2≠0,A=z1+z2,B=z1+z2,问A,B可不可比较大小?若不可以比说明原因,若可以比说明大小关系并证明之.
3、已知复数z1、z2满足10z12＋5z22=2z1z2，且z1＋2z2为纯虚数，求证3z1－z2为实数.
4、满足z+是实数，且z+3的辐角主值是的虚数z是否存在？若存在，求出虚数z；若不存在，说明理由。
5、已知复数当实数k和分别为何值时，是纯虚数？
复数的概念（1） 〈答案〉
一、选择题　　　
1、 B 2、 B 3、 B 4、 C 5、 B 6、 B 7、 B 8、 C 9、 A 10、 B
11、 D 12、 B 13、 D 14、 C 15、 C 16、 B 17、 C 18、 B
19、 D 20、 D
二、填空题　　
1、 - 2、 0 3、 a=±1或a=0 4、 4 5、 0，4i
6、 7、 8、 (1,2), 9、
10、 -
三、判断题　　　
1、 (1) ╳ (2) ╳ (3) √ . 2、 (1) ╳ (2) ╳. 3、 (1)　 ╳　 (2) √ .
4、 ╳ 5、 ╳ 6、 ╳ 7、 (1)√;(2)╳ 8、 （1）╳；（2）╳.
9、 (1)√;(2)╳ 10、 (1)√;(2)╳. 11、 (1)╳;(2)√.
12、 (1)√;(2)╳.
四、解答题　　　
1、
解： (1)若实数a≥0,则z必为实数,此时z=2或z=－2,
当z=2时,a2－5a+4=0 解得 a1=1, a2=4.
当z=－2时,a2+3a+4=0 此方程无实数解.
　 (2)若实数a＜0,则z必为虚数,且,
∵|z|=2, ∴a2－a－4=0, 解得.
注意到a＜0,故有，∴所求实数a的值为1, 4,
2、 A≤B。
3、
由10z12＋5z22=2z1z2，得10z12＋5z22－2z1z2=0.∴（3z1－z2）2＋（z1＋2z2）2=0.
又∵z1＋2z2为纯虚数，∴假设z1＋2z2=bi(b∈R，b≠0)，
则（3z1－z2）2=-（bi）2=b2.∴3z1－z2=±|b|∈R.故3z1－z2为实数.
4、 不存在
5、
当k=-1且或当且
时，为纯虚数.
第三章：数系的扩充与复数的引入
3.1 数系的扩充和复数的概念练习题
选择题：
1.复数-2i的实部与虚部是（ ）
（A）0,2 （B）0，0 （C）-2,0 （D）0,-2
2．以2i-的虚部为实部，以i+2的实部为虚部的新复数是（ ）
（A）2+2i （B）2+i
（C）- +i （D）+i
3．若复数(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)是虚数，则实数m满足　　　　　　　（　 　 ）
（A）m≠－1 （B）m≠6 (C) m≠－1或m≠6
(D) m≠－1且m≠6
4．如果（x+y)i=x-1,则实数x，y的值为（ ）
（A）1，-1（B）0，-1 (C) 1,0 (D) 0，0
5.下列命题中，假命题是( )
（A）两个复数不可以比较大小
（ B）两个实数可以比较大小
（ C ）两个虚数不可以比较大小
（ D ）一虚数和一实数不可以比较大小
填空题：
6.化简：2i4 = i2=
I3=
7．若x是实数，y是纯虚数，且2x-1+2i=y，则x，y的值为__________________.
8．实数集，虚数集，纯虚数集，复数集，的关系用图形表示是

三．解答题：
9．设复数，试求m取何值时
（1）Z是实数； （2）Z是纯虚数；


3.1.2复数的几何意义练习题
一．选择题：
1.已知复数z对应的点在第二象限，它的模是3，实部是-，则z为（ ）
A.- +2i B.--2i C.-+3i D.--3i
2.复平面内点（0,2）表示（ ）
A. 0 B. 2 C. 2i D. i
3.复数z=3+4i对应的点Z关于原点的对应点Z1对应的向量为（ ）
A.- 3-4i B.4+3i C.-4-3i D.-3+4i
复数z=5-3i在第几象限（ ）
第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
二．填空题：
5. 实部是3虚部是-2的复数是
6.复数z=3+4i的模是
7. 复数的两种几何意义是
8.化简4i8= 2i5=
i101=
三．解答题：
9. 已知复数z1=8+6i，z2=4-3i，z3=5，z4=-10i，在复平面内描出四点，并求出各点的模。
高二数学理科导学案
§3. 2.1复数代数形式的加减运算及几何意义
时间 2010.03
教学目标：
知识与技能：掌握复数的加法运算及意义
过程与方法：理解并掌握实数进行四则运算的规律，了解复数加减法运算的几何意义
情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部) 理解并掌握复数相等的有关概念；画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用
教学重点：复数加法运算，复数与从原点出发的向量的对应关系．
教学难点：复数加法运算的运算率，复数加减法运算的几何意义。
教具准备：多媒体、实物投影仪 。
教学设想：复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应。复数z=a+bi(a、b∈R)与有序实数对(a，b)是一一对应关系这是因为对于任何一个复数z=a+bi(a、b∈R)，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a，b)惟一确定.
教学过程：
复习回顾：
1.复数的定义：

2. 复数的代数形式:
3. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数，当且仅当 时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a；当 时，复数z=a+bi叫做虚数；当 时，z=bi叫做纯虚数；当且仅当 时，z就是实数0.
4.复数集与其它数集之间的关系： .
5. 两个复数相等的定义：
一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小　只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小　
6. 复平面、实轴、虚轴：
点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴
实轴上的点都表示实数
对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)， 它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数
复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即
复数复平面内的点
这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应.
这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法
讲解新课：
一．复数代数形式的加减运算
１．复数z1与z2的和的定义：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=
2. 复数z1与z2的差的定义：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=
3. 复数的加法运算满足交换律: z1+z2=z2+z1.
证明：
4. 复数的加法运算满足结合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)
证明：设z1=a1+b1i.z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).

讲解范例：
例1计算：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)
解：
例2计算：(1－2i)+(－2+3i)+(3－4i)+(－4+5i)+…+(－2002+2003i)+(2003－2004i)
解法一：

解法二：

二.复数代数形式的加减运算的几何意义
复数的加(减)法 (a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i.
与多项式加(减)法是类似的.就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加(减).
１．复平面内的点平面向量
2. 复数平面向量
3.复数加法的几何意义：

4. 复数减法的几何意义：复数减法是加法的逆运算，设z=(a－c)+(b－d)i，所以z－z1=z2，z2+z1=z，由复数加法几何意义，以为一条对角线，为一条边画平行四边形，那么这个平行四边形的另一边OZ2所表示的向量就与复数z－z1的差(a－c)+(b－d)i对应由于，所以，两个复数的差z－z1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.
例3已知复数z1=2+i，z2=1+2i在复平面内对应的点分别为A、B，求对应的复数z，z在平面内所对应的点在第几象限？
解：
点评：任何向量所对应的复数，总是这个向量的终点所对应的复数减去始点所对应的复数所得的差.　即所表示的复数是zB－zA.　，而所表示的复数是zA－zB，故切不可把被减数与减数搞错尽管向量的位置可以不同，只要它们的终点与始点所对应的复数的差相同，那么向量所对应的复数是惟一的，因此我们将复平面上的向量称之自由向量，即它只与其方向和长度有关，而与位置无关
例4　复数z1=1+2i，z2=－2+i，z3=－1－2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数.
分析一：利用，求点D的对应复数.
解法一：
分析二：利用原点O正好是正方形ABCD的中心来解.
解法二：
点评：根据题意画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用
课堂练习：
课后作业：
课堂小结 ：
如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等
一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小　只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小　复数的加法法则：
复数加法的几何意义：如果复数z1，z2分别对应于向量、，那么，以OP1、OP2为两边作平行四边形OP1SP2，对角线OS表示的向量就是z1+z2的和所对应的向量 复数减法的几何意义：两个复数的差z－z1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.
师生反思
3.2.2复数代数形式的乘除运算
教学目标：
知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算
过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题
情感、态度与价值观：复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。
教学重点：复数代数形式的除法运算。
教学难点：对复数除法法则的运用。
教具准备：多媒体、实物投影仪。
教学设想：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+dia=c，b=d，只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小
教学过程：
复习回顾：
1．复数z1与z2的和的定义：
2. 复数z1与z2的差的定义： .
3. 复数的加法运算满足交换律:
4. 复数的加法运算满足结合律
讲解新课：
１．乘法运算规则：
规定复数的乘法按照以下的法则进行：
设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i.
其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.
2.乘法运算律：
(1)z1(z2z3)=(z1z2)z3
证明：
(2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3
证明：
(3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.
证明：
例1计算(1-2i)(3+4i)(-2+i)
解：
例2计算：
（1）(3+4i) (3-4i) ； （2）（1+ i)2.
解：
3.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数
通常记复数的共轭复数为。
4. 复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di的商，记为：(a+bi)(c+di)或者
5.除法运算规则：
①设复数a+bi(a，b∈R)，除以c+di(c，d∈R)，其商为x+yi(x，y∈R)，
即(a+bi)÷(c+di)=x+yi
∵(x+yi)(c+di)=(cx－dy)+(dx+cy)i.
∴(cx－dy)+(dx+cy)i=a+bi.
由复数相等定义可知
解这个方程组，得
于是有:(a+bi)÷(c+di)= i.
②利用(c+di)(c－di)=c2+d2.于是将的分母有理化得：
原式=
.
∴(a+bi)÷(c+di)=.
点评：①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数c+di与复数c－di，相当于我们初中学习的的对偶式，它们之积为1是有理数，而(c+di)·(c－di)=c2+d2是正实数.所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化法
例3计算
解：
例4计算
解
例5已知z是虚数，且z+是实数，求证：是纯虚数.
证明：


巩固练习：
课后作业：

课堂小结：
复数的乘法法则是：(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i.　复数的代数式相乘，可按多项式类似的办法进行，不必去记公式.
复数的除法法则是：i(c+di≠0).
两个复数相除较简捷的方法是把它们的商写成分式的形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，再把结果化简
师生反思：

课件32张PPT。新课讲授新课讲授新课讲授新课讲授新课讲授新课讲授新课讲授新课讲授例题讲解例题讲解例题讲解课堂练习课堂练习课后作业新课讲授新课讲授新课讲授新课讲授例题讲解例题讲解新课讲授新课讲授新课讲授新课讲授新课讲授新课讲授课堂练习课堂练习课堂练习课堂练习3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义
一．选择题：
1.2+2i+(-2+5i)=( )
A.2+7i B.2-7i C. 7i D. -7i
2.8+4i-(-8+4i)=( )
A.8i B.16 C. 16+8i D. 16-8i
3.6+7i+（3-2i）-（9-i）-（4i）=( )
A.0 B.18+i C. 22 D. 2i
4.已知z+5-6i=3+4i，则复数z为（ ）
A.-4+20i B.-2+10i C. -8+20i D. -2+20i
5.两个复数z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，（a1，b1，a2，b2都是实数且z1≠0，z2≠0），对应的向量在同一直线上的充要条件是（ ）
A． B．
C． D．
6.设m为实数，复数z=(2m2+3i)+(m-m2i)+(-1+2mi),若z为纯虚数，则m等于（ ）
A．-1 B．3 C．1/2 D．-1或3
二．填空题：
7.向量对应的复数是5-4i，向量对应的复数是-5+4i，则对应的复数是______________。
三．解答题
8.（1+2i）+（3-4i）-（5+6i）
9.5i-[(3+4i)-(-1+3i)]
已知平行四边形OABC的三个顶点O,A,C对应的复数分别是0,4+2i，-2+4i，求点B 对应的复数。

3.2.2复数代数形式的乘除运算
选择题：
(-3+4i)(-3-4i)的计算结果是（ ）
A. 25 B. -25 C. 16i D. 9-14i
（1-i）2的计算结果的共轭复数是 （ ）
A. 2i B. -2i C. 2+2i D. 2-2i
3.计算的结果为（ ）
A. B. C. 1 D.
4. “”是“”的（ ）条件
A. 充分不必要 B. 必要不充分
C. 充要 D. 既不充分也不必要
5. 复数7-6i的共轭复数是（ ）
A. 7-6i B. 7+6i C. -7-6i D. -7+6i
二．填空题：
6. _________________.
7. （1+2i）÷（3+4i）=____________
8.（1+2i)2+ (1-2i)2++ =

三．解答题：
9. 求 +（4-i5）（6+2i7)
已知复数z满足：z+2iz=8+6i，求复数z的实部与虚部之和。

高二数学选修2-2小测试题6
3.2复数代数形式的四则运算
一．填空题（50分）
1．（湛江测试）若将复数表示为a + bi（a，b∈R，i是虚数单位）的形式，则a + b =
A．0 B．1 C．–1 D．2
2（华师附中）．若复数是纯虚数（是虚数单位，是实数）则
A． 2 B． C． D．
3．（惠州第三次调研）已知复数，，则在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C． 第三象限 D．第四象限
4. （韶关第一次调研）复数的共轭复数为
A.－i B.－ C.1－2i D.1+2i
5、（2009汕头）复数等于 （ ）
A．2 B．－2 C．2i D．－2i
6．（深圳市第一次调研）如果复数的实部与虚部是互为相反数，则的值等于
A． B． C． D．
7. （汕头一中综合测试） 已知复数z=1－2i，则 =（ ）
(A) 1+i (B) 1－i (C) －1+i (D) －1－i
8．（江门市模拟）若复数（为虚数单位）是纯虚数，则实数
A. B. C. D.
9. （中山市四校联考）复数的实部与虚部之和为 ( )
A. -1 B. -2 C. 1 D. 2
10、（2009吴川）已知复数，则 （ ）
A. B. C. D.
二.填空题（20分）
11、（2009封开）若复数是纯虚数，则=　______
12、（2009中山二中）复数＝_____________.
13. （佛山质量检测一）复数的虚部为__________.
14、（茂名市模拟）定义运算复数z满足则z＝ ；
三．解答题（30分）
1. 设复数满足,且是纯虚数,求.
2. 已知复数满足: 求的值.
高二数学选修2-2小测试题5答案
三、计算题
解析： (1)m满足m2＋2m－3=0且m－10,解得m=－3,即m=－3时ZR.
(2)m满足m2＋2m－30,且m－10,解得m－3,且m1.即m－3,且m1时Z是虚数.
(3)m满足解得m=0或m=－2,即m=0或m=－2时,Z是纯虚数.
(4)m满足解得m=－1,即m=－1时, .
(5)m满足解得－2＜m＜0,即－2＜m＜0时,Z对应复平面上的点在第四象限.
高二数学选修2-2小测试题6答案
三、解答题
1. 解：设，由得；
是纯虚数，则
，
2. 解：设，而即
则
复数的代数形式及其运算
一、知识回顾
1．复数的加、减、乘、除运算按以下法则进行：
设则
(前前减后后，里里加外外)
2．几个重要的结论：
⑴
⑵
⑶若z为虚数，则
3．运算律
⑴ ⑵
⑶
二、基本训练
1 的值是 （ ）
A i B -i C 1 D –1
2 当时，的值是 ( )
A 1 B -1 C i D –i
3 等于 ( )
A 0 B 1 C -1 D i
4. (05全国卷II) 设、、、，若为实数，则 ( )
(A) (B) (C) (D)
5. （05山东卷）（1） （ ）
（A） （B） （C）1 （D）
6. （ ）
A． B．－ C． D．－
7. 知，求使的最小正整数n＝ .
三、例题分析：
例1、计算：
例2、设，，试求满足的最小正整m，n 的值
例3、是否存在复数z，使其满足（aR），如果存在，求出z的值，如果不存在，说明理由
例4、设等比数列其中
＝1，＝a+bi, =b+ai(a,bR且a>0)
⑴求a,b的值；
⑵试求使 的最小自然数n
⑶对⑵中的自然数n，求…的值。
四、小结归纳：
1 复数的四则运算一般用代数形式，加减乘运算按多项式运算法则计算，除法需把分母实数化进行，必须准确熟练地掌握。
2 要记住一些常用的结果，如的有关性质等可简化运算步骤提高运算速度。
3 复数的代数运算与实数有密切联系但又有区别，在运算中要特别注意实数范围内的运算法则在复数范围上是否还使用。
4 代数形式运算的结果是复数的代数形式，便于复数问题的实虚互化，及复数概念的研究。
五、作业 同步练习 复数的代数形式及其运算
1、对于 ，下列结论成立的是 ( )
A 是零 B 是纯虚数
C 是正实数 D 是负实数
2、已知，那么复数在复平面内对应的点位于 （ ）
A 第一象限 B 第二象限
C 第三象限 D 第四象限
3、设非零复数x，y满足，则代数式的值是 （ ）
A B －1 C 1 D 0
4、若，则|z|的最大值是 ( )
A 3 B 7 C 9 D 5
5、复数z在复平面内对应的点为A，将点A绕坐标原点按逆时针方向旋转，再向左平移一个单位，向下平移一个单位，得到点B，此时点B与点A恰好关于坐标原点对称，则复数z为 ( )
A －1 B 1 C i D－i
6、（05湖北卷） （ ）
A． B． C． D．
7、 （05湖南卷）复数z＝i＋i2＋i3＋i4的值是　 （ ）
　 A．－1　　 B．0　　 C．1　　 D．i
8、 （05江西卷）设复数：为实数，则x=（ ）
A．－2 B．－1 C．1 D．2
9、若复数z满足方程，则z＝ .
10、设复数则复数的虚部等于 .
11、已知.求的值 .
12、 (05全国卷III) 已知复数
.
13、已知，且复数的虚部减去它的实部所得的差等于，求复数的模；
14、已知复数当
求a的取值范围，
15、（05上海）在复数范围内解方程(i为虚数单位)
基本训练
1—6、ADA ADA
7、提示;，易知n=12
例题分析：
1 解：＝
2 解：对两边取模得，所以m=2n,从而
所以于是n=3k(k)
所以满足条件的最小正整数是m=6,n=3
3 解：设z=x+yi(x,yR)，则
消去x得
当且仅当时，复数z存在，这时
；
4 解：⑴因为，，成等比数列，所以
即
⑵
于是
＝
＝1
⑶…＝
作业
1—8、 AABBB CBA
9、 z =1- i. 10、 1.
11、提示：注意观察解析式的结构特点不能直接代入
12、
13、解;
即
14、 提示：
因
故a的取值范围是
15、原方程化简为,
设z=x+yi(x、y∈R),代入上述方程得 x2+y2+2xi=1-i,
∴x2+y2=1且2x=-1,解得x=-且y=±,
∴原方程的解是z=-±i.
导数及其应用
一．知识梳理
1.函数的平均变化率是
2.求函数的平均变化率的步骤：
（1）求函数值的增量
（2）求自变量的增量
（3）计算平均变化率
3.瞬时速度定义：物体在 的速度，叫做瞬时速度.
4．导数
（1）瞬时速度是平均速度当趋近于0时的
（2）导数的定义：函数在处的瞬时变化率是 ，我们称它为函数在处的导数，记作或 即
注意： 1)。函数应在点的附近有定义，否则导数不存在
2)在定义导数的极限式中，趋近于0可正、可负、但不为0，而可以为0
3)。是函数对自变量在范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线上点（）及点）的割线斜率
4)。导数是函数在点的处瞬时变化率，它反映的函数在点处变化的快慢程度.
（3）.物体运动的瞬时速度的概念，它是用平均速度的极限来定义的，主要记住公式:瞬时速度v=
（4）.利用导数的定义求导，步骤为：
第一步，求函数的增量 ；
第二步：求平均变化率 ；
第三步：取极限得导数 .
已知函数上的两点，
（5）当割线P无限地趋近于某一极限位置PT我们就把极限位置上的直线PT，叫做曲线C在点P 处的切线
割线的斜率是：
（6）当点无限趋近于点P时，无限趋近于切线PT的斜率. 因此，函数在处的导数就是切线PT的斜率，即 =
（7）函数在处的导数的几何意义是曲线在处切线的斜率. 即=
（8） 导函数: 如果函开区间内的每一数在开区间内的每一点都可导，就说在开区间内可导。这时，对于开区间内的每一个确定的值x,都对应一个确定的导数 ，这样在内构成一个新函数，这个函数叫做在开区间内的导函数，记作 或 。
(9)导数的四则运算法则：
1）函数和（或差）的求导法则：
2）函数积的求导法则：
3）函数的商的求导法则：
(10)复合函数的导数: 复合函数在点处有导数，则：
(11)几种常见函数的导数：
； ； ； ；
； ； ； ；
(12)若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的 点，是极 值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的 点，是极 值
(13)用导数求函数单调区间的步骤：
①求函数f(x)的 ；
②求函数f(x)的 .
③令解不等式，得x的范围就是
④令解不等式，得x的范围就是
(14)用导数求函数极值的步骤：
①求函数f(x)的 ；
②求函数f(x)的 .
③ 求方程 的根
④
（15）函数的最大（小）值
①一般地，在闭区间上连续的函数在上必有最大值与最小值.
② 在闭区间上连续，内可导，在闭区间上求最大值与最小值的步骤是：（1）　　　　　　　　　　　　；
（2）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　。
③函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，可能一个没有.
二．课堂检测
1. 质点运动动规律 ，则在时间中，相应的平均速度为（ ）
A． B． C． D．
2.已知函数的图象上一点及邻近一点，则=
3. 若，则等于
4. 已知函数在处的导数为11，则=
5．双曲线在点处的切线方程为
6.已知曲线C:y=x3 求过曲线C上横坐标为1的点P的切线方程
7．.已知，则等于
8. （2004全国）函数在下面哪个区间内是增函数（ ）
A． B． C． D．
9．(2007年广东佛山)设是函数的导函数,的图象
如右图所示，则的图象最有可能的是（　　　）
10. 若为增函数，则一定有（ ）
A． B．
C． D．
11 ．（07四川）设函数为奇函数，其图象在点处的切线与直线垂直，导函数的最小值为－12．
（1）求a，b，c的值；
（2）求函数的单调递增区间，并求函数在上的最大值和最小值．

导数的基础知识
一．导数的定义：
2.利用定义求导数的步骤：
①求函数的增量：；②求平均变化率：；
③取极限得导数：
（下面内容必记）二、导数的运算：
（1）基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式：
①；②；；
③； ④ ⑤ ⑥；
⑦； ⑧
法则1：；(口诀：和与差的导数等于导数的和与差).
法则2：(口诀：前导后不导相乘，后导前不导相乘，中间是正号)
法则3：
(口诀：分母平方要记牢，上导下不导相乘，下导上不导相乘，中间是负号)
（2）复合函数的导数求法：
①换元，令，则②分别求导再相乘③回代
题型一、导数定义的理解
题型二：导数运算
三．导数的物理意义
1.求瞬时速度：物体在时刻时的瞬时速度就是物体运动规律在 时的导数，
即有。
2.V＝s/(t)　表示即时速度。a=v/(t) 表示加速度。
四．导数的几何意义：
函数在处导数的几何意义，曲线在点处切线的斜率是。于是相应的切线方程是：。
题型三．用导数求曲线的切线
注意两种情况：
（1）曲线在点处切线：性质：。
相应的切线方程是：
（2）曲线过点处切线：先设切点，切点为 ,则斜率k=，切点 在曲线上，切点在切线上，切点坐标代入方程得关于a,b的方程组，解方程组来确定切点，最后求斜率k=，确定切线方程。
1在曲线y=x3+3x2+6x-10的切线中，求斜率最小的切线方程；
解析：（1）当x0=-1时，k有最小值3，
此时P的坐标为（-1，-14）故所求切线的方程为3x-y-11=0
五．函数的单调性：设函数在某个区间内可导，
（1）该区间内为增函数；
（2）该区间内为减函数；
注意：当在某个区间内个别点处为零，在其余点处为正（或负）时，在这个区间上仍是递增（或递减）的。
（3）在该区间内单调递增在该区间内恒成立；
（4）在该区间内单调递减在该区间内恒成立；
题型一、利用导数证明（或判断）函数f(x)在某一区间上单调性：
步骤： （1）求导数
(2)判断导函数在区间上的符号
(3)下结论
①该区间内为增函数；
②该区间内为减函数；
题型二、利用导数求单调区间
求函数单调区间的步骤为：
（1）分析 的定义域； （2）求导数
（3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间
（4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间
题型三、利用单调性求参数的取值（转化为恒成立问题）
思路一.（1）在该区间内单调递增在该区间内恒成立；
（2）在该区间内单调递减在该区间内恒成立；
思路二.先求出函数在定义域上的单调增或减区间，则已知中限定的单调增或减区间是定义域上的单调增或减区间的子集。
注意：若函数f（x）在（a，c）上为减函数，在（c，b）上为增函数，则x=c两侧使函数（x）变号，即x=c为函数的一个极值点，所以
题型四：先利用导数证明（或判断）函数f(x)在某一区间上单调性，再比较大小
2．若函数，若则( )
A. a< b < c B. c < b < a C. c < a < b D. b < a < c
六、函数的极值与其导数的关系：
①极值的定义：设函数在点附近有定义，且若对附近的所有的点都有（或，则称为函数的一个极大（或小）值，为极大（或极小）值点。
②可导数在极值点处的导数为0（即），但函数在某点处的导数为0，并不一定函数在该处取得极值（如在处的导数为0，但没有极值）。
③求极值的步骤：
第一步：求导数；
第二步：求方程的所有实根；
第三步：列表考察在每个根附近，从左到右，导数的符号如何变化，
若的符号由正变负，则是极大值；
若的符号由负变正，则是极小值；
若的符号不变，则不是极值，不是极值点。
2、函数的最值：
①最值的定义：若函数在定义域D内存，使得对任意的，都有，（或）则称为函数的最大（小）值，记作（或）
②如果函数在闭区间上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在闭区间上必有最大值和最小值。
③求可导函数在闭区间上的最值方法：
第一步；求在区间内的极值；
第二步：比较的极值与、的大小：
第三步：下结论:最大的为最大值，最小的为最小值。
注意：1、极值与最值关系：函数的最值是比较整个定义域区间的函数值得出的，函数的最大值和最小值点可以在极值点、不可导点、区间的端点处取得。极值≠最值。函数f(x)在区间[a,b]上的最大值为极大值和f(a) 、f(b)中最大的一个。最小值为极小值和f(a) 、f(b)中最小的一个。
2．函数在定义域上只有一个极值，则它对应一个最值（极大值对应最大值;极小值对应最小值）
3、注意：极大值不一定比极小值大。如的极大值为，极小值为2。
注意：当x=x0时，函数有极值 f/(x0)＝0。但是，f/(x0)＝0不能得到当x=x0时，函数有极值；
判断极值，还需结合函数的单调性说明。
题型一、求极值与最值
题型二、导数的极值与最值的应用
题型四、导数图象与原函数图象关系
导函数 原函数
的符号 单调性
与x轴的交点且交点两侧异号 极值
的增减性 的每一点的切线斜率的变化趋势 （的图象的增减幅度）
的增 的每一点的切线斜率增大（的图象的变化幅度快）
减 的每一点的切线斜率减小 （的图象的变化幅度慢）
例1. 已知f(x)=ex-ax-1.?
（1）求f(x)的单调增区间；?（2）若f(x）在定义域R内单调递增，求a的取值范围；?
（3）是否存在a,使f(x)在（-∞，0］上单调递减，在［0，+∞）上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.
解：=ex-a.?（1）若a≤0，=ex-a≥0恒成立，即f(x)在R上递增.?
若a>0,ex-a≥0,∴ex≥a,x≥lna.∴f(x)的单调递增区间为(lna,+∞).?
（2）∵f（x）在R内单调递增，∴≥0在R上恒成立.?
∴ex-a≥0，即a≤ex在R上恒成立.?∴a≤（ex）min，又∵ex>0，∴a≤0.?
（3） 由题意知，x=0为f(x)的极小值点.∴=0,即e0-a=0,∴a=1.
例. 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x）在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0，若x=时，y=f(x）有极值.（1）求a,b,c的值；?（2）求y=f(x）在［-3，1］上的最大值和最小值.
解 （1）由f(x)=x3+ax2+bx+c,得=3x2+2ax+b,?
当x=1时，切线l的斜率为3，可得2a+b=0 ①?
当x=时，y=f(x)有极值，则=0,可得4a+3b+4=0 ②?
由①②解得a=2,b=-4.由于切点的横坐标为x=1,∴f(1)=4.?∴1+a+b+c=4.∴c=5.?
（2）由（1）可得f(x)=x3+2x2-4x+5,∴=3x2+4x-4,?令=0,得x=-2,x=.?
当x变化时，y,y′的取值及变化如下表：
x
-3
(-3,-2)
-2
1
y′
+
0
-
0
+
y
8
单调递增
↗
13
单调递减
↘
单调递增
↗
4
∴y=f（x）在［-3，1］上的最大值为13，最小值为
例.当 ，证明不等式.
证明：，，则，
当时。在内是增函数，，即，
又，当时，，在内是减函数，，即，因此，当时，不等式成立.
点评：由题意构造出两个函数，.
利用导数求函数的单调区间或求最值，从而导出是解决本题的关键.
1．定积分的概念 设函数在区间上连续，则
2.用定义求定积分的一般方法是：①分割：等分区间；②近似代替：取点；③求和：；④取极限：
3.曲边图形面积：；
在轴上方的面积取正，下方的面积取负
变速运动路程； 变力做功
4．定积分的性质
性质2 （其中k是不为0的常数）
性质3
性质4 （定积分对积分区间的可加性）
5.定理 函数是上的一个原函数，即则
高二数学模块检测 2011.3
一选择题：（本大题共12题，每小题5分，共60分）
函数可导，则等于（ ）
A B C D
2．是函数在点处取极值的（ ）
A. 充分不必要条件 B 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3．若函数 在区间内是减函数，则（ ）
A． B C D
4.已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ ）
A B 1 C 2 D 3
5.曲线在点（2，）处的切线与坐标轴所围成三角形的面积为（ ）
A B C D 2
6.设， ，则 等于（ ）
A sinx B -sinx C cosx D -cosx
7. 定积分 表示 （ ）
A 半径为3的圆面积 B 半径为3的半圆面积
C 半径为3的圆面积的四分之一 D半径为3的半圆面积的四分之一
8.设，若 有大于零的极值点，则（ ）
A B C D
9.若，，则与的关系（ ）
A B C D
10.已知函数，表示的曲线过原点且在处的切线斜率均为-1，给出以下结论
① 的解析式为，
② 的极值点有且仅有一个
③ 的最大值与最小值之和等于0，其中正确的结论有（ ）
A 0个 B 1个 C 2个 D 3个
11.内接于半径为R的半圆的矩形中，周长最大的矩形的边长为（ ）
A 和 B 和 C 和 D 以上都不对
12.已知函数在R上满足，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A B C D
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13.设函数，则=
14．函数 图象上一点P，以点P为切点的切线为直线，则直线的倾斜角的范围是
15函数 的极大值为正数，极小值为负数，则的取值范围为


16.已知函数，则在上的值域为

三．解答题：（本大题共6题，共74分）
17.（12分） 已知函数的导函数的图象关于直线对称。
（I）求的值；
（II）若函数无极值，求的取值范围。
18.（12分） 设是二次函数，方程有两个相等的实根且
（I）求的表达式；
（II）求的图象与两坐标轴所围成图形的面积。
19. （12分）已知函数的图象经过点，曲线在点处的切线恰好与直线垂直。
（I）求实数的值；
（II）若函数在区间上单调递增，求的取值范围。
20.（12分）已知函数
（I）若函数在处取得极值且极小值为-1，求的解析式；
（II）若，函数图象上的任意一点的切线斜率为求恒成立时，的取值范围。
21.（12分）一出租车每小时耗油的费用与其车速的立方成正比，当车速为时，该车耗油的费用为/h,其他费用为12元/h.甲乙两地的公路里程为160km，在不考虑其他因素的前提下，为了使该车开往乙地的总费用最低，该车的车速应当确定为多少公里/小时？
22. （14分）已知函数的图象在点处的切线的方程为。
（I）若对任意有恒成立，求实数的取值范围；
（II）若函数在区间内有零点，求实数的最大值。
高二数学检测题答案 2011.3
一、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
C
D
A
D
B
A
C
D
B
C
B
A
二、填空题
13：3x-1；14：，15、，16：
三．解答题
17：（Ⅰ）
函数的图像关于直线对称
6分
（II）由（Ⅰ）知
当时，此时无极值 12分
18：（Ⅰ）设 则

又


又方程有两个相等的实根
即 有两个相等的实根
所以即
故 8分
（II）依题意，所求的积为
12分
19：（Ⅰ）的图像经过
①
由条件
即 ②
由①②，解得 6分
（II）
令得或
由条件知函数在区间上单调递增
则
或
即或为所求得取值范围 12分
20：（Ⅰ）由得
或
解得
当
当
故当时，达到极小值

6分
（II）当时，恒成立
即令对一切恒成立
只需 即
所以，的取值范围为 12分
21：设这辆出租车得车速为，耗油的费用为A元/h
由甲地开往乙地需要得时间为th,总费用为B元
依题意，得 时，

由此可得 6分
即

令即
得 11分
答：为了使这辆出租车由甲地开往乙地得总费用最低， 该车得速度应确定为 12分
22：（Ⅰ）点在函数图像上

，由题意
即

当时，
在上为减函数

若任意使恒成立
即实数的取值范围为 7分
（II）的定义域为


令得
1
+
0
--
0
+
递增
极大值
递减
极小值
递增
而为
的最右侧得一个零点，故的最大值为1. 14分
一、选择题(共12小题，每小题5分,共60分)
1.函数y=x2cosx的导数为…………………………………………………………………【 】
A. y′=2xcosx－x2sinx B. y′=2xcosx+x2sinx
C. y′=x2cosx－2xsinx D. y′=xcosx－x2sinx
2.下列结论中正确的是……………………………………………………………………【 】
A. 导数为零的点一定是极值点…………………………………………………………【 】
B. 如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值
C. 如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值
D. 如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值
3. 曲线与坐标轴围成的面积是…………………………………【 】
A.4 B. C.3 D.2
4.函数，的最大值是…………………………………………【 】
A.1 B. C.0 D.-1
5. 如果10N的力能使弹簧压缩10cm，为在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置
6cm处，则克服弹力所做的功为…………………………………………………………【 】
A . 0.28J B. 0.12J C. 0.26J D. 0.18J
6. 给出以下命题：⑴若，则f(x)>0； ⑵;⑶f(x)的原函数为
F(x)，且F(x)是以T为周期的函数，则；其中正确命题的个数为…【 】
A. 1 B. 2 C. 3 D. 0
7. 若函数是R上的单调函数，则实数m的取值范围是………【 】
A. B. C. D.
8.设0<A.f ()< f ()C. f ()< f ()9. 函数在区间内是减函数，则应满足………………………【 】
Ａ．且 Ｂ．且 Ｃ．且 Ｄ．且
10. 与是定义在上的两个可导函数，若与满足，则与满足…………………………………………………………………………………………【 】
Ａ． Ｂ． 为常数函数
Ｃ． Ｄ．为常数函数
11. (2007江苏)已知二次函数的导数为，，对于任意实数，有，则最小值为…………………………………………………………………【 】
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
12. (2007江西理)设函数是上以5为周期的可导偶函数，则曲线在处的切线的斜率为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
二、填空题(共4小题，每小题4分,共16分)
13．10.曲线y=2x3－3x2共有____个极值.
14．已知为一次函数，且，则=_______..
15. 若，则 ___________.
16. 已知函数处取得极值，并且它的图象与直线在点（1，0）处相切，则函数的表达式为 __ __.
三、解答题（共74分）
17．（本小题满分10分）一物体沿直线以速度（的单位为:秒,的单位为:米/秒）的速度作变速直线运动，求该物体从时刻t=0秒至时刻 t=5秒间运动的路程?
18. （本小题满分12分）已知曲线 y = x3 + x－2 在点 P0 处的切线 平行直线
4x－y－1=0，且点 P0 在第三象限,
⑴求P0的坐标; ⑵若直线 , 且 l 也过切点P0 ,求直线l的方程.
19. （本小题满分12分）已知函数的图象关于原点成中心对称, 试判断在区间上的单调性,并证明你的结论.
20．（本小题满分14分）已知函数,函数
⑴当时,求函数的表达式;
⑵若,函数在上的最小值是2 ,求的值;
⑶在⑵的条件下,求直线与函数的图象所围成图形的面积.
21．（本小题满分12分）设，．
（Ⅰ）令，讨论在内的单调性并求极值；
（Ⅱ）求证：当时，恒有．
22．（本小题满分14分）
已知函数
（Ⅰ）若，试确定函数的单调区间；
（Ⅱ）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；
（Ⅲ）设函数，求证：．
一、选择题（60分）
1－5：ABCAD 6－10：BCD B B 11—12：C B
二、填空题（16分）
13. 2 14.
15. （或） 16、
三、解答题（共74分）
17.解:∵当时,; 当时,.
∴物体从时刻t=0秒至时刻 t=5秒间运动的路程
=(米)
18.解:⑴由y=x3+x－2，得y′=3x2+1，
由已知得3x2+1=4，解之得x=±1.当x=1时，y=0;当x=－1时，y=－4.
又∵点P0在第三象限,
∴切点P0的坐标为 (－1,－4).
⑵∵直线,的斜率为4,∴直线l的斜率为,
∵l过切点P0,点P0的坐标为 (－1,－4)
∴直线l的方程为即.
19. 解: 答f(x)在[-4,4]上是单调递减函数.
证明:∵函数f(x)的图象关于原点成中心对称,
则f(x)是奇函数,所以a=1,b=0,于是f(x)=
∴当
又∵函数在上连续
所以f(x)在[-4,4]上是单调递减函数.
20.解:⑴∵,
∴当时,; 当时,
∴当时,; 当时,.
∴当时,函数.
⑵∵由⑴知当时,,
∴当时, 当且仅当时取等号.
∴函数在上的最小值是,∴依题意得∴.
⑶由解得
∴直线与函数的图象所围成图形的面积
=
21. 本小题主要考查函数导数的概念与计算，利用导数研究函数的单调性、极值和证明不等式的方法，考查综合运用有关知识解决问题的能力．本小题满分14分．
（Ⅰ）解：根据求导法则有，
故，
于是，
列表如下：
2
0
极小值
故知在内是减函数，在内是增函数，所以，在处取得极小值．
（Ⅱ）证明：由知，的极小值．
于是由上表知，对一切，恒有．
从而当时，恒有，故在内单调增加．
所以当时，，即．
故当时，恒有．
22．本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力．满分14分．
解：（Ⅰ）由得，所以．
由得，故的单调递增区间是，
由得，故的单调递减区间是．
（Ⅱ）由可知是偶函数．
于是对任意成立等价于对任意成立．
由得．
①当时，．
此时在上单调递增．
故，符合题意．
②当时，．
当变化时的变化情况如下表：
单调递减
极小值
单调递增
由此可得，在上，．
依题意，，又．
综合①，②得，实数的取值范围是．
（Ⅲ），
，
，

由此得，
故．
课件29张PPT。2019/1/3第三章
导数及其应用复习小结2019/1/3本章知识结构 导数导数概念导数运算导数应用 函数的瞬时变化率 运动的瞬时速度 曲线的切线斜率 基本初等函数求导 导数的四则运算法则简单复合函数的导数 函数单调性研究 函数的极值、最值 曲线的切线 变速运动的速度 最优化问题2019/1/3曲线的切线 以曲线的切线为例，在一条曲线C：y=f(x)上取一点P(x0，y0)，点Q(x0+△x，y0+△y)是曲线C上与点P临近的一点，做割线PQ，当点Q沿曲线C无限地趋近点P时，割线PQ便无限地趋近于某一极限位置PT，我们就把直线PT叫做曲线C的在点P处的切线。一．知识串讲2019/1/32019/1/3（一）导数的概念： 1．导数的定义：对函数y=f(x)，在点x=x0处给自变量x以增量△x，函数y相应有增量△y=f(x0+△ x)－f(x0)，
若极限 存在，则此极限称为f(x)在点x=x0处的导数，记为f ’(x0)，或y| ；2019/1/3 2．导函数：如果函数y=f(x)在区间(a，b)内每一点都可导，就说y=f(x)在区间(a，b)内可导．即对于开区间(a，b)内每一个确定的x0值，都相对应着一个确定的导数f ’(x0)，这样在开区间(a，b)内构成一个新函数，把这一新函数叫做f(x)在(a，b)内的导函数．简称导数．记作f ’(x)或y’.
即f ’(x)=y’=2019/1/3 3．导数的几何意义：函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在P(x0，f(x0))处的切线的斜率，即曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线斜率为k＝f ’(x0)．所以曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线方程为
y?y0=f ’(x0)·(x－x0)． 4．导数的物理意义：物体作直线运动时，路程s关于时间t的函数为：s=s(t)，那么瞬时速度 v 就是路程 s 对于时间t的导数，即v(t)=s’(t). 2019/1/3返回2019/1/3导数的运算法则:法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的
和(差),即:法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:法则3:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函数的平方.即:返回2019/1/3 当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PQ如果有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线. 设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.即:返回2019/1/31) 如果恒有 f′(x)>0，那么 y=f（x) 在这个区间（a,b)内单调递增；2) 如果恒有 f′(x)<0，那么 y=f（x）在这个区间(a,b)内单调递减。一般地，函数y＝f（x）在某个区间(a,b)内定理f '(x)>0f '(x)<0如果在某个区间内恒有 ,则 为常数.返回2019/1/32)如果a是f’(x)=0的一个根，并且在a 的左侧附近f’(x)<0，在a 右侧附近f’(x)>0，那么是f(a)函数f(x)的一个极小值. 函数的极值1)如果b是f’(x)=0的一个根，并且在b左侧附近f’(x)>0，在b右侧附近f’(x)<0，那么f(b)是函数f(x)的一个极大值注：导数等于零的点不一定是极值点．2)在闭区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,则它必有最大值和最小值.函数的最大（小）值与导数返回2019/1/32019/1/32019/1/32019/1/32019/1/3（五）函数的最大值与最小值： 1．定义：最值是一个整体性概念，是指函数在给定区间(或定义域)内所有函数值中最大的值或最小的值，最大数值叫最大值，最小的值叫最小值，通常最大值记为M，最小值记为m.2019/1/3 2．存在性：在闭区间[a，b]上连续函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
3．求最大（小）值的方法：函数f(x)在闭区间[a，b]上最值求法：
① 求出f(x)在(a，b)内的极值；
② 将函数f(x)的极值与f(a)，f(b)比较，其中较大的一个是最大值，较小的一个是最小值.2019/1/32019/1/32019/1/32019/1/32019/1/3两年北京导数题,感想如何?2019/1/3例1．已经曲线C：y=x3-x+2和点A(1,2)。求在点A处的切线方程？解：f/(x)=3x2－1，
∴k= f/(1)=2
∴所求的切线方程为：
y－2=2(x－1),
即 y=2x2019/1/3变式1：求过点A的切线方程？例1．已经曲线C：y=x3-x+2和点(1,2)求在点A处的切线方程？解：变1：设切点为P（x0，x03－x0+2）， ∴切线方程为
y－ ( x03－x0+2)=(3 x02－1)(x－x0)又∵切线过点A(1,2) ∴2－( x03－x0+2)=( 3 x02－1)(1－x0)
化简得(x0－1)2(2 x0+1)=0，①当x0=1时，所求的切线方程为：y－2=2(x－1),即y=2x 解得x0=1或x0=－k= f/(x0)= 3 x02－1，②当x0=－ 时，所求的切线方程为：

y－2= － (x－1),即x+4y－9=0
2019/1/3变式1：求过点A的切线方程？例1：已经曲线C：y=x3－x+2和点(1,2)求在点A处的切线方程？变式2：若曲线上一点Q处的切线恰好平行于直
线y=11x－1，则P点坐标为 ____________,
切线方程为_____________________． (2,8)或(－ 2, －4) y=11x－14或y=11x+182019/1/32019/1/32019/1/3（1）正确理解导数的概念和意义，导数是一个函数的改变量与自变量的改变量的比值的极限，它反映的是函数的变化率，即函数值在x=x0点附近的变化快慢；所以只有与变化率有关的问题都可以用导数来解决；
（2）掌握求导数的方法，特别是在求复合函数的导数时，一定要把握层次，把每一层的复合关系都看清楚；
（3）利用导数来研究函数。主要是研究函数的增减性、函数的极大（小）值、函数的最大（小）值以及一
些与实际相关的问题。
三． 小结:推理与证明知识回顾
对于数学的学习，应具备“能力”，其中本章的“推理与证明”就是一种重要的“逻辑思维”能力．通过本章的复习，培养推理、论证能力，以增强对问题的敏锐的观察，深刻的理解、领悟能力．
　　一、推理部分
　　1．知识结构框图：
2．合情推理：＿＿＿＿与＿＿＿＿统称为合情推理．
　　①归纳推理：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
　　②类比推理：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
　　定义特点：归纳推理是由特殊到一般、由具体到抽象的推理；而类比推理是由特殊到特殊的推理；两者都能由已知推测、猜想未知，从而推出结论．但是结论的可靠性有待证明．
　　③推理过程：
　　从具体问题出发→＿＿＿＿＿＿→归纳类比→＿＿＿＿＿＿．
　　3．演绎推理：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
　　①定义特点：演绎推理是由一般到特殊的推理；
　　②学习要点：演绎推理是数学中证明的基本推理形式；
　　推理模式：“三段论”：
　　ⅰ大前提：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
　　ⅱ小前提：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
　　ⅲ结论：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
　　集合简述：
　　ⅰ大前提：且x具有性质P；　
　　ⅱ小前提：且；
　　ⅲ结论：y也具有性质P；
　　４．合情推理与演绎推理的关系：
　　①合情推理中的归纳推理是由特殊到一般的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理；
　　②它们又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性；
　　二、证明部分
　　１．知识结构框图
２．综合法与分析法
　　①综合法:＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
　　②分析法：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
　　学习要点：在解决问题时，经常把综合法与分析法合起来使用；使用分析法寻找成立的条件，再用综合法写出证明过程．
　　③反证法：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
　　学习要点：反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿或＿＿＿＿＿＿等矛盾．
　　3．数学归纳法
　　一般地，证明一个与正整数ｎ有关的命题的步骤如下：
　　（1）（归纳奠基）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
　　（2）（归纳递推）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．其证明的方法叫做数学归纳法．
　　学习要点：理解第一步是推理的基础，第二步是推理的依据，两者缺一不可．特别地，在证明第二步时命题成立，一定要用上归纳假设时命题成立；另外在证明第二步时首先要有明确的目标式，即确定证题方向；数学归纳法常和合情推理综合应用，特别常以归纳推理为前提．
三、考查要求
　　“合情推理”是一种重要的归纳、猜想的推理，它是发现问题和继续推理的基础．逻辑思维能力主要体现为对演绎推理的考查．试卷中考查演绎推理的试题的比例比较大，命题时既考虑使用选择题、填空题的形式进行考查，又考虑如何使用解答题（以证明题的形式）突出进行考查，立体几何是考查演绎推理的最好素材．
数学归纳法很少单独考查，由于数列是和自然数有关的，因此，经常和数列一起考查，常与归纳猜想相结合进行综合考查．
推理与证明复习指导
对于数学的学习，应具备“能力”，其中本章的“推理与证明”就是一种重要的“逻辑思维”能力形式．通过本章的复习，要有着扎实的推理、论证能力，以增强对问题的敏锐的观察，深刻的理解、领悟能力．
一．推理部分
1．知识结构：

演绎推理

推理
归纳
和情推理
类比

2．和情推理：归纳推理与类比推理统称为和情推理．
①归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．
②类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理．
③定义特点；归纳推理是由特殊到一般、由部分到整体的推理；而类比推理是由特殊到特殊的推理；都能由已知推测、猜想未知，从而推理结论．但是结论的可靠性有待证明．
例如：已知，可以，
，于是推出：对入任何，都有；而这个结论是错误的，显然有当时，．因此，归纳法得到的结论有待证明．
例如：“在平面内与同一条直线垂直的两条直线平行”；
类比线与线得到：“在空间与同一条直线垂直的两条直线平行“；显然此结论是错误的”．
类比线与面得到：在空间与同一个平面垂直的两个平面平行；显然此结论是错误的．
④推理过程：
从具体问题出发　　观察、分析、比较、联想　　　归纳、类比　　　猜想．
3．演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理（逻辑推理）．
　①定义特点：演绎推理是由一般到特殊的推理；
②数学应用：演绎推理是数学中证明的基本推理形式；
推理模式：“三段论”：
ⅰ大前提：已知的一般原理（是）；　
ⅱ小前提：所研究的特殊情况（是）；
ⅲ结论：由一般原理对特殊情况作出判断（是）；
集合简述：
ⅰ大前提：且具有性质；　
ⅱ小前提：且；
ⅲ结论： 也具有性质；
例题1．若定义在区间D上的函数对于D上的个值，总满足，称函数为D上的凸函数；现已知在上是凸函数，则中，的最大值是　　　　　．
　　　　　　　　解答：由（大前提）
　　　　　　　　　　　因为在上是凸函数 （小前提）
得　 （结论）
　　　　　　　　　　　即　　
　　　　　　　　　　　因此，的最大值是
注：此题是一典型的演绎推理“三段论”题型
４．和情推理与演绎推理的关系：
　　①和情推理是由特殊到一般的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理；
②它们又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性；
例２．设，（其中且）
　　　（1）５＝２＋３请你推测能否用来表示；
　　　（2）如果（1）中获得了一个结论，请你推测能否将其推广.
解答:（1）由
＝＋＝
　　　又＝
　因此，＝
　　（2）由＝
即＝
于是推测＝
证明：因为：，（大前提）
所以＝，
＝，＝，（小前提及结论）
所以
＝＋
＝＝
解题评注：此题是一典型的由特殊到一般的推理，构造＝是此题的一大难点，要经过观察、分析、比较、联想而得到；从而归纳推出一般结论＝．
二．证明部分
　　　１．知识结构
　　　　　　　　　　
数学归纳法
　　　　　　　　　　　　　
综合法
证明
直接证法
分析法
间接证法
反证法
　　　　　　　　　
２．综合法与分析法
　①综合法；利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，经过一系列推理论证，推导出所要证明的结论成立．
　②分析法：从要证明的结论出发逐步寻求使它成立的充分条件，直至把要证明的结论归结为判别一个明显成立的条件为止．
③综合应用：在解决问题时，经常把综合法与分析法和起来使用；使用分析法寻找成立的条件，再用综合法写出证明过程．
例３．已知：，求证：
　　　　　　　　证明：　　因为
所以
　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　又由已知，因此，成立．
　　　　　　　　　　　　由于以上分析步步等价，因此步步可逆．故结论成立．
　　　　　　　　　　　　解题评注：(1)以上解答采用恒等变形，其实质从上往下属于分析法，反之属于综合法．
(2)这里表示了,()是结论成立的充要条件,当然找到了结论成立的充分条件就可以了.
例4.求证抛物线，以过焦点的弦为直径的圆必与相切.
证明：（如图）作AA／、BB／垂直
准线，取AB的中点M，作MM／垂直
准线.
要证明以AB为
直径的圆与准线相切
只需证｜MM／｜＝｜AB｜
由抛物线的定义：
｜AA／｜＝｜AF｜，｜BB／｜＝｜BF｜
所以｜AB｜＝｜AA／｜＋｜BB／｜
因此只需证｜MM／｜＝（｜AA／｜＋｜BB／｜）
根据梯形的中位线定理可知上式是成立的.
所以以过焦点的弦为直径的圆必与相切.
以上解法同学们不难以综合法作出解答.
解题评注:分析法是从结论出发寻找证题思路的一种重要的思维方法,
特别是题设和结论相结合,即综合法与分析法相结合,可使很多较为复杂的问题得到解决.
3.数学归纳法
一般地，证明一个与正整数ｎ有关的命题的步骤如下：
　　　　 （1）（归纳奠基）证明当ｎ取第一个值ｎ0时命题成立；
　　　　 （2）（归纳递推）假设ｎ＝（时命题成立，证明当 时命题也成立。就可以断定对从ｎ0开始的所有正整数ｎ都成立．其证明的方法叫数学归纳法．
　 （3）学习要点：理解第一步是推理的基础，第二步是推理的依据，两者缺
一不可．特别地，在证明第二步时命题成立，一定要用上归纳
假设ｎ＝时命题成立；另外在证明第二步时首先要有明确的目标式，即
确定证题方向；
　　　　　　 　 数学归纳法常和和情推理综合应用，特别常以归纳推理为前提．
　　　　　　　　　　例５．已知数列的前和为，其中且
(1)求
(2)猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明．
解答：（1）
又，则，类似地求得
（2）由，，…
猜得：
以数学归纳法证明如下：
①当时，由（1）可知等式成立；
②假设当时猜想成立，即
那么，当时，由题设得
，
所以＝＝
－
因此，
所以
这就证明了当时命题成立.
由①、②可知命题对任何都成立.
解题评注：（1）本题首先采用了归纳推理，即由特殊到一般的推理；
（2）解题时注意已知式对任何都成立，因此要注意其变形应用；归纳假设已用上，在上面的横线处，是解题关键的一步.
三．高考要求
高考强调对数学思维能力的考查，“和情推理”是一种重要的归纳、猜想推理，它是发现问题和继续推理的基础.逻辑思维能力主要体现在对演绎推理的考察.试卷中考查演绎推理的试题的比例比较大，命题时既考虑使用选择题、填空题的形式进行考察，又考虑如何使用解答题型，以证明题的形式突出进行考察，立体几何是考察演绎推理的最好教材.
近几年数学归纳法很少单独考察，由于数列是和自然数有关的，因此，经常和数列一起考察，常与归纳猜想相结合进行综合考察.
（数学选修2-2）第二章 推理与证明
[基础训练A组]
一、选择题
1．数列…中的等于（ ）
A． B． C． D．
2．设则（ ）
A．都不大于 B．都不小于
C．至少有一个不大于 D．至少有一个不小于
3．已知正六边形，在下列表达式①；②；
③；④中，与等价的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
4．函数内（ ）
A．只有最大值 B．只有最小值
C．只有最大值或只有最小值 D．既有最大值又有最小值
5．如果为各项都大于零的等差数列，公差，则（ ）
A． B．
C． D．
6． 若，则（ ）
A． B． C． D．
7．函数在点处的导数是 ( )
A． B． C． D．
二、填空题
1．从中得出的一般性结论是_____________。
2．已知实数，且函数有最小值，则=__________。
3．已知是不相等的正数，，则的大小关系是_________。
4．若正整数满足，则
5．若数列中，则。
三、解答题
1．观察（1）
（2）
由以上两式成立，推广到一般结论，写出你的推论。
2．设函数中，均为整数，且均为奇数。
求证：无整数根。
3．的三个内角成等差数列，求证：
4．设图像的一条对称轴是.
（1）求的值；
（2）求的增区间；
（3）证明直线与函数的图象不相切。
（数学选修2-2）第二章 推理与证明 [基础训练A组] 参考答案
一、选择题
1．B 推出
2．D ，三者不能都小于
3．D ①；②
③；④，都是对的
4．D ，已经历一个完整的周期，所以有最大、小值
5．B 由知道C不对，举例
6．C
7．D
二、填空题
1． 注意左边共有项
2． 有最小值，则，对称轴，
即
3．
4．
5． 前项共使用了个奇数，由第个到第个奇数的和组成，即
三、解答题
1. 若都不是，且，则
2．证明：假设有整数根，则
而均为奇数，即为奇数，为偶数，则同时为奇数‘
或同时为偶数，为奇数，当为奇数时，为偶数；当为偶数时，也为偶数，即为奇数，与矛盾。
无整数根。
3．证明：要证原式，只要证
即只要证而

4．解：（1）由对称轴是，得，
而，所以
（2）
，增区间为
（3），即曲线的切线的斜率不大于，
而直线的斜率，即直线不是函数的切线。
课件14张PPT。第二章　推理与证明复习小结推理与证明推理证明合情推理演绎推理直接证明数学归纳法间接证明 比较法类比推理归纳推理 分析法 综合法 反证法知识结构一.综合法证证明:
要证
只需证
只需证
只需证
只需证
因为 成立.
所以 成立.二.分析法三:反证法问题一:
求证:两条相交直线有且只有一个交点.注:1.结论中的有且只有(有且仅有)形式出现,
是唯一性问题,常用反证法
2.有且只有的反面包含1)不存在;2)至少两个.问题二:求证一元二次方程至多 ------有两个不相等的实根.注:所谓至多有两个,就是不可能有三个,要证“至多有两个不相等的实根”只要证明它的反面“有三个不相等的实根”不成立即可.问题:如图;已知L1、L2 是异面直线且
A、B∈ L1,C、D∈ L2,,
求证;AC,SD也是异面直线.L1L2五.归纳、类比、猜想、证明例:平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,证明交点的个数f(n)等于n(n-1)/2.证:(1)当n=2时,两条直线的交点只有1个,又f(2)=2?(2-1)/2=1,因此,当n=2时命题成立.(2)假设当n=k(k≥2)时命题成立,就是说,平面内满足 题设的任何k条直线的交点个数f(k)等于k(k-1)/2.以下来考虑平面内有k+1条直线的情况.任取其中
的1条直线,记作l.由归纳假设,除l以外的其他k条直线的交点个数f(k)等于k(k-1)/2.另外,因为已知任何两条直线不平行,所以直线l必与平面内其他k条直线都相交,有k个交点.又因为已知任何三条直线不过同一点,所以上面的k个交点两两不相同,且与平面内其他的k(k-1)/2个
交点也两两不相同.从而平面内交点的个数是
k(k-1)/2+k=k[(k-1)+2]/2 =(k+1)[(k+1)-1]/2.这就是说,当n=k+1时,k+1条直线的交点个数为:
f(k+1)=(k+1)[(k+1)-1]/2.根据(1)、(2)可知,命题对一切大于1的正整数都成立.说明:用数学归纳法证明几何问题,重难点是处理好当
n=k+1时利用假设结合几何知识证明命题成立.注:在上例的题设条件下还可以有如下二个结论:(1)设这n条直线互相分割成f(n)条线段或射线,
---则: f(n)=n2.(2)这n条直线把平面分成(n2+n+2)/2个区域.练习1:凸n边形有f(n)条对角线,则凸n+1边形的对角线 　　　　------的条数f(n+1)=f(n)+_________.n-1练习2:设有通过一点的k个平面,其中任何三个平面或
三个以上的平面不共有一条直线,这k个平面将
空间分成f(k)个区域,则k+1个平面将空间分成
f(k+1)=f(k)+__________个区域.2k１:平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,
证明这n条直线把平面分成f(n)＝(n2+n+2)/2个区域.作业：推理与证明随堂测试题
右边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，
称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，所表示
的数是
(A)2 (B) 4 (C) 6 (D) 8
下列推理正确的是
(A) 把 与 类比，则有： ．
(B) 把 与 类比，则有：．
(C) 把 与 类比，则有：．
(D) 把 与 类比，则有：．
观察如图中各正方形图案，每条边上有个圆点，第个图案中圆点的总数是．
n=2 n=3 n=4
按此规律推断出与的关系式为
(A) = (B) =4n (C) = (D) =
4、四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1，2，3，4号位子上（如图），第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，…，这样交替进行下去，那么第2005次互换座位后，小兔的座位对应的是
(A)编号1 (B) 编号2 (C) 编号3 (D) 编号4
5、把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，结论还正确的是
(A) 如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则比与另一条相交 ．
(B) 如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则比与另一条垂直．
(C) 如果两条直线同时与第三条直线相交，则这两条直线相交．
(D) 如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行．
二、填空题
6、下列各列数都是依照一定的规律排列，在括号里填上适当的数
（1）1，5，9，13，17，（ ）；
（2），，，，（ ）．
7、类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四体的下列的一些性质，①各棱长相等，同一顶点上的两条棱的夹角相等；②各个面都是全等的正三角形， 相邻两个面所成的二面角相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任何两条棱的夹角相等．
你认为比较恰当的是 ．
8、、为了保证信息安全传输，有一种称为秘密密钥密码系统(Private Key Cryptosystem)，其加密、解密原理如下图：
现在加密密钥为，如上所示，明文“6”通过加密后得到密文“3”，再发送，接受方通过解密密钥解密得到明文“6”．问：若接受方接到密文为“4”，则解密后得明文为 ．
9、由图(1)有面积关系: 则由(2) 有体积关系:
10、从中，得出的一般性结论是
．
11、已知：

通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题：
_____________________________________________________= （ * ）
并给出（ * ）式的证明．
12、设0 < a, b, c < 1，求证：(1 ( a)b, (1 ( b)c, (1 ( c)a,不可能同时大于
13、已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，用反证法证明：a, b, c > 0
14、若a、b、c是不全相等的正数，求证：
15、已知数列中，．
（Ⅰ）是否存在自然数m，使得当时，；当时，？
（Ⅱ）是否存在自然数p，使得当时，总有？
参考答案或提示：
1、(C) 2、 (D) 3、(B) 4、(A) 5、(B) 6、 21， 7、③
8、14．运用映射概念，体现RMI原则，实质上当x=6时，y=3，可得a=2,从而当y=4时，x=24－2＝14．
9、 10、
11、解：一般形式:
证明 左边 =
=
=

= =
∴原式得证
（将一般形式写成
等均正确）
12、证：设(1 ( a)b >, (1 ( b)c >, (1 ( c)a >,
则三式相乘：ab < (1 ( a)b?(1 ( b)c?(1 ( c)a < ①
又∵0 < a, b, c < 1 ∴
同理：,
以上三式相乘： (1 ( a)a?(1 ( b)b?(1 ( c)c≤ 与①矛盾 ∴原式成立
13、证：设a < 0, ∵abc > 0, ∴bc < 0
又由a + b + c > 0, 则b + c = (a > 0
∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0 与题设矛盾
又：若a = 0，则与abc > 0矛盾， ∴必有a > 0
同理可证：b > 0, c > 0
14、
证明二：(综合法)∵a，b，c∈R+，
abc成立．上式两边同取常用对数，得
15、解（Ⅰ）首先考虑能否化简已知条件，但事实上这一条路走不通，于是，我们转而考虑通过计算一些的值来寻找规律．不难得到：
，，，，，，
可以看出：均大于2，从到均小于2，但能否由此断定当时，也有？这就引导我们去思考这样一个问题：若，能否得出？
为此，我们考查与的关系，易得．
可以看出：当时，必有．于是，我们可以确定：当时，必有．
为了解决问题（Ⅰ），我们还需验证当时，是否均有．
方法之一是一一验证．即通过已知条件解出：．由此，我们可以从出发，计算出这个数列的第6项到第1项，从而得出结论．
另外，得益于上述解法，我们也可以考虑这样的问题：“若，能否得出”？ 由不难得知：上述结论是正确的．
所以，存在，使得当时，；当时，．
（Ⅱ）问题等价于：是否存在自然数p，使得当时，总有． 由（Ⅰ）可得：．
我们已经知道：当时，，于是，所以，我们只需考虑：是否存在不小于10的自然数p，使得当时，总有？
观察前面计算的结果，可以看出： ，均大于-3，可以猜想： 即可满足条件．
这样的猜想是否正确？我们只需考查与的关系：
由可知：上述结论正确．
另外，如果我们注意到从到，数列的项呈递增的趋势，则也可以考虑．由〉0，从而得出结论．
数系的扩充与复数的引入
【专题要点】1 理解复数的概念:即复数是由实数与虚数构成的,
2 理解复数相等的条件是: 若a+bi=c+di当且仅当a=c,b=d.3. 掌握复数的四则运算,了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。
【考纲要求】⑴加强数学思想方法的训练：转化思想、分类讨论思想、数形结合思想、整体思想；
⑵突破关键知识：①理解复数、实数、虚数、共轭复数的概念和复数的几何表示；②熟练应用复数相等的条件；③掌握复数的运算法则，及复数加减法的几何意义及应用；④复数问题实数化方法 【知识纵横】
一、复数基本概念：
复数的概念是解题的重要手段，应在理解、掌握复数概念上下功夫，如实数、虚数、纯虚数、复数相等等概念要切实掌握好．例1.（2009江西卷）若复数为纯虚数，则实数的值为
A． B． C． D．或 解析：由复数为纯虚数，得，解得，故选A．
点评：本题主要考查了复数的基本概念，掌握基本复数的概念是解决复数问题的关键．２.若复数()是纯虚数，则= .
〖解析〗由,所以=2. 〖答案〗.2
二、复数的基本运算复数的最本质的运算方式是代数形式的运算，所以代数形式运算是试题考查的重点，其试题难度一般，试题活而不难，主要考查学生灵活运用知识的能力．
例2.（2009重庆卷）已知复数的实部为，虚部为2，则=（ ）A． B． C． D．
解析：由题意知，则，所以选A．点评：本题主要考查了复数的基本运算，复数的四则运算是复数的一个重点考查热点，也是掌握复数的基础.
配套练习：１．已知zi+z=2，则复数z=（ ）
A．1－i B．1+i C．2i D．－2i〖解析〗由zi+z=2得Z=,所以选A项.
〖答案〗A２．已知i是虚数单位，R，且是纯虚数，则等于( )
A．1 B．-1 C．i D．-i〖解析〗由=是纯虚数,得m=2,
所以=.〖答案〗A
３.若z1=a＋2i，z2=3－4i，且为纯虚数，则实数a的值是 ▲ ． 〖解析〗＝，则由条件可得3a－8=0,得a=.
〖答案〗４. 已知，且（为虚数单位），则z=_______;=_______.
〖解析〗设Z=a+bi,则,所以由条件得: ,所以,即z=2i, =.〖答案〗2i，．
三 复数相等例3、已知其中是实数，是虚数单位，则 ( )
A．1+2i B． 1-2i C．2+i D．2-
〖解析〗 由已知，得，则，解得，故选C．
〖点评〗在两个复数相等的条件中，注意前提条件是、、、，即当、、特别地： ．
【警示】两个复数，如果不全是实数时，不能比较它们的大小
四 开方运算
例4:的平方根是 ．
〖解析〗设，其中，所以
解得或，故的平方根是．
〖练习〗的平方根是 ．
五、复数的几何表示
复数z=a+bi（a，b∈R）可用平面直角坐标系内点Z(a，b)来表示．这时称此平面为复平面，x轴称为实轴，y轴除去原点称为虚轴．这样，全体复数集C与复平面上全体点集是一一对应的．
例5.（2009潍坊调研）复数，，则复数在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
A 提示：本题考查了复数的几何意义，，
所以复数在复平面内对应的点位于第一象限.
点评：理解掌握复数与复平面内点之间的一一对应关系，研究复数对应复平面内点的位置，只要看复数的实部与虚部的正与负．
六、复数中的方程思想
例6、设复数满足，则（ ）
A　 B　 C　 D　
〖解析〗　，选C．
〖点评〗视为未知数，解关于的方程——是好招．
〖练习〗 ① (2004辽宁—理4)设复数z满足,则︱1+z︱= ( )
A． 0 B．1 C． D． 2
② （2006上海—理5）若复数同时满足－＝2，＝（为虚数单位），则＝
七、复数方程
例7：(2008上海—文7) 若是实系数方程的一个虚根，且，则 ．
〖解析〗　设（），则方程的另一个根为,且
，由韦达定理，得：
所以
〖点评〗本题考查一元二次方程根的意义、共轭复数、复数的模等知识．
1．已知，且（是虚数单位）是实系数一元二次方程的两个根，那么的值分别是（　　）
Ａ Ｂ
Ｃ Ｄ
2.设关于的方程有实根，求锐角及这个实根．
〖解析〗设实数根为，则　，即
∵，，
∴
∴且，
又
∴
〖点评〗　这种解法是解这类方程的基本方法，利用复数相等实现复数问题向实数问题的转化，体现了转化思想．
八．复数的待定系数法
例8.已知z是纯虚数,是实数,那么z等于 （ ）
A． 2i B．i C．-i D．-2i
〖解析〗 设（）,代入
由于其为实数，b= -2, 故选D. .
〖练习〗（2004广东14）已知复数z与 (z +2)2-8i 均是纯虚数,则 z = －2i .
九、复数中的创新试题
对于复数的创新试题的考查题型主要为新定义与新运算，或与函数等其他知识点相交汇型的试题.主要考查学生收集信息、加工信息的能力.
例9.(1)定义:复数是的转置复数,记为
;复数是的共轭复数,记为.给出下列三个命题:①;②;③;其中真命题的个数为 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
解析:,①正确;
,②正确;=
,=
,∴,③错,故选C.
点评:本题考查了学生收集信息、加工信息和运用信息的能力.将新信息与已学信息联系在一起运用,是解这类题的关键.
（2)投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n,则复数（m+ni）(n-mi)为实数的概率为（ ）
A． B． C． D． .
【解析】因为为实数，所以，故，则可以取1、26，共6种可能，所以.
〖练习〗　①　复数z+i在映射f下的象为·i,则-1+2i的原象为( )
A．2 B．2-i 　　　C．-2+i 　　 D．-1+3i
②　若函数的反函数为，则（ ）
A． B． C． D．
③　若，化简：
④ 定义运算，若复数满足，则．
课件9张PPT。选修1-2 第三章 数系的扩充与复数的引入复习课知识回顾:1.复数的概念:形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,i叫虚数单位.全体复数组成的的集合叫:复数集,用C表示.复数的代数形式:Z=a+bi复数的实部与虚部分别是:a,b1).a+bi是实数b=02). a+bi是虚数b≠03).a+bi为纯虚数a=0且b≠02.几个等价条件:4).两个复数相等的条件: 复数z=a+bi(a、b?R)(b=0)虚数(b?0)3.复数的分类:注意:两个不全是实数的复数不能比较大小.复数z=a+bi复平面中的点Z(a,b)一一对应4.复平面的定义:x轴------实轴y轴------虚轴平面向量一一对应| z | = 6.复数的模:建立了平面直角坐标系来表示复数的平面叫复数平面 (简称复平面)5.复数的几何意义:baZ(a,b)7.复数的加法法则：设Z1=a+bi，Z2=c+di (a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的和：（a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i即:实部与实部相加,虚部与虚部相加,所得结果仍是复数.8.复数加法的几何意义:设 及 分别与复数
及复数 　　对应，则 　　　 注:向量加法的平行四边形 法则(a+c,b+d)即：（a+bi)－（c+di）=(a － c)+(b － d)i9.复数的减法法则：设Z1=a+bi，Z2=c+di (a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的差：即:实部与实部相减,虚部与虚部相减,所得结果仍是复数.10.复数减法的几何意义:设 及 分别与复数
及复数 　　对应，则 　　　 注:向量减法的三角形法则11.复数乘法的法则复数的乘法与多项式的乘法是类似的,但必须在所得的结果中把i2换成-1,并且把实部合并.即:(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(ac-bd)+(bc+ad)i.12.共轭复数的概念:定义:当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于零的两个共轭复数也叫共轭虚数.复数 的共轭复数记作:注意:两个共轭复数的和与积都是实数.13.复数的除法法则(是乘法的逆运算) 先把除式写成分式的形式,再把分子与分母都乘以分母的共轭复数,化简后写成代数形式(分母实数化).即14.几个基本结论:高中新课标数学选修（2-2）第三章 数系的扩充与复数的引入测试题
一、选择题
1．下面四个命题：①是两个相等的实数，则是纯虚数；②任何两个复数不能比较然而小；③若，，且，则；④两个共轭虚数的差为纯虚数．其中正确的有（　　）
Ａ．1个 Ｂ．2个 Ｃ．3个 Ｄ．4个
答案：Ａ
2．设集合，则在下列四个复数中，不属于的复数的为（　　）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
答案：Ａ
3．经过原点及复数对应的直线的倾斜角为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案：Ｂ
4．设，为复数且满足，则在复平面内对应的点在（　　）
Ａ．轴下方 Ｂ．轴上方
Ｃ．轴左方 Ｄ．轴右方
答案：Ｂ
5．若非零复数满足，则与所成的角为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案：Ｄ
6．已知，且，则复数为（　　）
Ａ．实数
Ｂ．纯虚数
Ｃ．是虚数但不一定是纯虚数
Ｄ．可以是虚数也可以是实数
答案：Ａ
二、填空题
7．已知，，，则实数　　　．
答案：
8．已知复数，，且与共轭复数的积是实数，则实数的值为　　　．
答案：
9．已知是实系数一元二次方程的一个根，则　　　　，　　．
答案：1，
10．利用公式，把分解成一次因式的积为　　　　．
答案：
11．已知，，则的值是　　　　　．
答案：
12．对于任意两个复数，（为实数），定义运算“”为：。设非零复数在复平面内对应的点分别为，，点为坐标原点．如果，那么在中，的大小为　　　　　．
答案：
三、解答题
13．已知，，，若，求，的值．
解：，，
，
14．已知复数满足，的虚部是2．
（1）求复数；
（2）设在复平面上的对应点分别为，求的面积．
解：（1）设，则，
由题意得且，
解得或，
因此或．
（2）当时，，，
所以得，
所以．
当时，，，
所以得，
所以．
15．设为虚数，求证：为纯虚数的充要条件是：．
证明：为虚数，，
则为纯虚数
．
高中新课标数学选修（2-2）第三章 数系的扩充与复数的引入测试题
一、选择题
1．对于实数，，下列结论正确的是（　　）
Ａ．是实数 Ｂ．是虚数
Ｃ．是复数 Ｄ．
答案：Ｃ
2．下列说法正确的是（　　）
①实数是复数；②虚数是复数；③实数集和虚数集的交集不是空集；④实数集与虚数集的并集等于复数集；⑤虚轴上的点表示的数都是纯虚数；⑥实轴上的点表示的数都是实数．
Ａ．①②③ Ｂ．①②④⑥ Ｃ．②④⑤ Ｄ．①②③⑤
答案：Ｂ
3．下列命题，正确的是（　　）
Ａ．复数的模总是正实数
Ｂ．，
Ｃ．相等的向量对应着相等的复数
Ｄ．实部和虚部都分别互为相反数的两个复数是共轭复数
答案：Ｃ
４．复数与复数相等，则实数的值为（　　）
Ａ．1 Ｂ．1或 Ｃ． Ｄ．0或
答案：Ｃ
5．已知，，，，，则（　　）
Ａ．5 Ｂ．4 Ｃ．3 Ｄ．6
答案：Ａ
6．的结果是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案：Ｄ
二、填空题
7．以的虚部为实部，以的实部为虚部的复数是　　　　　．
答案：
8．，，则复平面上与，对应的点，的距离为　　　　．
答案：
9．设，则　　　　　．
答案：
10．若是纯虚数，则实数的值等于　　　　　．
答案：
11．设，，，且，则为　　　　．
答案：
12．已知关于的方程有实根，则实数的值为　　　　．
答案：或
三、解答题
13．已知复数，当实数为何值时，
（1）为实数；
（2）为虚数；
（3）为纯虚数．
解：（1）若为实数，则，解得或；
（2）若为虚数，则，解得或；
（3）若为纯虚数，则解得．
14．复平面内三点，点对应的复数，对应的复数为，向量对应的复数为，求点对应的复数．
解：对应的复数是，对应的复数为，
对应的复数为．
又．
点对应的得数为．
15．已知，，求满足的复数．
解：．
，即，
．
高中新课标数学选修（2-2）第三章测试题
一、选择题
1．是复数为纯虚数的（ ）
Ａ．充分条件但不是必要条件
Ｂ．必要条件但不是充分条件
Ｃ．充要条件
Ｄ．既不是充分也不必要条件
答案：Ｂ
2．若，，的和所对应的点在实轴上，则为（　　）
Ａ．3 Ｂ．2 Ｃ．1 Ｄ．
答案：Ｄ
3．复数对应的点在虚轴上，则（　　）
Ａ．或 Ｂ．且 Ｃ． Ｄ．或
答案：Ｄ
4．设，为复数，则下列四个结论中正确的是（　　）
Ａ．若，则
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．是纯虚数或零
答案：Ｄ
5．设，，则下列命题中正确的是（　　）
Ａ．的对应点在第一象限
Ｂ．的对应点在第四象限
Ｃ．不是纯虚数
Ｄ．是虚数
答案：Ｄ
6．若是实系数方程的一个根，则方程的另一个根为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案：Ａ
7．已知复数，，则的最大值为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．3
答案：Ａ
8．已知，若，则等于（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．4
答案：Ｂ
9．在复平面内，复数对应的向量为，复数对应的向量为．那么向量对应的复数是（　　）
Ａ．1 Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案：Ｄ
10．在下列命题中，正确命题的个数为（　　）
①两个复数不能比较大小；
②，若，则；
③若是纯虚数，则实数；
④是虚数的一个充要条件是；
⑤若是两个相等的实数，则是纯虚数；
⑥的一个充要条件是．
Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3
答案：Ｂ
11．复数等于它共轭复数的倒数的充要条件是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案：Ｂ
12．复数满足条件：，那么对应的点的轨迹是（　　）
Ａ．圆 Ｂ．椭圆 Ｃ．双曲线 Ｄ．抛物线
答案：Ａ
二、填空题
13．若复数所对应的点在第四象限，则为第　　　　象限角．
答案：一
14．复数与它的共轭复数对应的两个向量的夹角为　　　　．
答案：
15．已知，则　　　　　．
答案：2
16．定义运算，则符合条件的复数　　　　．
答案：
三、解答题
17．已知复数的模为，求的最大值．
解：，
，故在以为圆心，
为半径的圆上，表示圆上的点与原点连线的斜率．
如图，由平面几何知识，易知的最大值为．
18．已知为实数．
（1）若，求；
（2）若，求，的值．
解：（1），
；
（2）由条件，得，
，
解得
19．已知，，对于任意，均有成立，试求实数的取值范围．
解：，
，
对恒成立．
当，即时，不等式成立；
当时，
综上，．
20．已知，是纯虚数，又，求．
解：设
．
为纯虚数，
．
．．
把代入，解得．
．
．
21．复数且，对应的点在第一象限内，若复数对应的点是正三角形的三个顶点，求实数，的值．
解：，
由，得． ①
复数0，，对应的点是正三角形的三个顶点，
，
把代入化简，得．　　　②
又点在第一象限内，，．
由①②，得
故所求，．
22．设是虚数是实数，且．
（1）求的值及的实部的取值范围．
（2）设，求证：为纯虚数；
（3）求的最小值．
（1）解：设，
则．
因为是实数，，所以，即．
于是，即，．
所以的实部的取值范围是；
（2）证明：．
因为，，所以为纯虚数；
（3）解：
因为，所以，
故．
当，即时，取得最小值1．
高中新课标数学选修（2-2）第三章测试题
一、选择题
1．实数，满足，则的值是（　　）
Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ． Ｄ．
答案：Ａ
2．复数，的几何表示是（　　）
Ａ．虚轴
Ｂ．虚轴除去原点
Ｃ．线段，点，的坐标分别为
Ｄ．（Ｃ）中线段，但应除去原点
答案：Ｃ
3．，若，则（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案：Ａ
4．已知复数，，若，则（　　）
Ａ．或 Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案：Ｂ
5．已知复数满足的复数的对应点的轨迹是（　　）
Ａ．1个圆 Ｂ．线段 Ｃ．2个点 Ｄ．2个圆
答案：Ａ
6．设复数在映射下的象是，则的原象为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．－
答案：Ａ
7．设，为锐角三角形的两个内角，则复数对应的点位于复平面的（　　）
Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限
答案：Ｂ
8．已知，则（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．－
答案：Ｂ
9．复数，且，则（　　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．2
答案：Ｃ
10．表示（　　）
Ａ．点与点之间的距离
Ｂ．点与点之间的距离
Ｃ．点与原点的距离
Ｄ．点与点之间的距离
答案：Ａ
11．已知，，则的最大值和最小值分别是（　　）
Ａ．和 Ｂ．3和1
Ｃ．和 Ｄ．和3
答案：Ａ
12．已知，，，，，则（　　）
Ａ．1 Ｂ． Ｃ．2 Ｄ．
答案：Ｄ
二、填空题
13．若，已知，，则　　　　　．
答案：
14．“复数”是“”的　　　　　．
答案：必要条件，但不是充分条件
15．，分别是复数，在复平面上对应的两点，为原点，若，则为　　　　　．
答案：直角
16．若是整数，则　　　　　．
答案：或
三、解答题
17．已知复数对应的点落在射线上，，求复数．
解：设，则，
由题意得　　　　①
又由，得，　　　②
由①，②解得．
18．实数为何值时，复数．
（1）为实数；
（2）为虚数；
（3）为纯虚数；
（4）对应点在第二象限．
解：．
（1）为实数且，解得；
（2）为虚数
解得且；
（3）为纯虚数
解得；
（4）对应的点在第二象限
解得或．
19．设为坐标原点，已知向量，分别对应复数，且，，．若可以与任意实数比较大小，求，的值．
解：，则的虚部为0，
．
解得或．
又，．
则，，，．
．
20．已知是复数，与均为实数，且复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数的取值范围．
解：设，为实数，．
为实数，
，则．
在第一象限，
解得．
21．已知关于的方程有实数根．
（1）求实数，的值；
（2）若复数满足，求为何值时，有最小值并求出最小值．
解：（1）将代入题设方程，整理得，
则且，解得；
（2）设，则，
即．
点在以为圆心，为半径的圆上，
画图可知，时，．
第三章　数系的扩充与复数的引入
一、选择题
1．下列命题中，真命题是( )．
A．任意两个复数都不可以比较大小
B．一个复数与它的共轭复数的和是实数
C．原点是复平面内直角坐标系的实轴与虚轴的公共点
D．i2是虚数
2．给出下列命题：
①方程x2＋x－1＝0在有理集范围内有解
②方程x2＋x－1＝0在实数集范围内有解
③方程x2－x＋1＝0在实数集范围内没有解
④方程x2－x＋1＝0在复数集范围内没有解
其中正确命题的序号是( )．
A．① ③ B．① ④ C．② ③ D．② ④
3．复数的值是( )．
A．－4 B．4 C．－4i D．4i
4．满足条件|z－i|＝|1－i|的复数z在复平面上对应点的轨迹是( )．
A．一条直线 B．两条直线 C．圆 　 D．椭圆
5．设复数?＝－＋i，则1＋?2＝( )．
A．－?　　　　　 B．?2　　　　　　 C．－　　　　　　D．
6．已知复数z满足(＋3 i)z＝3i，则z＝( )．
A．－i B．－i C．＋i D．＋i
7．已知，其中m，n是实数，i是虚数单位，则m＋ni＝( )．
A．1－2i B．1＋2i C．2－i D．2＋i
8．当1＜m＜时，复数z＝(2m－3)＋(m－1)i在复平面上对应的点位于( )．
A．第一象限 　　 B．第二象限 　 C．第三象限 　　　D．第四象限
9．集合{z|z＝in－i－n，n∈Z}，用列举法表示该集合，这个集合是( )．
A．｛0，2，－2｝ 　 B．｛0，2｝
C．｛0，2i，－2i｝ 　 D．｛0，2，－2，2i，－2i｝
10．设复数z≠±1 则|z|＝1是是纯虚数的( )．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
二、填空题
11．在复数集中因式分解：x4－1＝______________．
12．若复数同时满足z－＝2i，＝iz(i为虚数单位)，则z＝ ．
13．若复数的模为，则实数a的值是 ．
14．在复平面内，O是原点，对应的复数是3＋i ，若将绕原点按逆时针方向旋转??角后，落在y轴的正半轴上，则角??的最小值是　　　　　　．
15．设x，y为实数，且，则x－y＝__________．
16．已知复数z1＝m－m2i，复数z2＝cos ??＋(?＋sin ?)i，其中m，?，??均为实数，若z1＝z2，则实数 ??的取值范围是　　　　　　　．
三、解答题
17．设复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i，试求m取何值时
(1)z是实数；
(2)z是纯虚数；
(3)z对应的点位于复平面的第一象限．
18．已知z，?为复数，(1＋3i)z为实数，?＝，且|?|＝5，求?．
19．阅读右边程序，写出程序的算式，并计算出S的结果(其中i2＝－1，i0＝1)．

20．在复平面内，已知向量对应复数z，向量在实轴和虚轴上的射影都是整数，向量对应复数，向量对应的点是M(m，0)，且m∈(1，6]，求所有满足条件的复数z．
参考答案
一、选择题
1．B
解析：复数中包含实数，但两个实数可以比较大小，A不对；原点不是虚轴上的点，C不对．i2＝－1是实数，D不对．复数z＝a＋bi与它的共轭复数＝a－bi的和2a是实数，故选B．
2．Ｃ
解析：方程x2＋x－1＝0的判别式 ?＝5＞0，故有实数根，方程的根是无理数；方程x2－x＋1＝0的判别式 ?＝－5＜0，故方程没有实数根，但虚数根必存在．故选Ｃ．
3．A
解析：．故选 A．
4．Ｃ
解析：设z＝x＋yi (x，y∈R) ，则|z－1|，|1－i|＝．
所以，(x－1)2＋y2＝2，故轨迹是圆．故选C．
5．A
解析：∵?＝－＋i，
∴?2＋?＋1＝0 ．故选A．
6．D
解析：z＝＝，故选D．
7．D
解析：由 得：m＝(1－i)(1＋ni)＝1＋ni―i―ni 2，
∴m＝(1＋n)＋(n－1)·i．
根据复数相等的定义知：　　　　　
故选D．
8．B
解析：当1＜m＜时，2m－3＜0，m－1＞0，故选B．
9．Ｃ
解析：若n＝4k，则i n＝i 4k＝1，i－n＝1，∴ z＝0；
若n＝4k＋1，则in＝i，i－n＝＝－i，∴ z＝2i；
若n＝4k＋2，则in＝－1，i－n＝－1，∴ z＝0；
若n＝4k＋3，则in＝－i，i－n＝－＝i，∴z＝－2i．
故选 C．
10．C
解析：若|z|＝1，设z＝a＋bi，其中a，b∈R，则a2＋b2＝1，又z≠±1，故b≠0．
于是，＝是纯虚数．
若是纯虚数，则设＝mi，m∈R且m≠0，
∴z－1＝(z＋1)mi可得z＝，
∴ |z|＝．
故选C．
二、填空题
11．(x－1)(x＋1)(x－i)(x＋i)．
解析：x4－1＝(x2－1)(x2＋1)＝(x－1)(x＋1)(x－i)(x＋i)．
12．－1＋i．
解析：由已知z－iz＝2i，∴z＝．
13．±．
解析：由已知＝，
∴|－2ai|＝|a＋2i|．
∴()2＋(2a)2＝3(a2＋22)，
∴a2＝10，
即a＝±．
14．60o．
解析：向量与x轴所成的角为30o，所以向量逆时针方向只要旋转60o，就与y轴重合了，故 ??的最小值应为60o．
15．－5．
解析：，，
∴＝，
而，
由复数相等的定义知，
∴x＋y＝－5．
16．．
解析：根据复数相等的定义，有
消去m得：－cos2 ?＝?＋sin ?，
即　?＝－cos2???－sin ?＝－，
由于－1≤sin ?≤1，可得－≤?≤1．
三、解答题
17．解：(1)由
解得m＝－2或－1，即m＝－2或－1时，z是实数．
(2)由
解得m＝3，即m＝3时，z是纯虚数．
(3)由
解得m＞3或m＜－2时，即m＞3或m＜－2时，z对应的点位于复平面的第一象限．
18．解：设 (＝x＋yi(x，y∈R)，?＝z＝?(2＋i)＝(x＋yi)(2＋i)，
依题意得(1＋3i)(2＋i)(＝(－1＋7i)( 为实数，且|(|＝5，
∴ 解之得 或
∴(＝1＋7i，或 (＝－1－7i．
19．本程序的算式是：S＝1＋2i＋3i2＋…＋1 000i999．
解法1：原式＝(1＋2i－3－4i)＋(5＋6i－7－8i)＋…＋(997＋998i－999－1 000i)
＝250(－2－2i)＝－500－500i，
解法2：设S＝1＋2i＋3＋…＋1 000i999，则iS＝i＋2i2＋3i3＋…＋999i999＋1 000 i1 000，
∴(1－i)S＝1＋i＋i2＋…＋i999－1 000 i1 000＝，
得S =－500－500i．
20．解：∵向量在实轴和虚轴上的射影都是整数，
∴z的实部和虚部都是整数．
由已知向量对应的复数是,
又向量对应的点是M(m，0)，且m∈(1，6]．
故1＜≤6．
设＝t，则z2－tz＋10＝0,
∵1＜t≤6，∴?＝t2－40＜0，
解方程得：z＝±i，
由z的实部和虚部都是整数，知t＝2或t＝6，
故z＝1±3i或z＝3±i．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

第四届全国高中青年数学教师优秀课观摩与评选活动参评课教案
普通高中新课程标准实验教科书数学选修2—2
合
情
推
理
（第一课时）
浙江省天台中学 洪 琼
2008年10月
一．教材分析
1．教材的地位和作用
推理与证明思想贯穿于高中数学的整个知识体系，但是作为一章内容出现在高中数学教材中尚属首次。《推理与证明》是新课标教材的亮点之一，本章内容将归纳与推理的一般方法进行了必要的总结和归纳，同时也对后继知识的学习起到引领的作用.
教材的设计还原了数学的本源、本质，是对“观察发现、归纳类比、抽象概括、演绎证明”等数学思维方法的总结与归纳，使已学过得的数学知识和思想方法系统化、明晰化，操作化.紧密地结合了已学过的数学实例和生活实例，避免空泛地讲数学思想方法，以变分散为集中，变隐性为显性的方式学习了推理和证明，是知识、方法、思维和情感的融合与促进，能让学生充分体会数学的发生、发展.
2．课时划分
《合情推理》的教学分两个课时完成：第一课时内容为归纳推理;第二课时内容为类比推理.
二、教学目标：
1．知识技能目标：
理解归纳推理的概念，了解归纳推理的作用，掌握归纳推理的一般步骤，会利用归纳进行一些简单的归纳推理.
2．过程方法目标：
学生通过积极主动地参与课堂活动，经历归纳推理概念的获得过程，了解归纳推理的含义;通过欣赏一些伟大猜想的产生过程，体会并认识利用归纳推理能猜测和发现一些新事实、得出新结论的作用并明确归纳推理的一般步骤；通过具体解题，感受归纳推理探索和提供解决问题的思路和方向的作用；通过自主学习归纳推理的一般方法，建构归纳推理的思维方式.
3．情感态度，价值观目标：
学生通过主动探究、合作学习、相互交流，培养不怕困难、勇于探索的优良作风，增强了数学应用意识；通过体会成功，形成学习数学知识、了解数学文化的积极态度.
三、教学重点，难点
1．重点：归纳推理的含义与作用
2．难点：利用归纳法进行简单的合情推理
四、教法与教具选择：
1．教学方法：启发发现法、课堂讨论法
2．教具：多媒体、粉笔、黑板、直尺、三角板。
3．理论根据：启发发现法就是利用归纳法基本步骤开展教学，即在教学过程中利用合适的资源启发学生主动自我发现，自我猜想，自我归纳.因为学生拥有自己的知识、经验、灵感，是主动和富有创造性的，所以采用启发发现法，往往能使学生在课堂活动中表现出浓厚的学习兴趣.而学生之间的讨论，师生之间的讨论不仅能培养学生的合作团队意识，对于发现新结论也是非常重要的，因此在教学过程中要倡导学生参与到课堂活动中来，形成生生互动，师生互动的局面.
五、教学过程
环节
教 学 程 序
师生互动
设计意图
创设情景
某市为了解本市的高中生数学学习状态,对四所学校做了一个问卷调查,其中有两题的统计数据如下:
某市
高中数学学习状态问卷调查
对数学
的印象
数学学习
的目的
生动 活泼
严肃枯燥
发现问题
解决问题
甲学校
19%
71%
11%
89%
乙学校
7%
75%
23%
77%
丙学校
16%
64%
21%
79%
丁学校
25%
53%
16%
84%
根据这四所学校的情况,你能推测全市高中生对数学的印象吗?
教师提问：你的推测一定正确吗？
推理的概念：前提结论（2分钟）
学生踊跃回答问题，教师通过评价学生推测的结论引入推理的概念。
自然合理地提出问题，让学生体会“数学来源于生活”。创造和谐积极的学习气氛。
为课堂结尾的“数学是生动活泼的，发现问题是数学学习的一个重要目的”埋下伏笔。
授
新
课
介绍四幅图的大致内容，说明推理在现实生活中是到处存在的。
引导学生做一些简单的推理：
1.由铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想：一切金属都能导电.
2.由三角形内角和为,凸四边形内角和,凸五边形内角和为,猜想：凸边形内角和为.
3.地球上有生命，火星具有一些与地球类似的特征，猜想：火星上也有生命.
4.因为所有人都会死，苏格拉底是人，所以苏格拉底也会死.
引导学生做出合理分类
(5分钟)
先引导学生发现前三个推理的结论都是通过猜想得到的。再引导学生观察四个推理的前提与结论，根据前提与结论的关系由学生作出进一步分类并尝试命名。
介绍四幅图让学生感受推理在现实世界中无处不在。
给出四个例子让学生通过直观感知、观察分析、归纳类比做出合理分类，并抽象概括出合情推理和归纳推理的概念，完成由浅入深、由易到难、由特殊到一般的思维飞跃。
教师补充:给你们一列数，第一个数是2，第二个数是4，第三个数是6，第四个会是什么呢？
对比这些归纳推理的例子，能深入挖掘他们的共同特征吗？
二、归纳推理的概念：由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征,或者由个别事实概栝出一般结论，（简称归纳）（7分钟）
部分推出整体，个别推出一般
学生分小组讨论：
将学生划分为两大部分，一部分讨论生活中运用归纳推理例子，一部分讨论学习中使用归纳推理的例子。
学生举例之后教师总结（12分钟）
通过四个归纳推理的例子的比较分析，学生理解消化归纳推理的概念。
组织学生进行分组讨论，引导学生从生活和学习两大方面对归纳推理的应用进行举例。
分组讨论降低了概念学习的难度，使学生能够更多的围绕重点展开探索和研究。
学生的主体意识在这里获得充分的体现。
感受归纳推理的魅力，重点介绍两大猜想
1．探究浙江省地图着色问题，重现四色猜想产生情境。
2．介绍歌德巴赫猜想
观察下列等式
3+7=10
3+17=20
13+17=30
你们能从中发现什么规律？
如果换一种写法呢？
10=3+7
20=3+17
30=13+17
这个规律对于其他偶数是否成立？
（25分钟）
介绍其他学科中运用归纳推理得到的重要发现
三、归纳推理的作用
1．发现新事实
学生主动探究规律，感受归纳推理对发现新事实、得出新结论的作用。
引导学生发现并总结规律。
设置四色猜想和歌德巴赫赫猜想产生情景，激发学生的求知欲。同时提及两大猜想产生的时代背景，让学生接受数学文化的熏陶，感受归纳推理的魅力。
授
新
课
介绍费马猜想
已知都是质数，
运用归纳推理你能得出什么样的结论？
半个世纪后欧拉发现
说明了什么？
后来人们又发现都是合数，你们又能得到什么样的结论？
四、归纳推理的一般步骤：
1．观察分析；
2．发现规律；
3．检验猜想.
让学生在解决问题的过程中发现归纳推理需要检验过程，从而自我修正归纳推理的一般步骤。
教师生动讲述欧拉发现第五个费马数的过程，激发学生的好奇心与求知欲，同时，通过“猜想——验证——再猜想”说明科学的进步与发展处在一个螺旋上升的过程。
例1已知数列的首项，且有，
求这个数列的通项公式。
记，
化简.
三、归纳推理的作用
1．发现新事实
2．提供研究方向
学生自主探究，教师点评第一小题的两种解法。
体会归纳推理的一般步骤，进一步感受归纳推理的作用。通过第二小题让学生感受归纳推理起到了能够提供研究方向的作用，培养学生进行归纳推理的能力。
练
习
任取两条平行直线，在上取三个点依次记作在上任取三个点依次记作.连接，记交点为；连接，记交点为；连接，记交点为，你能发现什么规律？
补充：任意做一个圆，作圆的外切六边形，连接六边形的对角线，你能发现什么规律？
（42分钟）
由学生在讲义上作图，发现规律并总结，再通过学生之间充分讨论之后相互交流，教师点评。
给学生创建一个开放的、有活力、有个性的数学学习环境。
感受数学美和发现规律的喜悦，激发学生更积极地去寻找规律、认识规律。同时让学生感受到只要做个有心人，发现规律并非难事。
小
结
五、小结
1.知识收获
2.方法收获
3.思维收获
学生讨论总结，相互补充，教师点评。
让学生自己小结，这是一个多维整合的过程，是一个高层次的自我认识过程。
作
业
1．课本P93 A组 1—3
2．实习作业:登陆网站，选择两个猜想探究来源 http://vip.6to23.com/yunyan8/shuhai/wenjian/diangu2.htm
3．选做题：
如图三角阵,从上往下数,第1次全行的数都为1的是第1行,第2次全行的数为1的是第3行,…,第n次全行的数都为1的是第 行;第61行中1的个数是 .
第1行 1 1
第2行 1 0 1
第3行 1 1 1 1
第4行 1 0 0 0 1
第5行 1 1 0 0 1 1
… …
（45分钟）
实习作业的设置为了教会学生怎样利用资料进行数学学习，同时让学生了解网络是自主学习和拓展知识面的一个重要平台。这是本节内容的一个提高与拓展。设计选做题是针对学有余力的同学提升高度，链接高考。
六、板书设计：
合情推理
——归纳推理
一、推理
二、归纳推理的含义
三、归纳推理的作用
1．发现新事实
2．提供研究方向
四、归纳推理的一般步骤
五、小结
例 1（1）

（2）
练习
《合情推理》第一课时教案说明
浙江省天台中学 洪 琼
授课内容的数学本质与教学目标定位
人们习惯于把数学看成是演绎科学、研究结构的科学，主要是由于人们习惯上从数学研究的结果来看数学的本质特征．然而，结果并不能反映数学的全貌，组成数学整体的另一个非常重要的方面是数学研究的过程，一个“思维的实验过程”．波利亚（G. Poliva，1888一1985）认为，“数学有两个侧面，由欧几里德方法提出来的数学看来像是一门系统的演绎科学，但在创造过程中的数学看来却像是一门实验性的归纳科学．”本节课的设计就是为了还原数学的本质，让学生意识到数学不仅仅是演绎的科学，更是归纳的科学．
本节课的教学目标：
1．知识技能目标
理解归纳推理的概念，了解归纳推理的作用，掌握归纳推理的一般步骤，会利用归纳进行一些简单的归纳推理.
2．过程方法目标
学生通过积极主动地参与课堂活动，经历归纳推理概念的获得过程，了解归纳推理的含义;通过欣赏一些伟大猜想的产生过程，体会并认识利用归纳推理能猜测和发现一些新事实、得出新结论的作用并明确归纳推理的一般步骤；通过具体解题，感受归纳推理探索和提供解决问题的思路和方向的作用；通过自主学习归纳推理的一般方法，建构归纳推理的思维方式.
3．情感态度，价值观目标
学生通过主动探究、合作学习、相互交流，培养不怕困难、勇于探索的优良作风，增强数学应用意识；通过体会成功，形成学习数学知识、了解数学文化的积极态度.
学习本内容的基础以及用处
推理与证明思想不仅贯穿于高中数学的整个知识体系，在其他学科领域也有多处涉及．在高中历史教材《历史人物评说》中介绍亚里士多德时，对推理做了一定的介绍;高中政治学科的科学方法论中的推理内容对推理也做了相应的讲述;物理、化学、生物、地理等许多学科中的伟大猜想及定理的产生都源于合情推理;高中生本身的学习生活阅历中也有很多合情推理的实例．通过本节课学生可以真正的体会到数学与其他学科的交叉性、互补性，初步体会科学的方法论在日常生活的作用.同时，本节课的学习有助于学生更完整更准确地认识到数学不仅仅是演绎科学，更是归纳的科学；有助于学生形成归纳推理的思维方式, 培养创新精神,为将来合理地提出新思想、新概念、新方法奠定好基础;有助于学生养成良好的科学态度和严谨的学习作风，形成言之有理、论证有据的习惯．
教学诊断分析
本节内容中，学生会较快接受推理的概念，但是对于推理方法的分类会有一定的疑惑.本节课先利用四个例子让学生通过直观感知、观察分析、归纳类比做出合理分类，抽象概括出合情推理和归纳推理的概念，再利用分组讨论降低了概念学习的难度，使学生能够更多围绕归纳推理这个重点展开探索和研究．
在体验哥德巴赫猜想产生的过程中，当所给的偶数较大时，学生的检验会遇到相当大的困难；在体会四色猜想的产生过程中设计了浙江省地图的着色过程，学生的思维容易产生混乱，不知道地图着色如何下手．本节课巧妙利用相应的计算机软件解决了上述两个难点．
在充分体会了归纳推理的生活实例和数学实例以及其他学科实例之后，学生充分感受到数学美和发现规律的喜悦，能够自主总结出归纳推理的一般步骤，但是容易忽略归纳推理所得结论的不可靠性，从而忽略检验的步骤．所以本节课设计了费马猜想的产生及推翻过程，让学生充分体会检验的必要性，体会数学发展的螺旋上升过程．
对于例1的(1)小题，学生能非常熟练地运用归纳推理得出通项公式，但容易忽略所得结论的不可靠性和证明的必要性.所以本节课设计引导学生再用演绎推理的方法解题，就能直观地比较出归纳推理和演绎推理两种思维方式不同的优势．例1的第(2)小题是在(1)上的一种深化，学生无法运用演绎推理的方式直接解题，但可以运用归纳推理探索解题的方向，从而进一步感受归纳推理的优势．
本节课的教法特点
1．引入的设计充分体现了学生的数学情怀．中学数学教学中的大规模练习使学生对于数学有了根深蒂固的认识：数学是严肃枯燥的，数学是解决问题的科学．从某种意义上讲当前中学数学的教学不同程度地掩盖了数学的本质．引入设计采用的调查报告中的数据很容易引起学生的共鸣，抓住了本节课的授课本质，为改变学生对数学的认识现状作好了必要的铺垫．
2. 问题的选择注重强调数学的文化价值.本节课创设了四色猜想、哥德巴赫猜想、费马猜想的发现情境，并有相应的数学史的介绍.学生在体验三大猜想产生的过程中自然地受到数学文化的熏陶，也能学习到数学家的数学思想精神、思维方法和看问题的着眼点等，从而提高了自身的数学素养．
3. 充分尊重学生的思维活动和自主探究．在分组讨论的过程中给学生想的时间、说的机会以及展示思维过程的舞台；在活动中引导学生用归纳的思维方法思考问题，要求学生在学习归纳推理的过程中运用归纳推理，有效地提高了课堂教学的效率和容量.
4. 计算机软件应用灵活、有针对性．在本节授课过程中，共设计使用了三次计算机演示操作，分别是在探究四色猜想、哥德巴赫猜想和练习中使用的画板、数学应用软件和几何画板，将授课过程中的难点一一化解.尤其是在四色猜想的探究过程中，画板的使用使本来非常难处理的问题简单化、直观化．
5．注重学生个性发展．对课本例1进行了发展与深化，创设学生的思维困难，体会归纳推理的思维简单性、合理性；练习设计则降低对知识的要求，使得不同层次的学生都能得到相应的训练，提高课堂的思维效率；作业设计中的网站浏览有利于丰富学生的知识，拓展视野，将数学课堂延伸到学校以外；作业中的选做题为学有余力的学生提供进一步发展的空间．
本节课的预期效果
学生在达到本节课的教学目标的基础上，能深刻体会到数学是生动的、有趣的，数学的本质并非仅仅是解决问题，更重要的是发现问题（数学不仅仅是演绎的科学，更是归纳的科学）．
曲 线 的 切 线 教 案 说 明
湖北省武汉市第六中学 龚大晖
一、“曲线的切线”的内涵与外延
“曲线的切线”是人民教育出版社出版的全日制普通高级中学数学第三册（选修Ⅱ）第三章第一节（第一课时）的内容。“曲线的切线”，是在学生学习了函数的极限及其运算法则之后，而引入的平均变化率和瞬时变化率问题。对“曲线的切线”的研究，为解决过曲线上一点的切线的斜率问题提供了一种新的方法。
从教材的编排上讲，有关“曲线的切线”和“瞬时速度”这两个小节的介绍，是为了引出导数的概念。以“曲线的切线”和“瞬时速度”这两个背景作为新知识的生长点，不仅使新知识的引入变得自然，而且为新知识的构建提供了有效的类比方法。高中微积分的主要内容是上一节的“极限”与本章的“导数”。在知识结构上，通过“极限”一节的学习，学生已经理解了函数极限的概念，掌握了函数极限的运算法则，了解了函数连续性的意义，这就为学习导数进行了辅垫。
导数是近代数学中微积分的重要部分，“导数的概念”是导数部分的核心。导数运算是一种高明的数学思维，用导数的运算处理函数的性质更具一般性。用导数的方法解决数学问题，可使我们扩展知识面，感悟增量、极限等思想，运用更高的观点和更为一般的方法解决或简化中学数学中的不少问题，它还是今后全面研究微积分的重要方法和基本工具。从现实意义上看，导数的概念是从生产技术和自然科学的需要中产生的，同时又促进了生产技术和自然科学的发展，它不但在天文、物理、工程技术中有着广泛的应用，而且在日常生活以及经济领域也日渐显示出其重要的功能。
二、教学本质及教学目标
1、教学本质
整堂课围绕“一切为了学生发展”的教学原则，突出（1）“动”——师生互动，共同探索。（2）“导”——教师指导，循环渐进。重视思维发展的过程，重视数学要领的形成过程，激发学生的学习兴趣，有意识把数学的学习和科技的发展紧密地结合起来，让学生感受到“身边的数学”。培养学生的学习毅力，让学生学习有趣的数学，充分体现数学的应用价值、思维价值和人文价值。
2、教学目标
（1）知识与技能目标
从嫦娥一号绕月探测卫星的发射和变轨运行的材料背景出发，通过对增量形成过程的剖析以及对平均变化率和瞬时变化率区分和联系，了解了导数概念的背景，掌握了过曲线上一点的切线的一般求法，知道了瞬时变化率就是导数。
（2）过程与教学目标
从嫦娥一号变轨瞬间沿切线方向运动这一材料背景出发，提出了研究的课题——曲线的切线，由割线存在一个极限位置，演示了切线形成的过程，提出了曲线的切线的概念。通过对改变切点的邻近点、曲线类型、切线倾斜角等不同条件的分析，发现用增量表示割线倾斜角的形式始终没有发生改变，让学生感知辩证与统一的观点，体会类比、逼近、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法，感受十分抽象的导数概念的意识，熟悉这就是一种导数概念的定义方法。
（3）情感、态度与价值观目标
通过对曲线的切线的学习，体验和认同“有限和无限对立统一”的辩证观点，接受用运动变化的观点处理数学问题。了解导数概念建立的背景和过程，为进一步学习函数，特别是判断函数的单调性、讨论函数的极值以及函数的最值，提供了一种新的方法。
三、教法诊断分析
在教法中“以学生为本”的教育理念是本节课教学设计的根本指导思想。我在课程的教学设计中，对学生学习与发展的关系作了认真思考，强调学生的“感受”、“体会”、“经历”的过程学习；从学生的发展出发，通过对学生的“情感”，“态度”，“理性精神”的关注与培养，来优化学生的思维品质.在作业设计方面尽量满足多样化的学习需求。在难点的突破上采取了有效的分解和拓展策略。通过对学生已有的认知结构和学生最近发展区的剖析，充分挖掘教材的实质，找准了平均变化率不随点的位置和角的性质的变化而发生变化的依据，用增量表示的割线斜率的形式始终不变，为学生对曲线切线的理解创设了先机，打开了学生从情感上认可和接受“曲线切线的斜率”的通道。
在本节课的学习中，学生最难理解的是，曲线切线的斜率就是创设导数概念的实际背景，以及切线概念的形成；最容易了解的是，割线斜率的增量表示形式；最容易误解的是，过曲线上一点的切线是与曲线只有唯一公共点的直线。第二点最容易误解的是，过不在曲线上某一点的切线斜率的求法与过曲线上某一点的切线斜率的求法一样，这也为今后理解函数y=f(x)在x=x0处可导打下基础。
通过对教材内容、学生情况的分析，较好地解决了“教什么”、“为什么教”、“怎么教”的问题，选择了较为恰当的支架过程教法，设计了可操作性的方案，教师的组织者、引导者、合作者的身份没有动摇学生的主体地位，更没有否定学生智力发展需要有意识的培养。既不高估学生的理解力，也不抹杀学生自身的创造性。
四、教法特点及预期的效果分析
1、教法特点
我在本节课的教学中依据的是循序渐进原则和可接受原则，设计的理念是把教学看作是一个由教师的“导”、学生的“学”及其教学过程中的“悟”为三个子系统组成的多要素的和谐整体。“导”，即引导学生用变量观点去认识△x，△y和，用运动的观点去认识曲线的切线的形成过程，在割线的变化过程中，提出：①△x，△y有什么变化？②有什么含义？③在△x→0时是否存在极限？引导学生弄清平均变化率与瞬时变化率之间的联系；“学”，即以嫦娥一号绕月卫星在变轨运动的瞬间的运动状态为具体的背景提出问题，通过感受、联想分析和解决问题；“悟”，即通过教师的“导”，学生的“学”，“悟”出过曲线上一点的切线的形成过程，以及过曲线上一点切线斜率的求法公式。
在教学过程中，借助嫦娥一号绕月卫星变轨瞬间的运动状态，提出研究曲线的切线的必要性，通过视频资料直观展示割线的动态变化，向学生渗透无限逼近的极限思想，为形成曲线的切线这一概念进行了铺垫。
2、效果分析
本堂课由平均变化率到瞬时变化率的过渡，探索了一种求曲线切线的方法，充分展示了一个完整的数学探究过程，提出问题，发现问题，给出定义，让学生经历了知识再发现的过程，促进了个性化学习。教学中，通过归纳、总结，使学生能够直观地把握曲线切线的概念。按照设计的方案定义曲线的切线，（1）避免学生认知水平和知识学习间的矛盾，即理清了函数、增量、极限、切线、切线的斜率之间的关系；（2）将更多的精力放在对曲线切线的本质的理解上；（3）掌握导数概念形成背景和过曲线上一点的切线方程的一种求法；（4）学生对极限的思想有了丰富的直观基础，为大学的初级阶段进一步学习严格的极限定义打下了基础。

曲线的切线
湖北省武汉市第六中学 龚大晖
一、学习目标
1．知识目标：研究曲线的切线，从几何学的角度了解导数概念的背景，明确瞬时变化率就是导数，掌握求曲线切线斜率的一般方法.
2．能力目标：通过嫦娥一号绕月探测卫星变轨瞬间的瞬时速度和运动的方向为背景，从极限入手，培养学生的创新意识和数形转化能力.
3．情感目标：通过运动的观点，体会曲线切线的内涵，挖掘数形关系，激发学生学习数学的热情.
二、教学重点
曲线切线的概念形成，导数公式的理解和运用.
三、教学难点
理解曲线切线的形成是通过逼近的方法得出的.引导学生在平均变化率的基础上探求瞬时变化率.
四、教学过程
1．新课引入，创设情景
①（大屏幕显示）嫦娥一号绕月探测卫星运行轨迹以及四次变轨的全过程.
②讨论问题：卫星在每次变轨的瞬间不仅有瞬时速度，而且要研究它运动的方向.引出本节课主要研究的课题——曲线的切线.
2．概念形成，提出问题
①（大屏幕显示）分析卫星在变轨瞬间与变轨前的位置关系，引出曲线的割线.
②由运动的观点、极限的思想，归纳出曲线切线的概念.以及求曲线切线斜率的一种方法.
3．转换角度，分析问题
①引入增量的概念，在曲线C上取P（x0、y0）及邻近的一点Q（x0+△x，y0+△y），过P、Q两点作割线，分别过P、Q作y轴，x轴的垂线相交于点M，设割线PQ的倾斜角β，.
②割线斜率用增量表示的形式不变.（大屏幕显示） 改变P的邻近点Q的位置、曲线的类型、倾斜角的性质，发现tanβ表示的形式始终不变.左、右邻近点的讨论，为下面说明极限的存在做准备.
4．归纳总结，解决问题
①（大屏幕显示）由于△x可正可负，
但△x≠0，研究△x无限趋近于0，
用极限的观点导出曲线切线的斜率.
②讨论问题：引导学生将这一运动过程 转化为已学的代数问题.
k==
点评公式，重点强调平均变化率和瞬时变化率之间的关系，提出导数.同时引导学生归纳出求曲线切线斜率的一般方法和步骤
5．例题剖析，深化问题
例：曲线的方程f(x)=x2+1 求此曲线在点P（1,2）处的切线的方程
6．学生演板，落实问题
①已知曲线y=2x2上一点A(1,2)，求
（1）点A处的切线的斜率；
（2）点A处的切线的方程.
②求曲线y=x2+1在点P(－2,5)处的切线方程.
7．课堂小结
8．作业
P125 第6、7、8、9题
高考导数问题的命题研究与备考策略
1.考查形式与特点
(1).高考对函数概念的考查主要有:求函数的定义域、值域及反函数。这类题型直接通过具体问题找出函数关系，再研究函数的定义域、值域及反函数。
(2).在每年的高考试题中，以中等难度题型设计新颖的试题考查函数的性态——即函数的单调性、奇偶性、周期性和函数图象的对称性等，近两年，以组合形式一题多角度考查函数性质的高考题正成为新的热点。
(3).以比较容易的中档题来考查函数性质的灵活运用，在考查函数内容的同时也考查能否用运动、变化的函数观点观察问题、分析问题、解决问题。
(4).函数的最值问题在高考试卷中几乎年年出现，它们是高考中的重要题型之一．特别是函数在经济生活中的应用问题，大多数都是最值问题，这类考题在近几年考查明显增加．此类考题一要掌握求函数最值的几种常用方法与技巧。二要灵活、准确地列出模型函数．
(5).近几年．为了突出函数在中学数学中的主线地位，高考强化了对函数推理、论证能力(代数推理题是高考的热点题型)及探索性问题的综合考查，加大了以函数为载体的多种方法、多种能力(甚至包括阅读能力、理解能力、表述能力、信息处理能力)的综合程度．这类试题或者是函数与其他知识的糅合，或者是多种方法的渗透，每道考题都具有鲜明的特色，值得深思．
(6).函数与解析几何、不等式、方程、数列、参数范围、导数等内容结合在一起，以曲线方程的变换、参数范围的探求及最值问题综合在一起编拟的新颖考题，成为近几年高考中的高档解答题，以综合考查应用函数知识分析、解决问题的能力坝I试对函数思想方法的理解与灵活运用，等价转化及数形结合和分类讨论等解题策略和掌握程度．这类试题每年至少会有一个．
(7).高考对导数的考查定位于作为解决初等数学问题的工具出现，侧重于考查导数在函数与解析几何中的应用，主要有以下三个方面：①运用导数的有关知识，研究函数最值问题，一直是高考长考不衰的热点内容．另一方面，从数学角度反映实际问题，建立数学模型，转化为函数的最大值与最小值问题，再利用函数的导数，顺利地解决函数的最大值与最小值问题，从而进一步地解决实际问题．②利用导数的几何意义，研究曲线的切线斜率问题也是导数的一个重要作用，并且也是高考考查的重点内容之一.函数y=f(x)在X=Xo处的导数，表示曲线在点P(x0,f(x0))处的切线斜率．③运用导数的有关知识，研究函数的单调性是导数的又一重点应用，在高考中所占的地位是比较重的．
2.命题趋势
由于函数在数学中具有举足轻重的地位，它仍必将是高考的一个热点，而且对能力的考查还将高于课程标准．
(1)对函数的概念、基本性质及图象的考查主要以小题的形式出现．
(2)函数与不等式、数列、向量、解析几何等知识的综合问题会以解答题形式出现，属于理解、灵活运用层次，难度较大．
(3)通过函数应用题考查建立函数模型及解读信息的能力，将是高考命题的热点之一．
(4)新课程新增内容中与函数有关的内容——函数连续与极限、导数是考查的重点，所占比重将进一步加大.
典例剖析
例1. 已知函数f(x)=|x2-2ax+b|(x∈R)．给出下列命题：
①f(x)必是偶函数；
②f(0)=f(2)时,f(x)的图象必关于直线x=1对称；
③若a2-b≤0，则f(x)在区间[0，+∞]上是增函数；
④f(x)有最大值|a2-b|．
其中正确的命题的序号是_______．
解析： ①显然是错误的；
②由f(O)=f(2)有|b|=|4-4a+b|,
而f(x+1)=|(x+1)2-2a(x+1)+b|=|x2+(2-2a)x-2a+b+l|,
f(1-x)=|(1-x)2-2a(1-x)+b|=|x2-(2-2a)x-2a+b+1|，
f(x+1)≠f(l-x)．故f(x)不是关于x=1对称，所以②不对．
③f(x)=|(x-a)2+b-a2|，
当a2-b≤0时，b-a2≥0，
所以f(x)=(x-a)2+b-a2，
故当x≥a时．f(x)单调递增的．故③正确．
④当a2-b>0时,f(a)=|b-a2|=a2-b
其图象如图，所以④错误．
答案 ③
剖析： 函数的性质是高考试题考查的热点之一，本题涉及了函数的单调性、奇偶性、对称性以及最值，综合性较强．对于多项选择填空题，由于各选项相互独立，解答时应逐一检验判断．
例2. 已知二次函数y=f(x)经过点(0，10)，导函数f/(x)=2x-5，当x∈(n，n+1] (x∈N*)时，f(x)是整数的个数记为an．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn=，求数列{an+bn}的前n项和Sn(n≥3).
解析: (1) 由 f/(x)=2x-5 可以设此二次函数为f(x)=x2-5x+c(c为常数)．
因f(x)图象过(0，10)，故c=10，故二次函数为f(x)=x2-5x+10=(x-)2+，又因x∈(n，n+1)(n∈N*)时，f(x)为整数的个数为an
f(x)在(1，2)上的值域为[4，6]，al=2.
f(x)在(2，3)上的值域为[，4]，a2=1．
当n≥3时，f(x)在(n，n+1)上单调递增，其值城为(f(n)，f(n+1))
∴an=f(n+1)-f(n)=2n-4．
∴an=
(2)令cn=an+bn，则c1=a1+b1=4，c2=a2+b2=3, 当n≥3时
Sn=c1+c2+(c3+…+cn)=7+(a3+…+an)+(b3+…+bn)
=7+(n-2)+++…+
=7+(n-1)(n-2)+2()=n2-3n+.
剖析: 本题主要体现导数与函数、数列方面的综合应用.
3.应试对策
(1).由于函数内容固有的重要性，预计在以后高考试题中所占比例仍远远大于在课时和知识点中的比例(约为20％)，既可以“低档题”——选择、填空形式出现(如集合、映射、函数基本性质以及反函数多属此类)。也可以“中档题”、“高档题”的形式出现(多与其他问题联系在一起)．
(2).考试的热点内容仍以考查函数的定义域、值域、反函数及图象，运用函数性质的题型为主，其中对运用函数奇偶性、单调性、周期性、对称性的题型是重点考查内容，应予以高度重视．关于函数性质的考题中，使用具体函数的约占，而使用抽象函数的约占，所以，针对这种高考命题形势，在复习函数性质时，应着重强化将具体函数的有关内容进行延伸，以适应高考命题的要求．
(3).应充分注意函数的图象题型，这类考题往往在选择题中出现．会处理“读图题型”和函数图象的平移变换、伸缩变换、对称变换等问题，灵活运用函数的图象与对称性解题．
(4).在注意函数应用性问题、探索性问题和以函数为载体的综合性问题的同时，更要注意函数与导数的交叉题型.
(5).导数是新教材增加的内容，近几年的高考试题．与时俱进，逐步加深．有关导数的高考题主要考查导数的几何意义、函数的单调性、极值，应用问题中的最值．由于导数的工具性，好多问题用导数处理显得简捷明了．用导数研究函数的性质比用初等方法研究要方便得多，因此，导数在函数中的应用作为高考命题重点应引起高度注意．考查的方向还是利用导数求函数的极大(小)值，求函数在连续区间[a，b]上的最大值或最小值，或利用求导法解应用题．研究函数的单调性或求单调区间等，这些已成为高考的一个新的热点问题．利用导数的几何意义作为解题工具，有可能出现在解析几何综合试题中，复习时要注意到这一点.
高考中导数问题的六大热点
导数部分内容，由于其应用的广泛性，为解决函数问题提供了一般性的方法及简捷地解决一些实际问题．因此在高考新课程卷中占有较为重要的地位，其考查重点是导数判断或论证单调性、函数的极值和最值，利用导数解决实际问题等方面，常以一小一大或二小一大的试题出现，分值12~17分．下面例析导数的六大热点问题，供参考．
一、运算问题
是指运用导数的定义、常见函数的导数、函数和差积商的导数，及复合函数、隐函数的导数法则，直接求出其导数的运算问题．
例1已知为正整数.设．
证明：因为，
所以．
例2 ⑴ 已知y＝(x＋1)2，用定义法求y'．
⑵ 求y＝2x2－3x＋4－的导数．
⑶ 已知函数f(x)＝，且(1)＝2，求a的值．
分析：对于⑴运用导数的定义，即y'＝，即可解决；对于⑵可应用(u±v)'＝v＋u以及解之；对于⑶是逆向型的复合函数导数运算问题，用及方程思想即可解决．
解析：⑴ y'＝＝＝2x＋2．
⑵ 由法则，即得y'＝4x－3＋．
⑶ ∵＝(ax2－1)?2ax，即(1)＝a(a－1)＝2，解得a＝2．
二、切线问题
是指运用导数的几何意义或物理意义，解决瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等三类问题．特别是求切线的斜率、倾斜角及切线方程问题，其中：
⑴ 曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的斜率k，倾斜角为，则tan＝k＝．
⑵ 其切线l的方程为：y＝y0＋(x－x0)．若曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))的切线平行于y轴(即导数不存在)时，由切线定义知，切线方程为x＝x0．
例3 已知，函数．设，记曲线在点处的切线为．
⑴ 求的方程；
⑵ 设与轴交点为．证明：
①；
②若，则．
⑴ 解：求的导数：，由此得切线的方程：
．
⑵ 证明：依题意，切线方程中令y＝0，
.
由
.
②
．
例4设，，曲线在处切线的倾斜角的取值范围是，则到曲线对称轴距离的取值范围是
（A）　　　（B）　　　　（C）　　（D）
解：＝2ax＋b，故点处切线斜率k＝2ax0＋b＝tan∈[0，1]，于是点P到对称轴x＝－的距离d＝|x0－(－)|＝∈，故选(B)．
三、单调性问题
一般地，设函数y＝f(x)在某个区间内可导．如果f '(x)＞0，则f(x)为增函数；如果f '(x)＜0，则f(x)为减函数．单调性是导数应用的重点内容，主要有四类问题：
①运用导数判断单调区间；
②证明单调性；
③已知单调性求参数；
④先证明其单调性，再运用单调证明不等式等问题．
例5 设a＞0，是R上的偶函数．
（I）求a的值；
（II）证明在（0，+∞）上是增函数。
(Ⅰ) 解：依题意,对一切x(R有f(x(=f(-x(，即
，所以对一切x(R成立
由此得到，即
又因为，所以
(Ⅱ)证明：由得
当x((0，+∞(时，有，
此时，所以在(0，+∞(是增函数.
评注：对于第(Ⅱ)问是证明函数的单调性，虽然可利用函数单调性定义直接证明，但对f(x1)－f(x2)的变形要求较高，技巧性强，且运算量大，是一种“巧法”；而利用导数法，简捷明快，也成了“通法”．
四、极值问题
即运用导数解决极值问题．一般地，当函数f(x)在x0处连续，判别f(x0)为极大(小)值的方法是：
⑴ 如果在x0附近的左侧＞0，右侧＜0，那么f(x0)是极大值．
⑵ 如果在x0附近的左侧＜0，右侧＞0，那么f(x0)是极小值．
例6 函数y＝1＋3x－x3有( )
(A) 极小值－1，极大值1
(B) 极小值－2，极大值3
(C) 极小值－2，极大值2
(D) 极小值－1，极大值3
分析：本题是求已知三次函数的极值问题，考虑运用导数先确定函数的单调性，再求其极值．
解：由y'＝3－3x2＝0，得
x＝1或x＝－1．
当x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，y'＜0．
当x∈(－1，1)时，y'＞0．
因此函数y＝1＋3x－x3在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，即x＝－1是极小值点，x＝1是极大值点．所以极小值为－1，极大值为3，故选(D)．
五、最值问题
运用导数求最大(小)值的一般步骤如下：
若f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则
⑴ 求，令＝0，求出在(a，b)内使导数为0的点及导数不存在的点．
⑵ 比较三类点：导数不存在的点，导数为0的点及区间端点的函数值，其中最大者便是f(x)在[a，b]上的最大值，最小者便是f(x)在[a，b]上的是小值．
例7 求函数f(x)＝x4－2x2＋5在[－2，2]上的最大值与最小值．
解： ＝4x3－4x，令＝0，解得x1＝－1，x2＝0，x3＝1，均在(－2，2)内．
计算f(－1)＝4，f(0)＝5，f(1)＝4，f(－2)＝13，f(2)＝13．
通过比较，可见f(x) 在[－2，2]上的最大值为13，最小值为4．
六、应用问题
例8 用总长14.8m的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制做容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积.
分析：本小题主要考查应用所学导数的知识、思想和方法解决实际问题的能力，建立函数式、解方程、不等式、最大值等基础知识．
解：设容器底面短边长为m，则另一边长为 m，高为
．
由和，得，
设容器的容积为，则有
．
即，
令，有，
即，解得，（不合题意，舍去）.
当x＝1时，y取得最大值，即，
这时，高为.
答：容器的高为1.2m时容积最大，最大容积为．
用导数法求“双二次函数”的单调区间更简单
有些问题如果采用复合函数的求解方法，对学生逻辑思维能力要求比较高，并且通常集化归和讨论等数学思想于一体，容易使思维陷入混乱，对准确、迅速解题提出了更高的要求.而用导数法求解“双二次函数”的单调区间，方向明确，简单明了，是求“双二次函数”的单调区间的首选方法.下面对两种解法作一比较.
例 ，则在
A．上递减 B．上递减 C．上递增 D．(0,2)上递增
解法一：直接采用求复合函数单调区间的一般方法
思路点拨 容易知道在上递增，在上递减，为讨论在及上的单调性，必须先解不等式：得，得或.当时，，递减；又在上递增，在上递减，故在上递减，在上递增；当或时，，递增，又在上递增，上递减，故在上递增，在上递减.故选A.
把上面的叙述整理成下面的表格：
的范围
递增
递减
递增
递减
的范围
递 减
递 增
递减
递增
递增
递减
评注：讨论“双二次函数”的单调性的根据是：设都是单调函数，则在上也是单调函数.
(1)若是上的增函数，则的增减性与的增减性相同；
(2)若是上的减函数，则的增减性与的增减性相反.
解法二：利用导数法求单调区间
解 ∵
∴
∴
当或时，.
当或时，.
∴当或时，递增.
当或时，递减.
故选A
评注：该题直接用导数法求函数的单调区间，简明快捷.
运用导数解决有关单调性问题
一般地，设函数y＝f(x)在某个区间内可导．如果f '(x)＞0，则f(x)为增函数；如果f '(x)＜0，则f(x)为减函数．单调性是导数应用的重点内容，主要有三类问题：①运用导数判断单调区间或证明单调性；②已知单调性求参数；③先证明其单调性，再运用单调性证明不等式等问题．下面举例说明．
一、求单调区间或证明单调性
单调区间的求解过程：已知
（1）分析 的定义域；
（2）求导数 ；
（3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间；
（4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间．
例1 求下列函数单调区间
（1）
（2）
（3）
（4）
解：（1） ，
时

∴ ，为增区间， 为减区间．
（2），∴ ，为增区间．
（3），
∴ ，．
，
∴ ，为增区间； ，减区间．
（4），定义域为
减区间；
增区间．
二、已知单调性求参数
例2 求满足条件的：
（1）使为上增函数．
（2）使为上增函数．
解：（1），
∴ ， 时，也成立．
∴
（2），，时，也成立．
∴
三、证明不等式
若，
⑴恒成立，∴为上．
∴ 对任意 不等式 恒成立
（2）恒成立，∴ 在上
∴ 对任意不等式 恒成立
例3 求证下列不等式
（1）
（2）
证： （1）原式，令 ．
又，，
∴ ，
∴ ，，，
，∴
（2）令，．
，．∴
∴ ．
重视导数应用的热点题型
导数的应用在新高考中已成为新的热点，特别是对实际问题的解答，更应予以重视.下面就具体例题谈谈导数的应用题型及应对策略.
1．求切线斜率
根据导数的几何意义，函数在点处的导数是曲线在点处的切线斜率.因此求函数在某点处的切线斜率，只要求函数在该点处的导数.
例1 求曲线在点处的切线方程.
分析 利用隐函数求导法则，得出在点处的切线斜率，从而可求出切线方程.
解 对方程两边关于求导，得
.
解之得.易知点在曲线上，.
∴曲线在点处的切线方程为
，即.
评注：(1)两边对求导，特别要注意是的函数.(2)隐函数的导数表达式中常包含，两个变量.
2．求单调性
利用可导函数判断函数单调性的基本方法：设函数在某个区间内可导，如果导数，则函数在这个区间上为增函数；如果导数，则函数在这个区间上为减函数.
例2 (2004全国卷Ⅰ理)已知求函数的单调区间.
解 函数f(x)的导数：
（I）当时，若，则<0，若,则>0.
所以当时，函数f(x)在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数.
（II）当
由
所以，当时，函数f(x)在区间（－∞，－）内为增函数，在区间（－，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数；
（III）当时，由，解得,
由，解得或.
所以当时，函数在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，－）内为增函数，在区间（－，+∞）内为减函数.
3．求极值
利用可导函数求函数极值的基本方法：设函数在点处连续且.若在点附近左侧，右侧，则为函数的极大值；若在点附近左侧，右侧，则为函数的极小值.
例3 已知函数，当，时，取得极值，且极大值比极小值大4.
(1)求，的值；
(2)求的极大值和极小值.
解 (1) .
∵ 时有极值，则.
∴代入得
.
且.
对任意实数成立，∴.∴.
＋
0
－
0
＋
极大
极小
∴当时取得极大值，时取极小值.
即
∴.
再由，解出，.
(2)为极大值， 为极小值.
4．求最值
在闭区间上连续的函数，在上必有最大值与最小值，设函数在上连续，在内可导，先求出在内的极值，然后将的各极值与、值比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
例4 (2004湖南理)已知函数为自然对数的底数.
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）求函数在区间[0，1]上的最大值.
解 （Ⅰ）
（i）当时，令
若上单调递增；
若上单调递减.
（ii）当a<0时，令
若上单调递减；
若上单调递增；
若上单调递减.
（Ⅱ）（i）当时，在区间[0，1]上的最大值是
（ii）当时，在区间[0，1]上的最大值是.
（iii）当≤时，在区间[0，1]上的最大值是
5．求实际应用问题中的最值
在实际问题中，有时会遇到函数在某区间内只有一个点使，如果函数在这一点有极值，那么可不与区间端点处的函数值比较，即可断定该极值就是最值.
例5 (2000高考)用总长m的钢条制做一个长方体容器的框架，如果所制做容器的底面的一边比另一边长m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积.
解 设容器底面边长为m，另一边长为m，高为，由和.
设容器的容积为m3，则有
即
令，有
即，(不合题意，舍去)
所以当时，(m3).
高考导数问题的命题研究与备考策略
1.考查形式与特点
(1).高考对函数概念的考查主要有:求函数的定义域、值域及反函数。这类题型直接通过具体问题找出函数关系，再研究函数的定义域、值域及反函数。
(2).在每年的高考试题中，以中等难度题型设计新颖的试题考查函数的性态——即函数的单调性、奇偶性、周期性和函数图象的对称性等，近两年，以组合形式一题多角度考查函数性质的高考题正成为新的热点。
(3).以比较容易的中档题来考查函数性质的灵活运用，在考查函数内容的同时也考查能否用运动、变化的函数观点观察问题、分析问题、解决问题。
(4).函数的最值问题在高考试卷中几乎年年出现，它们是高考中的重要题型之一．特别是函数在经济生活中的应用问题，大多数都是最值问题，这类考题在近几年考查明显增加．此类考题一要掌握求函数最值的几种常用方法与技巧。二要灵活、准确地列出模型函数．
(5).近几年．为了突出函数在中学数学中的主线地位，高考强化了对函数推理、论证能力(代数推理题是高考的热点题型)及探索性问题的综合考查，加大了以函数为载体的多种方法、多种能力(甚至包括阅读能力、理解能力、表述能力、信息处理能力)的综合程度．这类试题或者是函数与其他知识的糅合，或者是多种方法的渗透，每道考题都具有鲜明的特色，值得深思．
(6).函数与解析几何、不等式、方程、数列、参数范围、导数等内容结合在一起，以曲线方程的变换、参数范围的探求及最值问题综合在一起编拟的新颖考题，成为近几年高考中的高档解答题，以综合考查应用函数知识分析、解决问题的能力坝I试对函数思想方法的理解与灵活运用，等价转化及数形结合和分类讨论等解题策略和掌握程度．这类试题每年至少会有一个．
(7).高考对导数的考查定位于作为解决初等数学问题的工具出现，侧重于考查导数在函数与解析几何中的应用，主要有以下三个方面：①运用导数的有关知识，研究函数最值问题，一直是高考长考不衰的热点内容．另一方面，从数学角度反映实际问题，建立数学模型，转化为函数的最大值与最小值问题，再利用函数的导数，顺利地解决函数的最大值与最小值问题，从而进一步地解决实际问题．②利用导数的几何意义，研究曲线的切线斜率问题也是导数的一个重要作用，并且也是高考考查的重点内容之一.函数y=f(x)在X=Xo处的导数，表示曲线在点P(x0,f(x0))处的切线斜率．③运用导数的有关知识，研究函数的单调性是导数的又一重点应用，在高考中所占的地位是比较重的．
2.命题趋势
由于函数在数学中具有举足轻重的地位，它仍必将是高考的一个热点，而且对能力的考查还将高于课程标准．
(1)对函数的概念、基本性质及图象的考查主要以小题的形式出现．
(2)函数与不等式、数列、向量、解析几何等知识的综合问题会以解答题形式出现，属于理解、灵活运用层次，难度较大．
(3)通过函数应用题考查建立函数模型及解读信息的能力，将是高考命题的热点之一．
(4)新课程新增内容中与函数有关的内容——函数连续与极限、导数是考查的重点，所占比重将进一步加大.
典例剖析
例1. 已知函数f(x)=|x2-2ax+b|(x∈R)．给出下列命题：
①f(x)必是偶函数；
②f(0)=f(2)时,f(x)的图象必关于直线x=1对称；
③若a2-b≤0，则f(x)在区间[0，+∞]上是增函数；
④f(x)有最大值|a2-b|．
其中正确的命题的序号是_______．
解析： ①显然是错误的；
②由f(O)=f(2)有|b|=|4-4a+b|,
而f(x+1)=|(x+1)2-2a(x+1)+b|=|x2+(2-2a)x-2a+b+l|,
f(1-x)=|(1-x)2-2a(1-x)+b|=|x2-(2-2a)x-2a+b+1|，
f(x+1)≠f(l-x)．故f(x)不是关于x=1对称，所以②不对．
③f(x)=|(x-a)2+b-a2|，
当a2-b≤0时，b-a2≥0，
所以f(x)=(x-a)2+b-a2，
故当x≥a时．f(x)单调递增的．故③正确．
④当a2-b>0时,f(a)=|b-a2|=a2-b
其图象如图，所以④错误．
答案 ③
剖析： 函数的性质是高考试题考查的热点之一，本题涉及了函数的单调性、奇偶性、对称性以及最值，综合性较强．对于多项选择填空题，由于各选项相互独立，解答时应逐一检验判断．
例2. 已知二次函数y=f(x)经过点(0，10)，导函数f/(x)=2x-5，当x∈(n，n+1] (x∈N*)时，f(x)是整数的个数记为an．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn=，求数列{an+bn}的前n项和Sn(n≥3).
解析: (1) 由 f/(x)=2x-5 可以设此二次函数为f(x)=x2-5x+c(c为常数)．
因f(x)图象过(0，10)，故c=10，故二次函数为f(x)=x2-5x+10=(x-)2+，又因x∈(n，n+1)(n∈N*)时，f(x)为整数的个数为an
f(x)在(1，2)上的值域为[4，6]，al=2.
f(x)在(2，3)上的值域为[，4]，a2=1．
当n≥3时，f(x)在(n，n+1)上单调递增，其值城为(f(n)，f(n+1))
∴an=f(n+1)-f(n)=2n-4．
∴an=
(2)令cn=an+bn，则c1=a1+b1=4，c2=a2+b2=3, 当n≥3时
Sn=c1+c2+(c3+…+cn)=7+(a3+…+an)+(b3+…+bn)
=7+(n-2)+++…+
=7+(n-1)(n-2)+2()=n2-3n+.
剖析: 本题主要体现导数与函数、数列方面的综合应用.
3.应试对策
(1).由于函数内容固有的重要性，预计在以后高考试题中所占比例仍远远大于在课时和知识点中的比例(约为20％)，既可以“低档题”——选择、填空形式出现(如集合、映射、函数基本性质以及反函数多属此类)。也可以“中档题”、“高档题”的形式出现(多与其他问题联系在一起)．
(2).考试的热点内容仍以考查函数的定义域、值域、反函数及图象，运用函数性质的题型为主，其中对运用函数奇偶性、单调性、周期性、对称性的题型是重点考查内容，应予以高度重视．关于函数性质的考题中，使用具体函数的约占，而使用抽象函数的约占，所以，针对这种高考命题形势，在复习函数性质时，应着重强化将具体函数的有关内容进行延伸，以适应高考命题的要求．
(3).应充分注意函数的图象题型，这类考题往往在选择题中出现．会处理“读图题型”和函数图象的平移变换、伸缩变换、对称变换等问题，灵活运用函数的图象与对称性解题．
(4).在注意函数应用性问题、探索性问题和以函数为载体的综合性问题的同时，更要注意函数与导数的交叉题型.
(5).导数是新教材增加的内容，近几年的高考试题．与时俱进，逐步加深．有关导数的高考题主要考查导数的几何意义、函数的单调性、极值，应用问题中的最值．由于导数的工具性，好多问题用导数处理显得简捷明了．用导数研究函数的性质比用初等方法研究要方便得多，因此，导数在函数中的应用作为高考命题重点应引起高度注意．考查的方向还是利用导数求函数的极大(小)值，求函数在连续区间[a，b]上的最大值或最小值，或利用求导法解应用题．研究函数的单调性或求单调区间等，这些已成为高考的一个新的热点问题．利用导数的几何意义作为解题工具，有可能出现在解析几何综合试题中，复习时要注意到这一点.
高考中导数问题的六大热点
导数部分内容，由于其应用的广泛性，为解决函数问题提供了一般性的方法及简捷地解决一些实际问题．因此在高考新课程卷中占有较为重要的地位，其考查重点是导数判断或论证单调性、函数的极值和最值，利用导数解决实际问题等方面，常以一小一大或二小一大的试题出现，分值12~17分．下面例析导数的六大热点问题，供参考．
一、运算问题
是指运用导数的定义、常见函数的导数、函数和差积商的导数，及复合函数、隐函数的导数法则，直接求出其导数的运算问题．
例1已知为正整数.设．
证明：因为，
所以．
例2 ⑴ 已知y＝(x＋1)2，用定义法求y'．
⑵ 求y＝2x2－3x＋4－的导数．
⑶ 已知函数f(x)＝，且(1)＝2，求a的值．
分析：对于⑴运用导数的定义，即y'＝，即可解决；对于⑵可应用(u±v)'＝v＋u以及解之；对于⑶是逆向型的复合函数导数运算问题，用及方程思想即可解决．
解析：⑴ y'＝＝＝2x＋2．
⑵ 由法则，即得y'＝4x－3＋．
⑶ ∵＝(ax2－1)?2ax，即(1)＝a(a－1)＝2，解得a＝2．
二、切线问题
是指运用导数的几何意义或物理意义，解决瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等三类问题．特别是求切线的斜率、倾斜角及切线方程问题，其中：
⑴ 曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的斜率k，倾斜角为，则tan＝k＝．
⑵ 其切线l的方程为：y＝y0＋(x－x0)．若曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))的切线平行于y轴(即导数不存在)时，由切线定义知，切线方程为x＝x0．
例3 已知，函数．设，记曲线在点处的切线为．
⑴ 求的方程；
⑵ 设与轴交点为．证明：
①；
②若，则．
⑴ 解：求的导数：，由此得切线的方程：
．
⑵ 证明：依题意，切线方程中令y＝0，
.
由
.
②
．
例4设，，曲线在处切线的倾斜角的取值范围是，则到曲线对称轴距离的取值范围是
（A）　　　（B）　　　　（C）　　（D）
解：＝2ax＋b，故点处切线斜率k＝2ax0＋b＝tan∈[0，1]，于是点P到对称轴x＝－的距离d＝|x0－(－)|＝∈，故选(B)．
三、单调性问题
一般地，设函数y＝f(x)在某个区间内可导．如果f '(x)＞0，则f(x)为增函数；如果f '(x)＜0，则f(x)为减函数．单调性是导数应用的重点内容，主要有四类问题：
①运用导数判断单调区间；
②证明单调性；
③已知单调性求参数；
④先证明其单调性，再运用单调证明不等式等问题．
例5 设a＞0，是R上的偶函数．
（I）求a的值；
（II）证明在（0，+∞）上是增函数。
(Ⅰ) 解：依题意,对一切x(R有f(x(=f(-x(，即
，所以对一切x(R成立
由此得到，即
又因为，所以
(Ⅱ)证明：由得
当x((0，+∞(时，有，
此时，所以在(0，+∞(是增函数.
评注：对于第(Ⅱ)问是证明函数的单调性，虽然可利用函数单调性定义直接证明，但对f(x1)－f(x2)的变形要求较高，技巧性强，且运算量大，是一种“巧法”；而利用导数法，简捷明快，也成了“通法”．
四、极值问题
即运用导数解决极值问题．一般地，当函数f(x)在x0处连续，判别f(x0)为极大(小)值的方法是：
⑴ 如果在x0附近的左侧＞0，右侧＜0，那么f(x0)是极大值．
⑵ 如果在x0附近的左侧＜0，右侧＞0，那么f(x0)是极小值．
例6 函数y＝1＋3x－x3有( )
(A) 极小值－1，极大值1
(B) 极小值－2，极大值3
(C) 极小值－2，极大值2
(D) 极小值－1，极大值3
分析：本题是求已知三次函数的极值问题，考虑运用导数先确定函数的单调性，再求其极值．
解：由y'＝3－3x2＝0，得
x＝1或x＝－1．
当x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，y'＜0．
当x∈(－1，1)时，y'＞0．
因此函数y＝1＋3x－x3在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，即x＝－1是极小值点，x＝1是极大值点．所以极小值为－1，极大值为3，故选(D)．
五、最值问题
运用导数求最大(小)值的一般步骤如下：
若f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则
⑴ 求，令＝0，求出在(a，b)内使导数为0的点及导数不存在的点．
⑵ 比较三类点：导数不存在的点，导数为0的点及区间端点的函数值，其中最大者便是f(x)在[a，b]上的最大值，最小者便是f(x)在[a，b]上的是小值．
例7 求函数f(x)＝x4－2x2＋5在[－2，2]上的最大值与最小值．
解： ＝4x3－4x，令＝0，解得x1＝－1，x2＝0，x3＝1，均在(－2，2)内．
计算f(－1)＝4，f(0)＝5，f(1)＝4，f(－2)＝13，f(2)＝13．
通过比较，可见f(x) 在[－2，2]上的最大值为13，最小值为4．
六、应用问题
例8 用总长14.8m的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制做容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积.
分析：本小题主要考查应用所学导数的知识、思想和方法解决实际问题的能力，建立函数式、解方程、不等式、最大值等基础知识．
解：设容器底面短边长为m，则另一边长为 m，高为
．
由和，得，
设容器的容积为，则有
．
即，
令，有，
即，解得，（不合题意，舍去）.
当x＝1时，y取得最大值，即，
这时，高为.
答：容器的高为1.2m时容积最大，最大容积为．
推理与证明知识回顾
对于数学的学习，应具备“能力”，其中本章的“推理与证明”就是一种重要的“逻辑思维”能力．通过本章的复习，培养推理、论证能力，以增强对问题的敏锐的观察，深刻的理解、领悟能力．
　　一、推理部分
　　1．知识结构框图：
2．合情推理：＿＿＿＿与＿＿＿＿统称为合情推理．
　　①归纳推理：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
　　②类比推理：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
　　定义特点：归纳推理是由特殊到一般、由具体到抽象的推理；而类比推理是由特殊到特殊的推理；两者都能由已知推测、猜想未知，从而推出结论．但是结论的可靠性有待证明．
　　③推理过程：
　　从具体问题出发→＿＿＿＿＿＿→归纳类比→＿＿＿＿＿＿．
　　3．演绎推理：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
　　①定义特点：演绎推理是由一般到特殊的推理；
　　②学习要点：演绎推理是数学中证明的基本推理形式；
　　推理模式：“三段论”：
　　ⅰ大前提：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
　　ⅱ小前提：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
　　ⅲ结论：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
　　集合简述：
　　ⅰ大前提：且x具有性质P；　
　　ⅱ小前提：且；
　　ⅲ结论：y也具有性质P；
　　４．合情推理与演绎推理的关系：
　　①合情推理中的归纳推理是由特殊到一般的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理；
　　②它们又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性；
　　二、证明部分
　　１．知识结构框图
２．综合法与分析法
　　①综合法:＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
　　②分析法：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
　　学习要点：在解决问题时，经常把综合法与分析法合起来使用；使用分析法寻找成立的条件，再用综合法写出证明过程．
　　③反证法：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
　　学习要点：反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿或＿＿＿＿＿＿等矛盾．
　　3．数学归纳法
　　一般地，证明一个与正整数ｎ有关的命题的步骤如下：
　　（1）（归纳奠基）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
　　（2）（归纳递推）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．其证明的方法叫做数学归纳法．
　　学习要点：理解第一步是推理的基础，第二步是推理的依据，两者缺一不可．特别地，在证明第二步时命题成立，一定要用上归纳假设时命题成立；另外在证明第二步时首先要有明确的目标式，即确定证题方向；数学归纳法常和合情推理综合应用，特别常以归纳推理为前提．
　　三、考查要求
　　“合情推理”是一种重要的归纳、猜想的推理，它是发现问题和继续推理的基础．逻辑思维能力主要体现为对演绎推理的考查．试卷中考查演绎推理的试题的比例比较大，命题时既考虑使用选择题、填空题的形式进行考查，又考虑如何使用解答题（以证明题的形式）突出进行考查，立体几何是考查演绎推理的最好素材．
数学归纳法很少单独考查，由于数列是和自然数有关的，因此，经常和数列一起考查，常与归纳猜想相结合进行综合考查．
推理与证明复习指导
对于数学的学习，应具备“能力”，其中本章的“推理与证明”就是一种重要的“逻辑思维”能力形式．通过本章的复习，要有着扎实的推理、论证能力，以增强对问题的敏锐的观察，深刻的理解、领悟能力．
一．推理部分
1．知识结构：

演绎推理

推理
归纳
和情推理
类比

2．和情推理：归纳推理与类比推理统称为和情推理．
①归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．
②类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理．
③定义特点；归纳推理是由特殊到一般、由部分到整体的推理；而类比推理是由特殊到特殊的推理；都能由已知推测、猜想未知，从而推理结论．但是结论的可靠性有待证明．
例如：已知，可以，
，于是推出：对入任何，都有；而这个结论是错误的，显然有当时，．因此，归纳法得到的结论有待证明．
例如：“在平面内与同一条直线垂直的两条直线平行”；
类比线与线得到：“在空间与同一条直线垂直的两条直线平行“；显然此结论是错误的”．
类比线与面得到：在空间与同一个平面垂直的两个平面平行；显然此结论是错误的．
④推理过程：
从具体问题出发　　观察、分析、比较、联想　　　归纳、类比　　　猜想．
3．演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理（逻辑推理）．
　①定义特点：演绎推理是由一般到特殊的推理；
②数学应用：演绎推理是数学中证明的基本推理形式；
推理模式：“三段论”：
ⅰ大前提：已知的一般原理（是）；　
ⅱ小前提：所研究的特殊情况（是）；
ⅲ结论：由一般原理对特殊情况作出判断（是）；
集合简述：
ⅰ大前提：且具有性质；　
ⅱ小前提：且；
ⅲ结论： 也具有性质；
例题1．若定义在区间D上的函数对于D上的个值，总满足，称函数为D上的凸函数；现已知在上是凸函数，则中，的最大值是　　　　　．
　　　　　　　　解答：由（大前提）
　　　　　　　　　　　因为在上是凸函数 （小前提）
得　 （结论）
　　　　　　　　　　　即　　
　　　　　　　　　　　因此，的最大值是
注：此题是一典型的演绎推理“三段论”题型
４．和情推理与演绎推理的关系：
　　①和情推理是由特殊到一般的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理；
②它们又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性；
例２．设，（其中且）
　　　（1）５＝２＋３请你推测能否用来表示；
　　　（2）如果（1）中获得了一个结论，请你推测能否将其推广.
解答:（1）由
＝＋＝
　　　又＝
　因此，＝
　　（2）由＝
即＝
于是推测＝
证明：因为：，（大前提）
所以＝，
＝，＝，（小前提及结论）
所以
＝＋
＝＝
解题评注：此题是一典型的由特殊到一般的推理，构造＝是此题的一大难点，要经过观察、分析、比较、联想而得到；从而归纳推出一般结论＝．
二．证明部分
　　　１．知识结构
　　　　　　　　　　
数学归纳法
　　　　　　　　　　　　　
综合法
证明
直接证法
分析法
间接证法
反证法
　　　　　　　　　
２．综合法与分析法
　①综合法；利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，经过一系列推理论证，推导出所要证明的结论成立．
　②分析法：从要证明的结论出发逐步寻求使它成立的充分条件，直至把要证明的结论归结为判别一个明显成立的条件为止．
③综合应用：在解决问题时，经常把综合法与分析法和起来使用；使用分析法寻找成立的条件，再用综合法写出证明过程．
例３．已知：，求证：
　　　　　　　　证明：　　因为
所以
　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　又由已知，因此，成立．
　　　　　　　　　　　　由于以上分析步步等价，因此步步可逆．故结论成立．
　　　　　　　　　　　　解题评注：(1)以上解答采用恒等变形，其实质从上往下属于分析法，反之属于综合法．
(2)这里表示了,()是结论成立的充要条件,当然找到了结论成立的充分条件就可以了.
例4.求证抛物线，以过焦点的弦为直径的圆必与相切.
证明：（如图）作AA／、BB／垂直
准线，取AB的中点M，作MM／垂直
准线.
要证明以AB为
直径的圆与准线相切
只需证｜MM／｜＝｜AB｜
由抛物线的定义：
｜AA／｜＝｜AF｜，｜BB／｜＝｜BF｜
所以｜AB｜＝｜AA／｜＋｜BB／｜
因此只需证｜MM／｜＝（｜AA／｜＋｜BB／｜）
根据梯形的中位线定理可知上式是成立的.
所以以过焦点的弦为直径的圆必与相切.
以上解法同学们不难以综合法作出解答.
解题评注:分析法是从结论出发寻找证题思路的一种重要的思维方法,
特别是题设和结论相结合,即综合法与分析法相结合,可使很多较为复杂的问题得到解决.
3.数学归纳法
一般地，证明一个与正整数ｎ有关的命题的步骤如下：
　　　　 （1）（归纳奠基）证明当ｎ取第一个值ｎ0时命题成立；
　　　　 （2）（归纳递推）假设ｎ＝（时命题成立，证明当 时命题也成立。就可以断定对从ｎ0开始的所有正整数ｎ都成立．其证明的方法叫数学归纳法．
　 （3）学习要点：理解第一步是推理的基础，第二步是推理的依据，两者缺
一不可．特别地，在证明第二步时命题成立，一定要用上归纳
假设ｎ＝时命题成立；另外在证明第二步时首先要有明确的目标式，即
确定证题方向；
　　　　　　 　 数学归纳法常和和情推理综合应用，特别常以归纳推理为前提．
　　　　　　　　　　例５．已知数列的前和为，其中且
(1)求
(2)猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明．
解答：（1）
又，则，类似地求得
（2）由，，…
猜得：
以数学归纳法证明如下：
①当时，由（1）可知等式成立；
②假设当时猜想成立，即
那么，当时，由题设得
，
所以＝＝
－
因此，
所以
这就证明了当时命题成立.
由①、②可知命题对任何都成立.
解题评注：（1）本题首先采用了归纳推理，即由特殊到一般的推理；
（2）解题时注意已知式对任何都成立，因此要注意其变形应用；归纳假设已用上，在上面的横线处，是解题关键的一步.
三．高考要求
高考强调对数学思维能力的考查，“和情推理”是一种重要的归纳、猜想推理，它是发现问题和继续推理的基础.逻辑思维能力主要体现在对演绎推理的考察.试卷中考查演绎推理的试题的比例比较大，命题时既考虑使用选择题、填空题的形式进行考察，又考虑如何使用解答题型，以证明题的形式突出进行考察，立体几何是考察演绎推理的最好教材.
近几年数学归纳法很少单独考察，由于数列是和自然数有关的，因此，经常和数列一起考察，常与归纳猜想相结合进行综合考察.
例说综合法与分析法
所谓综合法，是指“由因导果”的思维方法，即从已知条件出发，不断地展开思考，去探索结论的方法。
综合法的思维过程的全貌可概括为下面形式：“已知→可知→可知→…结论”。
所谓分析法，是指“执果索因”的思维方法，即从结论出发，不断地去寻找需知，直至达到已知事实为止的方法。
分析法的思维过程的全貌可概括为下面形式：“结论→需知→需知→…已知”。
? 例1．设a、b是两个正实数，且a≠b，求证：＋＞
??? 证明一：(分析法)
??? 要证+＞成立，
??? 只需证(a+b)( -ab+)＞ab(a+b)成立，
??? 即需证-ab+＞ab成立。(∵a+b＞0)
??? 只需证-2ab+＞0成立，
??? 即需证＞0成立。
??? 而由已知条件可知，a≠b，有a-b≠0，所以＞0显然成立，由此命题得证。
?????? 证明二：(综合法)
∵a≠b，∴a-b≠0，∴＞0，即-2ab+＞0
??? 亦即-ab+＞ab
??? 由题设条件知，a+b＞0，∴(a+b)( -ab+)＞(a+b)ab
??? 即+＞，由此命题得证。
在实际证题过程中，分析法与综合法是统一运用的，把分析法和综合法孤立起来运用是脱离实际的。没有分析就没有综合；没有综合也没有分析。问题仅在于，在构建命题的证明路径时，有时分析法居主导地位，综合法伴随着它；有时却刚刚相反，是综合法导主导地位，而分析法伴随着它。
特别是，对于那些较为复杂的数学命题，不论是从“已知”推向“未知”，或者是由“未知”靠拢“已知”都有一个比较长的过程，单靠分析法或综合法显得较为困难。为保证探索方向准确及过程快捷，人们又常常把分析法与综合法两者并列起来使用，即常采用同时从已知和结论出发，寻找问题的一个中间目标。从已知到中间目标运用综合法思索，而由结论到中间目标运用分析法思索，以中间目标为桥梁沟通已知与结论，构建出证明的有效路径。上面所言的思维模式可概括为如下图所示：
　综合法与分析法都是逻辑推理的思维方法，它对于培养思维的严谨性极为有用。把分析法与综合法两者并列起来进行思维，寻求问题的解答途径方式，就是人们通常所说的分析、综合法。
下面举一具体例子来加以说明。
例2、若a,b,c是不全相等的正数，求证：lg+ lg+ lg＞lga+lgb+lgc。
证明：要证lg+ lg+ lg＞lga+lgb+lgc，
只需证lg··>lg（a·b·c），
只需证··＞abc。
但是，，，。
且上述三式中的等号不全成立，所以，
··＞abc。
因此lg+ lg+ lg＞lga+lgb+lgc。
注：这个证明中的前半部分用的是分析法，后半部分用的是综合法。
谈综合法与分析法的应用
综合法与分析法是数学中的重要方法，它是求解与分析数学问题思维基础，很多看似较难的问题通过合理、准确的使用综合法与分析法，都能使结论快速产生；本文再谈此两法的应用，进一步揭示两法的应用技巧，望对你的学习能有所帮助；
1、使用综合法
综合法是从已知出发，经过逐步推理，最后导出所要达到的结论；可以看出，若使用综合法求解问题，一定要将条件与结论结合起来，看看条件、再看看结论，如何架好从条件通往结论的桥梁？
例1、设，求证：
证明：由于时，，得
那么，
上述第一个不等式中等号成立的条件为：
故原不等式成立。
点评：本题的证明不重要，产生这个证明方法的思维过程很重要；你知道是怎么产生的吗？是综合法的“功劳”，请看：欲从左边证到右边，必须消去；如何消？只有经过平方，才能将从根号中“解救”出来，“解救”出来后才有消去的可能；于是在基本不等式中开始“搜索”与平方有关的不等式，慢慢的就“浮出水面”，解法自然也就诞生了；
2、使用分析法
分析法是从结论出发，逐步寻找使结论成立的充分条件，直到找到一个明显成立的条件，这个条件可以是已知条件、公理、定理、定义等；可以看出，若使用分析法求解问题，对结论的简化与转化很重要，它是向条件靠拢的重要措施；
例2、设为任意三角形边长，，
试证：
证明：由于
欲证，只需，
只需证，即；
只需证且；
先看，只需证，即，显然，此式成立，
再看，
只需证；
只需证；
只需证且且，由于为三角形边长，显然，结论成立；
故
点评：本题从表面上看不易“征服”，但通过分析法将结论逐步转化，由看上去很难“接受”的，转化为较为亲切的，显然，这比原题的结论看上去要“舒服”多了，当然，求解也就顺畅了很多；
3、综合法与分析同时使用
综合法与分析法是数学中的两个“大法”，在求解具体数学问题时，不是孤立的，往往它们会联手出击；
例3、试证：如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，并且方向相同，那么这两个角相等；
已知：如图，与中，
且，且两角的方向相同；
求证：
分析：（1）与不可能用平行线
的性质，只有考虑构造两个全等的三角形，再设法证
明两三角形全等；为此，分别在上截取，，连结，得到；
（2）欲证两三角形全等，只需证；
（3）只需证是平行四边形，也就是平行且等于；
（4）只需证“平行且等于”且“平行且等于”
（5）只需证与均为平行四边形，显然这是一个成立的结论；于是：
证明：由于是平行四边形，则平行且等于；
同理，得平行且等于；
于是平行且等于，那么是平行四边形，得
在与中，由于、且，因此，全等于，从而；
点评：分析法找思路较为自然，容易产生解题思路与方法，但由于是“逆行”往往叙述较为复杂；而综合法产生的解法往往又显得很突然，一时不知此法由何而来；于是，二者结合，互相弥补便成了大家提倡的，即“用分析找思路，用综合法写过程”是十分行之有效方法；
好了，对于综合法与分析法，本文就谈到此，你看后有收获吗？
直接证明与间接证明教材精析
在前面我们已经知道合情推理和演绎推理都是根据某些已知判断来确定一个新的判断的思维过程.其中演绎推理在大前提小前提都正确的情况下所得的结论一定正确，而合情推理（归纳、类比等）所猜测得到的结论不一定正确，必须通过逻辑（演绎）推理的方式加以证明.下面就研究两类基本的证明方法———直接证明与间接证明.
　　一、综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证法，也是证明数学问题时最常用的思维方式.
　　1.综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的证明方法.又叫顺推证法或由因导果法.
　　其推理方式可用框图表示为：
　　
其中表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，表示所要证明的结论，表示中间结论．
　　综合法常用的表达格式为：，；
　　又，；，；又，．
　　2．分析法：从要证明的结论出发，对其进行分析和转化，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止的证明方法.又叫逆推证法或执果索因法.
　　其推理方式可用框图表示为：
　　
　　
其中表示要证明的结论，分别表示使成立的充分条件，表示最后寻求到的一个明显成立的条件．
　　分析法常用的表达格式为：
　　要证，只需证，只需证，，只需证，由于显然成立，所以成立．
　　综合法、分析法都是直接利用已知条件或定义、公理、定理等与所要证明的结论之间的关系推导出所要证明的结论或寻求出使它成立的充分条件，故均属于直接证法.
　　二、反证法是间接证明的一种基本方法.
　　对于某些看来明显成立而又不便知道根据什么去推导（综合法），甚至难于寻求到使之成立的充分条件（分析法）的“疑难”证明题，一般地，可在假设原命题不成立的前提下，经过正确的逻辑推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.这种证明方法叫做反证法.
　　简易逻辑部分中四种命题间的关系领悟得好的同学不难悟出反证法的原理不外乎“互为逆否命题的两个命题真假一致”，即：“”“”．
　　用反证法证题的格式一般为：
　　假设不成立，若，，则，这与已知（定义、公理、定理等）相矛盾，
　　∴假设不成立，成立．
　　1．综合法的每一步都是三段论（或其简略形式），大前提一定要正确，否则证明易出错.
　　2.使用分析法时一定要注意对所要证明的结论是以“分析”的语气对待的，因而证明格式上应体现出“分析”探讨性（“要证…，只需证…”），而非直接肯定结论.
　　例1　求证．
　　错证：，
　　，，
　　，，显然原不等式成立．
　　错因：对分析法的原理不理解，以至于将所要证明的结论当成已知条件来用了.
　　正：只需将“∵”改为“要证”，“∴” 改为“只需证”.
　　3.综合法和分析法往往不是单一地使用的，而是结合兼用的，特别是较为复杂的证明（教科书例3）.一般是先用综合法由已知条件P推出一个中间结论M，再用分析法探求，发现M正是使所要证结论Q成立的充分条件.证明过程用框图1表示；或者先用分析法寻求出使所要证明的结论Q成立的充分条件M，再用综合法由已知条件P推出M.证明过程用框图2表示.

或
例2 教科书中对例3的证法是先综合后分析，证明过程如框图１的形式；我们还可以改用框图2的形式，先分析后综合来证.
　　证明：要证，
　　只需证，
　　即证
　　即证，
　　即证　　　③．
　　另一方面，因为，所以将已知中的①②代入上式，
　　即得与③相同，于是问题得证．
　　4.综合法与分析法当所用的证据相同时形式上是互逆的，因此往往可以互相改写，但须注意二者表达格式的迥异.
　　5.反证法也经常与综合法或分析法结合使用.
　　例3 证明不可能成等差数列．
　　证明（一）：假设成等差数列，即，下面（用分析法）证明．
　　要证，
　　只需证，
　　即证，即证，
　　即证，而该式显然成立，
　　故，这与假设相矛盾，
　　所以假设不成立，从而不成等差数列．
　　证明（二）：假设成等差数列，即，下面（用综合法）证明．
　　，，，
　　即，
　　即，
　　，这与假设相矛盾，
　　故假设不成立，从而不成等差数列．
浅谈数学归纳法中k和n的时效性
数学归纳法历来作为高中数学的必修内容，它对培养学生的数学思想，提高学生的分析问题和解决问题的能力，都有积极的作用，然而，学生在学习这一内容时，常常感到抽象难懂，我们先来看看数学归纳法的证题过程。
例：用数学归纳法证明能被（x+y）整除。
证明：整除，命题成立。
假设当时，命题成立
即
那么，当n=k+1时

根据归纳假设，能被（x+y）整除，
整除，也就是说，当n=k+1时，命题也成立。
综合知，命题对所有自然数N都成立，[证毕]
学生对上述证明过程的第二步觉得难以理解—怎么可用假设来证明呢？n是自然数，k也是自然数，k、n不是不同吗？为什么可以“假当n=k时命题成立呢”，k成立不就是n成立吗？还有n=k，n=k+1又是怎么一回事呢？学生对这些问题的存疑，势必影响学生对数学归纳法的理解和运用，要取得好的教学效果，必须先解决上述问题，但教材教参对上述问题也未做详述，多年的教学时间和探索，用“时效性”辨证地处理了k和n的关系，较好地解决了上述问题。
所谓时效性，是指k和n在证明过程的不同时刻有不同的含义和不同的效能，当命题证明正确后，k和n就等有效了，即k和n，n就是k；就本质而言，k和n是相同的，都具有任意性，都是任意自然数，也即是所有自然数，差异体现在时效性上，我想学讲解，在未证明命题正确之前，k和n是不同的，命题是要求证明对所有自然数n都成立，而归纳假设中的k，此时未可理解为所有的自然数，这时应把假设“当n=k时命题成立”中的k理解为特指—在无穷无尽的自然数N中，至少存在某一个能使命题成立的自然数，就特指这个自然数为k（或者说，若连这样一个k值都找不到，那么，命题根本不成立，事实上，证明过程中的已验证当n=1时，命题成立，自然数1便可做为命题成立的特指的第一个k值。（事实上，步骤中不一定验证n=1是否成立，而是验证当时是否成立，是使命题成立的最小自然数，所以，第一个特指的k值是）
证明过程第步中的k、k+1，也是任意自然数，两者的联系和区别，体现在任意性和给定性，k的任意性导致k+1的任意性，但一旦k给定后，k+1始终是k的后继数，因此中的k，k+1的是数学归纳法证明的命题中所包含着的无穷多个特殊命题中的任意两相邻命题之间的因果关系—如果k成立，那么k+1也成立，k为因，k+1为果，随着时效的改变，这种因果关系随时都在传递中交换，在交换中传递，也就是递推。
即由知当n=1时，成立，由有n=k+1=1+1=2时也成立，再取k=2，且由知，k+1=2+1=3也成立……。
换一种说法，由结合的递推过程就是：
如果k=1时命题成立，那么k=1+1=2时，命题也成立；
如果k=2时命题成立，那么k=2+1=3时，命题也成立
“K=2成立”是“k=1”成立的果，也是“k=3”成的因，也就是k=1的成立导致k=2的成立，k=2的成立又导致k=3的成立……这样一直传递下去，直至传遍所有自然数，故命题对所有自然数都成立（以开始的自然都成立）。既然命题对所有自然数都成立，k也成了所有自然数，这时，k、n等效，k和n都是任意自然数至此，学生紧锁的眉头舒展开了，如释重负豁然开朗起来。另：数学归纳法证题的另一难点是怎样利用归纳假设“当n=k时命题成立”来证明“n=k+1时”，命题也成立，对这个问题，首先应注意语句中的“也”字，“也”字强调了和前面的联系，说明了对前面“n=k时成立”的依赖，应向学生强调，数学归纳法对第步命题成立的判断，关键是结构形式的判断，这就需要很好的利用归纳假设，归纳假设一要用得上，要明确题目中归纳假设的结构形式，在步的运算变形过程中把它分离起来，以利于判断“也成立”，如前例中添项之后提取公因式，使之出现这一项，利用归纳假设就可以判断它能被（x+y）整除，所以当n=k+1时，命题也成立。
用数学归纳法证明与自然数有关的不等式时，为追求结构形式一致，有时还需要添加（或减掉）某个数（或项）也即是通过方法或缩小某些项来达到目的。
谈如何解归纳型探索性问题
归纳型探索性题是高考重点之一，也是解题的重要方法，应引起足够重视，解归纳型问题，需从特殊情况入手，通过观察、分析、归纳、猜想，探索一般规律。
这类题目特点及解题步骤
1 这类题目特点是：第一步是给出与整正数有关的命题结构，第二步要求计算出最初几个初始值，第三步要求通过已计算出的初始值，应用不完全归纳法，发现其命题的一般规律，作出科学的猜想和判断，最后用数学归纳法对所作的猜想作出科学的证明。
2 思维步骤：试验归纳推广猜想证明，具体做法是：对所研究的问题通过观察与试验，发现它们某种共性，然后猜想此类对象的全体也有这种共性，接着用数学归纳法证明猜想的正确性。
二 典型例题
1：先计算再归纳猜想，最后证明
例1 是否存在常数a、b、c，
使得等式
对一切自然数成立？并证明你的结论。
解析：假设存在a,b,c使上式对 nN均成立，则当时上式显然也成立，此时可得
解此方程组可得a＝3，b＝11，c＝10
下面用数学归纳法证明等式
=对一切自然数均成立。
当时，命题显然成立。
假设时，命题成立。
即，
那么当时，
。命题也成立。
综上所述，存在常数
使得等式对一切自然数均成立。
2 没有给出猜想信息，先创造条件的出结论，再证明
例2：数列满足，求数列的通项公式。
解：， 由，变形整理，得取正根
得， 由及，
得，变形整理，得，取正根得。
同理求得
由此猜想。
用数学归纳法证明如下：（1）：当＝1时，上面已求出＝1，结论成立。
（2） 假设当时，结论成立。即
那么当时，
=,
整理得，，取正根得，故时，结论成立。
由（1）、（2）知，对一切成立。
3 赋值、猜想证明
例3：已知是定义在上的不恒为零的函数，
且对任意的都满足：，
若求证：。
分析：用归纳的思想方法，通过赋值、计算、猜想证明四步完成。
证明：令
当时，；
当时，
当时，

猜想
用数学归纳法证明如下：
（1） 当时， 式成立，
（2）假设时(*)式成立。
即， 当时，
时，(*)式成立。
由（1）、（2）知，对成立。所以
要证明结论成立，只需证明

数学归纳法的应用
近几年的高考试题，不但要求能用数学归纳法去证明现成的结论，而且加强了对归纳推理的考查，既要求归纳发现结论，又要求能证明结论的正确性.
　　用数学归纳法证明一个命题主要有两个步骤：
　　（1）证明当n取第一个值时命题成立；
　　（2）假设当时命题成立，证明当时命题也成立．
　　此外，还要结合（1）和（2）得出一个总论．
　　下面就一道数学归纳法、数列、不等式等知识交汇的高考题进行例析.
　　例　（2005年湖南卷）自然状态下的鱼类是一种可再生的资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响.用表示某鱼群在第n年年初的总量，，且．不考虑其它因素，设在第年内鱼群的繁殖量及被捕捞量都与成正比，死亡量与成正比，这些比例系数依次为正常数．
　　（Ⅰ）求与的关系式；
　　（Ⅱ）猜测：当且仅当，满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）
　　（Ⅲ）设，为保证对任意，都有，，则捕捞强度的最大允许值是多少？证明你的结论．
　　分析与解：（Ⅰ）从第年初到第年初，鱼群的繁殖量为，被捕捞量为，死亡量为，因此，．　　
　　故，．　　
　　（Ⅱ）若每年年初鱼群总量保持不变，则恒等于，，从而由式得恒等于0， ，所以，即．因为，所以．
　　猜想：当且仅当，且时，每年年初鱼群的总量保持不变．
　　（Ⅲ）若的值使得，，由，，知，．
　　特别地，有，即．
　　而，所以，由此猜测的最大允许值是1．
　　下面证明当，时，都有，，
当时，结论显然成立．
假设时结论成立，即，则当时，．
又因为，
所以，故当时结论也成立．
由① ，②可知，对于任意的，都有．
综上所述，为保证对任意，都有，，则捕捞强度的最大允许值
是1．
数学归纳法应用中的四个常见错误
数学归纳法是证明与正整数有关的命题的一种常用方法。证明时，它的两个步骤：归纳奠基和归纳递推缺一不可。使用数学归纳法解决问题易出现的四类错误：（1）初始值确定的错误；（2）对项数估算的错误；（3）没有利用归纳递推；（4）关键步骤含糊不清。现举例如下：
初始值估计的错误。归纳奠基是归纳的基础，是数学归纳法的关键之处。通常是1，但不总是1。有些同学思维定势，认为是1，而不能具体问题具体分析。
例1.用数学归纳法证明“＞+1对于n＞的正整数n成立”时，第一步证明中的起始值应取（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D.5
【答案】 选D
例2.若f(n)= ,则n=1时f(n)是
A. 1 B. C. D.以上答案均不正确。
【答案】选C
点评：这也是一个常见的错误，解题的关键是因为分母是连续的，由最后一项既其前面的项组成。
对项数估算的错误
用数学归纳法证明恒等式时，由n=k递推到n=k+1时，左端增加的项有时是一项有时不只是一项，有有时左端的第一个因式也可能变化。举例如下：
例3.用数学归纳法证明不等式＜n（n∈）过程中，由n=k递推到n=k+1时，不等式左端增加的项数是（ ）
A. 1 B. -1 C. D. +1
解析;当n=k时，左端=
当n=k+1，左端=
括号内的部分是增加的式子，计算可知共项
点评：这类问题的特点是分母从1开始在正整数范围内递增，抓住这个关键，再通过n=k和n=k+1左端进行对比，就不会发生错误了。
【答案】 选C
例4.用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)= ﹒1﹒3…(2n-1)(n∈N)时，从“n=k→n=k+1”两边同乘以一个代数式，它是??????????????（ ）
解析：当n=k时，=
当n=k+1时，=
通过对比可知，增加了两项（2k+1）（2k+2）减少了一项k+1。故答案选D。
点评：通过对比n=k和n=k+1时的变化确定增减项。因为每一项中都有n，项数会有增有减。
（3）没有利用归纳递推
数学归纳法中的归纳奠基和归纳递推缺一不可，归纳奠基是递推的基础，归纳递推是递推的依据，二者是一个整体，不能割裂开来。就像多米诺骨牌游戏，第一块不到，后面的块肯定不到，中间的任意一块不到，游戏也不能继续，环环相扣。
例5.用数学归纳法证明的过程如下：
①当n=1时，左边=1，右边==1，等式成立。
②假设当n=k时，等式成立，即
则当n=k+1时，
所以，当n=k+1时等式成立。
由此可知，对任何，等式都成立。上述证明的错误是
【答案】没有用上归纳递推。
正确的解法是②，即用上了第二步中的假设。
点评：步骤不完整是常犯的错误，除忘记用归纳递推外，有时还忘记第一步——起始值的确定，或忘记归纳结论，所以一定牢记“两个步骤一个结论”。
（4）关键步骤含糊不清。
用数学归纳法证明时有一个技巧，即当n=k+1时，代入假设后再写出结论，然后往中间”凑”。但中间的计算过程必须有，不能省略也不能含糊不清。这一步是数学归纳法的精华所在，阅卷老师关注的重要环节。例题略。
数形结合求最值
　　同学们在做练习时经常碰到一类题目：已知复数，求的最值，它的解法有多种多样，若用数形结合法来解，可简化解题.由于，表示以对应的点Ｐ为圆心，r为半径的圆，对应于点Ｃ，连结，并延长交圆Ｐ于Ａ，Ｂ两点，如图１所示，由数形结合法知：的最小值为，最大值为．现举例说明.
　　例１　已知复数ｚ的模为2，求的最大值.
　　解：在复平面上，ｚ对应的点的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，i对应的点为，如图2所示，由于表示圆上各点到定点Ｃ的距离，显然点到该点的距离最大，最大值为3.
　　例2　如果，求的取值范围.
　　解：由于表示以（4，3）为圆心，3为半径的圆面，如图3所示，，由于Ｏ到圆心（4，3）的距离为，当ｚ所对应的点在上述圆面变动时，，故.
　　例3　设复数ｚ满足，求.的最值.
　　解：由于，那么，
设，
　　则，表示以为圆心，2为半径的圆.
　　又表示的是对应的点到点的距离，如图４所示，
　　故所求的最大值为，最小值为．
复数中的几个结论及共应用
数系由实数系扩充到复数系之后，实数系中哪些公式和法则仍然成立，哪些不成立，又有哪些新的公式和法则，是同学们不易弄清的问题，以下给出几则在复数系中仍然成立的公式和法则及几个新的公式和法则，并简单举例说明其应用.
　　一、中点公式：A点对应的复数为，点对应的复数为，点为两点的中点，则点对应的复数为，即．
　　例1　四边形是复平面内的平行四边形，三点对应的复数分别为，求点对应的复数．
　　解：由已知应用中点公式可得的中点对应的复数为，所以点对应的复数为．
　　二、根与系数的关系：若实系数方程的两复根为，，则有，．
　　推论：若实系数方程有两虚数根，则这两个虚数根共轭．
　　例2　方程的一个根为，求实数，的值．
　　解：已知实系数方程的一个根为，由推论知方程的另一根为，由根与系数的关系可知，．
　　三、相关运算性质：①为实数，为纯虚数；②对任意复数有；③；④，特别地有；⑤；⑥．
　　例3　设，且，求证为实数．
　　证明：由条件可知，则，
　　所以，，
　　所以为实数．
　　四、两则几何意义：①的几何意义为点到点的距离；②中所对应的点为以复数所对应的点为圆心，半径为的圆上的点．
　　例4　若，且，则的最小值为　　　　　．
解：即，对应的点为到点的距离为定值1的所有的点，即以为圆心，1为半径的圆上的点．即，为圆上的点与点之间的距离减去圆的半径，可得结果为3．
复数与平行四边形家族
菱形、矩形、正方形等特殊的平面几何图形与某些复数式之间存在某种联系及相互转化的途径．在求解复数问题时，要善于考察条件中给定的或者是通过推理所得的复数形式的结构特征，往往能获得简捷明快、生动活泼的解决方法．下面略举几例，以供参考．
　　一、复数式与长方形的转化
　　例1　复数，满足，，证明：．
　　解析：设复数，在复平面上对应的点为，，由知，以，为邻边的平行四边形为矩形，，故可设，所以．
已知复数，满足，，且，求与的值．
　　解析：设复数，在复平面上对应的点为，，由于，故，
　　故以，为邻边的平行四边形是矩形，从而，则；．
　　
二、复数式与正方形的转化
　　例3　已知复数满足，且，求证：．
　　证明：设复数在复平面上对应的点为，，由条件知，以，为邻边的平行四边形为正方形，而在复平面上对应的向量为正方形的一条对角线，所以．
　　点评：复数与向量的对应关系赋予了复数的几何意义，复数加法几何意义的运用是本题考查的重点．
　　三、复数式与菱形的转化
　　例4　已知，，，求．
　　解析：设复数，在复平面上对应的点为，由知，以，为邻边的平行四边形是菱形，，，考虑到时，；时，无意义，故使为纯虚数的充要条件是，且，．
　　复数的加减法符合平行四边形法则，是复数与平行四边形家族联姻的前提．通过本文我们发现深入抓住复数加减法的几何意义的本质，可使我们求解复数问题的思路更加广阔，方法也更加灵活．
导数的概念与运算
第1题. 是的导函数，则的值是 ．
答案：
第2题. (2007江苏)已知二次函数的导数为，，对于任意实数，有，则的最小值为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案：Ｃ
第3题. (2007江西理)设函数是上以5为周期的可导偶函数，则曲线在处的切线的斜率为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案：B
第4题. (2007全国II理)已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
答案：A
第5题. (2007浙江文)曲线在点处的切线方程是 ．
答案：
第6题. (2007福建文)已知对任意实数，有，，且时，，，则时（　　）
Ａ．， Ｂ．，
Ｃ．， Ｄ．，
答案：B
导数的概念和性质
第1题. (2007江西理)设函数是上以5为周期的可导偶函数，则曲线在处的切线的斜率为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案：B
第2题. (2007陕西理)是定义在上的非负可导函数，且满足．对任意正数，若，则必有（ ）
A． B．
C． D．
答案：A
第3题. (2007浙江理)设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）

答案：D
第4题. (2007福建理)已知对任意实数，有，且时，，则时（ ）
A． B．
C． D．
答案：B
数系的扩充与复数的引入复习指导
『教材重点』：１．复数的相等，复数与实数以及虚数的关系，复数的几何意义；２．复数的加减、乘除运算法则，以及复数加法、减法的几何意义；３．体会数学思想方法－类比法．
　　　　　『教材难点』：复数的几何意义，复数加法以及复数减法的几何意义，复数的除法．
　『复习过程指导』
在复习本章时，我们重点从数学思想方法上勾通知识的内在联系：(1)复数与实数、有理数的联系；（2）复数的代数形式的加法、减法运算与平面向量的加法、减法运算的联系；（3）复数的代数形式的加法、减法、乘法运算与多项式的加法、减法、乘法运算的联系．
在知识上，在学法上，在思想方法上要使知识形成网络，以增强记忆，培养自己的数学逻辑思维能力．其数学思想方法（类比法、化一般为特殊法）网络如下：
　　　　　
多项式运算
类比
复数
运算
　类比
向量
运算
实数
运算
类比
数轴上向量运算
有理数
运算
　　　一．数学思想方法总结
1数学思想方法之一：类比法
　（1）复数的运算
复数代数形式的加法、减法运算法则
　　　　　　
复数代数形式的乘法运算运算法则：
　　　　　　
显然在运算法则上类似于多项式的加减法（合并同类项），以及多项式的乘法，这就给我们对复数的运算以及记忆带来了极大的方便．
（2）复数的几何意义
我们知道，实数与数轴上的点一一对应的；有序实数对与直角坐标平面内的点一一对应；类似的我们有：
复数集C＝与坐标系中的点集一一对应．于是：
复数集＝复平面内的点
　　　　　　复数集＝平面向量
例1（2005高考浙江4）．在复平面内，复数＋(1＋i)2对应的点
位于　( )
(A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D)第四象限
解答：复数＋(1＋i)2＝
　　　＝
因为复数对应着直角坐标平面内的点，
　　　　　故在第二象限，答案为B．
　　　　此题一方面考查了复数的运算能力，另一方面考察了对复数的几何意义的理解．
例2．非零复数分别对应复平面内向量，若=
则向量与的关系必有（ ）
A ．= B． C ． D．共线
解答： 由向量的加法及减法可知：
　　　　　＝
　　　　　　　＝ 　　　　
由复数加法以及减法的几何意义可知：
　对应的模
　对应的模
　　　　　　又因为=，且非零复数分别对应复平面内向量　
　　　　　　所以四边形OACB是正方形
　　　　　　因此，故答案选B．
　　注：此题主要考察了复数加法以及减法的几何意义
（3）复数的化简
虚数除法运算的分母“实数化”，类似的有实数运算的分母“有理化”．
例３（2005高考天津卷理(2)）若复数（∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为
（A）-2 　 　 (B)4 　　(C) -6 　 (D)6
解答：由＝＝
＝　
　因为复数是纯虚数
　　　　所以且
　　　　解得
　　　　故答案选C．
　　注：这里在复数的化简中主要用了一对共轭复数的积是实数＝５，一般地（）（）＝
　　这也是一个复数与实数转化的过程，即是纯虚数可得：且，
2．数学思想方法之二　　转化法
　　　　　我们知道在运算上，高次方程要转化为低次方程，多元方程要转化为一元方程进行运算；实数的运算要转化为有理数的运算；类似地，有关虚数的运算要转化为实数的运算．
　　　　　基础知识：复数
例４（2005高考北京卷（9））若 , ，且为纯虚数，则
实数a的值为 ．
　解答：＝＝
因为为纯虚数
所以且．解得
　　　例５．（2005高考，吉林、黑龙江、广西（５））设、、、，若为实数，则，
（A）（B）
（C）（D）
　解答：　由　　
　　　因为 为实数，
　　　所以其虚部，即
　　　故答案选C．
这里先把分母“实数化”，即分子以及分母同乘以分母的“实数化”因式．
类似于以前所学的实数化简时的把分母“有理化”．再把它转化为实数的运算．
　　二．解题规律总结
　　　１有关虚数单位的运算及拓展
虚数的乘方及其规律：，＝－１，，，……（）
拓展（1）任何相邻四个数的和为０；
　　（2）指数成等差的四个数的和为０；　
例如：＝０
　　　　　　　　（3）连续多个数相加的规律．　
　　　　　　　 例6．求…的值
　　　　　解答：共有2006－10＋１＝１997项
　　　　　　由于1997＝4499＋1
　　　　　　由于连续4个的和等于0
　　　　　　因此原式＝＝－1
　2．有关复数的几个常用化简式
，，
例7（2005高考重庆2）．　　　　（　　）
A．　　B．－　　C．　　D．－
　　　解答：
　　　　　故答案选A
　　　　　　3．有关复数的综合运算
　　　　　例７（2005高考上海18）、（本题满分12分）在复数范围内解方程（为虚数单位）
　　解法一．设，则
　　　由于
　　　＝＝
所以＝
　　　根据复数的相等得
　　　解得
　　　因此，即为所求．
　　　　　　　解题评注：（1）设复数的代数形式（）以代入法解题的一种基本而常用的方法；（2）复数的相等（＝　　）是实现复数运算转化为实数运算的重要方法．这两种方法必须切实掌握；
　　　　　三．高考命题趋势
　从新教材的特点来看，高考题的难度不会大，主要以客观题的形式考察基础知识．以上结合高考题给出了复习的方法，以及重点难点，希望同学们结合数学思想方法，使知识形成网络，系统全面的掌握所学知识．
高中新课标数学选修（2-2）3.1~3.2教材解读
一、数系的扩充和复数的概念
　　1．复数的引入：回想数系的每一次扩充都主要来自两个方面：一方面数学本身发展的需要；另一方面由于实际的需要.而复数的引入属于前者．
　　我们知道，方程在实数范围内无解，于是需引入新数i使方程有解，显然，需要．
　　数系的扩充过程：自然数集整数集有理数集实数集复数集．
　　2．复数的代数形式：由实数的运算类似地得到新数i可以同实数进行加、减、乘运算，于是得到：形如的数叫做复数，并且把的这一表现形式叫做复数的代数形式，其中的a叫做复数的实部，b叫复数的虚部．注意复数的虚部是，而不是．
　　3．复数相等的充要条件
　　且
　　注意事项：
　　（1）复数
　　（2）复数集
　　（3）两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数，则不能比较大小.
　　二、复数的几何意义
　　1．复数可以用平面直角坐标系的点来唯一表示，于是：
　　复数集与坐标系中的点集，可以建立一一对应．
　　2．建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是１，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点对应复数0．于是有下面的一一对应关系：复数复平面内的点．
　　3．由于平面向量与坐标平面的点一一对应，于是有：
　　复数平面向量．
　　在这些意义下，我们就可以把复数说成点或向量，这给研究复数运算的几何意义带来了方便．
　　4．复数的模就是这个复数对应的向量的模，复数的模为．
　　三、复数代数形式的四则运算
　　1．复数的加法、减法
　　①运算法则．
　　其运算法则类似于多项式的合并同类项
②复数加法的运算律
　　对于任意的，有：
　　交换律：．
　　结合律：．
　　③复数加法的几何意义
　　设，分别与复数，对应，根据向量加法的平行四边形（三角形）法则，则有（如图1）．
　　由平面向量的坐标运算：，即得与复数对应．
　　可见，复数的加法可以按向量加法的法则进行．
　　④复数减法的几何意义
　　设，分别与复数，对应（如图2），
　　根据向量加法的三角形法则有：．
　　于是：．
　　由平面向量的坐标运算：，即得与复数对应．
　　于是得到向量的减法运算法则为：两个复数的差与连接两个向量的终点并指向被减数的向量相对应．
　　2．复数代数形式的乘法运算
　　①运算法则：．
　　两个复数相乘类似于两个多项式相乘，只是把换为，并且把实部与虚部分别合并即可．
　　②运算律：交换律：．
　　结合律：．
　　分配律：．
　　③虚数i的乘方及其规律：，，，，，，，，．
　　可见，，，，，即具有周期性且最小正周期为4．
　　④共轭复数
　　与互为共轭复数，即当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．
　　它的几何意义是：共轭的两个复数关于x轴对称．主要用于复数的化简以及复数的除法运算.
　　3．复数代数形式的除法运算
　　运算法则：．
　　其实质是分母“实数化”，即分子以及分母同乘以分母的“实数化”因式．类似于以前所学的把分母“有理化”．