人教版数学八年级下册17.1 勾股定理 同步练习（含答案）
文档属性
| 名称 | 人教版数学八年级下册17.1 勾股定理 同步练习（含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 580.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-04-02 14:27:45 | ||
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文档简介
17.1 勾股定理 同步练习
班级：_________ 姓名：_________ 学号：__________
一、选择题（本大题共10小题，在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．在下列各数中，不是勾股数的是（ ）
A．5，12，13 B．8， 12， 15 C．8， 15，17 D．9，40，41
2．如图，以Rt△ABC的两直角边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，若S1＝8cm2，S2＝17cm2，则斜边AB的长是（ ）
A．3cm B．6cm C．4cm D．5cm
3．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，则AE的长为（ ）
A． B．3 C． D．
4．如图，有两棵垂直于地面的树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行（ ）米．
A．6 B．8 C．10 D．12
5．一个圆桶底面直径为24cm，高32cm，则桶内所能容下的最长木棒为（ ）
A．20cm B．50cm C．40cm D．45cm
6．如图所示，在正方形中，将它剪去4个全等的直角三角形（图中阴影部分），得到长为的正方形，则下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上．若AB＝6，BC＝9，则BF的长为（ ）
A．4 B．3 C．4.5 D．5
8．如图，有4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形的面积是17，小正方形的面积是5，直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，则 ab的值是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
9．如图所示，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（ ）
A．4 B．6 C．16 D．55
10．如图，在数轴上点所表示的数为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题）
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．若AC＝3，AB＝5，则BC＝_____，CD＝_____．
12．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，则AB2+AC2+BC2＝_____．
13．在直角坐标系内，已知点，，且，那么的值是_______ ．
14．如图，数轴上点A所表示的数为a，求_________．
15．如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交边于点．若，，，则的长为_________．
16．如图，要为一段高5m，长13m的楼梯铺上红地毯，至少需要红地毯______m．
17．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC中点，MN⊥AC于点N，则MN的长为_____．
18．如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知，，，，则_______．
解答题（本大题共6小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，若AC=，CD=5，BC=13，求△ABC的面积．
20．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝8cm，DE是BC边上的垂直平分线，△ABD的周长为14cm，求BC的长．
21．如图所示，隔湖有A，B两点，从与BA方向成直角的BC方向上取一个点C，测得CA＝50 m，CB＝40 m，试求A，B两点间的距离．
22．如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在中，，，，若图中大正方形的面积为42，小正方形的面积为5，求的值．
23．（1）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法可以帮助我们直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为4×ab＋(a－b)2，所以4×ab＋(a－b)2=c2，即a2＋b2=c2．由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2＋b2=c2．图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．
(2)试用勾股定理解决以下问题：
如果直角三角形ABC的两直角边长为3和4，则斜边上的高为 ．
试构造一个图形，使它的面积能够解释(a－2b)2=a2－4ab＋4b2，画在上面的网格中，并标出字母a，b所表示的线段．
24．如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF．
（1）求证：BF=2AE；
（2）若CD=，求AD的长．
答案：
1．B 2．D 3．D 4．C 5．C 6．B 7．A 8．B 9．C 10．A
12．50 13． 14． ． 15．7 16．17 18．46
解：∵CD⊥AB，
∴∠CDA=∠BDC=90°
在Rt△ADC中，AD2=AC2﹣CD2，在Rt△BCD中，BD2=BC2﹣CD2，
∵AC= ，CD=5，BC=13，
∴AD==3，BD==12，
∴AB=15，
∴S△ABC=AB CD=.
20．解：∵DE是BC边上的垂直平分线，
∴DB＝DC，
∵△ABD的周长为14，
∴AB+AD+BD＝14，
∴AB+AD+DC＝AB+AC＝14，
∴AB＝14﹣8＝6，
由勾股定理得，BC10（cm）．
21．由图可知，三角形ABC是直角三角形．
∵CA=50m，CB=40m，∴AB30（m）．
答：A，B两点间的距离是30 m．
22．解：小正方形面积=
4个小直角三角形的面积=
∴
∴
23．（1）S梯形ABCD=，S梯形ABCD=
∴a2＋ab＋b2=2×ab＋c2
即a2＋b2=c2；
（2）∵直角三角形的两直角边分别为3，4，
∴斜边为=5，
∵设斜边上的高为h，直角三角形的面积为×3×4＝×5×h，
∴h＝
故答案为；
（3）∵图形面积为：（a 2b）2＝a2 4ab＋4b2，
∴边长为a 2b，
由此可画出的图形如下：
24．解：（1）证明：∵AD⊥BC，∠BAD=45°，
∴△ABD是等腰直角三角形．
∴AD=BD．
∵BE⊥AC，AD⊥BC，
∴∠CAD+∠ACD=90°，∠CBE+∠ACD=90°．
∴∠CAD=∠CBE．
在△ADC和△BDF中，∠CAD=∠CBF，AD=BD，∠ADC=∠BDF=90°，
∴△ADC≌△BDF（ASA）．
∴BF=AC．
∵AB=BC，BE⊥AC，
∴AC=2AE．
∴BF=2AE．
（2）∵△ADC≌△BDF，
∴DF=CD=．
在Rt△CDF中，．
∵BE⊥AC，AE=EC，
∴AF=CF=2．
∴AD=AF+DF=2+．
班级：_________ 姓名：_________ 学号：__________
一、选择题（本大题共10小题，在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．在下列各数中，不是勾股数的是（ ）
A．5，12，13 B．8， 12， 15 C．8， 15，17 D．9，40，41
2．如图，以Rt△ABC的两直角边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，若S1＝8cm2，S2＝17cm2，则斜边AB的长是（ ）
A．3cm B．6cm C．4cm D．5cm
3．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，则AE的长为（ ）
A． B．3 C． D．
4．如图，有两棵垂直于地面的树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行（ ）米．
A．6 B．8 C．10 D．12
5．一个圆桶底面直径为24cm，高32cm，则桶内所能容下的最长木棒为（ ）
A．20cm B．50cm C．40cm D．45cm
6．如图所示，在正方形中，将它剪去4个全等的直角三角形（图中阴影部分），得到长为的正方形，则下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上．若AB＝6，BC＝9，则BF的长为（ ）
A．4 B．3 C．4.5 D．5
8．如图，有4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形的面积是17，小正方形的面积是5，直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，则 ab的值是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
9．如图所示，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（ ）
A．4 B．6 C．16 D．55
10．如图，在数轴上点所表示的数为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题）
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．若AC＝3，AB＝5，则BC＝_____，CD＝_____．
12．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，则AB2+AC2+BC2＝_____．
13．在直角坐标系内，已知点，，且，那么的值是_______ ．
14．如图，数轴上点A所表示的数为a，求_________．
15．如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交边于点．若，，，则的长为_________．
16．如图，要为一段高5m，长13m的楼梯铺上红地毯，至少需要红地毯______m．
17．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC中点，MN⊥AC于点N，则MN的长为_____．
18．如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知，，，，则_______．
解答题（本大题共6小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，若AC=，CD=5，BC=13，求△ABC的面积．
20．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝8cm，DE是BC边上的垂直平分线，△ABD的周长为14cm，求BC的长．
21．如图所示，隔湖有A，B两点，从与BA方向成直角的BC方向上取一个点C，测得CA＝50 m，CB＝40 m，试求A，B两点间的距离．
22．如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在中，，，，若图中大正方形的面积为42，小正方形的面积为5，求的值．
23．（1）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法可以帮助我们直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为4×ab＋(a－b)2，所以4×ab＋(a－b)2=c2，即a2＋b2=c2．由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2＋b2=c2．图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．
(2)试用勾股定理解决以下问题：
如果直角三角形ABC的两直角边长为3和4，则斜边上的高为 ．
试构造一个图形，使它的面积能够解释(a－2b)2=a2－4ab＋4b2，画在上面的网格中，并标出字母a，b所表示的线段．
24．如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF．
（1）求证：BF=2AE；
（2）若CD=，求AD的长．
答案：
1．B 2．D 3．D 4．C 5．C 6．B 7．A 8．B 9．C 10．A
12．50 13． 14． ． 15．7 16．17 18．46
解：∵CD⊥AB，
∴∠CDA=∠BDC=90°
在Rt△ADC中，AD2=AC2﹣CD2，在Rt△BCD中，BD2=BC2﹣CD2，
∵AC= ，CD=5，BC=13，
∴AD==3，BD==12，
∴AB=15，
∴S△ABC=AB CD=.
20．解：∵DE是BC边上的垂直平分线，
∴DB＝DC，
∵△ABD的周长为14，
∴AB+AD+BD＝14，
∴AB+AD+DC＝AB+AC＝14，
∴AB＝14﹣8＝6，
由勾股定理得，BC10（cm）．
21．由图可知，三角形ABC是直角三角形．
∵CA=50m，CB=40m，∴AB30（m）．
答：A，B两点间的距离是30 m．
22．解：小正方形面积=
4个小直角三角形的面积=
∴
∴
23．（1）S梯形ABCD=，S梯形ABCD=
∴a2＋ab＋b2=2×ab＋c2
即a2＋b2=c2；
（2）∵直角三角形的两直角边分别为3，4，
∴斜边为=5，
∵设斜边上的高为h，直角三角形的面积为×3×4＝×5×h，
∴h＝
故答案为；
（3）∵图形面积为：（a 2b）2＝a2 4ab＋4b2，
∴边长为a 2b，
由此可画出的图形如下：
24．解：（1）证明：∵AD⊥BC，∠BAD=45°，
∴△ABD是等腰直角三角形．
∴AD=BD．
∵BE⊥AC，AD⊥BC，
∴∠CAD+∠ACD=90°，∠CBE+∠ACD=90°．
∴∠CAD=∠CBE．
在△ADC和△BDF中，∠CAD=∠CBF，AD=BD，∠ADC=∠BDF=90°，
∴△ADC≌△BDF（ASA）．
∴BF=AC．
∵AB=BC，BE⊥AC，
∴AC=2AE．
∴BF=2AE．
（2）∵△ADC≌△BDF，
∴DF=CD=．
在Rt△CDF中，．
∵BE⊥AC，AE=EC，
∴AF=CF=2．
∴AD=AF+DF=2+．