10.2平行线的判定
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10.2 平行线的判定
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1．理解同位角、内错角、同旁内角的概念，会识别“三线八角”．
2．掌握两条直线平行的判定条件和方法，并能熟练地运用判定方法解决实际问题．
3．能运用平行线的判定方法解决有关的说理问题．
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1．平行线及其基本性质
(1)平行线的概念：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线．两条直线AB，CD平行，记作“AB∥CD”，读作“AB平行于CD”．
(2)理解平行线概念的注意事项
①两直线平行是同一平面内两条直线的一种位 ( http: / / www.21cnjy.com )置关系，同一平面内的两直线的位置关系只有两种：相交与平行，当已知同一平面的两条直线不相交时，就可以肯定它们平行(这里，我们把重合的两直线看成一条直线)，反之亦然；
②“同一平面”是平行线概念的前提，因为在空间里，“不相交的直线”不一定就是平行线；
③两条线段平行或射线平行，是指它们所在的直线平行．
(3)平行线的基本性质
经过直线外一点，有且只有一条直线平行于这条直线．
如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：
①有且只有一个公共点，两直线相交；
②无公共点，则两直线平行；
③两个或两个以上公共点，则两直线重合(因为两点确定一条直线)．
【例1】下列说法正确的有( )．
(1)不相交的两条直线必定平行．
(2)在同一平面内不重合的两条直线，如果它们不平行，那么这两条直线一定相交．
(3)过一点可以且只可以画一条直线与已知直线平行．
A．1个 B．2个
C．3个 D．0个
解析：(1)错误，平行线是“在同一平面内不 ( http: / / www.21cnjy.com )相交的两条直线”；(2)正确；(3)不正确，正确的说法是“过直线外一点”而不是“过一点”，因为如果这一点在已知直线上，是作不出这条直线的平行线的．
答案：A
2．同位角、内错角和同旁内角
(1)同位角、内错角和同旁内角的概念：两条直线被第三条直线所截形成八个角，它们构成了同位角、内错角与同旁内角．
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如图，直线a，b被第三条直线l(相当于“基准线”)所截，
①∠1与∠5分别在被截直线a，b的相同的一侧，并且位于直线l的同旁，具有这样位置关系的一对角叫做同位角(位置相同)．
②∠5与∠3都在被截直线a，b之间，并且位于直线l的两旁(交错)，具有这样位置关系的一对角叫做内错角(位置在内且交错)．
③∠5与∠4都在直线a，b之间，并且位于直线l的同旁，具有这样位置关系的一对角叫做同旁内角．
(2)对“三线八角”的理解
①理解同位角要抓住一个“同”字，既“位置相同”，其意思是两个角都在截线的同旁和被截的两直线的同方向(同上或同下，同左或同右)．
②理解内错角要抓住“内”字和“错”字，即夹在被截直线之内和位于截线的两旁．
③理解同旁内角要抓住“同”字和“内”字，即夹在被截两直线之内和位于截线的同旁．
④上述三类角反映的是角与角之间的位置关系而不是数量关系，因此，不论被截的两条直线是否平行，都存在上述三类角．
⑤这三类角总是成对出现的，且每一对角都有一条公共边．
【例2】如图，(1)∠2与∠4是直线__________和__________被直线__________所截而得的__________．
(2)∠1与∠3是直线__________和__________被直线__________所截而得的__________．
解析：∠2与∠4的公共边是ED，另两边所在 ( http: / / www.21cnjy.com )的直线分别是BC，EF，所以是直线BC，EF被ED所截；∠1与∠3的公共边是BC，另两边所在的直线分别是AB，ED，所以是直线AB，ED被BC所截．
答案：(1)BC EF ED 同位角 (2)AB ED BC 内错角
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3．平行线的判定方法
(1)判定两条直线平行的方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简单地说，同位角相等，两直线平行；
(2)判定两条直线平行的方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单地说，内错角相等，两直线平行；
(3)判定两条直线平行的方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单地说，同旁内角互补，两直线平行．
【例3－1】如图，推理填空．
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(1)因为∠A＝__________(已知)，所以AC∥ED( )．
(2)因为∠2＝__________(已知)，所以AC∥ED( )．
(3)因为∠A＋__________＝180°(已知)，所以AB∥FD( )．
(4)因为∠2＋__________＝180°(已知)，所以AC∥DE( )．
解析：因为要说明AC∥ED，所以第三条直线可以是AB，BC，DF，判断两直线平行的三类角总是成对出现的，且每一对角都有一条公共边，若与∠A相等或互补的角的公共边在直线AB上，则顶点为E，于是∠A＝∠BED；与∠2相等或互补的角的公共边在直线DF上，顶点为F，所以∠2＝∠DFC，∠DFC＋∠DFA＝180°；同理可得∠A＋∠AFD＝180°时AB∥FD．
答案：(1)∠BED 同位角相等，两直线平行
(2)∠DFC 内错角相等，两直线平行
(3)∠AFD 同旁内角互补，两直线平行
(4)∠DFA 同旁内角互补，两直线平行
【例3－2】如图，下列条件中，不能判断直线a∥b的是( )．
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A．∠1＝∠3 B．∠2＝∠3
C．∠4＝∠5 D．∠2＋∠4＝180°
解析：本例可用平行线的判定 ( http: / / www.21cnjy.com )方法采用排除法使问题得以解决．A中∠1与∠3为内错角，由∠1＝∠3可得a∥b；C中∠4与∠5是两个相等的同位角，可得a∥b；D中∠2与∠4是两个互补的同旁内角，可得a∥b；只有B不能确定．
答案：B
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4．平行线的画法
(1)借助三角尺画平行线的基本步骤如下：
用三角板、直尺画平行线简单地说就是“两靠一移一画”．
“两靠”：是指把三角板的一边靠在已知直线上，直尺靠在三角板的另一边上；
“一移”：三角板靠在直尺上移动到已知点；
“一画”：沿三角板的边缘画直线．
如下图．
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(2)除上述画平行线的方法外，还可以借助方格纸来画平行线．如图中AB∥CD，EF∥MN等．
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【例4－1】如图，要在长方形木板上截一 ( http: / / www.21cnjy.com )个平行四边形，使它的一组对边在长方形木板的边缘上，另一组对边中的一条边为AB，请用尺规作图，过点C画出与AB平行的另一条边．
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分析：要在长方形木板上截一个平行四边形，只要保证过点C画出与AB平行的另一条线段即可．
解：过点C画出与AB平行的线段，如图．
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【例4－2】如图，请过点P画AB的平行线．
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分析：把线段AB看作一个4×2的长方形的对角线，再把点P作为一个4×2的长方形的顶点，按照相同的对角线的方向画出即可．
解：如图所示，PC就是所要画的平行线．
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5．同位角、内错角、同旁内角的识别
(1)定义法：根据定义两个角共涉及 ( http: / / www.21cnjy.com )三条直线(或射线或线段)，两角的一边分别在两条直线上，而另一边在同一直线上，两角有“共线边”是定义的实质，抓住“一边共线”便不难识别．
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(2)简化法：“简化”就是排除次要的部分，把复杂图形中需要识别的图形无关的部分略去不考虑，使隐藏于其中的基本图形显现出来，如图中的∠1和∠2是否是同位角？将∠1和∠2的两边描粗，可知两角无共线边，故∠1和∠2不是同位角．
(3)分离图形法：把有一边共线的两角从复杂图形中分离出来，两角关系便一目了然，如要找出下图中的用数字标注的角中的同位角、内错角、同旁内角时，我们可以把有公共边的两角，从图中分离出来，形成如图所示的简单图形，这就容易识别出∠1和∠5是同位角，∠3和∠5，∠3和∠4，∠4和∠5是同旁内角，∠2和∠4是内错角．
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(4)形象感受法
a．同位角的边构成形如字母“F”状．如下图，∠1与∠2为同位角．
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b．内错角的边构成形如字母“Z”状．如下图，∠M与∠N为内错角．
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c．同旁内角的边构成形如字母“U”状．如下图，∠M与∠N为同旁内角．
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【例5－1】如图，判断∠2和∠B是不是同位角．
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分析：本题易错认为∠2和∠B是同位 ( http: / / www.21cnjy.com )角，其实∠2和∠B是由AF，AC，AB，BC这四条直线组成的，因而它不属于“三线八角”，即它们不是同位角．不难看出：∠1和∠B，∠EAC和∠B是同位角．
解：不是．
【例5－2】如图，∠1和∠2是哪类角？
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分析：首先找到构成这对角的三条直线a，b，c，其中c为截线，然后去掉无关的直线d，则原图简化成为下图，这样便知∠1和∠2为同位角．
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解：∠1和∠2为同位角．
【例5－3】已知(如图)，直线AB，CD被M ( http: / / www.21cnjy.com )N所截，交于E，F两点，EG是一条射线，图中共有多少对同位角？有多少对内错角？有多少对同旁内角？分别指出这些角．
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分析：确定三线八角，关键是找出两条直线被第三条直线所截．图中出现四条线，需要将它进行分解，这样便于观察．我们可以把原图分解为如下两种情况：
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(1)图形(a)中有同位角2对，内错角1对，同旁内角1对．
(2)图形(b)中有同位角4对，内错角2对，同旁内角2对．
解：共有同位角6对，内错角3对，同旁内角3对，它们分别是
同位角：∠MEG与∠EFD，∠GEF与∠DFN，∠MEB与∠EFD，∠BEF与∠DFN，∠AEM与∠CFE，∠AEF与∠CFN；
内错角：∠GEF与∠CFE，∠AEF与∠DFE，∠BEF与∠CFE；
同旁内角：∠GEF与∠DFE，∠AEF与∠CFE，∠BEF与∠DFE.
6．平行线的判定方法汇总
常用的判断两条直线是否平行的方法如下：
(1)用定义来判定，同一平面内，不相交的两条直线是平行线．
(2)用“同位角相等，两直线平行”来判定．
(3)用“内错角相等，两直线平行”来判定．
(4)用“同旁内角互补，两直线平行”来判定．
(5)类似于等式的性质，若a∥b，a∥c，那么b∥c，即用“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线互相平行”来判定．
(6)用“如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行”来判定．
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【例6－1】如图，直线AB，CD被直线EF所截，∠1＝∠2，直线AB和CD平行吗？为什么？
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分析：因为∠1和∠3是对顶角，所以∠1＝∠3.因为∠1＝∠2，所以∠3＝∠2.根据同位角相等判定两直线AB与CD平行．
解：平行．
∵∠1＝∠3(对顶角性质)，
∠1＝∠2，
∴∠3＝∠2(等量代换)．
故AB∥CD(同位角相等，两直线平行)．
【例6－2】如图，∠α＝∠A，∠β＝∠B，判断MN与CD平行．
分析：根据题目条件和图形特点，可选择的思路是：由∠A＝∠α推出AB∥DC，由∠β＝∠B推出AB∥MN，最后根据推论得到MN∥CD．
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解：因为∠A＝∠α(已知)，
所以AB∥DC(内错角相等，两直线平行)．
又因为∠β＝∠B (已知)，
所以AB∥MN(同位角相等，两直线平行)．
故MN∥CD(平行于同一条直线的两条直线平行)．
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7．两直线平行条件的实际应用
同位角相等、内错角相等、同旁内角互补是判定两直线平行的条件，这三种方法是最常用的，在应用时关键是找准角的位置关系和数量关系．
生活实际问题中，经常会遇到平行线的判定．因此掌握好平行线的判断条件是非常重要的．解决实际问题的思路：
(1)从实际问题中抽取数学问题．即将实际问题转化为数学中的平行问题．
(2)根据已知条件确定判定方法．即根据不同角选择不同的判定方法．
(3)根据相关的判定方法进行说明．
【例7】一辆汽车在笔直的公路上行驶，第一次向左拐45°，再在笔直的公路上行驶一段后，第二次向右拐45°，请判断这辆汽车行驶的方向与原来的方向是否相同？为什么？
分析：画出图形，借助于图形理解“向左拐45°”、“向右拐45°”的含义．方向是否相同，即两个方向是否平行，可根据角之间的关系来判断．
解：方向与原来的方向相同．
理由是：如图所示，由题意可知∠EBC＝∠DCF＝45°，
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根据“同位角相等，两直线平行”可知BE∥CD．
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1．理解同位角、内错角、同旁内角的概念，会识别“三线八角”．
2．掌握两条直线平行的判定条件和方法，并能熟练地运用判定方法解决实际问题．
3．能运用平行线的判定方法解决有关的说理问题．
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1．平行线及其基本性质
(1)平行线的概念：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线．两条直线AB，CD平行，记作“AB∥CD”，读作“AB平行于CD”．
(2)理解平行线概念的注意事项
①两直线平行是同一平面内两条直线的一种位 ( http: / / www.21cnjy.com )置关系，同一平面内的两直线的位置关系只有两种：相交与平行，当已知同一平面的两条直线不相交时，就可以肯定它们平行(这里，我们把重合的两直线看成一条直线)，反之亦然；
②“同一平面”是平行线概念的前提，因为在空间里，“不相交的直线”不一定就是平行线；
③两条线段平行或射线平行，是指它们所在的直线平行．
(3)平行线的基本性质
经过直线外一点，有且只有一条直线平行于这条直线．
如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：
①有且只有一个公共点，两直线相交；
②无公共点，则两直线平行；
③两个或两个以上公共点，则两直线重合(因为两点确定一条直线)．
【例1】下列说法正确的有( )．
(1)不相交的两条直线必定平行．
(2)在同一平面内不重合的两条直线，如果它们不平行，那么这两条直线一定相交．
(3)过一点可以且只可以画一条直线与已知直线平行．
A．1个 B．2个
C．3个 D．0个
解析：(1)错误，平行线是“在同一平面内不 ( http: / / www.21cnjy.com )相交的两条直线”；(2)正确；(3)不正确，正确的说法是“过直线外一点”而不是“过一点”，因为如果这一点在已知直线上，是作不出这条直线的平行线的．
答案：A
2．同位角、内错角和同旁内角
(1)同位角、内错角和同旁内角的概念：两条直线被第三条直线所截形成八个角，它们构成了同位角、内错角与同旁内角．
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如图，直线a，b被第三条直线l(相当于“基准线”)所截，
①∠1与∠5分别在被截直线a，b的相同的一侧，并且位于直线l的同旁，具有这样位置关系的一对角叫做同位角(位置相同)．
②∠5与∠3都在被截直线a，b之间，并且位于直线l的两旁(交错)，具有这样位置关系的一对角叫做内错角(位置在内且交错)．
③∠5与∠4都在直线a，b之间，并且位于直线l的同旁，具有这样位置关系的一对角叫做同旁内角．
(2)对“三线八角”的理解
①理解同位角要抓住一个“同”字，既“位置相同”，其意思是两个角都在截线的同旁和被截的两直线的同方向(同上或同下，同左或同右)．
②理解内错角要抓住“内”字和“错”字，即夹在被截直线之内和位于截线的两旁．
③理解同旁内角要抓住“同”字和“内”字，即夹在被截两直线之内和位于截线的同旁．
④上述三类角反映的是角与角之间的位置关系而不是数量关系，因此，不论被截的两条直线是否平行，都存在上述三类角．
⑤这三类角总是成对出现的，且每一对角都有一条公共边．
【例2】如图，(1)∠2与∠4是直线__________和__________被直线__________所截而得的__________．
(2)∠1与∠3是直线__________和__________被直线__________所截而得的__________．
解析：∠2与∠4的公共边是ED，另两边所在 ( http: / / www.21cnjy.com )的直线分别是BC，EF，所以是直线BC，EF被ED所截；∠1与∠3的公共边是BC，另两边所在的直线分别是AB，ED，所以是直线AB，ED被BC所截．
答案：(1)BC EF ED 同位角 (2)AB ED BC 内错角
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3．平行线的判定方法
(1)判定两条直线平行的方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简单地说，同位角相等，两直线平行；
(2)判定两条直线平行的方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单地说，内错角相等，两直线平行；
(3)判定两条直线平行的方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单地说，同旁内角互补，两直线平行．
【例3－1】如图，推理填空．
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(1)因为∠A＝__________(已知)，所以AC∥ED( )．
(2)因为∠2＝__________(已知)，所以AC∥ED( )．
(3)因为∠A＋__________＝180°(已知)，所以AB∥FD( )．
(4)因为∠2＋__________＝180°(已知)，所以AC∥DE( )．
解析：因为要说明AC∥ED，所以第三条直线可以是AB，BC，DF，判断两直线平行的三类角总是成对出现的，且每一对角都有一条公共边，若与∠A相等或互补的角的公共边在直线AB上，则顶点为E，于是∠A＝∠BED；与∠2相等或互补的角的公共边在直线DF上，顶点为F，所以∠2＝∠DFC，∠DFC＋∠DFA＝180°；同理可得∠A＋∠AFD＝180°时AB∥FD．
答案：(1)∠BED 同位角相等，两直线平行
(2)∠DFC 内错角相等，两直线平行
(3)∠AFD 同旁内角互补，两直线平行
(4)∠DFA 同旁内角互补，两直线平行
【例3－2】如图，下列条件中，不能判断直线a∥b的是( )．
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "\\\\192.168.0.224\\tk需要录得书12年秋5\\2012初中同步设计\\教材快线数学沪科七年级下\\w49.EPS" \* MERGEFORMAT
A．∠1＝∠3 B．∠2＝∠3
C．∠4＝∠5 D．∠2＋∠4＝180°
解析：本例可用平行线的判定 ( http: / / www.21cnjy.com )方法采用排除法使问题得以解决．A中∠1与∠3为内错角，由∠1＝∠3可得a∥b；C中∠4与∠5是两个相等的同位角，可得a∥b；D中∠2与∠4是两个互补的同旁内角，可得a∥b；只有B不能确定．
答案：B
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "\\\\192.168.0.224\\tk需要录得书12年秋5\\2012初中同步设计\\教材快线数学沪科七年级下\\基本方法基本能力.EPS" \* MERGEFORMAT
4．平行线的画法
(1)借助三角尺画平行线的基本步骤如下：
用三角板、直尺画平行线简单地说就是“两靠一移一画”．
“两靠”：是指把三角板的一边靠在已知直线上，直尺靠在三角板的另一边上；
“一移”：三角板靠在直尺上移动到已知点；
“一画”：沿三角板的边缘画直线．
如下图．
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "\\\\192.168.0.224\\tk需要录得书12年秋5\\2012初中同步设计\\教材快线数学沪科七年级下\\W51.EPS" \* MERGEFORMAT
(2)除上述画平行线的方法外，还可以借助方格纸来画平行线．如图中AB∥CD，EF∥MN等．
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "\\\\192.168.0.224\\tk需要录得书12年秋5\\2012初中同步设计\\教材快线数学沪科七年级下\\w52.EPS" \* MERGEFORMAT
【例4－1】如图，要在长方形木板上截一 ( http: / / www.21cnjy.com )个平行四边形，使它的一组对边在长方形木板的边缘上，另一组对边中的一条边为AB，请用尺规作图，过点C画出与AB平行的另一条边．
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "\\\\192.168.0.224\\tk需要录得书12年秋5\\2012初中同步设计\\教材快线数学沪科七年级下\\W50A.EPS" \* MERGEFORMAT
分析：要在长方形木板上截一个平行四边形，只要保证过点C画出与AB平行的另一条线段即可．
解：过点C画出与AB平行的线段，如图．
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "\\\\192.168.0.224\\tk需要录得书12年秋5\\2012初中同步设计\\教材快线数学沪科七年级下\\w50.EPS" \* MERGEFORMAT
【例4－2】如图，请过点P画AB的平行线．
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "\\\\192.168.0.224\\tk需要录得书12年秋5\\2012初中同步设计\\教材快线数学沪科七年级下\\w54.EPS" \* MERGEFORMAT
分析：把线段AB看作一个4×2的长方形的对角线，再把点P作为一个4×2的长方形的顶点，按照相同的对角线的方向画出即可．
解：如图所示，PC就是所要画的平行线．
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "\\\\192.168.0.224\\tk需要录得书12年秋5\\2012初中同步设计\\教材快线数学沪科七年级下\\W55.EPS" \* MERGEFORMAT
5．同位角、内错角、同旁内角的识别
(1)定义法：根据定义两个角共涉及 ( http: / / www.21cnjy.com )三条直线(或射线或线段)，两角的一边分别在两条直线上，而另一边在同一直线上，两角有“共线边”是定义的实质，抓住“一边共线”便不难识别．
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "\\\\192.168.0.224\\tk需要录得书12年秋5\\2012初中同步设计\\教材快线数学沪科七年级下\\W53.EPS" \* MERGEFORMAT
(2)简化法：“简化”就是排除次要的部分，把复杂图形中需要识别的图形无关的部分略去不考虑，使隐藏于其中的基本图形显现出来，如图中的∠1和∠2是否是同位角？将∠1和∠2的两边描粗，可知两角无共线边，故∠1和∠2不是同位角．
(3)分离图形法：把有一边共线的两角从复杂图形中分离出来，两角关系便一目了然，如要找出下图中的用数字标注的角中的同位角、内错角、同旁内角时，我们可以把有公共边的两角，从图中分离出来，形成如图所示的简单图形，这就容易识别出∠1和∠5是同位角，∠3和∠5，∠3和∠4，∠4和∠5是同旁内角，∠2和∠4是内错角．
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "\\\\192.168.0.224\\tk需要录得书12年秋5\\2012初中同步设计\\教材快线数学沪科七年级下\\W60.EPS" \* MERGEFORMAT
(4)形象感受法
a．同位角的边构成形如字母“F”状．如下图，∠1与∠2为同位角．
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "\\\\192.168.0.224\\tk需要录得书12年秋5\\2012初中同步设计\\教材快线数学沪科七年级下\\W61.EPS" \* MERGEFORMAT
b．内错角的边构成形如字母“Z”状．如下图，∠M与∠N为内错角．
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "\\\\192.168.0.224\\tk需要录得书12年秋5\\2012初中同步设计\\教材快线数学沪科七年级下\\W62.EPS" \* MERGEFORMAT
c．同旁内角的边构成形如字母“U”状．如下图，∠M与∠N为同旁内角．
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "\\\\192.168.0.224\\tk需要录得书12年秋5\\2012初中同步设计\\教材快线数学沪科七年级下\\W63.EPS" \* MERGEFORMAT
【例5－1】如图，判断∠2和∠B是不是同位角．
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "\\\\192.168.0.224\\tk需要录得书12年秋5\\2012初中同步设计\\教材快线数学沪科七年级下\\W56.EPS" \* MERGEFORMAT
分析：本题易错认为∠2和∠B是同位 ( http: / / www.21cnjy.com )角，其实∠2和∠B是由AF，AC，AB，BC这四条直线组成的，因而它不属于“三线八角”，即它们不是同位角．不难看出：∠1和∠B，∠EAC和∠B是同位角．
解：不是．
【例5－2】如图，∠1和∠2是哪类角？
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "\\\\192.168.0.224\\tk需要录得书12年秋5\\2012初中同步设计\\教材快线数学沪科七年级下\\w57.EPS" \* MERGEFORMAT
分析：首先找到构成这对角的三条直线a，b，c，其中c为截线，然后去掉无关的直线d，则原图简化成为下图，这样便知∠1和∠2为同位角．
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "\\\\192.168.0.224\\tk需要录得书12年秋5\\2012初中同步设计\\教材快线数学沪科七年级下\\W58.EPS" \* MERGEFORMAT
解：∠1和∠2为同位角．
【例5－3】已知(如图)，直线AB，CD被M ( http: / / www.21cnjy.com )N所截，交于E，F两点，EG是一条射线，图中共有多少对同位角？有多少对内错角？有多少对同旁内角？分别指出这些角．
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "\\\\192.168.0.224\\tk需要录得书12年秋5\\2012初中同步设计\\教材快线数学沪科七年级下\\W59.EPS" \* MERGEFORMAT
分析：确定三线八角，关键是找出两条直线被第三条直线所截．图中出现四条线，需要将它进行分解，这样便于观察．我们可以把原图分解为如下两种情况：
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "\\\\192.168.0.224\\tk需要录得书12年秋5\\2012初中同步设计\\教材快线数学沪科七年级下\\w64.EPS" \* MERGEFORMAT
(1)图形(a)中有同位角2对，内错角1对，同旁内角1对．
(2)图形(b)中有同位角4对，内错角2对，同旁内角2对．
解：共有同位角6对，内错角3对，同旁内角3对，它们分别是
同位角：∠MEG与∠EFD，∠GEF与∠DFN，∠MEB与∠EFD，∠BEF与∠DFN，∠AEM与∠CFE，∠AEF与∠CFN；
内错角：∠GEF与∠CFE，∠AEF与∠DFE，∠BEF与∠CFE；
同旁内角：∠GEF与∠DFE，∠AEF与∠CFE，∠BEF与∠DFE.
6．平行线的判定方法汇总
常用的判断两条直线是否平行的方法如下：
(1)用定义来判定，同一平面内，不相交的两条直线是平行线．
(2)用“同位角相等，两直线平行”来判定．
(3)用“内错角相等，两直线平行”来判定．
(4)用“同旁内角互补，两直线平行”来判定．
(5)类似于等式的性质，若a∥b，a∥c，那么b∥c，即用“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线互相平行”来判定．
(6)用“如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行”来判定．
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "\\\\192.168.0.224\\tk需要录得书12年秋5\\2012初中同步设计\\教材快线数学沪科七年级下\\析规律.EPS" \* MERGEFORMAT 平行线的判定方法较多，选用哪种方法来判定两直线平行，要根据已知和图形中的条件确定．(5)只有具备三条以上的直线平行时应用，(6)有两条垂线的时候应用，也可以用90°角作为内错角相等或同旁内角互补来判定．
【例6－1】如图，直线AB，CD被直线EF所截，∠1＝∠2，直线AB和CD平行吗？为什么？
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "\\\\192.168.0.224\\tk需要录得书12年秋5\\2012初中同步设计\\教材快线数学沪科七年级下\\W143.EPS" \* MERGEFORMAT
分析：因为∠1和∠3是对顶角，所以∠1＝∠3.因为∠1＝∠2，所以∠3＝∠2.根据同位角相等判定两直线AB与CD平行．
解：平行．
∵∠1＝∠3(对顶角性质)，
∠1＝∠2，
∴∠3＝∠2(等量代换)．
故AB∥CD(同位角相等，两直线平行)．
【例6－2】如图，∠α＝∠A，∠β＝∠B，判断MN与CD平行．
分析：根据题目条件和图形特点，可选择的思路是：由∠A＝∠α推出AB∥DC，由∠β＝∠B推出AB∥MN，最后根据推论得到MN∥CD．
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "\\\\192.168.0.224\\tk需要录得书12年秋5\\2012初中同步设计\\教材快线数学沪科七年级下\\W66.EPS" \* MERGEFORMAT
解：因为∠A＝∠α(已知)，
所以AB∥DC(内错角相等，两直线平行)．
又因为∠β＝∠B (已知)，
所以AB∥MN(同位角相等，两直线平行)．
故MN∥CD(平行于同一条直线的两条直线平行)．
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "\\\\192.168.0.224\\tk需要录得书12年秋5\\2012初中同步设计\\教材快线数学沪科七年级下\\思维拓展创新应用.EPS" \* MERGEFORMAT
7．两直线平行条件的实际应用
同位角相等、内错角相等、同旁内角互补是判定两直线平行的条件，这三种方法是最常用的，在应用时关键是找准角的位置关系和数量关系．
生活实际问题中，经常会遇到平行线的判定．因此掌握好平行线的判断条件是非常重要的．解决实际问题的思路：
(1)从实际问题中抽取数学问题．即将实际问题转化为数学中的平行问题．
(2)根据已知条件确定判定方法．即根据不同角选择不同的判定方法．
(3)根据相关的判定方法进行说明．
【例7】一辆汽车在笔直的公路上行驶，第一次向左拐45°，再在笔直的公路上行驶一段后，第二次向右拐45°，请判断这辆汽车行驶的方向与原来的方向是否相同？为什么？
分析：画出图形，借助于图形理解“向左拐45°”、“向右拐45°”的含义．方向是否相同，即两个方向是否平行，可根据角之间的关系来判断．
解：方向与原来的方向相同．
理由是：如图所示，由题意可知∠EBC＝∠DCF＝45°，
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" INCLUDEPICTURE "\\\\192.168.0.224\\tk需要录得书12年秋5\\2012初中同步设计\\教材快线数学沪科七年级下\\w67.EPS" \* MERGEFORMAT
根据“同位角相等，两直线平行”可知BE∥CD．