人教版九年级下册数学28.1锐角三角函数 教案设计
文档属性
| 名称 | 人教版九年级下册数学28.1锐角三角函数 教案设计 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 819.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-04-02 21:58:40 | ||
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文档简介
28.1锐角三角函数教案
【核心素养与思想方法】1、通过直角三角形图形,理解余弦和正切三角函数值的概念和求法,培养学生直观想象核心素养，提升数形结合的能力，感悟事物的本质，培养创新思维。
2、通过对特殊三角函数值的计算,培养学生数学运算核心素养,进一步发展学生的运算能力，促进数学思维发展。
3、通过特殊到一般的数学思想和类比的学习方法来生成余弦和正切的概念，并在练习题中突出了数学建模和转化思想。
【新课标解读】1、通过探究锐角三角函数的概念，揭示概念的内涵，即是函数。但不宜突出，只要点出“对于锐角 A 的每一个值，sinA 有唯一的值和它对应，所以 sinA 是锐角 A 的函数。同样地，cosA，tanA 也是锐角 A 的函数”即可。
2、加强能力培养，建立数学模型思想。本节内容为后面解直角三角形的应用创造建立适当的数学模型。
3、注重数形结合，培养应用意识。锐角三角函数的一个突出特点是它的概念的产生和应用都与图形有着密切的联系.锐角三角函数具有鲜明的几何意义，其自变量是锐角，函数值是直角三角形中两条边的比值，因此本章内容是体现数形结合的好载体.
【教学目标】知识技能：1、探索直角三角形的锐角确定时，它的邻边与斜边的比、对边与邻边的比是固定值，从而引出余弦、正切的概念。
2、了解锐角三角函数的概念，理解锐角的余弦、正切的概念并能根据余弦、正切的概念进行计算.
核心素养：1、通过学习余弦和正切的概念，会正确的进行数学运算来求锐角三角函数值。
2、结合生活中的买房热点问题，通过数学建模来解决楼层问题。培养学生在生活中发现数学问题和解决是问题的思维意识。
思维品质：能根据概念正确进行计算。逐步培养学生观察、比较、分析，概括的思维能力。
学习能力：经历当直角三角形的锐角固定时,邻边与斜边、对边与邻边的比值也都固定这一事实.发展学生的形象思维，培养学生由特殊到一般的演绎推理能力。
【教学重点】认识并理解余弦、正切的概念进而得到锐角三角函数的概念.
【教学难点】能灵活运用锐角三角函数进行相关运算.
【教材内容分析】本节内容在前面已经研究了直角三角形中三边之间关系、两个锐角之间关系的基础上，进一步研其边角之间的关系.主要内容包括余弦和正切、锐角三角函数的概念，本章内容与“相似三角形”、“全等三角形” “勾股定理”等内容联系密切，相似三角形的性质是建立锐角三角函数概念的基础和关键，为后面学习解直角三角形打下基础。通过本章的学习，使学生全面掌握直角三角形的组成要素(边、角)之间的关系，并综合运用已学知识解决与角三角形有关的度量问题，进一步培养学生的推理能力、运算能力和数学建模能力，同时为高中学中任意角三角函数等知识的学习做准备。
【学情分析】学生对三角函的概念从没接触过，特别是直角三角形中角的锐角的变化引起相应边比值的变化感到难理解。但通过上节课余弦的学习，对探究方式有基本的认识，在这节课上对余弦和正切函数的探讨有初步的思想准备，利用画图软件做出动画，学生更能直观体会和理解。
【教学过程】
（一）创设情境 引入新知
如图，某小区的房子现在出售3号楼，楼层33层，楼高3米，楼间距50米，朝向坐北朝南.老师想在这个小区的3号楼买一套房子，希望房子全年正午都有太阳照射（无遮挡），至少要买第几层楼呢？
（设计意图：从楼层采光问题出发，贴近于学生的生活，激发学生的探索欲望，引导学生一起学习新知识解决问题。培养学生从生活中发现数学问题）
1、复习回顾
（1）在Rt △ABC中，∠C＝90°，∠A的正弦怎么表示？
（2）分别求出图中∠A、∠B的正弦值.
sinA =（ ） sinA=（ ）
sinB = （ ） sinB= （ ）
合作交流 探索新知
引入问题：在Rt△ABC中，∠C=90°，当锐角A确定时，∠A的对边与斜边的比就随之确定。此时，其他边之间的比是否也随之确定？为什么？
特殊探究 发现规律：在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠E=90°，∠A=∠D=30°，EF=2,BC=3,请计算∠A的邻边与斜边的比 ; ∠D的邻边与斜边的比 , 你有什么发现？ 如果∠A=∠D=45°、∠A=∠D=60°，你又有什么发现呢？请各组完成任务单2,并说说你的发现？
小组汇报规律：音频与图片同时播放。
邻边与斜边的比 ∠A=∠D 30° 45° 60°
一般探究 证明规律： 任意画Rt△ABC和 使得. 那么 与 有什么关系 你能解释一下吗 把证明过程写在任务单3上。
探究方法一：△ABC ∽△
探究方法二：sinB = sin
探究方法三：可以用代数方法证明比值是固定值。
（设计意图：培养学生发散思维和类比学习的方法）
5、余弦概念生成
如图，在直角三角形中，我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作 cos A 。
6、类比学习：任意的画两个Rt△ABC和Rt△A`B`C`,使得 ∠C=∠C`=90°, ∠A=∠A`,那么 与 有什么关系 你能解释一下吗 请把证明过程写在任务单4上.
(设计意图：经过余弦从特殊到一般的证明方法，学生较容易解决，老师这时候要大胆放手让学生自己得出规律，从而为正切概念的生成做准备。）
7、正切概念生成
（1）在直角三角形中，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切， 记作 tan A 。
（2）教师动画演示∠A的余弦和正切。
（设计意图：通过学生探究和类比的证明方式，教师用动画进一步直观演示，加深了学生数学结合理解余弦和正切的概念。）
8、针对训练：学习任务单5
1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，sinA= ，
则cosA= ，tanA= 。
2.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D。
问：cosA、cosB还可以表示其他边的比吗？
（设计意图：一是让学生进一步体会在不同的直角三角形中，相等的锐角余弦值也相等，二是培养学生的转化思想，例cosA可以转化成cos∠DCB）
(3)若 AD = 6，CD = 8. 求 tanB的值
3.在△ABC 中，AB=AC＝4，BC =6，则cosB= 。
问：你有什么启发？
(设计意图：让学生体会锐角三角函数计算要在直角三角形中完成，从而主动构建直角三角形。）
注意：特别提醒要在直角三角形中求出所需要的边的值，紧扣余弦概念，一定要认清是角的邻边与斜边的比，否则会和正弦混淆．
9、锐角三角函数的概念
对于锐角 A 的每一个值，sinA 有唯一的值和它对应，所以 sinA 是锐角 A 的函数。同样地，cosA，tanA 也是锐角 A 的函数。
动画验证锐角三角函数。
小结：∠A 的正弦、余弦、正切都是∠A的锐角三角函数。
（设计意图：通过动画演示，学生很直观的了解到锐角三角函数增减变化，为今后学习打好基础。）
三、数学建模 运用新知
如图，某小区的房子现在出售3号楼，楼层33层，楼高3米，楼间距50米，朝向坐北朝南.老师想在这个小区的3号楼买一套房子，希望房子全年正午都有太阳照射（无遮挡），至少要买第几层楼呢？
学科连线
问题1：正午太阳高度角的概念是什么？
观看视频了解正午太阳高度角与24节有关系。
问题2：某楼层房子全年正午是否有太阳照射和正午太阳高度 角有何关系呢？
通过实验冬至日这一天正午有太阳照射楼层，全年正午都有太阳照射.
（设计意图：通过观看微课视频，学生学习了正午太阳高度角的概念，老师实验的方式让学生知道了为什么在冬至日正午才采光的楼层全年正午采光，直观切高效的解决了在日常生活中不便观察的采光问题。）
问题3：假设麻城冬至日正午太阳高度角约为38°，接下来我们如何精确计算采光楼层的高度呢？我们可以将问题转化为在直角三角形ABC中，已知一个锐角为38度，邻边长为50米，求对边BC的长度的问题.
（设计意图：将实际问题转化为数学问题，发展了数学建模的素养，同时在已有知识能够解决问题的基础上，老师引导学生一起探究更加简便的计算方式，从而生成新的知识，类比正弦和余弦的概念，学生提出了新的猜想。）
四、变式训练、巩固新知
1. 如图，平面直角坐标系中，若点 P 坐标为 (3，4)，则 OP 与 x 轴正方向所夹锐角 α 的正切值为 。
2.（变式） 如图，△ABC 中一边 BC 与以 AC 为直径的 ⊙O相切与点 C，若BC=4，AB=5，则 tanA= 。
小结：已知直角三角形的任意两边长求某个锐角的三角函数值时，运用数形结合思想，首先画出符合题意的直角三角形，然后根据勾股定理求出未知边长，最后结合锐角三角函数的定义求三角函数值。
（设计意图：让学生体会新知识在大单元知识间的渗透和数形结合思想的应用。）
五、课堂反馈 总结新知
1、学生发言谈收获。
2、用思维导图回顾我们本节课一起的经历
六、板书
锐角三角函数
七、作业：（见作业单）
八、教学反思
本节课通过现实热点问题引出新知，并在复习上节课内容的基础上，用类比的方法探究余弦和正切的定义，为本节课学生的自主学习打下基础.在探究活动中，教师引导学生仿照研究锐角的正弦的思路和方法，自己完成锐角的余弦、正切的探索过程，从而得到余弦和正切的概念.
通过动画演示让学生了解锐角三角函数内涵。练习题的分析和解答以学生为主体，通过小组合作交流完成，教师及时点拨，加深学生对概念的理解和掌握的同时，提高了学生的数学思想和方法能力，并规范了教学过程.
最后，以新的知识和地理知识构建数学模型解决问题，前后呼应。
不足之处：通过练习，学生切实提高了推理、运算能力，但建模能力有待提高，对教师而言，大单元教学究竟如何去设计？我们不能把锐角三角函数的教学变成题型教学。这是值得思考和学习的地方。
【核心素养与思想方法】1、通过直角三角形图形,理解余弦和正切三角函数值的概念和求法,培养学生直观想象核心素养，提升数形结合的能力，感悟事物的本质，培养创新思维。
2、通过对特殊三角函数值的计算,培养学生数学运算核心素养,进一步发展学生的运算能力，促进数学思维发展。
3、通过特殊到一般的数学思想和类比的学习方法来生成余弦和正切的概念，并在练习题中突出了数学建模和转化思想。
【新课标解读】1、通过探究锐角三角函数的概念，揭示概念的内涵，即是函数。但不宜突出，只要点出“对于锐角 A 的每一个值，sinA 有唯一的值和它对应，所以 sinA 是锐角 A 的函数。同样地，cosA，tanA 也是锐角 A 的函数”即可。
2、加强能力培养，建立数学模型思想。本节内容为后面解直角三角形的应用创造建立适当的数学模型。
3、注重数形结合，培养应用意识。锐角三角函数的一个突出特点是它的概念的产生和应用都与图形有着密切的联系.锐角三角函数具有鲜明的几何意义，其自变量是锐角，函数值是直角三角形中两条边的比值，因此本章内容是体现数形结合的好载体.
【教学目标】知识技能：1、探索直角三角形的锐角确定时，它的邻边与斜边的比、对边与邻边的比是固定值，从而引出余弦、正切的概念。
2、了解锐角三角函数的概念，理解锐角的余弦、正切的概念并能根据余弦、正切的概念进行计算.
核心素养：1、通过学习余弦和正切的概念，会正确的进行数学运算来求锐角三角函数值。
2、结合生活中的买房热点问题，通过数学建模来解决楼层问题。培养学生在生活中发现数学问题和解决是问题的思维意识。
思维品质：能根据概念正确进行计算。逐步培养学生观察、比较、分析，概括的思维能力。
学习能力：经历当直角三角形的锐角固定时,邻边与斜边、对边与邻边的比值也都固定这一事实.发展学生的形象思维，培养学生由特殊到一般的演绎推理能力。
【教学重点】认识并理解余弦、正切的概念进而得到锐角三角函数的概念.
【教学难点】能灵活运用锐角三角函数进行相关运算.
【教材内容分析】本节内容在前面已经研究了直角三角形中三边之间关系、两个锐角之间关系的基础上，进一步研其边角之间的关系.主要内容包括余弦和正切、锐角三角函数的概念，本章内容与“相似三角形”、“全等三角形” “勾股定理”等内容联系密切，相似三角形的性质是建立锐角三角函数概念的基础和关键，为后面学习解直角三角形打下基础。通过本章的学习，使学生全面掌握直角三角形的组成要素(边、角)之间的关系，并综合运用已学知识解决与角三角形有关的度量问题，进一步培养学生的推理能力、运算能力和数学建模能力，同时为高中学中任意角三角函数等知识的学习做准备。
【学情分析】学生对三角函的概念从没接触过，特别是直角三角形中角的锐角的变化引起相应边比值的变化感到难理解。但通过上节课余弦的学习，对探究方式有基本的认识，在这节课上对余弦和正切函数的探讨有初步的思想准备，利用画图软件做出动画，学生更能直观体会和理解。
【教学过程】
（一）创设情境 引入新知
如图，某小区的房子现在出售3号楼，楼层33层，楼高3米，楼间距50米，朝向坐北朝南.老师想在这个小区的3号楼买一套房子，希望房子全年正午都有太阳照射（无遮挡），至少要买第几层楼呢？
（设计意图：从楼层采光问题出发，贴近于学生的生活，激发学生的探索欲望，引导学生一起学习新知识解决问题。培养学生从生活中发现数学问题）
1、复习回顾
（1）在Rt △ABC中，∠C＝90°，∠A的正弦怎么表示？
（2）分别求出图中∠A、∠B的正弦值.
sinA =（ ） sinA=（ ）
sinB = （ ） sinB= （ ）
合作交流 探索新知
引入问题：在Rt△ABC中，∠C=90°，当锐角A确定时，∠A的对边与斜边的比就随之确定。此时，其他边之间的比是否也随之确定？为什么？
特殊探究 发现规律：在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠E=90°，∠A=∠D=30°，EF=2,BC=3,请计算∠A的邻边与斜边的比 ; ∠D的邻边与斜边的比 , 你有什么发现？ 如果∠A=∠D=45°、∠A=∠D=60°，你又有什么发现呢？请各组完成任务单2,并说说你的发现？
小组汇报规律：音频与图片同时播放。
邻边与斜边的比 ∠A=∠D 30° 45° 60°
一般探究 证明规律： 任意画Rt△ABC和 使得. 那么 与 有什么关系 你能解释一下吗 把证明过程写在任务单3上。
探究方法一：△ABC ∽△
探究方法二：sinB = sin
探究方法三：可以用代数方法证明比值是固定值。
（设计意图：培养学生发散思维和类比学习的方法）
5、余弦概念生成
如图，在直角三角形中，我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作 cos A 。
6、类比学习：任意的画两个Rt△ABC和Rt△A`B`C`,使得 ∠C=∠C`=90°, ∠A=∠A`,那么 与 有什么关系 你能解释一下吗 请把证明过程写在任务单4上.
(设计意图：经过余弦从特殊到一般的证明方法，学生较容易解决，老师这时候要大胆放手让学生自己得出规律，从而为正切概念的生成做准备。）
7、正切概念生成
（1）在直角三角形中，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切， 记作 tan A 。
（2）教师动画演示∠A的余弦和正切。
（设计意图：通过学生探究和类比的证明方式，教师用动画进一步直观演示，加深了学生数学结合理解余弦和正切的概念。）
8、针对训练：学习任务单5
1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，sinA= ，
则cosA= ，tanA= 。
2.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D。
问：cosA、cosB还可以表示其他边的比吗？
（设计意图：一是让学生进一步体会在不同的直角三角形中，相等的锐角余弦值也相等，二是培养学生的转化思想，例cosA可以转化成cos∠DCB）
(3)若 AD = 6，CD = 8. 求 tanB的值
3.在△ABC 中，AB=AC＝4，BC =6，则cosB= 。
问：你有什么启发？
(设计意图：让学生体会锐角三角函数计算要在直角三角形中完成，从而主动构建直角三角形。）
注意：特别提醒要在直角三角形中求出所需要的边的值，紧扣余弦概念，一定要认清是角的邻边与斜边的比，否则会和正弦混淆．
9、锐角三角函数的概念
对于锐角 A 的每一个值，sinA 有唯一的值和它对应，所以 sinA 是锐角 A 的函数。同样地，cosA，tanA 也是锐角 A 的函数。
动画验证锐角三角函数。
小结：∠A 的正弦、余弦、正切都是∠A的锐角三角函数。
（设计意图：通过动画演示，学生很直观的了解到锐角三角函数增减变化，为今后学习打好基础。）
三、数学建模 运用新知
如图，某小区的房子现在出售3号楼，楼层33层，楼高3米，楼间距50米，朝向坐北朝南.老师想在这个小区的3号楼买一套房子，希望房子全年正午都有太阳照射（无遮挡），至少要买第几层楼呢？
学科连线
问题1：正午太阳高度角的概念是什么？
观看视频了解正午太阳高度角与24节有关系。
问题2：某楼层房子全年正午是否有太阳照射和正午太阳高度 角有何关系呢？
通过实验冬至日这一天正午有太阳照射楼层，全年正午都有太阳照射.
（设计意图：通过观看微课视频，学生学习了正午太阳高度角的概念，老师实验的方式让学生知道了为什么在冬至日正午才采光的楼层全年正午采光，直观切高效的解决了在日常生活中不便观察的采光问题。）
问题3：假设麻城冬至日正午太阳高度角约为38°，接下来我们如何精确计算采光楼层的高度呢？我们可以将问题转化为在直角三角形ABC中，已知一个锐角为38度，邻边长为50米，求对边BC的长度的问题.
（设计意图：将实际问题转化为数学问题，发展了数学建模的素养，同时在已有知识能够解决问题的基础上，老师引导学生一起探究更加简便的计算方式，从而生成新的知识，类比正弦和余弦的概念，学生提出了新的猜想。）
四、变式训练、巩固新知
1. 如图，平面直角坐标系中，若点 P 坐标为 (3，4)，则 OP 与 x 轴正方向所夹锐角 α 的正切值为 。
2.（变式） 如图，△ABC 中一边 BC 与以 AC 为直径的 ⊙O相切与点 C，若BC=4，AB=5，则 tanA= 。
小结：已知直角三角形的任意两边长求某个锐角的三角函数值时，运用数形结合思想，首先画出符合题意的直角三角形，然后根据勾股定理求出未知边长，最后结合锐角三角函数的定义求三角函数值。
（设计意图：让学生体会新知识在大单元知识间的渗透和数形结合思想的应用。）
五、课堂反馈 总结新知
1、学生发言谈收获。
2、用思维导图回顾我们本节课一起的经历
六、板书
锐角三角函数
七、作业：（见作业单）
八、教学反思
本节课通过现实热点问题引出新知，并在复习上节课内容的基础上，用类比的方法探究余弦和正切的定义，为本节课学生的自主学习打下基础.在探究活动中，教师引导学生仿照研究锐角的正弦的思路和方法，自己完成锐角的余弦、正切的探索过程，从而得到余弦和正切的概念.
通过动画演示让学生了解锐角三角函数内涵。练习题的分析和解答以学生为主体，通过小组合作交流完成，教师及时点拨，加深学生对概念的理解和掌握的同时，提高了学生的数学思想和方法能力，并规范了教学过程.
最后，以新的知识和地理知识构建数学模型解决问题，前后呼应。
不足之处：通过练习，学生切实提高了推理、运算能力，但建模能力有待提高，对教师而言，大单元教学究竟如何去设计？我们不能把锐角三角函数的教学变成题型教学。这是值得思考和学习的地方。