6.3.1二项式定理 课件（共32张PPT）
文档属性
| 名称 | 6.3.1二项式定理 课件（共32张PPT） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 5.8MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-04-01 19:21:40 | ||
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文档简介
(共32张PPT)
第六章 计数原理
6.3.1 二项式定理
主讲人：XXX
学校：
学科：数学 人教A版（2019）
年级：高二下学期
第六章 计数原理
学
习
目
标
1.能用多项式运算法则和计数原理推导出二项式定理；
2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式；
3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题；
4.通过对二项式定理的学习，培养数学抽象、数学运算、逻辑推理和数学建模等数学素养。
第六章 计数原理 6.3.1二项式定理
数学 选择性必修 第三册
【二项式定理的起源】
艾萨克-牛顿（1643-1727，英国）被誉为人类历史上最伟大的科学家之一,不仅是伟大的物理学家、天文学家,而且还是伟大的数学家。1664年，年仅22岁的牛顿，在数学方面就有了第一项创造性成果，就是发现了二项式定理，又称牛顿二项式定理。
第六章 计数原理 6.3.1二项式定理
数学 选择性必修 第三册
【二项式定理的起源】
1665年，他发现了广义二项式定理，并开始发展一套新的数学理论，也就是后来为世人所熟知的微积分学。在1665年，牛顿获得了学位，而大学为了预防伦敦大瘟疫而关闭了。在此后两年里，牛顿在家中继续研究微积分学、光学和万有引力定律。牛顿的数学贡献，最突出的有三项，即做为特殊形式的微积分的“流数术”，二项式定理及“广义的算术”（代数学）。
第六章 计数原理 6.3.1二项式定理
数学 选择性必修 第三册
【二项式定理的起源】
杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现。在欧洲，帕斯卡（1623----1662）在1654年发现这一规律，所以这个表又叫做帕斯卡三角形。帕斯卡的发现比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年。
第六章 计数原理 6.3.1二项式定理
数学 选择性必修 第三册
第六章 计数原理 6.3.1二项式定理
数学 选择性必修 第三册
新知探究
探究一：二项式定理的推导过程
第六章 计数原理 6.3.1二项式定理
数学 选择性必修 第三册
【创设情景】
1664年冬，伟大的科学家牛顿在研读英国数学家沃利斯的《无穷算术》中的
发现了 展开式的规律，即二项式定理,让我们穿越时间的长河，回到过去，用我们刚刚学习过的计数原理来体验二项式定理的推导过程。
第六章 计数原理 6.3.1二项式定理
(a+b)2 = (a+b)(a+b)= a2 +2ab+b2
＝C20 a2 + C21 ab+ C22 b2
(a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b)=a3 + 3a2b+3ab2 + b3
= C30a3 +C31a2b+C32ab2 +C33 b3
C40 a4 ＋C41 a3b ＋C42 a2b2 ＋C43 ab3 ＋C44 b4
(a+b)4 ＝
猜想：
1
2
1
C2
1
C2
0
C2
2
1
3
1
3
C3
0
C3
1
C3
2
C3
3
4
1
1
4
6
C4
0
C4
1
C4
2
C4
3
C4
4
第六章 计数原理 6.3.1二项式定理
数学 选择性必修 第三册
( a + b ) n=
(a+b)n的展开式：
猜想：
第六章 计数原理 6.3.1二项式定理
数学 选择性必修 第三册
(a+b)2 = (a+b)(a+b)
= a(a+b)+b(a+b)
=a2 +2ab+b2
思考1. 这些多项式是怎么相乘的？
第六章 计数原理 6.3.1二项式定理
数学 选择性必修 第三册
(a+b)2 = (a+b)(a+b)
=a×a+a×b+b×a+b×b
思考2. 合并同类项之前，有几项？
如何从分步乘法计数原理分析？
第六章 计数原理 6.3.1二项式定理
数学 选择性必修 第三册
(a+b)2 = (a+b)(a+b)
=a2 +2ab+b2
思考3. 合并同类项之后，有几项？
各项的次数有什么特点？
你能否写出这些项的通项？
是按照哪一个字母的升幂排序？
请从组合数的角度对展开式的系数进行分析。
＝C20 a2 + C21 ab+ C22 b2
第六章 计数原理 6.3.1二项式定理
数学 选择性必修 第三册
(a+b)2 = (a+b)(a+b)
=a2 +2ab+b2
＝C20 a2 + C21 ab+ C22 b2
思考4. 针对上述问题，你能否构建一个 数学模型进行分析？
第六章 计数原理 6.3.1二项式定理
数学 选择性必修 第三册
思考 仿照上述过程, 你能利用计数原理, 分析(a＋b)3,
(a＋b)4的展开式 吗
① 项a3-kbk:(k=0, 1, 2, 3)
③ 展开式：
(1) 3个括号中都不取b(全都取a)得：C30 a3;
(2) 3个括号中有1个取b，剩下的2个都取a得:C31a2b;
(4)3个括号中全都取b得: C33b3.
(3) 3个括号中有2个都取b，剩下的1个取a得:C32ab2 ;
第六章 计数原理 6.3.1二项式定理
数学 选择性必修 第三册
a4 a3b a2b2 ab3 b4
都
不
取
b
取
一
个
b
取
两
个
b
取
三
个
b
取
四
个
b
项：
系数：
(a+b)4= (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)
(a+b)4=C40a4 +C41a3b +C42a2b2 +C43ab3 +C44b4
展开式：
第六章 计数原理 6.3.1二项式定理
数学 选择性必修 第三册
= (a+b) (a+b) ...(a+b)
项
系数
...
...
...
...
=
第六章 计数原理 6.3.1二项式定理
数学 选择性必修 第三册
二项式定理：
式中的an-kbk叫做二项展开式的通项，用Tk+1表示，即通项为展开式的第k+1项：
Tk+1=Cnkan-kbk.
第六章 计数原理 6.3.1二项式定理
数学 选择性必修 第三册
二项式定理：
在二项式定理中，若设a=1 , b=x ，则得到公式：
第六章 计数原理 6.3.1二项式定理
数学 选择性必修 第三册
二项式定理 公式＝，
称为二项式定理
项
二项式系数
通项 ＝
特例 ＝
第六章 计数原理 6.3.1二项式定理
数学 选择性必修 第三册
1. 系数规律：
2. 指数规律：
(1)各项的次数均为n；
(2)各项里a的指数由n降到0，b的指数由0升到n.
3. 项数规律：
两项和的n次幂的展开式共有n+1个项 .
4. 通项公式:
二项展开式中的指数、项数、系数的变化，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定项、特定项系数、以及数、式的整除方面有广泛应用 .
定理的特征：
二项式定理：
第六章 计数原理 6.3.1二项式定理
数学 选择性必修 第三册
简单应用
探究二：二项式定理的简单应用
第六章 计数原理 6.3.1二项式定理
数学 选择性必修 第三册
例1 求 的展开式 .
解：根据二项式定理，可得
第六章 计数原理 6.3.1二项式定理
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例2
解：(1) 由通项公式，可得
第六章 计数原理 6.3.1二项式定理
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例2
(2) 由通项公式，可得
第六章 计数原理 6.3.1二项式定理
数学 选择性必修 第三册
课堂练习
第六章 计数原理 6.3.1二项式定理
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课堂练习:
解：
解：
由通项公式，可得
第六章 计数原理 6.3.1二项式定理
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解：
由通项公式，可得
第六章 计数原理 6.3.1二项式定理
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解：
由通项公式，可得:
含x4的项是由5个括号中任意4个括号各取出1个x，剩余1个括号取出常数相乘得到的，故含x4的项的系数是
解：
第六章 计数原理 6.3.1二项式定理
数学 选择性必修 第三册
A．50 B．20 C．15 D．－20
思考：
第六章 计数原理 6.3.1二项式定理
数学 选择性必修 第三册
(1)二项式定理
(3)区别二项式系数，项的系数
归纳小结:
(2)二项展开式的通项:
即通项为展开式的第k+1项 :
(4)特殊地：
令x=1得
Tk+1=Cnkan-kbk.
第六章 计数原理 6.3.1二项式定理
数学 选择性必修 第三册
再见！
第六章 计数原理 6.3.1二项式定理
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A．50 B．20 C．15 D．－20
(0≤r≤6，r∈Z)，
故(2x－1)(x－y)6的展开式中
6－2r＝0或者6－2r＝－2
所以r＝3或r＝4，
＝15－40＝－25.
第六章 计数原理
6.3.1 二项式定理
主讲人：XXX
学校：
学科：数学 人教A版（2019）
年级：高二下学期
第六章 计数原理
学
习
目
标
1.能用多项式运算法则和计数原理推导出二项式定理；
2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式；
3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题；
4.通过对二项式定理的学习，培养数学抽象、数学运算、逻辑推理和数学建模等数学素养。
第六章 计数原理 6.3.1二项式定理
数学 选择性必修 第三册
【二项式定理的起源】
艾萨克-牛顿（1643-1727，英国）被誉为人类历史上最伟大的科学家之一,不仅是伟大的物理学家、天文学家,而且还是伟大的数学家。1664年，年仅22岁的牛顿，在数学方面就有了第一项创造性成果，就是发现了二项式定理，又称牛顿二项式定理。
第六章 计数原理 6.3.1二项式定理
数学 选择性必修 第三册
【二项式定理的起源】
1665年，他发现了广义二项式定理，并开始发展一套新的数学理论，也就是后来为世人所熟知的微积分学。在1665年，牛顿获得了学位，而大学为了预防伦敦大瘟疫而关闭了。在此后两年里，牛顿在家中继续研究微积分学、光学和万有引力定律。牛顿的数学贡献，最突出的有三项，即做为特殊形式的微积分的“流数术”，二项式定理及“广义的算术”（代数学）。
第六章 计数原理 6.3.1二项式定理
数学 选择性必修 第三册
【二项式定理的起源】
杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现。在欧洲，帕斯卡（1623----1662）在1654年发现这一规律，所以这个表又叫做帕斯卡三角形。帕斯卡的发现比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年。
第六章 计数原理 6.3.1二项式定理
数学 选择性必修 第三册
第六章 计数原理 6.3.1二项式定理
数学 选择性必修 第三册
新知探究
探究一：二项式定理的推导过程
第六章 计数原理 6.3.1二项式定理
数学 选择性必修 第三册
【创设情景】
1664年冬，伟大的科学家牛顿在研读英国数学家沃利斯的《无穷算术》中的
发现了 展开式的规律，即二项式定理,让我们穿越时间的长河，回到过去，用我们刚刚学习过的计数原理来体验二项式定理的推导过程。
第六章 计数原理 6.3.1二项式定理
(a+b)2 = (a+b)(a+b)= a2 +2ab+b2
＝C20 a2 + C21 ab+ C22 b2
(a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b)=a3 + 3a2b+3ab2 + b3
= C30a3 +C31a2b+C32ab2 +C33 b3
C40 a4 ＋C41 a3b ＋C42 a2b2 ＋C43 ab3 ＋C44 b4
(a+b)4 ＝
猜想：
1
2
1
C2
1
C2
0
C2
2
1
3
1
3
C3
0
C3
1
C3
2
C3
3
4
1
1
4
6
C4
0
C4
1
C4
2
C4
3
C4
4
第六章 计数原理 6.3.1二项式定理
数学 选择性必修 第三册
( a + b ) n=
(a+b)n的展开式：
猜想：
第六章 计数原理 6.3.1二项式定理
数学 选择性必修 第三册
(a+b)2 = (a+b)(a+b)
= a(a+b)+b(a+b)
=a2 +2ab+b2
思考1. 这些多项式是怎么相乘的？
第六章 计数原理 6.3.1二项式定理
数学 选择性必修 第三册
(a+b)2 = (a+b)(a+b)
=a×a+a×b+b×a+b×b
思考2. 合并同类项之前，有几项？
如何从分步乘法计数原理分析？
第六章 计数原理 6.3.1二项式定理
数学 选择性必修 第三册
(a+b)2 = (a+b)(a+b)
=a2 +2ab+b2
思考3. 合并同类项之后，有几项？
各项的次数有什么特点？
你能否写出这些项的通项？
是按照哪一个字母的升幂排序？
请从组合数的角度对展开式的系数进行分析。
＝C20 a2 + C21 ab+ C22 b2
第六章 计数原理 6.3.1二项式定理
数学 选择性必修 第三册
(a+b)2 = (a+b)(a+b)
=a2 +2ab+b2
＝C20 a2 + C21 ab+ C22 b2
思考4. 针对上述问题，你能否构建一个 数学模型进行分析？
第六章 计数原理 6.3.1二项式定理
数学 选择性必修 第三册
思考 仿照上述过程, 你能利用计数原理, 分析(a＋b)3,
(a＋b)4的展开式 吗
① 项a3-kbk:(k=0, 1, 2, 3)
③ 展开式：
(1) 3个括号中都不取b(全都取a)得：C30 a3;
(2) 3个括号中有1个取b，剩下的2个都取a得:C31a2b;
(4)3个括号中全都取b得: C33b3.
(3) 3个括号中有2个都取b，剩下的1个取a得:C32ab2 ;
第六章 计数原理 6.3.1二项式定理
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a4 a3b a2b2 ab3 b4
都
不
取
b
取
一
个
b
取
两
个
b
取
三
个
b
取
四
个
b
项：
系数：
(a+b)4= (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)
(a+b)4=C40a4 +C41a3b +C42a2b2 +C43ab3 +C44b4
展开式：
第六章 计数原理 6.3.1二项式定理
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= (a+b) (a+b) ...(a+b)
项
系数
...
...
...
...
=
第六章 计数原理 6.3.1二项式定理
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二项式定理：
式中的an-kbk叫做二项展开式的通项，用Tk+1表示，即通项为展开式的第k+1项：
Tk+1=Cnkan-kbk.
第六章 计数原理 6.3.1二项式定理
数学 选择性必修 第三册
二项式定理：
在二项式定理中，若设a=1 , b=x ，则得到公式：
第六章 计数原理 6.3.1二项式定理
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二项式定理 公式＝，
称为二项式定理
项
二项式系数
通项 ＝
特例 ＝
第六章 计数原理 6.3.1二项式定理
数学 选择性必修 第三册
1. 系数规律：
2. 指数规律：
(1)各项的次数均为n；
(2)各项里a的指数由n降到0，b的指数由0升到n.
3. 项数规律：
两项和的n次幂的展开式共有n+1个项 .
4. 通项公式:
二项展开式中的指数、项数、系数的变化，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定项、特定项系数、以及数、式的整除方面有广泛应用 .
定理的特征：
二项式定理：
第六章 计数原理 6.3.1二项式定理
数学 选择性必修 第三册
简单应用
探究二：二项式定理的简单应用
第六章 计数原理 6.3.1二项式定理
数学 选择性必修 第三册
例1 求 的展开式 .
解：根据二项式定理，可得
第六章 计数原理 6.3.1二项式定理
数学 选择性必修 第三册
例2
解：(1) 由通项公式，可得
第六章 计数原理 6.3.1二项式定理
数学 选择性必修 第三册
例2
(2) 由通项公式，可得
第六章 计数原理 6.3.1二项式定理
数学 选择性必修 第三册
课堂练习
第六章 计数原理 6.3.1二项式定理
数学 选择性必修 第三册
课堂练习:
解：
解：
由通项公式，可得
第六章 计数原理 6.3.1二项式定理
数学 选择性必修 第三册
解：
由通项公式，可得
第六章 计数原理 6.3.1二项式定理
数学 选择性必修 第三册
解：
由通项公式，可得:
含x4的项是由5个括号中任意4个括号各取出1个x，剩余1个括号取出常数相乘得到的，故含x4的项的系数是
解：
第六章 计数原理 6.3.1二项式定理
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A．50 B．20 C．15 D．－20
思考：
第六章 计数原理 6.3.1二项式定理
数学 选择性必修 第三册
(1)二项式定理
(3)区别二项式系数，项的系数
归纳小结:
(2)二项展开式的通项:
即通项为展开式的第k+1项 :
(4)特殊地：
令x=1得
Tk+1=Cnkan-kbk.
第六章 计数原理 6.3.1二项式定理
数学 选择性必修 第三册
再见！
第六章 计数原理 6.3.1二项式定理
数学 选择性必修 第三册
A．50 B．20 C．15 D．－20
(0≤r≤6，r∈Z)，
故(2x－1)(x－y)6的展开式中
6－2r＝0或者6－2r＝－2
所以r＝3或r＝4，
＝15－40＝－25.